Capitolul 11_dinamica Punctului Material_final

MECANICĂ. TEORIE ŞI APLICAŢII 319

Capitolul 11― DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

PARTEA A TREIA ― DINAMICA

În dinamică se studiază mişcarea sistemelor materiale, ţinând seama de caracteristicile

geometrice, mecanice, de proprietățile masice ale acestora, precum şi de sistemele de forţe care

acţionează asupra lor. Equation Chapter 11 Section 11

Studiul comportamentului dinamic al sistemelor mecanice, comportă trei modele matematice,

după cum urmează:

Modelarea directă, presupune că legile de variaţie ale forţelor active, care acţionează asupra

sistemului material, caracteristicile geometrice şi mecanice, proprietăţile de masă, precum şi condiţiile

iniţiale impuse mişcării, sunt cunoscute. Necunoscutele acestui model, devin ecuaţiile ce definesc legea

de mişcare a sistemului mecanic luat în considerare.

Modelarea inversă, consideră că legile de mișcare ale sistemului material, însoţite fiind de

caracteristicile geometrice şi mecanice, precum şi proprietăţile de masă sunt cunoscute. Necunoscutele

acestui model, sunt reprezentate de către legile de variaţie ale sistemelor de forţe, active sub acţiunea

cărora se desfăşoară mişcarea dată a sistemului material.

Modelarea mixtă, include necunoscute atât sistemul de forţe active, cât şi legile privind mişcarea

sistemului material.

Rezolvarea acestor modele ale dinamicii se bazează pe noţiuni fundamentale precum: impulsul,

momentul cinetic, lucrul mecanic, puterea mecanică, energia cinetică şi energia potenţială. Cu ajutorul

acestor noţiuni se deduc teoremele fundamentale ale dinamicii, care permit rezolvarea oricărui model

dinamic anterior prezentat.

Capitolul 11. Dinamica punctului material

Acest capitol se constituie într-un tablou al noțiunilor şi teoremelor fundamentale mai sus

amintite. Dezvoltările acestora, vor conduce în cele ce urmează la ecuațiile diferențiale, cu ajutorul

cărora se poate studia comportamentul dinamic al sistemelor materiale, în forma cea mai simplă, care

este punctul material şi o extensie a acestuia, reprezentată prin sistemul discret de puncte materiale.

320 MECANICĂ. TEORIE ŞI APLICAŢII


11.1 Impulsul punctului material

Impulsul sau cantitatea de mişcare este o mărime fizică, care măsoară mişcarea mecanică din

punct de vedere al capacităţii acesteia de a se transforma într-o altă mişcare mecanică. În Fig.11.1 se

consideră un punct material M de masă m , aflat în mişcare pe o traiectorie curbilinie , a cărui

poziţie la momentul t , este definită în raport cu originea sistemului Oxyz prin vectorul de poziţie:

( ) ( ) ( ) ( )T

r r t x t y t z t (11.1)

La același moment t , punctul material are viteza definită prin:

T

v r x y z (11.2)

Prin definiţie, impulsul unui punct material este produsul dintre masă

şi vectorul viteză, adică:

vmh (11.3)

Conform relaţiei (11.3), impulsul este o mărime vectorială, având

acelaşi punct de aplicaţie şi aceeaşi orientare ca şi viteza v punctului material M . Modulul este definit

de )( vm , iar unitatea de măsură în Sistemul Internaţional este kg m/s . Proiectând vectorul impuls,

definit prin (11.3) pe axele sistemului de referinţă Oxyz , se obţin următoarele relaţii scalare:

x y z

TT

x y z

h m x h m y h m z

h h h m x y z

; ; ;

.

(11.4)

Observaţie: Modulul vectorului impuls se poate determina prin componentele scalare ale acestuia

(11.4), care la rândul lor sunt funcție de componentele scalare ale vectorului viteză.

Fig. 11.1

v

h

x

O

z

y

r

M



11.2 Impulsul unui sistem discret de puncte materiale

În Fig.11.2 se consideră un sistem discret de n puncte materiale, caracterizat prin: vectorii de

poziţie ir , masele im , vitezele iv şi impulsurile ih , unde 1i n . Tabloul parametrilor, care

definesc sistemul discret de puncte materiale, este sintetizat prin următoarea distribuţie:

, ; ; ; . , 1T T T

i i i i i i i i i i i i i i i iM m r x y z v x y z h m v m x m y m z i n (11.5)

Prin definiţie, impulsul total al sistemului de puncte materiale este egal cu suma vectorială a

impulsurilor tuturor punctelor iM ale sistemului material, adică:

1 1

n n

i i ii i

H h m v

. (11.6)

Din punct de vedere al geometriei maselor, sistemul discret de puncte materiale se caracterizează

prin masa totală: 1

n

ii

M m

şi centrul maselor, notat C , a cărui poziţie este dată prin vectorul

Cr , definit conform distributiei maselor. Expresia este rescrisă conform teoremei momentelor statice:

C

n

iii rMrm

1

(11.7)

Centrul maselor se caracterizează prin vectorul viteză, adică:

T

C C C C Cv r x y z (11.8)

Înlocuind vectorul viteză dt

rdv i

i în (11.6) şi ţinând seama că masele

sunt constante, expresia (11.8) se transformă după cum urmează:

n

iii rm

dt

dH

1

(11.9)

Ţinând seama de (11.7) şi (11.8), se obţin următoarele expresii:

( ) ;TTC

C C x y z C C C

drdH M r M M v H H H H M x M y M z

dt dt (11.10)

Aşadar, în conformitate cu expresia (11.10), impulsul unui sistem de puncte materiale este echivalent

matematic cu impulsul centrului maselor aflat în mişcare cu viteza Cv şi în care se presupune concentrată

întreaga masă a sistemului material.

Fig. 11.2

Cv H

ih

x

O

z

y

ir

CrC

iv

iM



11.3 Teorema impulsului pentru un punct material

Cu toate ca impulsul este o mărime dinamică, expresiile

acestuia (11.3) şi (11.10) nu evidențiază cauza generatoare a

mișcării mecanice, reprezentata prin sistemul de forte active. De

aceea, se trece la variaţia în raport cu timpul a vectorului impuls,

care este în conexiune directă cu sistemul forţelor active,

generatoare ale mișcării mecanice. Pentru a evidenţia această

legătură, în Fig.11.3, se consideră un punct material M de

masă m aflat în mişcare pe o curbă sub acţiunea unui

sistem de forţe exterioare )1( niFi a căror vector rezultant este

n

iiFR

1

. La momentul t , punctul

material M se caracterizează prin: vectorul de poziţie r , viteza v , impulsul h şi acceleraţia a , ale căror

expresii sunt rescrise mai jos:

T

T

T

T

r r t x t y t z t

v r x y z

h m v m x y z

a r v x y z

Întrucât impulsul este o funcţie vectorială de timp h h t , expresia acestuia se derivează în raport cu

timpul, rezultând:

d dv

h m v m m adt dt

(11.11)

În conformitate cu legea a doua a dinamicii, denumită si principiul acțiunii forței, (vezi §1.1),

produsul dintre masă si vectorul accelerație, reprezintă vectorul rezultant al forțelor exterioare aplicate

asupra punctului material. Drept urmare rezultă următoarele expresii:

h R sau m a R (11.12)

Ecuaţia (11.12) exprimă teorema impulsului pentru un punct material şi arată că: derivata în raport cu

timpul a vectorului impuls al unui punct material este egală cu vectorul rezultant al forţelor ce acţionează

asupra punctului material. Această teoremă reprezintă, conform legii a doua a mecanicii, ecuația lui

Newton sau ecuația fundamentală în dinamică a punctului material.

Fig. 11.3

v

h

xO

z

y

r

M

Ra



Ecuaţia diferenţială vectorială de mişcare a punctului material (11.12), este echivalentă cu trei ecuaţii

diferenţiale scalare, după cum urmează:

1 1 1

.

Tx n n n x

y ix iy iz yi i i

zz

h Rm x

h m y F F F R

m z Rh

(11.13)

Observaţii:

Dacă vectorul rezultant devine: 0R , atunci conform cu (11.12) rezultă:

h sau h m v cst0 . (11.14)

Expresia (11.14), constituie o integrală primă vectorială numită legea de conservare a impulsului, conform

căreia: dacă rezultanta forţelor ce acţionează asupra unui punct material este egală cu zero, impulsul

se conservă (este invariant în raport cu timpul).

Dacă proiecţia rezultantei R pe o axă este egală cu zero. Considerând spre exemplu 0xR sau

0yR , atunci:

. .x yh m x cst respectiv h m y cst (11.15)

adică, impulsul pe această axă (Ox sau Oy ) se conservă.

Teorema impulsului (11.12) se poate scrie, de asemenea, sub următoarea formă:

2 2 2

2 1

1 1 1

t t t

t t t

dh R dt sau h h R dt

unde 2h şi 1h sunt impulsurile punctului material la momentele 12 tt . Această formă de scriere este

utilizată, în general, la studiul mişcărilor impulsive.



11.4 Ecuaţiile diferențiale de mişcare

Un punct material se consideră liber atunci când asupra lui nu se aplică nicio restricție, mişcarea

lui fiind determinată în exclusivitate de sistemul forţelor active, care acţionează asupra lui. Drept urmare,

punctul material se caracterizează prin trei parametri independenți, adică posedă trei grade de libertate,

reprezentate prin (11.1). Asupra punctului material M de masă m , vezi Fig.11.3, acționează un sistem de

forţe active si concurente niFi 1 a căror rezultantă este

n

iiFR

1

. Mişcarea punctului material se

caracterizează la momentul t prin acceleraţia a r , studiul dinamic al mişcării punctului material

efectuându-se cu ajutorul ecuației fundamentale (11.12).Forţele active, generatoare ale mișcării depind, în

cazul general, de vectorul de poziţie r , de vectorul viteză v r şi explicit de timpul t , adică:

, , , , , ,

, , : , , , , , ,

, , , , , ,

x x

y y

z z

R R x y z x y z t

R R r r t sau R R x y z x y z t

R R x y z x y z t

(11.16)

Ţinând seama de (11.16), ecuaţia (11.12) se rescrie sub forma următoare:

t

dt

rdrR

dt

rdmrmam ;;

2

2 (11.17)

Ecuația diferențială si vectorială (11.17) este echivalentă cu trei ecuaţii scalare exprimate în funcție de

aplicații pe următoarele sisteme de referinţă: carteziene, cilindrice si intrinseci. Ecuațiile diferențiale de

mișcare în coordonate carteziene:

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

x

y

z

m x R x y z x y z t

m y R x y z x y z t

m z R x y z x y z t

(11.18)

o Ecuațiile diferențiale de mișcare în coordonate cilindrice:

2 , , , , , ,

2 , , , , , ,

, , , , , ,n

z

m r r R r z r z t

m r r R r z r z t

m z R r z r z t

(11.19)

o Ecuațiile diferențiale de mișcare în coordonate intrinseci:

2

, ,

, ,

0 , ,

m s R s s t

sm R s s t

R s s t

(11.20)



Observații:

Ecuaţiile diferenţiale de mişcare în coordonate intrinseci se aplică atunci când traiectoria de mișcare a

punctului material este cunoscută si reprezentată prin ecuația orară de mișcare (7.6), adică: s s t .

Expresiile (11.18)-(11.20) reprezintă ecuaţiile diferenţiale de mişcare de ordinul doi, având ca

necunoscute trei funcţii scalare de timp. Prin integrare, soluţiile obţinute depind de timp, dar şi de şase

constante de integrare, numărul constantelor de integrare fiind egal cu produsul dintre numărul ecuaţiilor

diferenţiale şi ordinul sistemului.

Spre exemplificare, se iau în studiu ecuațiile diferențiale în coordonatele carteziene. Prin

integrarea sistemului (11.18) se obţin soluţiile:

; ; 1 6

; ; 1 6

; ; 1 6

i

i

i

x x t C i

y y t C i

z z t C i

(11.21)

Pentru mişcarea studiată, se admit la momentul 0t , următoarele condiţii iniţiale:

0 0

0 0 0 0

0 0

, :x x x x

r r şi r r adică y y y yz z z z

(11.22)

Substituind condițiile inițiale (11.22) în soluția generală (11.21) şi derivatele de ordinul întâi ale acestora

se obțin cele şase constante de integrare:

0 0 0 0 0 0; ; ; ; ; , 1 6i iC x y z x y z i (11.23)

Constantele de integrare, astfel obținute, sunt substituie în soluţia generală (11.21), rezultând ecuațiile

parametrice de mișcare ale punctului material:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ;

x x t x y z x y z

y y t x y z x y z

z z t x y z x y z

(11.24)

Eliminând parametrul timp din (11.24), rezultă expresiile:

1 2; ; 0; ; ; 0f x y z f x y z (11.25)

Cele două relații din (11.25) reprezintă ecuaţiile traiectoriei de mișcare a punctului material în

coordonate carteziene.



11.5 Teorema mişcării centrului maselor

Mişcarea mecanică a unui sistem discret de puncte materiale, sub acţiunea unui sistem de

forţe exterioare, este reflectată, printre altele, de variaţia în raport cu timpul a vectorului impuls rezultant.

Pentru a studia legătura dintre variaţia impulsului şi forţele active, în Fig.11.6, se consideră un sistem

discret de puncte materiale iM caracterizat prin masele im , forţele exterioare iF şi forţele de legătură

interioară n

ijj

F1

, acestea din urmă ca efect al interacţiunii mecanice dintre particula iM şi celelalte

1n particule din sistem.

Sistemul material se află în mişcare şi ca urmare, fiecare particulă iM are la momentul t :

viteza iv , impulsul ih , respectiv acceleraţia ia , având o distribuţie a parametrilor de forma:

i i i ij

i i i i i

M m F F i j j n j n

v h m v a i n

, ; ; ; ; 1 ; 1 ;

; ; ; 1

(11.26)

Pentru fiecare punct material din sistem, se aplică teorema impulsului (11.11), rezultând un sistem de

ecuaţii diferenţiale sub forma:

n

jijiiii niFFamh

1

1,

(11.27)

Însumând membru cu membru ecuaţiile din (11.27), se obţine:

Fig. 11.6

Cr

iMiF

C

ir

O

x

y

z

ia

Ca

ihiv

n

jij niF

1

,1,

Cv

R



1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n

i i i i i i i i ji i i i i i j

d dh h m a m v F F

dt dt (11.28)

Termenii din expresia (11.28) au următoarele semnificaţii:

n

ii Hh

1

, impulsul total al sistemului de puncte materiale,

n

ii RF

1

, rezultanta forţelor exterioare,

1 1

0n n

i ji j

F , rezultanta forţelor de legătură interioare egală zero,

2 2 2

2 2 21 1 1

n n ni

i i i i i C Ci i i

d r d dm a m m r M r M a

dt dt dt

,

Astfel, (11.28), se rescrie în forma finală, după cum urmează:

RaMH C

. (11.29)

Expresia (11.29) reprezintă teorema impulsului pentru un sistem de puncte materiale, conform

căreia, derivata în raport cu timpul a impulsului total al unui sistem de puncte materiale este egală cu

vectorul rezultant al sistemului de forţe exterioare. Expresia (11.29) este aplicată sub denumirea de

teorema mişcării centrului maselor (ecuaţia lui Newton).

Ecuaţia vectorială si diferenţială (11.29) este echivalentă cu trei ecuaţii diferenţiale

scalare scrise după cum urmează:

x C x

y C y

C zz

H M x R

H M y R

M z RH

(11.30)

Observaţie: În cazul în care vectorul rezultant al forţelor exterioare este 0R sau în cazul particular,

când numai proiecţia vectorului rezultant pe o axă este zero (spre exemplu 0xR ), impulsul total, sau

proiecţia impulsului pe axa respectivă xH este invariantă în timp. Astfel, se obţin următoarele

integrale prime ale teoremei mişcării centrului maselor :

. .C x CH M v cst respectiv H M x cst (11.31)

Expresia (11.31) constituie de asemenea, teorema de conservare a impulsului.



11.6 Momentul cinetic al punctului material

Noţiunea de moment cinetic este în conexiune fizică cu vectorul impuls. Pentru studiul

acestei noţiuni fundamentale, se consideră un punct material M ,

conform Fig. 11.7, de masă m , a cărui poziţie este dată de vectorul

r r t . Mobilul se deplasează pe o curbă , iar la momentul t

are viteza rv şi impulsul h m v (conform cu (11.3)). Prin

definiţie, momentul vectorului impuls pentru un punct material în

raport cu polul O poartă denumirea de moment cinetic sau impuls

unghiular, se notează Ok şi este exprimat prin:

Ok r h r m v (11.32)

Modulul vectorului moment cinetic se scrie astfel:

Ok m v r s m v d (11.33)

unde conform aceleiaşi figuri, simbolul d reprezintă distanţa de la polul O la suportul vectorului impuls.

Se observă că vectorul moment cinetic Ok , este situat perpendicular pe planul format de vectorii r şi h ,

în sensul în care r , h şi Ok formează un triedru drept orientat. Ecuaţia vectorială (11.32) se scrie sub

formă matriceală ţinând seama matricea antisimetrică asociată vectorului de poziţie (1.31):

0

0

0

0

x

y

z

k z y m x m y z z y

k k r m v z x m y m z x x z

y x m z m x y y xk

(11.34)

obținându-se astfel componentele scalare carteziene ale momentului cinetic.

Fig.11.7

O

Md

r

z

x

y v

h



11.7 Momentul cinetic pentru un sistem de puncte materiale

Studiul, dezvoltat în §11.6, se extinde asupra unui un sistem format din n particule materiale,

reprezentate în Fig. 11.8 prin: particula iM , a cărei poziţie este dată de vectorul i ir r t , având la

momentul t: viteza i iv r , impulsul i i ih m v şi momentul cinetic i i i ik r m v faţă de polul O .

Parametrii de mai sus se pot rescrie sub forma unei distribuţii, astfel:

i i i i i i i i i iM m r v h m v k r m v unde i n, ; ; ; ; , 1 (11.35)

Prin definiţie, momentul cinetic al unui sistem discret de n particule materiale în raport cu polul O ,

reprezintă suma vectorială a momentelor cinetice ale fiecărui punct material în raport cu acelaşi pol O :

n n

O i i i ii i

K k r m v1 1

(11.36)

Ţinând seama de matricea antisimetrică asociată vectorului de poziţie (1.31) (vezi capitolul întâi, §1.5)

expresia vectorială (11.36), este rescrisă matriceal:

n

i i i i ii

n nx i i i i

O y i i i i i i i i ii i

i i i iz n

i i i i ii

m y z z y

K z y m xK K z x m y m z x x z

y x m zK

m x y y y

1

1 1

1

( )

00 ( )

0

( )

(11.37)

reprezentând componentele scalare ale momentului cinetic 0K rezultant în coordonate carteziene.

Fig.11.8

Cv

iv

x

x

y

y

z

z

C

O

iMir

i

Cr ih

ik

Ok



11.8 Teorema lui König pentru momentul cinetic

Momentul cinetic al unui sistem de n puncte materiale, definit cu ecuaţia (11.36), poate fi

determinat şi prin luarea în considerare a mişcării relative a particulelor iM în raport cu centrul maselor

C . Poziţia acestuia faţă de sistemul xOyz este dată prin vectorul Cr , (vezi Fig.11.8). Conform cu (2.2),

(vezi capitolul doi, §2.2), expresia de definiţie a poziţiei centrului maselor este:

1 1

1

n n

i i i ii i

C n

ii

m r m r

rM

m

În centrul maselor C se fixează un al doilea sistem x Cy z , a cărui orientare rămâne identică cu a

sistemului xOyz . Particulele iM se raportează la noul sistem, prin vectorul de poziţie i . În acest caz,

ecuaţia centrului maselor (2.2) devine:

1

1

0, 0

n

i i ni

C i ii

m

de unde mM

. (11.38)

Având în vedere faptul că sistemul material se află în mişcare, se scrie următoarea funcţie vectorială de

timp:

ttrtr iCi . (11.39)

Prin derivare în raport cu timpul, relaţia (11.39) devine:

iCi rr , adică iCi vv , (11.40)

unde prin i s-a notat viteza particulei iM în mişcarea relativă faţă de sistemul cu originea în centrul

maselor C . Înlocuind în ecuaţia de definiţie (11.36) vectorul de poziţie ir cu (11.39) şi iv cu (11.40) se

obţine:

k

O C i i C ii

K r m v1

( ) ( )

. (11.41)

Ecuaţia vectorială (11.42), se dezvoltă şi rezultă:

k k k k

O C i C C i i i i C i i ii i i i

K r m v r m m v m1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

(11.43)

Primul termen din membrul drept al ecuaţiei (11.43) devine:



CC

k

iCiC

k

iCiC vMrvmrvmr

11

)( (11.44)

Expresia (11.44) reprezintă momentul cinetic al centrului maselor în raport cu polul O , originea

sistemului Oxyz . Al doilea şi al treilea termen din (11.43) se analizează, ţinând seama de (11.38),

adică:

1 1 1

( ) 0k n n

C i i C i i C i ii i i

dr m r m r m

dt

; (11.45)

0)(11

Ci

n

ii

k

iCii vmvm . (11.46)

Ultimul termen din (11.43), este de forma:

C

k

iiii Km

1

)( . (11.47)

Relaţia (11.47) reprezintă momentul cinetic al sistemului material în mişcarea relativă faţă de

centrul maselor. Înlocuind (11.44) şi (11.47) în relaţia (11.43), se obţine ecuaţia vectorială care

reprezintă teorema lui König pentru momentul cinetic, adică:

O C C CK r M v K . (11.48)

În conformitate cu această teoremă, momentul cinetic în raport cu polul fix O reprezintă suma

vectorială dintre momentul cinetic al centrului maselor CC vMr şi momentul cinetic CK în

mişcarea relativă a sistemului material în raport cu centrul maselor C.

Observaţie: Ţinând seama de relaţiile (11.36) şi (11.47), momentul cinetic păstrează invariantă forma de

exprimare matematică, indiferent de polul la care se raportează

.



11.9 Teorema momentului cinetic pentru punctul material

În conformitate cu cele arătate în §11.5, influenţa sistemului de forţe exterioare asupra

comportamentului dinamic al unui punct material sau sistem

de puncte materiale este reflectată prin variaţia vectorului

impuls h în raport cu timpul. Întrucât momentul cinetic este

momentul unui vector impuls, observaţia anterioară conduce

la variaţia în raport cu timpul a vectorului moment cinetic Ok .

Drept urmare, în continuare se va demonstra teorema

momentului cinetic, care pune în evidenţă variaţia, mai sus

amintită. În acest constext, în Fig. 11.9 se consideră un punct

material M de masă m , aflat în mişcare pe o traiectorie curbilinie sub acţiunea unui sistem de

forţe exterioare, al căror vector rezultant este:

n

iiFR

1

. La momentul t (momentul analizei) punctul M

este caracterizat prin: vectorul de poziţie r r t , viteza v r , impulsul h m v , momentul cinetic

Ok r m v şi acceleraţia a v r în raport cu triedrul Oxyz . Această distribuţie de parametri este

arătată mai jos :

n

i Oi

M m r r t R F v r h m v k v m v a v r1

; ; ; ; ; ; ;

(11.49)

Prin derivarea în raport cu timpul a relaţiei de definiţie a momentului cinetic (11.32), se obţine :

Ok r m v r m v (11.50)

Explicitând termenii din relaţia anterioară, rezultă:

r m v v m v 0 , (11.51)

iar r m v r m a . (11.52)

Ţinând seama de (11.11), expresia (11.52) se rescrie după cum urmează:

n

ii

r m a r R unde R F1

,

(11.53)

În conformitate cu teorema lui Varignon (1.80) (vezi capitolul întâi, §1.9), expresia (11.53) se rescrie:

n

O ii

M r R r F1

(11.54)

Fig.11.9

OM

x

y

z

a

O

h

v

r

R

M

Ok



Ţinând seama de (11.54) şi de (11.51), ecuația (11.50) ia forma finală:

O Ok r m a M (11.55)

Ecuaţia (11.55) reprezintă teorema momentului cinetic pentru un punct material, enunţată astfel:

derivata absolută de ordinul întâi în raport cu timpul a vectorului moment cinetic al unui punct material în

raport cu un punct fix O este egală cu momentul rezultantei R a forţelor exterioare ce acţionează

asupra punctului, calculat în raport cu acelaşi punct fix O .

Ecuaţia diferenţială vectorială (11.55) este echivalentă cu trei ecuații diferenţiale scalare de ordinul doi:

x x

O y y

zz

k m y z z y Mz y m x

k k z x m y m z x x z M

y x m z Mm x y y xk

0

0

0

(11.56)

Observaţii:

Dacă vectorul moment rezultant este zero, adică:

O OM k r R de unde R r0, 0, : (11.57)

atunci, vectorul rezultant pe toată durata mişcării este coliniar cu raza vectoare, iar suportul său

trece prin O . Ca urmare, vectorul moment cinetic este constant, adică:

Ok r m v r m v cst0 0 . (11.58)

Relaţia (11.58) este o integrală primă a momentului cinetic, cunoscută sub denumirea de

teorema de conservare a momentului cinetic. Conform acesteia, dacă momentul rezultantei R în

raport cu punctul O este nul, atunci momentul cinetic se conservă (este invariant în timp).

Mişcarea mecanică a punctului material în acest caz particular (11.57) poartă denumirea de

mişcare centrală.

Ecuaţiile diferenţiale (11.55) sau (11.56) caracterizează mişcarea mecanică a punctului material.

Prin integrarea lor se obţine legea de mişcare căutată.

Dacă integrala primă (11.58) devine zero, atunci conform cu [P01], rezultă: în acest caz particular,

punctul material efectuează o mișcare rectilinie.



11.10 Mişcarea centrală

În conformitate cu (11.57) şi (11.58), mişcarea punctului material este cunoscută, sub

denumirea de mişcare centrală, iar punctul material se deplasează pe o traiectorie curbilinie plană.

Conform Fig.11.10, traiectoria este situată într-un plan perpendicular pe vectorul moment cinetic.

Conform expresiei (11.58), planul este definit de vectorii r m v sau r m v0 0 .

Ca urmare, relaţia ce consacrează această caracteristică a mişcării centrale, se exprimă astfel:

Or k r r m v 0 (11.59)

Vectorul rezultant R F , coliniar cu vectorul de poziţie r , adică F r , poartă denumirea de

forţă centrală, iar suportul său trece tot în timpul mişcării printr-un punct fix O , care devine pol central

de atracţie sau de repulsie. Utilizând un sistem de coordonate polare, expresia vectorială a forţei

centrale este:

, FF (11.60)

unde este versorul vectorului de poziţie r al punctului M , sau versorul axei .OR

Observaţie:

1. Dacă 0F , forţa este repulsivă, iar punctul O se numeşte centru repulsiv,

2. Dacă 0F atunci forţa este atractivă, iar O este centru atractiv.

Pe baza expresiei (11.58), se obţine o proprietate caracteristică a mişcării, sub acţiunea unei forţe

centrale. În acest sens, (11.58) se scrie sub forma următoare:

OK 0 adică, Ok r m v r m v C cst0 0 1 . (11.61)

Conform expresiei anterioare, se poate scrie următoarea echivalenţă:

N

O 0M

0r

F

v

r

0

R

0v

M t0k

0x

Fig.11.10

M t t

r r

0y

r

n



10 0

Cr v r v

m. (11.62)

Ţinând seama de componentele polare ale vectorului viteză, (11.62), devine:

R N R Nr v r v v r v r v (11.63)

Termenii din expresia (11.63) sunt:

0Rr v r r r r (11.64)

2 2Nr v r r n r n r k (11.65)

Substituind expresiile anterioare, în (11.62), această relaţie se transformă astfel:

2 1Cr v r k

m (11.66)

Conform Fig.11.10, aria orientată a triunghiuluiOMM este:

1

2A r r . (11.67)

Expresia (11.67) se divizează cu t şi se trece la limită, rezultând:

0 0

1lim lim

2t t

A rr

t t, (11.68)

unde:

0limt

A

t, iar

0limt

rv

t. Ca urmare, se obţine ecuaţia vectorială:

1

2r v . (11.69)

reprezentând viteza areolară, adică un vector normal pe planul traiectoriei mişcării centrale, [V01] si [V02].

Ţinând seama de (11.69), expresia (11.66), se rescrie:

2 12C

r v r km

, (11.70)

de unde: Ok m C12 , iar C

cstm1 .

2

(11.71)

Expresia (11.71) este denumită legea constantei ariilor, conform căreia raza vectoare a punctului

material mătură arii sectoriale egale în intervale de timp egale.

Observaţii: Ţinând seama de (11.62), modulul ecuaţiei vectoriale devine:

21 0 0 0C r v r v s r v s r , (11.72)

unde 1C poartă denumirea de constanta ariilor.



11.11 Teorema momentului cinetic pentru un sistem de puncte materiale

În Fig.11.12 se consideră un sistem discret de puncte materiale iM , caracterizat prin masele im ,

forţele exterioare (active şi de legătură) iF precum şi forţele interioare ijF , adică:

, ; ; ; ; 1 ; 1i i i ijM m F F i j i n j n .

Aplicând teorema momentului cinetic, definită prin (11.55), pentru fiecare punct material niM i 1, ,

rezultă expresiile:

n

j

ijiiiiiii niFrFramrk1

1,

(11.73)

Însumând membru cu membru cele n ecuaţii vectoriale din expresia (11.73) se obţine expresia:

n

i

n

i

n

j

i jii ji

n

i

iii

n

i

i FrFramrk1 1 111

(11.74)

Ţinând seama de (5.2) (§5.1, din capitolul cinci), al doilea termen din (11.74) este:

01 1

n

i

n

ji ji Fr (11.75)

Ca urmare, expresia (11.74), se rescrie astfel:

ia

x

y

z

O

n

ii jF

1

iv

ir

iF

ih

iM

0k

OM

Fig.11.12

C

Cr

i

z

y

x



1 1 1

n n n

i i i i i ii i i

k r m a r F

(11.76)

Asupra membrului stâng al relaţiei (11.76) se efectuează transformările:

n n n

i ii i i i i i i i i i

i i i

n n n nOi

i i i i i i i Oi i i i

dv drdr m a r m r m v m v

dt dt dt

dkdkd dr m v v m v k K

dt dt dt dt

1 1 1

1 1 1 1

(11.77)

Membrul drept din (11.76), este:

n

i i Oi

r F M1

(11.78)

Înlocuind (11.77) şi (11.78) în (11.76) se obţine următoarea ecuaţie vectorială:

n

O i i i Oi

K r m r M1

(11.79)

Relaţia (11.79) poartă denumirea de teorema momentului cinetic pentru un sistem de puncte

materiale şi se enunţă astfel: derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic al unui sistem de

puncte materiale în raport cu punctul fix O este egală cu vectorul moment rezultant al forţelor

exterioare ce acţionează asupra sistemului, calculat în raport cu acelaşi punct fix O .

Observaţie: Dacă vectorul moment rezultant al forţelor exterioare este egal cu zero adică:

OM 0 , din ecuaţia (11.79) rezultă:

OO

dKadică K C cst

dt0 , . (11.80)

Ţinând seama de (11.80), se observă că momentul cinetic în raport cu polul O se conservă.

Conform afirmaţiilor anterioare, rezultă că ecuaţia (11.80) constituie o integrală primă a teoremei

momentului cinetic. Se obţin integrale prime şi atunci când proiecţia momentului rezultant al forţelor

exterioare pe o axă este nulă.



11.12 Teorema momentului cinetic în raport cu centrul maselor

Studiul cu privire la teorema momentului cinetic se extinde prin repozitionarea sistemului

material în raport cu centrul maselor. Astfel, în Fig.11.12, se consideră un sistem discret format din

n puncte materiale, fiecare având masa im , caracterizate prin raza vectoare ir , viteza iv şi

acceleraţia ia , adică:

i i i im r v a unde i n; ; ; , 1

Acest studiu ia în considerare mişcarea relativă a particulelor faţă de centrul maselor definite prin (2.2),

(vezi §2.2) si respectiv (11.38), precum şi ecuaţia (11.79). Asupra vectorului de poziție ir t , exprimat

in (11.39), se aplică derivata absolută de ordinul doi în raport cu timpul, obținându-se:

i C i i C ir r adică a a, , (11.81)

unde i reprezintă acceleraţia relativă a particulei iM faţă de centrul maselor. Înlocuind (11.81) şi

(11.38) în (11.79), aceasta devine:

1 1

( ) ( ) ( )n n

C i i C i C i ii i

r m a r F

(11.82)

Dezvoltând primul termen din membrul stâng şi ţinând seama de (11.29) se obţine:

1 1

n n

C i C C i C C C Ci i

r m a r m a r M a r R

, (11.83)

Conform cu (11.38), următorii termeni ai membrului drept devin:

2

21 1

0n n

C i i C i ii i

dr m r m

dt

; 0

11

C

n

i

ii

n

i

Cii amam (11.84)

Conform cu (11.79), ultimul termen din membrul stâng este de forma următoare:

C

n

i

iii Km

1

(11.85)

şi reprezintă derivata absolută de ordinul doi în raport cu timpul a vectorului moment cinetic exprimat în

raport cu centrul maselor.

Dezvoltarea membrului drept al expresiei (11.82), conduce la:

RrFrFr C

n

i

iC

n

i

iC

11

, (11.86)



respectiv: C

n

i

ii MF 1

, (11.87)

unde (11.87) reprezintă momentul rezultant al sistemului de forţe faţă de centrul maselor. Substituind

expresiile (11.83)-(11.87) în (11.82), se obţine:

C C C Cr R K r R M , de unde: C CK M . (11.88)

Ecuaţia vectorială (11.88) reprezintă teorema momentului cinetic în raport cu centrul maselor.

Conform acestei teoreme, derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic al unui sistem de

puncte materiale în raport cu centrul maselor este egală cu vectorul moment rezultant al forţelor

exterioare ce acţionează asupra sistemului, calculat în raport cu acelaşi centru al maselor C .

Observaţie: Comparând expresia (11.88) cu (11.79) se observă că teorema momentului cinetic

păstrează aceeaşi formă de exprimare matematică, indiferent de polul la care se raportează.



11.13 Lucrul mecanic

Orice transformare sau schimbare de stare, în general se realizează printr-o mişcare, a cărei

măsură la un moment dat constituie energia. Lucrul mecanic reprezintă măsura transferului de

energie între două stări (starea iniţială şi starea finală) ale unui sistem material. Altfel spus, este

un proces fizic, real în decursul căruia au loc transformări ale mişcărilor nemecanice în mişcări

mecanice şi invers.

11.13.1 Lucrul mecanic elementar

În Fig.11.13 se ia în studiu un punct material M asupra căruia acţionează o forţă F ,

caracterizată conform cu (11.16), ca fiind o funcţie de forma: trrFF ,, . Sub acţiunea acestei forţe,

punctul material se deplasează între două stări A (iniţială) şi B (finală), descriind o traiectorie curbilinie

. La momentul t , poziţia punctului material M este caracterizată de vectorul de poziţie r şi viteza

v . La un moment imediat următor t dt , diferit de B, poziţia punctului va fi: r dr .

Pe intervalul de timp elementar şi infinitezimal dt , se consideră că forţa F este constantă in modul si

orientare, iar coarda dr ds . Ţinând seama de această ipoteză simplificatoare, conform cu [V01] şi [V02],

lucrul mecanic elementar este exprimat prin produsul scalar dintre forţa F şi deplasarea elementară

rd a punctului său de aplicaţie:

rdFdL (11.89)

Conform Fig.11.13 expresia anterioară se poate rescrie după cum urmează:

Bx

y

z

v

O

rdr

Av

r

Ar

F

Bv

M

M

A

Br

ds

dr

v

Fig.11.13



cdsFdL (11.90)

unde reprezintă unghiul dintre vectorii iF ş dr . Aşadar, lucrul mecanic elementar este egal

cu produsul dintre proiecţia forţei pe direcţia de deplasare a punctului său de aplicaţie şi

deplasarea elementară a acestuia.

Pentru determinarea expresiei analitice a lucrului mecanic elementar vectorii , i vF dr ş se scriu în

funcţie de proiecţiile acestora pe axele sistemului xOyz :

T

T

T

T

x y z

r x y z

dr dx dy dz v dt

v x y z

F F F F

(11.91)

Ţinând seama de (11.91), relaţia (11.89), poate fi exprimată astfel:

x y z

x y z

dL F dr F dx F dy F dz

sau dL F v dt F x F y F z dt

(11.92)

Observaţii:

Prima formă de exprimare a lucrului mecanic din (11.92) este o diferenţială totală a unei funcţii,

numai dacă sunt îndeplinite condiţiile Cauchy, adică:

; ;y yx z z x

F FF F F F

y x z y x z

(11.93)

Condiţiile anterioare sunt identic satisfăcute, atunci când forţa (sistemul de forţe) depinde doar de

poziţie nu şi de parametrul timp. În aceste condiţii, forţa (sistemul de forţe) se păstrează invariantă în

timp, devenind forţă conservativă. Aceasta se obţine dintr-o funcţie de forţă, notată:

, ,U U r U x y z . Între cele două mărimi există următoarea identitate:

T

T

x y z

U U UF F F F grad U U

x y z

,

de unde rezultă: ; ;x y z

U U UF F F

x y z

.

Ca urmare, lucrul mecanic elementar conform primei relaţii din (11.92) devine:

x y z

U U UdL F dx F dy F dz dx dy dz dU

x y z

(11.94)



Ţinând seama de expresia anterioară, rezultă că, în acest caz lucrul mecanic elementar este diferenţiala

totală a funcţiei de forţă. În grupul forţelor conservative, intră: forţele gravitaţionale, forţele elastice şi

forţa centrală de atracţie gravitaţională.

În funcţie de direcţia de acţiune a forţei (valoarea unghiului ), se disting:

- lucrul mecanic motor dacă: 0 2 ,

- lucrul mecanic nul în cazul care: 2

- lucrul mecanic rezistent, pentru: 2 .

În cazul în care deplasarea rd este suma vectorială a mai multor deplasări elementare, adică

nrdrdrdrd ...21 , atunci conform expresiei (11.89), rezultă:

1 21

...n

n ii

dL F dr F dr F dr F dr F dr

(11.95)

Așadar, lucrul mecanic elementar al forţei F corespunzător unei deplasări elementare rd

compuse, este suma lucrurilor mecanice elementare corespunzătoare deplasărilor componente.

Dacă punctul material este solicitat pentru aceeaşi deplasare elementară rd , de către un sistem de

forţe 1 ... nF F F , atunci conform cu (11.89), rezultă:

n

i

i rdFrdFrdFrdFrdFdL1

21 ... (11.96)

În acest caz, lucrul mecanic al rezultantei F a sistemului de forţe dat corespunzător unei deplasări

elementare rd , este egal cu suma lucrurilor mecanice elementare ale forţelor componente.

11.13.2 Lucrul mecanic finit

În cazul general al unei forţe variabile, exprimată prin

( ; ; )F F r r t , punctul său de aplicaţie M prezintă o

deplasare finită după o anumită lege de mişcare pe o traiectorie

curbilinie . În momentul iniţial 0t , punctul material se află în

poziţia A, iar la momentul 1t în poziţia finală B (Fig.11.14).

obiectivul acestei secțiuni constă in determinarea lucrului

mecanic total al forţei F , corespunzător deplasării finite pe

arcul AB . Mişcarea finită pe arcul AB se descompune într-o

1tB

x

y

z

O

rd

1F 1M

0tA

iM

1rd

0F

iF

Fig.11.14



infinitate de arce elementare dr ds , corespunzătoare momentelor elementare dt , pe care forţa

respectă condiția: .F cst Pentru determinarea lucrului mecanic al forţei F corespunzător arcului AB

se aplică (11.95), cu observaţia că suma se transformă în integrală extinsă pe întregul arc finit AB , adică:

B

A

B

A

B

A

zyxBA cdsFdzFdyFdxFrdFL (11.97)

Aşadar, lucrul mecanic finit al unei forţe, corespunzător unei deplasări finite se exprimă printr-o integrală

curbilinie extinsă pe traiectoria descrisă de punctul material.

11.13.3 Lucrul mecanic al forţelor interioare

În conformitate cu [V01], se iau în studiu două puncte materiale i jM şi M , (vezi Fig. 11.15),

care aparţin unui sistem discret de puncte materiale. Poziţia celor două puncte materiale în raport cu

polul fix O este definită prin vectorii ir şi jr . Conform cu expresia (5.1)

(vezi §5.1), forţele de legătură interioară sunt exprimate prin:

0 j ii j FF . Având în vedere faptul că sistemul material se află în

mişcare, lucrul mecanic elementar este:

)( jii jjj iii j rdrdFrdFrdFdL (11.98)

Ţinând seama de expresia de definiție a vectorului viteză (7.10) (vezi

§7.2), se poate scrie:

i j i j ijdr dr v v dt v dt .

Astfel, lucrul mecanic al forţelor interioare devine:

dtvFdL i ji j . (11.99)

În relaţia anterioară, i jv reprezintă viteza în mişcarea relativă a particulei iM faţă de jM . Reluând

(11.98), conform cu Fig.11.15, rezultă:

i j i j j i ij j idr dr d r r d M M iar F M M, (11.100)

Înlocuind (11.100) în (11.98), expresia lucrului mecanic al forţelor interioare este:

iM

jMj iF

O

ir

jri jF

Fig. 11.15



21

2j i j i j i ij ijdL M M d M M d M M F v dt (11.101)

Observaţii:

În cazul unui corp rigid vectorul j iM M este constant, ceea ce conduce la 0dL .

În cazul unui fir flexibil şi inextensibil se întâlnesc următoarele situaţii:

a) dacă firul este perfect întins, adică cst.j iM M , rezultă: 0dL .

b) dacă firul nu este întins atunci: 0i jF şi ca urmare: 0dL .

În cazul corpurilor supuse legăturilor ideale, forţa de legătură interioară este orientată după normala

comună la suprafața de contact, iar viteza punctului de contact este situată în planul tangent. Ca

urmare: ij ijF v , iar 0dL .



11.14 Energia cinetică pentru un punct material

Mărimea fizică scalară şi pozitivă, care măsoară capacitatea mişcării mecanice de

transformare într-o mişcare de natură nemecanică poartă denumirea de energie cinetică.

În cazul unui punct material de masă m, aflat în mişcare cu viteza v , energia cinetică

este definită prin următoarea expresie (Rankine, sec XIX):

2

2

1vmEc (11.102)

unde termenul 2m v a fost denumit de Leibnitz „forță vie”.

În cazul unui sistem discret de n particule materiale, caracterizate de masele im , aflate în

mişcare cu viteza iv , energia cinetică totală este, prin definiţie, egală cu suma energiilor cinetice

ale tuturor particulelor, care alcătuiesc sistemul:

nivmEcn

i

ii

1,2

1

1

2 (11.103)

Unitatea de măsură, în Sistemul Internaţional este: JouleJEcSI

.



11.15 Teorema energiei cinetice pentru un punct material

Pentru a demonstra variația energiei cinetice si semnificația fizică a acesteia, se ia în studiu un

punct material de masă m , asupra căruia acţionează o forţă rezultantă F , conform cu Fig. 11.16. Sub

acţiunea acestei forţe, punctul material se deplasează pe o traiectorie curbilinie )( , între două stări: 1M şi

2M .În starea iniţială )( 1M la timpul 1t , punctul material definit de

vectorul de poziţie 1r are viteza 1v . În starea finală 2M la timpul

2t , punctul are poziţia dată de 2r şi va avea viteza 2v . La

momentul t poziţia punctului este dată prin vectorul r şi este

caracterizată prin viteza v , respectiv acceleraţia a . Se

apelează expresia (11.12), reprezentând ecuaţia fundamentală

a dinamicii punctului material, conform cu [V01] si [V02].

Prin înmulţirea scalară a acesteia cu deplasarea

elementară a punctului material dr , rezultă:

m a dr F dr (11.104)

Membrul drept, conform cu (11.89), reprezintă lucrul mecanic elementar. Asupra membrului stâng se

efectuează următoarele transformări:

dv drm a dr m dr m dv m v dv

dt dt (11.105)

Dar, ştiind că:

2

2

1vdvdv

Relaţia anterioară se rescrie după cum urmează:

m a dr d m v dEc21

2

(11.106)

Astfel, expresia (11.104) se rescrie în forma finală:

x y zdEc dL F dx F dy F dz (11.107)

Expresia (11.107), reprezintă teorema energiei cinetice în formă diferenţială şi se enunţă astfel:

variaţia elementară infinitezimală a energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic elementar

corespunzător deplasării elementare a punctului material într-un interval de timp elementar infinitezimal.

a

F

2v

2Mx

y

z

O

r

1M

rd1r

2r

M

1v

v

Fig.11.16



Prin integrarea ecuaţiei diferenţiale (11.107), pe intervalul deplasării finite a punctului material

între cele două stări, se obţine:

2 2 2

12

1 1 1

;

v M M

v M M

dEc dL dL L . (11.108)

În expresia anterioară, 12L reprezintă lucrul mecanic finit corespunzător deplasării punctului material

într-un interval finit de timp, pe arcul finit de curbă M M1 2 .

Membrul stâng al expresiei (11.108), se dezvoltă în forma următoare:

2 22 2 2

2 1 2 1

1 1

1 1 1

2 2 2

v v

v v

dEc d m v m v m v Ec Ec

(11.109)

Expresia anterioară, arată variaţia finită (integrală) a energiei cinetice între cele două stări ale punctului

material luat în studiu. Ţinând seama de (11.108) şi respectiv (11.109), se scrie următoarea expresie:

2 1 12Ec Ec L (11.110)

şi reprezintă teorema energiei cinetice în formă integrală sau finită pentru un punct material

.



11.16 Teorema energiei cinetice pentru un sistem de puncte materiale

Studiul privind variația energiei cinetice si semnificația fizică a acesteia se extinde în cazul unui

sistem discret de puncte materiale. Așadar, se consideră un sistem discret de n puncte materiale iM ,

de masă im , asupra fiecărui punct material din sistem, având poziţia dată de vectorul ir la momentul t,

acţionează forţa exterioară iF , precum şi rezultanta forţelor de legătură interioare

n

j

i jF1

. Fiecare punct

material se află în mişcare, având la momentul t : viteza iv şi acceleraţia ia , iar la momentul t dt

poziţia sistemului este dată prin i ir dr . Distribuția acestor parametri pe ansamblul sistemului

material este arătată mai jos:

1

, ; ; ; ; 1 ; 1 ; ; ; 1n

i i i ij i ij

M m F F i j j n j n v a i n

Pentru fiecare punct i n1 , conform cu [V01] si [V02], se aplică expresia (11.27), care se

amplifică scalar cu ird , rezultând:

n

jii jiiiii rdFrdFrdam

1

(11.111)

Relaţiile diferenţiale obţinute în (11.111), se însumează, astfel rezultă:

n

i

n

j

ii j

n

i

ii

n

i

iii rdFrdFrdam1 111

(11.112)

Primul termen din membrul drept al expresiei anterioare, reprezintă lucrul mecanic elementar rezultant

al forţelor exterioare:

n

i i ei

F dr dL1

(11.113)

Al doilea termen din membrul drept este lucrul mecanic elementar rezultant al forţelor interioare:

i

n

i

n

j

ii j dLrdF 1 1

(11.114)

Asupra membrului stâng se efectuează următoarele transformări, de forma (11.105):

2

1 1

1

2

n n

i i i i i Ci i

m a dr d m v dE

(11.115)



unde, dEc este diferenţiala energiei cinetice a sistemului de puncte materiale.

Substituind (11.113) - (11.115) în (11.112), se obţine teorema energiei cinetice în formă diferenţială,

pentru un sistem discret de puncte materiale:

C e idE dL dL (11.116)

Prin integrarea teoremei energiei cinetice in formă diferențială (11.116), se obţine:

2 1 12 12C C e iE E L L (11.117)

Expresia (11.117) reprezintă teorema energiei cinetice în formă integrală sau finită, pentru un

sistem discret de puncte materiale.



11.17 Dinamica mişcării relative a punctului material

Asupra punctului material reprezentat în Fig. 10.3 (vezi §10.2.3 din capitolul zece), având masa

m, acţionează un sistem de forţe exterioare şi concurente, al căror vector rezultant este:

a LR R R (11.118)

unde aR reprezintă rezultanta forţelor active, iar LR este rezultanta forţelor de legătură în conformitate

cu axioma legăturilor (vezi §3.3 din capitolul trei). De asemenea, se presupune cunoscută atât legea de

variaţie a forţelor active, care imprimă punctului o anumită mişcare mecanică, precum şi mişcarea

generală sistemului de referinţă mobil S faţă de sistemul fix 0 . Această mișcare este caracterizată

prin parametrii cinematici: 0 0, , ,a v , aşa cum reiese din capitolul opt si respectiv §10.2.1 din

capitolul zece. În cele ce urmează se va determina ecuația fundamentală în dinamica mișcării relative a

punctului material (legea de mişcare relativă a punctului material sau ecuaţiile parametrice ale mişcării

relative). Astfel, conform cu [V01] si [V03], ecuația fundamentală în dinamica mişcării absolute a

punctului material (11.17), se rescrie mai jos sub forma:

am a R . (11.119)

Acceleraţia absolută din (11.119), este substituită prin teorema lui Coriolis (vezi §10.2.3 din capitolul

zece) rezultând expresia:

r t Cm a a a R . (11.120)

În (11.120), termenul rm a , reflectând mișcarea relativă, rămâne în membrul stâng, transformare ce

conduce la expresia de mai jos:

r t Cm a R m a m a , (11.121)

unde conform cu (10.30) şi (10.31), rezultă:

0 ta r r a , 2 r Cv a .

În ecuaţia (11.121), termenii tm a şi Cm a au semnificaţia unor forţe numai că acestea se

datorează în exclusivitate mişcării relative şi nu sunt exercitate din exterior ci apar în interiorul sistemului

mecanic şi poartă denumirea de forţe inerţiale. Spre deosebire de forţele de inerţie, (vezi capitolul

14, (14.46)), forţele inerţiale acţionează direct asupra punctului material. Așadar, se introduc

următoarele notaţii:

,t jt c jCm a F m a F , (11.122)



unde jtF reprezintă forţa inerţială de transport, iar jCF respectiv forţa inerţială Coriolis.

Înlocuind (11.122) în (11.121) se obţine ecuaţia fundamentală a dinamicii mişcării relative

a punctului material, definită prin:

r jt jCm a R F F , (11.123)

Prin proiectarea expresiei (11.123) pe axele sistemului de referinţă mobil, aceasta devine echivalentă cu un

sistem de trei ecuaţii diferenţiale scalare de ordinul doi, adică:

x jtx jCx

y jty jCy

z jtz jCz

m x R F F

m y R F F

m z R F F

. (11.124)

Integrând ecuațiilor (11.124) şi aplicarea condiţiilor iniţiale ale mişcării relative, rezultă:

0 0

0 0

0 0

x x t , r , r

y y t , r , r

z z t , r , r

, (11.125)

unde 0r şi 0r sunt condiţiile iniţiale ale poziţiei şi vitezei punctului material în mişcarea relativă.

Observații:

Ecuațiile (11.125) exprimă legea de mișcare relativă a punctului material.

În cazul în care punctul material este supus legăturilor, atunci datorită restricțiilor cinematice nu toate

cele trei ecuaţii (11.125) sunt independente.

Condiţiile de repaus relativ sunt: 0rv şi 0ra . Ca urmare, ecuația (11.123), specifică

repaosului relativ devine:

0j tR F (11.126)

Dacă se impun condiţiile: a0 0, 0, 0 , atunci pe de o parte, conform cu (11.122)

rezultă: 0, 0j t j CF F . Pe de altă parte sistemul de referinţă mobil execută o mişcare de translaţie

rectilinie şi uniformă, fiind cunoscut astfel sub denumirea de sistem de referinţă inerţial. În aceste

condiţii, ecuaţia fundamentală a dinamicii mişcării relative a punctului material devine:

rm a R , (11.127)

(11.128)

Capitolul 11_dinamica Punctului Material_final

Documents

Transcript of Capitolul 11_dinamica Punctului Material_final