CAPITOLUL I

Cap.3. Bazele calcului de rezistent a materialelor

CAPITOLUL 3BAZELE CALCULULUI DE

REZISTENTA A MATERIALELOR3.1. Noiuni privind fenomenele ce au loc n solidul deformabil, ca urmare a aciunii unor fore exterioare3.1.1. Noiuni introductive

In mecanic, solidul este considerat rigid, nedeformabil, ns n realitate situaia nu este tocmai aa ntruct, un solid supus aciunii unor fore exterioare se deformeaz, forele interne dintre particulele sale componente, modificndu-se. In corp apar unele fore de legtur suplimentare, rezistena materialelor fiind ramura mecanicii care se ocup tocmai cu studiul acestor fore i legtura dintre ele i forele exterioare.Rezistene materialelor folosete principiile mecanicii teoretice introducnd n calcule i proprietatea fizic a solidelor de a se deforma sub aciunea forelor exterioare.n acest fel din calculele de rezisten rezulta condiiile pe cere trebuie s le ndeplineasc un organ de main pentru a prezenta siguran n exploatare.Problemele cere se pun n mecanica solidului deformabil sunt:a) dimensionarea unui organ de main n funcie de sarcinile exterioare aplicate i de materialul din cere este confecionat;b) verificarea organului de main existent din punct de vedere al strii n care se afl sub aciunea sarcinilor exterioare;c) calculul capacitii de ncrcare a unui organ de maina, adic stabilirea sarcinii maxime pe care o poate suporta acesta n anumite condiii.

3.1.2 Clasificarea corpurilor

Corpurile se schematizeaz la formele cela mai convenabila pentru a generaliza metodele de calcul. Aceste schematizri s-au fcut n aa fel nct rezultatele obinute s nu se ndeprteze prea mult de realitate.

Din punct de vedere al raportului dimensiunilor, sunt definite trei categorii de corpuri:

a) corpuri masive, care au toate cele trei dimensiuni de acelai ordin de mrire;

b) plcile, care au una din dimensiuni (nlimea) mult mai mic dect celelalte dou. Deci ele sunt caracterizate prin dou dimensiuni.c) barele care au lungime mult mai mare dect celelalte dou dimensiuni. Barele sunt caracterizate printr-o singur dimensiune lungime.In funcie de forma axei barei se deosebete mai multe tipuri:- bare drepte;- bare frnte (cotite);- bare curbe.In funcie de seciunea transversal se deosebesc:- bare cu seciune constant;- bare cu seciune variabil.Prime parte a Rezistenei materialelor se ocup cu studiul corpurilor schematizate ca bare, astfel c n capitolele care se vor face referiri la aceast categorie de corpuri.

3.1.3 Proprietile materialelor

Analiznd corelaia dintre forele exterioare care solicit fi solid i deformaiile acestuia sub aciunea forelor se pot defini anumite proprieti mecanice ale materialelor.In acest sens materialele se pot mpri dup dou criterii:a) dup mrimea deformaiilor:- materialele tenace - la care ruperea intervine dup o deformaie relativ mare (cazul oelurilor);- materialele fragile - la care ruperea intervine brusc fr a aprea deformaii vizibile (cazul fontelor).b) dup reversibilitatea deformaiilor- materialele elastice, care dup dispariia aciunii forei exterioare revin la starea iniial;- materialele plastice, care dup dispariia aciunii forei exterioare nu mai revin la starea iniial, deformaiile lor fiind permanente;- materialele elasto-plastice, care dup ncetarea aciunii forei exterioare nu revin n totalitate la starea iniial rmnnd i o deformaie permanent dar care este mai mic dect deformaia sub aciunea forei exterioare .

Majoritatea materialelor folosite n-practic sunt elasto-plastice peste o anumit valoare a solicitrilor exterioare. Din acest motiv aceste solicitri nu trebuie s depeasc limitele respective, pentru ca organul de main s-i pstreze forma i dimensiunile iniiale, optim pentru bune funcionare.Dup valoarea unor constante fizice importante n Rezistene materialelor, acestea se mpart:a) materiale omogene, care au aceeai compoziie chimic i aceeai densitate n toat masa lor;b) materiale neomogene, cere nu respect condiiile de mai sus;c) materiale izotrope, care au aceleai proprieti elastice n toat masa lor;d) materiale anizotrope, care nu respect condiia de mai sus.

3.1.4. Fore exterioare, fore interioare, tensiuni

Forele care se exercit asupra unui organ de main i provin de la alte organe nvecinate sau din partea mediului n care acesta se gsete, se numesc fore exterioare.Acestea pot fi fore aplicate direct ntr-un anumit mod sau reaciuni ale prilor de legtur.Forele suplimentare care iau natere n materialul unui corp ca urmare a solicitrilor exterioare i care tind s menin distanele iniiale ntre particule sunt fore interioare.In acest cadru, problema principal a Rezistenei materialelor const n stabilirea legilor de variaie a acestor fore interioare n funcie de forele exterioare.Forele exterioare, numite i sarcini, se pot clasifica dup modul n care acioneaz i mrimea suprafeei de distribuie astfel:a) sarcini concentrate sau fore concentrate care se aplic local ntr-un punct;b) sarcini sau fore distribuite dup o anumit lege de variaie.Dup modul de aplicare forele exterioare pot fi;a) cu aplicare static sau sarcini statice, a cror valoare crete de la zero la valoarea final ncet i continuu;b) cu aplicare dinamic sau sarcini dinamice, care au aplicare brusc sau a cror valoare variaz n timp dup o anumit lege, care de obicei este periodic Dup poziie sarcinii, fa de corp, n timp pot fi:a) sarcini exterioare fixe;b) sarcini exterioare mobile.Forele interioare pot fi puse n eviden secionnd corpul solicitat cu un plan, izolnd cele doua pri care au rmas dup secionare i studiind echilibrul uneia dintre prile izolate, bineneles cea care intereseaz n cazul respectiv (fig. 3.1).Fig.3.1

Echilibrul static al prii izolate, se menine dac n seciune se introduc forele de legtur care existau nainte de secionare ntre partea izolat i cealalt.Sistemul de fore care ine loc efectului prii ndeprtate asupra prii izolate pentru studiu, se reduce la un torsor format dintr-o for i un moment care acioneaz n centrul de greutate al seciunii.Raportndu-se seciunea izolat la un sistem de axe de coordonate trirectangular drept (fig.3.2) se obin componentele pe cele 3 axe ele torsorului.Din figur se observ c axele oy i oz sunt n planul seciunii i axa x perpendicular pe seciune.

Fora se descompune n dou componente n planul seciunii, cere sunt notate cu i i sunt denumite fore tietoare, i o component dup axa x adic normal la seciune denumit for axial, notat cu .

Momentul se descompune n dou componente n plenul seciunii notate cu Miy i Miz i denumite momente ncovoietoare i o component normal la seciune notat cu Mtx i denumit moment de torsiune sau de rsucire.Aciunea simultan sau separat a acestor fore i momente caracterizeaz solicitarea seciunii studiate.Considernd un element de arie din seciunea studiat mai sus, i fora interioar , care acioneaz pe acest element de arie i care are o orientare oarecare fa de planul seciunii, i raportnd fora la un sistem de axe plan ori cu condiia ca axa s fie tangent le seciune, se obine schema din figura 3.3.

Fig.3.2

Fig.3.3

Raportul caracterizeaz intensitatea medie de repartiie a forei interioare pe aria . Cnd , variaz ca mrime i direcie iar raportul tinde ctre o limit bine determinat denumit tensiune.

(3.1)

Relaia (3.1) d modulul vectorului tensiune care dup cum se vede, se descompune n dou componente fi anume:- componenta normal notat cu

- componenta tangenial notat cu .

Rezult deci:

(3.2)

Tensiunea fiind o for repartizat pe suprafa se msoar n uniti de for pe uniti pe suprafa. Uniti de msur mai uzuale sunt: , MPa

3.1.5. Solicitri

Prin aciunea unei fore exterioare asupra unui solid n seciunea acestuia iau natere tensiuni normale sau tangeniale care sunt urmare a aa numitelor solicitri.Aceste solicitri sunt de mei multe feluri i anume:a) Solicitri axiale de ntindere sau compresiune.Apar datorit aciunii unei fore normale pe seciune, , cu tendina dea mri, sau respectiv de a micora lungimea corpului.b) Solicitarea de forfecare. Apare datorit aciunii a dou fore egale i de sensuri contrarii avnd suporturile paralele i foarte apropiate. Datorit lor n seciune apar fore tietoare orientate dup axele z, y.c) Solicitarea de torsiune sau rsucire. Apare datorit aciunii unor cupluri de fore de momente egale aplicate la capetele corpului respectiv. Datorita acestor solicitri apere momentul de torsiune normal le seciunea considerat.d) Solicitarea de ncovoiere. Apare datorit unor cupluri perpendiculare pe axa corpului care tind s ncovoie corpul n seciune aprnd momentele ncovoietoare .Cele patru tipuri descrise succint mai sus sunt solicitri simple. n practic, de foarte multe ori aceste solicitri apar compuse din dou sau mai multe solicitri simple. Tipuri mai uzuale de solicitri compuse sunt:- ntindere i ncovoiere;- ncovoiere i torsiune.3.1.6. Deformaii i deplasri

Se presupune c se divizeaz un corp solid ntr-un numr foarte mare de mici paralelipipede dreptunghiulare. Dac asupra corpului acioneaz un sistem de fore exterioare, corpul n ntregime se va deforma, deformndu-se i paralelipipedele n aa fel nct ele nu-i vor pstra nici forma, nici dimensiunile iniiale

Aceasta este o deformaie total care se poate descompune n deformaii liniare sau lungiri i deformaii unghiulare sau lunecri.3.1.6.1. Deformaii liniare

Daca Lo este distana iniial dintre dou puncte ale unui corp, n urma deformrii aceast distan devine sau

Apar deci dou cazuri:

a) apare deformaia lungire;

b) apare deformaia scurtare

Cu ajutorul deformaiei se poate calcule o caracteristica mai clar asupra comportrii corpului i anume deformai a specific. Aceasta poate apare sub form de lungire specific sau scurtare specific:

(3.3)

3.1.6.2. Contracie transversal

In cazul cnd o bar este ntins, i micoreaz proporional seciunea transversal cu aceeai mrime pe toate direciile. Pentru toate materialele metalice n special contracia transversal este aceeai pe toat direcia i au ca valoare, o fraciune din deformaia lungimii.Notnd cu deformaia specific transversal rezult:

(3.4)

unde este coeficientul de contracie transversal el lui Poisson.

Deformaia se mai poate exprima i sub forma:

(3.5)

unde d este dimensiunea n plan transversal.Pentru materialele metalice obinuite folosite n construcia de maini s-a determinat .

3.1.6.3. Deformaie unghiular

Deformaiile unghiulare numite i lunecri, iau natere n urma aciunii tensiunilor tangeniale de sens opus pe feele paralele ale paralelipipedului elementar.Fig.3.4

Deformai unghiular specific este o mrime adimensional reprezentnd variaii pozitive sau negative ale unghiului drept al paralelipipedului elementar.Sub aciunea tensiunii unghiul drept se mrete sau se micoreaz cu lunecarea specific . Semnul lunecrii specific este convenional.Drumul parcurs de un punct al unui corp, care se deformeaz sub aciunea unui sistem de fore exterioare se numete deplasare. Deplasrile sunt datorate deformaiilor.3.1.7. Legtura dintre tensiuni i deformaii

Tensiunile i deplasrile care iau natere ntr-un corp solid sunt efectul aciunii forelor exterioare.Intre aceste mrim exist o interdependena cere se stabilete experimental prin ncercri de regul le solicitri de ntindere asupra unor epruvete din materialele pentru cere se situeaz aceast corelaie.Pentru aceste ncercri se confecioneaz epruvete standard conform STAS 200-67 care au forma din figura 3.5.Fig.3.5

Din figur rezult c epruvetele au seciune circular, dar sunt i epruvete cu seciune dreptunghiular 20 x 10 sau 10 x 10.Pentru ncercare epruveta construit i ncercat se introduce n maina de ncercat la traciune - compresiune, care are schema de principiu prezentat n figura 3.6.Maina este format dintr-un batiu (1) n cere este montat instalaia mainii. De pe batiu se ridic dou coloane (6) terminate cu o travers principal pe cere se gsete instalaiahidraulic de for format dintr-un cilindru cu piston hidraulic (8). Pistonul hidraulic, prin tija sa, este legat de cadrul mobil (7) care, la partea inferioar are montat o menghin (5) care se prinde epruvet. Menghina inferioar este fixat de un urub de reglare (3) care este acionat de un motor (2) printr-o transmisie i un reductor cu urub mele-roat melcat.Fig.3.6

De la grupul de pompare (11) se trimite ulei sub presiune n cilindru prin distribuitorul (12) i conductele (Io) ,soliei tind epruveta la ntindere sau compresiune. Pe main mai este montat un extensometru care nregistreaz deformaia epruvetei i cu manometrele (9) se msoar fora.Aplicndu-se succesiv fore n cretere , msurnd totodat deformaiile respective i calculnd se poate calcula i cu ajutorul perechilor de valori sau se poate trasa diagrama de variaie sau care poart denumirea de diagrama lui Hooke.Pentru materiale de tipul oelului diagrama are forma din figura 3.7.Fig.3.7

Pe diagrama Hooke se disting zonele :OA - zona de proporionalitate, diagrama este o dreapt;

OB - zone de elasticitate n care deformaiile sunt elastice, reversibile;

BC- zona de curgere, deformaiile cresc la creteri mici sau fr creterea tensiunii. Tensiunile sunt:

- tensiune de proporionalitate;

- tensiuni de elasticitate;

- tensiune de curgere;

- tensiune de rupere.Descendena curbei dup punctul E, este aparent deoarece ori aria real n punctul R nu e ci o arie mai mic. datorit alungirii epruvetei, dar necunoscndu-se mereu aceasta, se calculeaz .

In zona de elasticitate, deformaiile sunt reversibile la descrcare, curba parcurgnd aceleai puncte ns ncrcnd pn la la ntoarcere se parcurge traseul DD, rmnnd deformaia remanent . La fel i pentru .

Legea lui Hooke. Pentru materialele a cror diagram n zona OA este o linie dreapta nclinat cu un unghi ( fa de orizontal, deformaiile sunt proporionale cu tensiunile.

(3.6)

Constanta de proporionalitate este o caracteristic a materialului respectiv, denumit modul de elasticitate sau modulul lui Young. Valoarea modulului de elasticitate este diferit pentru diversele materiale care respect legea lui Hooke, pentru oel fiind MPa.In mod analog se poate stabili o legtur de aceeai natur n cazul solicitrilor n care apare tensiunea tangenial i anume:

(3.7)

unde constanta de proporionalitate G este denumit modul de elasticitate transversal.

3.1.8. Rezistene admisibile, coeficieni de

siguran

Orice organ de main n funcionarea sa trebuie s aib deformaii neglijabile, n report cu dimensiunea sa, iar aceste deformaii s nu fie remanente. Aceasta nseamn c tensiunile efective nu trebuie s depeasc valoarea tensiunii:sau .Pentru sigurana, n calcule, nu se ia valoarea de curgere sau de elasticitate, ci o valoare mai mica, denumit tensiune admisibil sau rezisten admisibil.Nu toate materialele se comport dup curba prezentat mai sus, care este caracteristica oelurilor carbon obinuite.In figura 3.8 sunt prezentate trei tipuri de diagrame . Diagrama (1) este caracteristic materialelor cu tenacitate ridicat la care zona de proporionalitate este mult mai extins, ca n cazul oelurilor obinuite (curba 2). Diagrama (5) este caracteristica materialelor fragile la care ruperea survine brusc fr zon de curgere i la o valoare mai ridicat a tensiunii.Rezistenele admisibile se calculeaz ca raport dintre o tensiune considerat critic, care poate fi de rupere sau de curgere, i un coeficient de siguran:

(3.8)

Fig.3.8

Tensiunile critice se aleg la valoarea tensiunii de rupere pentru materiale tenace i fragile (1) i (3) i la valoarea tensiunii de curgere pentru oelurile obinuite (2).Coeficienii de siguran au valori supraunitare, acestea diferind n funcie de rolul funcional al organului de main n ansamblul din care face parte, de modul de solicitare n funcionare precum i de compoziia materialului, tehnologii de prelucrare i tratamente aplicate.

In calcule tensiunile admisibile se folosesc n mod diferit:- n calculele de dimensionare tensiunea care ia natere n funcionare trebuie s fie cel mult egal cu tensiunea admisibil;- n calculele de verificare se determina tensiunea efectiv pe baza dimensiunilor reale i se compar cu tensiunea admisibil.3.1.9. Ipoteze de calcul n rezistene

materialelorPentru simplificarea calculelor de rezisten, i ntruct nu se pot prinde n relaii matematice, toate fenomenele care apar n realitate n procesul de solicitare, se fac unele ipoteze simplificatoare.a) Ipoteze continuitii mediului i omogenitii materialului, consider materialele continue n tot volumul lor i omogen.b) Ipoteza izotropiei, consider c materialele au aceleai proprieti elastice n toate direciile n volumul lor.c) Ipoteza elasticitii, consider materialele perfect elastice pn la anumite valori ale tensiunii.d) Ipoteza deformaiilor mici, consider c deformaiile sunt relativ mici n raport cu dimensiunile pieselor.e) Ipoteza relaiilor liniare ntre tensiuni i deformaii.f) Ipoteza lui Bernoulli, consider c seciunile plane i normale pe axa unei bare nainte de deformare, rmn plane i normale i dup deformare.g) Ipoteze lui Barai de Saint-Venant, consider c n orice punct el unui corp, suficient de deprtat de locul de aciune al sarcinilor, tensiunile depind numai ce torsorul forelor exterioare.3.2 Solicitri de ntindere-compresiuneDac o bar este solicitat de un sistem de fore exterioare a cror rezultate este dirijat dup axa barei, se spune c bara este solicitat axial la ntindere dac forele tind s o alungeasc i la compresiune dac forele tind s o scurteze.In cazul acestor solicitri, ntr-o seciune oarecare, pe lungimea barei apar numai fore axiale (fig.3.9).Fig. 3.9

3.2.1. Fora axial n lungul unei bare

Dac se consider o bar solicitat la o fora axial, fcnd o seciune oarecare x-x, n aceast seciune apare reaciunea prii ndeprtate asupra prii rmase (fig.3.10).La echilibrul static, pentru cele dou pri se pot scrie ecuaiile:

(3.9)

Pentru echilibrul barei n ntregime:

(3.10)

Dac seciunea x-x se face n alt poriune a barei, valoarea forei de echilibru va fi alta. Astfel, pentru a cunoate aceste valori n orice punct de pe lungimea barei, se traseaz diagrama forelor axiale pe lungime barei (fig.3.10).Fig.3.10

Aceast diagram, denumit prescurtat diagrama (N) se traseaz, fcnd seciuni x-x, n fiecare poriune unde mai apare o for axial n plus. Dac fora axial ntinde bara se consider convenional pozitiv iar dac o comprim se considera negativ.Dup cum se constat i din ecuaie (3.10), diagrama trebuie s se nchid pentru toat lungimea barei pentru a fi satisfcut condiia de echilibru.

3.2.2. Tensiuni, ntr-o seciune a unei bare

omogene

Se considera o bar de lungime L i cu aria seciunii A, solicitat la ntindere de ctre o for exterioar axial N.Se secioneaz bara cu un plan P perpendicular pe axa barei.In seciune vor lua natere tensiuni normale , care tind s in n contact cele dou pri rezultate prin secionare, care tind s se ndeprteze prin fora .La echilibru se poate scrie egalitatea:

(3.11)

Conform principiului lui Bernoulli, care arat c seciunile plane i normale pe ax, nainte de deformare, rmn plane i normale i dup deformare rezult c mrimea deformaiei este aceeai pe toat seciunea:

Fig.3.11

n baza ipotezei deformaiilor elastice se poate aplica legea lui Hooke i rezult c tensiunea este constant pe seciune:

Deci

(3.12)

(3.13)

Deci tensiunea in cazul solicitrii de ntindere i compresiune se repartizeaz uniform pe suprafaa seciunii barei, fiind egal cu raportul dintre fora axial i arie seciunii barei.

3.2.3. Deformaii la ntindere i compresiune

Deformaiile sunt de tipul deformaiilor liniare:

de unde: , dar: conform legii lui Hooke.deci:

(3.14)

folosind n continuare relaia (3.5) rezult:

(3.15)

Produsul este definit ca rigiditate la ntinde a barei, deoarece cu ct valoarea sa este mai mare deformaia scade.

3.2.4. Calculul de rezistena al barelor

solicitate axial

Calculul barelor solicitate axial se efectueaz plecnd de la tensiunile care iau natere n bar, pe de o parte sau de la deformaii pe de alt parte.Calculul din punct de vedere tensiunii cuprinde aspectele:

a) Dimensionarea, const n determinarea dimensiunii seciunii transversale a barei, n aa fel nct tensiunile generate de solicitarea exterioar s nu depeasc valoarea tensiunii admisibile. Formula de dimensionare este:

(3.16)

- aria necesar a seciunii transversale; - valoarea maxim a forei axiale; - tensiunea sau rezistena admisibil pentru materialul ales.

b) Verificarea, const n determinarea valorii tensiunii efective din materialul barei i compararea acesteia cu tensiunea admisibil. Desigur c tensiunea efectiv trebuie s fie inferioar celei admisibile.

(3.17)

- tensiunea efectiv

- aria seciunii efective a barei

c) Calculul sarcinii capabile pe care o poate suporta bare, const n determinarea forei axiale maxime pe care o poate raporta o bar dat n condiii date:

(3.18)

Calculul din punct de vedere al deformaiilor const n dimensionarea barei n aa fel c deformaia s nu depeasc o valoare admis.Lund ca baz formula (3.15) rezult:

(3.19)

Plecnd de la aceeai formul de baz se poate face i un calcul de verificare

(3.20)

3.2.5. Concentratori de tensiuni

ntr-o bar de seciune constant tensiunea n orice seciune efectuat pe lungimea ei este aceeai n cazul cnd pe lungimea barei sunt micorri de seciune, gtuituri, apere o cretere a densitii tensiunii datorit faptului c fora axial este constant, iar aria seciunii n locul respectiv este mai mic.Fig.3.12

Fenomenul este denumit concentrarea tensiunii, iar trecerea brusc de seciune se numete concentrator de tensiune.Fig.3.12Experimental s-a constatat c n zona concentratorilor ia natere o tensiune maxim egal cu produsul ntre tensiunea nominal de pe restul seciunilor barei i un coeficient concentrator de tensiune:

(3.21)

unde: . Coeficienii concentratori de tensiune snt calculai i se gsesc n tabele n funcie de variaiile de diametru la trecerile brute de seciune.

3.2.6. Energia de deformaie la ntindere

compresiune

Lucrul mecanic efectuat de forele exterioare pentru a deforma o bar este nmagazinat de materialul barei sub form de energie poteniala de deformaie, din care o parte se transform din nou n lucru mecanic necesar revenirii deformaiilor elastice iar partea corespunztoare deformaiilor plastice remanente se transform n cldur care se disipeaz n mediu exterior.Fig.3.13

Conform legii conservrii energiei rezult:

(3.22)

Presupunnd c aplicarea sarcinii este static, deci foarte lent rezult:

ceea ce nseamn:

(3.23)

- lucrul mecanic elementar;

- energia potenial elementar.

In ipoteza deformaiilor elastice proporionale se poate scrie:

(3.24)

dar: ; deci:

i:

(3.25)

Pentru compararea energiilor consumate n procesul deformaiilor n diverse cazuri se calculeaz lucrul mecanic pe unitatea de volum care e energia specific de deformaie

(3.26)

n funcie de tensiune i deformaie specific n baza formulelor (3.13) i 3.14)

(3.27)

3.2.7. Tensiuni n bare solicitate axial datorit

deformaiilor mpiedicate

Fig.3.14In practic exista cazuri n care unele bare nu-i pot modifica lungimea prin natura construciei din care fac parte. Dac aceste bare sunt supuse unor diferene de temperatur,vor tinde s se deformeze, ns datorit legturilor cu corpurile nvecinate deformaiile nu se vor putea produce. n acest caz, n barele respective, vor apare tensiuni normale.Considernd o bar de lungime i cu aria seciunii A constant pe toat lungimea, supus unei diferene de temperatur.

Deformaia termic n acest caz va fi:

(3.28)

- coeficient de deformaie termic.Utiliznd legea lui Hooke se determin tensiunea corespunztoare:

(3.29)

sau

Formula este determinat pentru cazul general, fiind valabila att pentru nclzire cnd apare compresiune, ct i pentru rcire, cnd apare ntindere.3.2.8. Tensiuni i deformaii n bare solicitate

axial datorit greutii proprii

In barele situate n poziie vertical apar tensiuni normale datorit greutii lor proprii. La barele suspendate aceste tensiuni vor fi maxime n seciunea cea mai de sus a barei i minime n seciunea cea mai de jos. Situaia este invers la stlpii sprijinii n partea inferioar.Fora axial ntr-o seciune oarecare x a barei e datde relaia:

(3.30)

De aici:

(3.31)

deci tensiunea n lungul barei variaz liniar i nu depinde de aria seciunii transversale ci numai de lungime.Problema care se pune acestor bare din punct de vedere al rezistenei, este gsirea unei astfel de variaii da seciune nct tensiunea n lungul barei s fie constant.Se consider seciunile x i (x + dx) n care se va scrie relaia (3.31) multiplicat cu Ax, considernd constant

(3.32)

3.3. Solicitarea de forfecare3.3.1. Tensiuni n cazul forfecrii

Forfecarea este solicitarea cere apare asupra unui corp la aciunea a dou fore egale i de sens contrar care au suporii n acelai plan.Datorit acestor solicitri n seciunea de forfecare, adic seciunea care se afl n planul de aciune a celor dou fore, apar tensiuni tangeniale , care tind s se opun procesului de forfecare i s menin cele dou seciuni n contact n situaia iniial.n general forfecarea nu apare ca o solicitare singular, ci mpreun cu ncovoierea, datorit faptului c n realitate cele dou fore nu sunt chiar n acelai plan ci n plane foarte apropiate.In mod analog cu solicitrile de ntindere-compresiune la echilibru:

(3.33)

dar: , deci

(3.34)

Rezult deci c fora tietoare este egal cu produsul dintre tensiune i aria suprafeei de forfecare. Relaia a este analoag cu cea de la ntindere-compresiune, dar aceasta este convenional deoarece nu s-a luat n considerare c exist i o ncovoiere ntre cele dou plane unde acioneaz forele. Totui nu s-a demonstrat practic c relaia satisface necesitile de calcul cu o eroare accesibil. Pe baza formulei (3.34) se stabilesc relaiile pentru calculele de rezisten la forfecare.Fig.3.15

a) Dimensionarea, constnd n determinarea ariei necesare a suprafeei de forfecare, pe baza tensiunii admisibile, folosete relaia:

(3.35)

b) Verificarea, const n determinarea tensiunii efective care apare ntr-un corp dat solicitat la forfecare i compararea acesteia cu tensiunea admisibil:

(3.36)

c) Calculul forei maxime capabile pe care o poate suporte un corp solicitat la forfecare:

(3.37)

3.3.2. Deformaii la forfecare

Lund n considerare cazul real, cnd forele de forfecare nu sunt n acelai plen ci n plane paralele foarte apropiate, rezult c pe poriunea dintre cele dou plane se dezvolt deformaii de tipul lunecrilor.Fig.3.16

Se poate scrie deci:

(3.38)

dar este foarte mic i se poate aproxima .

dar conform legii lui Hooke. Deci:

(3.39

3.4 Solicitarea de ncovoierencovoierea solidului deformabil este un capitol foarte vast din Rezistena materialelor, ns n cadrul cursului de fa se va trata numai ncovoierea barelor drepte, sau a grinzilor drepte, cum se mai denumesc.

3.4.1. Noiuni generale

3.4.1.1. Ipoteze de calculGrinda sau bara este un corp cu lungimea mult mai mare dect celelalte dou dimensiuni, care n acest caz definesc seciunea transversal a grinzii. Grinda sau bara dreapt este grinda sau bara care are axa longitudinal o dreapt. Seciunea transversal a grinzilor drepte poate avea diferite forme geometrice:

- circular...........................................

- dreptunghiular................................

- ptrat..............................................

- n T, sau dublu T..............................

- n T...................................................

- n U.................................................

- cornier (n L)....................................

- form complex sau cheson.............

In calculul de rezisten grinzile drepte se reprezint numai prin axa lor longitudinal.Studiul grinzilor supuse la ncovoiere se face numai pentru cazul de ncrcare cnd forele se gsesc ntr-un plan care conine axa grinzii.

3.4.1.2. Reazeme i reaciuniGrinzile duble pot avea cele trei sisteme de rezemare, care au mai fost amintite n partea I a cursului i anume:

a) Reazemul simplu - este legtura grinzii cu corpurile nvecinate care anuleaz o singur posibilitate de micare a grinzii, i anume micarea pe direciile perpendiculare pe ax.Deci reazemul simplu introduce numai o singur necunoscut i anume mrimea reaciunii, direcia fiind perpendicular pe axa grinzii.b) articulaia sau reazemul articulat este legtura care suprim grinzii att posibilitatea de micare pe verticala ct i pe orizontal. Deci articulaia introduce dou necunoscute i anume mrimea i direcia reaciunii, care n calcule se reduce la proieciile pe axa grinzii i pe o ax perpendiculara, a reaciunii.c) ncastrarea este legtura care suprim orice posibilitate de micare grinzii. Deci va introduce trei necunoscute i anume mrimea i direcia reaciunii i mrimea momentului din ncastrare, ntruct rezult i un moment perpendicular pe planul grinzii i al forelor a crui mrime este necunoscut.In figura 3.17 sunt prezentate cele trei tipuri de reazeme cu reaciunile care apar.

a) b) c)

Fig.3.17

Calculul reaciunilorPentru calculul reaciunilor se izoleaz grinda de legturi i n locul acestora se introduc fore de legtur, adic reaciunile, n funcie de tipul reazemului.Pentru determinarea reaciunilor se utilizeaz ecuaiile statice care exprim condiia ca grinda s fie n echilibru, sub aciunea sistemului de fore exterioare i de legtur. Fiind vorbe de o problem de echilibru n plan se pot scrie dou ecuaii de proiecii, respectiv pe axa grinzii i pe o perpendicular pe ea i o ecuaie de moment fa de un punct de reazem.

De aici rezult c grinzile la care apar trei necunoscute scalare sunt static determinate, ier cele la care apar mai mult de trei snt static nedeterminate.

3.4.2.Fora tietoare i momente ncovoietoare

In cazul unei grinzi solicitate de un sistem de fore exterioare perpendiculare pe axa barei i respectiv de cupluri ce au vectorul moment, de asemenea perpendicular pe ax, ntr-o seciune transversal a acesteia apar fore tietoare i momente ncovoietoare. Forele paralele cu axa i cuplurile ce au vectorul moment paralel cu axa produc fore axiale i momente de torsiune.Se consider grinda din figur ncrcat cu un sistem oarecare de fore perpendiculare pe axa acesteia. La aceast grind se presupune c se face aciunea 1-1, cu un plan perpendicular pe axa grinzii care a mprit grinda n dou poriuni .Pentru echilibrul fiecruia dintre pri se izoleaz acestea i n seciune se introduc forele de legtur reprezentate prin torsorul format de i . Aceste componente au sensuri contrare la cele dou pri izolate. Se scriu ecuaiile de echilibru pentru fiecare din cele dou pri.

Fig.3.18.

Pentru partea I:

Din ecuaii rezult:

(3.40)

Se scriu aceleai ecuaii i pentru partea a II-a:

Din ecuaii rezult:

(3.41)

Rezult de aici:

sau

(3.42)

sau

(3.43)

Din aceste ultime relaii rezult regulile de determinare a forei tietoare i momentului ncovoietor.- Fora tietoare ntr-o seciune a unei bare, este egal cu suma tuturor forelor perpendiculare pe axa barei i care trec prin plenul acesteia din stnga seciunii, luate cu plus dac au sens direct axei ox, sau suma forelor din dreapta seciunii dac au sens invers axei oy.- Momentul ncovoietor ntr-o seciune a unei bare este egal cu suma momentelor tuturor forelor din stnga seciunii, fa de seciune, luate cu plus daca au sens orar, sau suma momentelor forelor din dreapta seciunii dac au sens antiorar.

3.4.3. Diagrame de fore tietoare i momente

ncovoietoare

Diagramele de fore tietoare i momente ncovoietoare denumite prescurtat diagrame T i M, ilustreaz modul de variaie a celor doi parametri, T i M, n lungul unei bare solicitate i rezemate ntr-un anumit mod.Acestea se construiesc prin scrierea ecuaiilor forei tietoare i momentului ncovoietor, ealonat pe zone delimitate de punctele n care acioneaz forele sau de punctele de reazem.

Din ecuaii se calculeaz valorile T i M n punctele importante, cu care se traseaz diagramele.

3.4.3.1 Proprieti generale ale diagramelor T.M

a) Diagrama T prezint salturi n punctele unde acioneaz fore exterioare sau reaciuni, mrimea saltului fiind egal cu mrimea forei respective.

b)- Momentul ncovoietor este nul pe reazemele aflate la capetele barelor.

c)- Momentul ncovoietor este nul la captul consolelor

d)- Ecuaia forei tietoare este cu un grad mai mare dect ecuaia ncrcrii, iar ecuaia momentului ncovoietor, cu un grad mai mare dect ecuaie forei tietoare.

Fig.3.19

Aceast proprietate se demonstreaz considernd o poriune izolat dintr-o bar ncrcat cu sarcin uniform.

(3.44)

neglijnd termenul ca fiind infinit mic de ordinul II, rezult:

(3.45)

innd seama i de relaia (3.44) rezult:

(3.46)

Deci ecuaia ncrcrii este derivata I cu semn schimbat a forei tietoare i respectiv derivata a II-a cu semn schimbat a momentului ncovoietor.

Deci n punctul unde se anuleaz sarcina, fora tietoare admite un extrem i unde se anuleaz T momentul are un punct de extrem (maxim).

Acesta este deci motivul pentru care momentul admite un maxim n punctul unde se anuleaz fora tietoare. 3.4.4. Mrimi geometrice ale suprafeelor

plane

In afar de arie i centru de greutate, o suprafa plan prezint nc dou mrimi geometrice, cu utilizare direct n calculele de rezisten, acestea sunt momentul static i momentul de inerie. 3.4.4.1 Moment staticSe considera o seciune ntr-un corp avnd forma din figur. n aceast arie se consider o arie elementar dA avnd vectorul de poziie.Momentul static al suprafeei este definit n funcie de fiecare din cele dou axe:

i

(3.47)

Se cunoate c: i

(3.48)

Deci:

i

(3.49)

Fig.3.20

Momentul static este deci produsul dintre coordonate centrului de greutate i arie.Dac axele y i z trec prin centrul de greutate momentul static este nul.3.4.4.2. Moment de inerie Relaiile care definesc momentul de inerie geometric sau al ariei sunt:

momente de inerie axiale

(3.50)

moment de inerie polar(3.51)

moment de inerie centrifugal (3.52)

Dac axele z i y fa de care se scrie momentul de inerie trec prin centrul de greutate, se numesc axe de inerie centrele, iar momentele sunt momente de inerie centrale.3.4.4.3. Variaie momentului de inerie fa de axe

paralele. Relaiile lui Steiner

Cunoscndu-se momentele de inerie fa de axele zoy se pune probleme determinrii momentelor de inerie faa de noul sistem sunt noul sistem z1o1y1 care are axele paralele cu primul sistem i aflate le distanele cunoscute a i b fa de acestea:

Momentele de inerie axiale fa de noul sistem sunt:

Considernd axele xoy drept axe centrale de inerie, rezult i

Deci:

(3.53)

Fig.3.21

Momentul centrifugal se calculeaz n mod analog

Deci:

(3.54)

Momentele de inerie polar se calculeaz ca sum a momentelor axiale.

(3.55)

3.4.4.4. Variaia momentului de inerie n raport cu

axe nclinateConsidernd sistemul nclinat cu ( fa de zoy, se scriu relaiile ntre coordonatele ariei dA n cele dou sisteme:

Momentele de inerie axiale sunt:

Analog rezult

Fig.3.22

nlocuind funciile trigonometrice n funcie de unghiul dublu rezult:

(3.56)

(3.57)

(3.58)

3.4.4.5. Direcii principele de inerie, momente de

inerie principeleMomentele de inerie axiale, la schimbarea sistemului de axe cu unul la care axele sunt nclinate, sunt n funcie de unghiul de nclinare ( . Deci va exista o valoare a acestui unghi unde aceste momente au valori maxime.Direciile de inerie principale sunt axele fa de cere momentele de inerie sunt maxime. In acest caz i momentele acestea maxime se numesc momente de inerie principale.Prin anularea derivatei I a momentului de inerie axial va rezulte unghiul (0 pentru direcia principal de inerie:

deci

(3.59)

i

(3.60)

Momentele de inerie principale se obin prin nlocuire a unghiului (0 n formulele lor de definiie:

(3.61)

(3.62)

(3.63)

3.4.4.6. Modul de referin, raz de inerieModulul de rezisten al unei suprafee, definit n report cu axele centrale principale de inerie, este raportul dintre momentul de inerie i valoarea absolut coordonatei punctului celui mai ndeprtat al conturului suprafeei pe direcia respectiv.

(3.64)

Raza de inerie este rdcina ptrat a raportului dintre momentul de inerie axial i aria suprafeei.

3.4.4.7. Calculul momentelor de inerie i modulelor

de rezisten pentru suprafee uzualea) Suprafaa dreptunghiularFig.3.23

(3.65)

Deci: i

(3.66)

Modulul de rezisten:

(3.67)

b) Suprafaa circulara)b)

Fig.3.24

deci:

(3.68)

tiind c:

i n cazul cercului: , rezult .Deci:

(3.69)

Modulele de rezisten:

(3.70)

(3.71)

c) Suprafaa inelar:

(3.72)

(3.73)

Modulele de rezisten:

(3.74)

3.4.5. Tensiuni la ncovoiere. Legea distribuiei tensiu-

nilor normale pe seciune, formula lui NevierIn cazul ncovoierii, n funcie de poziia vectorului moment de ncovoiere fa de axele principale de inerie, se deosebesc trei cazuri:a) - ncovoiere pur, cnd i momentul este dirijat dup una din axele de inerie ale seciunii;b) - ncovoiere oblic, cnd i momentul nu este dirijat dup una din axele de ineriec) - ncovoiere simpl, cnd i momentul este dirijat dup una din axele de inerie.

Pentru determinarea legii de variaie a tensiunilor pe seciune, se constat o bar solicitat la ncovoiere pur.Fig.3.25

Cazul ncovoierii pure este destul de rar ntlnit n tehnic ns pe numite poriuni ale unor bare (fig.3.25) exist ncovoiere pur.La baza calculului de ncovoiere st "principiul lui Bernoulli care arat c seciunile plane i normele pe axa barei naintea de deformaie rmn plane i normale pe ax i dup deformaie.Se consider un element de bar solicitat la ncovoiere, pur, de lungime dx cu seciuni transversale normale la capete.Fibra EH, sub aciunea momentului ncovoietor, se curbeaz dar nu-i modific lungimea.Fibra AB se curbeaz i se lungete la lungimea AB iar fibra CD se scurteaz la lungimea CD.

Fibra EH care nu-i modific lungimea la ncovoiere se numete fibr neutr, sau fibr medie nedeformat.

Considernd o fibr oarecare aflat la distana y de fibra neutr, ea se alungete cu mrimea GG.Se observ c:

dar, , deci

de unde rezult rotire specific.

Analog se calculeaz alungirea lungimii :

Alungirea specific

(3.75)

Alungirea specific este proporional cu y i liniar fiind nul n fibra neutr. Aa cum sub fibra neutr materialul se ntinde, deasupra acesteia se comprim dup aceeai lege.

Dac materialul se comport dup legea lui Hooke:

(3.76)

Aceast relaie arat c pentru o deformaie dat , n fibrele aflate la o anumit distan y de fibra neutr, tensiunile sunt constante i c valoarea tensiunii variaz liniar cu distana y fa de fibra neutr.Astfel cnd n axa neutr nu exist tensiune; cnd

EMBED Equation.DSMT4 , adic tensiunea maxim este n fibrele cele mai ndeprtate de fibra neutr.Se scriu ecuaiile de echilibru ale forelor exterioare i interioare:

(nu exist for axial)

(nu exist moment pe axa z fiind ncovoiere pur)

(se echilibreaz cu momentul ncovoietor exterior)

nlocuind relaia (3.37) n aceste ecuaii rezult:

Fig.3.26

Ecuaia (1) arat c axa neutr trece prin centrul de greutate O, deoarece momentul static este nul.Ecuaie (2) arat c axele z i y sunt axe principale de inerie ntruct momentul centrifugei este nul.Din relaie (3) rezult c:

adic: sau

sau

(3.77)

Aceasta este formule lui Navier, care stabilete legtura ntre ncrcarea exterioara (m), tensiunea ntr-o seciune i caracteristicile geometrice ale seciunii.Din formula lui Navier se pot deduce formulele de dimensionare, de verificare i de moment capabil .Dimensionare

(3.78)

Verificare

(3.79)

Moment capabil

(3.80)

3.4.6. Tensiuni tangeniale n barele supuse la

ncovoiere, formula lui Juravskin cazul ncovoierii simple, n bare apar i tensiuni tangeniale date de fora tietoare, n aceste cazuri formula lui Navier nu mai este eficient pentru redarea fenomenului fizic. In cele ce urmeaz se vor evidenia aceste tensiuni i relaiile ntre ele i ceilali parametri.Se consider o bar solicitat la ncovoiere simpl! din care se separ un element de lungime dx.Forele tietoare T i T+dT respectiv momentele M i M+dM produc n bare tensiuni tangeniale ( i tensiuni normele . Cu ajutorul formulei lui Nevier se pot determina tensiunile normele i :

(3.81)

Acestor tensiuni le corespund forele axiale i .

(3.82)

Tensiunilor tangeniale (, considerate ntr-un plan axial AB CD paralel cu axa ox, le corespunde fora N.

(3.83)

Fig.3.27

Obs. Pentru demonstraie s-au considerat tensiunile tangeniale din planul ABCD conform principiului dualitii tensiunilor tangeniale, conform cruia tensiunile tangeniale din plane normale sunt egale i opuse [1,2]

Se scrie condiia de echilibru a elementului ABCDEF:

(3.94)

Aceasta este formula lui Juravski, care stabilete legtura ntre tensiunile tangeniale ( , fore tietoare i caracteristicile geometrice ale seciunii.3.4.7. Bare de egal rezistent la ncovoiere

Bare de egal rezisten la ncovoiere este bara la care n orice seciune de pe lungimea sa exist aceeai valoare a tensiunii. Din relaie lui Navier , rezult c pentru ca valoarea tensiunii s rmn constant este necesar ca modulul de rezisten s prezinte acelai mod de variaie ca i momentul ncovoietor , pe lungimea barei.Fig.3.28

Deci:

(3.85)

Aceasta este ecuaia barei de egal rezisten la ncovoierii. Cu ajutorul acestei ecuaii se poate determina modul de seciunii barei n condiia: De exemplu, n cazul barei simplu rezemate, ncrcate cu o for:

Presupunnd seciune circular:

Ecuaia barei de egal rezisten va fi :

Astfel rezult o variaie parabolic pentru valoarea diametrului pe lungimea grinzii i diametrul n aria seciune.

In mod analog se poate proceda pentru orice bar.

3.4.8. Deformaii ale barelor solicitate la ncovoiere

Axa unei bare solicitate la ncovoiere se deformeaz geometric, din dreapt devenind o curb care poart numele de fibr medie deformat.Fig.3.29

Considernd bara din figur, ntr-o seciune oarecare aflat la distana x de captul barei se constat trei mrimi geometrice: sgeata barei y; rotire a seciunii (; raza de curbur a grinzii deformate (.Se cunoate c

(3.86)

ntruct unghiul ( are valori mici.Metoda grafo-analitic a barei conjugate se aplic de regul n cazul ncrcrilor mai simple unde rezult i o diagram de moment mai simpl.

Calculul sgeilor prin folosirea principiului suprapunerii efectelorIn cazul barelor ncrcate cu mai multe fore, ecuaia momentului ncovoietor este mai complicat, integrarea devine mai anevoioas i se mrete volumul de calcul i posibilitile de erori.Fig.3.30

In aceste cazuri se folosete principiul suprapunerii efectelor din care rezult c sgeata dat ntr-un punct al unei bare aciunea unui sistem de fore este egal cu suma sgeilor date n punctul respectiv de fiecare for n parte luat separat.

Deci n cazul unei bare ncrcate cu mai multe fore concentrate consider succesiv bara ncrcat cu cte o singura for, calculnd sgeile n dreptul fiecrei fore prin metodele cunoscute. La sfrit aplicnd principiul suprapunerii efectelor se efectueaz sumele sgeilor n fiecare punct.

- sgeile rezultate pentru bara ncrcat cu fora singular ,n cele trei puncte - sgeile rezultate pentru bare ncrcat cu fora singular n cele trei puncte - sgeile din cazul forei singulare .Prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor rezult:

3.5. Solicitarea de torsiune (rsucire)Solicitarea de torsiune seu rsucire se produce dac ntr-o seciune normala pe axa unei bare acioneaz un cuplu de fore. Acesta d natere la un moment orientat perpendicular pe seciune, adic n lungul axei barei numit moment de torsiune sau moment de rsucire.Solicitare de torsiune d natere la tensiuni tangeniale S n materialul barei. Momentul de torsiune se calculeaz n funcie de putere care produce acest moment, conform ecuaiilor dinamicii.

3.5.1. Diagrame de moment de torsiune

Pentru cazul cnd asupra unei bare, care poate fi un arbore de transmisie, acioneaz mai multe momente de torsiune n diverse puncte, se traseaz o diagram de variaie a acestora pe lungimea barei.Pentru trasarea diagramelor se ine cont de urmtoarele reguli: momentul de torsiune motor se consider pozitiv iar cel rezistent se consider negativ; momentul de torsiune ntr-o seciune a barei este egal cu suma algebric a momentelor din stnga seciunii; pe lungimea unei bare exist un echilibru de momente de torsiune.Fig.3.31

Pentru exemplificare se consider o bar solicitat la torsiune ca n figur, asupra sa acionnd un moment motor i dou momente rezistente.

Deci diagrama s-a nchis ntre primul i ultimul punct unde acioneaz momentele de torsiune, in cazul de fa nu s-au luat n considerare momentele rezistente date de frecrile n lagre. De obicei momentul motor se calculeaz n funcie de puterea i turaia mainii motoare respective, cu formulele din dinamic: dar unde n este turaia. Deci:

(3.87)

Introducnd puterea P n watt i turaia n n rot/min se va obine momentul n N.m.3.5.2. Tensiuni n barele drepte de seciune

circular solicitate la torsiuneSe consider o bar dreapt de seciune circular de lungime 1, ncastrat la un capt i liber la cellalt n care acioneaz momentul de torsiune Mt. Bara este supus la torsiune sau rsucire. Dup solicitare o generatoare AB a barei ajunge n poziia AB rotit cu unghiul ( fat de poziia iniial. Izolnd o poriune de bar aflat la distana x de capt i avnd lungimea dx, suprapunnd punctul a peste a se obine arcul .Fig.3.32

Se poate scrie: , totodat: . Deci:

(3.88)

Considernd c materialul se comport dup legea lui Hooke se poate scrie c: . Deci: respectiv

(3.90)

Aceast relaie arat c tensiunile variaz liniar pe raz ntr-o seciune. La echilibru de momente se poate scrie:

(3.91)

nlocuind pe din (3.3) rezult:

(3.92)

nlocuind rezult:

(3.93)

S-a obinut o relaie asemntoare cu formula lui Nevier cere stabilete legtura cintre tensiuni, sarcina exterioar i, caracteristicile geometrice ale seciunii.Din aceast relaie rezult formulele de calcul pentru dimensionare i verificare i moment capabil le torsiune.Dimensionare:

(3.94)

Fig.3.33

Verificare:

(3.95)

Moment capabil:

(3.96)

3.5.3. Deformaii ale barelor solicitate la torsiune

Deformaia datorit torsiunii este tocmai unghiul cu care se rotete o seciune oarecare i unghiul dintre poziiile succesive ale unei generatoare nainte i dup deformaie.Considernd relaia (3.5) se poate scrie:

(3.97)

Dac dx devine L, devine numit unghi de torsiune:

(3.98)

PAGE 92Elemente de inginerie mecanic

_1347957961.unknown

_1348390877.unknown

_1348568940.unknown

_1349167414.unknown

_1349521996.unknown

_1349606976.unknown

_1349774524.unknown

_1349775372.unknown

_1350807604.unknown

_1352882444.unknown

_1353165805.unknown

_1353165826.unknown

_1352882866.unknown

_1350807614.unknown

_1349775756.unknown

_1349775821.unknown

_1349775944.unknown

_1349775943.unknown

_1349775796.unknown

_1349775691.unknown

_1349774991.unknown

_1349775185.unknown

_1349775298.unknown

_1349775142.unknown

_1349774670.unknown

_1349774845.unknown

_1349774911.unknown

_1349774768.unknown

_1349774615.unknown

_1349607732.unknown

_1349774463.unknown

_1349774485.unknown

_1349607733.unknown

_1349607827.unknown

_1349607609.unknown

_1349607731.unknown

_1349607130.unknown

_1349596063.unknown

_1349596777.unknown

_1349598097.unknown

_1349600107.unknown

_1349596872.unknown

_1349596156.unknown

_1349596762.unknown

_1349596064.unknown

_1349595593.unknown

_1349595819.unknown

_1349595897.unknown

_1349595645.unknown

_1349522098.unknown

_1349522182.unknown

_1349522289.unknown

_1349595580.unknown

_1349522288.unknown

_1349522137.unknown

_1349522175.unknown

_1349522040.unknown

_1349522074.unknown

_1349522022.unknown

_1349516618.unknown

_1349521091.unknown

_1349521182.unknown

_1349521323.unknown

_1349521128.unknown

_1349516887.unknown

_1349521045.unknown

_1349516767.unknown

_1349511824.unknown

_1349516377.unknown

_1349516378.unknown

_1349516177.unknown

_1349167453.unknown

_1349167483.unknown

_1349167419.unknown

_1348995168.unknown

_1349087169.unknown

_1349160741.unknown

_1349167359.unknown

_1349167398.unknown

_1349166524.unknown

_1349088231.unknown

_1349159320.unknown

_1349087170.unknown

_1349083694.unknown

_1349084627.unknown

_1349085193.unknown

_1349084175.unknown

_1348999636.unknown

_1348999643.unknown

_1348998696.unknown

_1348569417.unknown

_1348569609.unknown

_1348569856.unknown

_1348991995.unknown

_1348992043.unknown

_1348990750.unknown

_1348569923.unknown

_1348569713.unknown

_1348569757.unknown

_1348569681.unknown

_1348569502.unknown

_1348569558.unknown

_1348569427.unknown

_1348569107.unknown

_1348569219.unknown

_1348569410.unknown

_1348569218.unknown

_1348569082.unknown

_1348569092.unknown

_1348568982.unknown

_1348392892.unknown

_1348480584.unknown

_1348487104.unknown

_1348568674.unknown

_1348568712.unknown

_1348487248.unknown

_1348480699.unknown

_1348480850.unknown

_1348487084.unknown

_1348480746.unknown

_1348480849.unknown

_1348480670.unknown

_1348480158.unknown

_1348480230.unknown

_1348480479.unknown

_1348480196.unknown

_1348392968.unknown

_1348476727.unknown

_1348392926.unknown

_1348391900.unknown

_1348392559.unknown

_1348392685.unknown

_1348392764.unknown

_1348392633.unknown

_1348392212.unknown

_1348392412.unknown

_1348392035.unknown

_1348391455.unknown

_1348391609.unknown

_1348391868.unknown

_1348391558.unknown

_1348391109.unknown

_1348391415.unknown

_1348391096.unknown

_1348313111.unknown

_1348388281.unknown

_1348389011.unknown

_1348389623.unknown

_1348390232.unknown

_1348390734.unknown

_1348390048.unknown

_1348389151.unknown

_1348389261.unknown

_1348389066.unknown

_1348388828.unknown

_1348388921.unknown

_1348388959.unknown

_1348388881.unknown

_1348388675.unknown

_1348388712.unknown

_1348388798.unknown

_1348388623.unknown

_1348387620.unknown

_1348387975.unknown

_1348388086.unknown

_1348388098.unknown

_1348387998.unknown

_1348387808.unknown

_1348387905.unknown

_1348387664.unknown

_1348381307.unknown

_1348387476.unknown

_1348387549.unknown

_1348386666.unknown

_1348381235.unknown

_1348381246.unknown

_1348314017.unknown

_1348041794.unknown

_1348305749.unknown

_1348307572.unknown

_1348307881.unknown

_1348307925.unknown

_1348307658.unknown

_1348306686.unknown

_1348306771.unknown

_1348306546.unknown

_1348045582.unknown

_1348045730.unknown

_1348045731.unknown

_1348045649.unknown

_1348044549.unknown

_1348045427.unknown

_1348041824.unknown

_1347958684.unknown

_1347959411.unknown

_1348037690.unknown

_1348041573.unknown

_1348041686.unknown

_1348040399.unknown

_1347959556.unknown

_1348037591.unknown

_1348037613.unknown

_1347961607.unknown

_1348037558.unknown

_1347961593.unknown

_1347959494.unknown

_1347959511.unknown

_1347959453.unknown

_1347958987.unknown

_1347959126.unknown

_1347959409.unknown

_1347959067.unknown

_1347958879.unknown

_1347958986.unknown

_1347958985.unknown

_1347958741.unknown

_1347958513.unknown

_1347958601.unknown

_1347958642.unknown

_1347958565.unknown

_1347958175.unknown

_1347958372.unknown

_1347958512.unknown

_1347958237.unknown

_1347958056.unknown

_1347955431.unknown

_1347956484.unknown

_1347957413.unknown

_1347957774.unknown

_1347957885.unknown

_1347957932.unknown

_1347957844.unknown

_1347957605.unknown

_1347957631.unknown

_1347957579.unknown

_1347956753.unknown

_1347956980.unknown

_1347957341.unknown

_1347956858.unknown

_1347956715.unknown

_1347956726.unknown

_1347956628.unknown

_1347956089.unknown

_1347956367.unknown

_1347956446.unknown

_1347956457.unknown

_1347956439.unknown

_1347956282.unknown

_1347956324.unknown

_1347956242.unknown

_1347955828.unknown

_1347955989.unknown

_1347956057.unknown

_1347955920.unknown

_1347955666.unknown

_1347955827.unknown

_1347955826.unknown

_1347955540.unknown

_1347954544.unknown

_1347954861.unknown

_1347955025.unknown

_1347955361.unknown

_1347955384.unknown

_1347955092.unknown

_1347954969.unknown

_1347955003.unknown

_1347954930.unknown

_1347954757.unknown

_1347954842.unknown

_1347954851.unknown

_1347954827.unknown

_1347954670.unknown

_1347954725.unknown

_1347954644.unknown

_1347947964.unknown

_1347949163.unknown

_1347949344.unknown

_1347954376.unknown

_1347949299.unknown

_1347949109.unknown

_1347949136.unknown

_1347948944.unknown

_1347947890.unknown

_1347947920.unknown

_1347947954.unknown

_1347947902.unknown

_1347947783.unknown

_1347947843.unknown

_1347947751.unknown