Chap1 Slides Rom
-
Upload
gabriel-patrascu -
Category
Documents
-
view
35 -
download
3
description
Transcript of Chap1 Slides Rom
Introducere în modelareasistemelor
Paula Raica
Departamentul de Automatica
Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca
Dorobantilor, sala C21
Baritiu, sala C14
Tel: 0264 - 401267 (Dorobantilor)
Tel: 0264 - 202368 (Baritiu)
http://moodle.utcluj.ro (key: ts2012)
Teoria sistemelor – p. 1/31
IntroducereUn model matematic este o ecuatie sau un set de ecuatiicare descrie comportamentul unui sistem.Doua abordari pentru determinarea unui model:
Modele cu parametri concentrati: pentru fiecareelement al unui sistem se determina un model din legilefizicii.
Identificarea sistemelor: se poate realiza un experimentsi modelul se determina din rezultate..
Relatia importanta este între intrarea si iesirea sistemului.
Dynamic System input
u(t)
output
y(t)
Teoria sistemelor – p. 2/31
Modele cu parametri concentratiSistemele studiate în acest curs sunt:
Liniare - respecta principiul superpozitiei
Stationare (sau invariabile în timp) - parametrii nu variaza întimp
Deterministe - Iesirea sistemului se poate determina dinintrarea sistemului la orice moment de timp
Exemple.
Rezistenta: i(t) = 1Rv(t)
Bobina: i(t) = 1L
∫
v(t)dt or v(t) = Ldi(t)dt
Condensatorul: i(t) = C dv(t)dt
Teoria sistemelor – p. 3/31
ExempleSpring-mass-damper
k
disp
lace
men
t
Friction f
Force
y(t)
r(t)
Mass M
Md2y(t)
dt2+ f
dy(t)
dt+ ky(t) = r(t)
unde: f -coeficientul de frecare, M - masa, k - constantaelastica a resortului.
Teoria sistemelor – p. 4/31
Sisteme liniareUn sistem se defineste ca fiind liniar în termenii intrarii siiesirii.Principiul superpozitiei
x1(t) → y1(t)
x2(t) → y2(t)
x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)
Omogen
x(t) → y(t)
mx(t) → my(t)
Teoria sistemelor – p. 5/31
LiniarizareSistem neliniar:
y = x2
Sistem neliniar !y = mx+ b
Liniarizare în jurul unui punct de functionare x0, y0 pentruvariatii mici∆x si ∆y. Daca x = x0 +∆x si y = y0 +∆y:
y0 +∆y = mx0 +m∆x+ b
rezulta:∆y = m∆x
Teoria sistemelor – p. 6/31
LiniarizareIntrare x(t) si raspuns y(t): y(t) = g(x(t))Seria Taylor în jurul punctului de functionare x0:
y = g(x) = g(x0) +dg
dx|x=x0
x− x01!
+d2g
dx2|x=x0
(x− x0)2
2!+ ...
Panta la punctul de functionare:
m =dg
dx|x=x0
,
y = g(x0) +dg
dx|x=x0
(x− x0) = y0 +m(x− x0),
Ecuatia poate fi rescrisa ca una liniara:
(y − y0) = m(x− x0) sau ∆y = m∆x
Teoria sistemelor – p. 7/31
LiniarizareDaca variabila y depinde de mai multe intrari: x1, x2, ..., xn:
y = g(x1, x2, ..., xn).
seria Taylor în jurul punctului de functionare x10, x20, ..., xn0(dupa neglijarea termenilor de ordin mai mare ca 1):
y = g(x10, x20, ..., xn0) +dg
dx1|x=x0
(x1 − x10) +
+dg
dx2|x=x0
(x2 − x20) + ...+dg
dxn|x=x0
(xn − xn0)
Teoria sistemelor – p. 8/31
Exemplu - Pendulul
Mass M
Length L
angle x
Cuplul:T = MgLsin(x)Conditia de echilibru pentrumasa este: x0 = 0o.
T−T0 ∼= MgL∂sinx
∂x|x=x0
(x−x0),
unde T0 = 0.
T = MgL(cos0o)(x−0o) = MgLx
Aproximarea este suficient de precisa pentru−π/4 ≤ x ≤ π/4.
Teoria sistemelor – p. 9/31
Transformata Laplace
F (s) = £[f(t)] =
∫
∞
0
f(t)e−stdt
Table 1: Proprietatile transformatei Laplace1 Liniara f1(t) ± f2(t) F1(s) ± F2(s)2 Înmultirea cu o constanta af(t) aF(s)3 Deplasare complexa e±atf(t) F(s±a)4 Deplasare reala f(t-T) e−TsF (s), T≥05 Scalare f( ta) aF(as)6 Prima derivata d
dt f(t) sF(s) - f(0)7 Integrala
∫ t0 f(t)dt
1sF (s)
Teoria sistemelor – p. 10/31
Transformata Laplace
Table 2: Transformata Laplace a unor functiif(t) F(s)
1 Impuls Dirac δ (t) 12 Treapta unitara u(t)=1 1
s
3 Rampa unitara v(t)=t 1s2
4 eat 1s−a
5 cosωt ss2+ω2
6 sinωt ωs2+ω2
Teoria sistemelor – p. 11/31
Semnale1. Treapta unitar a:
u(t) =
{
0, t < 0
1, t ≥ 0
Transformata Laplace a functiei treapta:
£[u(t)] =1
s
Teoria sistemelor – p. 12/31
Semnale2. Rampa unitar a
v(t) =
{
0, t < 0
t, t ≥ 0
Transformata Laplace a functiei rampa:
£[v(t)] =1
s2
Teoria sistemelor – p. 13/31
Semnale3. Impulsul ideal (Dirac)
δ(t) =
{
0, t < τ and t > τ +∆τ
A, τ ≤ t ≤ τ +∆τ, lim∆τ→0
∫ τ+∆τ
τ
δ(t)dt = 1
Transformata Laplace a impulsului:
£[δ(t)] = 1
Teoria sistemelor – p. 14/31
Functia de transfer= Raportul dintre transformata Laplace a semnalului deiesire si transformata Laplace a semnalului de intrare înconditii initiale nule.
a0r(t)+a1dr(t)
dt+...+am
dmr(t)
dtm= b0y(t)+b1
dy(t)
dt+...+bn
dny(t)
dtn
unde r(t) si y(t) sunt semnalele de intrare si iesire.Se aplica transformata Laplace în conditii initiale nule:
(a0 + a1s+ ...+ amsm)R(s) = (b0 + b1s+ ...+ bnsn)Y (s)
si functia de transfer este:
H(s) =Y (s)
R(s)=
a0 + a1s+ ...+ amsm
b0 + b1s+ ...+ bnsn
Teoria sistemelor – p. 15/31
Exemplu
k
disp
lace
men
t
Friction f
Force
y(t)
r(t)
Mass M
Md2y(t)
dt2+ f
dy(t)
dt+ ky(t) = r(t)
Ms2Y (s)+fsY (s)+kY (s) = R(s)
H(s) =Y (s)
R(s)=
1
Ms2 + fs+ k
"iesire = continut x intrare"
O functie de transfer H(s) arata cum intrarea estetransferata la iesire.
Teoria sistemelor – p. 16/31
Exemplu. Sistem electric
L
C R v in v out
i L
i C
i R N
Bobina:diLdt
=1
LvL
Condensatorul:dvCdt
=1
CiC
Rezistenta: vR = RiR
Legile lui Kirchhoff:
iL = iC + iR
vin = vL + vC
vC = vR = vout
Se presupun conditii initialezero, se aplica transformataLaplace, se elimina toate vari-abilele în afara de intrare siiesire.
H(s) =Vout(s)
Vin(s)=
1
LCs2 + LRs+ 1
=R
RLCs2 + Ls+R(1)
Teoria sistemelor – p. 17/31
Functia de transferPentru un sistem fizic realizabil functia de transfer H(s) esteun raport de doua polinoame în s:
H(s) =N(s)
D(s)
ordinul lui D(s) ≥ ordinul lui N(s).
Ecuatia caracteristic a
D(s) = 0
Radacinile lui D(s) : poli
Radacinile lui N(s) : zerourile
Ordinul sistemului : gradul polinomului de la numitor, D(s)Polii si zerourile lui H(s) pot fi variabile complexe, s = σ+ jω.
Teoria sistemelor – p. 18/31
Functia de transfer
H(s) =k(s− z1)(s− z2)...(s− zm)
sr(s− p1)(s− p2)...(s− pn)
unde m ≤ n, pi si zi sunt polii si zerourile functiei de transfer,r - numarul polilor la origine, n+ r - ordinul sistemului.
H(s) =k
sr
∏m1
j=1(Tjs+ 1)∏m2
j=1(1
ω2
nj
s2 + 2ζjωnj
s+ 1)∏n1
j=1(Tjs+ 1)∏n2
j=1(1
ω2
nj
s2 + 2ζjωnj
s+ 1)
unde k - factorul de proportionalitate (sau de câstig), ωnj -frecvente naturale, Tj - constante de timp, ζj - factori deamortizare.
Teoria sistemelor – p. 19/31
Raspunsul sistemelor
H(s) R(s) Y(s)
Figure 1: Schema bloc a unui sistem
Din definitia funtiei de transfer:
Y (s) = H(s) ·R(s)
Aplicând transformata Laplace inversa:
y(t) = £−1[H(s) ·R(s)].
Teoria sistemelor – p. 20/31
Exemplu
H(s) =Y (s)
R(s)=
1
Ms2 + fs+ k, R(s) = £[δ(t)], y(t) = £
−1[H(s)·1]
M = 1, f = 3, k = 2
Y (s) =1
(s+ 1)(s+ 2)
y(t) = e−t − e−2t
M = 1, f = 1, k = 3
H(s) =K
1ω2ns2 + 2ζ
ωns+ 1
y(t) =2√11
e−t/2sin(
√11
2t)
Teoria sistemelor – p. 21/31
Exemplu
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 2 4 6 8 10 12
Figure 2: Raspunsul sistemului. (Stânga) Raspuns
supra-amortizat. (Dreapta) Raspuns subamortizat
Teoria sistemelor – p. 22/31
Scheme blocSchemele bloc sunt formate din blocuri unidirectionaleconectate care reprezinta functii de transfer.Conexiuni de baza: serie, paralel, cu reactie.
Y 2 (s)
Y (s)
Y 1 (s)
R 2 (s)
R 1 (s)
R (s) H 1 (s) H 2 (s)
Y 1 (s)
Y (s)
Y 2 (s)
R (s)
H 1 (s)
H 2 (s)
`
Y (s) H d (s)
H r (s)
R (s) E (s)
Teoria sistemelor – p. 23/31
Functii de transfer echivalenteConexiunea serie
H(s) =Y (s)
R(s)=
Y2(s)
R1(s)=
Y2(s) · Y1(s)R1(s) ·R2(s)
= H1(s) ·H2(s)
Conexiunea paralel
Y (s) = ±Y1(s)± Y2(s), H(s) =Y (s)
R(s)= ±H1(s)±H2(s)
Conexiunea cu reactie
H(s) =Y (s)
R(s)=
Hd(s)
1∓Hd(s) ·Hr(s)
Teoria sistemelor – p. 24/31
Transformarea schemelor bloc
X 2
X 1 X 3
G X 1
G
X 2
X 3
G
Figure 3: Sumator în fata unui bloc
X 2
X 1 X 2
G
X 2
X 1 X 2 G
G
Figure 4: Mutarea unui punct în fata unui bloc
Teoria sistemelor – p. 25/31
Transformarea schemelor bloc
X 1
X 1 X 2
G
X 1
X 1 X 2 G
1/G
Figure 5: Mutarea unui punct în spatele unui bloc
X 1 G
X 2
X 3
X 2
X 1 X 3
G
1/G
Figure 6: Mutarea unui sumator în fata unui bloc
Teoria sistemelor – p. 26/31
Suprapunerea semnalelor
R 1 Y R 2
H 1 H 2
H 3
H 01
H 02
Y
R 2
R 1
Y (s) = R1(s) ·H01(s)|R2(s)=0 +R2(s) ·H02(s)|R1(s)=0
Y (s) =H1H2
1 +H1H2H3·R1(s) +
H2
1 +H1H2H3·R2(s)
Teoria sistemelor – p. 27/31
Matricea de transfer...
linear multiple input multiple
output (MIMO) system
...
r 1 (t)
r 2 (t)
r m (t)
y 1 (t)
y 2 (t)
y n (t)
...
...
R 1 (s)
R 2 (s)
R m (s)
Y 1 (s)
Y 2 (s)
Y n (s)
...
H 11
H 22
H nm
H n1 H n2
H 12
Figure 7: Sistem MIMO
Teoria sistemelor – p. 28/31
Matricea de transfer
Y1 = H11R1 +H12R2 + . . . H1mRm
Y2 = H21R1 +H22R2 + . . . H2mRm
...
Yn = Hn1R1 +Hn2R2 + . . . HnmRm
unde functia de transfer de la intrarea k la iesirea j:
Hjk =YjRk
Teoria sistemelor – p. 29/31
Matricea de transferForma matriciala:
Y = H · R
Vectorii de intrare si iesire:
R = [R1(s) R2(s) ... Rm(s)]T , Y = [Y1(s) Y2(s) ... Yn(s)]T
Matricea de transfer :
H =
H11 H12 . . . H1m
H21 H22 . . . H2m
. . . . . . . . . . . .
Hn1 Hn2 . . . Hnm
Teoria sistemelor – p. 30/31
Conexiunile sistemelor MIMOConexiunea serie
H = H2 · H1, for n systems H =
1∏
j=n
Hj
Conexiunea paralela
H = ±H1 ± H2
Conexiunea cu reatie
H = (1 ∓ Hd · Hr)−1 · Hd
Teoria sistemelor – p. 31/31