ANALIZA STATISTICĂ A PORTOFOLIILOR

CAPITOLUL

7

ANALIZA STATISTICĂ A PORTOFOLIILOR

7.1 Portofolii eficiente şi portofolii optime 7.2 Modelul Markowitz

7.2.1 Rentabilitatea şi riscul unui portofoliu format din două titluri

7.2.2 Rentabilitatea şi riscul unui portofoliu cu n titluri 7.3 Modelul diagonal de selecţie a portofoliului 7.3 Modelul CAPM 7.4 Modelul APT

Statistică financiar-bancară şi bursieră

7.1 PORTOFOLII EFICIENTE ŞI PORTOFOLII OPTIME

Un portofoliu este definit ca o combinaţie de titluri, având avantajul reducerii riscului prin diversificare.

În prim plan în cadrul teoriei portofolilui se află porofoliul optim. Acesta reprezintă portofoliul care oferă cea mai bună rentabilitate posibilă pentru un anumit nivel al riscului sau prezintă cel mai scăzut risc posibil pentru o anumită rată de rentabilitate.

Cu alte cuvinte, portofoliul optim are o dispersie minimă şi satisface funcţia de utilitate a unui investitor cu aversiune faţă de risc.

Porofoliu optim se va afla pe frontiera de eficienţă. Ipoteza pieţelor eficiente1 este una din ideile centrale în finanţele

moderne. Conceptul de eficienţă a pieţei poate suporta interpretări diferite în ceea ce priveşte piaţa de capital. Pe o piaţă perfectă sunt reunite următoarele condiţii2:

• nici un investitor nu domină piaţa şi nu poate de unul singur să influenţeze cursul titlurilor;

• informaţia circulă liber, toţi agenţii au acces gratuit şi imediat la toate informaţiile privind titlurile;

• se face abstracţie de impozite, taxe şi costuri de tranzacţii; • titlurile sunt infinit divizibile.

O piaţă care îndeplineşte aceste condiţii este eficientă. Toate informaţiile privind un titlu sunt imediat şi total răsfrânte în cursul acestuia, care furnizează în orice moment cea mai bună expresie a valorii titlului. Apariţia unei informaţii favorabile va incita investitorii să devină cumpărători, antrenând o creştere a cursului şi tranzacţiile se vor desfăşura la un preţ în care va intra şi informaţia nouă. Opusul se va produce în cazul informaţiei defavorabile. Nu este deci posibil pentru un investitor oarecare să obţină un profit pornind de la o informaţie particulară privind o societate. Deoarece informaţiile noi apar în mod întâmplător, şi cursurile titlurilor fluctuează în mod aleator.

Un mod de a măsura eficienţa pieţei este de a vedea care din tipurile de informaţii din setul total de informaţii existente se regăsesc în preţul titlurilor. Pornind de la aceasta, se disting trei forme ale ipotezei pieţei

1 efficient market hypothesis – EMH în limba engleză 2 Ţigănescu, E., Dobre, I., Roman, M.- Macroeconomie. Decizii strategice, Editura ASE,

2000

Analiza statistică a portofoliilor

eficiente3. În cadrul fiecăreia se presupune că în preţul titlurilor se reflectă tipuri specifice de informaţii.

Forma slabă a eficienţei În cadrul formei slabe a ipotezei pieţei eficiente, preţurile titlurilor

reflectă orice informaţie conţinută în istoricul acestora. În concluzie, nu poate fi obţinut nici un profit -în ceea ce priveşte previzionarea cursurilor bursiere- doar examinînd evoluţia titlurilor respective în trecut.

Forma semitare a eficienţei Forma semitare a EMH presupune că toate informaţiile cu caracter

public disponibile sînt reflectate în preţurile titlurilor. Setul de informaţii cuprinde pe lângă datele cu caracter istoric informaţii din rapoartele contabile ale companiei, rapoartele companiilor concurente, informaţii publice cu privire la starea economiei şi orice altă informaţie cu caracter public disponibilă cu privire la evaluarea firmei în cauză. Se presupune astfel că imediat ce o informaţie devine publică, este absorbită şi reflectată de preţuri. Chiar dacă această ajustare nu este cea corecta, va fi în foarte scurt timp analizată de către piaţă. Astfel analiştii financiari vor avea mari dificultăţi încercând să profite prin utilizarea analizei fundamentale. Aşadar, forma semitare a ipotezei pieţei eficiente are un caracter mult mai general decât forma slabă.

Forma tare a eficienţei

Forma tare a EMH duce noţiunea de eficienţă a pieţei la limita extremă. În acest caz, preţurile titlurilor reflectă toate informaţiile existente. Acestea includ şi informaţiile private şi ale insider-ilor, pe lângă ceea ce este disponibil la nivel public. Potrivit acestei definiţii, cei ce achiziţionează informaţii “private” vor acţiona în conformitate cu ele, vânzând sau cumpărând. Acţiunea lor va afecta preţul titlurilor, iar preţul se va ajusta cu repeziciune la informaţii, pentru a le reflecta.


7.2 MODELUL MARKOVITZ DE DIVERSIFICARE A APORTOFOLIULUI

Markovitz atrage atenţia în 1952 în lucrarea Portfolio Selection4

asupra faptului că investitorii ar trebui să trateze cu interes nu numai rentabilitatea plasamentelor ci şi volatilitatea sau riscul acestora pentru a determina o investiţie optimă în funcţie de titlurile alese.

În condiţii de certitudine, Markovitz a demonstrat că alegerea portofoliului se poate reduce la analizarea a două mărimi: rata de câştig aşteptată a portofoliului şi dispersia sau abaterea medie pătratică, ca măsură a riscului.

Riscul unui portofoliu diversificat depinde nu numai de dispersiile individuale ale rentabilităţilor titlurilor ci şi de mişcările adverse ale tuturor activelor.

Descoperirea cea mai importantă este că un investitor îşi poate reduce volatilitatea portofoliului său (adică riscul acestuia) şi poate (în acelaşi timp) să-i crească rentabilitatea.

Dezvoltarea teoretică ulterioară este cea a lui William Sharpe care creează modelul CAPM (engl. Capital Assets Pricing Model) la mijlocul anilor 1960, în lucrarea Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.

Acest model defineşte riscul ca fiind volatilitatea relativă la piaţă şi susţine că rata de câştig aşteptată de investitor şi costul de capital al titlului de valoare sunt proporţionale cu riscul titlului în relaţia cu mulţimea tuturor titlurilor de valoare.

Teoria portofoliilor este teoria alegerii între proiectele riscante şi include explicit riscul în formularea sa: ea este teoria riscului. Faţă de ansamblul de proiecte riscante existente pe piaţă, cea mai bună alegere pentru individ nu este concentrarea investiţiilor sale către un singur proiect, ci repartizarea averii sale în mai multe proiecte.

Interesul său este să practice diversificarea şi să constituie un portofoliu de proiecte. Acest comportament îi este dictat de aversiunea pentru risc. Diversificarea permite reducerea riscului, dar nu permite niciodată eliminarea completă a acestuia. Procesul de reducere a riscului

4 articolul lui Harry Markowitz, - "Portofolio selection. Efficient Diversification of Investiments",

1959 este publicat în volumul “Articole fundamentale ale teoriei financiare”, coordonator I. Stancu, Editura ASE Bucureşti


prin diversificare este simplu, dar implicaţiile sale sunt considerabile şi este meritul lui Markowitz5 care le-a descoperit.

Teoria portofoliilor priveşte, de regulă, activele fizice şi financiare existând cel puţin trei motive care impun necesitatea de a fi tratate ca active financiare: - activul financiar (acţiune, obligaţiune) are exact caracteristicile întregului

proiect redus la aspectul său financiar. Decizia de cumpărare a unui titlu este în întregime descrisă în fraza următoare: cheltuind în t0 o sumă certă în vederea obţinerii unei sume viitoare nesigure, adică a preţului de revânzare a titlului în t1 şi a dividendelor (pentru acţiuni) sau a dobânzilor (pentru obligaţiuni) percepute pe perioada t0-t1.

- există serii istorice de date (cursurile titlurilor, dividendelor şi dobânzilor) ce permit studiile empirice şi verificarea unor teste teoretice.

- piaţa acestor titluri este suficient de aproape de condiţiile ideale postulate de ipotezele teoriei.

7.2.1 Rentabilitatea şi riscul unui portofoliu format din două titluri

Ipotezele modelelui Markovitz sunt6: 1. Investitorii consideră fiecare alternativă de investiţie ca fiind

reprezentată prin distribuţia probabilităţilor de profit sperat într-o perioadă de timp;

2. Investitorii maximizează utilitatea sperată într-o perioadă de timp, iar curba utilităţii maximizează utilitatea marginală a bunăstării lor.

3. Investitorii estimează riscul pe baza modificărilor în profiturile sperate; 4. Investitorii iau decizii numai pe baza riscului şi a profitului sperat, deci

curba utilităţii este exprimată ca o funcţie de profit aşteptat şi varianţă a profitului;

5. Pentru un nivel dat al riscului, investitorii preferă un profit mare; pentru un nivel dat al profitului aşteptat, investitorii preferă riscul mai mic.

Considerăm un investitor care are de ales între două titluri T1 şi T2

sau are în mod egal posibilitatea constituirii unui portofoliu P repartizând suma pe care doreşte s-o investească între cele două titluri. Anticipările sale privind comportamentul titlurilor în perioada viitoare sunt rezumate în varianta următoare: 5 Harry Markowitz, - "Portofolio selection. Efficient Diversification of Investiments", 1959. 6 Huidumac, C., Stancu, S.- Teoria portofoliului cu aplicaţii pe piaţa financiară, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti 1999


211212

22

211

1 Co,ETET σσρ⎩⎨⎧

⎩⎨⎧ =νσσ

Reamintim semnificaţia notaţiilor utilizate, i şi j fiind cele două titluri oarecare: Ei - speranţa matematică a ratei rentabilităţii titlului i; σi - abaterea standard a ratei rentabilităţii titlului i; ρij - coeficientul de corelaţie între ratele rentabilităţii titlurilor i şi j; Covij - covarianţa între ratele rentabilităţii titlurilor i şi j.

Portofoliul P este obţinut combinând cele două titluri în proporţia X1 şi X2. Totalitatea sumei disponibile este investită în T1 şi T2. Avem relaţia:

X1 + X2 = 1 cu X1, X2 ≥ 0 sau 0 ≤ X1 ≤ 1; 0 ≤ X2 ≤ 1.

Speranţa matematică a ratei randamentului portofoliului P(Ep):

Ep = X1E1 + X2E2

Speranţa randamentului este media ponderată a speranţei randamentelor titlurilor, ponderea fiind proporţiile.

Dispersia ratei randamentului portofoliului P (Vp):

2112212221

21p

12212221

21p

XX2VXVXV

CovXX2VXVXV

σσρ++=

++=

Dispersia portofoliului este funcţie de dispersia fiecărui titlu, de proporţiile în care sunt combinate şi de covarianţa între cele două titluri. Potrivit gradului sau de corelaţie între T1 şi T2,. se disting trei cazuri: 1) Dacă ρ12 = 1: titlurile T1 şi T2 sunt perfect şi pozitiv corelate ceea ce semnifică anticiparea pentru randamentul acestor titluri a unor mişcări perfect concordante în timp, dar cu amplitudini diferite. În acest caz: 21212

221

21 2 vCoXXVXVXVp ++=

se scrie

21122122

22

21

21

2p XX2XX σσρ+σ+σ=σ cu 112 =ρ .


Adică:

( ) 2211p2

2211212122

22

21

21 XXsiXXXX2XX σ+σ=σσ+σ=σσ+σ+σ

Abaterea standard a portofoliului este media abaterilor standard ale titlurilor care îl compun.

Reunind cele două ecuaţii şi raportând la randamentul şi la riscul portofoliului P,

2211p EXEXE += şi 2211p XX σ+σ=σ

obţinem ecuaţia )(fE pp σ= , ca spaţiu al combinărilor titlurilor T1 şi T2 în planul E - σ. Ştim că X1 + X2 = 1, adică X2 = 1 - X1. Din ecuaţia

( ) 2111p EX1EXE −+= , obţinem

21

2p1 EE

EEX

−−

=

dacă E1≠E2 pe care îl înlocuim cu ecuaţia lui σp. Obţinem:

21

1221

21

21pp EE

EEEE

E−

σ−σ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−σ−σ

=σ

2) Dacă ρ12 = -1, titlurile T1 şi T2 sunt perfect şi negativ corelate. Anticipăm pentru randamentul acestor titluri fluctuaţii perfect opuse. În acest caz

12212221

21p CovXX2VXVXV ++=

se scrie:

212122

22

21

21

2p XX2XX σσ−σ+σ=σ


adică:

( )222112p XX σ−σ=σ

Abaterea standard fiind totdeauna pozitivă, se face discuţie pentru

semnul expresiei ( 2211 XX σ−σ ) care variază în funcţie de X1 şi X2.

Pentru 2211p2211

21

21 XXsi0XXavemX σ−σ=σ>σ−σ

σ+σσ

>

Această relaţie, împreună cu relaţia Ep = X1E1 + X2E2, permite determinarea ecuaţiei de legătură între Ep şi σp.

Obţinem ( ) ( )21

2112

21

21pp EE

EEEE

E−

σ+σ−

−σ+σ

=σ.

Este vorba de o relaţie liniară reprezentată grafic de o dreaptă. Partea, din această dreaptă, corespunzătoare la:

21

21X

σ+σσ

>

este locul portofoliilor obţinute plecând de la titlurile T1 şi T2.. Pentru

( )2211P2211

21

11 XXsi0XXavemX σ−σ−=σ<σ−σ

σ+σσ

<

Procedând ca mai sus obţinem ecuaţia liniară legând Ep şi σp.

( ) ( )21

2112

21

21pp EE

EEEE

E−

σ+σ+

−σ+σ

−=σ

O parte a acestei drepte, cea corespunzătoare lui 21

21X

σ+σσ

<

este legea portofoliilor obţinute combinând T1 şi T2.

În sfârşit, pentru 21

21X

σ+σσ

=avem σp = 0.


Acest rezultat este remarcabil, deoarece el arată că plecând de la două titluri riscante este posibil ca alegând riguros proporţiile (0 ≤ X1 şi X2 ≤ 1), să se construiască un portofoliu neriscant. Acest rezultat este posibil dacă titlurile T1, T2 sunt perfect şi negativ corelate.

3) Dacă -1 < ρ12 < +1 (incluzând ρ12 = 0) fluctuaţii anticipate pentru titlurile T1 şi T2 nu sunt perfect dependente (pozitiv şi negativ). Este cazul general, există un anumit grad de corelare între ratele randamentelor titlurilor datorită faptului că toate urmăresc mai mult sau mai puţin fluctuaţiile generale ale economiei. În urcare în perioada de expansiune, ratele randamentelor titlurilor cunosc o încetinire şi chiar o scădere când conjunctura este mai puţin favorabilă. Pe ansamblu, titlurile sunt pozitiv (dar nu perfect) corelate între ele şi cu ansamblul economiei. Un titlu corelat negativ este foarte rar, minele de aur fiind un exemplu din această categorie de titluri. În cazul general, obţinem pentru un portofoliu de două titluri:

12212221

21p CovXX2VXVXV ++=

cu -1 < ρ12 < +1

adică: 12212122

22

21

21

2p XX2XX ρσσ+σ+σ=σ care nu poate fi pusă sub forma

unui pătrat perfect, ca în cazul celor două situaţii precedente. Plecând de la această ecuaţie şi de la cea a lui Ep (Ep = X1E1 + X2E2), stabilim relaţia care leagă pe Ep şi σp. Din ecuaţia lui Ep obţinem X1 = (Ep-E2/(E1-E2) valoare pe care o introducem în ecuaţia lui Vp. Dezvoltând obţinem:

( )( ) ( )

( )

( )221

12212211

22

221

112221212

21

12212

2

22

EEcovEEVEVE

EEVcovEVcovEE

EEcovVVEVp pp

−

−++

+−

−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+=

Ecuaţia obţinută în planul E-V este aceea a unei parabole. În planul E-σ ecuaţia

)E(fV ppp ==σ


reprezintă o hiperbolă din care reţinem o ramură, respectiv aceea corespunzând valorilor σp pozitive. Câteva observaţii pot fi formulate despre avantajele diversificării. a) Diversificarea este interesantă imediat ce ρ12 < 1. b) Plecând de la două titluri T1 şi T2 este posibil în anumite cazuri să se obţină portofolii având un risc inferior riscului fiecărui titlu care-l compune; aceasta este posibil când

( )21

2

112 σ<σ

σσ

<ρ

Aceasta va fi întotdeauna posibil cu titluri cu risc independente sau corelate negativ (ρ12 ≤ 0). c) Există în fiecare situaţie un portofoliu de risc minim care corespunde proporţiilor X1 şi X2 determinate. Acest portofoliu de risc minim are un risc nul într-un singur caz, când ρ12 = -1. În toate celelalte cazuri riscul minim este pozitiv. Nu este deci posibil să se elimine riscul, decât în cazul în care combinăm două titluri perfect şi negativ corelate. Analiza contribuţiei unui titlu la riscul şi la randamentul portofoliului

în care este inclus (cazul portofoliului de două titluri)7

Fie cazul unui portofoliu constituit pornind de la două titluri T1 şi T2 combinate în proporţii X1 şi X2. Contribuţia fiecărui titlu la randamentul portofoliului este uşor de exprimat şi reprezintă aportul fiecărui titlu la formarea randamentului. Suma tuturor contribuţiilor va fi chiar acest randament. Se ştie că Ep = X1E1 + X2E2. X1E1 este contribuţia titlului 1 la speranţa portofoliului. Această contribuţie este funcţie de speranţa de randament a titlului şi de proporţia investită în titlu. În ceea ce priveşte riscul, problema este mai complexă.

122122

22

21

21

2p covXX2XX +σ+σ=σ

7 Ţigănescu, E., Dobre, I., Roman, M.- Macroeconomie. Decizii strategice, Editura ASE,

2000


se poate scrie:

( ) ( )( ) ( )

)TXTX,Tcov(X)TXTX,Tcov(XcovXcovXXcovXcovXX

covXXXcovXXX

covXX2XcovXXX

221122221111

12122221221111

1212222122

2111

122122

221221

21

21

2p

+++=+++=

+σ++σ=

+σ++σ=σ

p22p112p covXcovX +=σ

X1cov1p reprezintă contribuţia titlului 1 la riscul portofoliului. Această contribuţie este funcţie de proporţia investită în titlu şi de riscul titlului în portofoliu măsurat de cov1p/σp. Acest risc al portofoliului se măsoară plecând de la covariaţia dintre titlul 1 şi portofoliul la a cărei constituire participă. Am arătat că dacă este deţinut individual, titlul 1 îl face pe deţinătorul său să suporte un risc egal cu σ1; dacă el este deţinut în interiorul portofoliului P îi este asociat un risc egal cu cov1p/σp. Plecând de la formula ce defineşte riscul unui titlu într-un portofoliu,

p

122211

p

p1 covXXcovσ+σ

=σ

pot fi formulate următoarele concluzii:

- alegerea unui titlu în vederea includerii într-un portofoliu nu se va face în funcţie de caracteristicile sale individuale (σ1), ci în funcţie de comportamentul în cadrul portofoliului (cov1p). Un titlu puternic riscat (σ1 crescut) poate să aducă o slabă contribuţie la riscul unui portofoliu dacă este slab corelat cu celelalte titluri care constituie portofoliul. Dacă el este negativ corelat cu celelalte titluri care constituie portofoliu - caz rar - el este în mod special interesat datorită efectului reductor pe care îl va avea asupra riscului portofoliului la a cărei formare contribuie;

- riscul portofoliului unui titlu nu este unic, el depinzând de portofoliul în care este inclus. Interesul investitorilor este să constituie portofolii în care riscul titlurilor să fie redus. Ei sunt incitaţi la a combina între ele titluri slab corelate.


7.2.2 Rentabilitatea şi riscul unui portofoliu cu n titluri Caracteristicile portofoliului de n titluri Dacă extindem, într-o primă fază, analiza precedentă la combinarea

de 3 titluri, poate fi stabilită schema următoare:

Figura 7 Cazul combinaţiilor de trei titluri

În cazul portofoliului cu n titluri, rentabilitatea şi riscul au următoarele formule:

ji;covXXXV

EXE

i i jijj1

2i

2ip

n

1iiip

≠∑ ∑∑+σ=

∑==

sau dacă notăm covij prin σij şi Vi = σi2 prin σii atunci:

∑∑ σ=i j

ijjip XXV

Contribuţia unui titlu individual la riscul şi randamentul portofoliului în care este inclus, cazul a n titluri. Fie n titluri Ti combinate în proporţiile XI (de la X1 la Xn cu

)11

=∑=

n

iiX .

σ


Riscul titlului i în portofoliu va fi:

444444444 3444444444 21

termenininniiiip covX...X...covXcovXcov

⋅

++σ+++= 212211

Dispersia titlului i nu constituie decât un termen printre cei n termeni, ceilalţi (n-1) termeni fiind covariante. Vom observa şi în acest caz rolul fundamental al covarianţei între titluri pentru diversificare şi faptul că riscul individual al titlului (σi) nu intervine decât ca un element alături de celelalte (n - 1) în calculul riscului unui portofoliu. Contribuţia titlului i la riscul portofolilului P este egală cu Xicovip. Putem deci exprima riscul portofoliului P ca suma contribuţiilor titlurilor care îl compun:

∑=

=σ=n

1iipi

2pp covXV

şi

∑

σ=σ

=

n

1i p

ipip

covX

Astfel formulat, riscul portofoliului P (σp) este media ponderată a riscurilor titlurilor ce compun portofoliul.

Determinarea portofoliului eficient Portofoliul eficient Ee este acel portofoliu care pentru un randament

aşteptat notat cu Ee are cel mai mic risc. În consecinţă, va satisface următoarele condiţii:

2/1

ip covXmin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

i jijjXσ

sub restricţiile:

∑ ==i

eiip EEXE şi

∑ =i

iX 1


Figura 7.2 Portofoliul eficient

Utilizând metoda Lagrange, vom avea8: )1()( 121 ∑∑ −+−+=

iiiiep XEXEL λλσ

Pentru a obţine soluţia optimă vom rezolva sistemul:

0

.

.

0

01

0

21

21111

2

1

=−−=

=−−=

=−=

=−=

∑

∑

λλδδσδ

λλδδσ

δδ

δλδδλδ

nn

p

n

p

ii

iiie

EXX

L

EXX

L

XL

EXEL

8 Ţigănescu, E., Dobre, I., Roman, M.- Macroeconomie. Decizii strategice, Editura ASE,

2000

σe σ

E

E e


Din care pentru oricare ar fi i şi j vom avea:

EjXipEi

Xip

11 λδδσλ

δδσ

−=−

Multiplicatorul λ1 măsoară variaţia riscului pe unitatea de variaţie a

randamentului, 1λ∂σ∂

= e

eE, adică panta tangentei la frontiera de eficienţă în

punctul e.

Notăm cu ee

e ej i e

e

j

e

is E

sE E s

X X= ⇒ = ⇒ − = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∂∂σ

λ∂σ∂

∂σ∂1

1

Multiplicând fiecare termen cu Xie şi însumând după i vom obţine:

( ) ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑−=−∑ ⇒⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ ∑−=−

i i

e

iie

j

eeiiej

i i i

e

iie

j

eieeijie

XX

XsEXE

XX

XXsEEX ∂

σ∂∂ς∂

∂σ∂

∂σ∂

unde: ie i

iX E∑ = suma contribuţiilor titlurilor la randamentul portofoliului e (Ee);

∂σ∂

e

jX= riscul titlului în portofoliul e je

e

covσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ;

iee

iiX

X∂σ∂

∑ = suma contribuţiilor titlurilor la riscul portofoliului e

( )eσ . Atunci vom obţine că:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− σσ e

e

ipeej sEE cov

Aceasta este condiţia necesară, dar nu şi suficientă, de eficienţă

pentru un titlu pentru a fi deţinut într-un portofoliu eficient. Strategia de acţiune a unui investitor este determinată de reuniunea dintre mulţimea dorinţelor şi mulţimea posibilităţilor. Mulţimea dorinţelor este constituită din curbele de indiferenţă care sunt expresia preferinţei investitorului în planul E - σ şi rezultă direct din funcţia sa de utilitate. Mulţimea posibilităţilor este reprezentată prin frontiera de eficienţă în planul E - σ care se obţine plecând de la mulţimea anticipaţiilor investitorilor privind titlurile individuale. Numai portofoliile eficiente sunt însă luate în considerare de investitor.

Alegerea investitorului va fi cea care corespunde punctului de tangenţă dintre cele două curbe. În acest punct se obţine portofoliul optim.


Portofoliul ales va depinde de gradul de aversiune pentru risc al investitorului. Dacă aversiunea sa este puternică, el va alege un portofoliu situat pe partea stângă a frontierei de eficienţă corespunzătoare celui mai slab nivel de risc. Cu o aversiune mai slabă va selecta un portofoliu situat mai la dreapta pe frontieră. Raţionamentele teoriei portofoliului sunt constituite pe ipoteza aversiunii pentru risc a agenţilor economici şi a comportamentului acestora.

7.2 MODELUL DIAGONAL DE SELECŢIE A PORTOFOLIULUI

Modelul diagonal de selecţie a portofoliilor a fost elaborat de

William Sharpe, în încercarea sa de a găsi un model simplificat de seleţie a portofoliului. Demersul său are la bază observaţia că este foarte dificil să găsim titluri de valoare ale căror rentabilităţi estimate să nu fie corelate pozitiv, cele mai multe titluri de valoare tind să fie performante când economia este puternică, şi neperformante când economia este slabă. Prin urmare, ansamblulcovariaţiilor în general pozitive din modelul lui Markovitz poate avea un factor comun. Acest factor, identificat de Sharpe în modelul de piaşă, poate fi un indice bursier (sau alt indicator macroeconomic relevant: PIB, rata donânzii etc.).

Sharpe şi-a publicat modelul în 19639, în anii care au urmat modelul său inspirând alte modele celebre, cum sunt CAPM şi APT.

Acea parte a riscului unui titlu de valoare care poate fi eliminată prin diversificare se numeşte risc diversificabil, risc specific companiei (riscul de firmă) sau nesistematic.

Acea parte a riscului unui titlu de valoare care nu poate fi eliminată prin diversificare se numeşte risc nediversificabil, risc de piaţă sau matematic. Riscul de firmă10 este cauzat de existenţa unor acţiuni în justiţie, greve, succesul sau insuccesul programelor de marketibg, câştigul sau pierderea unor contracte majore şi alte evenimente care au loc în cadrul firmei respective. Deoarece aceste evenimente sunt în esenţă aleatoare, efectele lor asupra portofoliului pot fi eliminate prin diversificare - evenimente nefavorabile dintr-o firmă vor fi compensate de evenimente favorabile dintr-o altă firmă.

9 Sharpe, W. - A Simplified Model of Portofolio Analysis, Management Science, January,

1963 10 Halpern, P. - Finanţe manageriale. Modelul canadian, Editura Economică, Bucureşti 2001


Riscul de piaţă, pe de o parte, se referă la conflicte armate, inflaţie, recesiuni şi variaţii ale ratei dobânzi. Aceşti factori afectează toate firmele simultan. Deoarece toate fiemele sunt afectate în aceaşi direcţie de către aceşti factori, acest tip de risc nu poate fi eliminat prin diversificare. Riscul total al unei acţiuni este suma dintre riscul de firmă şi riscul de piaţă. Faţă de fluctuaţiile pieţei, nu toate titlurile se comportă identic. Cea mai mare parte a lor au tendinţa de a urma piaţa, dar această evoluţie se poate face cu o intensitate mai mare sau mai mică, anumite titluri urcă mai mult, altele mai puţin decât piaţa. Există de asemenea, titluri mult mai rare care evoluează contrar cursului mişcării generale, şi chiar în acest caz cu o intensitate mai mare sau mai mică. Pentru un portofoliu constituit din titlurile T1 şi T2 în proporţiile X1 şi X2, riscul se calculează după relaţia cunoscută:

12212221

21p covXX2VXVXV ++=

Raţionând conform modelului pieţei:

)(VVV

)(VVV

2M222

1M211

ε+β=

ε+β=

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )21M22M11

2M21

2M221M112112

,covRcovRcov

R,Rcov)R,Rcov(Cov

εε+εβ+εβ+σββ=

=ε+β+αε+β+α==

Ţinând seama de ipotezele introduse vom avea:

2M2112Cov σββ=

Se obţine o expresie a covarianţei între titlurile T1 şi T2 care se interpretează astfel: covarianţele între două titluri se explică în întregime prin piaţă, sau covarianţele între titlurile T1 şi T2 sunt datorate în întregime influenţei comune pe care ele o suportă din partea pieţei. Covarianţa între caracteristicile proprii titlurilor este considerată neglijabilă. Această ipoteză simplificatoare a modelului pieţei are consecinţe importante pentru calculul dispersiei unui portofoliu.

Astfel:

[ ] [ ] 2M21212M

22

221M

21

21p XX2)(VVX)(VVXV σββ+ε+β+ε+β=


Dezvoltând:

)(VX)(VX)XX(V

)(VX)(VX)XX2XX(V

2221

21

2M

22211p

2221

21

2M2121

22

22

21

21p

ε+ε+σβ+β=

ε+ε+σ×ββ+β+β=

Înlocuind (X1β1+X2β2) cu βp şi generalizând la n titluri obţinem:

∑=

∑=

β=βε+σβ=n

1iiip

luiportofoliualrns

n

1ii

2i

luiportofoliualrs

2M

2pp Xcu)(VXV

44 344 21321

7.3 MODELUL DE EVALUARE A ACTIVELOR FINANCIARE

(CAPITAL ASSETS PRICING MODELL- CAPM)

Modelul CAPM11 a reprezentat un salt calitativ în teoria financiară, de la modelele normative (Markovitz, Sharpe) la un model de echilibru între cererea şi oferta de active riscante care să genereze preţuri unice (de echilibru) ale activelor financiare.

Sharpe a fost cel care a introdus în portofoliu de active riscante un activ fără risc în combinaţii deferite în raport cu portofoliu de risc al investitorului. Acest lucru l-a condus la o nouă frontieră de eficienţă, cu o formă particulară: aceea a unei drepte, cunoscută sub denumirea de Capital Market Line.

Ecuaţia dreptei CML este:

pM

fMfp

RERE σ

σ⋅

−+=

Ecuaţia modelului CAPM măsoară randamentul aşteptat al unui

portofoliu de active riscante, Ep, pornind de la: rata dobânzii fără risc a pieţei Rf, riscul titlului în raport cu piaţa σM sau preţul unitar al

riscului pe piaţă. Acesta este de fapt panta dreptei CML prima de risc σp.

11 Stancu, I- Finanţe. Editura Economică, Bucureşti, 1997


În analiza unei pieţe, Sharpe a introdus ideea de portofoliu al pieţei ca fiind acel portofoliu ce conţine câte un titlu din fiecare, ponderarea în cadrul acestuia făcându-se în funcţie de raportul între valoarea de piaţă a fiecărui titlu şi valoarea totală a pieţei. Astfel, meritul incontestabil al modelului CAPM, alături de identificarea dreptei CML, constă în stabilire relaţiei liniare între rentabilitatea sperată şi cantitatea de risc sistematic asumată de un investitor la cumpărarea unui titlu.

Această relaţie este dreapta SML (Security Market Line): Ei= Rf +(EM – Rf) βi Beta este un indicator ce se calculează pentru fiecare titlu în parte, în

funcţie de riscul acelui titlu raportat la riscul pieţei: Interpretarea acestui indicator este relativ simplă:

dacă beta = 0, titlul este fără risc, dacă beta = 1, titlul are acelaşi risc cu piaţa, dacă beta < 1 titlul este mai puţin riscant decât piaţa.

Ecuaţia modelului CAPM este prin urmare, o ecuaţie liniară, dreapta care se obţine prin plasarea tuturor titlurilor din piaţă pe un grafic al randamentului funcţie de risc duce la obţinerea dreptei CML. Dat fiind faptul că CAPM porneşte de la ideea de portofoliu al pieţei pentru care se poate calcula un Rm, acest Rm poate fi asimilat în analiză cu costul mediu al capitalului de pe o piaţă şi poate fi comparat cu costul mediu al capitalului la nivelul companiei, în vederea optimizării structurii de capital.

Beta este deci măsura riscului unui titlu în cazul modelului CAPM. Pornind de la măsurarea riscului unui titlu, se poate calcula riscul unei combinaţii de N titluri, ca sumă ponderată de beta, în funcţie de structura acestui portofoliu.

7.4 MODELUL DE ARBITRAJ AL PREŢURILOR TITLURILOR (APT)

O alternativă a analizării riscului şi randamentului unui plasament

financiar este teoria arbitrajării (APT). Ideea de bază a acestei teorii este că un activ financiar ar trebui evaluat identic pe diferite pieţe. Fiecare titlu trebuie să ofere investitorilor un randament care să compenseze riscul


asumat prin acel plasament, pornind ca şi în cazul CAPM de la o rată fără risc rf.

Modelul APT este considerat cel mai riguros model multidimensional al riscului12. El porneşte de la considerarea rentabilităţii oricărui titlu drept o funcţie liniară a modificărilor unui număr de factori comuni tuturor titlurilor: Ri = rf + D1f1 + D2f2 + D3 f3+ ...+ Dn fn+ εi rf - rată a rentabilităţii fără risc. fi - factorii de risc Di – coeficienţii de sensibilitate ai rentabilităţii titlului îa funcţie de factorul fi εi – valoare reziduală, apropiată de zero

În modelul original APT13 dezvoltat de Stephan Ross nu sunt specificaţi factorii de risc fi ce ar trebui luaţi în considerare în analiza randamentului unui titlu. Studiile ulterioare au arătat că printre elementele avute în vedere de investitori s-ar număra:

a. modificarea neprevăzută a ratei inflaţiei; b. modificarea neprevăzută a primei de risc; c. modificarea neprevăzută cursului de schimb; d. modificarea neprevăzută ratei dobânzii.

Identificarea acestor factori se face prin utilizarea analizei factoriale, mai exanct a analizei componentelor principale.

Toate anticipările cu privire la valoarea unui activ sunt deja incluse în preţul acestui activ, astfel că acest model măsoară senzitivitatea randamentului unui titlu la modificările neprevăzute ale factorilor de risc. Motivul pentru care a apărut această teorie a fost acela că portofoliu unei pieţe (CAPM) nu poate explica în totalitate modificarea preţului unui activ.

Cu toate acestea, modelul APT prezintă următoarele dezavantaje14: Nu poate spune câţi factori comuni de risc sunt; Nici care sunt aceşti factori.

Acestea au impus un anumit avantaj al modelului CAPM faţă de modelul APT.

12 Stancu, I. - Finanţe. Pieţe financiare şi gestiunea portofoliului, Editura Economică,

Bucureşti, 2002 13 Ross, S.- The Arbitrage Theory of Capital Assets pricing, Journal of Economic Theory,

December 1976 14 Stancu, I- Finanţe. Editura Economică, Bucureşti, 1997

ANALIZA STATISTICĂ A PORTOFOLIILOR

Documents

Transcript of ANALIZA STATISTICĂ A PORTOFOLIILOR