Cap. 4 Metode aproximative de rezolvare

Caracteristica configuraţiilor problemelor care permit folosirea metodelor aproximative este în principal aceea că aceste configuraţii nu se pot racorda cu sistemele de coordonate existente deci nu admit soluţii analitice.

4.1 Metoda grafică a trasării spectrului

Metoda constă în desenarea suprafeţelor echipotenţiale şi a liniilor de câmp astfel încât, din intersecţia liniilor de câmp cu liniile suprafeţelor echi-potenţiale să rezulte dreptunghiuri curilinii elementare asemenea între ele, eventual patrate elementare. Notând cu n numărul liniilor de câmp şi cu v numărul liniilor echipotenţiale, dintre două suprafeţe conductoare, se poate evalua capacitatea electrică dintre aceste conductoare în funcţie de aceste numere. Metoda se poate utiliza dacă se ţine seama de următoarele condiţii:

- contururile suprafeţelor conductoare sunt linii echipotenţiale- liniile de câmp şi de inducţie sunt perpendiculare pe liniile echipo-

tenţiale şi pe suprafeţele conductoare- liniile de câmp ale inducţiei electrice sunt linii continue- fluxul electric trebuie să fie acelaşi în orice secţiune a unui tub

elementar de flux- la suprafaţa dintre doi dielectrici diferiţi este satisfăcută teorema

refracţiei liniilor de câmp.Pentru exemplificare, ne referim la configuraţia plan-paralelă din fig.4.1 a, în care este reprezentat un conductor de lungime L , de secţiune dreptunghiu-lară, perpendicular pe planul figurii şi paralel cu un semispaţiu conductor. Mediul izolant dintre conductoare este omogen, de permitivitate relativă εr , izotrop şi fără polarizaţii permanente.

89Fig. 4.1

Fluxul electric prin suprafaţa elementară a∙1 ( fig.7.35.b ) este Δ ψ = ε0 εr E a∙1 [C/m]

Fluxul printr-o coroană care înconjoară blocul conductor este ψ = n Δ ψ = ε0 εr nE a [C/m]

Fluxul total pe lungimea L în direcţia normală la planul figurii egal -conform legii fluxului electric - cu sarcina totală a blocului are expresia

Ψt = L ψ = ε0 εr nE a L [C]

în care, intensitatea câmpului electric este

Sarcina electrică totală este

Folosind notaţia capacitatea va fi K

Dacă a = l ( un patrat) expresia capacităţii ia forma

Deşi teoria metodei este simplă, trasarea liniilor de câmp şi a liniilor echi-potenţiale este dificilă şi necesită deseori multiple corectări ale formei celor două familii de curbe pentru a se obţine elemente dreptunghiulare asemenea, eventual patrate.

În fig.4.2 se prezintă cazul unei configuraţii cu simetrie axială repre-zentând o vergea conductoare parţial introdusă într-un canal cilindric practi-cat într-un semispaţiu conductor. Se vor folosi aceleaşi notaţii ca şi în cazul precedent, dar se va observa în plus că intensitatea câmpului electric E este invers proporţională atât cu distanţa r dintre axul vergelei la un punct oare-care din câmp, cât şi cu lăţimea a a dreptunghiului elementar format din două linii consecutive de câmp şi două linii consecutive echipotenţiale.

Fluxul electric prin suprafaţa elementară de arie 1∙ [rad] r∙a este

90

Fig. 4.2

Δ ψ = r a ε E [C]

în care, , [V/m]

iar prin coroana circulară din care face parte este

ψ = 2 π Δ ψ = 2 π r a ε [C]

Fluxul total corespunzător unui număr n de linii de câmp, este egal - conform legii fluxului electric - cu sarcina q totală, corespunzătoare acestui flux:

Ψt q = n ψ = [C]

Dacă notăm rezultă capacitatea (parţială) corespunzătoare liniilor de câmp considerate, pentru un mediu omogen dat, de permitivitate relativă εr :

Mărimea K este funcţie de parametrul r, ceea ce însemnă că şi capacitatea parţială este funcţie de alegerea acestui parametru . Trasarea liniilor de câmp în exteriorul canalului, este şi ea, deci, funcţie de r . În interiorul canalului tubular, r este constant. Când liniile de câmp se aleg numeroase, ( n mare) atunci, pentru păstrarea asemănării dintre patrulaterele (curbate) numărul liniilor echipotenţiale ( v ) creşte de asemenea în mod proporţional.

Trasarea spectrului unei configuraţii date, nu este întotdeauna simplă. Dacă spre exemplu se începe cu trasarea liniilor echipotenţiale şi apoi se con-tinua cu trasarea liniilor de câmp, trebuie satisfăcute mai multe condiţii. În pri-mul rând, liniile de câmp trebuie să fie desenate astfel încât, să fie normale atât la armăturile conductoare cât şi la liniile echipotenţiale. În al doilea rând, dreptunghiurile sau patrulaterele curbate ce rezultă din intersecţiile celor două familii de curbe trebuie să fie asemenea între ele. De regulă, aceste condiţii nu se pot realiza simultan la prima trasare, fiind necesare mai multe încercări de corectare fie a liniilor de câmp, fie a liniilor echipotenţiale, numărul corecţi-ilor fiind funcţie de abilitatea şi de experienţa celui care le execută.

91

4.2 Metoda aproximării formei liniilor de câmp

Deseori, ecuaţiile liniilor de câmp au fie expresii pentru care nu există soluţii analitice ale integralei lor de linie necesare determinării tensiunii dintre conductoare, fie ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de câmp nu au soluţii analitice. Una din metodele aproximative de depăşire a acestor dificultăţi este înlocuirea liniilor de câmp care au curbură mai slabă prin segmente de dreaptă şi înlocuirea liniilor curbate prin arce de cerc. Aceste aproximaţii, uneori destul de forţate, conduc la integrale atât de simple, încât, modulul câmpul electric de-a lungul unei linii de câmp devine constant, iar două linii de câmp alăturate devin echidistante, în sensul că distanţa dintre punctele a două linii vecine obţinute prin intersecţia lor cu o dreaptă normală la ele, se menţine constantă.

Spre exemplu, dacă o linie de câmp (c) de lungime L este formată dintr-un arc de cerc de lungime c şi un segment de dreaptă, de lungime l tensiunea electrică de-a lungul liniei se poate scrie astfel:

U = În figurile 4.3 şi 4.4 sunt reprezentate aproximaţiile liniilor de câmp,ale unor configuraţii simple, iar în continuare, se prezintă câteva exemple de cal-cul ale altor configuraţii.

92

Fig.4.3 Fig.4.4

Fig.4.5

Bunăoară, capacitatea dintre prisma având secţiunea unui triunghi echilateral de latură a şi lungime l paralelă cu un semispaţiu conductor faţă de care vârful triunghiului se află la înălţimea h (fig. 4.5) se calculează prin însumarea dublei capacităţi a feţei înclinate şi a dublei capacităţi a jumătăţii feţei orizontale faţă de semispaţiu:

Efectuând calculele, se obţine

C =

În continuare, se prezintă alte exemple de calcul.

Primul exemplu se referă la câmpul dintre o placă conductoare cu dimensiunile din fig.4.6 perpendiculară pe un semispaţiu conductor, cu baza inferioară situată la înălţimea h de acesta. Se cere să se determine capacitatea dintre cele două conductoare.

Soluţia I Tensiunea electrică dintre placa de potenţial V1 şi semispaţiul de potenţial V0 în ipoteza aproximării unei linii de câmp cu un sfert de cerc de rază r şi un segment de dreaptă de lungime h este:

de unde rezultă modulul câmpului electric

Fluxul electric al unui tub de flux elementar de lungime constantă l şi lăţi-me dr este

934Fig.4.6

Fluxul total al ambelor feţe ale plăcii este

iar capacitatea

În figura 4.7 sunt reprezentate pentru comparaţie, configuraţiile reale ale liniilor de câmpului electric cât şi ale liniilor echipotenţiale.

0

0,5

1

1,5

2

0,5 1,5 2 x

jy

u(x,y)=

ct.

v(x,y)=ct.

-0,5-1-1,5-2 1

Fig.4.7

Soluţia a 2-aÎntrucât liniile de câmp dintre ariile elementare dA ale tubului de

flux elementar sunt echidistante, (ca şi în cazul condensatorului plan a cărui capacitate este ε A / d ) se poate folosi o formulă de acest tip, pentru ambele feţe ale plăcii:

Alt doilea exemplu se referă la un condensator plan de arie A cu armăturile uşor înclinate una faţă de cealaltă astfel încât, liniile lui de câmp să se poată înlocui cu segmente de dreaptă. Dacă g este distanţa mijlocie dintre armă-turi, iar a << g este o lungime dată, atunci la cele două extremităţi ale plă-cilor distanţele dintre ele sunt g – a şi g + a. (fig. 4.8) . Lăţimea pe ori-zontală este notată pe figură cu 2 b.

94

Capacitatea condensatorului se determină integrând capacitatea dintre

două arii corespondente elementare: în care,

şi

=

Deoarece se poate face înlocuirea

Rezultă,

Dacă plăcile sunt orizontale, adică pentru a = 0 se regăseşte for-mula condensatoului plan.

Al treilea exemplu: calculul capacităţii condensatorului cu armături tronconice coaxiale, ale căror prelungiri se întâlnesc într-un acelaşi vârf pe axa de simetrie. Armăturile au generatoare de lungimi egale, de deschideri α1 şi α2 şi extremităţi situate la distanţele R1 şi R2 de vârful comun al conurilor lor generatoare (fig. 4.9). Se aproximează liniile de câmp supuse efectului de margine, prin arce cerc concentrice care au centrul în acelaşi vârf.

Tensiunea electrică dintre armături se poate exprima de-a lungul orică-rei linii de câmp de rază arbitrară r , în felul următor :

în care, s-a ţinut seama de faptul că vectorii E(r) şi dl sunt omoparaleli, iar modulul elementului de linie este un arc de cerc infinit mic de rază r şi des-chidere dα. Modulul E( r ) se poate exprima în funcţie de modulul câmpului electric E1 (r) ce porneşte de pe armătura interioară dintr-un punct arbitrar, din condiţia conservării fluxului electric care străbate coroanele circulare de arii elementare 2 π r sin α1 dr şi 2 π r sin α dr în care α este un unghi cuprins între unghiurile α1 şi α2 :

ε0 E1 (r) 2 π r sin α1 dr = ε0 E (r) 2 π r sin α dr

Rezultă,

Se înlocuieşte (7.95) în (7.94) şi se obţine

95

Fig. 4.8

= =

= (4.1)

Pentru determinarea capacităţii electrice, este necesar să se exprime densitatea sarcinii electricii de pe armătura interi-oară ρs1(r) conside-rată încărcată pozi-tiv, în funcţie de mo-dulul câmpului E1 (r) Conform formei lo-cale a legii fluxului electric,densitatea de suprafaţă a sarcinii este

ρs1(r) = ε0 E1 (r)

iar sarcina electrică de pe armătură are expresia

Din (4.1) produsul se înlocuieşte în ultima integrală :

= U

obţinându-se capacitatea

96

Fig. 4.9

.

4.2.1. CALCULUL ANALITIC AL INDUCTIVITĂŢII UNUI SENZOR INDUCTIV CU MIEZ MOBIL

Se prezintă un calcul analitic original, în care se ia în calcul efectul de capăt, asupra căruia ne vom opri în cele ce urmează.

Considerăm o bobină cilindrică de lungime l mult mai mare decât raza a, cu N0 spire pe unitatea de lungime. În interiorul bobinei se introduce parţial o vergea cilindrică de rază b < a şi lungime egală cu cea a bobinei, confecţionată dintr-un material feromagnetic de permeabilitate relativă r (fig. 4.7). Inductivitatea echivalentă a bobinei se calculează considerând-o ca fiind formată din două bobine legate în serie şi cuplate magnetic. Notăm cu L11 segmentul bobinei în care este introdus miezul, cu L22 segmentul fără miez şi cu M inductivitatea mutuală dintre cele două bobine. Inductivitatea echivalentă:

. (4.10)

Fig. 4.7

4.2.1.1. CALCULUL INDUCTIVITĂŢILOR PROPRII L11 ŞI L22

Câmpul magnetic fiind paralel cu axa de simetrie, el va fi, conform

teoremei lui Ampère , egal cu N0 i atât în miez cât şi în aerul dintre

vergea şi spire. Fluxul magnetic fascicular din prima bobină este:

, (4.11) în care,

97

şi .Deci, prima inductivitate proprie va fi:

. (4.12)

Cea de-a doua inductivitate proprie, corespunzătoare segmentului fără miez al

bobinei, se calculează în mod asemănător: în care,

şi . (4.13)

4.2.1.2. CALCULUL INDUCTIVITĂŢII MUTUALE M DINTRE SEGMENTELE BOBINEI

Pentru determinarea inductivităţii mutuale este necesar să se calculeze fluxul magnetic propriu al capetelor vergelei feromagnetice prin segmentul fără miez al bobinei. Acest calcul se face în ipoteza unei repartiţii radiale a câmpului magnetic la polii vergelei (fig. 4.8).

Fig. 4.8

Se calculează mai întâi fluxul magnetic al polilor, printr-o bobină elementară infinit plată, situată la distanţa y de polul B, de grosime dy şi de rază a, integrând inducţiile magnetice corespunzătoare pe suprafeţele calotelor sferice ACA şi ACB care se sprijină pe bobina elementară şi au razele RA(y) şi RB(y) trasate din extremităţile A şi B ale vergelei, (fig. 4.9).

Fluxul magnetic produs de polul B al vergelei, la distanţa RB=RB(y) se obţine aplicând legea fluxului magnetic suprafeţei sferice b din figura 4.9:

Rezultă, .

98

Fig. 4.9

Fluxul acestei inducţii prin calota sferică ACB se obţine - din motive de simetrie - prin înmulţirea inducţiei cu aria calotei:

.Inductivitatea mutuală elementară dată de fluxul polului B prin bobina plată de grosime dy este

.

Analog, inductivitatea mutuală elementară corespunzătoare fluxului produs de polul A prin ACA (în sens invers) este dată de o relaţie asemănătoare:

.Inductivitatea elementară rezultantă va fi dată de diferenţa:

,adică,

. (4.14)

Pentru integrare exprimăm variabilele y în funcţie de unghiuri:

Notăm pentru simplificarea calculelor:

99

. (4.15)

Înlocuind în (4.14) (figura 4.10) şi integrând, se obţine

Efectuând calculele se obţine prin înlocuirea funcţiilor trigonometrice cu rapoarte de lungimi:

. (4.16)

Fig. 4.10

4.2.1.3. CALCULUL INDUCTIVITĂŢII ECHIVALENTE

Inductivitatea echivalentă este dată de (4.10). Se folosesc de asemenea relaţiile (4.12), (4.13), (4.15), (4.16) şi se obţine:

.(4.17)

Notând , se obţine inductivitatea raportată: adică,

.

Notând; ; şi (material feromagnetic) se obţine:

100

(4.18)

Cazuri particulare : 1) Miez complet introdus în bobină (X = 0, x = 0)

.2) Miez complet extras din bobină (X = 1, x = l)

.

3) Pentru , adică pentru l = 5a se obţine:

şi .

Pentru o vergea de rază de cinci ori mai mică decât raza bobinei şi pentru o permeabilitate relativă se obţin următoarele inductivităţi maxime şi minime normalizate: şi .

Cel de-al treilea termen al expresiei (4.18) reprezintă contribuţia fluxului magnetic al polilor vergelei feromagnetice.

Reluând datele particulare ab = 5, al = 0,2 şi se obţin următoarele inductivităţi normalizate, pentru diferite distanţe X normalizate (formula (4.18)):

X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

L0 1025 999 938 859 772 679 585 489 392 293,7 195,3

Dacă se neglijează contribuţia polilor vergelei, respectiv dacă se neglijează efectul lor de margine, se obţine inductivitatea normalizată

, (4.19)care reprezentată grafic în funcţie de valorile maxime (X = 0) şi minime (X = 1) ia forma: . din figura 4.11.

În sfârşit, dacă se neglijează contribuţia polului mai depărtat A de extremitatea opusă se obţine relaţia:

. (4.20)

101

Graficul acestei funcţii este practic confundat cu graficul funcţiei date de relaţia (4.18), de unde concluzia că este suficientă luarea în consideraţie a efectului de margine al vergelei din polul B, fluxul polului A prin sectorul fără miez al bobinei fiind neglijabil.

Fig. 4.11 Fig. 4.12

În graficul din figura 4.12 sunt reprezentate dependenţa de X a inductivităţilor normalizate exprimate prin relaţiile (4.18), (4.19) şi (4.20).Legenda la Fig. 4.12: (1) - graficul dat de relaţia (4.19) (2) - graficul dat de relaţia (4.18)(practic confundată cu relaţia (4.20))

4.3. Senzorul cu bobină cilindrică lungă cuplată cu o bobină plată

Un posibil senzor inductiv este prezentat în lucrarea [15]. Acesta constă

din asocierea unei bobine lungi cu o bobină plată mobilă cu care este cuplată

magnetic.

4.3.1. Calculul inductivităţii mutuale

102

Pentru determinarea inductivităţii mutuale a cuplajului bobină lungă -

bobină plată, se foloseşte un model care permite un calcul analitic relativ simplu.

Modelul constă în admiterea unui câmp magnetic uniform în interiorul bobinei

lungi şi a unui câmp radial la cele două capete. În fig. 4.13 s-a reprezentat

inducţia magnetică la unul din capetele bobinei lungi.

Menţionăm însă că în regiunea desenată, acţionează şi inducţia magnetică

radială a celeilalte extremităţi care nu a mai fost reprezentată pentru a nu

complica figura. Inducţia magnetică rezultantă se obţine prin superpoziţia celor

două inducţii.

Inducţia magnetică radială de la unul din capetele bobinei, se calculează

cu ajutorul legii fluxului magnetic ( ) aplicată suprafeţei sferice de

rază oarecare R:

,

în care este fluxul magnetic fascicular din interiorul bobinei. Rezultă

inducţia magnetică radială a capătului de bobină din dreapta:

. (4.41)

Fluxul magnetic fascicular al bobinei lungi este:

103

f

B

B

1

0R

Fig. 4.13

, (4.42)

în care indicii zero se referă la inducţia/câmpul din interiorul bobinei, iar

indicele 1 la secţiunea A1, numărul de spire N1, lungimea l1 şi intensitatea

curentului i1 din bobină. Înlocuind în formula (4.41) se obţine se obţine inducţia

magnetică radială B1 a capătului din dreapta al bobinei:

. (4.43)

Fluxul magnetic fascicular prin bobina plată circulară şi coaxială cu prima,

de număr de spire N2 şi rază R2 se calculează prin două calote sferice de arii Aca

cu centrul în extremitatea din stânga (a) a bobinei şi Acb cu centrul în

extremitatea din dreapta (b) a ei, (fig. 4.14).

Fig. 4.14

Fluxul magnetic fascicular se obţine cum s-a specificat, prin superpoziţie:

,

în care B1a este inducţia magnetică dată de extremitatea (a), iar B1b este inducţia

dată de extremitatea (b) ale bobinei.

104

Deoarece

fluxul fascicular se mai poate scrie în felul următor:

în care,

şi

.

Rezultă, deci, fluxul

şi inductivitatea mutuală

.(4.44)

Inductivitatea mutuală maximă se obţine pentru :

.(4.45)

Pentru generalitate introducem o inductivitate mutuală normalizată

în funcţie de variabila normalizată

.

105

Se obţine

, (4.46)

sau notând

,

rezultă

. (4.47)

4.3.2. Rezultate experimentale

Determinarea experimentală a inductivităţii mutuale considerate, nu

aparţine autorului lucrării. S-au folosit nişte date preexistente obţinute în urma

unor experimente cu o bobină lungă (cu nr. de inventar B129446) având

lungimea l1=30 cm şi un galet de transformator cu raza medie R2=15,5cm.

Măsurătorile au fost efectuate folosindu-se un compensator de curent alternativ

capabil, între altele, de a determina inductivităţi ale unor bobine.

Se utilizează rezultatele experimentale obţinute doar pentru a verifica

rezultatele teoretice la care s-a ajuns, în scopul comparării curbei teoretice dată

de relaţia (4.46) în care s-a luat , respectiv curba dată de

(4.48) ,

106

cu cea care a rezultat din măsurători. Întrucât compensatorul nu determină decât

inductivităţi proprii, nu şi mutuale, s-a folosit următorul procedeu pentru

determinarea inductivităţii mutuale L21 = M21.

Cele două bobine (cea lungă şi cea plată) au fost legate în serie, cu

posibilitatea inversării sensului curentului prin cea de a doua bobină (fig. 4.15).

Fig. 4.15

Cele două bobine înseriate pot fi legate astfel încât fluxurile să fie în

concordanţă, caz în care inductivitatea echivalentă măsurată este

sau, prin intermediul inversorului I ele să fie în opoziţie, când inductivitatea

echivalentă măsurată este:

Prin scădere, se obţine inductivitatea mutuală:

107

(4.49)

Pentru a putea compara rezultatul experimental cu cel teoretic (4.48), s-a

determinat o inductivitate mutuală (măsurată) normalizată, împărţindu-se cu

inductivitatea mutuală maximă, (pentru ) dată de

(4.50)

Împărţind relaţiile (4.49) şi (4.50) se obţine inductivitatea mutuală (măsurată)

normalizată

(4.51)

Se compară, prin urmare, l21 (analitic) dat de (4.48) cu m21 (măsurat) dat de

(4.51).

Reprezentând grafic cele două expresii, se obţin curbele din fig. 4.15.

108

Fig. 4.16

Rezultatele comparativ sunt prezentate în tabelul următor, în care

TABEL privind inductivităţile mutuale l21 (măsurată) şi m21 (calculată) -

normalizate

x 0 l1

X -0,5 -0,25 1 0,25 0,5 1

m12 1 0,935 0,645 0,381 0,191 0,049

l12 1 0,907 0,636 0,353 0,177 0,056

r % 0 2,99 1,395 7,34 7,32 -0,0142

Deşi curbele sunt practic la fel de apropiate în zonele (-0,5 ; 1) şi (0,25 ;

0,5), erorile relative sunt mai mari în această ultimă zonă, din cauza

amplitudinilor mici ale curbelor în această regiune.

109