Cap. 6 - Serii Fourier (Prob Propuse)

7/29/2019 Cap. 6 - Serii Fourier (Prob Propuse)

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SERII FOURIER - MARIANA ZAMFIR 1

CC AA PP II TT OO LL UU LL 66

SSEERRIIII FFOOUURRIIEERR

Probleme propuse

I. S se dezvolte n serie Fourie urmtoarele funcii : ,f , unde:

1. f x x ;

2

0

4 1: cos 2 1

2 2 1n

R n xn

;

2. 7 1f x x

;

3. f x x ; 1

1

2 1: sin

n

n

R nxn

;

4. 2

xf x ;

1

1

1: sin

n

n

R nxn

;

5. 5 2f x x ;

1

1

10 1: 2 sin

n

n

R nxn

;

6. f x x ; 1

1

2 1: sin

n

n

R nxn

;

7. 2f x x ; 2

21

4 1: cos

3

n

n

R nxn

;

8. 2

4

xf x ;

2

21

1: cos

12

n

n

R nxn

;

9. 1f x x x ;

1 12

2 21

4 1 2 1: cos sin

3

n n

n

R nx nxn n

;

10. 3f x x ; 2

31

12 2: 1 sin

n

n

R nxnn

;


2/8

2 CAPITOLUL 6

11. 32f x x x ;

12.

0, , 0

1, 0,

xf x

x

; 2 10

1 2 1: sin 2 1

2 nn

R n x

;

13.

1, , 0

2, 0,

xf x

x

;

2 11

1 6 1: sin 2 1

2 nn

R n x

;

14.

1, , 0

2

1, 0,

xf x

x

; 2 1

0

1 3 1: sin 2 1

4 nn

R n x

;

15.

1, ,

2 2

0, , ,2 2

x

f x

x

; 2 1

0

11 2: cos 2 12

n

nn

R n x

;

16.

0, , 0

, 0,

xf x

x x

;

1

21

12 1: cos 2 1 sin

4 2 1

n

n

R n x nxnn

;

17.

, , 0

0, 0,

x xf x

x

;

18.

, , 0

2 , 0,

x xf x

x x

;

1

21

3 12 1: cos 2 1 sin

4 2 1

n

n

R n x nxnn

;

19.

, , 0

, 0,

x xf x

x x

;

20

4 1: cos 2 1

2 2 1n

R n xn

;

20.

, , 0

, 0,

x xf x

x x

;

21.

, , 0

, 0,

x xf x

x x

;

22.

, , 0

, 0,

x xf x

x

;


3/8


23.

, , 02

, 0,

2

xx

f xx

x

;

1

1: sin

n

R nxn

;

24.

2

0, , 0

, 0,

xf x

x x

;

25.

2 , , 0

0, 0,

x xf x

x

;

26.

0, , ,2 2

, , 02 2

, 0,2 2

x

f x x x

x x

;

27.

, ,2

, ,2 2

, ,2

x x

f x x x

x x

;

2 2 2 2 2

2 cos 2cos 2 cos3 cos5 2cos6: ...

8 1 2 3 5 6

x x x x xR

;

28.

0, , 0 ,

1, 0,

x af x

x a

;

1

1 sin 1 cos: cos sin

2n

a na naR nx nx

n n

;

29.

1, , 0

cos , 0,

xf x

x x

;

21 1

1 1 2 8 2 1: cos sin sin 2 sin 2 1

2 2 2 12 1n n

nR x x nx n x

nn

;

30.

cos , , 0

cos , 0,

x xf x

x x

;

2

1

8: sin 2

2 1n

nR nx

n

;


4/8

4 CAPITOLUL 6

31. sinf x x ;

21

2 4 1: cos 2

2 1n

R nxn

;

32. sin2xf x ;

33. cosf x x ;

34. cos , \f x ax a ; 2 2

1

1sin 2: sin cos

n

n

a aR a nx

a a n

;

35. sin , \f x ax a ;

2 21

12: sin sin

n

n

nR a nx

a n

;

36. xf x e ;

1

2 21

1 1sh 2sh: cos sin

1 1

n n

n

nR nx nx

n n

;

II. S se dezvolte n serie Fourie urmtoarele funcii periodice : 0,2f , unde:

1. f x x ;1

2: sin

n

R nxn

;

2. 2

xf x ;

1

1: sin

n

R nxn

;

3. 2f x x ;2

21

4 4 4: cos sin

3n

R nx nxnn

;

4. 25 2f x x ;

5. 23 2f x x x ; 22

1 1

1 1: 4 2 12 cos 12 2 sin

n n

R nx nxnn

;

6. 2f x x ; ;

7. 1, 0

1, 2

xf x

x

;

2 10

4 1: sin 2 1

nn

R n x

;


5/8


8.

, 0,

2 , , 2

x xf x

x x

;

20

4 1: cos 2 1

2 2 1n

R n xn

;

9.

sin , 0,

0, , 2

x xf x

x

;2

1

1 sin 2 1: cos 2

2 1 4n

xR nx

n

;

10. 1xf x e ;

III. S se dezvolte n serie Fourier urmtoarele funcii periodice, cu perioada specificat:

1. , 1,1f x x x ,unde 2T ;

1

1

12: sin

n

n

R n xn

;

2. 1 1

3, ,2 2 2

xf x x

,unde 1T ;

3. , 2,2f x x x ,unde 4T ; ;

4. 21 , 1,1f x x x ,unde 2T ;

2 21

12 4: cos

3

n

n

R n xn

;

5. 2 1 , 0, 1f x x x x ,unde 1T ;

3 3

1

2 1 14: sin

n

n

R n xn

;

6. 0, 0

2

3, 02

x

f x

x

,unde T ;

7. 1,

2 2

31,

2 2

x

f x

x

,unde 2T ;

0

14: cos 2 1

2 1

n

n

R n xn

;

8. 1, 1 0

2 , 0 1

xf x

x x

,unde 2T ;

2 1

0

12 2 1: cos 2 1 sin

22 1

n

nn

R n x n xn

;


6/8

6 CAPITOLUL 6

9. ,

2 2

3,

2 2

x x

f x

x x

,unde 2T ;

20

14: sin 2 1

2 1

n

n

R n xn

;

10.

6 , 6 3

, 3 3

6 , 3 6

x x

f x x x

x x

,unde 12T ;

2 2

0

1 2 124: sin

62 1

n

n

n xR

n

;

11. sin , 0,f x x x undeT ;2

1

2 4 1: cos 2

4 1n

R nxn

;

IV. S se dezvolte n serie de cosinusuri urmtoarele funcii definite prin:

1. f x x pe 0, ;

21

12: cos

2

n

n

R n xn

;

2. 1f x x pe 0, 1 ;

2 2

0

1 4 1: cos 2 1

2 2 1n

R n xn

;

3. 4 2

xf x

pe 0, ;

4.

f x x x

pe 0,

;

5.

, 0, 1

1, 1, 2

x xf x

x

;

6.

, 0, 1

, 1, 2

x xf x

x x

;

7.

, 0, 1

2 , 1, 2

x xf x

x x

;

2 20

1 4 1: cos 2 1

2 2 1n

R n xn

;

8. 2f x x pe 0, 5 ;

9. 2 2f x x x pe 0, 2 ;2

1

2 1: 4 cos

3 2n

n xR

n

;


7/8


10. sinf x x pe 0, ;

21

2 4 1: cos2

2 1n

R nxn

;

11. cosf x x pe 0, 2 ;

12.

cos sin , 0,2

sin cos , ,2

x x x

f x

x x x

; 21

4 8 1: cos 4

4 1n

R nxn

;

V. S se dezvolte n serie de sinusuri urmtoarele funcii definite prin:

1. f x x pe 0, 2 ;

1

1

18: sin

2

n

n

n xR

n

;

2. 1f x x pe 0, 1 ;1

2 1: sin

n

R n xn

;

3. 4 2

xf x

pe 0, ;

4.

2, , 0

2, 0,

xf x

x

;

0

2 18: sin

2 1n

n xR

n

;

5.

, 0,2

0, ,2

x x

f x

x

; 1

1

2 1: sin

n

n

R nxn

;

6.

3, 0,

2

33 , , 3

2

x x

f x

x x

;2 2

1

12 1: sin sin

2 3n

n n xR

n

;

7.

, 0, 1

, 1, 2

x xf x

x x

;

8. 2f x x pe 0, 5 ;


8/8

8 CAPITOLUL 6

9. 2 2f x x x pe 0, 2 ;

3 3

0

2 132 1: sin

22 1n

n xR

n

;

10. cosf x x pe 0, 2 ;

2

0

2 14 2 1: sin

22 1 4n

n xnR

n

;

11. cos2f x x pe 0, ;

2

0

4 2 1: sin 2 1

2 1 4n

nR n x

n

;

12. sinf x x pe 0, 2 ;

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