5. Analiza legturilor dintre fenomenele i procesele economice

REGRESIA SIMPL (UNIFACTORIAL)

Modelul linearFuncia de regresie:

Y=a+bxiParametrul a reprezint ordonata la origine i arat la ca nivel ar fi ajuns valoarea caracteristicii Y dac toi factorii mai puin cel nregistrat ar fi avut o aciune constant asupra formrii ei.

Parametrul b se mai numete i coeficient de regresie i reprezint, n sens geometric, panta liniei drepte. Coeficientul de regresie b arat cu ct se schimb n medie variabila Y n cazul n care variabila X se modific cu o unitate. Acest parametru este pozitiv n cazul legrii directe i negativ n cazul legrii inverse.

Parametrii a i b se determin din sistemul de ecuaii normale obinut prin metoda celor mai mici ptrate .

n cazul n care dispunem de un numr mic de perechi de valori (xi, yi):

Dac se folosete metoda determinanilor se obine:

n cazul n care perechile de valori (xi, yi) se repet de ni ori:

, unde

Dac se folosete metoda determinanilor se obine:

n cazul sistematizrii datelor ntr-un tabel cu dubl intrare n care perechile de valori (xi, yi) se repet de nij ori:

,

unde:

Dac se folosete metoda determinanilor se obine:

Modelul parabolei de gradul doi

Punnd aceeai condiie, ca suma ptratelor abaterilor termenilor seriei de la valorile teoretice s fie minim, se obine:

= minim

iar sistemul de ecuaii normale:

Rezolvnd sistemul de ecuaii normale prin metoda determinanilor, se calculeaz valoarea celor trei parametrii i, n funcie de valorile individuale ale variabilei X, se ajusteaz valorile caracteristicii rezultative.

Modelul hiperbolic

Sistemul de ecuaii necesar aflrii parametrilor funciei este:

Modelul exponenial

Prin logaritmare, modelul se transform ntr-un model liniar de forma:

Sistemul de ecuaii normale va fi:

Operaia de ajustare n acest caz se va face dup ce se vor calcula logaritmii ecuaiilor individuale de regresie. Ajustarea dup o funcie exponenial se face prin antilogaritmarea ecuaiilor de regresie calculate n funcie de xi.REGRESIA MULTIPL

Modelul linear

,

n care:

a0 reprezint parametrul care exprim factorii nenregistrai, considerai cu aciune constant, n afara celor considerai drept caracteristici factoriale;

a1, a2,,an coeficienii de regresie care arat ct se modific caracteristica rezultativ dac caracteristica factorial respectiv se modific cu o unitate;

x1, x2,,xn caracteristicile factoriale incluse n raportul de interdependen.

Parametrii a1, a2,an se determin din sistemul de ecuaii normale:

Cunoscnd cei n parametrii ai funciei de ajustare, se calculeaz pentru fiecare unitate ecuaia de regresie pe baza valorilor x1, x2,,xn.

Modelul exponenial

Prin logaritmare, modelul exponenial se transform n model linear.

METODA CORELAIEI

Corelaia simpl

Covariana (cov(x,y))

cov(x,y) =

Coeficientul de corelaie

Se folosete pentru msurarea intensitii legturii liniare dintre dou variabile statisice.n cazul n care dispunem de un numr mic de perechi de valori (xi, yi):

Coeficientul de corelaie liniar simpl poate s ia valori ntre 1 i +1.

ntre 1 i 0, legtura dintre cele dou variabile este de sens invers i este cu att mai intens, cu ct se apropie de 1.

ntre 0 i +1, legtura dintre cele dou variabile este direct i este cu att mai intens, cu ct se apropie de 1.

Formul de calcul simplificat:

n cazul n care perechile de valori (xi, yi) se repet de ni ori:

Formula de calcul simplificat:

,

unde n = .

n cazul sistematizrii datelor ntr-un tabel cu dubl intrare n care perechile de valori (xi, yi) se repet de nij ori:

iar pentru calculul simplificat:

Dac Ry/x = ry/x, se confirm ipoteza legturii liniare.

Raportul de corelaie

n cazul n care dispunem de un numr mic de perechi de valori (xi, yi):

sau ,

unde Yxi reprezint valorile ajustate indiferent de modelul de regresie selectat.

Raportul de corelaie poate lua valori de la zero la +1.

n cazul n care perechile de valori (xi, yi) se repet de ni ori:

sau

n cazul sistematizrii datelor ntr-un tabel cu dubl intrare n care perechile de valori (xi, yi) se repet de nij ori:

sau

Pentru corelaia neliniar, msurarea gradului de intensitate a legturii se face numai prin raportul de corelaie:

Raportul empiric de corelaie

sau

Corelaia multipl

Coeficientul de corelaie multipl

dac r

i

dac

Raportul de corelaie multipl

Pentru verificarea obiectivitii funciei aleas pentru ajustare se folosesc, n acest caz, n special procedeele de analiz dispersional.Se pornete de la relaia:

Se obin devianele:

pe baza crora se calculeaz dispersiile corectate:

n care:

n numrul total al unitilor observate;

r numrul de grupe n funcie de factorul nregistrat;

f parametrii variabili ai funciei de regresie.Pe baza dispersiilor corectate se determin:

F1 calc se compar cu F1 tab cu f i n-r grade de libertate.

Dac F1 calc > F1 tab legtura dintre X i Y este semnificativ.

F2 calc se compar cu F2 tab cu r-f-1 i n-r grade de libertate.

Dac F2 calc > F2 tab legtura dintre X i Y este liniar.

Dac s-a utilizat i coeficientul de corelaie liniar simpl, atunci se aplic cel mai frecvent testul t:

,

unde n reprezint volumul eantionului.

Valoarea calculat se compar cu cea tabelar stabilit probabilistic pentru un nivel de semnificaie P = 1-/2 i cu n-2 grade de libertate.

Dac tcalculat > t tabelar se verific ipoteza semnificaiei relaiei de corelaie i dac tcalculat < t tabelar legtura este nesemnificativ i trebuie cutat alt factor esenial cu care s se studieze corelaia.

Corelaie neparametric

Coeficientul de asociere

Aceast metod se utilizeaz pentru msurarea intensitii legturii a dou caracteristici alternative prezentate ntr-un tabel de asociere de forma:

Tabelul 5.1. y

xy1y2Total

x1aba+b

x2cdc+d

Totala+cb+da+b+c+d

Produsul ad arat gradul de realizare a legturii directe X i Y, iar produsul BC gradul de legtur invers ntre cele dou caracteristici cercetate.

Pentru stabilirea valorii numerice a coeficientului de asociere, care s indice existena i intensitatea unei legturi, formula cea mai utilizat este cea propus de Yule:

Q =

Acest indicator poate s ia valori ntre 1 i +1, artnd nu numai gradul de intensitate al asocierii celor dou caracteristici, dar i sensul ei.

Coeficientul de corelaie a rangurilor propus de Spearman:

,

n care:

di reprezint diferena ntre rangurile perechii de valori (xi, yi);

n numrul de perechi de valori.

Coeficientul de corelaie a rangurilor propus de Kendall:

,

n care S = ,

unde:

Pi numrul rangurilor mai mari care urmeaz rangului curent pentru variabila dependent,

Qi - numrul rangurilor mai mici care urmeaz rangului curent pentru variabila dependent.

PROBLEME REZOLVATE

1.

Pentru 10 uniti economice din acelai sector de activitate se cunosc datele urmtoare:

Tabelul 5.2.Nr. crt.Capital fix (mld.lei)Producia (mld.lei)

11,40,8

20,90,5

31,10,6

42,21,2

50,80,4

60,60,3

71,30,7

81,00,6

91,50,9

102,01,1

Total12,87,1

Se cere:

1. s se argumenteze, cu ajutorul metodelor simple, existena, direcia i forma legturii;

2. s se determine parametrii funciei de regresie;

3. s se calculeze valorile funciei de regresie;

4. s se afle valoarea coeficientului de corelaieRezolvare:

1. Metoda seriilor paralele interdependente presupune ordonarea valorilor caracteristicii factoriale xi (capitalul fix) i nregistrarea n paralel a valorilor corespunztoare ale caracteristicii dependente yi (producie), dup cum se poate vedea n tabelul 5.3.Tabelul 5.3.Nr.crt.xi (mld.lei)yi (mld.lei)

10,60,3

20,80,4

30,90,5

41,00,6

51,10,6

61,30,7

71,40,8

81,50,9

92,01,1

102,21,2

Cele dou iruri de date din tabelul 5.3. indic existena unei legturi directe ntre capitalul fix i mrimea produciei. Pentru a putea aprecia i forma legturii este necesar s se traseze graficul de corelaie (figura 5.1.), care sugereaz o legtur de tip liniar.

Figura 5.1. Legtura dintre capitalul fix i producie1. Aflarea parametrilor funciei liniare de regresie necesit rezolvarea urmtorului sistem de ecuaii normale:

Calculele necesare rezolvrii sistemului au fost sistematizate n tabelul 5.4.

Tabelul 5.4

Nt.crt.xiyix

xiyiy

Y

0123456

10,60,30,360,180,090,326

20,80,40,640,320,160,439

30,90,50,810,450,250,496

41,00,61,000,600,360,552

51,10,61,210,660,360,609

61,30,71,690,910,490,721

71,40,81,961,120,640,778

81,50,92,251,350,810,835

92,01,14,002,201,211,117

102,21,24,842,641,441,230

Total12,87,118,7610,435,817,103

Sistemul de ecuaii normale este:

cu soluiile:

a = -0,013

b = 0,565

Ecuaia medie de estimare a legturii liniare dintre capitalul fix i producie este:

La o cretere cu un miliard de lei a capitalului fix, producia se mrete, n medie, cu 0,565 mld.lei.

2. Valorile ajustate ale produciei se calculeaz nlocuind fiecare variant a caracteristicii factoriale xi n funcia de regresie (vezi tabelul 5.3.).

3. Coeficientul de corelaie liniar simpl este:

Acest rezultat arat o legtur direct foarte puternic, aproape funcional, ntre variabilele nregistrate.

2.Numrul mediu de angajai i profitul anual nregistrat de 10 firme dintr-o subramur industrial se prezint astfel:

Tabelul 5.5.Nr.

crt.Numr mediu de

angajai (persoane)Profit anual (mil. lei)

012

113115

2445

312100

4550

5655

6885

7340

8450

9545

10770

Total67655

Se cere:

1. s se analizeze existena, direcia i forma legturii;

2. s se determine parametrii funciei de regresie;

3. s se calculeze valorile funciei de regresie;

4. s se msoare intensitatea corelaiei dintre cele dou variabile folosind coeficientul i raportul de corelaie.

Rezolvare:

1. n relaia dintre cele dou variabile factorul de influen este numrul mediu de angajai (xi), iar variabila rezultativ este mrimea profitului (yi).

Dintre metodele simple de evideniere a corelaiei dintre dou variabile am ales metoda grafic, aceasta oferind cele mai multe informaii.

Din fig.5.2. reiese c ntre numrul de angajai i mrimea profitului exist o legtur direct, de tip liniar.

Figura 5.2. Legtura dintre numrul mediu de angajai (xi) i valoarea profitului (yi)2. Sistemul de ecuaii normale necesar pentru aflarea parametrilor a i b ai funciei liniare este:

Folosind rezultatele calculelor intermediare prezentate n tabelul 5.5. (coloanele 1- 4), se obine sistemul:

,

cu soluiile:

a = 15,2017

b = 7,5072

3. Valorile teoretice ale profitului (Y) se vor calcula nlocuind fiecare valoare a variabilei factoriale xi n funcia de regresie:

Rezultatele calculelor efectuate sunt prezentate n tabelul nr. 5.6., coloana 5.Tabelul 5.6.Nr.

crt.xiyixiyix

y

Y

(yi - Y)2

01243567

1131151.49516913.225112,804,86

2445180162.02545,230,05

3121001.20014410.000105,2927,96

4550250252.50052,747,50

5655330363.02560,2427,51

6885680647.22575,2694,88

734012091.60037,725,18

8450200162.50045,2322,75

9545225252.02552,7459,87

10770490494.90067,755,05

Total676555.17055349.025655,00225,62

4. Rezultatele calculelor efectuate pentru determinarea parametrilor a i b ai funciei liniare de regresie (tabelul 5.6.) pot fi utilizate i pentru aplicarea formulei de calcul simplificat a coeficientului de corelaie:

Aceast valoare apropiat de 1 indic o legtur foarte puternic ntre cele dou variabile.

Raportul de corelaie se determin cu formula:

,

unde:

Utiliznd datele din tabelul 5.6., calculm:

Coeficientul i raportul de corelaie au valori egale, ceea ce confirm liniaritatea legturii.

3.ntr-o subramur industrial s-au nregistrat ntr-o lun urmtoarele informaii privind cheltuielile de producie i producia obinut:

Tabelul 5.7.

Producie

(mii. buc.)Cheltuieli de producie (mil. lei)

Sub 3030-6060-9090-120120 i pesteTotal

0123456

31-361-33-7

26-311641214

21-26134--8

16-2152---7

11-1622---4

Total:1013114240

Pe baza acestor date se cere s se determine funcia de regresie care exprim legtura dintre cele dou variabile i s se msoare intensitatea legturii.

Rezolvare:

Distribuia fr4ecvenelor n tabel indic o tendin de corelaie liniar. n cazul distribuiei bidimensionale de frecvene, sistemul de ecuaii normale are forma:

Calculul elementelor necesare pentru aflarea parametrilor sistemului de ecuaii este sistematizat n tabelul nr. 5.8.. Pentru uurin, n tabel se trec direct centrele de interval pentru cele dou variabile.Tabelul 5.8.

yixi154575105135nixinixnixi

0123456789

33,51-33-7234,57855,7518592,5

28,51641214399,011375,50277360,0

23,5134--8188,04418,0010575,0

18,552---7129,52395,753020,5

13,522---454,0729,001620,0

nj10131144401005,026770,0061200,0

yjnj1505858254202702250

y

25026325618754410044100171000

Y

20,623,927,230,530,5-

Cu elementele calculate n tabelul 5.8., obinem sistemul de ecuaii:

Rezolvnd sistemul, obinem: a = 18,9 i b = 0,116.

Rezult c dreapta de regresie va avea ecuaia:

nlocuind n aceast relaie pe fiecare xi cu centrul de interval corespunztor, am obinut valorile numerice ale ecuaiilor de regresie (vezi tabelul 5.9.).

Fiind o repartiie de frecvene pentru msurarea gradului de corelaie, calculm raportul de corelaie utiliznd formula de calcul prezentat n continuare:

Pentru aplicarea acestei formule vom folosi datele conform calculelor efectuate n tabelul 5.9. Se observ, c pentru determinarea raportului de corelaie este necesar s calculm n prealabil media i dispersia pe total (25,1 mii buc. i 1519,4).

Tabelul 5.9.

Yx

yjnij

20,613,5

18,5

23,5

28,5

33,52

5

1

1

1100,82

22,05

8,41

62,41

166,41

23,913,5

18,5

23,5

28,52

2

3

6216,32

58,32

0,48

126,96

27,223,5

28,5

33,54

4

354,76

6,76

119,07

30,4528,5

33,51

34,00

27,00

33,7528,5256,18

Total1029,95

Valoarea raportului de corelaie indic o legtur de intensitate medie ntre cele dou variabile luate n studiu. Pentru verificarea liniaritii funciei care estimeaz legtura dintre cele dou variabile se calculeaz coeficientul de corelaie utiliznd n acest scop datele din tabelul 5.8.

n exemplul luat, egalitatea dintre cei doi indicatori sintetici de corelaie ne permite s afirmm c legtura este liniar. Efectund deci calculul i comparnd rezultatele, se poate accepta c legtura este liniar dac: Ry/x = ry/x, iar n caz contrar se respinge ipoteza i, n aceast situaie, se recurge la o alt funcie de ajustare care s verifice forma de legtur dintre cele dou variabile. Pentru verificarea obiectivitii funciei de regresie se pot folosi i rezultatele analizei dispersionale.

4.

Pentru cincisprezece firme din aceeai ramur s-au nregistrat urmtoarele informaii referitoare la o lun de activitate:

Tabelul 5.10.

Nr.

crt.Profit

(mil. lei)Nr. salariai

(pers.)Capital fix

(mld. Lei)

0123

115102,40

217122,72

31382,08

423173,68

516102,56

621153,36

714102,24

820143,20

924193,84

1017102,72

1116112,07

1218132,33

1323162,98

1415101,94

1516122,17

Se cere:

1. s se studieze legtura dintre cele trei variabile nregistrate i s se gseasc funcia de regresie multipl care exprim aceast legtur;

2. s se msoare intensitatea legturilor simple ntre x1 i y, x2 i y, x1 i x2;

3. s se calculeze coeficientul de corelaie liniar multipl;

4. s se determine valoarea raportului de corelaie multipl.

Rezolvare:

1. n vederea determinrii existenei i formei legturii vom folosi metoda seriilor paralele interdependente (tabelul 5.11.) i metoda grafic (figurile 5.3. 5.5.).

Tabelul 5.11.

Nr.

crt.Nr. salariai

(x1)Capital fix

(x2)Profit

(y)

0123

182,0813

2101,9415

3102,2414

4102,4015

5102,5616

6102,7217

7112,0716

8122,1716

9122,7217

10132,3318

11143,2020

12153,3621

13162,9823

14173,6823

15193,8424

Seriile paralel interdependente arat c exist n general o tendin de cretere pentru cele trei variabile.

Figura 5.3. Legtura dintre profit (y1) i numrul de salariai (x1)

Figura 5.4. Legtura dintre profit (y) i capitalul fix (x2)

Figura 5.5. Legtura dintre numrul personalului (x1) i capitalul fix (x2)

Graficele arat c legturile simple sunt de form liniar, deci funcia de regresie multipl este:

Y = a0 + a1x1 +a2x2Estimarea parametrilor acestei funcii presupune rezolvarea sistemului de ecuaii normale:

Efectund calculele din tabelul 5.12., sistemul anterior devine:

cu soluiile:

a0 = 3,53

a1 = 0,84

a2 = 1,44

Tabelul 5.12.

Nr.

crt.yix1x2

x1yx2yx1x2

115102,4022515036,0024,001005,7600

217122,7228920446,2432,641447,3984

31382,0816910427,0416,64644,3264

423173,6852939184,6462,5628913,5424

516102,5625616040,9625,601006,5536

621153,3644131570,5650,4022511,2896

714102,2419614031,3622,401005,0176

820143,2040028064,0044,8019610,2400

924193,8457645692,1672,9636114,7456

1017102,7228917046,2427,201007,3984

1116112,0725617633,1222,771214,2849

1218132,3332423441,9430,291695,4289

1323162,9852936868,5447,682568,8804

1415101,9422515029,1019,401003,7636

1516122,1725619234,7226,041444,7089

Total26818740,294.9603.490764,62525,382.469113,3400

Funcia liniar de regresie multipl este:

2. Intensitatea corelaiei dintre numrul de salariai (x1) i profit (y) se msoar cu ajutorul coeficientului de corelaie:

Intensitatea corelaiei din capitalul fix i profit este:

Intensitatea corelaiei dintre numrul de salariai i capitalul fix:

3. Coeficientul de corelaie liniar multipl este:

4. Raportul de corelaie multipl se calculeaz cu formula:

Valorile teoretice se obin nlocuind x1 i x2 n funcie de regresie:

Y1 = 3,53 + 0,84*10 + 1,44*2,40 = 15,386

Y2 = 3,53 + 0,84*12 + 1,44*2,72 = 17,527 .a.m.d.

Profitul mediu este:

Valoarea raportului de corelaie multipl este:

Deoarece , legtura dintre cele trei variabile este liniar i nu sunt necesare alte teste de verificare5.

Cele 10 magazine de acelai profil dintr-o localitate se caracterizeaz prin urmtoarele date:

Tabelul 5.13.

Desfaceri (mil. lei)52607420253449384512

Suprafa (mp.)4138721621222321,53215

Se cere s se msoare legtura dintre cele dou variabile folosind metode neparametrice.

Rezolvare:n vederea aplicrii metodei corelaiei vom ordona cresctor valorile caracteristicii factoriale X (suprafa), trecnd ntr-o coloan alturat valorile corespunztoare ale caracteristicii dependente Y (desfaceri), dup cum se poate vedea n tabelul urmtor, coloanele 1 i 2. Vom acorda cte un rang fiecruia din cele 10 magazine, n funcie de mrimea suprafeei comerciale (coloana 3) i nivelul desfacerilor 9coloana 4) i vom msura diferenele dintre cele dou ranguri. Aceste diferene vor fi ridicate la ptrat (coloana 5), suma lor urmnd a fi folosit pentru calcularea coeficientului Spearman de corelaie a rangurilor:

unde: di diferena de rang

n numrul observaiilor

rs = 0,9636 (legtur puternic)Tabelul 5.14.

xiyi

d

PiQi

1234567

151211090

162022080

212533070

21,53844151

223455150

234966131

324577130

386088111

415299110

72741010000

Total---6423

Pentru a calcula coeficientul Kendall de corelaie a rangurilor vom stabili pentru fiecare magazin n parte numarul total de magazine care au un nivel superior al desfacerilor (coloana 6), respectiv inferior (coloana 7).Pentru aceasta vom numara rangurile superioare (respectiv inferioare) Ry care apar dupa rndul corespunzator magazinului respectiv ,pana la sfaritul tabelului . De exemplu , magazinul cu desfaceri de 49 de mil lei are rangul 7 dupa desfaceri .Dintre cele patru magazine inscrise pe rndurile urmatoare ,3 ranguri Ry superioare i 1 are rang Ry inferior .Este obligatoriu ca rangurile Rx sa fie ordonate crescator.Folosind totalurile din coloanele 6 i 7 putem calcula coeficientul Kendall:

Datele din tabelul iniial pot fi folosite pentru a construi un tabel de asociere .Pentru aceasta am calculat valoarea medie a desfacerilor (41 mil. lei) i suprafaa medie a unui magazin (30 mp) i am transformat cele doua variabile analizate in caracteristici alternative prin restrngerea celor 10 nregistrri n doua grupe : valori sub medie, respectiv peste medie.

Tabelul 5.15.

Suprafaa

(mp)Desfaceri

(mil.lei)

sub 41peste 41

sub 3051

peste3004

Pentru a aprecia intensitatea legaturii se folosete coeficientul de asociere , calculat cu relaia:

6.

Din dorina de a-i cunoate mai bine cititorii, un cotidian a iniiat o ancheta n rndul acestora. Printre ntrebarile incluse erau i cele referitoare la sexul cititorilor i frecvena achiziionrii ziarului. Pe baza rspunsurilor consemnate la aceste doua ntrbari (vezi tabelul 5.16 ) , apreciai intensitatea legturii dintre cele doua variabile.

Tabelul 5.16

Sexul cititoruluiCumpara ziarulFrecvena rspunsului

masculinfoarte rar10

Uneori10

Deseori25

Zilnic5

femininfoarte rar20

Uneori15

Deseori10

zilnic5

Rezolvare :

Pentru a evidenia i msura legtura dintre sexul cititorului i frecvena cu care cumpr cotidianul, am reorganizat informaiile ntr-un tabel de asociere (vezi tabelul 5.17). A fost necesara regruparea variantelor de rspuns referitoare la frecvena achiziionrii cotidianului pentru a obine o variabil alternativ:

. cumprtorii ocazionali sunt cei care achiziioneaza ziarul foarte rar sau uneori;

. cumprtorii fideli sunt cei care-l achiziioneaz deseori sau zilnic.Tabelul 5.17

Sexul cititoruluiCititoriTotal

ocazionalifideli

feminin

masculin35

2015

3050

50

Total5545100

Pe baza datelor din tabelul 5.17. poate fi calculat coeficientul de asociere:

Aadar, corelaia dintre cele doua variabile analizate este de intensitate moderat

PROBLEME PROPUSE

1.

Pentru cei 8 muncitori dintr-o secie a unei unitai economice s-au nregistrat urmtoarele date:

Tabelul 5.18.

Vechime (ani)36452541

Producie (ani)2230202518262219

Se cere:

1. s se reprezinte grafic datele i sa se aleag funcia de regresie potrivit

2. s se determine parametrii funciei de regresie;

3. s se interpreteze din punct de vedere economic coeficientul de regresie.

Raspunsuri: 1. funcie liniar

2. Yi=14,77+2,13 xi

3. pentru fiecare an suplimentar de vechime ,producia unui muncitor crete, n medie,cu 2,13 buc.

2. ntr-o societate comercial s-au nregistrat urmtoarele date:

Tabelul 5.19.

Vechime (ani)12342361422510

Salariu lunar (mil.lei)2,74,02,04,22,83,52,12,6

tiind c legtura dintre cele doua variabile este exprimata prin funcia:

Yi=1,895 +0,0648 xSe cere:

1. calculai raportul de corelaie:

2. determinai n ce masur influeneaz vechimea salariului lunar;

3. estimai salariul lunar al unei persoane cu 20 ani vechime.

Rspunsuri:

1. 0,9935

2. 98,7 %

3. 3,19 mil.lei.

3

Se cunosc urmtoarele date referitoare la o unitate economic:

Tabel 5.20.

Dotare tehnicProductivitate (mil.lei./munc )Total

10-1212-1414-16

14-1610040-140

16-18208020120

18-20-40100140

Total120160120400

Se cere:

1. Msurai intensitatea corelaiei dintre dotare tehnic i productivitate n ipoteza unei legturi liniare .

2. n ce proporie influeneaza dotarea tehnic productivitatea muncii?

3. Estimai ce productivitate are un muncitor cu dotare tehnic de 17,2 mil.lei.

4. Coeficientul de corelaie este semnificativ statistic, pentru o probabilitate de 95% pentru care t tabelat este de 1,965?

Rspunsuri:

1. r y/x = R y/x = 0,77

2. 59% ,

3. 13,1 mil lei;

4. da

4.

ntr-o localitate i desfaoar activitatea 15 agenii imobiliare ,pentru care s-au nregistrat datele:

Profit

(mil.lei)

YCheltuieli reclama

(mii lei) X1Nr.ageni

X2

3224915

4729218

1818314

2520116

4931021

4124820

5224618

3824114

3628813

2919115

4324821

2821018

2425620

3627516

4124119

tiind c funcia de regresie este:

Yi = -19,5 +0,158 X1 + 0,962 X2 ,

S se determine:

1. mrimea raportului de corelaie;

2. ce profit va avea o agenie imobiliar i cheltuieli de reclam de 300 mii lei.

Rspunsuri:

1. 0,724;

2. 49 mil.lei

5. Opt ageni economici din acelai domeniu de activitate au nregistrat urmatoarele realizri:

Tabelul 5.22.

Cifra de afaceri (mil.lei)540580600640700620610470

Profit (mil.lei)4759525664585040

tiind c legtura dintre cele doua variabile are caracter liniar , msurai intensitatea acesteia prin intermediul:

1. raportului de corelaie;

2. coeficientul de corelaie;

3. coeficientul de corelaie a rangurilor Spearman;

4. coeficientul de corelaie a rangurilor Kendall.

Rspunsuri:

1. 0,8857

2. 0,8857

3. 0,714

4. 0,571

6.

La o firma s-au nregistrat urmtoarele date privind costurile de producie i profitul obinut:

Tabelul 5.23

Costuri (mil.lei )9030100504511070552015

Profit (mil.lei )101581214911131617

Msurai intensitatea legturii dintre cele doua variabile cu ajutorul:

1. coeficientului i raportului de corelaie,dac funcia de regresie este

Yi =17,687 0,089 xi;

2. coeficientul de corelaie a rangurilor Spearman;

3. coeficientul de corelaie a rangurilor Kendall.

Rspunsuri:

1. -0,9739 i 0,9739

2. -0,9758;

3. -0,9111.

_1169365851.unknown

_1169458362.unknown

_1169465433.unknown

_1169476203.unknown

_1169477287.unknown

_1169477440.unknown

_1169478396.unknown

_1169478416.unknown

_1169478435.unknown

_1169478165.unknown

_1169477370.unknown

_1169476606.unknown

_1169476988.unknown

_1169476301.unknown

_1169475089.unknown

_1169475541.unknown

_1169476043.unknown

_1169475152.unknown

_1169474170.unknown

_1169474733.unknown

_1169473932.unknown

_1169466601.unknown

_1169466817.unknown

_1169466152.unknown

_1169466186.unknown

_1169465862.unknown

_1169459761.unknown

_1169464336.unknown

_1169464552.unknown

_1169465321.unknown

_1169464522.unknown

_1169460996.unknown

_1169464308.unknown

_1169459855.unknown

_1169458956.unknown

_1169459403.unknown

_1169459665.unknown

_1169459051.unknown

_1169458843.unknown

_1169458893.unknown

_1169458434.unknown

_1169369485.unknown

_1169452251.unknown

_1169453151.unknown

_1169458226.unknown

_1169453644.unknown

_1169452747.unknown

_1169452950.unknown

_1169452318.unknown

_1169370979.unknown

_1169451704.unknown

_1169452093.unknown

_1169370747.unknown

_1169370925.unknown

_1169370599.unknown

_1169367410.unknown

_1169368170.unknown

_1169368711.unknown

_1169369068.unknown

_1169368333.unknown

_1169367570.unknown

_1169367822.unknown

_1169367462.unknown

_1169366550.unknown

_1169366973.unknown

_1169367213.unknown

_1169366815.unknown

_1169366231.unknown

_1169366431.unknown

_1169366124.unknown

_1169361852.unknown

_1169364029.unknown

_1169365099.unknown

_1169365373.unknown

_1169365756.unknown

_1169365245.unknown

_1169364673.unknown

_1169364814.unknown

_1169364434.unknown

_1169362543.unknown

_1169363494.unknown

_1169363791.unknown

_1169363115.unknown

_1169362140.unknown

_1169362206.unknown

_1169361997.unknown

_1169359841.unknown

_1169361070.unknown

_1169361346.unknown

_1169361692.unknown

_1169361188.unknown

_1169360539.unknown

_1169360753.unknown

_1169360199.unknown

_1169358851.unknown

_1169359632.unknown

_1169359780.unknown

_1169359346.unknown

_1169357973.unknown

_1169358323.unknown

_1138437346.unknown

_1169357363.unknown

_1137932018.unknown

_1137932261.unknown

_1137931871.unknown