CURS 4 - Serii de numere reale. Serii de functii. Serii de...
Transcript of CURS 4 - Serii de numere reale. Serii de functii. Serii de...
CURS 4Serii de numere reale. Serii de functii. Serii de puteri
Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi
23 Octombrie 2017
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente
2 Serii de functii
3 Serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 28
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente
2 Serii de functii
3 Serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 3 / 28
Serii cu termeni oarecare
In aceasta sectiune vom analiza serii de tipul∑n∈N
xn, unde xn nu este neaparat pozitiv.
• Daca xn · xn+1 ≤ 0, ∀n ∈ N, atunci spunem ca seria∑n∈N
xn se numeste serie alternata.
Exemplu: Seria armonica alternata∑n∈N∗
(−1)n+1 1
neste convergenta.
Fie xn = (−1)n+1 1
nsi fie n, p ∈ N∗. Atunci avem
|xn+1 + ...+ xn+p| =∣∣∣∣(−1)n+1 1
n+ 1+ ...+ (−1)n+p+1 1
n+ p
∣∣∣∣ ≤ 1
n+ 1.
Cum limn→∞
1
n+ 1= 0⇒ ∀ε > 0, ∃nε =
[1
ε
]astfel ıncat
1
n+ 1< ε, ∀n ≥ nε.
Asadar |xn+1 + ...+ xn+p| < ε, pentru orice n ≥ nε si p ∈ N∗, adica (xn)n∈N∗ este sirfundamental.Prin urmare, conform Criteriului de convergenta al lui Cauchy,
∑n∈N∗
xn (C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 4 / 28
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Dirichlet)
Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale, si fie Sn := x1 + ...+ xn, n ∈ N∗. Daca:
sirul (Sn)n∈N∗ este marginit;
sirul (yn)n∈N∗ este monoton iar limn→∞
yn = 0,
atunci seria∑n∈N∗
xnyn este convergenta.
Demonstratie: Cum (Sn) este marginit ⇒ ∃M > 0 astfel ıncat |Sn| ≤M. Presupunem ca sirul(yn)n∈N∗ este descrescator si convergent la 0. Asadar avem:
∀ ε > 0,∃nε ∈ N∗ asa ıncat ∀n ∈ N∗, n ≥ nε : yn+1 <ε
2M.
Aplicand criteriul general al lui Cauchy de convergenta pentru∑n∈N∗
xnyn, obtinem ca,
∀ε > 0,∃n′ε = nε, n′ε ∈ N∗, asa ıncat, ∀n ∈ N∗, cu n ≥ n′ε si ∀ p ∈ N∗, avem:
|xn+1yn+1 + . . .+ xn+pyn+p| ≤Myn+1 +M(yn+1 − yn+2) + ...+M(yn+p−1 − yn+p)
+Myn+p ≤ 2Myn+1.
Asadar, vom obtine |xn+1yn+1 + . . .+ xn+pyn+p| < ε ⇒∑n∈N∗
xnyn (C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 5 / 28
Criterii de convergenta
Exemplu: Seria∑n∈N∗
cosn√n
este convergenta.
Vom considera xn = cosn si yn =1√n
. Aratam ca Sn = cos 1+cos 2+ . . .+cosn este marginit.
Observam ca
2 sin1
2Sn = 2 sin
1
2cos 1 + 2 sin
1
2cos 2 + . . .+ 2 sin
1
2cosn = sin
(n+
1
2
)− sin
(12
)
Asadar Sn =sin
n
2· cos
n+ 1
2
sin1
2
, ∀n ∈ N∗. Deci |Sn| ≤1∣∣∣∣sin 1
2
∣∣∣∣ =1
sin 12
, ∀n ∈ N∗.
Pe de alta parte, sirul
(1√n
)n∈N∗
⊂ R∗+ este descrescator si convergent la 0.
Fiind ındeplinite conditiile criteriului lui Dirichlet, rezulta ca∑n∈N∗
(cosn ·
1√n
)(C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 6 / 28
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Abel)
Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale. Daca
seria∑n∈N∗
xn este convergenta,
sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit,
atunci seria∑n∈N∗
xnyn este convergenta.
Demonstratie: Cum sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit ⇒ (yn) este convergent ın R.Fie y = lim
n→∞yn si fie zn := yn − y ⇒ (zn) este monoton, iar lim
n→∞zn = 0.
Cum∑n∈N∗
xn(C) iar (zn) este monoton cu limn→∞
zn = 0 ⇒∑n∈N∗
xnzn (C)
Pe de alta parte, cum y ∈ R iar∑n∈N∗
xn(C) ⇒∑n∈N∗
xny(C).
Asadar, ∑n∈N∗
xnyn =∑n∈N∗
xn(zn + y) (C) - suma de doua serii convergente
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 7 / 28
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Leibniz)
Daca sirul (un)n∈N∗ de numere reale pozitive este monoton si convergent la 0, atunci seria
alternata∑n∈N∗
(−1)nun este convergenta.
Exemplu: Seria∑n∈N∗
(−1)n1
neste convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 8 / 28
Convergenta absoluta a seriilor
Definitie
Spunem ca seria∑n∈N∗
xn este:
absolut convergenta (AC) daca∑n∈N∗
|xn| este convergenta;
semiconvergenta (SC) daca∑n∈N∗
xn este convergenta si∑n∈N∗
|xn| este divergenta.
Propozitie
Daca o seria∑n∈N∗
xn (AC), rezulta ca seria∑n∈N∗
xn (C).
Definitie
Se numeste produs Cauchy al seriilor de numere reale∑n∈N∗
xn si∑n∈N∗
yn, seria∑n∈N∗
zn, unde
zn = x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1, ∀n ∈ N∗.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 9 / 28
Convergenta absoluta a seriilor
Teorema (Mertens)
Fie∑n∈N∗
xn si∑n∈N∗
yn doua serii de numere reale.
Daca∑n∈N∗
xn (AC) si∑n∈N∗
yn (C) atunci seria produs Cauchy a celor doua serii este convergenta.
Mai mult, iar suma ei este egala cu produsul sumelor celor doua serii.
Corolar
Seria produs Cauchy a doua serii absolut convergente este absolut convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 10 / 28
Aproximarea seriilor convergente
Teorema (de aproximare a sumei unei serii alternate)
Fie seria∑n∈N∗
(−1)nxn, cu (xn)n∈N∗ monoton si convergent la 0. De asemenea, fie S suma
acestei serii si (Sn)n∈N∗ sirul corespunzator al sumelor partiale. Atunci:
|S − Sn| < |xn+1|,∀n ∈ N∗.
Teorema (de aproximare a sumei unei serii absolut convergente)
Fie∑n∈N∗
xn o serie absolut convergenta de numere reale, S suma sa si (Sn)n∈N∗ sirul
corespunzator al sumelor partiale. Atunci, daca exista λ ∈ (0, 1) si n0 ∈ N∗ astfel ıncat
i) n√|xn| ≤ λ, ∀n ≥ n0, avem: |S − Sn| ≤
λn+1
1− λ, ∀n ≥ n0
sau
ii)
∣∣∣∣xn+1
xn
∣∣∣∣ ≤ λ, ∀n ≥ n0, avem: |S − Sn| <|xn+1|1− λ
, ∀n ≥ n0.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 11 / 28
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente
2 Serii de functii
3 Serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 12 / 28
Serii de functii
Fie A ⊆ R, A 6= ∅ si fie (fn)n∈N∗ un sir de functii, unde fn : A→ R, n ∈ N∗.Vom nota o serie de functii de termen general fn prin
∞∑n=1
fn sau∑n∈N∗
fn.
Vom nota cu (Sn)n∈N∗ , Sn : A→ R, sirul sumelor partiale corespunzator seriei∑n∈N∗
fn, definit
prinSn(x) = f1(x) + f2(x) + ...+ fn(x), x ∈ A.
Definitie
Fie∞∑
n=1
fn o serie de functii definite pe multimea nevida A ⊂ R.
Spunem ca x0 ∈ A este un punct de convergenta al seriei de functii∞∑
n=1
fn, daca∞∑
n=1
fn(x0)(C).
Multimea tuturor punctelor de convergenta ale seriei∞∑
n=1
fn se numeste multimea de
convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 13 / 28
Serii de functii
Definitie
Fie A ⊂ R o multime nevida, fn : A→ R un sir de functii, si fie (Sn)n∈N∗ sirul sumelor partiale
atasat seriei∞∑
n=1
fn.
i) Spunem ca seria∞∑
n=1
fn converge punctual pe A daca∞∑
n=1
fn(x) este convergenta, ∀x ∈ A,
adica daca exista S : A→ R astfel ıncat Snp/A−→ S. In acest caz, vom nota S =
∞∑n=1
fn pe A.
ii) Spunem ca seria∞∑
n=1
fn este uniform convergenta pe multimea A, daca exista o functie
S : A→ R astfel ıncat Snu/a−→ S.
iii) Spunem ca∞∑
n=1
fn este absolut convergenta, daca seria∞∑
n=1
|fn| este convergenta punctual.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 14 / 28
Serii de functii
Exemplu: Fie seria de functii∞∑
n=0
1
(x+ n)(x+ n+ 1). Aratam ca seria este convergenta
uniform pe (0,∞). Intr-adevar
Sn =n∑
k=0
1
(x+ n)(x+ n+ 1)=
n∑k=0
(1
x+ k−
1
x+ k + 1
)=
1
x−
1
x+ n+ 1.
Observam ca limn→∞
Sn = limn→∞
(1
x−
1
x+ n+ 1
)=
1
x, pentru orice x ∈ (0,∞).
Asadar, seria de functii reale∞∑
n=0
1
(x+ n)(x+ n+ 1)este convergenta punctual la functia
f : (0,∞)→ R, f(x) =1
x.
Pe de alta parte, pentru orice x ∈ (0,∞), avem
|Sn(x)− f(x)| =∣∣∣∣ 1x − 1
x+ n+ 1−
1
x
∣∣∣∣ = 1
x+ n+ 1≤
1
n+ 1.
Prin urmare, seria∞∑
n=0
1
(x+ n)(x+ n+ 1)este convergenta uniform pe (0,∞).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 15 / 28
Serii de functii
Teorema lui Cauchy de convergenta uniforma
Fie A ⊂ R o multime nevida si fn : A→ R un sir de functii.
Seria de functii∞∑
n=0
fn converge uniform pe multimea A daca si numai daca
∀ε > 0, ∃nε ∈ N, a. ı. ∀n ≥ nε, ∀p ∈ N∗ : |fn+1 + fn+1 + ...+ fn+p| < ε, ∀x ∈ A.
Demonstratie: Fie (Sn)n∈N sirul sumelor partiale asociat seriei∞∑
n=0
fn. Cum (Sn) este
convergent uniform pe A daca si numai daca (Sn) este sir uniform Cauchy, vom avea ca pentruorice ε > 0, ∃nε ∈ N, astfel ıncat ∀n ≥ nε si orice p ∈ N avem
|Sn(x)− Sn+p(x)| < ε, ∀x ∈ A,
sau, echivalent,|fn+1(x) + ...+ fn+p(x)| < ε, ∀x ∈ A,
asadar teorema este demonstrata.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 16 / 28
Serii de functii
Teorema (Criteriul lui Weierstrass)
Fie A ⊂ R o multime nevida si fn : A→ R un sir de functii. Daca exista un sir de numere reale
pozitive (αn)n∈N astfel ıncat∞∑
n=0
αn este convergenta si
|fn(x)| ≤ αn, pentru orice n ∈ N si x ∈ A,
atunci seria de functii∞∑
n=0
fn este uniform si absolut convergenta pe A.
Exemplu: Fie seria∞∑
n=1
cosnx
n2 + x2, pentru orice x ∈ R.
∣∣∣∣ cosnx
n2 + x2
∣∣∣∣ ≤ | cosnx|n2≤
1
n2, pentru orice n ∈ N si orice x ∈ R,
iar seria numerica∞∑
n=1
1
n2, este convergenta. Asadar, aplicand criteriul lui Weierstrass, rezulta ca
seria∞∑
n=1
cosnx
n2 + x2, este uniform si absolut convergenta pe R.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 17 / 28
Serii de functii
In continuare, vom stabili doua criterii de convergenta uniforma (nu si absoluta) pentru serii de
functii de forma∑n∈N∗
fngn.
Teorema (Criteriul lui Abel pentru serii de functii reale)
Fie A ⊂ R o multime nevida si fn, gn : A→ R doua siruri de functii. Daca seria∑n∈N∗
fn este
uniform convergenta pe A iar sirul (gn(x))n∈N∗ este uniform marginit si monoton pentru orice
x ∈ A, atunci seria∑n∈N∗
fngn este uniform convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 18 / 28
Serii de functii
Teorema (Criteriul lui Dirichlet pentru serii de functii reale)
Fie A ⊂ R o multime nevida si fie fn, gn : A→ R doua siruri de functii. Daca seria∑n∈N∗
fn are
sirul sumelor partiale uniform marginit, iar sirul (gn)n∈N∗ este monoton descrescator si
convergent uniform la 0, atunci seria∑n∈N∗
fngn este uniform convergenta.
Teorema (Criteriul lui Leibniz pentru serii de functii reale)
Fie A ⊂ R o multime nevida si fie fn : A→ R un sir de functii.Daca (fn)n∈N∗ este un sir descrescator (pentru orice x ∈ A) si uniform convergent la 0, atunci
seria∑n∈N∗
(−1)nfn este uniform convergenta pe A.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 19 / 28
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente
2 Serii de functii
3 Serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 20 / 28
Serii de puteri
Definitie
Fie A ⊂ R, o multime nevida, (an)n∈N un sir de numere reale si x0 ∈ R.
Seria de functii∑n∈N
fn, ın care fn(x) = an(x− x0)n, ∀x ∈ A ,∀n ∈ N∗, se numeste serie de
puteri (sau serie ıntreaga), ın variabila x, centrata ın x0 si cu coeficientii an.Numarul real an se numeste coeficientul termenului de rang n din seria de puteri.
Observatii:
a) Toate rezultatele stabilite pentru serii de functii oarecari sunt aplicabile, desigur, si ın cazulparticular al seriilor de puteri.
b) O chestiune de baza din studiul seriilor de puteri este determinarea multimilor deconvergenta punctuala, absoluta si uniforma.
c) Vom nota cu Acp multimea de convergenta punctuala a unei serii de puteri∑n∈N
an(x− x0)n.
Este usor de aratat ca Acp 6= ∅.
d) In continuare, vom considera cazul ın care x0 = 0, adica asupra seriei∑n∈N
anxn.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 21 / 28
Serii de puteri
Teorema lui Abel
Pentru orice serie de puteri∑n∈N
anxnexista un element r ∈ [0,+∞], numit raza de convergenta a
seriei ın cauza, astfel ıncat:
i) daca r = 0, seria∑n∈N
anxneste convergenta numai pentru x = 0, adica Acp = {0};
ii) daca r > 0, atunci seria∑n∈N
anxneste absolut convergenta pe intervalul (−r, r);
iii) daca 0 < r < +∞, atunci seria∑n∈N
anxneste divergenta pe (−∞,−r) ∪ (r,+∞);
iv) daca r = +∞, atunci seria∑n∈N
anxneste convergenta pe R;
v) daca r > 0 si ρ ∈ (0, r), atunci seria∑n∈N
anxneste uniform convergenta pe orice interval
[α, β] ⊆ [−ρ, ρ].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 22 / 28
Serii de puteri
Propozitie
Fie∑n∈N
anxno serie de puteri si r raza ei de convergenta.
Daca exista ρ = limn→∞
n√|an|, atunci raza de convergenta a seriei este data de
r =
0, cand ρ = +∞1
ρ, cand 0 < ρ < +∞
∞, cand ρ = 0
.
Daca nu exista limn→∞
n√|an|, vom calcula r similar, doar ca de data asta, ρ = lim sup
n→∞n√|an|.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 23 / 28
Propozitie
Fie∑n∈N
anxno serie de puteri si r raza ei de convergenta.
Daca exista n0 ∈ N asa ıncat an 6= 0, ∀n ≥ n0, n ∈ N si exista ` = limn→∞
|an+1||an|
∈ R, atunci:
r =
0, cand ` = +∞1
`, cand 0 < ` < +∞
∞, cand ` = 0
.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 24 / 28
Serii de puteri
Observatii:
1. Pentru orice serie de puteri∑n∈N
anxn, avem:
(−r, r) ⊆ Acp ⊆ [−r, r].
2. Pentru gasirea multimii Acp, se determina raza de convergenta r si apoi se stabileste dacax = −r si x = r sunt sau nu puncte de convergenta ale seriei ın cauza.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 25 / 28
Serii de puteri
Exemple de serii de puteri de forma∑n∈N
anxn:
Seria nula: an = 0, n ∈ N. Avem r = +∞, Acp = R;Seria geometrica: cand an = 1. Avem r = 1, Acp = (−1, 1);
Seria∑n∈N
n!xn. Avem r = 0, Acp = {0};
Seria exponentiala,∑n∈N
1
n!xn. Avem r = +∞, Acp = R. Mai mult,
∞∑n=0
xn
n!= ex, x ∈ R.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 26 / 28
Serii de puteri
Observatie: Daca f : A ⊆ R→ R este o functie derivabila de orice ordin ın x0 ∈ A, atunci vom
numi serie Taylor asociata functiei f , ın punctul x0, seria de puteri∑n∈N
f (n)(x0)
n!(x− x0)n,
adica seria de puteri pentru care an =f (n)(x0)
n!.
Pentru x0 = 0 vom numi serie MacLaurin atasata functiei f , ın punctul x0 = 0, seria de puteri∑n∈N
f (n)(x0)
n!(x− x0)n.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 27 / 28
Bibliografie
Anca Precupanu - Bazele analizei matematice (Cap. 10), Editura Polirom, Iasi, 1998.
V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica (Cap. 10, 11 si 12),Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.
Emil Popescu - Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.
E. Macovei, F. Iacob - Matematica pentru anul I), Editura Universitatii ”Al. I. Cuza”, Iasi,2005.
W. F. Trench - Introduction to Real Analysis (Chap. 4), Library of CongressCataloging-in-Publication Data, 2010.
M. Postolache - Analiza matematica ( teorie si aplicatii ), Editura ”Fair Partners”,Bucuresti, 2011.
Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLA Department ofMathematics, Los Angeles, 2015.
M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:Power Series), ImperialCollege London, Department of Computing, 2016.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 28 / 28