Algebra si Geometrie

Seminar 7

Noiembrie 2017

ii

”Succesul este capacitatea de a merge dintr-un esec in altul fara a-tipierde entuziasmul”

Winston Churchill

7Forme biliniare. Forme patratice

Suprafete ca si grafice de functii

Functiile 𝑓 : R2 → R merita o atentie deosebita intrucat multe suprafete cunos-cute pot fi descrise ca fiind grafice ale unor astfel de functii. Intr-un repercartezian 𝑂𝑥𝑦𝑧 se reprezinta punctele 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) si astfel obtinem suprafetedate prin ecuatia explicita 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Mai jos prezentam cateva exemple:

1

In cele ce urmeaza vom prezenta doua probleme: aproximarea afina a uneiastfel de functii si studiul punctelor de extrem local. Prima implica utilizareaunei aplicatii liniare pentru a aproxima local o functie 𝑓 : R2 → 𝑅 si a douautilizarea unei forme patratice pentru a testa daca aceasta are sau nu punctede minim sau maxim local.

Aproximarea afina a suprafetelor:Sa consideram o suprafata data explicit sub forma 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) unde 𝑓 in-

deplineste anumite despre care nu vom discuta acum. Ecuatia planului tangentintr-un punct (𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏)) al acesteia este:

𝑧 = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥− 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)

unde 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) si 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) sunt derivatele partiale relativ la 𝑥, respectiv 𝑦, calculatein (𝑎, 𝑏). De fapt se poate observa ca avem o aplicatie liniara definita ca:

𝐹 (ℎ1, ℎ2) = 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) · ℎ1 + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) · ℎ2

iar in apropierea punctului (𝑎, 𝑏) are loc:

𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝐹 (𝑥− 𝑎, 𝑦 − 𝑏)

Aceasta aproximare poarta numele de aproximare afina a lui 𝑓 in (𝑎, 𝑏).

Minime si maximePentru a stabili daca o functie 𝑓 : R → R de doua ori derivabila are un punct

de minim local in 𝑥0 era suficient sa aratam ca:

𝑖) 𝑓 ′(𝑥0) = 0 ( 𝑥0 este punct critic)

𝑖𝑖) 𝑓 ′′(𝑥0) > 0 ( pentru 𝑓 ′′(𝑥0) < 0 este punct de maxim)

2

In cazul functiilor 𝑓 : R2 → R testam daca (𝑥0, 𝑦0) este punct de minimlocal in felul urmator. Prin definitie Hessiana in (𝑥0, 𝑦0) este matricea:

𝐻(𝑥0,𝑦0) =

⎛⎝𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) 𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0)

𝑓𝑦𝑥(𝑥0, 𝑦0) 𝑓𝑦𝑦(𝑥0, 𝑦0)

⎞⎠Daca:

i) 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 0 si 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 0(corespunde conditiei 𝑓 ′(𝑥0) = 0 din cazul 1-dimensional)

ii) pentru orice vector coloana v = 0 avem v𝑡 ·𝐻(𝑎,𝑏) · v > 0(expresia corespunde derivatei a doua)

atunci 𝑓 are un punct de minim local in punctul (𝑥0, 𝑦0).

Din punct de vedere alegbric aplicatia 𝐹 (v) = v𝑡 ·𝐻(𝑎,𝑏) · v poarta numelede forma patratica iar matricea 𝐻(𝑎,𝑏) se numeste matricea atasata formeipatratice.

Remarca:

Probleme de optimizare

O companie produce produsele 𝑃1, . . . , 𝑃𝑛 cu preturile unitare 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛

care trebuie determinate. Materia prima 𝑀1,𝑀2, . . .𝑀𝑛 care trebuie folositaeste disponibila in cantitatile 𝑟1, 𝑟2, . . . , 𝑟𝑛. Fie :

𝑟𝑖𝑗 : cantitatea de materie prima 𝑀𝑖 necesara producerii unei unitati deprodus 𝑃𝑗 , unde 𝑖 = 1,𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛

𝑦𝑗 : cantitatea de 𝑃𝑗 care trebuie produs si vandut intr-o perioada planificata,𝑗 = 1, 𝑛

Consideram vectorii 𝑥 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝑥1

...

𝑥𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠, 𝑦 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝑦1...

𝑦𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠ si 𝑟 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝑟1...

𝑟𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠ si matricea:

𝑅 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝑟11 𝑟12 . . . 𝑟1,𝑛...

... . . ....

𝑟𝑚1 𝑟𝑚2. . . 𝑟𝑚𝑛

⎞⎟⎟⎟⎠Spunem ca doi vectori 𝑛-dimensionali satisfac inegalitatea 𝑣 ≤ 𝑤 daca fiecare

componenta a lui 𝑣 este mai mica decat componenta corespunzatoare a lui 𝑤.Avand aceasta regula stabilita suntem nevoiti sa impunem urmatoarele restrictii:

𝑦 ≥ 0 ( produce unitati din fiecare produs)

𝑅𝑦 ≤ 𝑟 (cantitatile materie prima necesare sa fie mai mici decat cele disponibile)

3

Presupunem o relatie de tipul:

𝑦 = 𝑄𝑥 + 𝑞

intre preturi si vanzari, 𝑄 ∈ ℳ𝑚×𝑛(R), 𝑞 ∈ ℳ𝑛×1(R). Elementele matricei 𝑄si ale vectorului 𝑞 pot fi determinate statistic prin studiul comportamentuluiconsumatorului. Inlocuind in relatiile de mai sus obtinem:

−𝑄𝑥 ≤ 𝑞

𝑅𝑄𝑥 ≤ 𝑟 −𝑅𝑞.

Scopul este sa marim venitul brut dat de:

𝑣 =

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖 = 𝑥𝑡 · 𝑦 = 𝑥𝑡 · (𝑄𝑥 + 𝑞) = 𝑥𝑡𝑄𝑥 + 𝑞𝑡𝑥

Obtinem urmatorul model pentru a determina preturile optimale:

max 𝑥𝑡𝑄𝑥 + 𝑞𝑡𝑥

daca:−𝑄𝑥 ≤ 𝑞

𝑅𝑄𝑥 ≤ 𝑟 −𝑅𝑞

𝑥 ≥ 0

Ilustram acest model prin urmatorul exemplu:O patiserie produce prajiturile:

𝑃1 : chec

𝑃2 : prajitura cu mere

𝑃3 : prajitura cu lamaie

Printre altele urmatoarele ingrediente sunt necesare si sunt disponibile incantitati limitate:

𝑀1 : faina

𝑀2 : oua

𝑀3 : unt

𝑀4 : zahar

In anii anteriori patiseria a vandut cele trei tipuri de prajituri la preturi diferitesi a studiat relatia de dependenta a vanzarilor de preturi obtinand urmatoarearelatie: ⎛⎜⎜⎜⎝

𝑦1

𝑦2

𝑦3

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝−3 0 1

0 4 0

2 0 5

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝𝑥1

𝑥2

𝑥3

⎞⎟⎟⎟⎠+

⎛⎜⎜⎜⎝100

120

160

⎞⎟⎟⎟⎠De retinut ca pentru 𝑦𝑖 si 𝑞𝑖 avem ca unitate de masura 𝑘𝑔 iar pentru 𝑥𝑖 avem𝑅𝑂𝑁/𝑘𝑔. Sa consideram prima linie a relatiei de mai sus:

𝑦1 = −3𝑥1 + 𝑥3 + 100

4

adica vanzarile inregistrate pentru prajitura 𝑃1 nu depind doar de pretul unitar𝑥1 dar si de pretul unitar al prajiturii 𝑃3. Daca, de exemplu, 𝑥1 creste cu ounitate, in timp ce 𝑥3 ramane neschimbat, atunci vanzarile 𝑦1 ale prajiturii 𝑃1

se reduc cu 3 kg. Acest fenomen se explica prin faptul ca anumiti clienti careobisnuiau sa cumpere prajitura cu lamaie se decid sa cumpere chec in schimbdaca prima devine mai scumpa. In mod similar se pot explica si relatiile datede celelalte doua linii.

Cantitatile lunare disponibile de ingrediente sunt (𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4) = (20, 15, 13, 18)exprimate in kg. Matricea consumurilor este:

𝑅 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0.4 0.3 0.35

0.15 0.1 0.15

0.25 0.3 0.2

0.1 0.2 0.1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Aceasta matrice are urmatoarea interpretare: prima coloana a lui 𝑅 reprezintaconsumurile necesare prepararii checului: 0.4 kg faina, 0.15 kg oua, 0.25 kg untsi 0.1 kg zahar.

Prin calcul se obtine:

𝑅𝑄 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−0.5 −1.2 −1.35

−0.15 −0.4 −0.6

−0.35 −1.2 −0.75

−0.1 −0.8 −0.4

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , 𝑟 −𝑅𝑞 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−112

−36

−80

−32

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠rezultand urmatorul model:

max −3𝑥1 − 4𝑥21 − 5𝑥2

3 + 3𝑥1𝑥2 + 100𝑥1 + 120𝑥2 + 160𝑥3

cu restrictiile:3𝑥1 − 𝑥3 ≤ 100

4𝑥2 ≤ 120

−2𝑥1 + 5𝑥3 ≤ 160

−0.5𝑥1 − 1.2𝑥2 − 1.35𝑥3 ≤ −112

−0.15𝑥1 − 0.4𝑥2 − 0.6𝑥3 ≤ −36

−0.35𝑥1 − 1.2𝑥2 − 0.75𝑥3 ≤ −80

−0.1𝑥1 − 0.8𝑥2 − 0.4𝑥3 ≤ −32

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

Folosind un software mathematic adecvat, de exemplu Matlab, obtinem urma-toarele preturi optime:

𝑥1 = 44.68 𝑅𝑂𝑁/𝑘𝑔 (pretul checului )

𝑥2 = 28.42 𝑅𝑂𝑁/𝑘𝑔 (pretul prajiturii cu mere)

𝑥3 = 41.32 𝑅𝑂𝑁/𝑘𝑔 (pretul prajiturii cu lamaie)

rezultand un venit brut optim de 2291.81 RON pe luna.

5

Notiuni teoretice:

∙ se numeste forma biliniara o aplicatie 𝜙 : 𝑉 × 𝑉 → IR cu proprietatile:

𝜙(𝛼𝑣 + 𝛽𝑤, 𝑢) = 𝛼𝜙(𝑣, 𝑢) + 𝛽𝜙(𝑤, 𝑢)

𝜙(𝑢, 𝛼𝑣 + 𝛽𝑤) = 𝛼𝜙(𝑢, 𝑣) + 𝛽𝜙(𝑢,𝑤)

∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 , 𝛼, 𝛽 ∈ IR.∙ o forma biliniar 𝜙 se numeste simetrica daca 𝜙(𝑣, 𝑤) = 𝜙(𝑤, 𝑣)∙ o forma biliniara 𝜙 se numeste pozitiv definita daca:

𝜙(𝑣, 𝑣) ≥ 0, ∀𝑣 ∈ 𝑉 si 𝜙(𝑣, 𝑣) = 0 =⇒ 𝑣 = 0

∙ o aplicatie 𝐹 : 𝑉 → IR se numeste forma patratica daca exista o formabiliniara simetrica 𝜙 astfel incat 𝐹 (𝑣) = 𝜙(𝑣, 𝑣), pentru orice 𝑣 ∈ 𝑉.

∙ daca 𝐹 este o forma patratica, atunci forma biliniara simetrica (polara) 𝜙din care provine este:

𝜙(𝑣, 𝑤) =1

2[𝐹 (𝑣+𝑤)−𝐹 (𝑣)−𝐹 (𝑤)] ∀ 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉

∙ fie 𝑉 un spatiu vectorial real si 𝐵 = {𝑒1, 𝑒2, . . . , 𝑒𝑛} o baza a sa, consideram𝐹 : 𝑉 → IR o forma patratica si 𝜙 polara sa, atunci pentru orice vector de forma

�� =

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑒𝑖 avem:

𝐹 (��) = 𝜙(��, ��) = 𝜙

(𝑛∑

𝑖=1

𝑥𝑖𝑒𝑖,

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑒𝑖

)=

𝑛∑𝑖=1

𝑛∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

=

𝑛∑𝑖=1

𝑎𝑖𝑖𝑥2𝑖 +

𝑛∑𝑖<𝑗

2𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

unde 𝑎𝑖𝑗 = 𝜙(𝑒𝑖, 𝑒𝑗) formeaza matricea asociata formei biliniare 𝜙 in baza 𝐵.∙ daca 𝐴 este matricea asociata lui 𝜙 in baza 𝐵 = {𝑒1, 𝑒2, . . . , 𝑒𝑛} atunci

putem scrie:

𝜙(𝑣, 𝑤) = [𝑣]𝑡𝐵 ·𝐴 · [𝑤]𝐵 .

Schimbarea matricei asociate la o schimbare de baze:∙ daca 𝐹 are in baza 𝐵 matricea asociata 𝐴 atunci in baza 𝐵′ va avea

matricea asociata 𝑇 𝑡𝐵𝐵′ ·𝐴 · 𝑇𝐵𝐵′

6

Studiem doua metode de reducere la forma canonica a unei forme patratice:

Metoda lui Gauss

Fie 𝑉 un spatiu vectorial si 𝐹 : 𝑉 → IR o forma patratica iar 𝐵 = {𝑒1, 𝑒2, . . . , 𝑒𝑛}o baza in care:

𝐹 (��) =

𝑛∑𝑖=1

𝑛∑𝑗=1

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

matricea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) fiind nenula. Atunci exista o baza 𝐵′ = {𝑒′1, 𝑒′2, . . . , 𝑒′𝑛} in𝑉 in care 𝐹 se scrie sub forma:

𝐹 (𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛) = 𝜆1𝑧12 + 𝜆2𝑧2

2 + . . . + 𝜆𝑛𝑧𝑛2

numita forma redusa canonica.Cazul 1: 𝑎11 = 0, analog 𝑎𝑖𝑖 = 0 (adica atunci cand exista patrate in

expresia analitica a lui 𝐹 )∙ primul pas consta in construirea unui patrat perfect folosind termenii ce

contin coordonata 𝑥1 scriind fortat:

𝑎11𝑥21 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + . . . + 2𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 =

1

𝑎11(𝑎211𝑥

21 + 2 · 𝑎11𝑥1 · (𝑎12 + . . . + 𝑎1𝑛))

=1

𝑎11(𝑎11𝑥

21 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + . . . + 𝑎1𝑛)2 + 𝜃(𝑥2, 𝑥3, . . . , 𝑥𝑛)

∙ aceasta scriere conduce la transformarea de coordonate locale:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑦1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥12 + . . . + 𝑎1𝑛𝑥1𝑛

𝑦2 = 𝑥2

. . .

𝑦𝑛 = 𝑥𝑛

∙ dupa transformare obtinem o forma 𝐹 (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3), se continua procedeulpana la obtinerea formei canonice

Cazul 2: daca nu exista 𝑎𝑖𝑖 = 0 oricare are fi 𝑖 = 1, 𝑛 (adica atunci cand nuexista patrate in expresia analitica a lui 𝐹 )

Se realizeaza transformarea:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2

𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2

𝑥3 = 𝑦3

. . .

𝑥𝑛 = 𝑦𝑛

si in urma acesteia se vor obtine patrate, apoi continuam conform cazului 1.Formula utila: inversa matricei:

𝑇 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛

0 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ este: 𝑇−1 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1

𝑎11−𝑎12

𝑎11. . . −𝑎1𝑛

𝑎11

0 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠7

Metoda valorilor proprii

∙ se determina matricea asociata formei patratice in baza canonica [𝐹 ]𝐵𝑐 .∙ se determina apoi valorile proprii ale acesteia si subspatiile proprii core-

spunzatoare∙ daca 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑛 sunt valorile proprii atunci forma redusa este:

𝐹 (𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛) = 𝜆1𝑧21 + 𝜆2𝑧

22 + . . . + 𝜆𝑛𝑧

2𝑛

∙ pentru a determina o baza in care obtinem aceasta forma redusa va trebuisa reunim toate bazele subspatiilor proprii intr-o baza:

𝐵 = 𝐵𝑆𝜆1∪𝐵𝑆𝜆2

. . . ∪𝐵𝑆𝜆𝑛

apoi aceasta baza 𝐵 trebuie ortonormata prin procedeul Gram-Schmidt, veziexemplul de mai jos:

Probleme rezolvate

Problema 1. Sa se reduca forma patratica de mai jos la o forma canon-ica, precizand si o baza in care are aceasta forma:

𝐹 : R3 → R, 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 2𝑥1𝑥2−2𝑥2𝑥3+2𝑥1𝑥3.

Solutie: Vom folosi metoda valorilor proprii: din expresia analitica aacestei forme se obtine matricea [𝐹 ]𝐵𝑐

relativ la baza canonica:∙ coeficientii patratelor se scriu pe diagonala principala∙ coeficientii termenilor mixti se injumatatesc

[𝐹 ]𝐵𝑐=

⎛⎜⎜⎜⎝0 1 1

1 0 −1

1 −1 0

⎞⎟⎟⎟⎠De exemplu deoarece avem termenul 2𝑥1𝑥2 vom aseza pe pozitia (1, 2). Acelasitermen 2𝑥1𝑥2 poate fi interpretat ca fiind 2𝑥2𝑥1 deci si pe pozitia (2, 1) tot un1 asezam. Termenul 𝑥2

1 nu apare deci pe pozitia (1, 1) vom aseza un 0, etc.Matricea se poate completa doar deasupra diagonalei iar restul se obtine prinsimetrie.

Determinam acum valorile proprii si subspatiile proprii corespunza-toare. Ecuatia caracteristica este:

𝑑𝑒𝑡([𝐹 ]𝐵𝑐− 𝜆𝐼) =

−𝜆 1 1

1 −𝜆 −1

1 −1 −𝜆

= 0

8

care se poate reduce la forma:

−(𝜆− 1)2(𝜆 + 2) = 0,

de unde obtinem valoarea proprie 𝜆1 = 1 cu ordinul de multiplicitate 𝑚𝜆1= 2

si valoarea proprie 𝜆2 = −2 cu ordinul de multiplicitate 𝑚𝜆2= 1.

Determinam subspatiul propriu 𝑆𝜆1 si suntem condusi la sistemul ([𝐹 ]𝐵𝑐 −1 · 𝐼)𝑣 = 0, adica: ⎛⎜⎜⎜⎝

−1 1 1

1 −1 −1

1 −1 −1

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎠cu solutia:

𝑆𝜆1= {(𝛼 + 𝛽, 𝛼, 𝛽) : 𝛼, 𝛽 ∈ R} = {𝛼(1, 1, 0) + 𝛽(1, 0, 1) : 𝛼, 𝛽 ∈ R}

Prin urmare acest susbpatiu vectorial are o baza formata cu vectorii:

𝐵𝑆𝜆1= {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}

Determinam subspatiul 𝑆𝜆2 , astfel avem de rezolvat ([𝐹 ]𝐵𝑐 +2𝐼)𝑣 = 0, adica:⎛⎜⎜⎜⎝2 1 1

1 2 −1

1 −1 2

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝𝑥

𝑦

𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎠cu solutia

𝑆𝜆2 = {(−𝛼, 𝛼, 𝛼) : 𝛼 ∈ R}

a carei baza este 𝐵𝑆𝜆2= {(−1, 1, 1)}.

Pentru a gasi o baza in care 𝐹 are forma redusa intai colectam toti vectoriibazelor gasite si formam baza:

𝐵 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (−1, 1, 1)}

Baza cautata va fi baza care se obtine dupa ce transformam aceasta bazaintr-una care are toti vectorii de lungime 1 si perpendiculari (baza ortonormata)

Procedam in felul urmator:∙ vectorii proprii care corespund unor valori proprii distincte sunt deja

perpendiculari, adica (−1, 1, 1) ⊥ (1, 0, 1) si (−1, 1, 1) ⊥ (1, 1, 0).Se verfica usor ca:

⟨(−1, 1, 1), (1, 0, 1)⟩ := −1 · 1 + 1 · 0 + 1 · 1 = 0

si:⟨(−1, 1, 1), (1, 1, 0)⟩ := −1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 0 = 0

∙ vectorii proprii care corespund aceleasi valori proprii trebuie transformatiin vectori ortogonali, prin procedul Gram-Schmidt:

Notam 𝑒1 = (1, 1, 0) si 𝑒2 = (1, 0, 1) acestia vor fi transformati dupa formula:

𝑣1 = 𝑒1 = (1, 1, 0)

9

𝑣2 = 𝑒2 −< 𝑒2, 𝑣1 >

< 𝑣1, 𝑣1 >𝑣1 = (1, 0, 1) − 1 · 1 + 1 · 1 + 0 · 1

12 + 12 + 02= (

1

2,−1

2, 1)

Acesti vectori 𝑣1, 𝑣2 sunt ortogonali, mai ramane sa adaugam si 𝑣3 = (−1, 1, 1)care era deja ortogonal cu acestia si sa impartim toti vectorii la lungimea lor

𝑣1|𝑣1|

=(1, 1, 0)√

12 + 12 + 02=

(1√2,

1√2, 0

)𝑣2|𝑣2|

=( 12 ,−

12 , 0)√

12

2+(− 1

2

)2+ 02

=

(√6

6,−

√6

6,

√6

3

)

𝑣3|𝑣3|

=(−1, 1, 1)√

(−1)2 + 12 + 12=

(−√

3

3,

√3

3,

√3

3

)In acest moment vectorii obtinuti sunt ortogonali si de lungime 1.

In concluzie, in baza:

𝐵′ =

{(1√2,

1√2, 0

),

(√6

6,−

√6

6,

√6

3

),

(−√

3

3,

√3

3,

√3

3

)}forma patratica 𝐹 este :

𝐹 (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3) = 1 · 𝑧21 + 1 · 𝑧22−2 · 𝑧23 .

Problema 2. Sa se reduca la forma canonica folosind metoda lui Gauss:

𝐹 : R3 → R, 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3

Solutie: In expresia data nu apare niciun patrat, deci facem o transformare(schimbare de baze): ⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2

𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2

𝑥3 = 𝑦3

Daca notam cu �� vectorul care in baza canonica are coordonatele (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)atunci relatia de mai sus o interpretam ca o schimbare a coordonatelor la oschimbare a bazei:

[��]𝐵𝑐= 𝑇𝐵𝑐𝐵1

[��]𝐵1

unde [��]𝐵1= (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) si evident:

𝑇𝐵𝑐𝐵1 =

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 0

1 −1 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠ .

In noua baza 𝐵1 forma 𝐹 are o expresie analitica:

𝐹 (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) = (𝑦1 + 𝑦2)(𝑦1 − 𝑦2) + (𝑦1 + 𝑦2)𝑦3 + (𝑦1 − 𝑦2)𝑦3

10

= 𝑦21 − 𝑦22 + 2𝑦1𝑦3

Acum construim patrate grupand toti termenii care contin 𝑦1

𝐹 (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) = 𝑦21 + 2𝑦1𝑦3 − 𝑦22 = (𝑦1 + 𝑦3)2 − 𝑦23 − 𝑦22

= (𝑦1 + 𝑦2)2 − 𝑦22 − 𝑦33

Facem transformarea: ⎧⎪⎨⎪⎩𝑧1 = 𝑦1 + 𝑦3

𝑧2 = 𝑦2

𝑧3 = 𝑦3

si obtinem forma redusa:

𝐹 (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3) = 𝑧21 − 𝑧22 − 𝑧23 .

Ultima transformare se poate interpreta ca fiind o relatie de tipul:

[��]𝐵2= 𝑇𝐵2𝐵1

[��]𝐵1

pentru:

𝑇𝐵2𝐵1=

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠Baza in care forma patratica 𝐹 are forma redusa de mai sus este 𝐵2 si pentru

aflarea acesteia este suficient sa aflam matricea 𝑇𝐵𝑐𝐵2, care se afla din:

𝑇𝐵𝑐𝐵2 = 𝑇𝐵𝑐𝐵1𝑇𝐵1𝐵2 = 𝑇𝐵𝑐𝐵1𝑇−1𝐵2𝐵1

=

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 −1

1 −1 −1

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠In concluzie baza cautata este:

𝐵2 = {(1, 1, 0), (1,−1, 0), (−1,−1, 1)}.

Problema 3. Stabiliti daca urmatoarele forme patratice sunt pozitiv saunegativ definite:

𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) =

Solutie:

11

Probleme propuse

Problema 1. Sa se determine matricea in baza 𝐵 a formei biliniare 𝐹 :a) 𝐹 : IR2 × IR2 → IR, 𝐹 ((𝑥1, 𝑥2), (𝑦1, 𝑦2)) = 𝑥1𝑦1 − 2𝑥1𝑦2 − 2𝑥2𝑦1 in baza

𝐵 = {(1, 1), (1, 2)}.b) 𝐹 : IR3×IR3 → IR, 𝐹 ((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3)) = 𝑥1𝑦1−𝑥2𝑦1+2𝑥2𝑦2−𝑥3𝑦3

in 𝐵 = {(−1,−1,−1), (3,−1, 0), (2, 0, 0)}.

Problema 2. Forma patratica Φ : IR2 → IR este definita prin expresia:

Φ(𝑎, 𝑏) = 𝑎2 + 𝑏2.

Sa se determine expresia analitica a polarei sale.

Problema 3. Fie 𝐹 : IR3 → IR o forma patratica care in baza canonica a luiIR3 are expresia:

a) 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 5𝑥21 + 6𝑥2

2 + 4𝑥23 − 4𝑥1𝑥2 − 4𝑥1𝑥3.

b) 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 2𝑥21 + 𝑥2

2 − 𝑥23 + 6𝑥1𝑥2 − 8𝑥1𝑥3 + 2𝑥2𝑥3

Sa se reduca la forma canonica folosind metoda Gauss.

Problema 4. Fie 𝐹 : IR3 → IR o forma patratica care in baza canonica a lui IR3

are expresia 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥1𝑥2 +𝑥1𝑥3 +𝑥2𝑥3. Sa se reduca la forma canonicafolosind metoda Gauss.

Problema 5. Sa se reduca la o forma canonica forma patratica 𝐹 : IR3 → IRce are in baza 𝐵 = {(1, 0, 0), (0,−1, 0), (0, 0,−1)} matricea:

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎝1 0 1

0 1 1

1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠Problema 6. Stabiliti daca urmatoarele forme biliniare sunt pozitiv sau negativdefinite:

Problema 7. Sa se reduca la o forma canonica folosind metoda valorilor pro-prii:

𝐹 : R3 → R, 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = −𝑥21 + 𝑥2

2 − 5𝑥23 + 6𝑥1𝑥3 + 4𝑥2𝑥3.

12