4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

50
77 3. METODE DE CALCUL ENERGETICE ŞI APROXIMATIVE ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR 3.1. Generalităţi Scopul primordial al activităţilor inginereşti este realizarea de maşini, aparate, instalaţii etc. În istoria ingineriei sunt consemnate numeroase si tuaţii în care s-au creat maşini noi fără să existe o bază teoretică sau formule de calcul. Exemplul cel mai cunoscut este motorul cu ardere internă, pentru care nici în prezent nu sunt elucidate toate aspectele teoretice şi de calcul (fenomenele implicate sunt foarte diferite şi complexe: procese chimice de ardere, transmisia căldurii, dinamica gazelor, solicitările mecanice, ungerea, zgomotul, uzura etc), dovadă fiind faptul că an de an apar perfecţionări care duc la reducerea consumului de combustibil sau la creşterea performanţelor motoarelor. Pe măsură ce s-au dezvoltat matematica, fizica, metalurgia, mecanica etc a fost posibilă elaborarea de teorii şi relaţii de calcul pentru unele probleme inginereşti, din ce în ce mai complexe. Dar inginerii au înţeles că unele fenomene şi procese sunt atât de complicate încât nu este posibilă abordarea lor teoretică, iar elaborarea unor metode şi relaţii de calcul exacte, uneori, este imposibilă. Pentru a ieşi din impas s-au impus în practică teorii, metode şi relaţii de calcul aproximative, cu utilizări mai restrânse sau mai generale, bine precizate. O teorie sau o formulă de calcul aproximativă poate fi foarte utilă inginerilor, dacă este folosită cu discernământ. De fapt, orice activitate inginerească se desfăşoară în condiţiile unei precizii date, de obicei, abateri sau erori de 5...30 % fiind acceptabile pentru activităţile curente. Dezvoltarea calculatoarelor numerice foarte performante a dus, în ultimele decenii, la elaborarea şi perfecţionarea unor metode

Transcript of 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

Page 1: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

77

3.

METODE DE CALCUL ENERGETICE ŞI

APROXIMATIVE

ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR

3.1. Generalităţi

Scopul primordial al activităţilor inginereşti este realizarea de

maşini, aparate, instalaţii etc. În istoria ingineriei sunt consemnate

numeroase situaţii în care s-au creat maşini noi fără să existe o bază

teoretică sau formule de calcul. Exemplul cel mai cunoscut este

motorul cu ardere internă, pentru care nici în prezent nu sunt

elucidate toate aspectele teoretice şi de calcul (fenomenele implicate

sunt foarte diferite şi complexe: procese chimice de ardere,

transmisia căldurii, dinamica gazelor, solicitările mecanice, ungerea,

zgomotul, uzura etc), dovadă fiind faptul că an de an apar

perfecţionări care duc la reducerea consumului de combustibil sau la

creşterea performanţelor motoarelor.

Pe măsură ce s-au dezvoltat matematica, fizica, metalurgia,

mecanica etc a fost posibilă elaborarea de teorii şi relaţii de calcul

pentru unele probleme inginereşti, din ce în ce mai complexe. Dar

inginerii au înţeles că unele fenomene şi procese sunt atât de

complicate încât nu este posibilă abordarea lor teoretică, iar

elaborarea unor metode şi relaţii de calcul exacte, uneori, este

imposibilă. Pentru a ieşi din impas s-au impus în practică teorii,

metode şi relaţii de calcul aproximative, cu utilizări mai restrânse sau

mai generale, bine precizate. O teorie sau o formulă de calcul

aproximativă poate fi foarte utilă inginerilor, dacă este folosită cu

discernământ. De fapt, orice activitate inginerească se desfăşoară în

condiţiile unei precizii date, de obicei, abateri sau erori de 5...30 %

fiind acceptabile pentru activităţile curente.

Dezvoltarea calculatoarelor numerice foarte performante a dus,

în ultimele decenii, la elaborarea şi perfecţionarea unor metode

Page 2: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

78

numerice energetice şi aproximative de calcul, care s-au impus în

toate domeniile inginereşti prin realizări spectaculoase ca, de

exemplu, cucerirea spaţiului cosmic. Acest proces de ansamblu se

regăseşte şi în rezistenţa materialelor. De fapt, calculele de rezistenţă

sunt în esenţă aproximative, dintr-o multitudine de considerente,

metoda de calcul fiind doar o verigă a unui proces complex creativ.

În rezistenţa materialelor se folosesc, chiar de la naşterea ei ca ştiinţă,

metode energetice şi aproximative de calcul, dintre care, cele mai

importante, se prezintă în acest capitol. Trebuie făcută precizarea că,

pe de o parte, unele metodele energetice pot fi aproximative, iar pe

de altă parte, că unele metode aproximative nu sunt energetice (sau

nu sunt formulate în termeni energetici). Aceste metode au

numeroase variante, ele constituind o „familie consistentă” şi un

domeniu distinct al ingineriei. Metodele numerice – aproximative –

de calcul au avantajul că sunt mult mai generale decât cele analitice

şi se pretează foarte bine pentru a fi implementate pe calculatoare. Observaţie: Este relativ dificil să se facă o distincţie categorică între metode

analitice şi numerice de calcul. Frecvent, cu relaţii analitice se elaborează programe

de calcul numeric, sau un algoritm numeric, când se foloseşte pentru un program

de calculator, trebuie să aibă o formă „analitică”, necesară procesului de

programare, ca programul să fie cât mai general şi cât mai uşor de elaborat.

Metodă energetică de calcul se numeşte, generic, cea care

presupune utilizarea, sub o formă oarecare, concepte, legi sau

formule de calcul privind diversele forme ale energiei mecanice:

cinetică, potenţială, de deformaţie, totală, complementară etc.

Practica inginerească a dovedit că aceste metode sunt simple,

generale şi eficiente pentru numeroase clase de probleme de calcul.

Explicaţia constă în faptul că energia este, ca şi materia, o „entitate”

fundamentală a universului, omniprezentă, în toate procesele din

natură fiind implicate aspecte energetice, guvernate de legi generale

şi relativ simple. Cele mai importante teoreme generale privind

procesele energetice în sistemele deformabile sunt: a reciprocităţii

lucrului mecanic, a reciprocităţii deplasărilor şi a reciprocităţii

forţelor.

Principiul metodelor variaţionale de calcul constă în faptul că

soluţia problemei se caută sub forma analitică (de regulă), a unei

funcţii oarecare

Page 3: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

79

v = f (a1, a2, a3, ..., x, y, z), (3.1)

în care: v este funcţia căutată (de exemplu, relaţia dintre deplasări sau

tensiuni şi variabilele independente x, y, z);

- a1, a2, a3, ... parametri arbitrari, care se aleg - se variază - astfel

încât funcţia v să se apropie (adică să aproximeze) cât mai “exact”

soluţia exactă (necunoscută) a problemei.

Se va prezenta numai problema variaţională unidimensională,

aplicată la calculul barelor, adică se consideră că v depinde numai de

x (variabila definită în lungul axei barei). Acest fapt simplifică

explicaţiile, dar nu diminuează generalitatea metodelor prezentate.

Probleme în două dimensiuni (adică v = v (x,y)) sunt cele plane şi ale

plăcilor subţiri.

Există o multitudine de metode variaţionale, diferenţiate de

modul în care se aleg parametrii a1, a2, a3, …, în funcţie de specificul

problemei care se rezolvă.

Cea mai importantă, cea mai veche şi cea mai utilizată metodă

variaţională este cea energetică (a lui Ritz) în care parametrii a1, a2,

a3, ..., se determină din condiţia ca “energia potenţială totală” a

sistemului să fie minimă. Ea este relativ sigură (este o metodă

aproximativă) în ceea ce priveşte precizia rezultatului obţinut.

Metoda implică stabilirea expresiei energiei potenţiale totale a

sistemului, ceea ce nu este totdeauna uşor. Celelalte metode

aproximative (metoda Galerkin, metoda reziduului ponderat, metoda

abaterii pătratice minime, metoda elementelor finite, metoda

diferenţelor finite etc) sunt, de fapt, metode de integrare (variaţionale

sau de analiză infinitezimală) aproximativă a ecuaţiilor diferenţiale.

3.2. Teorema energiei potenţiale totale minime

Pentru un sistem (corp, structură) elastic în echilibru principiul

deplasărilor virtuale se formulează astfel: condiţia necesară şi

suficientă pentru ca un sistem elastic să fie în echilibru este ca lucrul

mecanic al forţelor exterioare, Pi, (sarcinilor) pe deplasările virtuale

(mici), δsi, compatibile cu legăturile, să fie egal cu variaţia energiei

interne, δW, (de deformaţie), pentru aceleaşi deplasări.

Se presupune că pentru sistemul elastic considerat există o

funcţie, U, a cărei variaţie, δU, pentru deplasările virtuale, δsi, este

egală şi opusă ca semn cu lucrul mecanic, pe aceleaşi deplasări, al

Page 4: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

80

forţelor exterioare, Pi , care îşi păstrează valoarea constantă. Funcţia

U se numeşte potenţialul forţelor exterioare. Se poate scrie

.sPU i

n

1i

i

(3.2)

Se presupune că variaţia lucrului mecanic al forţelor exterioare

se transformă complet în energie de deformaţie a sistemului, adică

cele două valori sunt egale. Aceeaşi valoare o are şi lucrul mecanic

efectuat de sistemul elastic după încetarea acţiunii sarcinilor. Un

astfel de proces de deformare se numeşte reversibil şi pentru el

δW + δU = 0 sau δ (W + U) = 0. (3.3)

În concluzie, pentru un proces de deformare reversibil, variaţia

energiei de deformaţie în urma încărcării şi descărcării complete a

sistemului este egală cu zero. Prin urmare, pentru procesele

reversibile, valoarea energiei de deformaţie nu depinde de modul în

care sunt aplicate sarcinile asupra sistemului, ci numai de valoarea

lor finală.

În relaţia (3.3) suma energiei de deformaţie W şi a lucrului

mecanic al sarcinilor U se numeşte energia potenţială totală a

sistemului şi se notează Π = W + U, iar condiţia (3.3) devine

δ Π = 0. (3.4)

Consecinţa relaţiei (3.4) este că dacă, pentru un sistem elastic

reversibil aflat în echilibru, variaţia funcţiei Π în cazul unei

modificări foarte mici a poziţiei şi / sau formei acestuia este egală cu

zero, înseamnă că funcţia Π are una din valorile extreme. Dacă Π are

valoare maximă, poziţia de echilibru este instabilă. Dacă Π are

valoare minimă, poziţia de echilibru este stabilă, aceasta fiind

teorema energiei potenţiale totale minime.

Criteriul echilibrului stabil al sistemelor elastice reversibile al

valorii minime a energiei potenţiale totale, este foarte general şi

permite rezolvarea unor vaste categorii de probleme ale rezistenţei

materialelor. Aceasta nu însemnă că soluţiile obţinute cu metode

energetice sunt totdeauna mai simple decât cele obişnuite. În

numeroase cazuri, metodele curente de rezolvare, bazate pe condiţiile

de echilibru static, duc mai repede la rezultat decât o metodă

variaţională energetică. Totuşi, pentru probleme mai complicate ale

mecanicii solidului deformabil (şi ale rezistenţei materialelor),

Page 5: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

81

metodele energetice nu numai că sunt mai avantajoase, dar pot fi

chiar de neînlocuit.

Metodele energetice au avantaje notabile prin aceea că permit

elaborarea unor algoritmi şi metodologii aproximative, relativ simple

şi generale, pentru numeroase categorii de probleme inginereşti.

3.3. Metoda Ritz

În esenţă, metoda Ritz constă în determinarea valorii extreme a

unei funcţionale. Fie integrala definită

b

a.dx ) v",v',v,x( (3.5)

Se cere să se găsească o funcţie v = v(x) care să satisfacă

condiţiile la limită, iar funcţionala Φ să aibă o valoare extremă. În

acest scop se alege funcţia necunoscută v(x) de forma (relaţia (3.1))

v = v (a1, a2, a3, ..., an, x). (3.6)

Această funcţie trebuie să satisfacă condiţiile la limită date,

pentru orice valori ale parametrilor arbitrari a1, a2, a3, ..., an şi să fie

cât mai apropiată de funcţia reală v(x), deocamdată necunoscută, însă

anticipată, într-o oarecare măsură, pe baza informaţiilor privind

esenţa fizică a problemei.

Înlocuind valoarea funcţiei v(x) alese sub forma (3.6) şi a

derivatelor sale în (3.5), se obţine

b

an321 ,dx ) x,a ..., ,a ,a ,a( (3.7)

care, după integrarea în raport cu x, devine

Φ = Φ (a1, a2, a3, ..., an). (3.8)

Valorile constantelor a1, a2, a3, ..., an se aleg astfel ca funcţia Φ să

aibă o valoare extremă. În acest scop trebuie ca

.0a

.....;0a

;0a

;0a n321

(3.10)

Se obţin astfel n ecuaţii, din care necunoscutele a1, a2, a3, ..., an,

pot fi determinate. Funcţia aleasă, v, (3.6), va da funcţionalei Φ, cu o

oarecare aproximaţie, o valoare extremă. Gradul de aproximare este

determinat, în acest caz, de numărul de parametri an aleşi şi de forma

aleasă pentru funcţia v(x).

Page 6: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

82

Exemplu.

Să se determine săgeata şi tensiunea maximă pentru bara din

figura 3.1, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, încărcată cu o

sarcină uniform distribuită. Observaţie: Bara este raportată la

sistemul uzual de coordonate oxyz, cu

axa ox în lungul barei şi cu axa oz în

jos. Ar trebui, conform uzanţei, ca

deplasarea după direcţia oz să fie notată

cu w. Dar pentru a nu se face confuzii

cu energia de deformaţie, notată cu W, se va utiliza notaţia v pentru deplasarea

după oz.

Pentru orice bară încărcată cu sarcina uniform distribuită q,

energia potenţială totală are expresia

.dxqv"vEI2

1 U W 2

y (3.11)

Funcţia v trebuie astfel aleasă încât expresia (3.11) să aibă o

valoare extremă. Se ştie din capitolele anterioare că funcţia v este, de

fapt, de gradul patru (v. cap. 4). Aşa cum s-a precizat, aici se va

utiliza metoda aproximativă Ritz. Prin urmare, se va alege, pentru o

primă aproximaţie, funcţia

v = a (1 – cos πx / 2ℓ). (3.12)

Pentru orice valoare a parametrului a, această funcţie satisface

condiţiile geometrice la limită şi anume:pentru x = 0→v =0 şi v’ = 0.

Înlocuind în (3.11) funcţia (3.12) se obţine

00

22

4

y dx2

xcos1qadx

2

xcosa

2EI

2

1,

în care cele două integrale au valorile

0 0

2 2dx

2

xcos;

2dx

2

xcos .

Prin urmare, expresia energiei potenţiale totale este

21qa

22aEI

2

14

2

y

.

Funcţia Π trebuie să aibă o valoare minimă, deci

Figura 3.1

Page 7: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

83

,02

1q22

aEIa

4

y

din care rezultă

.2

132

.EI

qa

4

y

4

Ecuaţia axei barei deformate este

.2

xcos1

EI

q21

32v

y

4

4

Valoarea săgeţii maxime este:

- calculată prin integrarea ecuaţiei obişnuite a axei barei

vmax = 0.125 qℓ4 /EIy;

- calculată prin metoda Ritz vmax = 0.11937 qℓ4 /EIy.

Comparând cele două valori se constată o eroare de 4.5 % a

metodei Ritz faţă de soluţia „exactă”. Observaţie: De fapt şi soluţia exactă are un anumit grad de aproximare,

deoarece ecuaţia diferenţială v” = - Miy/EIy s-a obţinut în ipoteza că v’2 este

neglijabil comparativ cu 1 (v. cap. 4).

Este util să se compare şi valorile tensiunilor maxime:

- pentru soluţia obişnuită ζmax = 0.5 qℓ2/Wy;

- pentru soluţia Ritz

.W/q29454.0,0xpentru

,2

xcos

2a

W

EI

W

"vEI

W

M

y

2

max

2

y

y

y

y

y

iy

Comparând cele două valori eroarea este de 41%.

Generalizând rezultatele obţinute, se constată că metoda Ritz dă,

în general, o aproximare bună pentru funcţie şi una mai puţin bună

pentru derivatele ei (ζ este proporţional cu v”), deoarece, de regulă,

se caută ca funcţia aleasă să reprezinte cât mai bine curba reală nu şi

derivatele ei. Dacă se fac noi aproximaţii, se pot obţine soluţii mai

precise, atât pentru funcţie cât şi pentru derivatele ei. De exemplu,

pentru exemplul considerat, se poate alege funcţia v sub forma unei

serii, în care expresia (3.12) să fie primul termen.

Page 8: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

84

3.4. Metode pentru rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor

diferenţiale. Metoda Galerkin

În unele cazuri este mai avantajos să nu se determine expresia

energiei potenţiale totale, Π, a sistemului, ca la metoda Ritz, ci să se

rezolve aproximativ ecuaţia diferenţială obţinută prin metodele

obişnuite (frecvent, este vorba de ecuaţii de echilibru).

Se presupune că soluţia problemei inginereşti care trebuie

rezolvată este cea a ecuaţiei diferenţiale

L(x, v, v’, v”, . . . ) = 0, (3.13)

care se consideră de forma (3.6). Aceasta trebuie să satisfacă toate

condiţiile la limită ale problemei (sau, cel puţin, cele mai importante

dintre ele), pentru orice valori ale parametrilor a1, a2, a3, ..., an .

De regulă, pentru sistemele elastice, condiţiile la limită sunt de

două tipuri:

- geometrice, care se impun deplasărilor (unghiuri şi deplasări

liniare);

- de solicitare, care privesc forţele şi momentele de la capetele

barelor sau de pe conturul plăcilor. Observaţie: Pentru metoda Ritz, de regulă, nu este necesară satisfacerea

tuturor condiţiilor la limită, fiind suficientă doar îndeplinirea condiţiilor

geometrice. De exemplu, funcţia (3.12) de la exemplul anterior, satisface toate

condiţiile geometrice, dar numai una din cele de solicitare şi anume, pentru x = ℓ,

Miy = 0, adică v” = 0. Cea de a doua condiţie - pentru x = ℓ, TZ = 0, adică v”’ = 0,

nu este îndeplinită. Cu toate acestea, metoda Ritz a dus la rezultate satisfăcătoare

pentru exemplul considerat.

Pentru majoritatea metodelor aproximative de calcul se impune,

însă, îndeplinirea tuturor condiţiilor la limită, atât geometrice cât şi

de solicitare, ceea ce este de multe ori dificil de realizat, dar practic

posibil.

Alegerea formei soluţiei (3.6) trebuie să aibă în vedere aspectul

soluţiei probabile, pe baza informaţiilor privind problema care se

rezolvă. Funcţia v trebuie să fie cât mai apropiată de soluţia reală, sau

să permită o apropiere cât mai mare de soluţia reală, adică să ducă la

o cât mai bună aproximare a soluţiei reale, necunoscute, pentru

variaţia corespunzătoare a parametrilor a1, a2, a3, ... „Arta” alegerii

unor asemenea funcţii depinde de fantezia şi experienţa celui care

face calculele.

Page 9: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

85

Forma cea mai simplă şi cea mai utilizată pentru funcţia v este

cea a unei serii

v = a1 . θ1(x) + a2 . θ2(x) + a3 . θ3(x) + ... (3.14)

în care θ1(x), θ2(x), θ3(x) ..... sunt funcţii oarecare de x, denumite

funcţii de pondere.

După ce a fost aleasă funcţia v se determină valorile parametrilor

a1, a2, a3, ... astfel încât v, (3.14) să aproximeze cât mai bine soluţia

ecuaţiei (3.13).

Dacă se înlocuieşte funcţia (3.14) în ecuaţia (3.13), acesta nu va

fi egală cu zero, deoarece funcţia v nu este soluţia exactă a ecuaţiei,

adică

L(x, a1, a2, a3, ...) = f(x) ≠ 0,

în care f(x) este funcţia eroare, sau funcţia reziduu, care va fi mai

mult sau mai puţin diferită de zero, în măsura în care expresia v a

fost bine (sau mai puţin bine) aleasă. Dacă soluţia v este exactă,

atunci f(x) va fi zero, pentru orice valoare a variabilei x. Deci funcţia

f(x) este, într-o anumită măsură, un indice al abaterii soluţiei

aproximative faţă de cea reală. Problema constă în aceea că trebuie

variaţi parametrii a1, a2, a3, ... astfel ca funcţia eroare să fie cât mai

apropiată de zero. Acest demers poate fi realizat prin mai multe

metode, denumite, în general, metode ale reziduului ponderat, cea

mai utilizată fiind metoda Galerkin. Dintre numeroasele ei variante,

se prezintă doar forma „de bază”.

Metoda Galerkin.

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (3.13) se alege de forma seriei

(3.14), care trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită ale

problemei.

Etapele rezolvării problemei sunt:

- se înlocuieşte soluţia (3.14) în ecuaţia (3.13), care devine

L(x, a1, a2, a3, ...) = f(x); (3.15)

- se înmulţeşte funcţia eroare (reziduul), f(x), succesiv cu fiecare

din funcţiile de pondere θ1(x), θ2(x), θ3(x)... şi se integrează

produsele respective pe întreg domeniul de variaţie al variabilei x;

- se egalează cu zero integralele obţinute şi rezultă, astfel, un

sistem de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor a1, a2, a3, ...

Page 10: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

86

b

a

1 ;0)x(.)x(f

b

a

2 ;0)x(.)x(f

b

a

3 ;0)x(.)x(f ...... (3.16)

- se rezolvă sistemul de ecuaţii (3.16) şi se obţin valorile

constantelor a1, a2, a3, ...;

- se înlocuiesc a1, a2, a3, ... în (3.14), obţinându-se astfel soluţia

aproximativă a ecuaţiei (3.13).

Concluzii şi observaţii.

1. Condiţiile (3.16) reprezintă, din punct de vedere matematic,

cerinţa ca funcţia eroare, f(x), să fie ortogonală în raport cu funcţiile

θ1(x), θ2(x), θ3(x).... Rezolvând problema abordată aproximativ, nu

este posibil ca funcţia eroare să fie ortogonală în raport cu toate

funcţiile θi(x), ci numai cu unele dintre ele. În acest mod se apropie

de zero funcţia eroare nu numai pentru funcţii ortogonale, ci şi pentru

orice funcţii θi(x).

2. Se demonstrează că metoda Galerkin este legată de metodele

energetice, fiind o variantă a acestora.

3. Spre deosebire de metoda Ritz, la metoda Galerkin nu este

necesar să se scrie expresia energiei potenţiale totale, dar funcţia de

aproximare trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită, adică nu

numai cele geometrice (ca la Ritz) ci şi cele de solicitare. În acest

sens se spune că metoda Galerkin este mai sensibilă la gradul de

aproximare al derivatelor funcţiei.

4. Ca şi metoda Ritz, metoda Galerkin dă rezultate mai puţin

precise pentru tensiuni decât pentru deplasări, aceasta fiind

consecinţa faptului că funcţia se alege astfel încât ea să aproximeze

bine problema dată, dar derivatele ei (de care depind tensiunile), de

regulă, nu.

5. În general, metodele aproximative de rezolvare a problemelor

structurilor deformabile duc la soluţii care determină mai precis

deplasările decât tensiunile. Această situaţie se datorează faptului că

deplasările unei structuri sunt, în principiu, rezultatul comportării

globale a structurii, pe când tensiunile sunt determinate de

configuraţiile locale, geometrice şi de solicitare. Deci, în principiu,

pentru determinarea exactă a tensiunilor trebuie elaborate modele şi

metode de calcul locale.

Page 11: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

87

Exemplu.

Este profitabil, pentru a compara metodele Ritz şi Galerkin şi a

evidenţia asemănările, deosebirile, avantajele şi dezavantajele lor, să

se abordeze acelaşi exemplu, adică bara din figura 3.1 şi prin metoda

Galerkin.

Pentru început se va considera aceeaşi funcţie v ca şi la metoda

Ritz, adică (3.12). Pentru scrierea condiţiilor (3.16) trebuie avută în

vedere ecuaţia diferenţială a axei deformate a barei, care este

EIy v” – q (ℓ -x)2 / 2 = 0. (3.17)

Condiţiile (3.16) devin

,0dx2

xcos1)x(q

2

1

2

xcos

2aEI

0

2

2

y

din care rezultă vmax = 0.05752 qℓ4 /EIy , adică mai puţin de jumătate

din valoarea exactă, care este vmax = 0.125 qℓ4 /EIy.

Explicaţia pentru abaterea foarte mare a soluţiei obţinute, faţă de

soluţia exactă, este că funcţia (3.12), aleasă pentru v, reprezintă bine

ecuaţia axei deformate a barei dar mai puţin bine derivatele sale

(prima şi mai ales a doua, care reprezintă momentul încovoietor). La

rezolvarea problemei prin metoda Ritz acest fapt duce la abateri

numai ale tensiunilor (care depind de derivatele funcţiei), pe când

metoda Galerkin duce la abateri atât ale deplasărilor (funcţia) cât şi

ale tensiunilor (derivatele). De asemenea funcţia v aleasă nu satisface

condiţia de solicitare la limită v”’(x=ℓ)= 0, deci condiţia ca forţa

tăietoare Tz să fie nulă în capătul liber al barei.

În concluzie, funcţia v trebuie aleasă altfel. Este mai avantajos,

pentru metoda Galerkin, să se aleagă expresia derivatei de ordinul cel

mai mare care intră în ecuaţia diferenţială şi apoi să se determine

funcţia. De exemplu, dacă se alege

v” = a (1 – sin πx / 2ℓ), (3.18)

prin integrare se obţine funcţia

.BAx2

xsin

2

2

xav

22

Din condiţiile la limită: pentru x = 0 → v’ = 0 şi v =0,

rezultă B = 0 şi A = -2ℓ/π şi

Page 12: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

88

.x2

2

xsin

2

2

xav

22

(3.19)

Se înlocuieşte expresia (3.19) în ecuaţia (3.17) şi se scriu

condiţiile (3.16). După efectuarea calculelor se obţine:

1624

6

1/

6

1648

60

1.

EI2

qa

2353

y

2;

vmax = 0.11598 qℓ4 /EIy ; ζmax = 0.4317 qℓ

2/Wy.

Rezultatele obţinute sunt de precizie satisfăcătoare. Precizii şi

mai mari se pot obţine dacă pentru (3.18) se alege o serie ca, de

exemplu, ..,5,3,1

n ,nx /sin - (1 a"v pentru care volumul

calculelor creşte foarte mult.

3.5. Metode pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme

dinamice. Metoda Rayleigh

Se consideră bara dreaptă din figura 3.2, de rigiditate la

încovoiere EIy, constantă şi masa m pe unitatea de lungime.

În ecuaţia diferenţială a axei

barei deformate, EIy∂4v/∂x

4 = p(x), se

consideră că p(x) este chiar forţa de

inerţie a barei, conform principiului

lui d’Alambert şi astfel se obţine

ecuaţia diferenţială a vibraţiilor libere

ale barei sub forma

EIy∂4v/∂x

4 + m ∂

2v/∂t

2 = 0, (3.20)

căreia i se pot asocia, de exemplu, condiţiile la limită:

pentru x = 0 şi x = ℓ → v = 0; pentru x = ℓ/2 → ∂v/∂x = 0. (3.21)

Metoda Rayleigh şi Rayleigh-Ritz.

Pentru a obţine pulsaţia corespunzătoare modului fundamental de

vibraţie al unei bare se egalează expresia energiei cinetice maxime cu

cea a energiei potenţiale de deformaţie maximă. Pentru bara

considerată, energia de deformaţie, W, este

Figura 3.2

Page 13: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

89

,dxx/vEI2

1W

2

0

22

y

iar energia cinetică

.dxt/v)x(m2

1E

2

0

C

Presupunând că vibraţia este armonică, adică v(x, t) = V(x) cos

ωt, din condiţia (Rayleigh) (W)max = (EC)max, rezultă expresia

pulsaţiei sub forma

0

2

2

0

22

y

2 .dxV)x(m/dxx/VEI (3.22)

Pentru a afla din (3.22) valoarea ω2 a pulsaţiei trebuie să se

considere o anumită formă pentru funcţia V(x), care să satisfacă

condiţiile la limită (3.21) şi nu obligatoriu şi ecuaţia de mişcare

(3.20). O astfel de formă este V(x) = 1 – cos (2πx/ℓ), care, înlocuită

în (3.22), permite obţinerea valorii aproximative a pulsaţiei

fundamentale şi anume ω1 = 22.792 k , ( 2

y /mEIk ), care

diferă cu 1.87% de valoarea exactă (22.3729 k).

O variantă a acestei metode este ce cunoscută sub numele

Rayleigh-Ritz, care permite determinarea, aproximativă, a mai multor

pulsaţii proprii ale vibraţiilor unui sistem elastic (bară). În acest scop

se consideră o formă mai generală pentru funcţia V(x), ca, de

exemplu

V(x) = C1 f1(x) + C2 f2(x) + .... + Cn fn(x), (3.23)

în care C1, C2,...., Cn sunt constante şi f1, f2,...., fn funcţii care satisfac

condiţiile la limită ale problemei date. Dacă se înlocuieşte funcţia

(3.23) în ecuaţia pulsaţiei (3.22), se obţine ω2 ca funcţie de

constantele C1, C2,...., Cn. Condiţia ca valorile aproximative ale

pulsaţiilor să aibă abateri cât mai mici faţă de cele exacte duce la

sistemul de ecuaţii

,0C.....CC n

2

2

2

1

2 (3.24)

a cărui rezolvare permite determinarea primelor n pulsaţii ale

vibraţiilor libere.

Pentru bara considerată ca exemplu (fig. 3.2) se poate scrie

relaţia (3.23) sub forma

Page 14: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

90

V(x) = C1[1 – cos (2πx/ℓ)] + C2[1 – cos (4πx/ℓ)], (3.25)

care se înlocuieşte în (3.22). Scriind condiţiile (3.24) se obţine

următoarea problemă de valori proprii:

,C

C

32

23m

C

C

160

01EI16

2

12

2

1

3

y

4

ale cărei soluţii sunt

,k35.221 cu

575.0

1

C

C

2

1 şi ,k1241 cu .

4488.1

1

C

C

2

1

3.6. Metode energetice pentru calculul deplasărilor barelor şi

structurilor din bare. Metoda Mohr-Maxwell

Energia potenţială de deformaţie a unui sistem de bare poate fi

calculată fie ca lucru mecanic al sarcinilor, fie ca lucru mecanic al

eforturilor. Această constatare a permis elaborarea unor metode

energetice foarte eficiente pentru calculul deplasărilor barelor şi

structurilor din bare.

Se consideră că este respectată ipoteza linearităţii fizice, cea a

linearităţii geometrice, că principiul suprapunerii efectelor este

aplicabil – atât pentru eforturi cât şi pentru deplasări – şi că procesul

de deformare al sistemului este reversibil, sau – altfel spus – starea

finală a sistemului nu depinde de succesiunea aplicării sarcinilor. De

asemenea, se presupune că solicitarea este statică (nu există procese

dinamice, vibraţii, fenomene de propagare etc).

Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti).

Se consideră un sistem elastic încărcat cu o forţă P1 în punctul A

şi cu o forţă P2 în punctul B, ca în figura 3.3.a.

Page 15: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

91

Când se aplică forţa P1 în punctul A, acesta produce deformarea

sistemului şi deplasarea punctului A într-o poziţie oarecare, în

cazul general. Ceea ce interesează este componenta, δA1, a

acestei deplasări pe direcţia forţei (fig. 3.3.b), deoarece lucru l

mecanic produs de aceasta este U1=P1 δA1 /2 (factorul ½ se datorează

faptului că solicitarea este statică, adică forţa P1 se aplică lent,

crescător de la zero la P1). În continuare, în prezenţa forţei P1, se

aplică forţa P2 în punctul B, care produce deplasarea δB2 (fig. 3.3.c) şi

lucrul mecanic U2=P2 δB2 /2, precum şi deplasarea punctului de

aplicaţie al forţei P1 cu δA2, efectuând lucrul mecanic U12=P1 δA2, la

calculul căruia nu se introduce factorul ½ deoarece forţa P1 parcurge

cu întreaga sa valoare deplasarea δA2.

Lucrul mecanic total al sarcinilor este

U’tot = U1 + U2 + U12=P1 δA1 /2 + P2 δB2 /2 + P1 δA2. (3.26)

Reluând procesul, cu aplicarea mai întâi a forţei P2 şi apoi a lui

P1, se obţine (fig. 3.3.d şi e)

U”tot = U2 + U1 + U21=P2 δB2 /2 + P1 δA1 /2 + P2 δB1. (3.27)

Ca urmare a ipotezelor considerate, trebuie ca

U’tot=U”tot → din care rezultă→U12=U21→ sau →P1δA2=P2δB1. (3.28)

Uzual, formularea acestei teoreme se face într-o formă generală,

considerând că:

- forţele P1 şi sunt P2 sunt două sisteme de sarcini, denumite,

sistem primar, respectiv secundar;

- forţele pot fi forţe generalizate (forţe şi momente);

- deplasările pot fi deplasări generalizate (deplasări lineare şi

rotiri).

Teorema reciprocităţii lucrului mecanic se formulează astfel:

dacă asupra unui sistem elastic se aplică succesiv două sisteme de

sarcini, lucrul mecanic efectuat de sarcinile primului sistem pe

deplasările produse de cel de al doilea sistem, este egal cu lucrul

mecanic efectuat de sarcinile celui de al doilea sistem pe deplasările

produse de primul sistem.

Observaţie: Teorema reciprocităţii lucrului mecanic poate fi

formulată considerând, nu lucrul mecanic al sarcinilor ci energia de

deformaţie, cele două entităţi fiind egale.

Page 16: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

92

Teorema reciprocităţii deplasărilor (Maxwell).

Dacă în ultima din relaţiile (3.28) se consideră P1 = P2 = P,

rezultă

δA2 = δB1, (3.29)

care este expresia algebrică a teoremei

reciprocităţii deplasărilor, a cărei

formulare este (fig. 3.4): deplasarea

punctului A produsă de o forţă

aplicată în punctul B este egală cu

deplasarea punctului B produsă de

aceeaşi forţă aplicată în punctul A.

Se pot inversa rolurile deplasărilor şi forţelor în teorema

reciprocităţii deplasărilor şi se obţine teorema reciprocităţii forţelor.

Teorema reciprocităţii forţelor.

Se reia procedura anterioară: dacă în ultima din relaţiile (3.28) se

consideră δA2=δB1= δ = 1, rezultă

P1 = P2, (3.30)

care este expresia algebrică a teoremei

reciprocităţii forţelor, a cărei formulare

este (fig. 3.5): forţa aplicată în punctul

A, care produce o deplasare δ = 1 în

punctul B este egală cu forţa aplicată

în punctul B pentru a produce aceeaşi

deplasare δ = 1 în punctul A.

Observaţie: Valoarea deplasării δ poate fi oarecare, dar, pentru

simplificarea calculelor, se consideră, de obicei, egală cu unitatea.

Teoremele reciprocităţii lucrului mecanic, deplasărilor şi forţelor,

ca urmare a generalităţii lor, sunt foarte utile în rezistenţa

materialelor, deoarece duc la simplificări considerabile pentru

numeroase categorii de probleme.

Metoda Mohr-Maxwell.

Această metodă de calcul a fost concepută de Mohr şi ea poate fi

înţeleasă ca un caz particular al teoremei reciprocităţii lucrului

mecanic. Se consideră primul sistem de sarcini cel al încărcării

care acţionează asupra corpului, de exemplu, forţele F1, F2, ... Fn din

Figura 3.4

Figura 3.5

Page 17: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

93

figura 3.6.a. Al doilea sistem

de sarcini se consideră

numai o forţă egală cu

unitatea, aplicată în punctul

şi pe direcţia deplasării care

trebuie calculată (punctul A

şi deplasarea δ, din fig. 3.6.b) sub acţiunea sistemului de sarcini dat.

Din relaţiile (3.28) rezultă

1. δ = U21 → δ = U21 (3.31)

în care U21 este lucrul mecanic (sau energia de deformaţie) al

sistemului de sarcini al corpului pe deplasările produse de sarcina

unitate.

Se consideră o bară dreaptă, de

secţiune constantă, cu rigiditatea axială EA

şi lungimea ℓ, solicitată cu forţele axiale F1,

F2, F3, ca în figura 3.7. Să se afle

deplasarea, δ, a capătului liber al barei (se

neglijează efectul greutăţii barei).

Se calculează energia de deformaţie,

produsă de eforturile axiale. Pentru un

element de lungime dx al barei, în cazul

general, efortul este N, pentru prima stare

de încărcare şi n, pentru cea de a doua stare

(în acest caz particular n = 1).

Lungirea elementului dx pentru a doua stare de încărcare este

EA

dxn)dx( , iar lucrul mecanic dx

EA

Nn)dx(.NdU21 .

Pentru întreaga bară dxEA

NndUU 1212 , sau având în vedere

(3.31),

dxEA

Nn. (3.32)

În cazul general, pe lungimea ℓ a barei eforturile N şi n pot avea

valori sau expresii diferite, ceea ce înseamnă că forma generală a

relaţiei (3.32) este

Figura 3.6

Figura 3.7

Page 18: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

94

dxEA

Nn. (3.33)

Pentru celelalte solicitări, se pot stabili relaţii similare cu (3.33),

forma completă a formulei lui Mohr-Maxwell, pentru calculul

deplasărilor barelor (drepte şi curbe) şi structurilor din bare, fiind

dsEI

mMds

GI

mMds

GA

tTkds

EA

Nn

z,y

z,yiz,yi

t

ttz,yz,y

z,y . (3.34)

Pentru utilizarea corectă a relaţiei (3.34) sunt necesare

următoarele precizări:

- δ este deplasarea generalizată (deplasare liniară sau rotire);

- sarcina unitate se aplică în punctul şi pe direcţia deplasării care

se calculează şi este o sarcină generalizată: forţă sau moment egal cu

1;

- N, Ty,z, Mt, Miy,z sunt eforturile, într-o secţiune curentă, produse

de sarcinile care încarcă structura;

- n, ty,z, mt, miy,z sunt eforturile, în aceeaşi secţiune curentă,

produse de sarcina unitate;

- ky,z este un factor care ţine seama că tensiunile tangenţiale

datorate forfecării nu se distribuie uniform pe secţiunile barelor

(pentru dreptunghi k = 6/5; pentru cerc k = 10/9);

- sumele se efectuează pentru diverse intervale în lungul unei

bare (dacă este cazul) şi pentru toate barele structurii;

-termenii corespunzători solicitărilor de forfecare şi încovoiere se

scriu separat pentru direcţiile y şi z din planul secţiunii curente a

fiecărei bare (y şi z trebuie să fie direcţiile principale de inerţie a

secţiunii);

-în cazul cel mai general, variabila în raport cu care se calculează

integralele din relaţia (3.34) este s, definită pe o curbă; pentru o

dreaptă s → x.

Calculele cu ajutorul relaţiei (3.34) se pot efectua manual pentru

cazuri simple şi cu un program adecvat pe calculator pentru structuri

complexe. În această situaţie, deşi metoda este analitică, rezolvarea

problemei este numerică. Această „simbioză” între esenţa analitică a

unei metode şi utilizarea ei pentru rezolvări numerice pe calculator

este frecvent întâlnită pentru calculele inginereşti, fiind deosebit de

eficientă.

Page 19: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

95

În practica inginerească forma generală a relaţiei (3.34) are

numeroase forme, mai simple, pentru cazuri particulare, ca de

exemplu:

- efectele solicitărilor de forfecare şi/sau axiale pot fi neglijabile

comparativ cu cele de încovoiere, când încovoierea este solicitarea

principală (sau alte variante similare);

- pentru structuri din bare drepte articulate, încărcate numai în

noduri, solicitarea este numai axială în toate barele şi relaţia (3.34)

devine

EA

Nn. (3.35)

3.7. Structuri continue şi structuri discrete. Conceptul de

discretizare

Unele tipuri de structuri sunt alcătuite dintr-un element

constituent (modul) care se repetă de un număr mare de ori, ca, de

exemplu, structurile din bare. Astfel de structuri se numesc discrete.

Dar marea majoritate a structurilor mecanice sunt continue, ca, de

exemplu, recipientele, batiurile, carcasele, rotoarele, barajele,

fundaţiile etc. Structurile continue sunt compuse din plăci plane şi

curbe, subţiri sau groase, blocuri masive (blocurile fundaţiilor) etc,

combinate în diverse moduri spaţiale şi complexe.

Inginerii au constatat că pentru structurile discrete se pot elabora

metode şi modele de calcul relativ simple (inclusiv metode grafice) şi

eficiente. Pentru structurile continue situaţia era total diferită,

deoarece nu se puteau calcula decât structuri continue relativ simple,

pentru unele cazuri particulare, cu un volum de muncă considerabil.

Aşa a apărut ideea ca o structură continuă să se „înlocuiască”, în

vederea calculului, cu o structură discretă, un model idealizat, care să

aproximeze cât mai bine structura „originară”. Esenţa ideii este că,

din punct de vedere ingineresc, nu este necesară cunoaşterea, de

exemplu, a deplasărilor şi tensiunilor, în infinitatea de puncte a

structurii ci sunt suficiente informaţiile dintr-un număr „finit” de

puncte, acest număr putând fi mai mic sau mai mare (la nevoie, chiar

foarte mare), funcţie de scopul calculului, tipul structurii,

configuraţia ei geometrică, tipul solicitării etc.

Page 20: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

96

Procesul prin care se obţine structura discretă, pornind de la

structura continuă, care să o aproximeze pe aceasta, se numeşte

discretizare.

Discretizarea.

Discretizarea unei structuri este un proces complex, de elaborare

a unui model discret de calcul, care trebuie să aproximeze cât mai

bine structura continuă reală, din diverse puncte de vedere, ca, de

exemplu, al geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al

maselor, al constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi

mecanice ale materialelor etc.

În esenţă,

discretizarea

structurii date se

realizează cu o

reţea de linii

drepte sau curbe

sau (dacă este

cazul) cu o reţea

spaţială de suprafeţe plane şi / sau curbe. Un exemplu se prezintă în

figura 3.8. Punctele de intersecţie ale liniilor sau suprafeţelor reţelei

de discretizare se numesc nodurile reţelei şi în acestea se definesc

mărimile necunoscute, deplasări sau eforturi, care urmează să se

determine prin metoda numerică de calcul respectivă. Prin această

procedură studiul mulţimii infinite de puncte a structurii continue

date se aproximează prin studiul mulţimii finite de puncte (noduri)

ale reţelei de discretizare a modelului de calcul.

În principiu, cu cât reţeaua de discretizare are un număr mai

mare de noduri, adică este mai „fină”, cu atât este mai bună

aproximarea structurii date şi rezultatele obţinute prin calcul vor fi

mai precise.

Metodele de calcul care folosesc discretizarea şi anume metoda

diferenţelor finite, metoda elementelor finite şi metoda elementelor

de frontieră, nu conţin în ele însele principii, restricţii sau „indicaţii”

cum să se facă discretizarea. Alegerea reţelei de noduri a modelului

de calcul discretizat (sau discret) trebuie să sintetizeze, într-o formă

convenabilă, toate informaţiile disponibile despre structura ce se

Figura 3.8

Page 21: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

97

calculează, să aibă în vedere funcţiile pe care trebuie să le

îndeplinească aceasta, particularităţile ei şi să corespundă cât mai

bine scopului calculului.

Rezultă că discretizarea are un anumit grad de arbitrar, care

implică riscul comiterii unor erori, acesta fiind „tributul” plătit

acestor metode pentru avantajele lor. Astfel apare ca evidentă

importanţa elaborării judicioase a unui model de calcul corect, precis,

sigur şi eficient.

Nodul.

Punctele definite prin reţeaua de discretizare se numesc noduri. În

noduri se definesc necunoscutele nodale primare, ale căror valori

sunt rezultatele calculelor. Necunoscutele asociate nodurilor pot fi

deplasările, caz în care metoda de calcul se numeşte model

deplasare, sau eforturile, când se numeşte model echilibru. Relativ

rar se foloseşte şi modelul mixt. Pentru modelul deplasare se admite

că forma deformată a structurii, ca urmare a unei solicitări oarecare,

este definită de deplasările tuturor nodurilor în raport cu reţeaua

nodurilor înainte de deformare, fiecare nod putând avea maximum

şase componente ale deplasării, denumite deplasări nodale, în raport

cu un reper global (la care este raportată structura în ansamblu): trei

componente u, v, w ale deplasării liniare şi trei rotiri x, y, z.

Componentelor nenule ale deplasărilor pe care le poate avea un nod

al modelului structurii în procesul de deformaţie li se asociază un

versor denumit grad de libertate geometrică – DOF (Degrees Of

Freedom) al nodului, care are valoarea DOF=0, dacă pe direcţia

respectivă componenta deplasării este nulă sau cunoscută şi valoarea

DOF=1, dacă deplasarea este necunoscută. Se pot defini gradele de

libertate geometrică ale structurii în totalitate. Rezultă că numărul

total al necunoscutelor care trebuie determinate prin calcul este egal

cu numărul gradelor de libertate geometrică cărora le sunt ataşate

necunoscute (care au DOF=1), pentru toate nodurile modelului

structurii.

Unele din gradele de libertate ale modelului trebuie “eliminate”

deoarece unele noduri sunt “legate”, reprezentând reazeme şi deci

deplasările lor sunt nule sau au valori cunoscute, impuse şi nu mai

trebuie calculate.

Page 22: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

98

3.8. Metoda diferenţelor finite

Metoda diferenţelor finite este o metodă generală de integrare a

ecuaţiilor diferenţiale şi constă, în esenţă, în înlocuirea diferenţialelor

(care sunt infinit mici) cu diferenţe mici (sau foarte mici), finite.

Deci, pentru a putea utiliza această metodă, trebuie să se cunoască

ecuaţia diferenţială corespunzătoare problemei care se rezolvă.

Aplicarea metodei implică abordarea a două aspecte ale

calculului propriu-zis:

- aspectul matematic, care constă în transformarea (scrierea)

ecuaţiei (sau ecuaţiilor) diferenţiale respective într-un sistem de

ecuaţii cu diferenţe finite;

- aspectul fizic, care constă în înlocuirea structurii reale cu un

model discret, aproximativ, convenabil pentru calcul. De exemplu,

suprafaţa mediană a unei plăci curbe subţiri se aproximează cu o

reţea de triunghiuri, dreptunghiuri, patrulatere oarecare etc de

discretizare.

Se obţine un sistem de ecuaţii algebrice liniare, în care

necunoscutele sunt, de exemplu, deplasările în nodurile reţelei cu

diferenţe finite.

Avantajele metodei diferenţelor finite sunt:

- suportul matematic este bine definit şi anume ecuaţia

diferenţială sau sistemul de ecuaţii diferenţiale;

- metoda permite estimarea preciziei de aproximare a soluţiei

numerice obţinute.

Dezavantajele metodei diferenţelor finite sunt:

- generalitatea este drastic limitată de faptul că trebuie cunoscută

ecuaţia diferenţială a problemei. Ori pentru numeroase probleme

inginereşti nu a fost posibilă determinarea ecuaţiilor care guvernează,

de exemplu, comportarea structurilor spaţiale complexe la diferite

solicitări;

- supleţea metodei este redusă de faptul că este dificil de definit

diferenţe finite de valori diferite;

- elaborarea de programe generale de calcul, bazate pe această

metodă nu este posibilă, deoarece fiecare program trebuie să aibă în

vedere tipul ecuaţiei diferenţiale. S-au elaborat programe care

Page 23: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

99

folosesc module specializate de uz general, ca, de exemplu, pentru

rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice liniare;

- în practica inginerească nu se află în uz programe performante

care să se fi impus, bazate pe metoda diferenţelor finite. 3.9. Metoda elementelor de frontieră

Spre deosebire de majoritatea metodelor numerice de calcul al

structurilor, care se bazează pe teoreme de staţionaritate a energiei

potenţiale totale, metoda elementelor de frontieră este fundamentată

pe teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti). Această teoremă

este valabilă numai pentru structuri linear elastice (aşa cum s-a

menţionat la § 3.6) şi constă în egalitatea lucrului mecanic produs de

un sistem de sarcini pe deplasările altui sistem, cu lucrul mecanic

produs de cel de al doilea sistem de sarcini pe deplasările produse de

primul sistem. Se presupune că în cele două stări de încărcare

legăturile structurii au fost eliminate (s-au înlocuit cu sarcini sau

deplasări cunoscute), că deplasările sunt mici şi că cele două sisteme

de încărcare au fiecare torsor nul (condiţia de echilibru a structurii).

Deoarece legăturile structurii au fost eliminate, rezultă că pentru cele

două stări de încărcare structura poate avea legături diferite.

Ideea fundamentală a metodei elementelor de frontieră este că se

cunoaşte soluţia fundamentală a problemei care se rezolvă, adică

sunt cunoscute deplasările produse de o forţă concentrată unitate

aplicată în origine, pentru un spaţiu elastic de acelaşi tip cu

problema, care poate fi bară, placă plană sau curbă, volum etc (se

poate vorbi - prin extensie - şi de problema fundamentală,

„asociată” problemei date). Cu relaţiile dintre deformaţii şi deplasări

şi apoi cu cele ale lui Hooke, dintre deformaţii şi tensiuni, se

determină tensiunile corespunzătoare deplasărilor respective.

Elaborarea modelului de calcul pentru rezolvarea unei probleme

cu metoda elementelor de frontieră cere ca din spaţiul elastic al

problemei fundamentale (solicitat cu o forţă concentrată unitate în

origine) să se „decupeze” domeniul D, al corpului care se studiază.

Pe frontiera domeniului D acţionează tensiuni, care pot fi privite ca

încărcare exterioară a corpului.

Se presupune că domeniul D este închis, frontiera sa fiind Γ,

pentru care se cunosc:

Page 24: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

100

- pe o porţiune Γ1 a frontierei se cunosc deplasările ui;

- pe o porţiune Γ2 a frontierei se cunoaşte încărcarea exterioară ti.

Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti) se aplică astfel:

- prima încărcare este încărcarea reală ti (necunoscută pe Γ1),

care produce deplasările ui (necunoscute pe Γ2);

- a doua încărcare este o forţă concentrată unitate aplicată într-un

punct al frontierei, pentru care se cunosc, din soluţia fundamentală,

în toate punctele, deplasările şi tensiunile.

Frontiera Γ, a domeniului D, a corpului care se studiază, se

discretizează, adică se împarte în porţiuni, definite prin noduri. Între

două sau mai multe noduri se definesc elemente de frontieră, în

lungul cărora se consideră că deplasările şi încărcarea exterioară au

variaţii cunoscute. În acest scop se folosesc funcţii de interpolare.

Astfel se obţin elemente de frontieră de diverse tipuri, pentru

aproximarea conturului corpului în plan (elemente liniare) sau în

spaţiu (elemente de suprafaţă sau de volum).

Frecvent se folosesc aceleaşi funcţii de interpolare [Ni(k)

] atât

pentru deplasările ui cât şi pentru încărcarea ti, astfel încât, pentru

elementul de frontieră k, se scriu

ui = [Ni(k)

]{u(k)

}, ti = [Ni(k)

]{t(k)

},

în care {u(k)

} şi {t(k)

} sunt valorile nodale (de pe frontieră) ale

deplasărilor, respectiv ale încărcărilor.

Metoda elementelor de frontieră duce la obţinerea unui sistem de

ecuaţii algebrice lineare de forma

[A] {u}=[B] {t}, (3.36)

în care: {u} şi {t} sunt vectorii deplasărilor, respectiv încărcărilor

nodale (de pe frontieră); [A] – matricea de influenţă a deplasărilor;

[B] – matricea de influenţă a încărcărilor.

Sistemul de ecuaţii (3.36) are o configuraţie oarecare, adică este

nesimetric şi „plin”, iar necunoscutele sale sunt definite în nodurile

reţelei prin care a fost discretizată frontiera: în unele noduri

deplasările ui, iar în altele încărcarea ti.

Dacă ecuaţiile se grupează convenabil, sistemul (3.36) se poate

scrie sub forma

n

c

nc

c

n

cn

t

tBB

u

uAA ,

Page 25: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

101

în care indicele n înseamnă necunoscut, iar c – cunoscut. Rezultă

sistemul

c

c

cc

n

n

nn

u

tAB

t

uBA ,

prin rezolvarea căruia se determină deplasările şi tensiunile în toate

nodurile frontierei.

Pentru calculul deplasărilor în puncte din interiorul domeniului D

al corpului, se aplică teorema reciprocităţii lucrului mecanic între

perechi de puncte, unul de pe frontieră şi unul din interiorul corpului.

Determinarea tensiunilor în anumite puncte din interiorul domeniului

D se face cu relaţiile cunoscute ale teoriei elasticităţii.

Avantajele metodei elementelor de frontieră sunt:

- comparativ cu alte metode numerice aproximative de calcul, are

o precizie mai bună, consecinţă a faptului că metoda foloseşte soluţia

fundamentală a problemei date, care este, în principiu exactă;

- relativa simplitate a modelului de calcul şi volumul redus de

informaţii necesare pentru elaborarea acestuia, deoarece trebuie

discretizată doar frontiera structurii (pentru structuri spaţiale, cu o

geometrie complexă, acest avantaj se diminuează considerabil);

- comparativ cu alte metode numerice aproximative, volumul

calculelor este mai mic, deoarece numărul necunoscutelor (de pe

frontieră) este, de regulă, mic;

- principiul metodei este raţional, deoarece după determinarea

necunoscutelor de pe frontieră, se calculează deplasările şi / sau

tensiunile din interiorul domeniului numai în punctele dorite, adică

se oferă numai informaţiile strict necesare.

Dezavantajele metodei elementelor de frontieră sunt:

- generalitatea este limitată de faptul că trebuie cunoscută soluţia

fundamentală a problemei. Pentru structuri spaţiale complexe (de

exemplu, structuri din plăci) problema fundamentală nu este

rezolvată, sau este foarte dificil de rezolvat. De asemenea, sunt

restricţii privind aplicabilitatea teoremei reciprocităţii lucrului

mecanic: structura trebuie să aibă o comportare linear elastică;

- în practica inginerească nu se află în uz curent programe

performante care să se fi impus, bazate pe metoda elementelor de

frontieră.

Page 26: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

102

3.10. Metoda elementelor finite - MEF

În prezent, MEF este metoda numerică aproximativă de succes,

cea mai utilizată pentru calculul structurilor oricât de complexe,

solicitate static, dinamic, termic, la stabilitate, la durabilitate, în

regim linear elastic, sau în diverse condiţii nelineare. Generalitatea şi

supleţea metodei, simplitatea conceptelor de bază, stabilitatea în timp

a algoritmilor de calcul, utilizarea calculatoarelor şi existenţa a

numeroase programe performante explică extinderea şi interesul

generalizat pentru MEF.

Formularea MEF se poate face în numeroase modalităţi, mai

abstracte sau mai concrete, preponderent matematice sau

preponderent practic - inginereşti. Inginerii sunt utilizatori ai MEF (şi

ai programelor elaborate pe baza ei), aspectele teoretice şi

matematice fiind necesare pentru ei doar pentru înţelegerea

principiilor şi subtilităţilor metodei în vederea unei folosiri corecte şi

eficiente a procedurilor şi programelor respective. În programele

MEF actuale este implementat mai ales modelul deplasare, pentru

care necunoscutele sunt deplasările nodale.

O cale simplă şi intuitivă pentru a-i defini conceptele şi a

formula MEF este aceea de o privi ca o generalizare a metodei

deplasărilor pentru structuri din bare drepte, expusă în cap. 8.

Generalizarea constă în aceea că elementul de bară dreaptă din

metoda deplasărilor devine elementul finit din MEF, acest fapt

implicând şi procesul de discretizare.

Elementul finit.

Ca o structură să fie calculată cu MEF trebuie să fie discretizată

(§ 3.7). Pe reţeaua de discretizare se definesc elementele finite ale

modelului MEF. Un element finit este o componentă de mici

dimensiuni a structurii care se calculează, obţinut printr-un proces de

„decupare” realizat prin discretizare aşa cum, de exemplu, zidul

unei clădiri poate fi privit ca fiind format din cărămizile utilizate

la construcţia sa. De exemplu, un recipient executat din table

asamblate prin sudură, poate fi descompus sau discretizat într-un

număr de elemente de placă patrulatere şi triunghiulare - denumite

elemente finite, ca în figura 3.9. Elementele finite se leagă între ele

prin nodurile reţelei de discretizare.

Page 27: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

103

Procesul de elaborare a unui

model MEF are două etape distincte:

- prin discretizare structura se

„descompune” într-un număr

oarecare de elemente finite;

- elementele finite se

„asamblează”, fiind „legate” în

nodurile reţelei de discretizare, pentru

a recompune structura dată, acesta

fiind modelul ei de calcul cu elemente finite.

Elementele finite trebuie concepute astfel încât modelul (sau

structura idealizată, discretă) să aproximeze cât mai exact structura

reală (continuă), cel puţin, din următoarele puncte de vedere: al

geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al maselor, al

constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi mecanice ale

materialelor şi al tuturor funcţiilor şi cerinţelor pe care structura

trebuie să le îndeplinească.

Este evidentă legătura dintre procesul de discretizare şi definirea

elementelor finite, în general, cele două procese fiind intim asociate.

Deci nu se poate preciza ce se face mai întâi: stabilirea parametrilor

procesului de discretizare sau definirea tipurilor de elemente finite.

Adesea este necesar ca procesul să se realizeze prin încercări

succesive, pentru a găsi varianta cea mai bună a modelului MEF.

Pentru a putea modela cât mai bine funcţiile pe care structura

dată trebuie să le realizeze, utilizatorul dispune de mai multe tipuri

fundamentale de elemente finite şi anume: definite într-un punct, pe

o linie, pe o suprafaţă sau pe un volum, fiecare dintre acestea având

numeroase variante.

Un element finit poate fi privit ca o “piesă” de sine stătătoare,

interacţionând cu celelalte elemente numai în noduri. Studiul

structurii reale se înlocuieşte cu studiul ansamblului de elemente

finite obţinut prin discretizare, care devine astfel o idealizare a

structurii originare şi este un model de calcul al structurii date.

Pentru ca rezultatele analizei să fie cât mai precise trebuie ca

procesul de idealizare al structurii date să fie cât mai “performant”,

ceea ce implică respectarea unor reguli şi exigenţe privind

discretizarea, elaborarea modelului de calcul şi - printre altele -

Figura 3.9

Page 28: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

104

utilizarea unor elemente finite adecvate. În principiu, dimensiunile

elementelor finite pot fi oricât de mici, dar trebuie totdeauna să fie

finite, adică nu poate fi făcută o trecere la limită prin care

dimensiunile acestora să tindă spre zero.

Din nefericire, nu se poate concepe un element finit general, care

să aibă o utilitate universală. Pentru a putea fi implementat într-un

program MEF şi utilizat pentru un model de calcul, elementul finit

trebuie în prealabil “proiectat” în toate detaliile, adică trebuie definit

din punct de vedere geometric, fizic, matematic etc şi stabilite, pentru

aceste condiţii, relaţiile “proprii” de calcul.

Privit din punct de vedere informaţional, un element finit este un

“dispozitiv” - sau un model - care trebuie să poată prelucra cât mai

precis un volum cât mai mare de informaţii, pentru un set de condiţii

impuse. Aceasta presupune ca elementul de o anumită formă

geometrică, de exemplu triunghiulară, să aibă un număr cât mai mare

de noduri, fiecare nod să aibă un număr cât mai mare de grade de

libertate geometrică, iar funcţiile de interpolare să fie cât mai

complexe, adică să aibă un număr cât mai mare de parametri.

Desigur că menţiunile anterioare sunt de principiu, deoarece cu cât

creşte “complexitatea” elementului finit cresc şi dificultăţile de

calcul, astfel încât pentru fiecare situaţie concretă în parte, când se

“concepe” un element finit de un anumit tip se caută o soluţie de

compromis. O consecinţă nefastă a acestei situaţii este că programele

MEF au biblioteci cu un număr relativ mare de tipuri de elemente

finite, pentru a satisface un număr cât mai mare de cerinţe, cât mai

diverse, ceea ce produce dificultăţi utilizatorului.

Ideea de bază a MEF este că, pentru un element de un tip

oarecare, trebuie făcută ipoteza că deplasările din interiorul

elementului variază după o lege “cunoscută”, aleasă apriori,

determinată de o funcţie de interpolare. Consecinţa acestui demers

este că, local, acolo unde se va afla plasat elementul finit, în urma

procesului de discretizare, acesta va aproxima starea de deplasări a

structurii prin legea de interpolare implementată în elementul

respectiv. În concluzie, comparativ cu alte metode aproximative de

calcul (ca, de exemplu, Ritz sau Galerkin), care utilizau ipoteze

globale privind comportarea structurii în ansamblu (se alegea un

Page 29: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

105

anumit tip de funcţie), MEF face ipoteze locale, ceea ce îi asigură o

generalitate şi supleţe remarcabile.

Figura 3.10

Funcţiile de interpolare au frecvent forma unor polinoame,

deoarece sunt continue şi mai simple, comparativ cu alte funcţii.

Alegerea gradului polinomului şi determinarea valorilor

coeficienţilor acestora trebuie să asigure o cât mai bună aproximare a

soluţiei exacte – necunoscute – a problemei date. În figura 3.10 se

prezintă schematic modul în care polinoamele de gradul zero, unu şi

doi – respectiv cu unu, doi şi trei termeni - pot aproxima o stare de

deplasări oarecare.

Elementele care au aceleaşi tipuri de funcţii (de obicei

polinoame), atât pentru definirea geometriei elementului (de

exemplu, pentru laturile sale), cât şi pentru definirea deplasărilor în

interiorul său (funcţia de interpolare), se numesc elemente

izoparametrice şi sunt cele mai eficiente şi folosite elemente finite în

practica MEF.

Elementele finite se pot clasifica după diverse criterii, dintre care

cele mai importante sunt:

Tipul de analiză. Pe o reţea de discretizare se pot defini

elemente finite care au “incluse” diverse proceduri matematice

destinate unor analize diverse, ca, de exemplu: liniar elastică,

neliniară, transfer de căldură, mecanica fluidelor, electromagnetism,

electromagnetism de înaltă frecvenţă etc.

Rolul funcţional. Elementele finite utilizate pentru modelarea

unei structuri trebuie să poată asigura cât mai bine “rolul funcţional”

al structurii date, adică, de exemplu, o grindă cu zăbrele trebuie

modelată cu elemente de tip bară, un capac din tablă subţire trebuie

modelat prin elemente de tip placă, o fundaţie prin elemente de tip

cărămidă etc. Din aceste considerente elementele sunt de tip punct

Page 30: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

106

(element de masă sau de tip arc), de tip linie (elemente de bare drepte

sau curbe, în plan sau în spaţiu) de tip suprafaţă (elemente de plăci

plane sau curbe, groase sau subţiri, în plan sau în spaţiu, elemente

axial simetrice, de membrană etc) sau de tip volum (elemente

spaţiale, - 3D - pentru structuri “solide”, compozite, cu număr

variabil de noduri, pentru fluide, piezoelectrice, magnetice etc).

Fiecare din categoriile de elemente enumerate au mai multe variante,

numărul acestora putând ajunge la câteva zeci. De asemenea,

categoriile prezentate includ şi elemente cu rol funcţional special, ca

de exemplu: rigid, de contact, de frecare, de legătură, definit prin

matricea de rigiditate etc.

Forma geometrică. Elementele finite au, în general, forme

simple ca, de exemplu, linie dreaptă sau arc de cerc, triunghi,

patrulater oarecare, tetraedru, hexaedru etc. De asemenea, unele

caracteristici geometrice pot fi constante sau variabile, ca secţiunile

barelor sau grosimile plăcilor.

Numărul nodurilor. Pentru unele dintre elemente, o formă

geometrică dată, de exemplu un triunghi, poate avea mai multe

variante în ceea ce priveşte numărul de noduri, deoarece în afara

nodurilor din vârfuri mai pot exista noduri şi pe laturi şi (sau) în

interior. De asemenea se pot utiliza noduri şi în interiorul

elementului, pentru rezultate. Se utilizează şi elemente cu număr

variabil de noduri, ca, de exemplu, pentru plăci groase elementul

poate avea între 8 şi 48 de noduri.

Numărul gradelor de libertate ale fiecărui nod. Nodurile

elementelor au ataşate, implicit, unele DOF din cele şase posibile,

deci se poate opera şi cu numărul total de DOF pentru un element,

care este numărul nodurilor înmulţit cu numărul DOF pe nod.

Gradul polinomului de interpolare. Fiecare element finit are

“implementate” polinoame de interpolare de un anumit grad,

începând cu gradul întâi. Cu cât gradul polinoamelor este mai ridicat

cu atât creşte cantitatea de informaţii cu care elementul operează şi

deci el este, în general, mai performant.

Caracteristicile materialului. În practica analizei cu elemente

finite, materialul elementului finit poate fi omogen şi izotrop sau cu o

anizotropie de un anumit tip. De asemenea, constantele elastice şi

Page 31: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

107

fizice ale materialului pot fi dependente de temperatură sau

solicitare.

Trebuie făcută precizarea că descrierea de mai sus a elementelor

finite nu este exhaustivă, ci că ea doar semnalează unele aspecte

importante din practica MEF. În concluzie, se menţionează că fiecare

tip de element finit este un ansamblu de condiţii şi ipoteze şi el

trebuie privit ca un întreg şi folosit ca atare, numai după ce s-a

studiat temeinic documentaţia care îl însoţeşte. De exemplu, din

parametrii care definesc elementul rezultă comportarea sa la

solicitare, tipul stării de tensiuni, interacţiunea sa cu celelalte

elemente etc.

Programele MEF care se folosesc în analiza structurilor au

biblioteci cu un număr impresionant de tipuri de elemente finite, la

care se adaugă periodic elemente noi. Pentru a ilustra dinamica

dezvoltării MEF, se menţionează că în anul 1984 se identificaseră 88

de variante ale elementelor finite de placă.

Determinarea matricei de rigiditate a unui element finit.

Etapele determinării matricei de rigiditate a unui element finit

sunt, în general, următoarele:

1. Elementul finit trebuie să fie conceput sau “proiectat”, adică

să se stabilească, a priori, toţi parametrii săi şi anume: forma

geometrică, numărul de noduri, numărul de DOF/nod, tipul stării de

tensiuni, gradul polinoamelor de interpolare, caracteristicile

materialului. Pentru exemplificare se consideră un element finit

triunghiular, cu trei noduri, cu 2DOF/nod, plan, de grosime constantă

t (placă subţire), polinoame de interpolare de gradul întâi, supus unei

stări de tensiune constantă, materialul fiind izotrop.

Figura 3.11

Page 32: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

108

Elementul este raportat la un reper local oxy şi este definit de

nodurile i, j, k (de coordonatele lor), în care acţionează forţele X şi

Y, ca în figura 3.11. Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de

elemente finite.

2. Relaţia care defineşte comportarea elastică a unui element

finit este de forma (similară cu (8.4), pentru o bară dreaptă)

{R} = [k] {u}, (3.37)

în care: {u}este vectorul deplasărilor nodale, {R} – vectorul

eforturilor nodale (sau al forţelor nodale generalizate) şi [k]–matricea

de rigiditate elementului finit.

3. Se defineşte vectorul

deplasărilor nodale:

k

k

j

j

i

i

v

u

v

u

v

u

u

knodul

jnodul

inodul

.

4. Se defineşte vectorul

eforturilor nodale:

k

k

j

j

i

i

Y

X

Y

X

Y

X

R

knodul

jnodul

inodul

.

Observaţie: Vectorii {R} şi {u} pentru un element finit sunt similari cu cei

corespunzători ai elementului de bară dreaptă (cap. 2), cu menţiunea că pentru

elementele finite vectorul {R} nu mai are o semnificaţie specială, ca pentru bare (la bare {R} era vectorul eforturilor de la capete).

Relaţia (3.37) trebuie interpretată astfel: deplasările nodale {u} produc în mod

unic eforturile nodale {R}. Reciproca nu este adevărată, deoarece pentru anumite

valori ale eforturilor {R} se pot obţine o infinitate de vectori {u} ai deplasărilor

nodale, diferiţi prin deplasările de corp rigid ale elementului. Spre deosebire de

deplasările nodale care sunt independente, eforturile trebuie să satisfacă ecuaţiile

de echilibru ale elementului finit.

5. Se scriu ecuaţiile de echilibru ale elementului finit:

- ecuaţia forţelor pe direcţia ox: Xi + Xj + Xk = 0;

- ecuaţia forţelor pe direcţia oy: Yi + Yj + Yk = 0;

- ecuaţia momentelor în raport cu originea:

-Xi * yi + -Xj * yj + -Xk * yk + Yi * xi + Yj * xj + Yk * xk =0. Observaţie: Rezultă că trei forţe nodale independente nu pot determina univoc

şase deplasări nodale. În consecinţă, matricea de rigiditate, [k], a elementului finit

considerat este singulară, adică nu poate fi inversată, rangul ei fiind trei.

Page 33: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

109

6. Expresiile deplasărilor, u şi v, într-un punct oarecare din

interiorul elementului finit sunt:

u (x, y) = α1 + α2 x + α3 y ; v (x, y) = α4 + α5 x + α6 y , (3.38)

în care αi sunt parametri independenţi, ceea ce este în acord cu

considerentele de la etapa 1şi anume:

- polinoamele sunt de gradul întâi;

- deformaţiile şi tensiunile sunt constante în interiorul

elementului:

7. Se calculează, în interiorul elementului finit, deformaţiile:

εx= ∂u/∂x= α2; εy=∂v/∂y= α6; γxy=∂u/∂y+∂v/∂x= α3 + α5. (3.39)

8. Se calculează, în interiorul elementului finit, tensiunile:

ζx = E (α2 + υ α6) / (1 – υ2) ; ζy = E (α6 + υ α2) / (1 – υ

2) ;

ηxy = E (α3 + α5) / [2*(1 + υ)]. (3.40)

9. Deplasările în noduri trebuie să fie componentele vectorului

{u}, adică

ui=α1+α2xi+α3 yi; uj=α1+α2xj+α3yj; uk=α1+α2xk+α3 yk ; (3.41’)

vi=α4+α5xi+α6 yi ; vj=α4+α5xj+α6yj; vk=α4+α5xk+α6 yk . (3.41’’)

10. Relaţiile (3.41) pot fi privite ca un sistem de ecuaţii în care

necunoscutele sunt parametrii αi. În urma rezolvării sistemului

rezultă:

α1 = (ai ui + aj uj + ak uk) / Δ ; α2 = (bi ui + bj uj + bk uk) / Δ ;

α3 = (ci ui + cj uj + ck uk) / Δ ; (3.42’)

α4 = (ai vi + aj vj + ak vk) / Δ ; α5 = (bi vi + bj vj + bk vk) / Δ ;

α6 = (ci vi + cj vj + ck vk) / Δ, (3.42’’)

în care s-au notat:

ai = xj yk – xk yj; aj = xk yi – xi yk; ak = xi yj – xj yi;

bi = yj - yk; bj = yk – yi; bk = yi – yj; (3.42’’’)

ci = xk - xj; cj = xi – xk; ck = xj – xi,

şi Δ este determinantul

kk

jj

ii

yx1

yx1

yx1

, a cărui valoare absolută este

dublul ariei triunghiului ijk.

Volumul elementului finit este V = |Δ| t /2, în care t este grosimea.

11. Funcţiile de interpolare se obţin prin înlocuirea valorilor

(3.42) în expresiile (3.38):

u (x, y) = Ni(x, y) ui + Nj(x, y) uj + Nk(x, y) uk ; (3.43’)

v (x, y) = Ni(x, y) vi + Nj(x, y) vj + Nk(x, y) vk , (3.43’’)

Page 34: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

110

în care N(x, y) sunt funcţiile de interpolare:

Ni=(ai+bix+ciy)/Δ ; Nj=(aj+bjx+cjy)/Δ; Nk=(ak+bkx+cky)/Δ. (3.44)

Cu relaţiile (3.43) se pot calcula componentele deplasărilor unui

punct oarecare din interiorul elementului finit, în funcţie de

deplasările nodale.

Este remarcabil faptul că în nodurile elementului funcţiile de

interpolare au valorile:

Ni (xi, yi) = 1; Ni (xj, yj) = 0; Ni (xk, yk) = 0;

Nj (xi, yi) = 0; Nj (xj, yj) = 1; Nj (xk, yk) = 0;

Nk (xi, yi) = 0; Nk(xj, yj) = 0; Nk (xk, yk) = 1.

12. Energia de deformaţie a elementului finit este

V

2

xyyx

2

y

2

x dV])1(22[E2

1W ,

sau W = |Δ| t ])1(22[ 2

xyyx

2

y

2

x /E,

în care valorile (constante) ale tensiunilor sunt (3.40).

13. Lucrul mecanic al eforturilor nodale este:

U = - Xi ui – Xj uj – Xk uk – Yi vi – Yj vj – Yk vk = - {u}T{R}.

14. Minimul energiei potenţiale totale Π = W + U se realizează

când sunt îndeplinite condiţiile:

∂Π/∂ui=0;∂Π/∂uj=0;∂Π/∂uk=0;∂Π/∂vi=0;∂Π/∂vj=0;∂Π/∂vk=0. (3.45)

În calculul derivatelor (3.45) se va avea în vedere că:

.......;)1(

Ec

vv1

E

v;

)1(

Eb

uu1

E

u 2

i

i

6

i

2

2

i

x

2

i

i

6

i

2

2

i

x

După efectuarea calculelor, condiţiile (3.45) pot fi scrise explicit

sub forma sistemului de ecuaţii

k11ui + k12vi + k13uj + k14vj + k15uk + k16vk = Xi

k21ui + k22vi + k23uj + k24vj + k25uk + k26vk = Yi

k31ui + k32vi + k33uj + k34vj + k35uk + k36vk = Xj

k41ui + k42vi + k43uj + k44vj + k45uk + k46vk = Yj

k51ui + k52vi + k53uj + k54vj + k55uk + k56vk = Xk

k61ui + k62vi + k63uj + k64vj + k65uk + k66vk = Yk

ai cărui coeficienţi kij (pentru i = 1, 2, ...6 şi j = 1, 2, ...6) sunt chiar

elementele matricei de rigiditate, [k], din relaţia (3.37), a

elementului.

Page 35: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

111

15. Matricea de rigiditate a elementului finit de tipul

considerat este:

Nodul→ i j k

Direcţia x← ↓ →y x← ↓ →y x← ↓ →y ↓ ↓

X

↨ ↔ i

y

x ↨ ↔ j

y

x ↨ ↔ k

y

în care s-au folosit notaţiile: 2112

EtK

; β =(1- υ)/2 şi γ=(1+ υ) / 2.

Formularea matriceală a MEF.

Relaţiile de bază ale MEF pot fi scrise în formă matriceală, ceea

ce oferă metodei mai multă claritate, concizie şi generalitate.

Astfel relaţiile (3.40) se scriu

.Bsau,*

010100

100000

000010

1

6

5

4

3

2

1

xy

y

x

De asemenea relaţiile (3.42) devin

{α} = [B1] {u}, de unde {ε} = [B1] [C]{u}, sau

{ε} = [B] {u}, (3.47)

în care s-a notat {ε} = [B1] [C] şi

.

bcbcbc

c0c0c0

0b0b0b

B

kkjjii

kji

kji

Legea lui Hooke (3.40) capătă forma

(3.46)

Page 36: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

112

xy

y

x

2

xy

y

x

2)1(00

01

01

1

E, sau {ζ} = [D] {ε},

în care se poate înlocui relaţia (3.47) şi rezultă

{ζ} = [D] [B] {u}. (3.48)

Expresia energiei de deformaţie a elementului finit considerat

capătă forma

,dV2

1W

V

T

în care se înlocuiesc expresiile (3.47) şi (3.48) şi rezultă

u*dVBDBu2

1W

V

TT , (3.49)

deoarece TTT Bu)uB( .

Cu notaţia

dVBDBkV

T , (3.50)

expresia energiei potenţiale totale este

Ruuku2

1 U W

TT , (3.51)

pentru care se pune condiţia de minim ∂π/∂u = [k]{u} - {R} = 0,

din care rezultă că (3.50) este chiar expresia matricei de rigiditate a

elementului finit.

Scrise în forma matriceală, expresiile (3.49), (3.50) şi (3.51) sunt

generale, valabile pentru orice tip de element finit.

În relaţiile de mai sus trebuie remarcat că:

- matricea [B] este matricea geometrică a elementului, deoarece

defineşte legătura dintre vectorul deformaţiilor specifice {ε} şi

vectorul deplasărilor nodale, {u};

- matricea [D] este matricea de elasticitate, a materialului, care

intervine în expresia legii lui Hooke.

În cazul general, poate fi dificil calculul analitic al integralei din

expresia matricei de rigiditate (3.50), situaţii în care valorile

respective se determină prin integrare numerică.

Page 37: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

113

Pentru tipul de element finit considerat, expresia de sub

operatorul integrală este constantă, ceea ce duce la

[k] = |Δ| t [B]T

[D] [B] /2, (3.46’)

care este forma matriceală a expresiei, (3.46), a matricei de rigiditate

a elementului finit.

Celelalte aspecte ale MEF.

Următoarele concepte, definiţii şi semnificaţii ale mărimilor,

proceselor şi noţiunilor din metoda deplasărilor pentru bare drepte

rămân valabile şi în MEF, motiv pentru care nu vor mai fi reluate în

acest capitol:

- nodul şi gradele de libertate geometrică, DOF, asociate;

- matricea de rigiditate a elementului (se schimbă doar

metodologia de calcul şi ceea ce rezultă din ea, adică relaţiile de

calcul);

- transformarea matricei de rigiditate a elementului la trecerea de

la reperul local la cel global;

- procesul de asamblare a matricelor de rigiditate ale elementelor

în matricea de rigiditate a structurii;

- formarea sistemului de ecuaţii al structurii;

- scrierea condiţiilor în legături;

- etapele de rezolvare a unei probleme.

Verificarea modelelor de calcul cu elemente finite.

Modelul de calcul şi rezultatele obţinute cu ajutorul său trebuie

supuse unor teste şi verificări. Scopul acestora este de a “valida”

modelul, adică de a determina dacă acesta satisface exigenţele

impuse şi dacă rezultatele obţinute cu ajutorul lui permit formularea

unor răspunsuri neechivoce la întrebările clare puse de beneficiarul

analizei cu elemente finite. Unele teste şi verificări sunt calitative şi

globale, altele cantitative şi de detaliu.

Dacă testele şi verificările duc la concluzii nefavorabile, modelul

trebuie îmbunătăţit şi procesul de verificare-îmbunătăţire-verificare

se continuă până când se obţine un model satisfăcător, adică valid.

În figura 3.12 este prezentată schema generală a procesului de

verificare-îmbunătăţire a modelului de calcul cu elemente finite.

Page 38: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

114

Figura 3.12

O enumerare a celor mai importante şi utilizate metode şi

procedee de verificare a modelelor pentru calculul cu elemente finite

este următoarea:

- verificările experimentale pe structura reală. De obicei acestea

sunt ulterioare calculului (după ce structura s-a executat. Se pot face

şi verificări experimentale pe modele fizice reduse la scară;

- efectuarea calculelor pe două sau mai multe modele şi

compararea rezultatelor obţinute. Modelele pot fi de acelaşi tip,

adică elaborate pe baza aceleiaşi metode de calcul (de exemplu,

MEF) sau de tipuri diferite, adică elaborate pe baza unor metode de

calcul diferite;

- preprocesarea geometriei modelului este cea mai utilizată şi cea

mai eficientă metodă de verificare a geometriei modelului, a

corectitudinii definirii condiţiilor de rezemare şi a aplicării sarcinilor.

Se poate spune că este totdeauna obligatorie.

Figura 3.13

Page 39: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

115

Verificarea constă în citirea fişierului cu datele de intrare pentru

programul MEF, preprocesarea informaţiilor conţinute în acest fişier

şi trasarea unui desen al modelului structurii. Un astfel de exemplu se

prezintă în figura 3.13, pentru modelul unei structuri industriale;

- verificări ale condiţiilor de simetrie sau antisimetrie geometrică

şi mecanică;

- verificări printr-un calcul simplu, aproximativ;

- verificarea greutăţii;

- verificări globale şi calitative ale modelului care să aibă în

vedere configuraţiile stărilor de tensiuni şi deplasări, semnele lor,

ordinul de mărime şi chiar valorile rezultatelor obţinute. Din practica

inginerească şi din experienţa altor analize se ştie unde sunt zonele

cu tensiuni şi deplasări mari, care este configuraţia structurii

deformate şi între ce limite trebuie să se afle valorile mărimilor

obţinute.

De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că MEF este

aproximativă, ceea ce înseamnă că nu se poate cere modelului mai

mult decât poate oferi metoda, rezultatele obţinute fiind determinate

atât de performanţele modelului cât şi de principiile, ipotezele şi

procedurile matematice de calcul incluse în metoda şi în programul

cu elemente finite.

Surse de erori în metoda elementelor finite.

Metoda elementelor finite este o metodă aproximativă de calcul.

La modelarea şi rezolvarea unei probleme date se fac o serie de

aproximări, care au drept consecinţă faptul că soluţia obţinută cu

MEF are unele abateri faţă de soluţia exactă, necunoscută. Aceste

abateri de aproximare se numesc în mod obişnuit erori ale MEF,

ceea ce nu este corect. În principiu, conceptul de eroare are sensul de

greşeală – intenţionată sau involuntară – şi ea poate fi, de obicei,

corectată sau evaluată cantitativ, ceea ce nu este valabil şi pentru

MEF. Pentru problemele care sunt abordate cu MEF nu sunt, de

obicei, cunoscute soluţii alternative, obţinute pe alte căi, cu care

acestea să se compare pentru a se determina abaterile relative.

Existenţa acestor abateri sau erori de aproximare ale MEF este

principalul său dezavantaj şi este tributul plătit pentru calităţile,

Page 40: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

116

avantajele şi performanţele sale. În continuare se va folosi pentru

aceste abateri termenul, obişnuit, de eroare a MEF.

Sursele de erori de aproximare se află la diverse nivele şi intervin

în diverse etape ale procesului de analiză cu elemente finite (FEA).

Identificarea şi înţelegerea mecanismelor care guvernează aceste

erori face posibilă - uneori şi într-o oarecare măsură – reducerea şi

evaluarea acestora. Cele mai importante dintre sursele de erori ale

MEF sunt următoarele (nu se menţionează greşelile posibile ale

utilizatorului, provenite din neştiinţă, neatenţie sau incompetenţă):

1. Erorile conceptuale sau de principiu provin din neglijarea

satisfacerii ipotezelor şi conceptelor care definesc diversele categorii

de probleme ale structurilor mecanice, ceea ce poate duce la erori

mari ale soluţiei obţinute. De exemplu, nu sunt îndeplinite una sau

mai multe dintre ipotezele care delimitează modelul de structură

liniar elastică, definită ca mediu continuu, omogen şi izotrop, cu

liniaritate geometrică, elasticitate perfectă, liniaritate fizică şi fără

tensiuni iniţiale. De asemenea, se presupune că structura este în

echilibru (static sau dinamic) şi că este valabil principiul lui Saint

Venant, ipoteza secţiunii plane (pentru bare) şi ipoteza normalei

rectilinii (pentru plăci şi învelişuri). În aceste condiţii, ecuaţiile de

echilibru scrise pentru structura nedeformată rămân valabile şi pentru

structura deformată, funcţiile eforturilor nu depind de deplasări,

dependenţa dintre sarcini şi deplasări este liniară, ecuaţiile

diferenţiale sunt cu coeficienţi constanţi, este aplicabil principiul

suprapunerii efectelor etc.

2. Aproximarea geometriei structurii reale are loc în procesul

de elaborare a modelului de calcul. Diversele forme geometrice ale

structurii date se aproximează pentru ca modelul de calcul să fie cât

mai simplu şi pentru a se putea realiza pe el reţeaua de discretizare.

3. Aproximarea sarcinilor care se aplică modelului se referă la:

valorile acestora, modul de variaţie (pe suprafaţă, pe volum, în

funcţie de timp etc), direcţia, poziţia pe model a punctului de

aplicaţie etc. Se vor avea în vedere variantele de încărcare cerute de

beneficiar şi modalităţile de evaluare ale regimurilor de încărcare şi

anume, sarcini nominale, de avarie, de probă, maxime, accidentale

etc. De asemenea, sarcinile se pot aplica static, dinamic cu o viteză

cunoscută, (prin şoc) etc. Încărcarea poate fi staţionară sau

Page 41: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

117

nestaţionară, variabilă după legi cunoscute sau variabilă aleator. În

procesul de deformare al structurii sarcinile îşi pot modifica direcţiile

sau punctele de aplicaţie.

4. Aproximarea condiţiilor de rezemare se referă la faptul că

acestea se definesc, de regulă, în nodurile modelului şi constau în

introducerea restricţiei ca deplasarea (componenta liniară sau cea de

rotire) să aibă valoarea zero, sau o valoare cunoscută, pe direcţia

dorită. Deplasările nodale sunt definite pe direcţiile reperului global

al modelului, şi - de obicei - şi condiţiile de rezemare. Dacă este

necesar, se poate defini un nou sistem de referinţă, pentru unele

reazeme (sau pentru toate), rotit faţă de sistemul global. În cazuri

deosebite, pentru modelarea condiţiilor de rezemare se folosesc

elemente finite speciale, de tip bound şi (sau) gap, care permit

definirea reazemelor pe orice direcţie. Se pot defini reazeme

deformabile (cu o anumită valoare a constantei elastice sau a

rigidităţii) şi se pot introduce forţe de frecare.

5. Aproximarea introdusă de elementul finit utilizat este, cea

mai importantă sursă de erori în MEF, acesta fiind inclusă în

principiile fundamentale ale metodei. În esenţă aproximarea aceasta

constă în faptul că pentru un subspaţiu al structurii reale, pentru care

deplasările (şi tensiunile) au o lege de variaţie oarecare,

necunoscută, se utilizează un element finit care are implementată o

funcţie de aproximare prestabilită, specifică tipului de element finit

utilizat. Tipurile de elemente disponibile în “bibliotecile”

programelor au fost concepute astfel încât să fie cât mai performante

şi să ofere utilizatorului posibilitatea satisfacerii unor cerinţe cât mai

diverse, acestuia revenindu-i sarcina de a le utiliza corect şi eficient,

incluzând şi cerinţa ca erorile de aproximare să fie cât mai mici. În

acest sens utilizatorul trebuie să ştie care sunt principalele cerinţe şi

proprietăţi ale funcţiilor de aproximare (denumite şi funcţii de

interpolare) ale elementelor.

Pentru MEF - modelul deplasare, funcţiile se referă la câmpul

deplasărilor. Aceste funcţii trebuie să asigure energiei potenţiale

totale a structurii deformate o valoare minimă, corespunzătoare stării

de echilibru stabil a acesteia, compatibilitatea internă şi satisfacerea

condiţiilor la limită. În acest caz, rezultatele obţinute prin FEA,

pentru modele cu discretizări tot mai fine, adică având un număr tot

Page 42: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

118

mai mare de noduri şi de elemente, conduce la obţinerea unor

rezultate tot mai precise, adică procesul este convergent.

Pentru asigurarea convergenţei FEA, funcţiile de aproximare

trebuie să satisfacă următoarele cerinţe:

a – Continuitatea. Dacă funcţiile sunt polinoame, se asigură

cerinţa ca în interiorul elementului şi pe conturul său câmpul

deplasărilor să nu aibă discontinuităţi, salturi, goluri sau variaţii

bruşte;

b – Compatibilitatea sau conformitatea. Trebuie ca în procesul

de deformaţie elementele să rămână solidare în toate punctele

frontierei comune, adică să nu se separe, să nu ducă la goluri sau

discontinuităţi şi să nu pătrundă în domeniul elementelor vecine.

Pentru a fi compatibile, elementele adiacente trebuie ca pe linia sau

suprafaţa comună să aibă aceleaşi: coordonate pentru noduri, grade

de libertate în noduri, tip de funcţii de aproximare pentru deplasări şi

(uneori) să fie raportate la sisteme de coordonate locale. În practica

FEA, apar frecvent situaţii în care trebuie “conectate” elemente care

nu sunt compatibile. Cel puţin în zonele din imediata apropiere a

acestor linii sau suprafeţe este de aşteptat ca rezultatele obţinute să

fie afectate de erori mai mari decât cele obişnuite.

c – Complinirea. Funcţiile de aproximare trebuie să conţină

termeni care să descrie deplasările de corp rigid (adică translaţii

uniforme pe toate direcţiile şi rotaţii fără distorsiuni unghiulare) şi

stările de deformaţii constante ale elementului, adică să conţină

termeni constanţi şi termeni de gradul întâi.

Cele mai utilizate şi eficiente tipuri de elemente finite sunt cele

izoparametrice, care au polinoame (sau, mai rar, alte tipuri de

funcţii) de acelaşi tip atât pentru definirea geometriei elementului (de

exemplu laturile unui patrulater) cât şi pentru aproximarea câmpului

deplasărilor;

d – Invarianţa geometrică. Elementul finit trebuie să aibă aceeaşi

stare de deformaţie (sau de tensiune, relaţia dintre ele fiind lineară,

prin legea lui Hooke) oricare ar fi orientarea sistemului local de

coordonate (reperul local) în raport cu care aceasta este formulată.

Această cerinţă are în vedere faptul că în timp ce sistemul global de

coordonate (reperul global), al întregii structuri, are o orientare

spaţială fixă, la care sunt raportate toate mărimile nodale (deplasări,

Page 43: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

119

sarcini, grade de libertate geometrică, condiţii de rezemare), fiecare

element are propria sa poziţie şi orientare spaţială. Cerinţa este

satisfăcută dacă expresia funcţiei de aproximare, prin termenii pe

care îi conţine, nu “favorizează” nici una dintre coordonatele locale.

La elaborarea modelului trebuie luat în considerare faptul că

procesul de convergenţă poate fi atins pe două căi şi anume:

α - utilizarea elementelor de “ordin superior”, care au polinoame

de aproximare cu grad cât mai mare. Aceasta presupune ca elementul

să aibă un număr mai mare de noduri, cu mai multe grade de libertate

geometrică şi o formă geometrică mai complicată. Privit din punct de

vedere informatic acest tip de element este mai eficient deoarece

prelucrează o cantitate mai mare de informaţii. Din păcate,

bibliotecile cu elemente finite ale programelor oferă un număr mic de

elemente de acest tip;

β - realizarea unei discretizări cât mai fine, adică modelul să aibă

un număr cât mai mare de noduri şi de elemente finite.

Practica FEA nu a confirmat superioritatea uneia sau alteia din

cele două căi, fiecare cale dovedind faţă de cealaltă o mai bună

aproximare a soluţiei pentru unele tipuri de probleme, dar inferioară

pentru altele.

Pentru ca soluţia obţinută prin “rafinarea” discretizării să fie o

mai bună aproximare a problemei date, trebuie satisfăcute

următoarele cerinţe:

- fiecare discretizare anterioară trebuie să se “regăsească” în cea

nouă;

- fiecare punct al modelului trebuie să aparţină unui element

finit;

- funcţiile de aproximare ale elementelor utilizate trebuie să

rămână aceleaşi când se trece de la o

reţea de discretizare la alta.

6. Forma distorsionată a elementelor finite obţinute prin

discretizare duce la creşterea erorilor de aproximare. Aceasta

înseamnă că, de exemplu, un element triunghiular trebuie să fie cât

mai apropiat de un triunghi echilateral, un element patrulater cât mai

aproape de un pătrat, un element hexaedric de volum de un cub etc.

Programele MEF conţin proceduri de verificare a formei elementelor

şi transmit mesaje de atenţionare pentru cele distorsionate, astfel

Page 44: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

120

încât utilizatorul să poată interveni, prin modificarea reţelei de

discretizare, pentru a reduce cât mai mult această eroare de modelare.

7. Sensibilitatea tipurilor de elemente la sarcini concentrate,

aplicate în nodurile reţelei de discretizare, poate duce la interpretări

greşite ale rezultatelor FEA, deoarece fiecare tip de element

“răspunde” diferit sub acest aspect al modelării şi se pot considera ca

valori maxime ale tensiunilor valori “locale irelevante”. În teoria

elasticităţii, o forţă concentrată aplicată într-un punct al semispaţiului

elastic duce la o singularitate, adică în acel punct, tensiunea normală

pe direcţia forţei are valoarea infinit, adică nu poate fi determinată

(problema Boussinesq). În MEF forţa concentrată aplicată într-un

nod al reţelei de discretizare nu constituie o singularitate, dar valorile

tensiunilor şi deplasărilor din nodul respectiv şi din elementele

vecine au valori care depind de tipul elementului finit.

8. Aproximarea valorilor constantelor elastice şi fizice ale

materialului se face adesea cu erori relativ mari pentru că nu există

informaţii suficient de precise şi sigure despre structura pentru care

se face modelarea. De exemplu, nu se cunoaşte curba caracteristică

reală a materialului, sau variaţiile constantelor elastice ale unui

laminat în raport cu direcţia de laminare (mai ales pentru table),

valorile coeficienţilor de frecare în reazeme (pentru calculul forţelor

de frecare), valorile factorilor de amortizare şi dependenţa acestora

funcţie de frecvenţă, constantele de transmisie a căldurii prin

conductivitate, radiaţie sau convecţie, variaţia constantelor funcţie de

temperatura de lucru etc. În aceste condiţii trebuie remarcat faptul că

adesea este absurd să se depună eforturi pentru elaborarea unui

model sofisticat, cu un mare număr de noduri şi elemente, în speranţa

obţinerii unor rezultate precise, dacă valorile constantelor introduse

în calcul sunt incerte, deoarece acestea pot altera semnificativ

rezultatele şi deci nivelul lor de încredere să fie iluzoriu. Sunt cazuri

în care variaţii relativ mici (de câteva procente) ale valorilor

constantelor duc la variaţii relativ mari ale rezultatelor ( de zeci de

procente).

9. Aproximarea maselor şi a distribuţiei acestora apare pentru

problemele dinamice – vibraţii libere şi forţate, răspuns dinamic,

răspuns seismic etc. – şi poate duce la erori imprevizibile, greu de

evaluat. Pentru structuri complexe, volumul calculelor pentru

Page 45: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

121

probleme de valori proprii poate deveni foarte mare şi o cale pentru

reducerea acestuia este ca modelul să aibă un număr limitat de grade

de libertate, ceea ce implică “reducerea”, sau condensarea matricei

de masă şi a celei de rigiditate.

10. Erorile de trunchiere apar în procesul de calcul ca urmare a

faptului că în calculator toate variabilele (altele decât cele întregi)

sunt reprezentate cu un număr finit de cifre. Prin aceasta apar erori

care se “cumulează” şi se “propagă” şi pot deveni importante când

volumul operaţiilor de calcul este foarte mare. Erorile de trunchiere

pot afecta în special precizia soluţiei sistemului de ecuaţii al MEF

precum şi celelalte etape de calcul ale unei FEA. În consecinţă, sunt

programe care au implementate module de calcul pentru rezolvarea

iterativă a sistemului de ecuaţii, prin aceasta putându-se “corecta”

soluţia iniţială până când corecţia devine mai mică decât un prag

prestabilit.

11. Calculul tensiunilor şi ale altor mărimi “derivate” introduce

erori suplimentare de aproximare. Trebuie avut în vedere faptul că,

pentru modelul deplasare, deplasările nodale sunt necunoscutele

“primare”, deci primele valori care se obţin în urma FEA, celelalte

fiind mărimi “derivate” din valorile acestora, ceea ce implică operaţii

de calcul suplimentare şi deci şi erori suplimentare de aproximare.

Pentru fiecare tip de element tensiunile se determină altfel, în

anumite puncte şi pe anumite direcţii, acestea fiind opţiuni ale post-

procesării, sau ale “retro-calculului”. Tensiunile în noduri, se

calculează ca medii aritmetice ale tensiunilor nodale pentru

elementele care se conectează în fiecare nod. Acest fapt trebuie avut

în vedere când se fac interpretări ale rezultatelor obţinute prin FEA:

care sunt tensiunile care trebuie luate în considerare, cele din noduri

sau cele din elemente.

Concluzii. Din cele prezentate se poate constata că problema

erorilor de aproximare ale modelării şi analizei cu elemente finite

este foarte complexă, ceea ce face aproape imposibil controlul şi

evaluarea acestora. O modalitate de evalua erorile de aproximare

constă în calculul factorului de estimare a erorii, procedură pe care

o au implementată programele actuale pentru analiza cu elemente

finite.

Page 46: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

122

Pentru reducerea efectelor erorilor de aproximare nu se pot emite

recomandări cu aplicabilitate generală ci fiecare utilizator, de la caz

la caz, trebuie să se orienteze singur, pentru a obţine o soluţie

acceptabilă a modelării şi analizei cu elemente finite. Cunoaşterea

surselor de erori şi înţelegerea mecanismelor lor de “acţiune” pot fi

ajutoare preţioase în demersurile pentru o modelare şi analiză de

succes.

Avantajele, dezavantajele şi limitele metodei elementelor

finite.

În prezent metoda elementelor finite este aproape generalizată în

proiectarea inginerească asistată şi are aplicabilitate masivă în

cercetarea mecanică, transmisia căldurii, electricitate, hidraulică,

biomecanică etc.

Avantajele MEF. Propagarea “masivă”, într-un interval de timp

relativ scurt, a MEF se explică în primul rând prin avantajele sale,

dintre care cele mai importante sunt:

1. Generalitatea. MEF este o metodă numerică aproximativă de

calcul care se poate utiliza pentru rezolvarea problemelor de

mecanica structurilor deformabile, mecanica fluidelor, transmisia

căldurii, electromagnetism, electrostatică, biomecanică etc.

Solicitările pot fi statice, dinamice, periodice, staţionare,

nestaţionare, tranzitorii etc. Problemele pot fi liniare, neliniare (cu

diverse tipuri de nelinearităţi), dependente de timp, probleme de

stabilitate, de vibraţii, de interacţiune etc. În prezent utilizarea MEF

este limitată doar de lipsa de imaginaţie şi de ingeniozitate a

potenţialilor beneficiari.

2. Supleţea. Pentru abordarea unei anumite probleme concrete cu

MEF, nu există nici un fel de restricţii care să decurgă din metodă,

adică elaborarea modelului de calcul al problemei date se poate face

cu o libertate deplină, în care esenţiale sunt fantezia, ingeniozitatea şi

experienţa utilizatorului. Supleţea MEF asigură elaborarea cu foarte

mare uşurinţă a modelului de calcul şi permite automatizarea acestui

proces într-o foarte mare măsură.

După ce s-a realizat modelul şi s-au făcut diverse calcule cu el,

într-un număr de variante privind solicitările, condiţiile de rezemare,

opţiunile de analiză etc, se pot obţine variante noi, îmbunătăţite, ale

Page 47: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

123

modelului iniţial, astfel încât să fie satisfăcute cât mai deplin

diversele exigenţe ale utilizatorului.

3. Simplitatea conceptelor de bază. Pentru utilizarea MEF nu

este necesar ca utilizatorul să aibă cunoştinţe speciale de

matematică sau informatică, ci este suficient ca el să aibă cunoştinţe

inginereşti de bază. Se pot înţelege şi asimila, cu un efort minim,

conceptele de bază ale MEF şi anume: nod, element finit, reţea de

discretizare, structură, model de calcul. 4. Utilizarea calculatoarelor. Din chiar principiile de bază ale

MEF, rezultă necesitatea efectuării unui volum foarte mare (uneori

chiar uriaş) de calcule numerice, ceea ce impune implementarea

metodei pe calculator. Dezvoltarea MEF şi a programelor care

folosesc metoda s-au realizat în strânsă concordanţă cu creşterea

performanţelor sistemelor de calcul.

5. Existenţa programelor de calcul cu MEF. În prezent se

comercializează şi sunt accesibile numeroase programe de calcul cu

MEF, deosebit de performante. Aceste programe permit analiza

oricărei structuri mecanice, cu o complexitate practic nelimitată în

ceea ce priveşte forma geometrică, dimensiunile, solicitările,

variantele de analiză etc. Se poate afirma că, în prezent, se poate

calcula orice structură mecanică cu MEF.

6. Facilităţi de pre şi postprocesare. MEF permite ca relativ

simplu să se realizeze o mare diversitate de proceduri eficiente de

preprocesare a modelului de calcul în vederea reducerii volumului de

muncă, în special a discretizării automate şi a verificării acestuia.

Rezultatele obţinute în urma procesării modelului - care au de obicei

un volum uriaş - pot fi prezentate sub formă de tabele, listinguri,

desene, diagrame, animaţii, alb-negru sau color etc, astfel încât

informaţiile oferite beneficiarului să fie cât mai accesibile, sugestive,

atractive, complete, precise etc.

7. Stabilitatea algoritmilor de calcul. Eforturile a numeroşi

cercetători (matematicieni şi ingineri) s-au concretizat prin

elaborarea unor algoritmi şi proceduri eficiente şi sigure, informatice

şi matematice de calcul, destinate MEF şi FEA, care s-au verificat, s-

au impus şi au fost unanim acceptate. În aceste condiţii, MEF şi

programele corespunzătoare elaborate oferă stabilitate şi siguranţă

utilizatorilor. Variante noi ale programelor includ fie extinderi ale

Page 48: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

124

bibliotecilor de elemente finite sau ale opţiunilor de calcul

implementate, fie noi facilităţi de pre şi postprocesare.

Dezavantajele MEF. Prin extinderea până aproape de

generalizare a MEF şi FEA, precum şi prin numărul uriaş de

utilizatori entuziaşti ai acestora, nu înseamnă că MEF a ajuns

panaceu universal în calculele efectuate în inginerie şi în cercetare.

Metoda are dezavantaje şi limite. Cele mai importante dezavantaje

ale MEF sunt:

1. Metoda este aproximativă. Analiza cu MEF nu se face pentru

structura reală ci pentru un model (de calcul) al acesteia şi rezultatele

obţinute reprezintă o aproximare a stărilor de deplasări, tensiuni,

temperaturi etc din structura reală care se analizează. Dezavantajul

MEF constă în aceea că nu se poate estima - în marea majoritate a

situaţiilor reale - cu un nivel de încredere cuantificabil, cât de bine

aproximează FEA soluţia exactă (necunoscută) a problemei care se

analizează. Altfel spus, este foarte dificil - uneori chiar imposibil – să

se estimeze care sunt abaterile valorilor mărimilor (deplasări,

tensiuni, eforturi, frecvenţe etc.) calculate cu MEF faţă de cele reale,

necunoscute.

2. Modelul de calcul este, într-o mare măsură, subiectiv şi

arbitrar. Utilizatorul are libertate deplină în elaborarea modelului,

MEF neavând restricţii în acest sens. Supleţea metodei duce la

suspiciuni în legătură cu corectitudinea modelului şi a eficienţei

analizei realizate cu el. În aceste condiţii hotărâtoare sunt curajul,

ingeniozitatea şi experienţa utilizatorului în domeniul MEF şi FEA,

atribute subiective şi greu de evaluat cantitativ. Elaborarea unui

model de calcul performant devine astfel o artă. Din acest motiv,

diverse institute de proiectare sau firme, au emis norme şi reguli de

elaborare a modelelor pentru unele categorii de structuri, unele dintre

acestea fiind validate în practică.

3. Elaborarea modelului de calcul este laborioasă. Pentru

realizarea modelului cu elemente finite al unei structuri este necesar

din partea utilizatorului un efort considerabil şi o foarte bună

cunoaştere a modului de preprocesare al programului cu elemente

finite sau a interfeţei CAD – MEF.

4. Programele MEF sunt complexe şi scumpe. În dorinţa de a

satisface cât mai bine exigenţele utilizatorilor şi de a face faţă

Page 49: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

125

concurenţei, firmele care elaborează programe performante pentru

analize cu elemente finite au realizat produse de o foarte mare

complexitate. Pentru utilizarea corectă şi eficientă a acestora li se cer

utilizatorilor eforturi deosebite, pentru lungi perioade de timp.

Preţurile programelor sunt relativ mari, uneori chiar prohibitive.

Limitele MEF şi FEA. Cele mai importante limite ale metodei

şi analizelor cu elemente finite sunt următoarele:

1. Precizia rezultatelor. În principiu MEF este convergentă şi

soluţia unei probleme se poate apropia oricât de mult de soluţia

exactă (necunoscută), dar nu o poate atinge (decât rareori şi numai

pentru structuri foarte simple) şi nici nu se pot preciza abaterile

dintre cele două soluţii. Altfel spus, precizia soluţiei FEA este

limitată.

2. Ineficienţa MEF pentru unele tipuri de analize. Pentru analiza

unor probleme locale, ca de exemplu, pentru unele tipuri de

concentratori, posibilităţile MEF sunt limitate în ceea ce priveşte

performanţele de eficienţă şi precizie ale rezultatelor obţinute prin

FEA.

3. Limitările programului MEF. Oricât de general şi de

performant ar fi un program, el are implementate doar anumite tipuri

de elemente finite şi de proceduri pentru analize, preprocesări şi

postprocesări, ceea ce limitează performanţele şi posibilităţile de

utilizare ale acestuia.

4. Resursele sistemului de calcul. În prezent performanţele

calculatoarelor au atins nivele extrem de ridicate şi practic nu se

ivesc, în general, dificultăţi în a realiza FEA pentru modele oricât de

complexe. Atingerea limitelor resurselor sistemului de calcul se

poate produce în cazuri particulare, pentru analize neliniare,

dinamice, procese iterative, etc pentru numere foarte mari ale

nodurilor şi elementelor modelului, dacă parametrii calculatorului au

valori relativ modeste.

3.11. Concluzii

Simplul fapt că se utilizează în paralel mai multe metode de

calcul demonstrează că nici una dintre acestea nu poate acoperi

marea diversitate a cerinţelor calculului ingineresc al structurilor. De

asemenea, nu există o metodă de calcul care să aibă avantaje majore,

Page 50: 4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

126

pe multiple planuri, care să le pună într-o inferioritate categorică pe

celelalte; fiecare din metodele utilizate, are avantaje, delimitări şi

dezavantaje, care le asigură eficienţa pentru o anumită categorie,

limitată, de probleme.

Probabil că în viitor programele de calcul vor avea implementate

proceduri şi module elaborate pe baza unor metode diferite, astfel

încât să se valorifice la maximum avantajele fiecărei metode,

selectarea uneia sau a alteia dintre metode făcând-o programul.

În prezent metoda elementelor finite este cea mai utilizată şi

eficientă, în general.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

2. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.