curs cuadrice

download curs cuadrice

of 10

  • date post

    31-Oct-2014
  • Category

    Documents

  • view

    105
  • download

    0

Embed Size (px)

description

curs cuadrice algebra an 1 facultate

Transcript of curs cuadrice

CuadriceEcuaiile canonice ale cuadricelor Sfera Definiie Sfera este locul geometric al punctelor din spaiu care sunt egal deprtate de un punct fix numit centru. Fie C(x0, y0, z0) centrul sferei i M(x, y, z) un punct oarecare situat pe sfer. Conform definiiei, are loc egalitatea dist(M, C) = r, sau ( x x0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 + ( z z 0 ) 2 = r Prin ridicare la ptrat, obinem ( x x0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 + ( z z 0 ) 2 = r 2 Ecuaiile parametrice ale unei sfere x(u, v) = x0 + r sin v cos u y (u, v) = y0 + r sin v sin u , u [0, 2), v [0, ]. z (u , v) = z 0 + r cos v

Elipsoidul Definiie Se numete elipsoid suprafaa care ntr-un reper ortonormat convenabil ales (O, {i, j, k}) are ecuaia x2 y2 z2 + + = 1 , a, b, c > 0. a2 b2 c2 Reprezentarea grafic a unui elipsoid este dat n figur

Propoziie Elipsoidul are trei plane de simetrie, xOy, yOz, zOx, trei axe de simetrie, Ox, Oy, Oz, un centru de simetrie, O(0, 0, 0) i ase vrfuri,A(a, 0, 0), A'(a, 0, 0), B(0, b, 0), B'(0, b, 0), C(0, 0, c), C'(0, 0, c). Propoziie Elipsoidul intersecteaz planele de simetrie xOy, yOz, zOx dup elipse reale. Propoziie Ecuaiile parametrice ale elipsoidului sunt

x(u, v) = a sin v cos u y (u, v) = b sin v sin u ,u [0, 2), v [0, ]. z (u, v) = c cos v Hiperboloidul cu o pnz Definiie Se numete hiperboloid cu o pnz suprafaa care ntr-un reper ortonormat convenabil ales (O, {i, j, k}) are ecuaia x2 y2 z2 + = 1 , a, b, c > 0. a2 b2 c2 Reprezentarea grafic a unei hiperboloid cu o pnz este dat n figur

Propoziie Hiperboloidul cu o pnz are trei plane de simetrie, xOy, yOz, zOx, trei axe de simetrie, Ox, Oy, Oz, un centru de simetrie, O(0, 0, 0) i patru vrfuri, A(a, 0, 0), A'(a, 0, 0), B(0, b, 0), B' (0, b, 0). Propoziie Planele de simetrie xOy, yOz, zOx intersecteaz hiperboloidul cu o pnz dup o elips real i dou hiperbole. Propoziie Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu o pnz sunt x(u, v) = a cosh v cos u y (u, v) = b cosh v sin u , u [0, 2), v R z (u, v) = c sinh v

2 1 . 5 1 0 . 5 0 -. 0 5 1 -. 1 5 2

6 4 2 0 2 4 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4

load(draw) draw3d(xu_grid=50,yv_grid=50,color="blue",parametric_surface(4*cosh(v)*cos(u), 3*cosh(v)*sin(u), 2*sinh(v), u,0,2*%pi,v,-5,5)); Hiperboloidul cu dou pnze Definiie Se numete hiperboloid cu dou pnze suprafaa care ntr-un reper ortonormat convenabil ales (O, {i, j, k}) are ecuaia x2 y2 z2 + + 1 = 0 , a, b, c > 0. a2 b2 c2 Reprezentarea grafic a unui hiperboloid cu dou pnze este dat n figur

Propoziie Hiperboloidul cu dou pnze are trei plane de simetrie, xOy, yOz, zOx, trei axe de simetrie, Ox, Oy, Oz, un centru de simetrie, O(0, 0, 0) i dou vrfuri, C(0, 0, c), C'(0, 0, -c). Propoziie Planele de simetrie yOz, zOx intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze dup dou hiperbole, iar planul xOy nu intersecteaz suprafaa. Propoziie Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu dou pnze sunt x(u, v) = a sinh v cos u y (u, v) = b sinh v sin u , u [0, 2), v R z (u, v) = c cosh v

2 0 1 5 1 0 5 0 5 -0 1 -5 1 -0 2 0 1 0 2 0

3 0

-0 4

-0 3

-0 2

-0 1

0

1 0

2 0

3 0

4 -0 0 3

-0 2

-0 1

load(draw) draw3d(xu_grid=50,yv_grid=50,color="blue", parametric_surface(4*sinh(v)*cos(u), 3*sinh(v)*sin(u),2*cosh(v),u,0,2*%pi,v,-3,3), parametric_surface(4*sinh(v)*cos(u),3*sinh(v)*sin(u), -2*cosh(v),u,0,2*%pi,v, -3,3)); Paraboloidul eliptic Definiie Se numete paraboloid eliptic suprafaa care ntr-un reper ortonormat convenabil ales (O, {i, j, k}) are ecuaia x2 y2 + = z , a, b > 0. a2 b2 Reprezentarea grafic a paraboloidului eliptic este dat n figur

Propoziie Paraboloidului eliptic are dou plane de simetrie, yOz, zOx, o ax de simetrie, Oz, i un vrf, originea axelor O(0, 0, 0). Propoziie Planele de simetrie yOz, zOx intersecteaz paraboloidului eliptic dup dou parabole. Propoziie Ecuaiile parametrice paraboloidului eliptic sunt x(u, v) = av cos u y (u, v) = bv sin u , u [0, 2), v R z (u, v) = v 2 Paraboloidul hiperbolic Definiie Se numete paraboloid hiperbolic suprafaa care ntr-un reper ortonormat convenabil ales (O, {i, j, k}) are ecuaia x2 y2 = z , a, b > 0. a2 b2 Reprezentarea grafic a paraboloidului hiperbolic este dat n figur

Propoziie Paraboloidul hiperbolic are dou plane de simetrie, yOz, zOx, o ax de simetrie, Oz, i un vrf, originea axelor O(0, 0, 0). Propoziie Planele de simetrie yOz, zOx intersecteaz paraboloidului hiperbolic dup dou parabole. Planul xOy nu este plan de simetrie pentru paraboloidul hiperbolic. x2 y2 Intersecia paraboloidului cu acest plan este dat de sistemul 2 2 = z , z = 0 a b Propoziie Ecuaiile parametrice paraboloidului hiperbolic sunt x(u, v) = av cosh u y (u, v) = bv sinh u , u, v R z (u, v) = v 2

1 0 . 9 0 . 8 0 . 7 0 . 6 0 . 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0

3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3

x -^ ^ y2 2 3 0 2 0 1 0 0 -0 1 -0 2 -0 3 6 4 2 0- - - 6 24 6 4 2 0 2 4 6 3 0 2 0 1 0 0 -0 1 -0 2 -0 3

Alte forme canoniceDefiniie Se numete con cu vrful n origine suprafaa care ntr-un reper ortonormat convenabil ales (O, {i, j, k}) are ecuaia x2 y2 z2 + =0 a2 b2 c2 Definiie Se numesc cilindrii suprafeele care ntr-un reper ortonormat convenabil ales (O, {i, j, k}) au ecuaiile date mai jos: x2 y2 Cilndrul eliptic: 2 + 2 1 = 0 , x, y, z R. a b x2 y2 Cilindrul hiperbolic: 2 2 1 = 0 , x, y, z R. a b 2 Cilindrul parabolic: y = 2px,

Generarea suprafeelorGenerarea suprafeelor conice Definiie Se numete suprafa conic suprafaa generat de o dreapt variabil, numit generatoare, care trece printr-un punct fix, numit vrf, i se sprijin pe o curb fix numit curb directoare.

Fie V ( x0 , y0 , z 0 ) vrful suprafeei conice. Curba directoare (C) o considerm dat sub forma interseciei a dou suprafee F1 ( x, y, z ) = 0 (C): F2 ( x, y, z ) = 0 Prin punctul V ( x0 , y0 , z 0 ) ducem o dreapt oarecare x x0 y y 0 z z 0 = = l m n Deoarece vectorul director al dreptei, v = li + mj + nk , este nenul, cel puin unul dintre parametrii directori este diferit de zero. Fie n 0 . Atunci ecuaiile dreptei se pot scrie sub forma x x0 y y 0 z z 0 (d , ) : = = 1 l m unde s-a notat = i = n n Pentru ca dreptele (d,) s fie generatoarele suprafeei conice, ele trebuie s se sprijine pe curba directoare (C). Din punct de vedere analitic, aceasta nseamn c sistemul de patru ecuaii cu trei necunoscute, format din ecuaiile dreptelor (d,) i ecuaiile curbei (C), adic x x0 y y 0 z z 0 = = 1 F1 ( x, y, z ) = 0 F ( x, y , z ) = 0 2 trebuie s fie un sistem compatibil. Fie (, ) = 0 condiia de compatibilitate a sistemului anterior, obinut prin eliminarea celor trei necunoscute x, y, z ntre cele patru ecuaii ale sistemului. Ecuaia suprafeei conice se obine eliminnd parametrii i ntre ecuaiile dreptei i condiia de compatibilitate. Din ecuaiile dreptei (d,) rezult

x x0 y y0 , = z z0 z z0 care introduse n condiia de compatibilitate (, ) = 0 conduc la ecuaia suprafeei conice x x0 y y0 ( , )=0 z z0 z z 0 Exemplu S se scrie ecuaia conului care are vrful n originea sistemului de axe i curba directoare cercul x 2 + y 2 + ( z 5) 2 9 = 0 . z 4 = 0 Ecuaiile unei drepte oarecare care trece prin origine sunt x y z (d,) : = = 1 Generatoarele (d,) se sprijin pe curba (C) dac sistemul format din ecuaiile dreptei i ecuaiile curbei x y z = = 1 2 2 2 x + y + ( z 5) 9 = 0 z 4 = 0 este compatibil. Pentru a obine relaia de compatibilitate se elimin necunoscutele x, y, z ntre cele patru ecuaii ale sistemului. Pentru z = 4 ecuaia a doua devine x2 + y2 8 = 0, iar din ecuaiile dreptei rezult x = 4, y = 4. Introducnd valorile lui x i y n ecuaia x2 + y2 8 = 0 se obine 162 + 162 8 = 0, sau (, ) = 22 + 22 1 = 0. Aceast relaie ntre i este condiia de compatibilitate a sistemului. Pentru a obine ecuaia conului se introduc valorile parametrilor i x y scoase din ecuaiile dreptei, = , = n condiia de compatibilitate. z z 2 2 x y Rezult 2 2 + 2 2 1 = 0 z z x2 y2 z2 + =0 Ecuaia canonic a conului este 2 1 1 2 =

( )

Generarea suprafeelor cilindrice

Definiie Se numete suprafa cilindric o suprafa generat de o dreapt variabil care se deplaseaz rmnnd paralel cu o direcie fix i se sprijin pe o curb fix, numit curb directoare.

Fie v = li + mj + nk vectorul director al direciei fixe i F1 ( x, y, z ) = 0 (C): F2 ( x, y, z ) = 0 ecuaiile curbei directoare. Pentru o scrie ecuaiile unei drepte variabile de direcie v scriem mai nti ecuaiile dreptei care trece prin origine i are ca vector director vectorul v = li + mj + nk : x y z = = l m n Aducem apoi aceast ecuaie la forma general nx lz = 0 ny mz = 0 O dreapt paralel cu aceast dreapt este de forma (d,) :

Pentru ca dreptele (d,) s se sprijine pe curba (C) trebuie ca sistemul format din ecuaiile dreptei i ecuaiile curbei nx lz = ny mz = F1 ( x, y, z ) = 0 F2 ( x, y, z ) = 0 s fie compatibil. Eliminnd pe x, y, z ntre cele patru ecuaii ale sistemului se obine o relaie ntre parametrii i necesar pentru ca sistemul s fie compatibil. Notm acest aceast condiie de compatibilitate sub forma (, ) = 0. Ecuaia suprafeei cilindrice se obine introducnd n condiia de compatibilitate valorile lui i obinute din ecuaiile dreptei. Prin urmare, ecuaia

nx lz = ny mz =

suprafeei cilindrice are ecuaia (nx lz, ny mz) = 0. Exemplu S se determine ecuaia suprafeei cilindrice care are drept curb directoare x 2 + y 2 25 = 0 cercul z = 0 x +1 y 3 z + 4 = = i generatoarele paralele cu drepta 2 1 3 Vectorul director al dreptei date este v = 2i + 1 j + 3k . Dreapta care trece prin origine i este paralel cu dreapta dat, deci are pe v ca vector director, are ecuaiile x y z = = 2 1 3 3 x + 2 z = 0 sau 3 y z = 0 O dreapt oarecare, paralel cu aceast dreapt, este de forma 3 x + 2 z = (d,) : 3 y z = Pentru ca dreptele (d,) s se sprijine pe curba (C) trebuie ca sistemul format din ecuaiile dreptei i ecuaiile cu