Rezolvari aplicatii

5/pg. 4 Funcţia profitului brut al unui instrument financiar denumit „happy call” este 1

max ,2 T TS S K

, unde TS este preţul acţiunii suport la momentul T , iar K un preţ

(de exerciţiu) fix. Fie tS preţul acţiunii suport la momentul t şi 1C , respectiv 2C ,

preţurile opţiunilor obişnuite cu preţurile de exerciţiu K , respectiv 2K . Preţul corect (fair price) al opţiunii happy call este de forma:

1 2H tC S C C ,

unde , şi sunt constante.

a. Să se reprezinte grafic profitul brut al opţiunii happy call.

b. Să se determine constantele , şi .

Rezolvare: a) 1

, 21max , 2

2, 2

T TT T

T T

S S KS S K

S K S K

panta = (0,5; 1)

b) , 1, 2,H t t t tC S C C . Scriem această relaţie la scadenţă ( t T= ).

,

10, 0, 2, 2

2, 2 , 2

, 2

1, 2

, 2 0 .

12 , 22

T TT TH T T

T T T TT T

T T

T T T

T T T T

S K S KS S KC S

S K S K S K S KS K S K

S S K

S S K K S K

S S K S K S K

22,5’2 K⋅

K

payoff

TS 0

45’

9/pg. 6 Un investitor din România are de făcut plăţi peste 9 luni în valoare de 6,6 milioane RON iar în acest scop el va primi 1 milion EUR şi 1 milioan USD. Cursurile de schimb în prezent sunt 1 EUR = 3,6 RON şi 1 USD = 3 RON. Ratele dobânzilor sunt

5%, 4%, 6%.eur usd leur r r Cercetaţi dacă investitorul poate utiliza o schemă de

hedging utilizând contracte forward (cu suport EUR şi USD) astfel încăt să obţină o acoperire completă. Rezolvare: Riscul pentru investitor este de scădere a cursurilor date. Calculăm:

( )0

( )0

3,627 /

3,045 /

ron eur

ron usd

r r Teureur

r r Tusdusd

F S e ron eur

F S e ron usd

- ⋅

- ⋅

= ⋅ =

= ⋅ =.

Investitorul va lua poziţie short pe 1 mil USD şi 1 mil EUR cu scadenţa peste 9 luni. La scadenţă va obţine exact 6,672 mil. RON adică suficient pt. a-şi face plăţile în valoare de 6,6 mil. RON. Obs. Dezavantajul acoperirii prin forward constă în faptul că valoarea finală a investiţiei este fixată. Spre deosebire de forward, o acoperire prin long PUT are avantajul că limitează riscul pierderii din scăderea cursului dar în acelaşi timp lasă posibilitatea obţinerii unor câştiguri din evoluţia favorabilă a cursului (în acest caz creşterea cursurilor mondei naţionale) dar contra plăţii primei la iniţierea operaţiunii de hedging. 12/pg. 7 Rezolvare:

a) 0.5 ( ),

,T P T P

TT P T P

S F dacă S FPayoff

S F dacă S F

ì ⋅ - £ïï=íï - >ïî

panta = (0,5; 1)

22,5’PF

2PF

payoff

TS 0

45’

Pante

T PS F< T PS F³

0,5*Short Put ( PE F= ) 0,5 0

Long Call ( PE F= ) 0 1

Participation Forward 0,5 1

sau:

Pante T PS F< T PS F³

0,5*Long Put ( PE F= ) -0,5 0

Long Forward ( Pret fw PF= ) 1 1

Participation Forward 0,5 1

b) Conform ipotezelor, la emisiune contractul participation forward costă 0:

( ) ( ) ( )

1 ( . ) ( )

21 1

( , ) 0 ( , ) .2 2

t t P t P

r T t r T tP t P t

Participation Forward Long Forward preţ fw F Long Put E F

F t T F e P F t T F e P- ⋅ - - ⋅ -

= = + ⋅ = =

= - ⋅ + ⋅ = - =- ⋅ ⋅

14/pg.8 Ratele dobânzilor (compunere în timp discret) pentru diverse scadenţe sunt date de către următoarea structură la termen a ratelor dobânzii:

Scadenţă 1M 2M 4M 6M 1Y Dobândă 5% 5,25% 5,5% 5,5% 6%

La momentul 0, un investitor intră într-o poziţie LONG pe un contract forward cu scadenţa 6 luni având ca activ suport o acţiune care plăteşte un dividend de 2 u.m. peste 1 lună şi un dividend de 3 u.m. peste 9 luni. Preţul forward la momentul 0 este 28,7785 u.m.

1. Calculaţi cursul acţiunii în momentul încheierii contractului forward. 2. Calculaţi valoarea peste 2 luni a contractului forward încheiat la momentul iniţial,

ştiind că între timp preţul activului suport a scăzut cu 5% iar structura la termen s-a deplasat în jos cu 25 bp (1bp = 0,01 pp). Interpretare.

(parţial Inginerie fin. 2010)

Rezolvare:

1. 610

1

(0, ) 121

12

M

M

rDF T S

r

de unde 0 30.S

2. 1 28.5S ; 4 5, 25%Mr

41

4 4

2 1 2 1 1 1 1 1;0; ; 0; 1 0; 0, 2164

12 2 12 2 2 3 21 13 3

M

M M

rf F F S F

r r

11 0

1112

M

DS S

r

.

16/pg. 8 Se ştie că în intervalul 0, t rata dobânzii fără risc este 1r , iar în intervalul

,t T devine 2r .

1. Să se determine preţul forward la momentul 0 pentru un contract forward cu scadenţă T şi având activ suport o acţiune care nu plăteşte dividende.

2. Se consideră o opţiune call şi o opţiune put având activ suport o acţiune care nu plăteşte dividende, scadenţă T şi preţ de exerciţiu K . Să se determine relaţia de paritate, la momentul 0, dintre opţiunea call ţi opţiunea put.

Rezolvare:

1. 1 2

0(0, ) r t r T tF T S e .

2. 1 2

0 0 0r t r T tC K e P S .

18/pg. 9 Pe piaţă se tranzacţionează următoarele active financiare:

- o obligaţiune zero cupon cu scadenta peste 6 luni, având cursul 0.9512; - o obligaţiune zero cupon cu scadenta peste 9 luni, având cursul 0.9277; - un bull spread cu scadenţa 6 luni, cu preţuri de exerciţiu 100 şi 120, având prima

11.4562; - o opţiune call cu scadenţă 9 luni, cu preţ de exerciţiu 110 având prima 11.9646; - un bear spread cu scadenţa 6 luni, cu preţuri de exerciţiu 100 şi 120, având prima

7.4647. Să se construiască, dacă se poate, un portofoliu de arbitraj.

Rezolvare:

Întrucât Bull spread-ul şi Bear spread-ul cu scadenţele la 6 luni au ambele prima pozitivă deducem că prima strategie e formată din Call-uri iar cea de a doua din Put-uri1, de unde:

1 În caz contrar un Bull Put Spread sau un Bear Call Spread ar avea prima negativă.

1 2 1 1

1 1 2 2 1 2

2 1 2 2

0, ,

, ,

, 0,

T T

T T T T T T

T T

S E E E S E

Bull S E E S E iar Bear E S E S E

E E S E S E

1 2 1 1

1 1 2 2 1 2 2 1

2 1 2 2

0, ,

, , 20.

, 0,

T T

T T T T T T

T T

S E E E S E

Bull Bear S E E S E E S E S E E E

E E S E S E

La momentul 0 formăm următoarea strategie:

0 = Short 20 obligaţiuni zero cupon cu scadenta peste 6 luni + Long bull spread cu scadenţa 6

luni + Long un bear spread cu scadenţa 6 luni = 20 0.9512 11.4562 7.4647 0.1031 . Altfel spus formarea acestui portofoliu generează un venit de 0.1031 la momentul iniţial. Peste 6 luni, la scadenţa instrumentelor din portofoliu:

20 ( , ) 20 20 0.T T TB T T Bull Bear

0Pr 0.1031 0Tofit cu certitudine ceea ce reprezintă arbitraj.

19/pg. 9 „Horror forward” ...

Rezolvare:

0

181 1 . . 0

0.9512Long HF Long HS Short O Z C

2 1

181 0

0.9512T K K .

20/pg. 10 Preţul curent al unei acţiuni este 10 u.m. iar volatilitatea acesteia este 9,76% . Preţul de exerciţiu al unei opţiuni call care expiră peste o perioadă egală cu un trimestru este 10 u.m.. Pe piaţă există obligaţiuni zero-cupon care maturează peste un trimestru în condiţiile în care rata dobânzii fără risc este 10,11%r .

a) Să se construiască un portofoliu de hedging care să elimine riscul indus de deţinerea opţiunii call, luând poziţii pe acţiunea suport şi activul fără risc. Care este costul acestei operaţiuni?

b) Construiţi un portofoliu de arbitraj presupunând că datorită unor dezechilibre temporare preţul obligaţiunilor zero-cupon devine 0,9 u.m. în condiţiile în care toate celelalte variabile sunt cele de la punctul a). Explicaţi cum se vor regla ulterior preţurile astfel încât oportunitatea de arbitraj să dispară.

Rezolvare:

a) 1,05; 0,9524; 0;0, 25 0,975.u d B

( )( )0 0 01 0,75r t

r t e dp S u p S d S e p

u d

⋅D⋅D -

⋅ ⋅ + - ⋅ ⋅ = ⋅ = =-

unde:

0 1 0,3657r tu dC e p C p C .

La momentul iniţial avem o poziţie long pe Call pe care o acoperim printr-o poziţie short pe h unităţi din activul suport iar suma rezultată din aceste poziţii va fi investită în obligaţiuni zero-cupon. Obiectivul urmărit este ca indiferent cum va evolua preţul opţiunii Call până la scadenţă, rezultatul să fie unul cert:

0 :La t 0 1 Long Call + h Short A.Suport + 0 0

0,975

h S C obligaţiuni zero-cupon

1 :La t

0 0

1

0 0

1, .0,975

1, .0,975

u u

d d

h S CC h S daca A Suport creste

h S CC h S daca A Suport scade

Determinăm numărul de unităţi de activ suport ce trebuie vândute, h , astfel încât valoarea portolfoliului la momentul 1t să fie aceeaşi:

0 0 0 01 1

0,975 0,975u u d d

h S C h S CC h S C h S

de unde 0,5122u d

u d

C Ch

S S

0 1 Long Call + 0,5122 Short A.Suport + 0 00,5122

0,975 00,975

S C

iar la scadenţă valoarea finală a portofoliului va fi cu certitudine: 0 0

1

0,51220,5122 1 0.

0,975u u

S CC S

Costul acoperirii este 0.

b) 0;0, 25 0,9.B


0,9 00,9

S C


1

0,51220,5122 1 0, 4067 0.

0,9u u

S CC S

Poziţia de arbitraj pe ozc este una long: 0 00,5122

5, 2848 00,9

S C . Datorită cererii

mari preţul ozc va creşte până la valoarea de echilibru de la punctul a). 21/pg. 10 Considerăm o acţiune AAA al cărei preţ este azi 40$. Sunt observate de asemenea următoarele preţuri pentru opţiuni europene pe acţiunea AAA cu scadenţa peste 6 luni:

Preţ de exercitare Prima CALL 25 21 50 1

Sunt preţurile în echilibru sau există posibilitate de arbitraj? Explicaţi. Rezolvare: La momentul iniţial investitorul ia următoarele poziţii: 2 Short Call (E=25) = 42 Long S = -40 Long Call (E=50) = -1 Profit 1 (sau altfel costul strategiei la iniţiere este -1). La scadenţă (T):

( ) ( ) ( ) ( )2 max 25;0 max 50;0 max 50;0 max 2 50;0T T T T T TPayoff S S S S S S=- ⋅ - + - + = - - ⋅ - + =

0, 25

0, 50 0, 2550 2 ,25 50

50, 50 2 50, 25, 50

, 25

50 , 25 50 0.

0, 50

TT T

T T T TT T T T

T T

T T

T T

T

SS S

S S S SS S S S

S S

S S

S S

S

ì £ïïì ì£ £ï ï ïï ï ï= - + = + - ⋅ < £ =í í íï ï ï- > ⋅ - >ï ï ïî î ï- >ïîüì ï£ï ïï ïïï ï= - < £ ³í ýï ïï ïï > ïïî ïþ

Pr cost_strategie 1ofit Payoff arbitraj= - ³ .

22/pg. 10 Opţiunile CALL cu scadenţa peste un an şi preţ de exercitare 50$ au preţul 2 $, iar cele cu preţ de exercitare 55$ au preţul 1,5$. Opţiunile PUT cu scadenţa peste un an şi preţ de exercitare 50$ au preţul 1,22$ , iar cele cu preţ de exercitare 55$ au preţul 3$. Preţul activului suport este 49$. Există oportunităţi de arbitraj? Rezolvare:

0C 0P

50E = 2 $ 1,22$ 55E = 1,5$ 3$

Dacă alegem o strategie de forma 0Strategie Call Bull Spread (long Call cu 50E = +

short Call cu 55E = ) + Put Bear Spread (short put cu 50E = + long Put cu 55E = ) costul ei la iniţiere ar fi 2,28 u.m. deoarece valoarea portofoliului la momentul 0t este:

( ) ( )0 2 1,5 1, 22 3 2, 28Strategie = - + - + = .

Printr-o poziţie short pe activul suport, la iniţiere, investitorul ar obţine 49 u.m. cu care ar putea cumpăra 20 de strategii de genul celor de mai sus şi un call cu 50E = şi ar mai rămâne cu un profit de 1,4 u.m. Aşadar: la 0t : 0 20 strategii [Call Bull Spread (long Call cu 50E = + short Call cu 55E = )

+ Put Bear Spread (short put cu 50E = + long Put cu 55E = )] + short activul suport + long Call cu 50E = 20 2,28 49 2 1,4

Profit la 0t = 1,4 u.m. (valoarea portofoliului este negativă!)

la T : 20 max( 50;0) 20 max( 50; )

20 5 max( 50; ) 100 50 50 . .T T T T T

T

Strategie S S spread S

S u m

P = ⋅ - + - = ⋅ + - - =

= ⋅ + - - ³ - =

0Profit 51,4 . .T u m=P -P ³

Adică profit sigur fără aport de capital propriu şi fără riscuri, deci arbitraj. 23/pg. 10 Presupunem că există 2 stări posibile 1 2, . Piaţa financiară este

compusă dintr-o obligaţiune cu rata de dobândă r (şi preţul iniţial 0 1B ) şi o acţiune

S cu preţul iniţial 0S şi preţurile viitoare posibile:

11, dS S ; 21, uS S ,

astfel încât d uS S .

a. Să se arate că lipsa oportunităţilor de arbitraj este echivalentă cu:

01 1

d uS SS

r r

.

b. Să se calculeze probabilitatea neutrală la risc.

Obs. În timp continuu, termenul 1

1 r+ se înlocuieşte cu ( )r T te- ⋅ - .

Rezolvare: a) Prin reducere la absurd, dacă:

i) 01

dSS

r

atunci construim următorul portofoliu de arbitraj:

la 0t : long acţiunea şi 0S unităţi obligaţiuni poziţie short (cost la iniţiere 0);

la T : ( )Pr 0 (1 )T

T d u

ofit S S r

S S sau S

= - ⋅ +

= dar ( )0 (1 ) d uS r S S⋅ + < < de unde Profit > 0

adică avem oportunitate de arbitraj. Pentru a elimina această posibilitate singura variantă

este 01

dSS

r

.

ii) 01

uSS

r

atunci construim următorul portofoliu de arbitraj:

la 0t : short acţiunea şi 0S unităţi obligaţiuni poziţie long (cost la iniţiere 0);

la T : ( )Pr 0 (1 ) T

T d u

ofit S r S

S S sau S

= ⋅ + -

= dar ( )0 (1 ) u dS r S S⋅ + > > de unde Profit > 0

adică avem oportunitate de arbitraj. Pentru a elimina această posibilitate singura variantă

este 01

uSS

r

.

Singura variantă posibilă este ca: 01 1

d uS SS

r r

.

b) Probabilitatea neutrală la risc este acea probabilitate de creştere a cursului acţiunii pentru care valoarea aşteptată în viitor a acesteia este egală cu valoarea investiţiei la rata fără risc (adică în obligaţiuni zero cupon).

( )( ) (0) (1 )1 (0) (1 ) d

u du d

S r Sp S p S S r p

S S

⋅ + -⋅ + - ⋅ = ⋅ + =

-.

Obs. Pentru scrierea în timp continuu se înlocuieşte factorul de fructificare 1 r+ cu ( )r T te ⋅ - .

4/pg. 12 Să considerăm o opţiune put americană cu următoarele caracteristici:

95 ; 30 ; 98 ; 7%S euro T zile K euro r= = = = . Coeficientul de creştere 1,1u = . Calculaţi preţul acestui put american utilizând modelul Cox-Ross-Rubinstein (modelul binomial) cu 2 perioade. Determinaţi preţul opţiunii call americane corespondente. Deduceţi o relaţie de arbitraj între cele două preţuri. Rezolvare:

Relaţia de arbitraj:

La 0t : Long CALL + Short PUT + Short activul suport

Profit: 6,6453 4.0706 95 97,5747 care fructificaţi la rata fără risc devin:

La T :1

0.071297,5747 98,1455e

,Re max{ ;0} max{ ;0}

0,

0,98.

,

T TT T T

T

TT T T

T T

S E S Ezultat strategie S E E S S

S E

S ES S E S E

E S S E

Profit net: 98,1455 98 0,1455 fără capital propriu iniţial şi fără riscoportunitate de arbitraj.

At each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 98Discount factor per step = 0.9971Time step, dt = 0.0417 years, 15.21 daysGrowth factor per step, a = 1.0029Probability of up move, p = 0.4915Up step size, u = 1.1000Down step size, d = 0.9091

114.950

104.51.521085

95 956.645389 3

86.3636411.63636

78.512419.4876

Node Time: 0.0000 0.0417 0.0833

At each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 98Discount factor per step = 0.9971Time step, dt = 0.0417 years, 15.21 daysGrowth factor per step, a = 1.0029Probability of up move, p = 0.4915Up step size, u = 1.1000Down step size, d = 0.9091

114.9516.95

104.58.306502

95 954.070677 0

86.363640

78.51240

Node Time: 0.0000 0.0417 0.0833

11/pg. 14 Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având cursul spot 100S şi volatilitate 25% . Rata instantanee a dobânzii fără risc este 10%r . Un call de tip lookback cu preţul de exerciţiu K şi scadenţă T este un derivativ cu payoff

0

max max ,0tt T

S K

. Un put de tip lookback cu preţul de exerciţiu K şi scadenţă T este

un derivativ cu payoff 0

max max ,0tt T

K S

. Se consideră un model binomial având

lungimea unei perioade de 3 luni. 1. Să se determine prima unei opţiuni call cu preţ de exerciţiu K d S şi scadenţă

peste 9 luni. Să se determine prima opţiunii put cu aceleaşi caracteristici; 2. Să se determine prima unui call de tip lookback cu preţ de exerciţiu K d S şi

scadenţă peste 9 luni. Să se determine prima unui put de tip lookback cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare: 1. 1,1331; 0,8825; 0,5699; 2u d p

Folosind arborele sau analitic 0 19,5689C .

Din paritate 0 1, 442P .

2. Call Lookback:

Output-urile posibile sunt:

3 30 0

2 20 0

220 0

2 3

0 0

cu prob.

cu prob. 1

cu prob. 2 1 1

cu prob. 2 1 1

S u S d p

S u S d p p

S u S d p p p p

S S d p p p

23 3 2 2 2

0 0 0 0

2 3

0

1 2 1 1

1 2 1 1 31,5273.

r TCL e S u d p S u d p p S u d p p p p

S d p p p

Put Lookback:

0 0 0 00 0 0

0

max max 0 max max ,0 0

0.

t t tt T t T t T

S S K S K S S d S K S

PL

13/pg. 15 Preţul curent al unei acţiuni este 10 u.m. iar volatilitatea acesteia este

9,76% . Preţul de exerciţiu al unei opţiuni call care expiră peste o perioadă egală cu un trimestru este 10 u.m.. Pe piaţă există obligaţiuni zero-cupon care maturează peste un trimestru în condiţiile în care rata dobânzii fără risc este 10,11%r .

c) Să se construiască un portofoliu de hedging care să elimine riscul indus de deţinerea opţiunii call, luând poziţii pe acţiunea suport şi activul fără risc. Care este costul acestei operaţiuni? d) Construiţi un portofoliu de arbitraj presupunând că datorită unor dezechilibre temporare preţul obligaţiunilor zero-cupon devine 0,9 u.m. în condiţiile în care toate celelalte variabile sunt cele de la punctul a). Explicaţi cum se vor regla ulterior preţurile astfel încât oportunitatea de arbitraj să dispară.

Rezolvare:

a) 1,05; 0,9524; 0;0, 25 0,975.u d B

( )( )0 0 01 0,75r t

r t e dp S u p S d S e p

u d

⋅D⋅D -

⋅ ⋅ + - ⋅ ⋅ = ⋅ = =-

unde:

0 1 0,3657r tu dC e p C p C .

La momentul iniţial avem o poziţie long pe Call pe care o acoperim printr-o poziţie short pe h unităţi din activul suport iar suma rezultată din aceste poziţii va fi investită în obligaţiuni zero-cupon. Obiectivul urmărit este ca indiferent cum va evolua preţul opţiunii Call până la scadenţă, rezultatul să fie unul cert:

0 :La t 0 1 Long Call + h Short A.Suport + 0 0

0,975

h S C obligaţiuni zero-cupon

1 :La t

0 0

1

0 0

1, .0,975

1, .0,975

u u

d d

h S CC h S daca A Suport creste

h S CC h S daca A Suport scade


0 0 0 01 1

0,975 0,975u u d d

h S C h S CC h S C h S

de unde 0,5122u d

u d

C Ch

S S


0,975 00,975

S C


1

0,51220,5122 1 0.

0,975u u

S CC S

Costul acoperirii este 0.

b) 0;0, 25 0,9.B


0,9 00,9

S C


1

0,51220,5122 1 0, 4067 0.

0,9u u

S CC S

Poziţia de arbitraj pe ozc este una long: 0 00,5122

5, 2848 00,9

S C . Datorită cererii

mari preţul ozc va creşte până la valoarea de echilibru de la punctul a). 16/pg. 15 Preţurile viitoare posibile unei acţiuni sunt 100 şi 200. Preţul curent al acţiunii este 150. Preţul de exerciţiu al unei opţiuni put care expiră peste o perioadă este 150. Preţul unei obligaţiuni zero-cupon care maturează peste o perioadă este 0,8. Să se determine poziţiile în acţiune şi în activul fără risc, care elimină riscul indus de deţinerea opţiunii put.

Rezolvare:

Probabilitatea neutrală la risc este acea probabilitate de creştere a cursului acţiunii pentru care valoarea aşteptată în viitor a acesteia este egală cu valoarea investiţiei la rata fără risc (adică în obligaţiuni zero-cupon).

( )( ) 001 0.875

r tr t d

u du d

S e Sp S p S S e p

S S

⋅D⋅D ⋅ -

⋅ + - ⋅ = ⋅ = =-

unde:

1

0.8r te ; 0 50u dP iar P ; 0 1 5r t

u dP e p P p P .

La momentul iniţial luăm poziţie long pe Put şi poziţie short pe h unităţi din activul suport iar suma rezultată din aceste poziţii va fi investită la rata fără risc (adică în obligaţiuni zero-cupon). Obiectivul urmărit este ca indiferent cum va evolua preţul opţiunii Put până la scadenţă, rezultatul să fie unul cert:

0 :La t 0 1 Long Put + h Short A.Suport + 0 0

0.8

h S P obligaţiuni zero-cupon

1 :La t

0 0

1

0 0

1, .0.8

1, .0.8

u u

d d

h S PP h S daca A Suport creste

h S PP h S daca A Suport scade


0 0 0 01 1

0.8 0.8u u d d

h S P h S PP h S P h S

de unde 0.5u d

u d

P Ph

S S

În concluzie, în portofoliul iniţial trebuie să luăm poziţie Long pe 0.5 unităţi (sau altfel spus short pe –0.5 unităţi) din activul suport:

0 1 Long Put + 0.5 Long A.Suport + 0 0

0.8

h S P obligaţiuni zero-cupon

iar la scadenţă valoarea finală a portofoliului va fi cu certitudine: 0 0 0 0

1 ( 0.5) 1 ( 0.5) 1 0.0.8 0.8u u d d

h S P h S PP S P S

Obs. Parametrul h poartă denumirea de indicatorul delta şi se calculează în momentul în care se construiesc portofolii de hedging de genul celui descris în această aplicaţie. 14/pg. 19

Să se arate, prin utilizarea lemei Ito, că 2

0t tS B S este soluţia ecuaţiei diferenţiale

stocastice 2t t tdS dt S dB , unde 0S este cunoscut iar tB reprezintă o mişcare

browniană standard. Rezolvare:

Se aplică Lema Ito funcţiei t tf S S .

Solutie alternativă: se aplică Lema Ito functiei tS care depinde de tB ce are ca ecuaţie de

dinamică stocastică: 0 1t tdB dt dB= ⋅ + ⋅ .

8/pg. 22

Se consideră un proces stocastic tX a căruidinamică este dată de următoarea relaţie:

( )t t t tdX k X dt X dBq s= - + , unde ,k şiq s sunt constante. Să se calculeze

( ) ( )T t T tE X X şi VAR X X . (modelul CIR pentru dinamica ratei dobânzii).

Rezolvare:

( )t t t tdx k x dt x dB

Integrand si aplicand operatorul de medie obtinem: ( ) [ ( ) ( )]T

T t s

t

E x x k T t E x

.

( ) ( )not

TE x f T ' ( ) ( )f T k kf T şi înmulţind relaţia cu kTe putem integra prin părţi:

'( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

T Tks ks ks kT kt kT kt

t t

t

e f s ke f s ds e k ds e f T e f t e e

f t x

De unde: ( )( ) ( ) k T t

T tE x x e

Pentru varianţă pornim de la funcţia 2

tx pentru care aplicăm Lema Ito:

2 21

[2 ( ) 2 ] 22t t t t t t tdx x k r x dt x x dB

Integrand obţinem: 2 2 2 2 3/ 2(2 ) 2 2T T T

T t s s s s

t t t

x x k x ds k x ds x dB şi aplicăm

operatorul de medie:

2 2 2 2 3/ 2

( )

0

( ) (2 ) ( ) 2 ( ) 2 ( )T T T

T t s s s s

t t tnotatie T

E x x k E x ds k E x ds E x dB

' 2 2 ( )( ) (2 ) ( ) 2 ( ) (2 )( ( ) ) 2 ( )k T ttT k f T k T k x e k T

şi înmulţind relaţia cu 2 ( )k T te putem integra prin părţi:

2 ' 2 ' 2 ( )( ) ( ) ( ) (2 ) ( ( ) )T T

ks ks k s tt

t t

e s e s ds k x e ds de unde:

22 22 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )

22 22 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

( ) ( ) 2 22

2 22

k T t k T t k T t k T ttT t

k T t k T t k T t k T t k T t k T t k T ttt t

xT E x x e e e e

k k k

xx e e x e e e e e

k k k

iar 2 2 2 2( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )T T TVar x E x E x T f T

de unde: 2

2 ( ) ( ) ( )( ) (1 )[ (1 )]2

k T t k T t k T tT tVar x e x e e

k

Obs. Mediile şi varianţele sunt condiţionate de informaţia de la momentul t . 10/pg. 23 Determinaţi procesul urmat de variabila stochastică ( )Z t (ecuaţia diferenţială stochastică) pentru următoarele situaţii: a) ( )( ) x tZ t e unde 0( ) , (0) .tdx t dt dB x x

b) 2( ) ( )Z t x t unde ( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB

c) 1

( )( )

Z tx t

unde ( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB Determinaţi în această situaţie expresia

pentru ( )Z t ca funcţie de , şi ( )B t

Rezolvare: Se aplică Lema lui Ito şi se obţine: a)

( ) 2 ( )

( ) 2 2 ( ) ( )

0; ;

1

2

x t x t

x t x t x tt

Z Z Ze e

t x x

dZ e e dt e dB

b)

2

2

2 2 2 2

0; 2 ( ); 2

2 2 t

Z Z Zx t

t x x

dZ x x dt x dB

c)

2

2 2 3

22

20

0 0

1 20; ;

( ) ( ) ( ) şi integrând, rezultă:( ) ( ) ( )

.

t t

T T

T s s s

Z Z Z

t x x x x

dZ t dt dB Z t dt Z t dBx t x t x t

Z Z Z ds Z dB

16/pg.24 Se notează cu tB mişcarea geometrică browniană şi cu

( ) , 2.kk

r tE B kb é ù= ³ê úë û

Să se arate că:

( ) 2

0

11 .

2

tk kt sk k dsb b -= - ò

Să se calculeze ( )2

tE Bé ùê úë û

şi ( )6

tE Bé ùê úë û

.

Rezolvare:

t tdB dB= şi aplicând lema lui ITO funcţiei ( )k

tB obţinem:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2

2

21

10 0 1 1

2

1

2

k k kk t t t

t tt t t

kkt

t t

B B Bd B dt dB

B B B

k k Bdt k B dB

--

æ ö¶ ¶ ¶÷ç ÷ç= + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =÷ç ÷ç ¶ ¶ ¶÷çè ø

⋅ - ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅

Integrând, rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )2 1

0 0

10

2

t tk k k

t s s s

k kB B ds k B dB

- -⋅ -- = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ò ò

şi aplicând operatorul de medie se obţine:

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1

0 0

2 2

00

1

2

1 11 0 1 .

2 2

t tk k k k

t s s s t

ttk k

s s

k kE B E B ds k E B dB

k k E B ds k k ds

b

b

- -

- -

é ù é ù⋅ -é ù ê ú ê ú= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =ê ú ê ú ê úë û ê ú ê úë û ë û

é ù= ⋅ - ⋅ ⋅ + = -ê úë û

ò ò

ò ò

( ) ( )2 2 2

0 0

12 2 1

2

t t

t sE B ds ds tb -é ù = ⋅ ⋅ - ⋅ = =ê úë û ò ò

( ) ( )3

6 6 2 4 2 3

0 0 0

16 6 1 15 15 15 5 .

2 3

t t t

t s s

tE B ds ds s ds tb b-é ù = ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ê úë û ò ò ò

15/pg. 27 Un investitor are un portofoliu de opţiuni având următoarea structură:

i. o opţiune CALL poziţie long cu preţul de exercitare 95E = ; ii. o opţiune CALL, tot poziţie long cu preţul de exercitare 105E = ;

iii. 2 opţiuni CALL, poziţie short cu preţul de exercitare 100E = ;

Acţiunea suport a acestor opţiuni prezintă următoarele caracteristici: 100; 30%S s= = , scadenţa opţiunilor este aceeaşi: 3T luni= iar 10%.r = Se cere:

a) Valoarea portofoliului, respectiv suma investită de investitor la momentul iniţial;

b) Notândcu TV câştigul net al investitorului, care este funcţie de cursul acţiunii suport

la scadenţă, respectiv ( )T T TV V S= , să se completeze următorul tabel:

TS 90 95 96 98 100 102 104 105 110 115

( )T TV S

Rezolvare: a) Notăm cu 0p valoarea portofoliului la momentul iniţial.

0 0 0( 95) ( 105) 2 ( 100) 0,82.0

C E C E C Ep = = + = - ⋅ = =

Unde fiecare din cele 3 valori ale opţiunilor call s-au calculat folosind modelul Black-Scholes: b) 0 max( 95) max( 105) 2 max( 100) 0,82.T T T T TV S S Sp p= - = - + - - ⋅ - -

TS 90 95 96 98 100 102 104 105 110 115

( )T TV S -0,82 -0,82 0,18 2,18 4,18 2,18 0,18 -0,82 -0,82 -0,82

Grafic, profitul se poate reprezenta astfel: 18/pg. 27 Ecuaţia de dinamică a cursului unei acţiuni este t t t tdS S dt S dzm s= + . Fie

2

( , ) ln ( )2t t tD t S S S r T tsé ùæ ö÷çê ú÷= ⋅ + + ⋅ -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

, unde r este data dobânzii.

i) Să se arate că ( , )tD t S este preţul la momentul t al derivativului care la scadenţă (T )

are un payoff ( ) ln( )T T Tf S S S= ⋅ ;

ii) Utilizând lema lui Ito sa se determine ecuaţia de dinamică a lui ( , )tD t S , precum şi

volatilitatea acestuia. Să se arate că acest derivativ este mai riscant decât activul suport. Rezolvare: i) ( , )tD t S verifica ecuatia Black-Merton_Scholes, deoarece:

2

2

2

2

( , )

2

( , )ln ( ) 1

2

( , ) 1

tt

tt

t

t

t t

D t SS r

t

D t SS r T t

S

D t S

S S

s

s

æ ö¶ ÷ç ÷=- ⋅ +ç ÷ç ÷ç¶ è øæ ö¶ ÷ç ÷= + + ⋅ - +ç ÷ç ÷ç¶ è ø

¶=

¶

95 105

100

95 105

100

Long Butterfly format din call-uri

2 2 22 2

2

22 2

1ln ( ) 1

2 2 2

1 1ln ( )

2 2

t t tt t t t t

t t t tt

D D Dr S S S r r S S r T t

t S S

S r S S r T t r DS

Payoff-ul derivativului este:

2

( , ) ln ( ) ( ) ln( ).2T T T T T TD T S S S r T T f S S Ssé ùæ ö÷çê ú÷= ⋅ + + ⋅ - = = ⋅ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

ii) Aplicând lema lui Ito obtinem:

22 2

2

2 22 2

2

1

2

1 1ln ( ) 1

2 2 2

ln (2

t t t tt t t t t

t t t tt

t t

D D D DdD S S dt S dB

t S S S

S r S S r T t S dtS

S S r T t

m s s

s sm s

ss

æ ö¶ ¶ ¶ ¶÷ç ÷= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =ç ÷ç ÷ç ¶ ¶ ¶ ¶è øì üé ùæ ö æ öï ïï ï÷ ÷ç çê ú÷ ÷= - ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ - + + ⋅ ⋅ ⋅ +ç çí ý÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç çï ïè ø è øê úï ïë ûî þ

æ ö÷ç ÷+ ⋅ ⋅ + + ⋅ -ç ÷ç ÷çè ø[ ]) 1 ( ) ( )t t t t t tdB D r S dt S D dBm m s

é ùê ú+ = ⋅ + - ⋅ + ⋅ +ê úê úë û

Volatilitatea derivativului este data de difuzia procesului rentabilitatii derivativului: t

t

dD

D.

( ) 1t tt

t t

SdD S tr dt dBD D D

tm m s

æ öé ù ÷ç ÷çê ú ÷= + - ⋅ + ⋅ + ⋅ç ÷ê ú ç ÷÷çë û è ø de unde 1 .

St

D Dt

s s sæ ö÷ç ÷ç ÷= ⋅ + >ç ÷ç ÷÷çè ø

21/pg. 28 O opţiune call europeană cu suport o acţiune care nu distribuie dividende are scadenţa peste 3 luni. Preţul curent al acţiunii suport este egal cu preţul de exercitare actualizat cu rata dobânzii fără risc. În prezent preţul acţiunii este 15 euro iar analiştii au estimat că

2[ ( ) ( )] [ ( )]Pr { } 16%.r T t T t r T tTob S e S S e Care este preţul curent al opţiunii?

Rezolvare:

( )

( )1 2

22

( )

1

2 1 1

2 1

15

0,25

?

( ) ( )

ln ( )ln ( )( )22 ( )

2( ) ( )

( ) ( )2

( ) 1 ( )

r T tt

t

r T tt t

ttr T t

S E e

T t

C

C S N d Ee N d

SST tr T t

EeEd T tT t T t

d d T t T t d

N d N d

1[2 ( ) 1] [2 ( ) 1]2t t tC S N d S N T t

Stim din textul problemei ca:

2[ ( ) ( )] [ ( )]Pr .{ } 16%r T t T t r T tt T tob S e S S e de unde:

2[ ( ) ( )] [ ( )] 2

2

Pr .{ } Pr .{ ( ) ( ) ln ( )} 16%

stim: ln ( )( ), ( )2

r T t T t r T t Tt T t

t

T

t

Sob S e S S e ob r T t T t r T t

S

SN r T t T t

S

deoarece evaluarea se face in mediu neutru la risc (suntem in conditiile modelului Black Scholes) r . De aici:

22 22 ln ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )22 2Pr .{ }

( ) ( ) ( )

Pr .{ ( ) ( )} ( ( )) ( ( )) 2 ( ) 1 16%2 2 2 2 2

T

t

Sr T tr T t T t r T t r T t r T tS

obT t T t T t

ob T t z T t N T t N T t N T t

Unde (0,1)z N

1[2 ( ) 1] [2 ( ) 1] 15 0,16 2,42t t tC S N d S N T t euro

.

24/pg. 29 Preţul unei acţiuni tS urmează, într-un mediu neutru la risc, o mişcare

browniană geometrică de forma: t t t tdS r S dt S dBs= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ . Fie 2

ln tt

SX

K

æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø unde

0K > este o constantă. a) Poate fi tX preţul unui instrument financiar derivat la momentul t ?

b) Poate fi tX o martingală?

c) Poate fi TX payoff-ul unui instrument financiar derivat la scadenţa T ?

Justificaţi. Rezolvare: a) Nu Pentru ca tX să fie preţul unui instrument financiar derivat la momentul t , trebuie să

verifice ec. BMS.

22

2 2

0

12 ln

1 12 2 ln

t

t t

t t

t t

t t t

X

tX S

S K S

X S

S S K S

¶=

¶æ ö¶ ÷ç= ⋅ ⋅÷ç ÷çè ø¶

æ ö æ ö¶ ÷ç ÷ç÷= ⋅ - ⋅ ⋅ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ç è ø¶ è ø

rezultă: 2 2 2

2 2 21 1 1 12 ln 2 ln 2 ln 1 ln ln

2t t t t t

t tt t t

S S S S Sr S S r r

K S S K S K K Ks s

é ùæ ö æ ö é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ öê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê ú÷ ÷⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ - ¹ ⋅ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê ú÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç çç ç ç ç çê ú÷ ÷ç çè ø è ø è ø è ø è øè ø è øê ú ë ûë û

tX nu poate fi preţul unui instrument financiar derivat.

b) Nu

2 21ln ~ ln ( ); ( )

2T tS N S r T t T ts sé ùæ ö÷çê ú+ - ⋅ ⋅ - ⋅ -÷ç ÷çê úè øë û

2 21ln ln ln ~ ln ( ); ( )

2tT

T

SSS K N r T t T t

K Ks s

é ùæ ö÷çê ú= - + - ⋅ ⋅ - ⋅ -÷ç ÷çê úè øë û

2 222 2

2

1( / ) ln ln ln ln ( ) ( )

2

ln

tT T TT t

t

SS S SE X X E E VAR r T t T t

K K K K

S

K

s sé ù é ù é ùæ ö æ ö é ù æ öê ú÷ ÷ ÷ç ç çê ú ê úê ú= = + = + - ⋅ ⋅ - + ⋅ - ¹÷ ÷ ÷ç ç çê ú÷ ÷ ÷çç çê ú ê úê ú è øè ø è ø ë û ë ûë ûê úë û

é ùê ú¹ê úë û

c) Da

Dacă TX este payoff-ul unui instrument financiar derivat (D) la scadenţa T atunci

[ ]2

( ) ( ) 2 21/ ln ( ) ( )

2r T t r T t t

t Q T t

SD e E X X e r T t T t

Ks s- ⋅ - - ⋅ -

ì üï ïé ùæ öï ïï ï÷çê ú= ⋅ = ⋅ + - ⋅ ⋅ - + ⋅ -÷í ýç ÷çê úï ïè øë ûï ïï ïî þ

care verifică ec. BMS. 29/pg. 37 Un activ suport are în prezenta valoarea S = 200. Rata dobânzii fără risc este 10%r = , iar volatilitatea activului suport este 30%s= . Un investitor are un portofoliu format din opţiuni pe acest activ suport:

- long 1000 opţiuni A cu 6.0 , 05.0 şi 4.0 - short 700 opţiuni B cu 2.0 , 04.0 şi 6.0

unde S

D

, 2

2

S

D

şi

D

.

a. (1.5 pct) Să se calculeze indicatorii ,, pentru portofoliu, ştiind că valoarea

portofoliului este în prezent de 8000, iar t

D

.

b. (0.5 pct) Să se formeze un portofoliu neutru pornind de la portofoliul dat. c. (1 pct) Să se formeze un portofoliu , neutru pornind de la portofoliul dat. d. (1 pct) Să se formeze un portofoliu ,, neutru pornind de la portofoliul dat. (test seminar 2008) Rezolvare: a.

1000 700

1000 700 740

1000 700 22

1000 700 20

A B

A B

A B

A B

p

p

p

p

u u u

= ⋅ - ⋅D = ⋅D - ⋅D =

G = ⋅G - ⋅G =

= ⋅ - ⋅ =-

Din ecuaţia Black-Merton-Scholes obţinem:

2 21

2r S S rp p pq s p+ ⋅ ⋅D + ⋅ ⋅ ⋅G = ⋅ de unde 53600pq =- .

b.

1

1

0 740.

x S

x xp p

p p= + ⋅

D =D + = =-

Investitorul trebuie să ia poziţie short pe 740 unităţi din activul support.

c. Alegem în plus şi opţiunea A pentru operaţiunea de hedging, întrucât are indicatorul G mai mare decât opţiunea B.

2

2

2

0 476

0 0 440

A

A

x S y A

x y x

y y

p p

p p

p p= + ⋅ + ⋅ìD =D + + ⋅D = ìï =-ïï ïí íï ïG =G + + ⋅G = =-ïîïî

d. Alegem în plus şi opţiunea B pentru operaţiunea de hedging.

3

3

3

3

0 0

0 0 1000.

7000 0

A B

A B

A B

x S y A z B

x y z x

y z y

zy z

p p

p p

p p

p p

u u u u

= + ⋅ + ⋅ + ⋅

ìïD =D + + ⋅D + ⋅D = ì =ïï ïï ïïï ïG =G + + ⋅G + ⋅G = =-í íï ïï ï =ï ï= + + ⋅ + ⋅ = ïîïïî

30/pg. 38 Se consideră un contract CALL de tip european pentru a cumpăra lire sterline. Se ştie că scadenţa contractului este 6T luni , cursul spot este 1,9803S , preţul de exerciţiu este

2,0114E , volatilitatea cursului este 25% , rata dobânzii este în SUA este 5,2% iar rata de dobândă în Anglia este 6,8%.

a) Să se determine prima opţiunii CALL;

b) Să se precizeze modificarea primei opţiunii CALL în cazul în care rata dobânzii în SUA creşte cu 1 p.p. iar în Anglia cu 2 p.p.

Rezolvare: a)

( ) ( )1 2

2

1

2 1

( ) ( )

ln ( )( )2

( )

( )

GBP USDr T t r T tt t

tUSD GBP

C S e N d E e N d

Sr r T t

EdT t

d d T t

0,1148 /tC USD GBP

b)

( )2

( )1

( ) ( ) 0, 4039

( ) ( ) 0,4613

USD

GBP

r T tC

USD

r T tC t

GBP

CT t E e N d

r

CT t S e N d

r

1 21 0 1 20,004039 0,004613

100 100C CC C

34/pg. 38 O firmă din Aliteria, în care moneda naţională este A, are de făcut peste 1 an plăţi în valoare totală de 7,9 milioane A. În acest scop ea va primi 1 milion USD şi 1 milion EUR. Cursurile de schimb, în prezent sunt: 4A=1USD şi 3,7A = 1 EUR. Volatilităţile cursului de schimb sunt: A/USD: 1 15%s = ; A/EUR: 2 20%s = ; EUR/USD: 3 10%s = . Ratele dobânzilor sunt: zona EURO: 2 8%r = ; SUA: 1 6%r = ; Aliteria: 3 10%r = .

a) Să se prezinte o schemă de hedging utilizând opţiuni care să asigure cel puţin 7,9 milioane A şi care să aibă un cost cât mai redus. Se va preciza tipul de opţiuni utilizat, preţurile de exerciţiu, precum şi dacă s-au utilizat scheme de tip „cross”.

b) Să se prezinte şi o schemă utilizând contracte forward. Rezolvare:

a) Investitorul va avea 1 mil. EUR + 1 mil. USD care vor trebui transformaţi în A pentru efectuarea plăţilor. Opţiunea PUT este cea care protejează investitorul împotriva scăderii cursului activului suport. Investitorul va cumpăra 1 mil. opţiuni PUT cu suport 1 USD şi 1 mil. opţiuni PUT cu suport 1 EUR.

max( ,0) max( , )

( ) ( ) 7,9 7,9T T T T T T

T T USD EUR EUR USD

PP P S K S S K S K

PP USD PP EUR K K A K A K

Costul acoperirii va fi: 0 0( ) ( )USD EURP K P K , iar problema se scrie:

0 0

0 0

min ( ) (7,9 )

( ) (7,9 ) (7,9 ). . : 0

(7,9 )

USDUSD USDK

USD USD USD

USD USD USD

P K P A K

P K P A K A KC O I

K A K K

de unde:

3 3( ) 7,9 ( )( ) (7,9 ) 2 2

2 2

7,92 2

0 ( ) ( )

4 0,15 3, 2 0, 2ln 0,1 0,06 1 ln 0,1 0,08 1

2 7,9 2

0,15 1 0, 2 1

USD USD

USD USD

USD USD

K r T t A K r T tP K P A K

K A K USD USD

N d e N d e

K Kd d

0,15 ln(7,9 ) 0,2 ln( ) 0,08675 0.USD USDK K

Fie: .

( ) 0,15 ln(7,9 ) 0, 2 ln( ) 0,08675 0not

USD USD USDg K K K

Aplicăm Newton-Rhapson funcţiei g plecând de la ,0 4USDK şi obţinem:

.0,1 ,0

.0

( )4,15

'( )USD

USD USDUSD

g KK K

g K

.1,2 ,1

.1

( )4,15

'( )USD

USD USDUSD

g KK K

g K

de unde: 4,15 7,9 4,15 3,75USD EURK A K A A A .

Nu s-au utilizat scheme de tip cross. b) Se iau poziţii short forward pe 1 mil. USD şi pe 1 mil. EUR. Preţurile forward sunt:

( ) 0,040

( ) 0,020

4 4,163 / $

3,7 3,774 / €

A USD

A EUR

r r TUSD

r r TEUR

F S e e A

F S e e A

La scadenţa T , investitorul primeşte din vânzarea forward a valutelor exact: 4,163 / $ 1 .$ 3,774 / € 1 .€ 7,937 . 7,9 .A mil A mil mil A mil A Obs. Avantajul utilizării protective-put-ului este că pierderea este limitată iar câştigul potenţial este nelimitat. La acoperirea utilizând contractele forward rezultatul este fixat de la momentul intrării în contracte. 37/pg. 39 Pentru o opţiune CALL de tip european având ca suport o acţiune se cunosc următorii indicatori de senzitivitate:

1( )N dD= ; ( )2( )r T te N d- ⋅ -=- ⋅ ;

21

21 1

2

d

eS T ts p

-G= ⋅ ⋅

-

Se definesc suplimentar următorii indicatori: E

Sa= şi ( )

Cf

Sa = .

i) Ştiind că 0,85a= ; 0,81401D= şi 0,69349=- . Să se calculeze ( )f a .

ii) Să se calculeze expresiile pentru indicatorii de senzitivitate 2

2

( ) ( )f fşi

a aa a

¶ ¶¶ ¶

.

iii) Pentru cazul numeric de la punctul i, ştiind că 0,00789G= şi 10S = să se

calculeze 2

2

(0,85)f

a¶

¶.

(examen Inginerie fin. 2007) Rezolvare: i)

( ) ( )1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0.2245

r T t r T tC C

C Ef N d e N d N d e N d

S Sf

a a a

a

- ⋅ - - ⋅ -= = - ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅ =D + ⋅

=

ii)

( ) ( )1 1 2 22

1 2

( ) ( )( )( )r T t r T tN d d N d df

e e N da d d

aa

a a- ⋅ - - ⋅ -¶ ¶ ¶ ¶¶

= ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅¶ ¶ ¶ ¶ ¶

Calculăm cele două derivate parţiale:

2

1 11 1 12

1

1ln ( )

2

( )

( ) 1 1( ) ( ) ( )

( ) ( )

r T t

T t

N d dn d n d n d

d T t T t

sa

sa

a a a s a s

é ùæ öæ ö ÷ç÷ê úç ÷+ + ⋅ -ç÷ç ÷÷ê úç ç ÷çè ø è øê ú¶ ê ú⋅ -ê úê ú¶ ¶ -ê úë û⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =- ⋅

¶ ¶ ¶ ⋅ - ⋅ ⋅ -

( )12 2 12 2

2

( )( ) ( )

d T tN d d dn d n d

d

s

a a a

¶ - ⋅ -¶ ¶ ¶⋅ = ⋅ = ⋅

¶ ¶ ¶ ¶

21

2 2 2 22 1 1 1

21

12 ( ) ( )ln ( )2 2 2

2 1

1( )

2

1 1 1( ) ( )

2 2 2

d

d d d T t T t d r T tr T t

n d e

en d e e e e n d

s sa

p

ap p p

-

æ ö- ⋅ ⋅ ⋅ - + ⋅ - ⋅ -÷ç + ⋅ -÷ç- - - ÷÷çè ø

= ⋅

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Şi revenind:

( ) ( )1 1 2 22 1

1 2

( ) ( )12 2 1

( )( )

1

( ) ( )( ) 1( ) ( )

( )

1( ) ( ) ( )

( )

1( )

( )

r T t r T t

r T t r T t

r T tr T t

N d d N d dfe e N d n d

d d T t

de n d e N d n d

T t

ee n d e

T t

aa

a a a a s

aa a s

aa a s

- ⋅ - - ⋅ -

- ⋅ - - ⋅ -

⋅ -- ⋅ -

¶ ¶ ¶ ¶¶= ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ =- ⋅ -

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ⋅ ⋅ -

¶- ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ =- ⋅ -

¶ ⋅ ⋅ -

æ ö÷ç ÷ç- ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - -÷ç ÷÷ç ⋅ ⋅ -è ø( ) ( )

2 2( ) ( )r T t r T tCN d e N d- ⋅ - - ⋅ -⋅ =- ⋅ =

iar:

21

( )2 ( )2 ( ) ( )2 2

122

2

1 2 2

( ) ( )( ) 1( )

( )

1 1( )

( ) 2 ( )

r T t r T tr T t r T t

d

e N d N d df ee e n d

d T t

en d

T t T t

aa a a a a s

a s p a s

- ⋅ - ⋅ -- ⋅ - - ⋅ -

-

é ù æ ö¶ - ⋅ ¶ ¶¶ ê ú ÷çë û ÷ç= =- ⋅ ⋅ =- ⋅ ⋅ ⋅ - =÷ç ÷÷¶ ¶ ¶ ¶ ç ⋅ ⋅ -è ø

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ -

iii)

2

2 2

(0,85)0,1092C

f S

a a¶

=G ⋅ =¶

.

10/pg. 43 Un exportator din România trebuie să primească, peste 6 luni, suma de 100.000 EUR şi să facă plăţi interne în RON. Cursul spot EURRON este 4,27 iar volatilitatea acestuia este %15 . Cele două rate ale dobânzii sunt 1,9%EURr şi

6%RONr .

(i) Realizaţi o strategie de hedging utilizând opţiuni put (fiecare cu suport un euro) care să îi asigure exportatorului, peste 6 luni, cel puţin 425.000 RON. Determinaţi preţul de exercitare al opţiunii şi apoi costul acoperirii. (ii) Utilizând opţiuni call cu aceleaşi caracteristici, să se construiască o strategie de hedging cu cost zero. Ce valoare în RON îi asigură exportatorului, peste 6 luni, această variantă? Este aceasta o strategie de tip arbitraj? Explicaţi. (iii) Ce aşteptări legate de evoluţia viitoare a cursului are acest exportator ţinând cont că preferă prima variantă de acoperire? Unde trebuie să se situeze cursul la scadenţă astfel încât prima variantă de acoperire să genereze la scadenţă o sumă mai mare decât cea de a doua variantă? Rezolvare: (i) La scadenţă:

100.000 100.000 max , 100.000 425.000 4, 25T T TP S K S K RON K

Costul iniţial: 0 0100.000 4, 25; 4, 27 12.900P K S RON

(ii) Long Put Short Call

Costul iniţial este 0: 0 0 00 4,3584 /

din paritateEURRONr r T

P C K S e RON EUR

Deci preţul de exercitare al opţiunilor trebuie să fie egal cu preţul forward. La scadenţă: 100.000 100.000 435.844T T TP C S K RON

NU. Cost 0, însă există riscul ca la scadenţă 4,3584 /TS RON EUR iar în lipsa acestei

strategii exportatorul ar fi obţinut mai mult de 435.844RON .

(iii) Exportatorul aşteaptă o depreciere a cursului.

( a.î. 0,129 4,383 /RONr TTS K e RON EUR )

Varianta (ii) aduce o sumă certă fixă: 435.844RON . În consecinţă trebuie ca 4,3584 /TS RON EUR .

11/pg. 43 Un importator din România va trebui să facă plăţi externe, peste 3 luni, în valoare de 100.000 USD. Cursul spot USDRON este 3,4 iar volatilitatea acestuia este estimată la %15 . Cele două rate ale dobânzii sunt 2%USDr şi 5%RONr . Pe bursă,

preţul de exercitare al opţiunilor cu suport un USD şi scadenţa la 3 luni este de 3,45 RON. Pentru a se acoperi la riscul unei evoluţii nefavorabile a cursului de schimb, importatorul poate achiziţiona opţiuni de pe piaţa bursieră, suportând costul dintr-un împrumut la rata fără risc internă.

a) Specificaţi tipul opţiunilor achiziţionate şi determinaţi costul acoperirii. De ce sumă în RON va avea nevoie acest importator la scadenţă pentru a-şi acoperi obligaţiile de plată?

b) Utilizând contracte forward, să se construiască o strategie de hedging cu cost zero. Specificaţi de ce sumă în RON are nevoie importatorul, peste 3 luni, pentru a-şi asigura cei 100.000 USD.

c) Firma poate apela şi la piaţa OTC unde poate utiliza opţiuni cu suport întregul pachet de 100.000 USD la preţul de exercitare de 3,42 RON/USD. Calculaţi costul acoperirii în această situaţie.

Care dintre cele trei variante aţi recomanda-o firmei? Argumentaţi.

Rezolvare: a) Achiziţionarea implică o poziţie Long. Riscul constă în creşterea cursului (deprecierea RON). LONG CALL (dau dreptul la cumpărarea activului suport). Costul acoperirii:

0 0 1 2100.000 100.000 10.000USD RONr T r TC S e N d E e N d RON

b) Valoarea împrumutului de rambursat este 10.000 10.125,8RONr Te RON Importatorul achiziţionează suma în USD fie prin exercitarea opţiunilor (dacă USDRON depăşeşte 3,4 RON) fie direct de pe piaţă dacă abandonează opţiunea (curs mai mic de 3,4 RON). Suma necesară la

scadenţă100.000 3, 4 10.125,8; 3, 4

350.125,8100.000 10.125,8; 3, 4

T

T T

SRON

S S

c) Long Forward (dă dreptul la cumpărarea suportului) .

00;0,25 3,4256 /RON USDr r TF S e RON USD .Investitorul are nevoie de 342.560 RON

Observaţie: varianta a) devine mai avantajoasă decât c) dacă cursul USDRON se apreciază până la scadenţă cu mai mult de 3,5012-3,4256=0,0756RON.

2

ln ln 3, 42

3,3244 ln ln 3,3244 0, 4323 33, 28%T RON USD

T T

S r r T

P S P S PT

21/pg. 50 Pe piaţa de capital s-au emis două obligaţiuni zero-cupon: una de către o firmă şi una fără risc, de către stat. Valoarea prezentă a obligaţiunii emise de stat este 5.000 u.m. Obligaţiunea corporatistă are aceeaşi scadenţă şi aceeaşi valoare nominală ca şi cea emisă de stat. Activele firmei sunt egale cu valoarea prezentă a obligaţiunii emise de stat (adică 5.000 u.m.) iar volatilitatea anuală a activelor firmei este 42%. Evaluaţi riscul împrumutului contractat de firmă prin emisiunea obligaţiunii zero-cupon ( Ds ).

Rezolvare: Activul firmei este: 5.000tA =

Datoria firmei este în prezent: tD

Valoarea prezentă a o.z.c. emise de stat este: ( ) 5.000r T ttVN e A- ⋅ -⋅ = =

Valoarea nominală a celor două o.z.c. este aceeaşi: VN F=

1( )tD A

t

AN d

D

22

( )

1

ln ( )ln ( ) ( )22 ( )

2( ) ( )

t At Ar T t

A

A A

AAT tr T t

F eFd T tT t T t

2 1d d=-

( ) ( )

2 1

1 1

( , ) ( ) ( )

2 ( ) ( )2

r T t r T tt t t

tt

t

D F e Put A F F e N d A N d

DA N d N d

A

Aşadar: 1( ) 21%.2

t AD A

t

AN d

D

22/pg. 50 1. Valoarea de piaţă a unei firme este 0 1.600A iar datoriile sale către creditori de

819,62. Firma a negociat cu o bancă două împrumuturi pentru refinanţarea acestor datorii, sub formă de obligaţiuni zero-cupon, ambele având scadenţa peste 60 de luni. Primul, având valoarea nominală 1.100SF este un credit senior (principal), iar cel de-al

doilea având valoarea nominală 910JF este un credit junior (subordonat). După

obţinerea creditelor, valoarea de piaţă a firmei a devenit 1.650tA iar riscul 51%A .

Se ştie că 9%r . a) Să se stabilească cu câte procente s-a modificat cursul acţiunilor firmei, ştiind că firma are pe piaţă un număr de 100 de acţiuni. b) Să se stabilească rata dobânzii (rentabilitatea la scadenţă) cu care a fost acordat fiecare din cele două credite şi prima de risc medie a împrumutului. c) Care este probabilitatea ca banca să nu recupereze integral valoarea nominală a creditului junior? Rezolvare:

a)

0

0

1.600 819,62 780,38

( , ) 830,38

0,5100 6, 4071%.

7,8038

t t t S J

E

E C A F F

S

S

b) ( ) , 701,391 146,569 554,8217.

264.7983

r T ttS S t S

tJ t t tS

D F e Put A F

D A E D

1ln 13,688%S

StS

Fy

T t D

1ln 24,689%J

JtJ

Fy

T t D

1ln 17,941 0,09 8,941%S J

tS tJ

F Fr

T t D D

.

c) T s J T J sP A F F P A F F care este probabilitatea ca Put-ul cu suport activul

firmei şi preţ de exercitare S JF F să se exercite, adică 2N d unde: 2

2

ln ( )2

t

s J

Ar T t

F Fd

T t

2 36,37%.N d

24/pg. 51 Se consideră două firme cu caracteristici financiare identice. Valoarea activelor fiecărei firme este A=20.000 u.m. iar volatilitatea acestora este 45% . Activele firmelor nu sunt corelate. Fiecare firmă a emis F=15.000 obligaţiuni zero cupon cu valoarea nominală egală cu 1 u.m. şi scadadenţa 10T ani. Rata dobânzii fără risc

este 3%r . De asemenea, fiecare firmă are emise 10.000 acţiuni. Un investitor a cumpărat câte o unitate din fiecare din cele 2 obligaţiuni.

a) Să se calculeze (pentru fiecare firmă) cursul bursier; b) Să se calculeze (pentru fiecare firmă) valoarea, volatilitatea şi spread-ul obligaţiunii; c) Cum se poate proteja investitorul astfel încât valoarea portofoliului să nu fie influenţată de modificarea activelor firmei?

Rezolvare: a) E=13.139,33 u.m. b) D=6.860,67 u.m., 17%D , spread=4,82%.

9/pg. 51 Utilizând metodologia Black-Scholes, să se evalueze o opţiune call asset-or-nothing de tip european pe o acţiune ce nu distribue dividende a cărei valoare la scadenţa T este:

0,( )

,T

T T

dacă S KC T

S dacă S K

ì <ïï=íï ³ïî

unde TS este preţul acţiunii-suport la momentul T , iar K este preţul de exercitare. Preţul

TS urmează o mişcare browniană geometrică. Deduceţi relaţia de paritate call-put pentru

acest tip de opţiuni. Rezolvare:

( ) ( ) ( )

ln( )

0, 0,[ / ] / /

1, 1,

0,/

1,

T

t

T Tr T t r T t r T t Tt Q T t Q T t Q t t

T Tt

STSr T t

t Q tT

S K S KSC e E C e E S e E S

S K S KS

S KS e E e

S K

- ⋅ - - ⋅ - - ⋅ -

- ⋅ -

é ù é ùì ì< <ï ïï ïê ú ê ú= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =í íê ú ê úï ï³ ³ê ú ê úï ïî îë û ë ûé ùì <ïïê ú= ⋅ ⋅ ⋅íê úï ³ê úïîë û

F F F

F

unde 2

ln ~ ( ), ( )2

notT

Tt

SX N r T t T t

S

ss

é ùæ ö÷çê ú÷= - ⋅ - ⋅ -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û. Rezultă:

22

2

ln( )

ln ( )21

ln2( ) ( )

ln

0, ln ln

1, ln ln

1ln

2 ( )

T

t

T

tT

t

t

TS

t tSr T tt t Q

T

t t

Sr T t

SS

Sr T t T t Tt

tK

S

S K

S SC S e E e

S K

S S

SS e e e d

ST t

s

s

s p

- ⋅ -

é ùæ ö÷çê ú÷ç- - ⋅ -÷çê ú÷ç ÷è øê ú¥ ë û- ⋅- ⋅ - ⋅ -

é ùìïïê ú<ïê úïïê ú= ⋅ ⋅ ⋅ =íê úïïê ú³ïê úïïê úîë û

æ ö÷ç ÷= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ççç⋅ ⋅ ⋅ - è øò ( )

ln

( )T

t

Xr T tt T T

K

S

S e e f X dX¥

- ⋅ -= ⋅ ⋅ ⋅÷÷ ò

unde ( )Tf X este funcţia de densitate a distribuţiei normale urmate de variabila TX .

Fie

2

2( )

2(0,1) ( ) ( )

2( )

T

T T T

x r T t

z N x z T t r T tT t

ss

ss

æ ö÷ç ÷- - ⋅ -ç ÷ç ÷ æ öçè ø ÷ç ÷= = ⋅ ⋅ - + - ⋅ -ç ÷ç ÷çè ø⋅ - . La

momentul T , ( )T Tdx T t dzs= ⋅ - ⋅ .

Când

2

2

ln ( )2

ln( )

tT T

t

Kr T t

SKx z d

S T t

s

s

æ ö÷ç ÷- - ⋅ -ç ÷ç ÷çè ø³ ³ =-

⋅ -.

( )

22

2

2 22 2

2 2

( ) ( )2( ) 2

1( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 2 2

1(

2

1( )

2 ( )

1 1

2 2

1

2

TT

TT T T

T

zz T t r T tr T t

t t T

d

zz T t T t z z T t T t

t T t T

d d

z T

t

C S e e e T t dzT t

S e dz S e dz

S e

ss

ss s s

s

ss p

p p

p

æ ö÷ç¥ ÷ç⋅ ⋅ - + - ⋅ -÷ç -÷ç ÷- ⋅ - è ø

-

¥ ¥- + ⋅ ⋅ - - ⋅ - - - ⋅ ⋅ ⋅ - + ⋅ -

- -

- - ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - =⋅ ⋅ ⋅ -

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅

ò

ò ò

( )2

2

)t

T

d

dz¥

-

-ò

Fie: ( )T T T Ty z T t dy dzs= - ⋅ - = . Rezultă: 12 2 2

12

1 1 1

2 2 21

( )

1 1 1( )

2 2 2

T T T

dy y y

t t T t T t T t

dd T t

C S e dy S e dy S e dy S N ds p p p

¥ ¥- ⋅ - ⋅ - ⋅

- -¥- - ⋅ -

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ò ò ò

0,

,T

TT T

S KP

S S K

ì ³ïï=íï <ïî iar T T TP C S+ = de unde din ipoteza A.O.A se obţine că t t tP C S+ =

pentru orice .t T£

25/pg. 51 Valoarea activelor unei firme este 000.10A , iar volatilitatea şi rentabilitatea medie anuală a acestora este 35%A şi respectiv 15%A . Firma a

emis 1 1.000n obligaţiuni zero cupon fiecare cu valoarea nominală 8,1 şi scadenţă

10T ani. Rata dobânzii fără risc este %10r . De asemenea, firma are emise

2 2.000n de acţiuni care formează capitalurile sale proprii.

a) Calculaţi valoarea prezentă a unei obligaţiuni şi a unei acţiuni emise de firmă.

b) Arătaţi că acţiunile emise de firmă sunt mai riscante decât obligaţiunile sale însă, rentabilitatea medie anuală aşteptată este mai mare în cazul acţiunilor. Este preţul riscului de piaţă acelaşi pentru acţiunile cât şi pentru obligaţiunile firmei?

c) Un investitor care deţine 10 obligaţiuni doreşte să se acopere la riscul de variaţie a valorii activelor firmei utilizând acţiuni emise de aceasta. Câte acţiuni trebuie să vândă sau să cumpere acest investitor?

Argumentaţi succint de ce acţiunile prezintă un risc mai mare decât obligaţiunile emise de firmă (în cadrul modelului Merton de evaluare a riscului de credit). Rezolvare:

a) 0 00

2

( 10.000; 8100)3,7 . .;

2.000

CP C A FS u m

n

00 0 0

1

2.600; 2,6 . .D

D A CP u mn

b) 1 2

10 t tt

D CPx

n n

1 2

100t t

t t

D CPx

n A n A

2 1

1 1

1 ( )10 1,0471.

( )

n N dx

n N d

c) Pentru acţiune, utlizând lema Ito şi ecuaţia BMS:

22 2

2

1

2 tt A t A A t t

A t A t t CP t CP t t

CP CP CP CPdCP A A dt A dB

t A A A

CP CPr CP r A dt A dB CP dt CP dB

A A

1( ) 44,94%

16, 42%

t tCP A A

t t

ACP CP

A

A ACPN d

CP A CP

rr

Pentru obligaţiunea corporativă:

1( ) 6,7%

10,96%

t tD A A

t t

AD D

A

A ADN d

D A D

rr

Preţul riscului de piaţă: CPD A

D CP A

rr r

.

Observaţie: Capitalurile proprii au valoare reziduală, datoria se rambursează cu întâietate.

Se poate demonstra şi teoretic că D A CP (vezi curs).

10/pg. 55 Cursul unei acţiuni are următoarea ecuaţie de dinamică: t t t tdS S dt S dzm s= + . Un activ

financiar are la momentul t o valoare de forma:

2

0

, ln ( )2

tt t

SD t S S r T t

S

unde r reprezintă rata dobânzii fără risc ( r ), 0S cursul activului suport la momentul

emisiunii activului, iar T scadenţa acestuia. a. Arătaţi că , tD t S poate fi preţul la momentul t al unui instrument financiar derivat

care are drept activ suport acţiunea considerată. Care este payoff-ul acestui derivativ? b. Utilizând lema lui Ito să se determine ecuaţia de dinamică pentru , tD t S . Arătaţi că

acest derivativ este mai riscant decât activul suport însă, rentabilitatea medie anuală aşteptată este mai mare decât cea a activului suport.

c. Un investitor are o poziţie LONG pe activul financiar D. Pe aceeaşi piaţă mai există o opţiune CALL de tip european, având drept activ suport acţiunea considerată, al cărei preţ curent este 10 u.m. pentru care cunoaştem indicatorii de senzitivitate 0, 2C şi

0,01C . Derivativul tD costă 15 u.m. iar activul suport 100tS u.m. Formaţi un

portofoliu neutru folosind activele disponibile. Cât valorează acest portofoliu?

Rezolvare:

a) 22

2

, , , 1; 1;

2t t tt

tt t t t

D t S D t S D t SDS r

t S S S S

; verifică ec. BMS şi

are payoff-ul=0

ln TT

SS

S

.

Altfel folosind metodologia de la modelul BS.

b) ; ; .t t DD D

t t D

S S r rr

D D

c) 1

1 1,15; 0,01.tD D

t t

D

S S

0 0,95; 1

0 0

t t t t

D C

D C

D x S y C

x y x y

y

; 90 . .t u m

12/pg. 55 Cursul unei acţiuni ex-dividend este caracterizat de următoarea ecuaţie de dinamică: t t t tdS S dt S dBm s= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ . Un activ financiar are la momentul t o valoare de

forma 2

0

, ln ( )2

tt t

SD t S S r T t

S

, unde r reprezintă rata dobânzii fără risc

( r ), 0S cursul activului suport la momentul emisiunii activului, iar T scadenţa

acestuia.

a) Arătaţi că , tD t S poate fi preţul la momentul t al unui instrument financiar derivat

care are drept activ suport acţiunea considerată. Care este payoff-ul acestui derivativ?

b) Utilizând lema Ito să se determine ecuaţia de dinamică pentru tStD , . Arătaţi că

acest derivativ este mai riscant decât activul suport însă, rentabilitatea medie anuală aşteptată este mai mare decât cea a activului suport.

c) Calculaţi preţul riscului de piaţă pentru acest instrument financiar derivat şi arătaţi că este invariant.

Rezolvare:

d) 22

2

, , , 1; 1;

2t t tt

tt t t t

D t S D t S D t SDS r

t S S S S

; Verifică ecuaţia

BMS. Payoff=0

ln TT

SS

S

.

e) ; .t tD D

t t

S Sr

D D

f) .D

D

r r

13/pg. 56

Considerăm un instrument financiar derivat ceplăteşte la scadenţă n

TS unde TS este

valoarea activului suport la scadenţă. Activul suport are o distribuţie lognormală:

dS Sdt SdB

a. Arătaţi că valoarea instrumentului financiar la momentul t este:

21

( 1) ( 1) ( )2

n n r n T tn

tS e .

b. Să se determine valoarea unui instrument financiar derivat ce plăteşte la scadenţă

21TS .

Rezolvare:

a. Ştim că: 2

ln ~ ln ( ), ( )2T tS N S r T t T ts

sé ùæ ö÷çê ú÷+ - ⋅ - ⋅ -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

de unde

2

ln ~ ln ( ), ( )2T tn S N n S n r T t n T ts

sé ùæ ö÷çê ú÷⋅ ⋅ + ⋅ - ⋅ - ⋅ ⋅ -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

.

( )

( ) ( ) ( )

( )2 2 2

2

.

ln ln( ) ( ) ( )

( ) 1ln ( ) ( 1) 1 ( )2 2( ) 2 .

nT T

t

not n

T T

n S n Sr T t r T t r T tt Q T t Q t Q t

n T tn S n r T t n n n r T t

r T t nt

D S

D e E S e E e e E e

e e S es s

s

⋅- ⋅ - - ⋅ - - ⋅ -

æ ö ⋅ ⋅ -÷ é ùç ÷ç⋅ + ⋅ - ⋅ - +÷ ê ú⋅ ⋅ - ⋅ + - ⋅ ⋅ -ç ÷ç ÷ ê ú- ⋅ - è ø ë û

=

é ùé ù é ù= ⋅ = ⋅ = ⋅ =ê úê ú ê úë ûë û ë û

= ⋅ = ⋅

F F F

Obs: se poate verifica că tD verifică ecuaţia Black-Merton-Scholes deci este preţul unui

instrument financiar derivat.

Altfel: ( )21

( 1) 1 ( )2

n n n r T tn

t tD S es

é ùê ú⋅ ⋅ - ⋅ + - ⋅ ⋅ -ê úë û= ⋅ verifică ecuaţia Black-Merton-Scholes deci este

preţul unui instrument financiar derivat iar ( )n

T TD S= c.c.t.d.

b.

( )

( ) ( )

. 2

2( ) ( ) 2

1

1 2 1

not

T T

r T t r T tt Q T t Q T T t

D S

D e E S e E S S- ⋅ - - ⋅ -

= -

é ù é ù= ⋅ - = ⋅ - ⋅ +ê ú ê úë ûë ûF F

Folosind rezultatul de la punctul a pentru 0,1şi 2n = rezultă:

( )2 ( )2 ( )2r T t r T t

t t tD S e S es + ⋅ - - ⋅ -= ⋅ - ⋅ + .

18/pg. 57 Un fond de investiţii evaluează o acţiune în mediu neutru la risc, a cărei valoare prezentă este 0S =100 şi ajunge la concluzia că preţul acesteia urmează un proces Ito de forma:

0,1 0,2tt

t

dSdt dB

S . Fondul îşi fundamentează investiţia pornind de la valoarea

aşteptată peste 1T an a acestei acţiuni: 0/TE S S . Pentru a se acoperi împotriva

înregistrării unor valori ale cursului acestei acţiuni, la scadenţa T , sub valoarea aşteptată,

fondul cumpără de pe piaţa OTC o opţiune care plăteşte valoarea 0/TE S S dacă

0/T TS E S S .

a) Cât costă în prezent o astfel de opţiune? b) Cât costă la un moment 0;t T oarecare această opţiune? Aplicaţie numerică:

3 ; 105.tt luni S

Rezolvare:

a) 0 0/ r T

TE S S S e

2

0ln ln ( ) ,2TS N S r T T

2

0

0

ln ln ( )2Pr . Pr . 0,5398

2 2

Tr T

T

S S r Tob S S e ob T N T

T

0 0 0 0Pr . 53,982

r T r T r TTD e S e ob S S e S N T

b) 2

ln ln ( ) ,2T tS N S r T t T t

( )0 0

22

00

2

00

Pr .

lnln ln ( ) 22Pr .

ln2

49,19

r T t r T r Tt T

t

t

T tr t

t

r t

D e S e ob S S e

Sr t T tS S r T t S

S e obT t T t

Sr t T t

SS e N

T t

F

Aplicaţiile 5, 7 şi 8 se rezolvă similar cu aplicaţia 13 iar 22 analog cu aplicaţia 9.

1/pg. 62 Cursul acţiunii A la momentul curent este 100 u.m. iar cel al acţiunii C este 150

u.m. Cursul acţiunii A urmează un proces Ito de forma: 1,0,1 0,2 t

dAdt dB

A iar cel al

acţiunii C un proces de forma: 2,0, 2 0,3 t

dCdt dB

C . Coeficientul de corelaţie dintre

cursurile celor două acţiuni este , 0, 2A C . Considerăm că anul are 252 zile de

tranzacţionare.

a) Determinaţi intervalul de variaţie a valorii unui portofoliu format din 100 acţiuni A pe un orizont de 15 zile, cu o probabilitate de 90%. Cât ar fi acelaşi interval de variaţie în cazul unui portofoliu format din 100 acţiuni C?

b) Determinaţi Valoarea la Risc (VaR) pentru portofoliul format din 100 acţiuni A pe un orizont de 15 zile, cu o probabilitate de 90%. Cât ar fi mărimea VaR, cu aceeaşi parametri, în cazul portofoliului format din 100 acţiuni C?

c) Determinaţi intervalul de variaţie a valorii unui portofoliu2 format din 100 acţiuni A şi 100 acţiuni C pe un orizont de 15 zile, cu o probabilitate de 90%. Determinaţi mărimea VaR pentru acelaşi portofoliu, pe un orizont de 15 zile, cu o probabilitate de 90%.

Comparaţi rezultatele de la punctele a şi b cu cel de la punctul c punând în evidenţă beneficiiile diversificării portofoliilor de acţiuni.

Rezolvare:

a) Intervalul de variaţie:

2 2

( ) ( )2 2

0 0

T T T T

TS e S S e

Pentru 100 acţiuni A: 9.272,7 100 10.887,5A Pentru 100 acţiuni C: 13.421,7 100 17.076,1C

b) 110%,15

1510%

252zileVaR N

Pentru 100 acţiuni A: 10010%,15 625,33A

zileVaR

Pentru 100 acţiuni C: 10010%,15 1407C

zileVaR

c) 0 100 100 25.000 0,4; 0,6;A CA C x x

2 2 2 2,

0,16

0,4 0,6 2 0,4 0,6 0,1817

A A C C

A C A C A C

x x

2 Presupunem că rentabilitatea acestuia este, de asemenea, distribuită normal.

2 2

2 2

0 0

23.441, 2 27.121,9

T T T T

T

T

e e

110%,15

10%,15

1510%

252

1.420,3

zile

zile

VaR N

VaR

Concluzii: - intervalul se restrânge în varianta c) comparativ cu suma celor două intervale de la a) - pierderea posibilă măsurată prin VaR se reduce în varianta c) comparativ cu suma celor două măsuri VaR de la b) cu 612 u.m.

Rezolvari aplicatii

Documents

Transcript of Rezolvari aplicatii