Ecuatii diferentiale - University of GalațiAdv... · Web viewCa şi în cazul ecuaţiilor...

Aplicaţiile funcţiilor Bessel

1. 1.Ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul I

Ecuaţiile diferenţiale sunt acele ecuaţii care conţin derivatele sau diferenţialele a 1-n variabile.

1.1 1.2 Clasificarea ecuaţiilor diferenţiale

Definiţia 1: O ecuaţie diferenţială ordinară reprezintă ecuaţia diferenţială în care toate derivatele sunt derivate ordinare (simple) a una sau mai multe variabile dependente în raport cu o singură variabilă independentă.

Definiţia 2: O ecuaţie cu derivate parţiale reprezintă o ecuaţie ce conţine cel puţin o derivată parţială a unei variabile dependente.

Definiţia 3: Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este egal cu ordinul celei mai mari derivate parţiale ce apare în ecuaţie.

Definiţia 4: O ecuaţie diferenţială este liniară în raport cu una sau mai multe variabile dependente dacă şi numai dacă fiecare termen al ecuaţiei ce conţine una din variabile sau oricare din derivate este de ordinul 1 în acea variabilă şi derivatele sale.

1.2 1.3 Soluţiile ecuaţiilor diferenţiale

Soluţia unei ecuaţii algebrice sau transcendente de o singura variabilă este un număr ce satisface ecuaţia respectivă. Soluţiile ecuaţiei diferenţiale sunt funcţii (şi nu numere) ce satisfac ecuaţia.

Definiţia 1: Soluţia unei ecuaţii diferenţiale pe un domeniu R este un set de funcţii care, atunci când sunt substituite variabilelor dependente din ecuaţia diferenţială reduc ecuaţia la o identitate în variabila independentă.

Fiecare soluţie independentă a unei ecuaţii diferenţiale reprezintă o soluţie particulară.

O soluţie generală a unei ecuaţii diferenţiale este formată dintr-un set nevid de soluţii specificat printr-o expresie ce conţine cel puţin un parametru şi care devine reprezentarea unei soluţii particulare atunci când parametrii sunt înlocuiţi cu numere. O soluţie este singulară faţă de o soluţie generală dacă nu aparţine acelui set de soluţii. Setul tuturor soluţiilor reprezintă o soluţie completă.

Pentru ecuaţia de ordinul I soluţia particulară se obţine atunci când o soluţie y = y(x) satisface şi unele condiţii suplimentare, de regulă de forma y(x0) = K0, cu x0, K0 daţi.

1


Aceasta problemă reprezintă o problemă cu valori iniţiale deoarece în multe cazuri variabila independentă este timpul iar condiţiile suplimentare sunt specificate pentru un moment dat condiţii suplimentare care sunt condiţii iniţiale.

În general soluţia completă a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n conţine n constante arbitrare.

1.3 1.7 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I exacte

Ecuaţiile pot fi scrise în forma:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1.1)

Sau sub forma cu derivate

y' = f(x,y) (1.2)

o formă diferenţială este o diferenţială exactă dacă şi numai dacă, în fiecare punct al unui domeniu ea reprezintă diferenţială totală a unei funcţii f:

df = dx + dy (1.3)

Definiţia 1: O ecuaţie M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 este o ecuaţie diferenţială exactă dacă şi numai dacă există o funcţie f astfel încât M = f/x şi N = f/y pe întreg domeniul.

Teorema 1: Dacă M = f/x şi N = f/y sunt continue pe un domeniu R, atunci ecuaţia diferenţială M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 este exactă dacă şi numai dacă: = pe domeniul R.

Corolar : Dacă ecuaţia M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 este exactă pe domeniul R atunci pentru un punct oarecare (x0, y0)R sau:

(1.4)

este o soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale.

Fiecare ecuaţie de ordinul I care are o familie de soluţii poate fi făcută exactă prin înmulţirea cu un factor convenabil ales numit factor integrant.

1.4 1.9 Ecuaţii de ordinul I separabile

În unele cazuri ecuaţiile diferenţiale de ordinul I pot fi reduse prin operaţii algebrice la forma f(x)dx + g(y)dy = 0.

Caracteristica acestor ecuaţii este aceea că variabilele x şi y sunt separate una de alta astfel încât x apare într-un singur termen diferit de zero iar y în celălalt.

Definiţia 1

O ecuaţie diferenţială separabilă reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul I care este algebric reductibilă la o formă diferenţială standard în care fiecare din termenii nenuli conţine exact o variabilă. Această ecuaţie se rezolvă direct prin integrare.

Pentru a descoperi dacă o ecuaţie este separabilă se procedează astfel:

1. Se grupează coeficienţii celor doua diferenţiale şi se încearcă punerea sub forma:

2


f(x)G(y)dx = F(x)g(y)dy (3) (1.5)

2. Se rezolvă în raport cu o derivată şi se compară rezultatul cu:

dy/dx = M(x)N(y)(4) (1.6)

(1.7)

(1.8)

1.5 1.10 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I omogene

Dacă toţi termenii din funcţia M(x,y) şi N(x,y) din ecuaţie în forma standard diferenţială:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1.9)

A unei ecuaţii diferenţiale de ordinul I generală sunt de acelaşi grad total în variabilele x şi y atunci oricare din substituţiile y = ux sau x = vy va reduce ecuaţia la una separabilă. Dacă M(x,y) şi N(x,y) au proprietatea că pentru toate valorile pozitive ale lui , atunci în locul lui x scriem x şi în locul lui y vom scrie y, rezultând expresia nM(x,y) şi nN(x,y) atunci ecuaţia poate fi redusă la o ecuaţie separabilă prin înlocuirea y = ux sau x = vy.

Funcţiile care au proprietatea că substituie lui x valoarea x şi lui y valoarea y , >0 produc forma originală multiplă cu n se numesc funcţii omogene de ordin n.

1.6 1.11 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I liniare

Definiţia aproximativă: Reprezintă ecuaţii ce nu conţin produse , puteri sau alte combinaţii neliniare de y sau y'. Forma generală este:

(1.10)

Rezolvarea acestui tip de ecuaţii se face parcurgând următorii paşi:

se calculează factorul integrant e

se multiplică membrul drept al ecuaţiei cu acest factor şi se scrie membrul stâng ca o derivată a lui y înmulţit cu factorul integrant

se integrează şi se rezolvă ecuaţia integrală pentru y.

1.7 Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale de ordinul I

1.7.1 Exerciţiul 4, pg. 49Se consideră o ţeavă de rază r0 ce transportă un fluid la temperatura T0, ţeava fiind acoperită cu o izolaţie de grosime a cărei temperatură exterioară este constantă T1. Să se determine expresia pierderilor de căldură prin izolaţie în regim staţionar.

Căldura transmisă printr-o suprafaţă de rază r(r0,r1) ,(unde r1 = r0 +w) este:

Q = (2rl) [W] (1.11)

3


dT = T = ln r + C

Pentru determinarea constantei C se pune condiţia la limită că pentru r = r0; T = T0 şi obţinem:

(1.12)

Prin înlocuire şi grupare se obţine;

(1.13)

Dacă se pune şi a doua condiţie la limită şi anume r = r1 , T = T1 atunci:

, [W/m] (1.14)

Pentru a determina distribuţia temperaturii în izolaţie se înlocuieşte Q în expresia lui T;

T = T0 + (T - T0) (1.15)

1.7.2 Exerciţiul 5Se consideră un fluid care circulă printr-o conductă cilindrică de diametru interior 2a şi lungime l. Presiunea hidrostatică la intrare şi ieşire din conductă sunt p0 şi p1. Dacă se presupune curgerea laminară, să se determine profilul vitezei de curgere în funcţie de raza r măsurată din axa conductei.

În cazul curgerii laminare forţa ce apare între două straturi alăturate este proporţională cu suprafaţa de contact s dintre ele şi cu gradientul de viteză v/n perpendicular pe direcţia de curgere.

;- coeficient de viscozitate

Deoarece profilul de curgere este circular simetric este convenabil să analizăm forţele ce acţionează asupra fluidului pe un cilindru de rază interioară r şi grosime r.

Se vor considera doar forţele exterioare ce acţionează asupra acestei suprafeţe, paralel cu axa x.

Deoarece suprafaţa cilindrului pe care acţionează aceste forţe are aria S = 2lr rezultă că forţele de viscozitate distribuite pe interiorul acestei suprafeţe sunt:

F = |(2rl)'(r)| (1.16)

Această forţă acţionează în direcţia x pozitivă deoarece viteza de curgere creşte spre centrul ţevii adică v'(r)<0.

Considerând aceste forţe drept pozitive sau negative după cum acţionează faţă de direcţia x , forţa de viscozitate interioară are valoarea: -(2rl)'(r).

Pe de altă parte forţa de viscozitate distribuită pe suprafaţa exterioară a cilindrului este o forţă negativă ce acţionează în sens negativ pe direcţia x, pe o suprafaţă de arie 2l(r+dr), în timp ce gradientul de viteză este v'(r+r). Această forţă este:

F' = (2l)(r+ r)'(r + r) (1.17)

Forţele hidrostatice acţionează la ambele capete ale cilindrului; secţiunea acestor capete este 2rr.

Este deci o presiune pozitivă p0(2r)r ce acţionează la intrare şi o forţă negativă -p1(2r)r ce acţionează pe suprafaţa de ieşire. În regim staţionar, suma forţelor de mişcare şi hidrostatică trebuie să fie zero :

4


(1.18)

Pentru a determina coeficienţii C1 şi C2 se pun condiţiile la limită:

r = 0 ; v- finită rezultă C1 = 0 ; r = a , v = 0 rezultă:

(1.19)

Expresia finală a vitezei este :

5


2. 9.Ecuatii cu derivate parţiale (EDP)

2.1 9.5 Separarea variabilelor

2.1.1 Exemplul 1, pg. 498O foaie de metal coincide cu planul xy cu pătratul de coordonate (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Cele doua fete ale foii sunt perfect izolate iar foaia este atât de subţire încât transferul de căldura poate fi considerat bidimensional. Marginile paralele cu axa x sunt perfect izolate iar marginea din stânga este menţinută la o temperatură constantă = 0. Dacă pe marginea din dreapta se menţine o distribuţie a temperaturii astfel încât u(1,y) = f(y), să se găsească distribuţia de temperatură în întreaga foaie în regim staţionar.

Deoarece se cere să se găsească distribuţia de temperatură în regim staţionar adică după ce orice variaţie a acesteia în timp devine neglijabilă se poate considera că u/t = 0 şi că nu există surse interioare de căldură. Astfel ecuaţia căldurii se reduce la ecuaţia lui Laplace adică:

= 0 (2.20)

Pentru a separa variabilele din această ecuaţie şi a reduce problemă la rezolvarea a două ecuaţii diferenţiale ordinare se presupune o soluţie de forma u(x,y) = X(x)Y(y)

Prin diferenţiere (derivare), înlocuire şi împărţire cu produsul XY se obţine:

X"/X = -Y"/Y (2.21)

Se consideră că valoarea comună a celor două fracţii este o constantă care poate fi <, = ,>0.

a) dacă <0 şi doar dacă = -2,(>0):

X" = -2X şi Y" = 2Y (2.22)

X = Acos x + Bsin x şi Y = Ccosh y + Bsinh y (2.23)

iar u(x,y) = X(x)Y(y) = (Acos x + Bsin x)(Ccosh y + Dsinh y) (2.24)

Se ştie că pe marginea din stânga u(0,y) = 0

Dacă în ecuaţia precedenta considerăm x = 0 se obţine:

u(0,y) = A(Ccosh y + Dsinh y) = 0 , pentru orice y [0,1] (2.25)

Acest lucru se întâmplă dacă C = D = 0 dar atunci Y = 0 şi s-ar obţine doar o soluţie banală pentru u; în consecinţă trebuie ca A = 0. Astfel, dacă se include coeficientul B în constantele arbitrare C şi D se obţine:

u(x,y) = sin x (Ccosh y + Dsinh y) (2.26)

6


Să consideram acum coordonatele la limita pentru marginea superioară şi inferioară deoarece acestea sunt perfect izolate, înseamnă că gradientul de temperatură pe direcţia normală trebuie să fie zero în orice punct, deoarece astfel ar exista flux de căldură prin marginile respective. Derivând ultima forma a soluţiei în raport cu y rezultă:

= sin x(Csin y + Dcosh y) (2.27)

dacă pentru y = 0 şi y = 1 se egalează derivata cu zero şi se obţine:

sin x(D) = 0 şi sinx(Csinh + Dcosh y) (2.28)

Aceste condiţii sunt respectate pentru orice 0 < x < 1 dacă D = 0 (pentru a satisface prima ecuaţie) şi dacă Csinh = 0 pentru a satisface a doua ecuaţie.

Deoarece sinh nu poate fi zero pentru orice valoare pozitivă a lui rezultă C = 0 dar din nou dacă C şi D sunt ambii zero rezulta că Y = 0 şi se obţine soluţia banală pentru Y astfel varianta cu < 0 nu conduce la soluţii viabile.

b) Dacă = 0 rezultă X" = 0 rezultă că X = Ax + B şi Y" = 0 rezultând că = 0 rezultând că Y = Cy +D.

u(x,y) = X(x)Y(y) = (Ax + B)(Cx + D) (2.29)

Dacă se pune condiţia u(0,y) = 0 rezultă că B(Cy + D) = 0

Pentru a nu se obţine soluţia banală trebuie ca B = 0 u(x,y) = x(Cy + D) după ce coeficientul A a fost inclus în constantele C şi D.

Pentru a pune condiţia marginilor izolate se calculează raportul = Cx

Acest raport va fi zero pentru y = 0 şi y = 1 dacă şi numai dacă C = 0. Astfel soluţia se reduce la o soluţie de forma (necesară) a unui produs u(x,y) = Dx.

Pentru a se obţine ulterior o formă convenabila se înlocuieşte D = C0/2 u0(x,y) = ½ C0x.

c) Dacă > 0 , = 2(>0) se obţine

X" = 2X X = Acosh x + Bsinh x (2.30)

Y" = -2Y Y = Ccos y + Dsin y (2.31)

u(x,y) = X(x)Y(y) = (Acosh x + Bsinh x)( Ccos y + Dsin y) (2.32)

Din condiţia u(0,y) = 0, valabilă pentru marginea din stânga se obţine:

A(Ccos y + Dsin y) = 0 (2.33)

De unde rezultă A = 0, obţinându-se după includerea lui B în coeficienţii C şi D:

u(x,y) = sinh x( Ccosy + Dsiny) (2.34)

Pentru a pune condiţia de izolare a marginilor superioară şi inferioară se calculează şi pentru y = 0 şi y = 1 se egalează cu zero şi se obţine:

sinh x(Dx) = 0 şi sin x(- Csin + Dcos ) = 0 (2.35)

pentru orice 0<x<1 se obţine soluţia nebanală dacă şi numai dacă D = 0 şi Csin = 0

deoarece C = D = 0 Y = 0 şi u = 0 ceea ce înseamnă ca C 0 şi deci sin = 0 sau n = n , n = 1,2,3,…

Acestea sunt singurele valori ale lui pentru care se obţin pentru u(x,y) = X(x)Y(y) o soluţie nebanală. Cu alte cuvinte pentru fiecare n şi pentru nici o altă valoare a lui exista un produs de forma

7


un(x,y) = Cnsinh nx cosny = Cnsinh nx cos ny (2.36)

care satisface ecuaţia lui Laplace şi cele trei condiţii la limită:

u(0,y) = 0, u/y|x = 0 = 0 şi u/y|x = 1 = 0 (2.37)

Ultima condiţie şi anume că pe marginea din dreapta distribuţia temperaturii să fie de forma u(1,y) = f(y) nu poate fi satisfăcută de nici un produs de soluţii individuale obţinut anterior. De fapt dacă se pune x = 1 se obţine: Cn sinh n cos ny = f(y), care nu poate fi o funcţie arbitrară de y. Astfel în final se formează o serie infinită a tuturor soluţiilor de tip produs inclusiv ½ C0x.

(2.38)

Trebuie determinat coeficientul C astfel încât funcţia definită de această serie să se reducă la o anumită distribuţie de temperaturi f(y) pentru x = 1.Aşadar trebuie ca

(2.39)

Se observă că probabil se reduce la dezvoltarea funcţiei f(y) într-o serie de cos, cu coeficientul Cnsinh (n) pe intervalul (0,1). Se obţine:

(2.40)

Având coeficienţii Cn determinaţi soluţia formală a problemei este acum completă.

2.1.2 Exemplul 2, pg. 500O bară de lungime l are suprafaţa laterală perfect izolată şi este atât de subţire încât fluxul de căldură poate fi considerat unidimensional. Temperatura iniţială este de 100 ºC în întreaga bară. La momentul t = 0, temperatura capătului din stânga al barei este redusă brusc la 50 ºC şi menţinută la această temperatură în timp ce temperatura capătului din dreapta este menţinută la 100 ºC. Să se determine temperatura în orice punct al barei pentru orice moment de timp ulterior.

Rezolvare

Este necesar rezolvarea ecuaţiei unidimensionale a căldurii: , cu condiţia la limită

u(0,t) = 50 şi u(l,t) = 100 şi condiţia iniţială u(x,0) = 100.

Dacă se presupune o soluţie de tipul unui produs u(x,t) = X(x)T(t), prin diferenţiere ,înlocuire şi împărţire la XT se obţine:

X"/X = a2T'/T = care poate fi >, = ,<0.

a) Dacă = 2 > 0 ( >0)

X" = 2X X = Acosh x + Bsinh x şi T' = T/a2. (2.41)

X = Acosh x + Bsinh x şi T = Cexp(2t/a2) (2.42)

Iar u(x,t) = X(x)T(t) = (Acosh(x)+Bsinh(x))(Cexp(2t/a2))

Această soluţie trebuie respinsă imediat deoarece datorită funcţiei exponenţiale la puterea pozitiva a lui t rezultă că temperatura creşte fără limită dacă t, lucru imposibil în condiţiile date de problemă.

8


b) Dacă = 0 X" = 0 X = Ax + B şi T' = 0 T = C u(x,t) = X(x)T(t) = C(Ax+B) = Ax+B dacă C a fost inclus în A şi B

La capătul din stânga există condiţia u(0,t) = 50 B = 50.

La capătul din dreapta există condiţia u(l,t) = 100 Al+50 = 100 A = 50/l u0(x,t) = 50+50x/l care reprezintă o soluţie a ecuaţiei căldurii care satisface ambele condiţii la limită (deşi nu satisface condiţia iniţială).

c) Dacă = -2 < 0 atunci:

X" = -2X X = Acos x+Bsin x (2.43)

T' = -2T/a2 T = C exp(-2t/a2) rezultă că

u(x,t) = X(x)T(t) = (Acos x+Bsin x)exp(-2t/a2) (2.44)

unde din nou C a fost inclus în coeficienţii A şi B.

Dacă încercăm să impunem condiţiile la limită ale problemei pentru soluţia obţinută se pare că:

50 = A exp(-2t/a2) şi 100 = (A cos l+B sin l)exp(-2t/a2),

şi în mod clar nu există valori ale constantelor A şi B pentru care această ecuaţie să fie satisfăcută oricare ar fi t. De fapt este necesar ca produsul soluţiilor să fie 0 pentru x = 0 şi x = l.

Deoarece avem deja soluţia u(x,t) = 50+50x/l care ia valoarea 50 pentru x = 0 şi 100 pentru x = l şi deoarece în final trebuie să formăm o serie din acesta şi toate celelalte soluţii produs pentru a satisface condiţia iniţială de temperatură, este clar că dacă cea din urma este 0 la fiecare capăt al barei, atunci pentru x = 0 şi x = l întreaga serie se reduce la:

u(0,t) = 50+0+0+… = 50 şi u(l,t) = 100+0+0+… = 100.

Dacă se impun aceste noi condiţii, adică u(0,t) = 0 şi u(l,t) = 100 pe care trebuie să le satisfacă celelalte soluţii produs se obţine:

Aexp(-2t/a2) = 0 şi (Acos l+Bsin l)exp(-2t/a2) = 0

Din prim rezultă că A = 0 iar din a doua dacă se evită soluţia banală obţinută din B = 0 se obţine sin l = 0 n = n/l, n = 1,2,3.

Familia de soluţii produs este:

, n = 1,2,3…. (2.45)

Astfel prin formarea unei serii infinite a acestor soluţii, împreună cu soluţia particulară precedentă se obţine:

(2.46)

Punând condiţia iniţială u(x,0) = 100 se obţine în care t = 0

(2.47)

Astfel coeficienţii B sunt pur şi simplu coeficienţii dezvoltării în serie de sinusuri a diferenţei

şi deci şi de aici prin integrare Bn =

100/n în final, prin înlocuire se obţine soluţia problemei:

9


(2.48)

2.2 9.6.Functii ortogonale şi probleme de dezvoltare generală

2.2.1 Ex1., pg. 505O bară cilindrică subţire de lungime l are suprafaţa curbată perfect izolată termic. Capătul din stânga este menţinut la temperatura constantă u = 0, iar cel din dreapta radiază liber în aer la temperatura constantă u = 0. Distribuţia iniţială a temperaturii în bară este: u(x,0) = f(x). Să se determine temperatura în bară la orice moment de timp ulterior.

RezolvareDeoarece bara este foarte subţire iar suprafaţa laterală este perfect izolată, se presupune că în orice punct al unei secţiuni transversale temperatura este constantă şi că fluxul de căldură prin bară se transmite în întregime pe direcţia x. Astfel se constată că avem de rezolvat ecuaţia căldurii, scrisă pentru flux bidimensional fără surse interioare de căldură, adică:

= a2 (2.49)

Pentru capătul din stânga avem condiţia la limită u(0,t) = 0. Pentru capătul din dreapta avem transfer de căldură prin radiaţie, pentru care trebuie formulată o expresie analitică a soluţiei înainte de a trece la rezolvarea propriu zisă a problemei. Conform legii lui Stefan cantitatea de căldură radiată este:

dQ = (T4 - Ta4)dS dT (2.50)

T - temperatura absolută a suprafeţei radiante; Ta - temperatura absolută a mediului înconjurător.

Această căldură ajunge la suprafaţa radiantă prin conducţie din interiorul barei:

(2.51)

- conductivitatea termică; dS' - elementul de suprafaţă similar cu dS situat pe o distanţă infinitezimală de acesta către interiorul barei; T/u - gradientul de temperatură pe o direcţie perpendiculară pe dA'.

Egalând cele două expresii pentru dQ se obţine:

-dS'dt = (T4 - Ta4)dSdt -= (T4 - Ta

4) (2.52)

Dacă se dezvoltă (T4 - T04) în puteri ale lui (T4 - T0

4)/T0 se obţine că:

(2.53)

Se presupune T - T0 << T0, astfel încât se pot neglija toţi termenii cu excepţia primului. Se obţine:

(2.54)

unde: h =

10


Pentru T0 = ct. h = ct. Pentru problema noastră, normala la suprafaţa radiantă (adică capătul din dreapta al barei) este chiar axa x. Astfel, dacă notăm cu = T - T0 T0 se consideră valoare de referinţă, cea de-a doua condiţie la limită devine:

-= -= hu(l,t) (2.55)

Se presupune că soluţia este de tipul unui produs de forma:

u(x,t) = X(x)T(t)

Prin separarea variabilelor se obţine că:

X"/X = aT'/T = = ct

a. > 0 la t, T creşte dincolo de limite - imposibil;

b. = 0 X" = 0 X = Ax + B iar T' = 0 T = C, deci u(x,t) = X(x)T(t) = (Ax + B)C = Ax + B

Pentru ca această soluţie să poată fi luată în considerare este necesar ca

u(0,t) = 0 B = 0 (2.56)

mai mult -u' = hu devine pentru x = l:

-A = hAl A = 0 (deoarece hl = 0)

Astfel = 0 soluţie banală se respinge.

c. = -2 < 0 ( > 0)

În acest caz avem:

c - inclus în A şi B

Condiţia la limită la capătul din stânga devine:

Condiţia la limită la capătul din dreapta devine (x = l)

(2.57)

B = 0. Deoarece şi A = 0 soluţia banală

unde z = l şi =

Pentru a determina soluţiile acestei ecuaţii se consideră graficele celor două funcţii: y 1 = tan z, şi y2 = -z. Abscisele punctelor de intersecţie ale acestor curbe sunt valorile lui z pentru care y1

= y2 şi soluţiile ecuaţiei. Există un număr infinit de soluţii zn care nu sunt echidistante. Pentru n: zn . Din fiecare zn se obţine valoarea corespunzătoare a lui n = şi soluţia asociată:

(2.58)

Soluţia generală este suma soluţiilor particulare, adică;

11


(2.59)

pentru care trebuie determinat coeficientul Bn astfel încât să fie satisfăcuta condiţia

(2.60)

Pentru a satisface condiţia iniţiala trebuie să dezvoltam o funcţie arbitrara intr-o serie infinita de funcţii cunoscute determinate de o ecuaţie diferenţială şi un set de condiţii la limită. Cu toate acestea, deşi funcţiile din termenii dezvoltării sunt sinusoidale şi valorile ce apar în argumentele lor se găsesc la intervale incomensurabile astfel încât seria căutată nu este o serie Fourier.

Teorema (4): Fie E.D.

(2.61)

unde r(x) şi p(x) sunt continue pe intervalul a x b, iar q(x) este continuă cel puţin pe a<x<b. dacă 1, 2, 3, …sunt valori distincte ale parametrului pentru care există soluţii nebanale ale acestei ecuaţii având derivate de ordinul I continue şi satisfăcând condiţia la limită: a1y(a) - a2y'(a) = 0 şi b1y(b) - b2y'(b) = 0 unde a1, a2, b1, b2, sunt constante oarecare astfel încât a1 şi a2

nu sunt simultan 0, iar b1 şi b2 nu sunt simultan 0, şi dacă y1, y2, y3, sunt soluţii nebanale corespunzătoare acestor valori , atunci funcţiile {yn(x)} formează un sistem ortogonal faţă de funcţia pondere pe intervalul (a,b).

În cazul nostru este necesar dezvoltarea temperaturii iniţiale u(x,0) = f(x) într-o serie de forma

,unde funcţiile din setul {sin nx}sunt soluţiile E.D. x" + 2x = 0 care satisface

condiţiile iniţiale x(0) = 0 şi hx(l) + x'(l) = 0.

Această ecuaţie şi condiţiile la limită respectă condiţiile teoremei precedente. Dacă se foloseşte 2 în loc de se obţine:

r(x) = 1; q(x) = 0; p(x) = 1; a = 0; b = 1; a1 = 1; a2 = 0; b1 = h; b2 = -1;

Deci, conform teoremei 4, funcţiile {sin nx} formează un set ortogonal faţă de funcţia pondere p(x) = 1 pe intervalul (0,l). Pentru a determina valorile lui Bn se înmulţeşte ecuaţia cu sin nx şi se integrează termen cu termen de la 0 la l. Datorită ortogonalităţii funcţiei {sin nx}, fiecare integrala din membrul drept dispare cu excepţia celor al căror integrant conţine sin2 nx.

Deci:

Bn =

sau, evaluând integrala de la numitor şi ţinând cont că zn = nl satisface condiţia sin zn = - zn

cos zn se obţine: Bn =

Cu expresia lui Bn determinată, soluţia formală a problemei de transfer de căldură este acum completă.

2.2.2 Ex.4., pg. 522O placă de metal formată din două bucăţi cu conductibilităţile termice 1 şi 2 are coordonatele colţurilor în planul xy: (-a1, 0), (-a1, b), (-a2, 0), (-a2, b). Marginile plăcii care sunt paralele cu axa

12


y sunt menţinute la temperatură egală cu zero. Marginea de jos este perfect izolată termic iar marginea de sus este menţinută la temperatura T0. Dacă se presupune că fluxul de căldură prin placă este strict bidimensional, să se găsească distribuţia staţionară a temperaturii în placă.

Reyolvare. Pentru condiţia bidimensională se foloseşte ecuaţia Laplace: .

Se consideră o soluţie de tipul unui produs de forma u(x,y) = X(x)Y(y) care, prin separarea variabilelor duce la: X"/X = -Y"/Y = . Cu toate acestea, datorită proprietăţilor termice diferite ale celor 2 bucăţi, ecuaţia în X trebuie rezolvată independent pe cele două intervale -a1 < x < 0 şi 0 < x < a2 iar cele două soluţii trebuie puse în concordanţă astfel încât atât variaţia temperaturii cât şi cea a fluxului termic trebuie să fie continue pentru X = 0.

a.

Condiţia la limită pentru marginea din stânga:

Similar, din condiţia se obţine:

Pentru ca temperatura să aibă o variaţie continuă în x = 0 trebuie ca:

În final, pentru a avea continuitate a fluxului termic în X = 0 trebuie ca:

Deoarece , , , şi >0 iar şi >0 pentru orice argument mai mare ca zero rezulta din ultima ecuaţie că K = 0. Astfel presupunem soluţia banală

b. = 0 similar se arată că şi în acest caz se obţine soluţia banală

c.

Punând condiţia la limită pentru marginea izolată, adică:

13


procedând exact ca în cazul a se obţine ca din condiţiile la limită:

şi din condiţia că temperatura să fie continuă în 0 rezultă:

Condiţia ca fluxul de căldura să fie continuu în x = 0 conduce la:

Dacă K = 0 se obţine soluţia banală. Trebuie deci ca:

Aceasta este ecuaţia caracteristica pentru problema noastră. Pentru rădăcinile sale (care sunt simple şi distincte) şi pentru nici o altă valoare a lui , Ecuaţia lui Laplace care satisface toate condiţiile problemei cu excepţia celei referitoare la marginea superioară, are soluţii nebanale. Mai precis, aceste soluţii sunt:

unde

Nici una dintre aceste soluţii nu poate îndeplini singură condiţia pentru marginea superioara. Din acest motiv, ca de obicei formăm seria infinită:

şi încercam să determinăm coeficienţii Kn astfel încât

pentru y = b, seria să fie dezvoltarea funcţiei .

Pentru a face acest lucru este necesar ca funcţiile să fie ortogonale, dar datorită condiţiilor interne pentru. x = 0,acest lucru nu poate fi dedus din teorema (4). Cu toate acestea, făcând o presupunere rezonabilă şi anume că Xn' sunt ortogonale pe în raport cu funcţia

pondere

Sugerată de condiţia de continuitate a fluxului termic în x = 0 se poate demonstra că într-adevăr aşa stau lucrurile. De fapt, dacă se pleacă de la ecuaţiile:

satisfăcute de oricare 2 funcţii X şi înmulţind prima ecuaţie cu p(x)Xn şi pe a doua cu p(x)Xm, scăzând rezultatele şi integrând obţinem:

(2.62)

Împărţind domeniul de integrare, înlocuind valorile corespunzătoare ale lui p(x) şi integrând se obţine:

14


Din condiţiile la limita ale problemei pentru toate valorile lui n. Mai mult,

din condiţiile interne la x = 0 avem şi pentru toate valorile lui n. De aici, deoarece tot membrul drept al ultimei ecuaţii este egal cu zero funcţiile. Xn

sunt ortogonale faţă de funcţiile pondere p(x) pe intervalul .Folosind aceasta proprietate coeficienţii Kn

m pot fi calculaţi cu uşurinţă:

sau

unde sunt

rădăcinile ecuaţiei caracteristice.

Efectuând integrările şi calculând, folosind ecuaţia caracteristică pentru a simplifica, rezultă în final:

2.3 9.7. Alte aplicaţii

2.3.1 Ex.1, pg. 529O placă de metal cu feţele perfect izolate termic coincide cu un pătrat cu laturile egale cu unitatea în planul xy iniţial, temperatura în placa are o distribuţie de forma u(x,y,0) = g(x,y). Dacă în placă nu exista surse de căldură, să se găsească distribuţia temperaturii în placă, ştiind că marginile superioară şi inferioară sunt perfect izolate, marginea din stânga este menţinută la temperatura = 0, iar marginea pe din dreapta se menţine o distribuţie de temperatură de forma u(1,y,t) = f(y).

RezolvarePentru a afla soluţia problemei trebuie rezolvată ecuaţia căldurii în regim nestaţionar în coordonate bidimensionale:

(1) (2.63)

15


Soluţia u(x.y,t) este formata dintr-o componenta tranzitorie dependentă de timp şi o componentă staţionară către care va tinde întreaga soluţie pe măsură ce efectul tranzitoriu dispare.

(2) (2.64)

în care termenul staţionar satisface ecuaţia lui Laplace, iar termenul (x,y,t) satisface

ecuaţia căldurii (1). Mai mult, a fost determinată într-o problemă precedentă astfel încât. acum trebuie determinat doar (x,y,t).

Înainte de aceasta, să formulăm condiţiile la limită pe care trebuie să le satisfacă . Deoarece u(x,y,0) = 0 şi deoarece satisface deja condiţia ,rezultă că punând x = 0 în (2) avem (0,y,t) = 0.

Din de-a lungul marginii superioare.

În final, punând x = 1 şi apelând distribuţia de temperatura pe marginea din dreapta

sau

Ştiind că trebuie să satisfacă condiţiile omogene la limită:

(3) (2.65)

vom încerca să aflam funcţia prin separarea variabilelor din ecuaţiei (1).

Ecuaţia diferenţiala parţială pe care o vom rezolva are 3, în loc de 2 variabile independente, astfel încât vom presupune o soluţie de forma:

φ(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)

vom încerca să aflăm funcţia φ prin separarea variabilelor din ecuaţia (1). Ecuaţia diferenţială parţială pe care o vom rezolva, are trei în loc de două variabile independente, astfel încât, vom presupune o soluţie de forma:

φ(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)

Înlocuind în ecuaţia (1), împărţind cu XYT şi separând pe X se obţine:

(4) (2.66)

Deşi y şi t apar în acelaşi membru drept, ele sunt independente de x, şi astfel fiecare membru al acestei ecuaţii trebuie să fie o constantă, de exemplu . Astfel x satisface ecuaţia: X" = μx.

a) Dacă = 2>0 (λ>0): X = A cosh λx+B sinh λxDin prima condiţie la limită, ecuaţia (3), adică

φ(0, y, t) ≡ X(0)•Y(y)•T(t) = A Y(y)•T(t) = 0 A = 0

Similar, din a II-a condiţie la limita, adică:

φ(1, y, t) ≡ X(0)•Y(y)•T(t) = B Y(y)•T(t) = 0 B = 0

Astfel, când μ>0: X(x) = 0 şi se obţine doar soluţia banală.

b) μ = 0 : X = Ax+B. Din nou, din condiţia la limită A = B = 0

c) μ = -λ2<0 (λ>0): X = A cos x + B sin x

16


Din prima condiţie la limită rezultă A = 0. A doua condiţie implică B sin λY(y)T(t) = 0 şi deoarece B nu poate fi zero, trebuie să avem: sinh λ = 0 < = > λm = m, m = 1.2.3... Deci:

Xm(x) = sin mx, m = 1, 2, 3... (5) (2.67)

Continuând cu cealaltă ecuaţie ce rezultă din relaţia (4) se obţine:

= = m22 = a2 (6) (2.68)

Deoarece y şi t sunt independente, fiecare membru al acestei ecuaţii trebuie să fie o constantă, de exemplu η. Astfel Y satisface relaţia Y" = ηY

a) Dacă η = λ2>0 (λ>0): Y = C cosh νy+D sinh νy şi Y’ = ν C cosh νy + ν D sinh νyDin cea de-a treia condiţie la limita, ecuaţia (3), adică:

x,o,t≡X(x)•Y’(0)•T(t) = X(x)(νD) •T(t) = 0 = > D = 0

similar, din cea de-a IV-a condiţie la limită , ecuaţia (3), adică

x,1,t≡X(x)•Y’(1)•T(t) = X(x)( ν C sinh ν) T(t) = 0 = >C = 0

Deci, pentru η>0 Y(y) = 0 şi se obţine doar o soluţie banală.

b) η = 0 = >Y = Cy+D = >C = 0, D – oarecareDeci Y = D este o soluţie pentru termenul Y.

c) η = -λ2<0 (λ<0): Y = C cos νy + D sin νy şi Y’ = -ν C cos νy+ν D sin νy

Din a treia condiţie la limită rezultă D = 0; din a patra condiţie la limită rezultă

X(x)( -ν C sinν) T(t) = 0

Deoarece C≠0 = > sin ν = 0 < = > νn = nπ, n = 1, 2, ...

Deci Yn(y) = cos nπy, n = 1, 2, ..., sau incluzând soluţia Y = ct.

Yn(y) = cos nπy, n = 0, 1, 2,.... (7)

Din relaţia (6) se observă că T satisface ecuaţia: T’ = -T(m2+n2)π2/a2 = >

T = Emn exp[-(m2+n2) π2t/a2] (8) (2.69)

Combinând relaţia (5) şi (7) cu (8) se poate scrie explicit soluţia generală sub forma:

mn(x, y, t) = Emnsin mx cos ny exp[-(m2+n2) 2t/a2] (9) (2.70)

Dacă ne întoarcem la ecuaţia (3) şi punem condiţia t = 0 se va obţine că:

u(x, y, 0)≡ g(x, y) = (x, y, 0) + Ψ(x, y)

Astfel, pentru a satisface condiţia iniţială de temperatură în întreaga placă trebuie ca:

φ(x, y, 0) = H(x, y) unde H(x, y) = φ(x, y, 0) - Ψ(x, y)

Nici una din soluţiile obţinute în ecuaţia (9) pentru φ nu poate singură să se reducă la funcţia H(x, y) pentru t = 0. Trebuie deci să formăm cu ele o serie infinită şi să încercăm să facem ca această serie să se reducă la H(x, y) când t = 0. Dar acum, deoarece avem doi parametri independenţi, m şi n în soluţie, soluţia generală pentru φ va fi o serie dublă:

17


Pentru. t = 0 aceasta trebuie să se reducă la

în (10) suma interioară este o funcţie doar de n şi x de ex Gn(x), şi astfel ecuaţiei (10) poate fi

scrisă ca . Dar, pentru orice valoare particulară a lui x, aceasta este

doar dezvoltarea în serie Fourier de cos a lui H(x,y), deşi n acum este ca funcţie de y pentru 0≤y≤1.

Astfel se poate scrie

(11) (2.71)

Dar, prin definiţie şi aceasta este dezvoltarea în serie Fourier de sin a lui

Gn(x) pentru 0≤x≤1. Deci

(12) (2.72)

Dacă dorim putem înlocui pe Gn(x) din (11) în (12) şi obţinem:

Dacă se cunosc coeficienţii Emn, funcţia φ(x,y,t) este complet determinată.

Acum din componenta tranzitorie şi componenta staţionară se poate obţine soluţia u(x,y,t) cu relaţia (2).

2.3.2 EX.5, pg 537O bară subţire semifinită are suprafaţa laterală perfect izolată termic şi se întinde de la x = 0. Să se definească variaţia temperaturii în bară în timp şi spaţiu, dacă capătul din stânga este menţinut la o temperatura constantă şi iniţial temperatura iniţială în bară este de forma u(x,0) = f.

La fel ca în ex1, sect 9 b pag 505, funcţia u = B exp(-λ2t/a2)sin λx satisface ecuaţia căldurii şi condiţia la limită pentru capătul din stânga al barei, u(0,t) = 0.

În afara de cea de-a doua condiţie la limită nu avem nici o altă restricţie pentru λ; astfel în loc de o serie infinită de valori caracteristice discrete λn, cărora le corespund soluţiile:

putem avea o familie continuă de soluţii

unde constanta arbitrară B este acum asociată nu cu n ci cu parametrul continuu care, fără a reduce din generalitate, putem presupune că este nenegativ.

În acest caz nu se poate vorbi de o serie ∞ de soluţii particulare în locul însumării soluţiilor produs pentru fiecare valoare a lui n, încercam să integram după λ, obţinând:

(31) (2.73)

Se verifica uşor prin substituţie directă că această ec. este o soluţie directă a ec. căldurii .

18


Pentru a găsi u(x,t) se impune condiţia iniţială u(x,0) = f(x). Pentru t = 0

Aceasta este doar o formă a integralei Fourier (sec.7.7). Acolo discutând de ceea ce am numit

integrala Fourier de sinuşi s-a văzut (ec. 15.a, sect 7.7) că dacă , atunci

coeficientul B() este dat de formula

Introducând variabila fictivă s pentru. x în integrala care îl defineşte pe B(), iar apoi înlocuindu-l pe acesta se obţine soluţia:

2.3.3 Ex 6., pg. 538Să se găsească distribuţia temperaturii în regim staţionar într-o foaie subţire de material care coincide cu jumătatea superioară a planului x,y , dacă porţiunea axei x cuprinsa între x = -a şi x = a este menţinută la temperatura T0, iar restul axei x este menţinută la temperatura 0.

Problema trebuie să rezolve ecuaţia căldurii în regim staţionar, ec. Laplace, cu condiţia la

limita şi condiţia implicită ca pentru y0: u(x,y)0

Dacă se presupune o soluţie de forma u(x,y) = X(x)Y(y), înlocuind în ecuaţia Laplace şi separând variabilele se obţine:

a.

; din a doua condiţie la limită rezultă C = D = 0 se obţine soluţia banală.

b. Y = Cy+D C = D = 0 sol banală

c.

: Datorită simetriei problemei (u(x,y) = u(-x,y)) = B = 0. Rezultă că deoarece nu sunt condiţii suplimentare pentru λ , în loc să avem o serie infinită de valori caracteristice discrete λn cu soluţia produs corespunzătoare: un(x,y) = A(λ)e-λ

nycos λn , avem o familie continuă

de soluţii uλ(x,y) = A(λ)e-λycos λx, unde coeficientul A este asociat acum nu cu n ci cu parametrul continuu λ, care putem presupune că are o valoare pozitivă.

Ca în exemplul precedent (9.7 ex.5) nu se poate vorbi de o serie infinită de soluţiile produs pe care le-am dat în loc de a face suma lor după n; ele trebuie deci integrate după :

u(x,y) = uλ(x,y)d = A(λ)e-λycos x d (32) (2.74)

Dacă se pune condiţia la limită impusă pentru axa x avem:

u (x,0) = A(λ)cos λx dλ = f(x) =

19


Cu alte cuvinte ultima integrală trebuie să fie integrala în cos a funcţiei f. Deci, conform ecuaţiei 14.b, cap 7.7, funcţia coeficientului A() e dată de relaţia:

A(λ) = f(x)cos(λx)dx = T0 cos(λx)dx = sin λx = T0

Dacă înlocuim valoarea obţinuta pentru A în ecuaţia (32) se obţine soluţia problemei

u (x,y) = T0 e-λydλ

Limitele ultimei integrale precum şi prezenta factorului e-λy în integrant sugerează cu tărie o transformare Laplace. Folosindu-se această observaţie formula pentru soluţia u (x,y) poate fi considerată simplificată. Pentru aceasta să-l interpretăm pe λ ca fiind variabila t iar pe y ca variabila s, conform notaţiilor obişnuite pentru transformarea Laplace. Atunci u(x,y) este

transformata Laplace a lui T0 , iar aceasta transformată este conform T8 ,

secţiunea 8.4. egală cu:

= >

Astfel

u(x,y) = T0 dy = T0

Din figură se observă că = φ1 şi = 2.

Astfel u(x,y) = T0(φ1- φ2 ) = T0Ө conform teoremei unghiului extern, izotermele din aceasta

problemă sunt curbe pentru care Ө = ct.

Locul geometric al unui punct P cu proprietatea că A1PA2 = ct este un arc de cerc cu capetele în A1 şi A2.

Familia de izoterme este deci o familie de arce circulare de cerc, din semiplanul superior, cu capetele în A1 şi A2.

2.3.4 Exemplul nr. 3, [i, pg 548]Un cablu semi-infinit de lungime infinită de-a lungul căruia pierderile sunt neglijabile şi cu inductanţa neglijabilă este iniţial neparcurs de curent. La momentul t = 0 se aplică la capetele firului un semnal arbitrar de tensiune U(t). Aflaţi potenţialul e(x,t) în orice punct al cablului, la orice moment de timp ulterior t = 0.

2.3.4.1 RezolvarePentru această problemă trebuie să rezolvăm ecuaţia telegrafului Ec. (21a), Sec. 9.2,

20


(17) , unde a2 = RC (1.75)

cu condiţiile la limită

(18) u(0,t) = U(t) (1.76)

(19) u(x,t) limitat pentru x → (1.77)

şi condiţia iniţială

(20) u(x,0) = 0 (1.78)

Aplicând transformarea Laplace în raport cu t la ec (17) şi utilizând condiţia iniţială (20) obţinem

L{(u(x,t)} = a2sL{(u(x,t)} (1.79)

ca fiind ecuaţia diferenţială liniară verificată de transformarea potenţialului. Rezolvând această ecuaţie pentru L {(u(x,t)}, găsim soluţia

(21) L{(u(x,t)} = (1.80)

Deoarece u(x,t) şi deci şi L{(u(x,t)} trebuie să fie finite pentru x → , este necesar ca B(s) = 0. Pentru a determina A(s) observăm că atunci când x = 0,

L {u(x,t)} = L{u(0,t)} = L {U(t)} (1.81)

De aici, înlocuind în ecuaţia (21), găsim: A(s) = L {U(t)} şi

(22) L {u(x,t)} = L{U(t)} (1.82)

Pentru a determina u(x,t) va trebui să folosim teorema convoluţiei, dar înainte de a face aceasta, trebuie să ştim inversul lui . Până în acest moment nu am întâlnit nici o funcţie de t care să aibă în transformarea ei o funcţie de s. Se poate arăta că:

L (1.83)

Aşadar, luând b = ax şi aplicând integrala convoluţiei, obţinem din (22)

(23) u(x,t) = (1.84)

În particular, dacă U(t) este o pas de temperatură egal cu unitatea, deoarece U(t - ) = 1 pentru < t şi U(t - ) = 0 pentru > t, avem

u(x,t) = (1.85)

Acum, dacă schimbăm variabila de integrare din în z prin substituţia a2x2/4 = z2, atunci = a2x2/4z2, dy = -a2x2/2z3 dz, şi ultima integrală devine:

u(x,t) = = =(24) = - (1.86)

Prin substituţia z2 = v, prima integrală devine:

deoarece . Astfel, ecuaţia (24) poate fi scrisă şi sub forma

(25) u(x,t) = 1 - = 1 - erf (1.87)

unde

(26) (1.88)

Aceasta este aşa numita funcţie eroare, o funcţie tabelată care poate fi găsită în majoritatea cărţilor de tabele matematice. Uneori, în locul funcţiei eroare prezentate aici (care se foloseşte în fizică şi în inginerie), este prezentată integrala de probabilitate din statistica matematică:

() = (1.89)

21


Dacă în funcţie eroare se face substituţia z = w/, aceasta devine şi astfel se obţine relaţia erf() = 2() - 1.

2.4 9.9 Rezolvarea numerica a EDP, pg. 551

Deşi există un mare număr de probleme în care apar EDP pentru care poate fi găsită o soluţie exactă (de obicei sub forma unei serii infinite), există totuşi şi probleme cu EDP pentru care nu poate fi găsită o soluţie exactă. Pentru aceasta se folosesc metode numerice care găsesc o soluţie aproximativă. Metoda de rezolvare depinde de tipul EDP: eliptică, parabolică sau hiperbolică.

Ca şi în cazul ecuaţiilor diferenţiale ordinare (EDO) care trebuie rezolvate prin metode numerice, scopul este de a obţine valori aproximative ale soluţiei intr-un set convenabil de puncte. De obicei aceasta înseamnă aflarea valorilor soluţiei în punctele unui caroiaj rectangular care acceptă o porţiune a domeniului soluţiei. În figură sunt prezentate câteva posibilităţi:

a. caroiaj rectangular ce acoperă o regiune rectangulară în planul xy pentru care putem încerca să rezolvăm ecuaţia Laplace.

b. caroiaj rectangular suprapus peste o regiune oarecare

c. caroiaj rectangular suprapus peste o regiune rectangulară infinită a planului xt reprezentând domeniul pe care încercam să rezolvam de pildă ecuaţia unidimensională a căldurii

d. caroiaj rectangular ce acoperă o regiune rectangulară în spaţiu pentru care putem încerca să rezolvăm ecuaţia Laplace tridimensională.

În figurile a, c şi d punctele extreme ale caroiajului se afla pe marginea regiunii, acolo unde valorile soluţiei sunt date ca mărimi de intrare ale problemei.

Pentru regiunea rectangulară din figura b lucrurile nu stau la fel. Formulele generale pe care le vom obţine trebuie modificate pentru acele puncte ale caroiajului care sunt vecine marginii dar nu se află chiar pe aceasta.

Ideea fundamentală pe care se bazează rezolvarea numerică a EDP este următoarea: fiecare dintre derivatele parţiale ce apar în ecuaţie este înlocuită printr-o aproximare cu diferenţe finite. Când aceste diferenţe sunt evaluate în fiecare din punctele caroiajului se obţine un sistem de ecuaţii care poate fi rezolvat direct sau prin metode iterative.

Mai exact, într-un caroiaj plan coordonatele punctelor sunt p i = po + ih şi qj = q0 + jk, atunci din definiţia derivatei avem:

(2.90a)

(2.90b)

mai mult dacă se derivează de două ori formula de interpolare a lui Stirling (EC. 18,Sec 5.2))

se pune r>1 şi se neglijează toate diferenţele cu gradul >2, pentru p i = x rezulta:

22


(2.91a)

(2.91b)

Aceste observaţii vor fi folosite în continuare pentru rezolvarea ecuaţiilor eliptice, parabolice şi hiperbolice.

2.4.1 Cazul 1. Ecuaţii eliptice. Ecuaţii Laplace în coordonate bidimensionaleDacă se folosesc ecuaţiile 2 pentru a aproxima fiecare dintre derivatele parţiale din ecuaţiile

Laplace în coordonate bidimensionale adică se obţine ca o ecuaţie cu diferenţe

finite aproximând ecuaţia iniţiala relaţia;

Dacă se presupune că h = k se scoate fi,j sub forma:

(3) (2.92)

Valoarea lui f în orice punct din caroiaj este egală cu media aritmetică a valorilor lui f din cele 4 puncte alăturate. Configuraţia din figură se numeşte "stea". Dacă relaţia 3 se calculează pentru fiecare punct al caroiajului care nu este pe contur pentru care valorile iniţiale ale lui f sunt cunoscute, se obţine un sistem simultan de ecuaţii liniare cu necunoscutele f ij. Numărul de ecuaţii este egal cu numărul de puncte din reţea pentru care trebuie calculată valoarea lui f; cel puţin pentru regiunile rectangulare se poate arăta că acest sistem de ecuaţii are întotdeauna o soluţie unică nebanală. De obicei numărul punctelor şi deci şi cel al ecuaţiilor este cuprins intre câteva sute şi câteva mii; cu toate acestea fiecare ecuaţie este relativ simplă deoarece nu conţine mai mult de 5 necunoscute. Pentru a ilustra formularea şi rezolvarea unui astfel de sistem să determinăm distribuţia staţionară a temperaturii într-o regiune pătrată ca cea din figură folosind un caroiaj obţinut prin împărţirea fiecărei laturi în 4 parţi egale. Necunoscutele problemei sunt temperaturile în cele 9 puncte ale caroiajului care nu sunt pe contur şi în care temperatura nu este indicată prin condiţii la limită. De la început se observă că datorită simetriei problemei f11 = f31 , f12 = f32 şi f13 = f 33 astfel încât problema presupune de fapt rezolvarea a numai şase ecuaţii cu şase necunoscute: f11, f12, f13, f21, f22, f23. dacă se aplică relaţia 3 în fiecare din cele 6 puncte ale reţelei P11, P12, P13, P21, P22, P23 şi ţinând cont de simetrie şi de valorile pe contur se obţine pentru P11:

4f11- f01- f10- f21- f12 = 0 dar f01 = f10 = 0 rezultă

4f11- f21- f12 = 0 (4) (2.93)

Similar pentru punctele P12, P13, P21, P22, P23 se obţine respectiv:

4f12- f11- f22 – f13 = 0 (5) (2.94)

4f13- f12- f23 = 3/16 (6) (2.95)

4f21- 2f11- f22 = 0 (7) (2.96)

23

1

1

1

1

-4


4f22- f21- 2f12 – f23 = 0 (8) (2.97)

4f23- f22- 2f13 = 1/4 (9) (2.98)

Dacă se folosesc ecuaţiile 4, 5, 6, pentru a elimina f21, f22, f23 din ecuaţiile 7, 8, 9 se obţine sistemul :

15f11- 8f12+ f13 = 0

-8f11+16f12-8f13 = -3/16

f11- 8f12+15 f13 = 1

Rezultă apoi că

f11 = 0.0151 = f31 ; f21 = 0.0212

f12 = 0.0391 = f32 ; f22 = 0.0547

f13 = 0.0865 = f33 ; f23 = 0.1194

Valorile exacte determinate prin soluţia serie obţinuta prin metoda separării variabilelor sunt:

f11 = f31 = 0.0137; f12 = f32 = 0.0364; f13 = f33 = 0.0833

f21 = 0.0194; f22 = 0.0153; f23 = 0.1159

Prin această metodă pot fi rezolvate şi probleme în care de-a lungul unei porţiuni sau a întregului contur este folosită derivata în locul funcţiei însăşi.

Să presupunem că de-a lungul conturului AB al regiunii din figură, valoarea derivatei este de ori valoarea funcţiei aproximând derivată printr-o diferenţă, condiţia la limită = f devine = f

Astfel vom avea: sau . Dacă se aplică acum ecuaţia 3 de exemplu în P33

rezultă:

4f33- f43- f34 – f23 – f32 = 0 4f33- f33/(1- h)– 3/16 – f23 –f32 = 0

[(3-4h)/( 1-h)]. f33- f23- f32 = 3/16

De-a lungul unei margini/laturi izolate , = 0 şi în particular ultima relaţie devine:

3f33- f23- f32 = 3/16

În orice situaţie sistemul de ecuaţii obţinut astfel poate fi rezolvat la fel ca în cazul precedent.

Pentru a obţine relaţia corespunzătoare într-un punct al caroiajului apropiat de o margine neregulată, este convenabilă folosirea aproximaţiilor cu diferenţiale finite pentru derivate. Astfel să presupunem că în figură, punctele A şi B de pe contur se găsesc la o distanţă Ah şi Bh , unde B şi A sunt fiecare < 1. Folosind diferenţialele divizate de ordinul 2 pe direcţiile x şi y ca

aproximări pentru avem conform Ex. 26 sect 5.1 pagina 255, în care s-a demonstrat

că:

, ca:

şi

24


sau

(10) (2.99)

Aceasta este ecuaţia care va fi folosită în punctele caroiajului ale căror vecini imediaţi cad în afara limitelor regiunii.

Există şi altă metodă pentru determinarea prin aproximaţie cu diferenţe finite a Laplacianului şi poate fi folosita pentru determinarea valorii soluţiei în punctele caroiajului, acest lucru se face printr-o metoda iterativă ce decurge astfel: să ne reamintim că valoarea soluţiei într-un punct este media aritmetică a celor 4 valori învecinate. Astfel, după o estimare iniţială valorile soluţiei pentru fiecare punct al caroiajului, ele pot fi corectate şi îmbunătăţite prin deplasarea sistematică prin caroiaj şi înlocuirea fiecărei valori conform ecuaţiei 3. Când facem aceasta, valoarea corectată trebuie folosită imediat în calculele ulterioare. Desigur că în zonele cu margini neregulate trebuie folosită ecuaţia 10 pentru a corecta valorile soluţiei în acele puncte ale caroiajului ai căror vecini sunt în afara limitei. Ca o ilustrare a acestei metode, să reconsiderăm problema precedentă începând cu estimările prezentate în figura 9.24a, se obţine la o prima rafinare a valorii f13:

= 0.0919

Continuând deplasarea prin caroiaj după traseul indicat sau după oricare alt traseu folosind valorile corectate imediat de ele sunt disponibile (dar fără a mai ţine cont de simetria problemei) se obţin valorile din figura 9.24b.Valorile de deasupra reprezintă rezultatele după prima iteraţie iar cele de dedesubt reprezintă rezultatele după 5 iteraţii.

2.4.2 Cazul 2. Ecuaţii parabolice. Transfer de căldură unidimensional

Pentru ecuaţia unidimensională a căldurii , regiunea planului xt pentru care se caută

soluţia este întotdeauna infinită datorită creşterii infinite a timpului. Un caroiaj tipic pentru această situaţie a fost prezentat în figura 2.90c. ca o aproximaţie cu diferenţe finite a ecuaţiei căldurii folosim ecuaţia (1b) şi (2a), avem:

în mod clar se observă că ar fi convenabil să alegem h şi k astfel încât m = 1/2.

Valorile lui f pe contur sunt date iniţiale ale problemei; altfel încât condiţia iniţială impusă f(x,0) ne da valorile f00, f10, f20,..

Similar, condiţia finală de forma f(0,t) = g1(t) , f(l,t) = g2(t), unde g1 şi g2 sunt de obicei (dar nu obligatoriu) constante, furnizează valorile f01, f02, f03, … şi fl1, fl2, fl3,. Capetele izolate pot fi ele abordate aşa cum reiese din discuţia precedenta despre ecuaţiile Laplace.

Odată ce au fost determinate din condiţiile iniţiale valorile lui f în punctele matricei de pe contur aflarea soluţiei în restul matricei decurge într-un mod clar utilizând modelul de extrapolare din ecuaţia 11 care este prezentată în figura 9.25. Prima oară se calculează valorile f 11, f21, …,fl-1,1

folosind valorile cunoscute f00, f10, f20, …fl0. Apoi folosind aceste valori şi condiţiile la limită f01 şi fl1, vom merge mai departe prin calcularea valorilor lui f în punctele celui de-al treilea rând şi aşa mai departe.

25


3. 10. Funcţii Bessel şi polinoame Legendre

3.1 Aplicaţiile funcţiilor Bessel

3.1.1 Ex 3, pg. 609O nervură de metal de secţiune triunghiulară este ataşată de un perete pentru a îmbunătăţi transferul de căldură. Presupunând dimensiunile şi coordonatele din figura 10.10 să se găsească distribuţia temperaturii în nervură în regim staţionar dacă temperatura peretelui este w, iar nervura se răceşte liber în aer cu temperatura 0.

Analiza se va face considerând pentru nervură o lungime egală cu unitatea şi considerând că nervura este atât de subţire încât variaţiile de temperatură paralele cu baza sunt neglijabile; cu alte cuvinte se presupune că temperatura este aceeaşi în toate punctele unei secţiuni transversale paralela cu peretele. Legile fizice mecanice pentru formularea problemei sunt:

Legea Fourier a conducţiei termice: Fluxul de căldură transmis de o suprafaţă este proporţional cu aria acestuia şi cu gradientul de temperatură pe direcţie normală la suprafaţă.

Legea răcirii lui Newton: Fluxul de căldură transmis de o suprafaţă este proporţional cu aria suprafeţei şi cu diferenţa de temperatură dintre corp şi mediul înconjurător.

Constantele de proporţionalitate ale acestor legi sunt cunoscute drept conductivitate termică respectiv coeficient de convecţie.

Să considerăm bilanţul termic pentru o porţiune elementară a nervurii cuprinsă între x şi x+x. elementul primeşte căldură prin faţa din dreapta (dinspre perete) şi cedează căldură prin conducţie prin faţa din stânga şi prin convecţie prin faţa superioară şi inferioară. Căldura primită prin faţa din dreapta în unitatea de timp este conform Legii Fourier:

(aria) x (conductivitatea termică) x (gradientul de temperatură):

(3.100)

Similar, căldura cedată prin faţa din stânga este:xdx

duaxb

Conform legii lui Newton fluxul pierderilor de căldură prin faţa superioară şi inferioară este:

(aria) x (coeficientul de convecţie) x (temperatura suprafeţei (a aerului))

26


În regim staţionar fluxul de căldură primit trebuie să fie egal cu fluxul cedat adică:

Dacă se notează U = u-u0 şi 2 = 2a/bcos = /(sin), se obţine:

Această ecuaţie poate fi rezolvată imediat cu ajutorul corolarului de la Teorema 1, Sec 10.4, pagina 586 care spune că:

Dacă (1 - r)24b, ecuaţia diferenţială (xry')' + (axs + bxr-2)y are o soluţie completă de forma:

Y = x[c1Jv(x)+ c1Yv(x)]

unde: ; ; ;

Dacă a<0 Jv şi Yv se înlocuiesc cu Iv, respectiv Kv. Dacă v nu este întreg Yv, respectiv Kv pot fi înlocuite dacă se doreşte cu I-v, respectiv J-v.

Pentru problema noastră: y = U, a = -2, s = 0, b = 0, r = 1

; ; ;

Deoarece pentru x = 0 rezultă că c2 = 0

Din condiţiile la limită :u = w pentru x = a şi rezultă

(3.101)

3.1.2 Exemplul 4, pg. 610Un corp solid este format dintr-un semicilindru de rază r şi înălţime h (figura 10.11). Baza inferioară, suprafaţa curbată şi suprafaţa plană verticală sunt menţinute la temperatura constanta u = 0. Pe baza superioara temperatura este o funcţie cunoscută u(r,,h) = f(r,). Să se găsească temperatura în orice punct al corpului în regim staţionar.

Datorită naturii graniţelor corpului ar fi foarte convenabil să folosim ecuaţia căldurii în coordonate carteziene, obţinute la secţiunea 9.2. În schimb o vom folosi exprimată în coordonate cilindrice prin intermediul schimbărilor de variabilă:

x = r cos ; y = r sin ; z = z.

(5) (3.102)

Primul pas este să presupunem o soluţie produs de forma u(r,,z) = R(r) ()Z(z), pe care să o înlocuim în ecuaţia (5) pentru a încerca să separam variabilele. Se obţine :

27


, (3.103)

unde valoarea comuna 1 trebuie să fie o constantă, deoarece variabilele ce apar în ambii membri ai ecuaţiei sunt independenţi.

a. Dacă 1 = -2 < 0 ( > 0) "/ = 2 = A cosh + B sinh .

Din condiţiile la limită :u(r,0,z) = R(r)(0)Z(z) = 0 şi u(R,,z) = R(r)()Z(z) = 0.

Aceleaşi relaţii sunt valabile pentru orice valori ale lui r şi z aşa cum se specifică în condiţiile la limită doar dacă (0) = () = 0. (6)

(0) = 0 A = 0, () = 0 B sinh = 0 cum = 0 B = 0

Varianta 1 < 0 şi trebuie respinsă.

b. Dacă 1 = 0 " = 0 = A + B

Din (0) = () = 0 A = B = 0 soluţia banală.

c. Dacă 1 = 2 > 0 ( > 0) : "/ = -2 = A cos + B sin ; (0) = 0 A = 0 () = 0 B sin = 0 deoarece B 0 s-ar obţine din nou soluţia banală sin = 0 = 1, 2, 3,.., n. Pentru se obţine familia de soluţii n() = sin n.

cu 1 = 2 = n2 .

Din nou deoarece r şi z sunt variabile independente , valoarea 2 trebuie să fie constantă.

a. 2 = -2 < 0 ( > 0).

Deoarece grupul de termeni care îl conţine pe Z este mai simplu decât cel care îl conţine pe R s-ar putea crede că este mai simplu să rezolvam ecuaţia sub forma Z"/Z = 2. Cu toate acestea nu simplitatea termenilor înşişi, ci natura condiţiilor la limita determina modul în care se continua rezolvarea. În mod clar se poate pune condiţia R(b) = 0 odată ce s-a aflat R, în timp ce condiţia u = f(r,) atunci când z = h nu poate fi impusă direct lui Z, ci trebuie satisfăcuta în final de către o dezvoltare în serie a tuturor soluţiilor produs.

care reprezintă exact ecuaţia Bessel modificată de ordin n.

Deci : R = CIn(r) + DKn(r) când r = 0; Kn(r) = ; deci pentru a păstra o temperatură finită în axa cilindrului trebuie ca D = 0. de asemenea pentru a respecta condiţiile la limită impuse:

u(b,z,) = R(b)Z(z)() = 0 pentru orice z şi trebuie ca R(b) = CIn(b) = 0 dar funcţia Bessel modificata În nu este niciodată 0 cu excepţia poate a originii; deci ultima condiţie este respectată doar dacă C = 0, dar cu C = D = 0 se obţine soluţia banală şi deci 2 < 0 se respinge.

b. 2 < 0 rezulta:

Aceasta nu reprezintă o ecuaţie de tip Bessel ci o ecuaţie de tip Euler.

Prin schimbarea obişnuită de variabilă: r = ev sau v = ln r rezultă:

28


Pentru a păstra o temperatura finită cu axa cilindrului (r = 0) trebuie ca D = 0.

Pentru ca R = 0 pentru r = b trebuie ca R(b) º Cbn = 0 = 0 şi din ambele condiţii rezultă că C = D = 0 soluţia banală

c. 2 = 2 > 0 ( > 0)

Deoarece pentru r = 0: Yn(r) = trebuie ca D = 0. Pentru a menţine temperatura = 0 pe suprafaţa curbă a cilindrului trebuie ca R(b) º CJn(b) = 0 Deoarece C = 0 soluţia banală trebuie ca Jn(b) = 0 adică este limitat la setul de valori {rnm/b}, unde nm reprezintă a "m"-a rădăcină a ecuaţiei Jn(x) = 0. Astfel, pentru fiecare valoare a lui n există o infinitate de soluţii pentru R adică:

Rnm(r) = Jn(nmr).

Acum, dacă cunoaştem că 2 = nm2, Z se obţine cu uşurinţă:

Z"/2 = = nm2 Z = E cosh( nm z) + F sinh( nm z).

Deoarece u(r,,0) º R(r)() Z(z) = 0 Z(0) E = 0.Soluţia 2 asociată cu Rnm este deci Znm(z) = sinh(nmz).

Pentru fiecare n avem deci o infinitate de soluţii produs, formate în acelaşi factor () = sin n, înmulţit cu produsul oricăror perechi de valori de valori R şi 2 corespondente:

unm = AnmJn(nmr)sinh((nmz)sin(n) ; cu alte cuvinte avem un şir dublu de soluţii produs:

u11, u12, u13, .., u1m,…

u21, u22 , u23 , u2m, ..…………………un1, un2, un3, .., unm,…

………………….Deoarece nici una dintre soluţiile produs nu poate reprezenta singură distribuţia de temperatură dată f(r,) pe baza superioară trebuie să construim o serie infinită de soluţii u nm şi să încercăm să impunem respectarea condiţiei de temperatură pentru z = h.

Pentru a construi o serie de u valori obţinând:

(3.104)

Aceasta înseamnă să formăm suma elementelor de pe fiecare rând din matricea de mai sus. Apoi adunăm seriile pentru fiecare valoare a lui n:

(7) (3.105)

Pasul final constă în determinarea coeficienţilor A, astfel încât aceasta serie dublă să se reducă la f(r,) pentru z = h

u(r,,h) = f(r,)(8) (3.106)

Pentru a efectua această dezvoltare, să ne imaginăm că r este menţinut constant iar variază în domeniul problemei adică intre 0 şi .

În aceste condiţii suma inferioară din (8) este o constantă ce depinde de n, de exemplu Gn(r).

Adică

29


Determinarea lui G nu este decât o dezvoltare în serie Fourier de sin:

(3.107)

Astfel Gn(r) este o funcţie cunoscută de r. Dar prin definiţie Gn(r) este suma interioară :

(9) (3.108)

De aici este clar că valorile coeficienţilor A trebuie să fie astfel încât produsele Anmsinh(nmh) sunt coeficienţii unei dezvoltări în funcţie Bessel a unei funcţii Gn(r) cunoscute . Deci amintindu-ne ca valorile au fost determinate din condiţia Jn(b) = 0, din teorema de la Sect 10.6:

(3.109)

unde Gn(r) este dat de relaţia (9). Cu coeficienţii seriei (7) acum determinaţi, problema este rezolvată.

3.1.3 Exemplul 5, pg. 615O placă circulară subţire de rază b are cele două feţe perfect izolate termic. În jurul circumferinţei plăcii se menţine o distribuţie de temperatură ce depinde de timp: u(b,,t) = f(0)coswt. Să se găsească distribuţia în placă în regim staţionar.

În cazul acestei probleme distribuţia staţionară de temperatură nu este independentă de timp ci este distribuţia limită periodică spre care tinde temperatura pe măsură ce timpul creste şi componenta tranzitorie dispare. Astfel chiar dacă se caută o distribuţie pentru o stare staţionară a sistemului termenul u/t rămâne în ecuaţia căldurii. Pe de altă parte deoarece placa este subţire şi are ambele feţe izolate putem presupune că transferul de căldură este bidimensional, adică nu depinde de z. Ecuaţia pe care trebuie să o rezolvăm este deci:

(3.110)

Ca de obicei se presupune o soluţie produs de forma u(r,,b) = R(r) () T(t). Avem de-a face cu o situaţie pe care nu am mai întâlnit-o până acum. Oricare ar fi valoarea lui 1(<,>, = 0), soluţia ecuaţiei aT'/T = 1 nu poate descrie o funcţie neconstantă, periodică de t, aşa cum ştim că trebuie să fie T. Singura urmare posibilă este să presupunem că T este o funcţie periodică complexă cu perioada w, adică:

T(t) = eiwt = coswt + isinwt a2T'/T = a2 iweiwt/ eiwt = a2iw 1 = a2iw. (3.111)

Astfel, pentru prima dată avem o problemă în care constanta de separare 1 este complexă. Folosind expresia lui 1si separând din nou se obţine:

(3.112)

evident condiţia la limită este o funcţie periodică de cu perioada 2 rezultând că 2 = n2 şi deci, din ecuaţia -"/ = 2 = n2 n() = Ancos(n) + Bnsin(n), n = 0, 1, 2, ..

Factorul R se determină acum din ecuaţia:

30


O soluţie completă a acestei ecuaţii este:

Deoarece când r = 0, în timp ce temperatura în centrul plăcii este evident finită, trebuie ca D să fie 0 rămânând;

Astfel avem o familie de soluţii produs:ti

nnnnn enBnArairaMtru www ))sin()cos(](exp[)(),,(

Deoarece nici una dintre acestea nu poate satisface individual condiţia la limită, se formează din ele o serie infinită.

(10) (3.113)

şi se încearcă determinarea An şi Bn astfel încât aceasta serie să se reducă la condiţiile la limită corespunzătoare pentru r = b. Cu toate acestea înainte de a face acest lucru, trebuie modificată forma condiţiilor la limită. Deoarece am fost nevoiţi să luăm pe T ca exponenţială eiwt trebuie să modificăm de asemeni şi condiţiile la limită din f()cos wt în formă complexă

f()eiwt = f()(cos(wt) + isin(wt)). (3.114)

Astfel, atunci când am rezolvat problema pentru această condiţie la limită modificată, răspunsul la problema iniţială va fi doar partea reală a soluţiei complexe obţinute.

Dacă în (10) punem r = b şi n(b,,t) = f()eiwt rezultă împărţind la eiwt următoarea relaţie:

(3.115)

De aici conform teoriei Fourier rezultă:

Dacă se înlocuiesc An şi Bn în (10) şi se combina exponenţialele se obţine:

Sau contopind integralele ….

În final, reţinând doar partea reala a seriei, se obţine soluţia problemei noastre:

31


din această relaţie este evident faptul că, deşi în fiecare punct temperatura variază periodic cu frecvenţa w, între temperatura la o rază oarecare şi cea de pe conturul plăcii există o diferenţă de fază.

3.1.4 Exemplul nr. 1 [Error: Reference source not found, pg 635]Pe întreaga suprafaţă a unei sfere de rază b este menţinută o distribuţie cunoscută de temperatură u = f(). Să de găsească distribuţia de temperatura în regim staţionar în orice punct al sferei.

Avem de rezolvat ecuaţia transferului de căldură în regim staţionar - adică ecuaţia lui Laplace - în coordonate sferice. Datorită simetriei circulare evidente a problemei este clar că u este o funcţie numai de r şi . Astfel, = 0, şi ecuaţia (1) se reduce la:

r2 sin + 2r sin + sin + cos = 0 (1.116)

Considerând o soluţie produs de forma u = R(r)() şi înlocuind în (14) obţinem:

r2 sin R" + 2r sin R' + sin R" + cos R' = 0 (1.117)

Împărţind ecuaţia de mai sus cu sin R şi (trecând termenii cu în celălalt membru) sau (separând termenii în cei 2 membri ai ecuaţiei) obţinem:

= (1.118)

Deoarece pentru orice , ecuaţia de gradul doi n2 + n - = 0 are întotdeauna cel puţin o soluţie (eventual complexă) n, putem alege de forma = n(n + 1) astfel încât să avem următoarele ecuaţii diferenţiale ordinare:

r2R" + 2rR' - n(n + 1)R = 0 (1.119)

sin" + cos' + n(n + 1)sin = 0 (1.120)

Prima ecuaţie este doar un caz particular al ecuaţiei lui Euler, iar soluţia completă este uşor de găsit:

R = Arn + (1.121)

Cu toate aceste, pentru că avem nevoie de soluţii finite atunci când r = 0, este clar că trebuie să să alegem B = 0. A doua ecuaţie este ecuaţia lui Legendre. Deoarece soluţiile ecuaţiei trebuie să fie finite în intervalul închis 0 ≤ ≤ , şi cum singurele astfel de soluţii sunt polinoamele Legendre Pn(cos) rezultă că n trebuie să fie întreg şi

= Pn(cos) (1.122)

De aici rezultă că avem o infinitate de soluţii sub forma unor produse de forma: A0P0(cos), A1rP1(cos), A2r2P2(cos), …, AnrnPn(cos)

Nici una dintre acestea însă, nu poate satisface singură condiţia de temperatură u(b,) = f() pe suprafaţa sferei. Ca de obicei, formăm o serie infinită de soluţii individuale de tip produs şi încercăm să o facem să satisfacă condiţiile la limită. Scriem astfel:

u(r,) = (1.123)

Apoi facem substituţia r = b şi u(r,) = f() şi obţinem:

f() = (1.124)

Pentru a afla An înmulţim ultima ecuaţie cu sinPn(cos) şi integrăm de la 0 la . Ca urmare a proprietăţilor de ortogonalitate ale polinoamelor P, toate integralele din membrul drept în afară de una devin 0, şi obţinem astfel:

32


= An bn (1.125)

sau

An = (1.126)

Cu coeficienţii seriei (15) determinaţi, soluţiei formală a problemei este acum completă.

3.1.5 Exemplul nr. 5 [Error: Reference source not found, pg 1000]O placă subţire de metal coincide cu primul cadran al planului z. Faţa de sus şi cea de jos sunt perfect izolate astfel încât transferul căldurii este strict bidimensional. Să se determine temperatura în regim staţionar în orice punct al plăcii, dacă condiţiile limită sunt cele arătate în figura 18.9 a.

Conform datelor problemei transferul de căldură e bidimensional şi ca urmare trebuie să rezolvăm ecuaţia lui Laplace, adică ecuaţia transferului bidimensional de căldură în regim staţionar:

= 0

având în vedere condiţiile limită impuse pentru primul cadran. Pentru a rezolva ecuaţia, transformăm primul cadran al planului z în jumătatea superioară a planului w prin transformarea:

w = z2 = (x2 - y2) + 2ixy

Astfel, problema se reduce la găsirea soluţiei ecuaţiei lui Laplace pentru jumătatea superioară a planului w, cu respectarea de-a lungul axei reale a condiţiilor limită transformate, după cum se arată în figura 18.9b.

Se ştie că, atât partea reală cât şi partea imaginară a oricărei funcţii analitice verifică ecuaţia lui Laplace. Aşadar, dacă găsim o funcţie de w care este analitică în semiplanul superior, şi partea ei reală sau imaginară satisface condiţiile la limită atunci când w este real, înseamnă că avem soluţia căutată.

Pentru a obţine o astfel de funcţie pe care să o folosim în problemă, observăm mai întâi că dacă u0 > u1 > … > un:

(9) f(w) = iT0 + 1/ [(T1 - T0)ln(w - u0) + (T2 - T1)ln(w - u1) + … + (Tn+1 - Tn)ln(w - un))

este analitică în tot semiplanul superior. De aici rezultă că partea ei imaginară

(10) Im[f(w)] = T0 + 1/ [(T1 - T0)arg(w - u0) + (T2 - T1)arg(w - u1) + … + (Tn+1 - Tn)arg(w - un))

33


va fi o soluţie a ecuaţiei lui Laplace în tot semiplanul superior. Mai mult, de-a lungul axei reale, soluţia respectă valorile limită arătate în figura 18.10. Pentru a verifica acest lucru, observăm din figura 18.10 că numărul complex w - u i este reprezentat prin vectorul care uneşte punctul fixat ui şi punctul variabil w, astfel arg(w - ui) este unghiul de înclinaţie i al acestui vector.

(11) Im[f(w)] = T(w) = T0 + [(T1 - T0)0 + (T2 - T1)1 + … + (Tn+1 - Tn)n]

Dacă ne referim din nou la figura 18.10, este clar că pentru toate valorile lui w pe axa reală, de la dreapta lui u0, valoarea fiecărui este zero.

Din relaţia (11) observăm că T se reduce la valoarea constantă T0 pe această porţiune a axei reale. Mai mult, când w se află între u1 şi u0, unghiul 0 este egal cu în timp ce toate celelalte unghiuri sunt încă 0. Aşadar, de-a lungul acestui segment ecuaţia (11) se reduce la:

T = T0 + [(T1 - T0)] = T1

În mod similar, pentru valori ale lui w între u2 şi u1, unghiurile 2 şi 1 sunt ambele egale cu , iar toate celelalte unghiuri sunt egale cu 0. Deci pe acest segment al axei reale avem:

T = T0 + [(T1 - T0) + (T2 - T1)] = T2

Continuând în acest mod, putem verifica că T, definit ca în relaţia (10) sau (11), nu numai că este o soluţie a ecuaţiei Laplace ca parte imaginară a funcţiei (9), dar ia de-a lungul axei reale valorile limită arătate în figura 18.10.

Dacă particularizăm aceste observaţii la problema noastră, obţinem că soluţia temperaturii T în planul w are forma

T = 100 + [(0 - 100)0 + (100 - 0) 1]

T = 100 + (1 - 0) = [ + (1 - 0)]

înmulţind cu /100 şi aplicând funcţia tangentă ultimei ecuaţii, obţinem:

tan = tan [ + (1 - 0)] = tan (1 - 0)

tan =

Înlocuind tan 0 şi tan 1 cu valorile lor, aşa cum se citesc din figura 18.9, din ultima relaţie obţinem:

tan =

i Willie, C.R., Barret, L.C. - Advanced Engineering Mathematics, 5th Ed. - McGraw-Hill 1982, ISBN 0-07-066643-1

34


tan =

care reprezintă soluţia problemei transformate în planul w. Întorcându-ne la planul z folosind ecuaţiile de transformare u = x2 - y2 şi υ = 2xy, găsim din relaţia (12) că

T = 100 + tan-1

este soluţia problemei iniţiale în planul z.

Bibliografie:Willie, C.R., Barret, L.C. - Advanced Engineering Mathematics, 5 th Ed. - McGraw-Hill 1982, ISBN 0-07-066643-1

35

Ecuatii diferentiale - University of GalațiAdv... · Web viewCa şi în cazul ecuaţiilor...

Documents

Transcript of Ecuatii diferentiale - University of GalațiAdv... · Web viewCa şi în cazul ecuaţiilor...