cap 3 prob stat
description
Transcript of cap 3 prob stat
CAPITOLUL CAPITOLUL 3
VARIABILE ALEATOARE
3.1 Definiţia variabilei aleatoare
Majoritatea experimentelor de interes practic au ca rezultate valori numerice.
Aceasta înseamnă că rezultatul unei probe al unui experiment, poate fi
caracterizat de un număr sau de un cuplu de numere. Se poate, astfel considera
că fiecărei probe al unui experiment i se poate asocia un număr sau de un cuplu
de numere. Se poate atunci introduce noţiunea de variabilă aleatoare
(întâmplătoare) ca o funcţie reală definită pe mulţimea evenimentelor
elementare asociate experimentului considerat. Cuvântul aleator, subliniaza
faptul că se lucrează cu elemente generate de fenomene întâmplătoare, care nu
sunt guvernate de legi strict deterministe. Elementul dificil în analiza acestor
fenomene constă în faptul că deşi acestea au o anumită regularitate, este
imposibil de precizat cu certitudine rezultatul unei probe întâmplătoare.
Fie mulţimea evenimentelor elementare asociată unui anumit experiment,
rezultatele posibile fiind notate cu . Este posibil ca acesta să nu fie un rezultat
numeric în sine, dar i se poate atribui o anumită valoare numerică. De exemplu,
la distribuirea unor cărţi de joc, se poate atribui o anumită valoare numerică
fiecărei cărţi şamd.
DEFINIŢIE Orice funcţie f definită pe şi care ia valori în mulţimea
numerelor reale R, se numeşte variabilă aleatoare.
Prin urmare, fiecărui rezultat , , îi corespunde numărul real
, .
OBSERVAŢIE Numărul rezultatelor , , distincte este mai mic cel mult
egal cu n.
EXEMPLU Se consideră experimentul aruncării unui zar. Fie , ,
evenimentele care constau în apariţia feţei cu un număr i de puncte. Se poate
defini o variabilă aleatoare, ca fiind dată de .
Variabile aleatoare77
77
Se consideră acum că variabila aleatoare f înregistrează s valori distincte
, în condiţiile în care sunt înregistrate n evenimente elementare
, . Fie , evenimentele elementare pentru care
, . Notând , atunci:
.
EXEMPLU Se consideră o variabilă aleatoare g, dată de recolta de grâu pe un
hectar. În această situaţie variabila aleatoare poate avea orice valoare dintr-un
interval şi prin urmare apare următoarea clasificare, generată de natura
valorilor înregistrate.
DEFINIŢIE O variabilă aleatoare se numeşte discretă (discontinuă) dacă poate
lua numai valori izolate. Numărul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare
discrete poate fi finit sau infinit.
O variabilă aleatoare se numeşte continuă dacă poate lua valori care umplu
un interval finit sau infinit. Evident, numărul valorilor posibile ale unei
variabile aleatoare continue este întotdeauna infinit.
3.2 Repartiţia unei variabilei aleatoare discrete
Pentru a defini o variabilă aleatoare discretă este suficient să se enumere
toate valorile posibile pe care aceasta le poate lua. Însă, pentru a o cunoaşte
complet trebuie enumerate şi probabilităţile corespunzătoare fiecărei valori
înregistrate.
Se numeşte repartiţie a unei variabile aleatoare discrete enumerarea valorilor
posibile ale variabilei aleatoare şi a probabilităţilor corespunzătoare acestora.
De obicei repartiţia unei variabile aleatoare discrete se scrie sub forma unui
tablou în care prima linie conţine toate valorile posibile, iar a doua linie,
probabilităţile corespunzătoare :
, sau , .
Variabile aleatoare78
78
Ţinând seama că într-un experiment variabila aleatoare ia una şi numai una
din valorile sale posibile, rezultă că evenimentele care constau în aceea că
variabila ia valorile sau ,…, sau formează - după cum se ştie – un
sistem complet de evenimente. Prin urmare, suma probabilităţilor acestor
evenimente este egală cu unitatea :
.
3.3 Operaţii cu variabile aleatoare discrete
DEFINIŢIE Puterea de ordinul k a variabilei aleatoare f este variabila aleatoare
cu repartiţia :
.
DEFINIŢIE Dacă este un număr real, produsul dintre şi este variabila
aleatoare , cu repartiţia :
.
Fie şi două variabile aleatoare, având respectiv repartiţiile:
şi .
Se consideră evenimentul care constă în aceea că ia valoarea ,
şi ia valoarea , . Acest eveniment notat şi care
este intersecţia evenimentelor şi , constând în aceea că ia
valoarea , respectiv ia valoarea , are o probabilitate bine determinată:
.
Variabile aleatoare79
79
Cum evenimentele , , , în număr de ,
formează un sistem complet de evenimente, atunci :
.
DEFINIŢIE Variabila aleatoare are repartiţia:
, , .
DEFINIŢIE Variabila aleatoare are repartiţia:
, , .
Există vreo legătură între probabilităţile şi ?
Răspunsul la această întrebare este afirmativ, însă legătura dintre aceste
probabilităţi nu este întotdeauna simplă. Un caz în care această legătură este
foarte simplă este acela în care şi sunt independente.
DEFINIŢIE Variabilele şi se numesc independente probabilistic dacă pentru
orice şi , , , evenimentele şi sunt
independente. Prin urmare:
,
adică
.
În mod analog se pot defini sumele şi produsele a mai mult de două
variabile aleatoare, ca şi noţiunea de independenţă a unui număr oarecare de
variabile aleatoare.
Variabile aleatoare80
80
3.4 Momentele unei variabile aleatoare discrete
Se consideră două variabile aleatoare şi şi se presupune că poate lua
valorile , iar poate lua valorile . Pentru fiecare pereche
, fie probabilitatea ca să ia valoarea şi să ia valoarea ,
adică:
, , .
DEFINIŢIE Probabilităţile , , constituie repartiţia comună a
variabilelor aleatoare , .
DEFINIŢIE Variabilele aleatoare şi sunt independente, dacă pentru orice ,
şi orice , are loc:
.
Se consideră acum mai mult de două variabile aleatoare. Fie ,
variabile aleatoare, unde variabila aleatoare ia valorile ,
.
DEFINIŢIE Probabilităţile :
constituie repartiţia comună a variabilelor aleatoare .
DEFINIŢIE Variabilele aleatoare sunt independente, dacă pentru orice
, :
.
Variabile aleatoare81
81
DEFINIŢIE Variabilele aleatoare 1 sunt independente, dacă
orice număr finit de variabile aleatoare din acest şir sunt independente.
Introducem acum o caracteristică numerică foarte importantă, asociată
unei variabile aleatoare.
DEFINIŢIE Numărul
se numeşte valoarea medie a variabilei aleatoare .
EXEMPLU În experimentul cu zarul :
.
DEFINIŢIE Fie un număr întreg, . Numărul
se numeşte moment de ordinul al variabilei aleatoare .
OBSERVAŢIE Momentul de ordinul este valoarea medie.
DEFINIŢIE Numărul
se numeşte dispersia variabilei aleatoare .
Cu ajutorul acestor noţiuni introduse, se pot demonstra o serie de proprietăţi.
PROPRIETATEA 1 Fie o variabilă aleatoare şi un număr întreg, .
Atunci
1 Vom nota un şir şi sub forma
Variabile aleatoare82
82
Demonstraţie. Fie variabila aleatoare cu repartiţia
.
Atunci variabila aleatoare va avea evident repartiţia :
;
cu alte cuvinte, valorile şi au aceeaşi probabilitate ,
şi deci
( )
Din proprietatea anterioară se deduce imediat:
PROPRIETATEA 2 Fie o variabilă aleatoare care poate lua o singură valoare
cu probabilitatea (adică ). Atunci:
.
PROPRIETATEA 3 Fie o variabilă aleatoare şi un număr real. Atunci:
.
Demonstraţie. Fie variabila aleatoare cu valorile , având
probabilităţile şi fie . Această nouă variabilă aleatoare ia
valorile cu aceleaşi probabilităţi şi deci:
( )
Variabile aleatoare83
83
PROPRIETATEA 4 Fie variabile aleatoare . Atunci valoarea medie a
sumei acestor variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii, adică:
.
Demonstraţie. Fie mai întâi numai două variabile aleatoare şi . Se
presupune că variabila aleatoare ia valorile cu probabilităţile
, iar variabila aleatoare ia valorile cu probabilităţile
. De asemenea fie :
, , .
Fie ; această nouă variabilă aleatoare ia valoarea cu
probabilitatea , , . Prin urmare :
.
Suma , este suma probabilităţilor tuturor evenimentelor de forma
, unde indicele este acelaşi pentru toţi termenii sumei, iar
indicele variază de la un termen la altul, parcurgând toate valorile de la la
. Deoarece evenimentele pentru indici diferiţi sunt incompatibile
două câte două, suma este probabilitatea producerii unui eveniment
oarecare din cele evenimente , . Dar, a spune că s-a
produs un eveniment oarecare din evenimentele , , este
echivalent cu a spune că s-a produs evenimentul . Într-adevăr, dacă s-a
produs unul din evenimentele , , este evident că s-a
produs şi evenimentul ; reciproc, dacă s-a produs evenimentul ,
atunci întrucât variabila aleatoare ia neapărat una din valorile sale posibile
, trebuie să se producă şi un eveniment oarecare din evenimentele
Variabile aleatoare84
84
, . Aşadar, fiind probabilitatea producerii unui
eveniment oarecare din evenimentele , , este egală cu
probabilitatea evenimentului , adică
, .
În mod analog se deduce:
, .
Ţinând seamă de aceste expresii în relaţia , se obţine :
.
Pentru mai mult de două variabile aleatoare, se procedează prin inducţie. Fie
şi se presupune teorema adevărată pentru . Atunci :
.
Aplicând proprietatea pentru două variabile aleatoare, se obţine :
. ( )
PROPRIETATEA 5 Dispersia unei variabile aleatoare este dată de relaţia :
.
Demonstraţie.
Variabile aleatoare85
85
,
dacă se ţine seama de proprietatea precedentă. Mai departe, aplicând de două
ori proprietatea 1., se obţine :
.
PROPRIETATEA 6 Fie şi două variabile aleatoare independente. Atunci
valoarea medie a produsului acestor variabile aleatoare este egală cu produsul
valorilor medii, adică :
.
Demonstraţie. Se presupune că variabila aleatoare ia valorile cu
probabilităţile , iar variabila aleatoare ia valorile cu
probabilităţile . De asemenea :
, ,
şi cum f şi g sunt variabile independente:
, , .
Fie ; această nouă variabilă aleatoare ia valoarea cu
probabilitatea , , . Prin urmare:
.
PROPRIETATEA 7 Fie variabile aleatoare independente două câte
câte două. Atunci dispersia sumei acestor variabile aleatoare este egală cu suma
dispersiilor, adică:
Variabile aleatoare86
86
.
Demonstraţie. Din proprietatea 6 se deduce
.
Dacă se ţine seama de faptul că variabilele aleatoare sunt
independente, atunci din proprietatea 6 rezultă că cele două sume duble de mai
sus se reduc şi deci :
.
PROPRIETATEA 8 (Inegalitatea lui Cebîşev) Fie o variabilă aleatoare şi un
număr pozitiv oarecare. Atunci
,
sau
Demonstraţie. Fie o variabilă aleatoare care ia valorile cu
probabilităţile . Dispersia variabilei aleatoare este :
.
Variabile aleatoare87
87
Fie este un număr oarecare; dacă din suma de mai sus se elimină toţi
termenii pentru care şi rămân numai termenii pentru care
, suma poate numai să se micşoreze, adică
.
Această sumă se va micşora şi mai mult dacă în fiecare termen al ei vom
înlocui factorul prin valoarea inferioară :
.
Suma din partea dreaptă reprezintă suma probabilităţilor tuturor acelor valori
ale variabilei aleatoare care se abat de la valoarea medie de o parte
şi de alta cu mai mult de ; conform proprietăţii de aditivitate a două
evenimente incompatibile, aceasta este probabilitatea ca variabila aleatoare să
ia una din aceste valori. Cu alte cuvinte, această sumă este .
Adică :
,
ceea ce permite aprecierea probabilităţii abaterilor mai mari decât un număr
dat dinainte, cu condiţia numai să fie cunoscută dispersia .
Cu ajutorul proprietăţilor 7 şi 8 se poate demonstrăm următorul rezultat
foarte important, cunoscut sub numele de legea numerelor mari.
PROPRIETATEA 9 Fie un şir de variabile aleatoare
independente care au aceeaşi repartiţie şi deci, aceeaşi valoare medie şi
aceeaşi dispersie . Atunci, pentru orice şi arbitrari, , , există un
număr natural astfel încât îndată ce , are loc :
Variabile aleatoare88
88
.
Demonstraţie. Din proprietăţile 1 şi 4, se deduce:
şi deci, aplicând proprietatea 8, se obţine:
.
Dar:
,
de unde rezultă:
.
Fiind daţi , , se poate determina un număr natural , care
depinde de şi , astfel încât îndată ce , să rezulte :
;2
Prin urmare :
.
2 Drept putem lua primul număr natural pentru care .
Variabile aleatoare89
89
Cu alte cuvinte, proprietatea 9 arată că dacă variabilele aleatoare
sunt independente şi dacă au aceeaşi medie şi aceeaşi
dispersie , atunci pentru un suficient de mare, expresia va diferi
oricât de puţin de cu o probabilitate oricât de apropiată de .
Studiul independenţei a două variabile aleatoare se poate realiza şi prin
intermediul coeficientului de corelaţie.
DEFINIŢIE Se numeşte corelaţie a două variabile aleatoare, media produsului
abaterilor acestora:
.
PROPRIETATE .
Demonstraţie
DEFINIŢIE Se numeşte coeficient de corelaţie:
.
TEOREMĂ Corelaţia a două variabile aleatoare independente este nulă.
Demonstraţie Dacă variabilele X, Y sunt independente, atunci şi ,
respectiv sunt independente.
PROPRIETĂŢI
1) ;
Variabile aleatoare90
90
2) dacă şi numai dacă între variabilele X şi Y există o relaţie de
legătură liniară.
Demonstraţie 1) Fie , . , .
Calculând media variabilei aleatoare U, se obţine :
.
Calculând discriminantul şi impunând condiţia ca acesta să fie pozitiv,
rezultă proprietatea dată.
2) Fie , , .
3.5 Repartiţii discrete clasice
Repartiţia binomială
.
Parametrii acesteia sunt : , .
Repartiţia Poisson
.
Variabile aleatoare91
91
Parametrii acesteia sunt : , .
Repartiţia Poisson poate fi scrisă şi în forma:
, .
Distribuţia hipergeometrică
.
Parametrii acesteia sunt : , ,
Revenind la calculul parametrilor repartiţiilor, se obţine :
Repartiţia binomială
.
Fie binomul :
.
Derivând după x, rezultă:
.
Înmulţind cu x, rezultă:
Pentru .
Dacă derivăm încă o dată după x, rezultă:
şi înmulţind cu x .
Variabile aleatoare92
92
Pentru , de unde
rezultă că: .
Repartiţia Poisson
Considerând dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei în jurul originii rezultă:
,
.
Atunci
, adică .
Pentru determinarea dispersiei este necesar să se calculeze:
.
Prin urmare, repartiţia Poisson are .
Repartiţia hipergeometrică
Variabile aleatoare93
93
.
.
.
, unde , .
3.6 Mediana, cuantile, moda, asimetrie şi exces
DEFINIŢIE Fie o variabilă aleatoare care are densitatea de repartiţie . Se
numeşte modă a lui şi se notează cu abscisa punctului de maxim a
lui .
Dacă are un singur maxim, atunci se numeşte unimodală, iar dacă
are mai multe puncte de maxim se va numi plurimodală.
Variabile aleatoare94
94
EXEMPLU Se poate observa uşor că dacă , , atunci are
un singur maxim în şi deci .
OBSERVAŢIE Între valoarea medie , mediana şi moda
există aşa numita relaţie a lui Pearson:
DEFINIŢIE Raportul
dacă există, se numeşte asimetrie a repartiţiei lui , sau a lui .
DEFINIŢIE Expresia
dacă există se numeşte exces.
OBSERVAŢIE Mărimile sau indicatorii numerici definiţi mai sus sunt utili în
general în statistică pentru a studia diferite repartiţii.
3.7 Funcţia de repartiţie
DEFINIŢIE Pentru orice variabilă aleatoare , de numeşte funcţie de repartiţie a
lui funcţia
.
OBSERVAŢIE Din definiţie, se observă, că dacă este o variabilă aleatoare
discretă, atunci este dată de suma tuturor probabilităţilor valorilor lui
situate la stânga lui .
Variabile aleatoare95
95
EXEMPLU Fie . Atunci, conform definiţiei :
.
Expresia se numeşte salt al funcţiei în
punctul şi se poate observa că:
.
PROPOZIŢIE Dacă este o variabilă aleatoare discretă şi funcţia de
repartiţie a acesteia, atunci pentru orice două numere date, Are loc:
1)
2)
3)
4) .
Demonstraţie. Fie , ,
şi . , , . Ca
urmare a proprietăţilor probabilităţii , se poate scrie că:
1) ,
2) ,
3)
,
adică tocmai afirmaţiile din propoziţie.
Variabile aleatoare96
96
PROPOZIŢIE Dacă este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare , atunci
, ( este nedescrescătoare).
Demonstraţie. Din propoziţia 1.:
, , adică ,
.
3.8 Funcţia generatoare de momente
DEFINIŢIE Dacă există, expresia
se numeşte generatoare de momente asociată variabilei aleatoare .
OBSERVAŢIE Precizarea ,,dacă există’’ se referă la convergenţa sumei
sau a integralei când acestea o cer. Se presupune că şi
derivatele sale de ordin superior există. În plus, se constată că:
, , ,…
OBSERVAŢIE Utilizarea funcţiei generatoare de momente este recomandată
atunci când se pot calcula mai repede momentele decât pe cale directă.
EXEMPLU Fie , , , , .
Atunci . .
.
Variabile aleatoare97
97
3.9 Funcţia caracteristică
DEFINIŢIE Fiind date variabilele aleatoare şi , se numeşte variabilă
aleatoare complexă , unde se numeşte partea reală, iar se
numeşte partea imaginară. Valoarea medie a lui este, prin definiţie
.
Fie o variabilă aleatoare reală cu funcţie de repartuţie
, este o variabilă aleatoare complexă, având
şi deci, mărginită. Valoarea medie a acesteia există şi este o funcţie
, , pe care o numim funcţie caracteristică a variabilei aleatoare .
DEFINIŢIE Numim funcţie caracteristică a variabilei aleatoare expresia:
presupunând că suma este convergentă.
PROPOZIŢIA 1 , , .
PROPOZIŢIA 2 Două funcţii de repartiţie şi sunt identice dacă şi
numai dacă funcţiile lor caracteristice şi coincid.
PROPOZIŢIA 3 Fie şi două variabile aleatoare. Dacă , atunci
.
Demonstraţie.
.
PROPOZIŢIA 4 Dacă şi sunt variabile aleatoare independente, atunci
.
Demonstraţie
Variabile aleatoare98
98
.
PROPOZIŢIA 5 Dacă momentul de ordinul ( ) al unei variabile aleatoare
există, atunci derivata există pentru orice şi au loc relaţiile :
.
EXEMPLUL 1
.
3.10 Probleme rezolvate
1. Variabila aleatoare are şi . Se cere o
margine inferioară pentru probabilitatea .
Soluţie. Inegalitatea lui Cebîşev : ,
.
, deci
, de unde, conform inegalităţii lui Cebîşev:
.
2. Pentru variabila aleatoare sunt cunoscute media şi
momentul iniţial de ordinul doi . Stabiliţi o margine inferioară
pentru probabilitatea .
Variabile aleatoare99
99
Soluţie. Putem determina dispersia variabilei :
. Din
.
3. Să se determine dispersia variabilei aleatoare cu media şi
dacă inegalitatea lui Cebâşev este .
Soluţie. şi ,
, .
4. Variabila aleatoare discretă este dată de
. Determinaţi constanta şi aflaţi
.
Soluţie. este variabilă aleatoare dacă astfel încât
,
.
Distribuţia variabilei este .
.
5. Considerăm că şi sunt variabile aleatoare independente, iar
distribuţiile lor sunt:
Variabile aleatoare100
100
, , .
Să se scrie distribuţia variabilelor , , , . Pentru ce valori
ale lui ?
Soluţie.
, .
Distribuţia variabilei
3.11 Probleme propuse
1. Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete ale căror repartiţii sunt date în
tabelele incomplete de mai jos:
Y-2 -1 0 1 2
Variabile aleatoare101
101
X
-1
0
1
Y0 1 2 3 4
X
0
1
2
a) Să se completeze tabelul în fiecare caz (dacă este posibil) pentru ca să
conţină repartiţia comună ( ) precum şi repartiţiile individuale ( ) şi ( ) ale
lui şi ;
b) scrieţi variabilele aleatoare şi corespunzătoare;
c) calculaţi .
2. Fie variabilele aleatoare şi . Dacă
să se determine repartiţia comună a variabilelor aleatoare
şi şi apoi să se calculeze .
3. Pentru variabilele aleatoare:
Variabile aleatoare102
102
a) ; b) ;
a1) calculaţi , , , , , ;
a2) care din următoarele mărimi pot fi calculate şi care nu? De ce?
; , , ,
, ;
a3) calculaţi mărimile de la punctul a2) pentru care răspunsul este afirmativ.
4. Fie variabila aleatoare discretă , , . Să se calculeze
funcţia generatoare şi apoi funcţia caracteristică şi cu ajutorul acestora, pe rând
să se determine şi .
5. Calculaţi funcţia generatoare de momente şi funcţia caracteristică pentru
variabilele aleatoare
1) ; 2)
şi apoi verificaţi dacă momentele obţinute pe cale directă coincid cu cele
obţinute cu ajutorul acestor funcţii.
6. Scrieţi funcţia de repartiţie şi schiţaţi graficul acesteia pentru variabilele
aleartoare:
; .
7. Fie variabilele aleatoare independente:
; .
a) calculaţi , , , , , ;
b) care din următoarele mărimi pot fi calculate şi care nu? De ce?
; , , ,
, ;
c) calculaţi mărimile de la punctul b) pentru care răspunsul este afirmativ.
Variabile aleatoare103
103
8. Fie variabilele aleatoare şi . Dacă
, să se determine repartiţia comună a variabilelor
aleatoare şi şi apoi să se calculeze . Să se facă discuţie după .
9. Dacă , , , şi .
Calculaţi pentru:
.
10. Să se determine variabilele aleatoare şi
, ştiind că , , şi .
Calculaţi apoi , şi presupunând că X şi
sunt independente.
11. Fie variabilele aleatoare
1) ; 2) .
a) să se determine variabilele aleatoare;
b) să se scrie funcţia de repartiţie;
c) Să se reprezinte grafic .
12. Fie variabilele aleatoare şi . Dacă
şi determinaţi repartiţia comună a
variabilelor aleatoare şi şi apoi calculaţi .
13. Fie variabila aleatoare discretă , , , , .
Să se calculeze funcţia generatoare şi apoi funcţia caracteristică şi cu ajutorul
acestora, pe rând să se determine şi .
14. Să se determine variabilele aleatoare:
Variabile aleatoare104
104
şi ştiind că şi
. Să se calculeze apoi ; , , şi
.
15. Dacă şi sunt două variabile aleatoare astfel că ,
, şi , să se calculeze pentru
ştiind că .
Variabile aleatoare105
105