Capitolul - 9

C U A D R I C E

In teoria euclidiană a suprafeţelor, cuadricele reprezintă o clasă importantă de suprafeţe în spaţiu, cu proprietăţi geometrice remarcabile, des întâlnite în aplicaţii din diverse domenii.

In spaţiul punctual euclidian tridimensional E3 = (E3,V3,~), într-un reper cartezian, cuadricele sunt caracterizate analitic de ecuaţii algebrice de ordinul al doilea , fapt precizat în primul paragraf. În paragraful al doilea, vom studia suprafeţele de ordinul al doilea , raportate la repere ortonormate canonice,faţă de care suprafaţa va fi caracterizată sub cea mai simplă formă. In ultimul paragraf vom studia cuadricele pe forma generală şi vom face clasificarea izometrică a acestora .

§1. Suprafeţe algebrice de gradul doi

Fie spaţiul punctual euclidian tridimensional E3 = (E3,V3,~) în care am fixat reperul cartezian R (O; ) .

1.1 Definiţie. Se numeşte suprafaţă, în spatiul punctual euclidian E3, locul geometric al punctelor M E3 , ale căror coordonate (x,y,z) R3 satisfac una din relaţile :

F(x,y,z) = 0 - forma implicită , (1.1 )sauz=f (x,y) - forma explicită , (1.2)sau

- forma parametrică . (1.3)

Dacă funcţia F este o funcţie polinomială ,atunci suprafaţa (1.1) se va numi suprafaţă algebrică. In particular, dacă funcţia F este o funcţie polinomială de gradul al doilea ,atunci suprafaţa (1.1) se va numi cuadrică .

Astfel, o cuadrică ( ) va fi caracterizată sub formă generală (forma implicită) de ecuaţia

( ) : a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz +173

+ 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 , (1.4)

în care .

Dacă notăm cu f(x,y,z ), membrul stâng din ecuaţia (1.4) ,atunci ecuaţia cuadricei va fi scrisă prescurtat sub forma ( ) : f(x,y,z ) = 0 .

Să considerăm dreapta d printr-un punct M o (xo,yo,zo) cu direcţa oarecare , dată cu ecuaţiile sub formă patametrică

, t R (1.5)

Intersecţia dintre cuadrica ( ) şi dreapta d se reduce la studiul mulţimii de adevăr a sistemului format din ecuaţiile celor două mulţimi de puncte. Astfel, dacă notăm cu

(x,y,z) = a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz (1.6)

forma pătratică din ecuaţia (1.4), obţinem ecuaţia de gradul al doilea în t

(l,m,n) t 2 + t + f(xo,yo,zo) = 0 (1.7)

Dacă (l,m,n) 0, notând cu discriminantul ecuaţiei (1.6) şi cu t1,t2 rădăcinile acestei ecuaţii,avem următoarele cazuri:

- 0, t1,t2 R , dreapta d intersectează cuadrica în două puncte- =0, t1= t2 R, dreapta d este tangentă cuadricei- 0, t1,t2 R , dreapta d nu intersectează cuadrica.

Dacă (l,m,n) = 0 , atunci pentru- 0 , ecuaţia (1.6) este de gradul întâi şi din

punct de vedere geometric , dreapta d intersectează cuadrica într-un punct - = 0 şi f(xo,yo,zo) 0 , ecuaţia (1.6) nu are

soluţii ,deci dreapta d nu intersectează cuadrica

- = 0 şi f(xo,yo,zo) = 0, ecuaţia (1.6) se transformă într-o identitate, deci dreapta d este conţinută în întregime în cuadrică.

Dacă punctul Mo şi (l,m,n) 0, atunci =0 (dreapta d este tangentă în punctul Mo la cuadrica ) dacă şi numai dacă este satisfăcută relaţia

= 0 (1.8)

174

In concluzie, pentru o cuadrică ( ) cu proprietatea că în punctul Mo, mărimile nu sunt simultan nule, există o infinitate de drepte de direcţie (l,m,n) prin punctul Mo tangente la cuadrică.

Vectorul de coordonate ( ) este numit gradientul funcţiei scalare f în punctul Mo şi va fi notat cu (grad f )(M0) .

Condiţia (1.7) reprezintă condiţia de ortogonalitate a vectorilor şi (grad f )(M0) ,cea ce înseamnă că mulţimea dreptelor prin

punctul M0 ,tangente la cuadrică determină un plan. Acest plan, avînd drept normală vectorul (grad f )(M0), se numeşte planul tangent la cuadrică în punctulMo şi este caracterizat analitic de ecuaţia

(x-xo) + (y-yo) + (z-zo) = 0 (1.9)

Intersecţia dintre un plan şi o cuadrică se reduce la o ecuaţie de gradul al doilea în două nedeterminate, ceea ce reprezintă din punct de vedere geometric o conică în planul de intersecţie.

§2. Cuadrice date prin ecuaţii reduse

Fie în spaţiul punctual euclidian E3 reperul ortonormat R (O; ).Reamintim că distanţa dintre două puncte în spaţiu , M(x1,y1,z1) şi

respectiv N(x2,y2,z2), este dată de (M,N) =

2.1 Sfera. Fie C E3 un punct dat .

2.1 Definiţie. Se numeşte sferă de centru C şi rază rR mulţimea punctelor M E3 cu proprietatea ( M,C ) = r .

Mulţimea punctelor M(x,y,z) E3 care aparţin sferei (S) de centru C(a,b,c) şi rază r satisfac relaţia :

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 (2.1)

numită ecuaţia carteziană implicită a sferei (sub formă de pătrate restrânse).

Dezvoltând ecuaţia (2.1) obţinem

x2+ y2 + z2 –2ax –2by – 2cz + a2 + b2 +c2 – r2 = 0,

175

care ne sugerează studiul ecuaţiei

A(x2 + y2 +z2 ) + Bx + Cy + Dz + E = 0, (2.2)

ce reprezintă ecuaţia unei sfere, numită ecuaţia carteziană generală a unei sfere. Ecuaţia (2.2) poate fi pusă sub forma

x2 + y2 +z2 + 2m x + 2ny + 2pz + q = 0 , (2.3)

numită ecuaţia carteziană generală a sferei sub formă normală, în carecoordonatele centrului C sunt date de : a = -m, b = -n, c = -p şi raza r = .

Să considerăm în sistemul de coordonate carteziene Oxyz punctul M(x,y,z) , vectorul de poziţie corespunzător , , proiecţia Mo(x,y,0) a punctului M pe planul xOy, u [0,2) –unghiul dintre OMo şi direcţia pozitivă a axei Ox, respectiv v [0,] – unghiul dintre OM şi direcţia pozitivă a axei Oz (fig.1) . Obţinem

OMo = r cos(90o- v ) = r sin v , de unde rezultă

zM(x,y,z)

y O

Mo(x,y,0)x

21

Ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul în punctul C(a,b,c) şi rază r pot fi scrise sub forma

(2.4)

Fie o dreaptă oarecare prin punctul M0(xo,yo,zo) : x = xo+ l t , y = yo+m t , z = zo + n t şi sfera dată de ecuaţia (2.1) . Intersecţia dintre sferă şi dreaptă se reduce la studiul sistemului format din ecuaţiile acestora.Obţinem ecuaţia de gradul al doilea în t

(l2+m2+n2) t2 + 2[l(xo-a)+m(yo-b)+n(zo-c)] t + (xo-a)2+(yo-b)2+(zo-c)2-r2=0,176

Pentru r = const., u [0,2), v [0,],punctul M(x,y,z) se găseşte pe sfera de rază r ,cu centrul în origine. Din acest motiv cantităţile r,u,v vor fi numite coordonatele sferice ale unui punct din spaţiu.

Fig.1

care ne permite să concluzionăm că o dreaptă intersectează o sferă în cel mult două puncte. Dacă notăm t1, t2 rădăcinile reale ale ecuaţiei de mai sus, valori corespunzătoare punctelor de intersecţie M1, M2, ale sferei cu dreapa ,printr-un calcul direct obţinem că produsul distanţelor punctului Mo la punctele de intersecţie M1 respectiv M2 este constant , adică

MoM1 MoM2 = t1t2 (l2 + m2 + n2) = (xo-a)2+(yo-b)2+(zo-c)2- r2

Numărul real

= (xo-a)2+(yo-b)2+(zo-c)2- r2 = d2 – r2 (2.5)

d desemnând distanţa punctului Mo la centrul sferei, este numit puterea punctului Mo faţă de sferă .

Fie sferele (S1) x2 + y2 +z2 + 2m1 x + 2n1 y + 2p1 z + q 1 = 0(S2) x2 + y2 +z2 + 2m2 x + 2n2 y + 2p2 z + q 2 = 0

Locul geometric al punctelor din spaţiu cu aceeaşi putere faţă de sferele (S1) şi (S2) este un plan perpendicular pe linia centrelor celor două sfere,numit planul radical. Ecuaţia planului radical a două sfere se obţine scăzând ecuaţiile acestora,adică

2(m1-m2)x + 2(n1-n2)y + 2(p1-p2)z +q1-q2 = 0 (2,6)

Dacă considerăm trei sfere (S1), (S2), (S3) ,cu centrele necoliniare, atunci dreapta S1 – S2 = 0, S1 – S3=0 se numeşte axa radicală a celor trei sfere.

In cazul a patru sfere, cu centrele necoplanare, există un punct cu aceeaşi putere faţă de aceste sfere, numit centru radical.

Numim fascicul de sfere, mulţimea sferelor din spaţiu care au acelaşi plan radical. Planele S1 – S2 = 0 şi S3 – S2 = 0 coincid dacă S3 – S2=( S1 – S2) , R sau S3= S1 +(1-)S2 , adică mulţimea tuturor sferelor din fascicolul determinat de S1 şi S2 este caracterizată de ecuaţia

S1 + k S2 = 0 (2.7)Familia sferelor din spaţiu cu aceeaşi axă radicală cu sferele (S1),

(S2), (S3) este numită reţea de sfere şi este caracterizată de ecuaţia

S1 + S2 + S3 = 0, ,R (2.8)

Planul tangent într-un punct la o sferă. 177

Planul care un sungur punc comun cu sfera este numit planul tangent la sferă în acest punct.

Fie Mo un punct pe sfera de centru C(a,b,c) şi rază r dată de (2.1) sau (2.3).

Un punct M este situat în planul tangent la sferă în punctul Mo dacă şi numai dacă este ortogonal vectorului o (xo-a,yo-b,zo-c),adică

(x-xo)(xo-a) + (y-yo)(yo-b) + (z-zo)(zo-c) = 0 (2.9) Astfel, ecuaţia planului tangent la sferă în punctul Mo se scrie sub forma:

xxo + yyo +zzo +m(x + xo) +n(y – yo) +p(z – zo) + q = 0, (2.10)

obţinută prin dedublarea ecuaţiei sferei în punctul Mo .

Observaţie. Dacă (S) este sfera de centru C şi rază r , d este distanţa centrului sferei la planul ,atunci avem următoarele cazuri :

d r - planul este secant sferei (S) d = r - planul este tangent sferei (S) d r - planul este exterior sferei (S) .

2.2 Elipsoidul.

2.2 Definiţie. Se numeşte elipsoid suprafaţa (E) caracterizată de ecuaţia

(E) (2.11)

Forma elipsoidului o putem determina studiind intersecţiile acestuia cu plane paralele cu planele de coordonate.Astfel , intersecţiile cu plane paralele cu planele de coordonate sunt elipsele:

, , ,

reale pentru c , b , respectiv a sau mulţimea vidă pentru c , b, respectiv a .

178

fig.2

Planele de coordonate (plane principale)sunt plane de simetrie ale elipsoidului, axele de coordonate sunt axe de simetrie,iar segmentele pe axele de coordonate de lungime egale cu a,b,respectiv c , sunt numite semiaxe. Intersecţiile elupsoidului cu axele de simetrie vor fi numite vârfuri.Dacă două semiaxe sunt egale ,vom obţine un elipsoid de rotaţie, iar pentru a = b = c se obţine sfera.

Originea reperului este centru de simetrie pentru mulţimea punctelor elipsoidului,numit centrul elipsoidului.

Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului (2.11) sunt

, u [0, 2) , v [0, ] (2.12)

2.3 Hiperboloizi .

2.3 Definiţie. Se numeşte hiperboloid cu o pânză suprafaţa (H1) caracterizată de ecuaţia

(H1) (2.13)

Intersecţiile hiperboloidului (H1) cu plane paralele cu planele de coordonate sunt curbele date de ecuaţiile:

, - elipse

, - hiperbole

179

, - hiperbole

Hiperboloidul cu o pânză are aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul.Elipsa obţinută prin intersecţia hiperboloidului cu planul z = 0 este numită colierul hiperboloidului cu o pânză.

Hiperboloidul cu o pânză (2.13) este caracterizat parametric de ecuaţiile :

, uR, v[0,2) (2.14)

fig.3

Dacă scriem ecuaţia hiperboloidului cu o pânză sub forma

şi

considerăm următoarele familiile de drepte , unde

(2.15)

180

(2.16)

, R , obţinem următorul rezultat :

2.4 Teoremă Orice punct al hiperboloidului (H1) este situat pe o dreaptă din familia ,respectiv şi reciproc.

In adevăr, dacă punctul Mo(xo,yo,zo) este situat pe (H1) , atunci coordonatele sale verifică ecuaţia (2.13) de unde rezultă satisfacerea relaţiilor (2.15),respectiv (2.16) şi reciproc .

Dreptele fiecăreia din familiile , respectiv sunt conţinute în întregime de hiperboloid. Mai mult, hiperboloidul cu o pânză poate fi gândit ca reuniunea tuturor dreptelor uneia dintre cele două familii şi că prin orice punct al hiperboloidului cu o pânză trece câte o dreaptă din fiecare familie. 2.4 Definiţie. Se numeşte suprafaţă riglată , o suprafaţă E3

generată de o dreaptă care se sprijină pe o curbă dată.Dreapta care generează suprafaaţa se numeşte generatoare

rectilinie, iar curba pe care se sprijină se numeşte curbă directoare . Dacă prin orice punct al unei suprafeţe riglate trec două drepte

distincte conţinute în suprafaţă ,spunem că suprafaţa este dublu riglată. Pentru o suprafaţă dublu riglată ,generatoarele care trec printr-un punct determină planul tangent la suprafaţă în acest punct.

In concluzie, hiperboloidul cu o pânză este o suprafaţă dublu riglată.

2.4 Definiţie. Se numeşte hiperboloid cu două pânze suprafaţa (H2) caracterizată de ecuaţia

(H2) (2.17)

Intersecţiile hiperboloidului cu două pânze, fig.4, cu plane paralele cu planele de coordonate sunt date de :

181

Axele şi planele sistemului de coordonate sunt axe, respectiv, plane de simetrie. Punctele A(o,o,c) şi B(0,0,-c) vor fi numite vârfurile hiperbo-loidului cu două pânze .

fig.4

Hiperboloidul cu două pânze (2.14) este caracterizat parametric de ecuaţiile :

u R , v [0,2) (2.18)

182

2.4 Paraboloizi .

2.5 Definiţie. Se numeşte paraboloid eliptic suprafaţa (Pe) caracterizată de ecuaţia

(Pe) (2.19)

fig.5

Intersecţia paraboloidului eliptic cu plane paralele cu axa Oz sunt parabole,iar intersecţia cu plane paralele cu planul xOy sunt elipse pentru z > 0,originea (vârful paraboloidului) pentru z = 0,respectiv , mulţimea vidă pentru z < 0.

Paraboloidul eliptic (2.17) este caracterizat parametric de ecuaţiile :

u R , v [0,2) (2.20)

2.6 Definiţie. Se numeşte paraboloid hiperbolic ( şa ) suprafaţa (Ph), caracterizată de ecuaţia

(Ph) (2.21)

183

fig.5Paraboloidul hiperbolic are aceleaşi axe şi plane de simetrie ca şi

paraboloidul eliptic.Intersecţiile paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cu planele de

coordonate sunt date de curbele :

Paraboloidul hiperbolic (2.19) este caracterizat de ecuaţiile parametrice

- u,v R

(2.22)

2.7 Teoremă Paraboloidul hiperbolic este o suprafaţă dublu riglată

In adevăr, ecuaţia (2.21) poate fi scrisă sub forma , din

care obţinem familiile generatoarelor rectilinii : , date de :

(2.23)

(2.24)

2.5 Conul, cilindrul, perechi de plane

184

2.7 Definiţie. Se numeşte con suprafaţa (C), caracterizată de ecuaţia

(C) (2.23)

z

y

Fig.7

Intersecţiile conului, fig7, cu plane paralele cu planul xOy sunt elipse şi intersecţiile conului cu plane paralele cu axa Oz sunt hiperbole.Ecuaţiile parametrice ale conului (2.21) sunt date de

u R , v [0,2) (2.24)

2.8 Definiţie. Se numeşte suprafaţă cilindrică suprafaţa () caracterizată, în spaţiul E3, de o ecuaţie în două nedeterminate

() F(x,y) =0 ( F(y,z) =0 sau F(x,z) =0 ) (2.25)

fig.7

185

In particular , avem :

- cilindrul eliptic , iar pentru b = a obţinem

x2 + y2 = a2 - cilindrul circular

- cilindrul hiperbolic

y2 = 2px - cilindrul parabolic

Aceste suprafeţe cilindrice au generatoarele paralele cu axa Oz .

Alte suprafeţe algebrice de ordinul al doilea sunt:

- plane secante

x2 – a2 = 0 - plane paralele (confundate, pentru a = 0)

- dreaptă dublă

- punct dublu

a2x2+b2y2+c2z2+1 = 0 - mulţimea vidă .

§3. Reducerea ecuaţiei unei cuadrice la forma canonică

Ecuaţia algebrică de gradul al doilea (1.1), reprezintă din punct de vedere geometric o suprafaţă dintre cele descrise în paragraful prcedent sau mulţimea vidă. Această cuadrică este caracterizată analitic de releţia (1.1), într-un anume reper ortonormat R (O; ) , din spaţiul punctual euclidian E3 = (E3,V3,~) . Pentru a recunoaşte suprafaţa pe care o reprezită această ecuaţie, vom efectua o transformare izometrică în spaţiul euclidian tridimensional E3, astfel încât caracterizarea analitică în noul reper

186

(reper canonic) ,să aibă cea mai simplă formă,numită forma canonică. Transformarea izometrică t : E3 E3 , a reperului ortonormat R (O; ) în reperul ortonormat R ‘ (O’; ) (reper canonic), este perfect determinată de translaţia originii t(O) = O’ şi de aplicaţia ortogonală asociată T :V3 V3 , care transformă baza ortonormată{ }în baza ortonormată { } .

Fie cuadrica ( ) E3 , caracterizată analittic în reperul cartezian R (O; ) de ecuaţia :

( ) : a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz + + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 (3.1)

Asociem cuadricei ( ) matricele :

cu proprietatea aij = aji .

Matricea simetrică A a suprafeţei (3.1) determină în mod unic transformarea liniară simetrică T : V3 V3 pe care o vom numi transformarea liniară simetrică asociată suprafeţei ( ) . Ecuaţia caracte-ristică det( A- I3 ) = 0 se poate scrie sub forma

3 - I2 + J - = 0 , unde (3.2)

I = a11+a22+a33 , J = + + , = detA

(3.3)Conform rezultatelor stabilite în § 5,cap.7 ,valorile proprii 1,2,3

ale ecuaţiei (3.2) sunt reale,iar vectorii propri corespunzători sunt ortogonali. In plus, trecerea de la baza { } la baza (matricea schimbării de bază este ortogonală, -1 = t ) invariază rang A şi polinomul caracteristic (3.2) .

Dacă efectuăm o translaţie t: E3 E3 ,X =X’ +Xo ,matricea A, asociată cuadricei (3.1) , nu se modifică.

In consecinţă , dacă pe spaţiul euclidian E3 efectuăm o transformare izometrică , dată de compunerea dintre o translaţie şi o centro-izometrie, cuadrica ( ) va fi caracterizată de matricea A’cu cantităţile I’,J’,respectiv ’ pentru care avem :

187

3.1Propoziţie Cantităţile I, J, şi rangA sunt invarianţi izometrici, adicăI’= I , J’ = J , ’ = , rangA’ = rangA .

Considerând acum matricea , = det , cu ecuaţia caracteristică det ( -I4 ) = 0, adică

4 - 3 + L2 - K + = 0 (3.4)

şi transformarea simetrică T: E4 E4, caracterizată de matricea într-o bază ortonormată din spaţiul V3 , rang şi polinomul caracteristic rămân neschimbate la o schimbare de bază , deci cantităţile rang , , L, K, sunt invariante trecând de la o bază ortonormată la altă bază ortonormată.

De observat că o centro-izometrie a spaţiului E3 care transportă baza { } în baza , poate fi gândită ca o centro-izometrie a spaţiului E4 , care transportă baza { , } în baza ,deci cantităţile rangA, rang ,I ,J, , ,K,L, sunt invarianţi ai cuadricei ( ) pentru centro-izomertiile spaţiului E3 .

Pentru anumite cuadrice se demonstrează invarianţa la translaţii şi a cantităţilor L şi K , adică L şi K sunt invarianţi la izometriile spaţiului E3.

Invarianţii I ,J, , , rangA, rang determină complet toate clasele izometrice de suprafeţe de ordinul al doilea. Din acest motiv, vom spune că aceştia formează un sistem complet de invarianţi pentru suprafeţele de ordinul al doilea .

Dacă două cuadrice ( 1 ) şi ( 1 ) sunt caracterizate de aceeaşi invarianţi izometrici, atunci există o izometrie a spaţiului E3 care va va aplica punct cu punct suprafaţa ( 1 ) pe suprafaţa ( 1 ) .

Să notăm cu f(x,y,z) membrul stâng al ecuaţiei (3.1) şi forma pătratică din acest polinom prin:

(x,y,z) = a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz . (3.5)

Dacă funcţia f ar satisface relaţia f(-x,-y,-z) = f(x,y,z) , atunci , din punct de vedere geometric , cuadrica ( ) ar admite originea O(0,0,0) drept centru de simetrie pentru mulţimea punctelor sale. Astfel , în mod similar algoritmului aplicat la conice, vom efectua o translaţie în spaţiul E3 ,aşa încât, în noul reper, expresia analitică a cuadricei ( ) să nu conţină termeni de gradul întâi (atunci când este posibil) .

Efecuând translaţia :

188

(3.6)

ecuaţia (3.1) se transformă în

(x’,y’,z’ ) +2 ( ) + f (xo,yo,zo ) = 0

(3.7)

Să considerăm sistemul : ,sau, scris explicit,

(3.8)

cu determinantul . Vom reduce la formă canonică cuadrica ( ) în cazurile: 0, repectiv = 0 .Cazul 0. In acest caz sistemul (3.8) admite o unică soluţie (xo,yo,zo) adică cuadrica ( )are centru unic, punctul O’(xo,yo,zo),originea noului reper.După efectuarea translaţiei (3.6) în punctul O’ ecuaţia cuadricei ( ) se scrie sub forma

(x’,y’,z’ ) + f (xo,yo,zo ) = 0 (3.9)

şi folosind învarianţa lui , obţinem f (xo,yo,zo ) = .

Forma pătratică admite forma canonică: (X,Y,Z ) = 1X2+ 2Y2 + 3Z2, în raport cu reperul format din vectorii proprii , corespunzători valorilor proprii 1, 2, 3 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice (3.2). Astfel, în reperul R’’(O’; ) cuadrica ( ) admite forma canonică :

1X 2+ 2Y 2 + 3 Z 2 + = 0 (3.10)

Reperul R’’(O’; ) va fi numit reper canonic ,iar ecuaţia (3.10) va fi numită ecuaţia redusă .Ecuaţia (3.10) reprezintă pentru

- elipsoid dacă 1, 2, 3 sunt de acelaşi semn, contrar semnului

termenului liber

- hiperboloid dacă numai două valori proprii au acelaşi semn

- mulţimea vidă dacă 1,2, 3, au acelaşi semn

= 0 - con dacă 1 2 3 0

189

- punct dublu dacă 1, 2, 3 au acelaşi semn

Cazul = 0 . In acest caz sistemul (3.8) poate fi incompatibil -cuadrica nu are centru, compatibil simplu nedeterminat -cuadrica are o dreaptă de centre, sau este compatibil dublu nedetermint, caz în care cuadrica admite un plan de centre . Pentru a determina reperul canonic, vom efectua în spaţiul E3 o centro-izometrie urmată de o translaţie ,convenabil aleasă .

Dacă = 1 2 3 = 0 şi 0 , atunci ecuaţia caracteristică are cel puţin o rădăcină egală cu zero.

Să presupunem că 3 = 0 şi celelalte diferite de zero. Ecuaţia caracteristică se scrie sub forma (2-I+J)=0, în care J = 1 2 0. Ecuaţia cuadricei, raportată la reperul ortonormat, format din vectorii proprii

corespunzători valorilor proprii 1, 2, 3 se scrie sub forma:

1x’2 + 2y’2 + 2a’14x’ +2a’24y’ + 2a’34z’ + a’44 = 0 (3.11)

Calculând invariantul izometric pentru această ecuaţie obţinem

= - (a’34)2J, din care pentru 0 rezultă a’34 = 0 .

Să efectuăm în spaţiul E3 translaţia :

(3.12)

atunci ecuaţia (3.11) se scrie

1X2 + 2Y2 + 2 a’34 Z + 2(1 xo+a’14)X +2(2yo+a’24)Y + + 1xo

2 +2yo2 +2a’14xo+2a’24yo+2a’34zo+a’44 = 0 (3.13)

Alegând

xo= , yo= , zo= (1xo2+2yo

2+2a’14xo+2a’24yo+2a’34zo+a’44)

ecuaţia (3.13) devine

1X2 + 2Y2 Z = 0 (3.14)

ceea ce reprezintă un paraboloid,eliptic sau parabolic după cum 12 sau 12 .Pentru = 0 , din calculul invariantului în ecuaţia (3.11), rezultă a’34 = 0caz în care ecuaţia (3.11) se reduce la o ecuaţie de gradul doi în două nedeterminate, ce poate fi pusă sub forma :

190

(3.15)

Dacă efectuăm translaţia x = X - , , z = Z şi notăm cu

, ecuaţia (3.15) se scrie

1X2 + 2Y2 + 0 (3.16)

Calculând cantităţile L şi K pentru ecuaţiile (3.11) şi (3.16) constatăm

invarianţa acestora şi obţinem K =12 = J , adică .

In acest caz ecuaţia (3.16) reprezintă:- pentru K 0 , un cilindru (eliptic dacă 12 , hiperbolic

dacă 12 ) sau mulţimea vidă dacă 1,2, au acelaşi semn

- pentru K = 0 , plane secante dacă 12 sau o dreaptă dublă dacă 12

Să presupunem că = 1 2 3 = 0 pentru 2= 3 = 0 şi 3 0, de unde rezultă că J = 0 şi 3 = I .

În reperul R’(O; ) determinat de vectorii proprii corespunzători valorilor proprii 1, 2 ,3 ecuaţia (3.1) se scrie sub forma:

1x’2 + 2a’14x’ +2a’24y’ + 2a’34z’ + a’44 = 0 (3.17)sau

1 + 2a’24y’ + 2a’34z’ + a’’44 = 0 (3.17)’

unde a’’44 = a’44 - .

Efectuând translaţia , y’ = y’’ , z’ = z’’,în urma căreia

ecuaţia (3.17) se scrie1x’’2 +2a’24y’’ + 2a’34z’’ + a’’44 = 0 (3.17)’’

şi centro-izometria :

191

, pentru

obţinem1 X’ 2 + 2 k1Y’ + a’’44 = 0 (3.18)

unde k1= . In final, translaţia : ne

conduce la forma canonică

1 X 2 + 2 k1Y = 0 . (3.19)

Invarianţa lui K = -(k1)2I 0 la centro-izometrii şi respectiv la

translaţii (se demontrează direct) ne procură k1 = ,adică forma

canonică (3.19) poate fi pusă sub forma

X 2 2 Y = 0 (3.20)

şi reprezintă un cilindru parabolic .

Pentru a’24 = a’34 = 0, rezultă K = 0 şi ecuaţia (3.17)’’ se reduce la

1x’’2 + a’’44 = 0 (3.21)Calculând acum valoarea lui L se găseşte L = 1a’’44 = I a44 , din care

obţinem a44 = şin deci ecuaţia redusă

X 2 + = 0 (3.22)

Care reprezintă plane paralele (confundate) pentru L 0 ,respectiv mulţimea vidă dacă L 0 .

Rezultatele obţinute reprezintă clasificarea izometrică a cuadricelor,pe care oconcentrăm în următorul tabel:

Discuţie 0cuadrice

0 - cu centru elipsoizi,hiperboloizi sau mulţimea vidă

192

nedegene-rate

= 0 -fără centru paraboloizi

= 0cuadrice degenerate

0 - cu centru conuri sau punct dublu

= 0 cu dr. decentre,cu plan de centre saufără centru

J 0cu dreaptăde centre

K 0 cilindri sau mulţimea vidă

K = 0 plane secante sau o dreaptă dublă

J = 0cu plan decentre saufără centru

K 0 cilindri paraboliciK = 0 Plane paralele

(confundate) sau mulţimea vidă

193