82

4. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL II

4

83

CUPRINS

Nr. crt.

TEMA Pagina

1. Obiective 84 2. Organizarea sarcinilor de lucru 84 3. Topicul 1

Energia. 85

4. Exemplu ilustrativ 1 87 5. Topicul 2

Legea de conservare a impulsului. 91

6. Exemplu ilustrativ 2 92 7. Topicul 3

Momentul forţei.Momentul cinetic. 94

8. Exemplu ilustrativ 3 95 9. Topicul 4

Momentul de inerţie. 97

10. Exemplu ilustrativ 4 98 11. TEST DE AUTOEVALUARE 101 12. REZUMAT 102 13. Rezultate aşteptate 104 14. Termeni esenţiali 104 15. Recomandări bibliografice suplimentare 105 16. TEST DE EVALUARE 106

84

OBIECTIVE

Obiectivele acestui curs sunt:

Să definească mărimea fizică numită energie. Să-şi însuşească cele două forme de energie. Să diferenţieze energie cinetică de energia potenţială. Să aplice cele două forme de energie în practică. Să înţeleagă conceptul de legea de conservare a impulsului. Să formuleze noţiunea de moment al forţei. Să formuleze noţiunea de moment cinetic. Să aplice cele două momente în practică. Să definească momentul de inerţie. Să diferenţieze cele trei tipuri de moment.

Organizarea sarcinilor de lucru Parcurgeţi cele patru topice ale cursului. La fiecare topic urmăriţi exemplele ilustrative. Fixaţi principalele idei ale cursului, prezentate în rezumat. Completaţi testul de autoevaluare. Timpul de lucru pentru parcurgerea testului de evaluare este de

15 minute.

85

La baza definiţiei energiei stă faptul că numai acele corpuri sau sisteme fizice pot efectua lucru mecanic, care au energie. Atunci când corpurile sau sistemele fizice efectuează lucru mecanic energia lor scade.

Lucru mecanic efectuat de un corp este variaţia energiei lui, în timp ce energia pe care o posedă un corp este o măsură a lucrului mecanic efectuat asupra lui. Energia este o mărime fizică de stare în timp ce lucrul mecanic este o mărime fizică de proces. Există două tipuri de energie mecanică, după cum este starea corpurilor statică sau dinamică [2,4,39]. Adică energia poate să fie potenţială sau energia de poziţie şi cinetică sau energia de mişcare. Ştiaţi că: James Watt (1736-1819), inventator scoţian a adus importante îmbunătăţiri motorului cu aburi, făcându-l practic pentru uzul la scala industrială.

Definiţie: Energia este o stare a corpurilor sau sistemelor fizice în care acestea au posibilitatea de a efectua lucru mecanic.

TOPICUL 1

Energia

86

Energia potenţială

mghhGLd (4.1) Lucrul mecanic de ridicare este energia înmagazinată în corpul poziţionat la înălţimea h.

mghLE dp (4.2)

Energia cinetică Dacă deplasarea corpului este pe orizontală şi se efectuează fără frecare atunci întreg lucru mecanic este folosit pentru accelerarea corpului.

22

22

0

vms

sv

msamsFL (4.3)

Definiţie: Energia unui corp în mişcarea de translaţie este egală cu jumătatea produsului dintre masa corpului şi pătratul vitezei.

Definiţie: Energia cinetică sau de mişcare este capacitatea unui corp sau sistem fizic de-a efectua lucru mecanic ca urmare a stării de mişcare în care se găseşte.

Definiţie: Energia potenţială sau de poziţie este capacitatea unui corp sau sistem fizic de-a efectua lucru mecanic ca urmare a poziţiei lui faţă de Pământ sau ca urmare a poziţiei relative a părţilor sale componente.

CONCLUZIE

87

..

....

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_m76eed749.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_2094d53e.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_67e6527a.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_m66d06bf3.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_e96f515.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_46d6a3d0.jpg

EXEMPLU ILUSTRATIV 1:

88

Legea de conservare a energiei

Teorema de variaţie a energiei cinetice Presupunem că un corp are viteza v1 la un moment t1 când începe

acţiunea forţei de accelerare şi viteza v2 la un moment t2. Lucrul mecanic efectuat în intervalul de timp Δt = t2 – t1 este:

12

21

22

21

22

222 ccaaEE

mvmvvvmsamsFL

(4.4)

Fig.4.1 Ilustrarea legii de conservare a energiei

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_493bff95.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_762a4205.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_m27a23c8e.jpg

89

Variaţia energiei cinetice a unui corp este egală cu lucrul mecanic al forţei de accelerare care a acţionat asupra lui în timpul acestei variaţii.

(ΔEc = La)

Energia mecanică totală

Se aplică asupra unui corp de masă m o forţă F pentru a-l urca pe planul înclinat de la înălţimea h1 la înălţimea h2. Deşi asupra corpului se aplică expres numai forţa F asupra lui mai acţionează forţa tangenţială, Ft şi forţa de frecare, Ff (pe durata mişcării). Pentru ca mişcarea sa să fie accelerată trebuie ca rezultanta forţelor să fie diferită de zero:

0

0

ft

ft

FFFR

FFFR

(4.5)

Din teorema variaţiei energiei cinetice avem:

,22

21

22 mvmvsRL (4.6)

sau dacă introducem ecuaţia (3.19) în (3.20) obţinem:

22

21

22 mvmvsFsFsF ft , (4.7)

Forţa de frecare este proporţională cu forţa normală de apăsare a corpului asupra planului înclinat:

cosgmGNF nf , (4.8) unde µ este coeficientul de frecare şi depinde de suprafeţele corpului şi planului înclinat. Forţa tangenţială este:

singmGF tt , (4.9) De unde lucrul mecanic al forţei de tracţiune F este:

90

1

21

2

22

21

22

12

21

22

21

22

22

22)(

22

22cossin

hgmmv

hgmmv

sGsF

mvmvsGhhgm

mvmvsGhgmsF

mvmvsgmsgmsF

t

tt

,(4.10)

unde expresia:

hgmmv

E t 2

2

, (4.11)

este energia totală. Energia totală a unui corp în mişcarea de translaţie este egală cu suma energiei potenţiale şi cinetice a corpului.

12 ttf EEQL (4.12) Lucrul mecanic efectuat de o forţă aplicată, F, asupra unui corp este egal cu variaţia energiei totale a corpului plus energia calorică disipată prin frecare.

Legea conservării energiei cinetice Enunţ: În procesele mecanice fără frecare, izolate fizic, energiile cinetice şi potenţiale se pot transforma reciproc una în alta dar suma lor rămâne constantă.

constEE

EEQL

tt

ttf

12

12)0( (4.13)

sau

.2

2

consthgmmv

E t (4.14)

91

În tratarea dinamică a unui sistem de particule constatăm că este util să facem distincţie dintre forţele externe şi forţele interne. Să considerăm un sistem pentru care rezultanta forţelor externe este zero. Atunci din legea a II-a a dinamicii rezultă:

contp

pddtpd

R

00 (4.15)

Să considerăm acum un sistem de puncte materiale izolat supus numai acţiunii forţelor interne. Impulsul acestui sistem este egal cu:

n

iiivmp

1

(4.16)

dacă dorim să calculăm variaţia impulsului în raport cu timpul:

n

ii

n

iii

n

i

ii

n

i

ii

n

iui

Famdt

vdm

dt

vmd

dt

vmd

dtpd

1111

1 )()(

(4.17)

Într-un sistem de particule care acţionează una asupra celeilalte conform principiului III al dinamicii (al acţiunii şi reacţiunii) pentru fiecare forţă iF

există o altă forţă jF

pentru care ji FF

. Atunci suma

forţelor este:

TOPICUL 2

Legea de conservare a impulsului

92

021

21

21

1 11 11

jiji

n

i

n

jji

n

i

n

iii

n

ii FFFFFFFdt

pd

(4.18)

constppddt

pd

00 Forţele interne nu sunt capabile să modifice impulsul total al sistemului de particule.

021

ji

ji FF

(4.19)

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_m7d76de09.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_4615cc59.jpg

Enunţ: Impulsul total al unui sistem de particule izolat (rezultanta forţelor externe este zero) se conservă.

CONCLUZIE

EXEMPLU ILUSTRATIV 2:

93

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_m5f0288a0.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_m71f8956a.jpg

94

Momentul forţei.

Fig. 4.2 Definirea momentului forţei

Fie o forţă F care acţionează asupra unui corp rigid care se poate roti în jurul unei axe. Se constată că efectul de rotaţie este direct proporţional cu valoarea forţei F şi cu distanţa r de la axa de rotaţie până la punctul de aplicare al forţei unde r este braţul forţei [7,8].

FxrM

(4.20)

Vectorul moment al unei forţe faţă de un punct este perpendicular pe planul format de vectorii , în sensul dat de regula burghiului.

Definiţie: Mărimea fizică care caracterizează efectul de rotaţie al unei forţe, aplicată unui corp rigid, se numeşte moment al forţei faţă de un punct în care este fixat corpul.

TOPICUL 3

Momentul forţei. Momentul cinetic.

95

Momentul cinetic

Fig.4.3 Ilustrarea momentului cinetic

Prin analiza mişcării unui punct material care se mişcă pe o traiectorie curbilinie, în raport cu o axă ce intersectează planul mişcării se poate introduce o mărime fizică numită moment cinetic.

pxrL

(4.21)

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_6af2ca08.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_211cc00d.jpg

EXEMPLU ILUSTRATIV 3:

96

Legea de conservare a momentului cinetic

Teorema variaţiei momentului cinetic Considerăm o modificare infinitezimală a momentului cinetic într-un timp infinit scurt, atunci:

MFxrdt

Ld

FxrvxvmFxrvmxv

Fxrpxvdtpd

xrpxdt

rddt

pxrddt

Ld

)()(

)(

, (4.22)

Momentul forţei este egal cu derivata în timp a momentului cinetic.

dtLd

M

(4.23)

Dacă momentul forţei se anulează atunci prin integrare se găseşte ca momentul cinetic se conservă.

000 LddtLd

M

(4.24)

FxrM

constL

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_70d2d4af.jpg

https://mirceaeliade.wikispaces.com/file/view/sistemul_solar2.jpg/33546581/sistemul_solar2.jpg

97

Cazuri în care momentul forţei se anulează sunt: 1. 0F

forţa se anulează.

2. 0r

direcţia forţei trece prin punctul axa de rotaţie. 3. rF

forţa şi braţul forţei sunt paralele. (Forte de tip central).

Fig. 4.4 O placă subţire care se poate roti în jurul axei z.

Considerăm o placă subţire dea lungul căreia avem o distribuţie de

masă. Placa se găseşte în planul xy şi se poate roti în jurul axei z. Elementul de masă mi se mişcă cu viteza:

iii rxv

(4.25) Dacă corpul este rigid atunci vitezele unghiulare sunt aceleaşi indiferent de poziţia elementului de masă:

,,...2,1 nii

(4.26) deci:

ii rxv

(4.27) În mişcarea circulară viteza este perpendiculară pe rază, deci:

TOPICUL 4

Momentul de inerţie.

98

ii rv (4.28)

Energia cinetică a plăcii este atunci: 2

1

22

1

22

1 21

)(21

22

z

n

iii

n

i

iin

i

ii rmrmvm

Ec I

(4.29)

unde s-a definit mărimea Iz ca fiind momentul de inerţie al plăcii în raport cu axa z.

n

iiiz rm

1

2(I (4.30)

sau sub forma integrală: v v

dvrrdmr )(22 I (4.31)

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_m2bd96d7b.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_70d2d4af.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_m730a25af.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_4171e11a.jpg

EXEMPLU ILUSTRATIV 4:

99

Teorema axelor paralele

Fig.4.5.Pendulul fizic

Să considerăm un punct special pentru care:

01

n

iciirm

(4.32)

şi care se numeşte centru de masă. Atunci poziţia elementului faţă de axa de rotaţie

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_3cfdf2fa.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_72f52410.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_276017b3.jpg

http://epiccollection.freeoda.com/images/4_html_395096b8.jpg

100

poate fi scrisă în funcţie de poziţia elementului de masă faţă de centrul de masă şi poziţia axei de rotaţie faţă de centru de masă:

cici rrr

(4.33)

Momentul de inerţie este:

czic

n

icii

n

icii

n

icci

n

icicicci

n

icicciciiiii

n

ii

mr

rmrmrrmrrrrm

rrrrmrrmrmiIz

I0

22(

)()(

2

1

2

11

2

1

22

1

2

1

(4.34)

de unde: Mrcczz

2 II (4.35) Enunţ: Momentul de inerţie în raport cu orice axa este egal cu momentul de inerţie în raport cu o axă paralelă care trece prin centrul de masă plus masa întregului corp înmulţită cu pătratul distanţei dintre cele două axe.

2III c M (4.36) unde I este distanţa dintre axe. Energia cinetică devine în acest caz:

222

21

21 ccz MrEc I (4.37)

zrmyXmXmy in

iii

n

iii

n

iiiiyx ImII

n

1ii

2

1

2

1

2

1

22 )( (4.38)

Energia totală a plăcii în rotaţie este compusă din energia datorată rotaţiei în jurul centrului de masă plus energia legată de mişcarea de translaţie a centrului de masă în raport cu axa de rotaţie [31,44].

Teorema axelor perpendiculare Să considerăm acum rotaţii în jurul axei x. Momentul de inerţie este:

,1

2

n

iiix ymI (4.39)

101

în mod similar momentul de inerţie în jurul axei y:

n

iiiy xmI

1

2 (4.40)

Suma celor două momente de inerţie este:

Fig. 4.6 Teorema axelor perpendiculare.

Momentul de inerţie al unei foi plane rigide în raport cu o axă normală la planul ei este egal cu suma momentelor de inerţie în raport cu două axe perpendiculare arbitrare care se află în plan şi intersectează axa normală.

TEST DE AUTOEVALUARE

1.Energia este o stare a corpurilor sau sistemelor fizice în care acestea au posibilitatea de a efectua:

Încercuiţi răspunsurile corecte la următoarele întrebări. ATENŢIE: pot exista unul, niciunul sau mai multe răspunsuri corecte la aceeaşi întrebare. Timp de lucru: 10 minute

102

a) lucru mecanic. b) căldură. c) acceleraţie.

2.Energia potenţială se mai numeşte: a) de mişcare b) de echilibru c) de translaţie d) de poziţie

3.Energia cinetică se mai numeşte:

a) de rotaţie b) de oscilaţie

4.Momentul forţei faţă de un punct în care este fixat corpul este: a) o mărime fizică b) caracterizează efectul de rotaţie al unei forţe c) aplicată unui corp rigid

5.Momentul de inerţie este definit prin relaţia:

a) I=M+ MI2 b) I=IC+ MI2 c) I= MI2+ IC d) I= I2+ MI

Grila de evaluare: 1.-a; 2.-d; 3.-niciuna; 4.-a,b,c; 5.-b,c.

- în TOPICUL 1 am definit energia, cele două forme de energie, cinetică şi potenţială, precum şi aplicaţia lor prin stabilirea legii conservării energiei mecanice totale.

REZUMAT

103

Enunţ: În procesele mecanice fără frecare, izolate fizic, energiile cinetice şi potenţiale se pot transforma reciproc una în alta dar suma lor rămâne constantă. - în TOPICUL 2 am prezentat legea de conservare a impulsului. Enunţ: Impulsul total al unui sistem de particule izolat (rezultanta forţelor externe este zero) se conservă.

- în TOPICUL 3 am precizat , prezentat şi definit momentul forţei, momentul cinetic, precum şi legea conservării momentului cinetic prin teorema variaţiei momentului cinetic.

- în TOPICUL 4 am definit momentul de inerţie. Aplicaţia acestui moment în cele două teoreme şi anume, teorema axelor paralele şi teorema axelor perpendiculare. Enunţ: Momentul de inerţie în raport cu orice axa este egal cu momentul de inerţie în raport cu o axă paralelă care trece prin centrul de masă plus masa întregului corp înmulţită cu pătratul distanţei dintre cele două axe. Enunţ: Momentul de inerţie al unei foi plane rigide în raport cu o axă normală la planul ei este egal cu suma momentelor de inerţie în raport cu două axe perpendiculare arbitrare care se află în plan şi intersectează axa normală.

Definiţie: Mărimea fizică care caracterizează efectul de rotaţie al unei forţe, aplicată unui corp rigid, se numeşte moment al forţei faţă de un punct în care este fixat corpul.

Definiţie: Energia este o stare a corpurilor sau sistemelor fizice în care acestea au posibilitatea de a efectua lucru mecanic.

104

După parcurgerea şi studierea acestui curs ar trebui să vă clarificaţi mărimile fizice specifice dinamicii şi să conştientizaţi importanţa dinamicii în domeniul ingineresc, precum şi însuşirea principalelor legi ale acestei părţi.

REZULTATE AŞTEPTATE

TERMENI ESENŢIALI

Energia este o stare a corpurilor sau sistemelor fizice în care acestea au posibilitatea de a efectua lucru mecanic. Energia cinetică. Energia potenţială. Legea conservării energiei - în procesele mecanice fără frecare, izolate fizic, energiile cinetice şi potenţiale se pot transforma reciproc una în alta dar suma lor rămâne constantă. Legea de conservare a impulsului- impulsul total al unui sistem de particule izolat (rezultanta forţelor externe este zero) se conservă. Momentul forţei, momentul cinetic, precum şi legea conservării momentului cinetic prin teorema variaţiei momentului cinetic. Momentul de inerţie. Teorema axelor paralele şi teorema axelor perpendiculare.

105

RECOMANDĂRI BIBLIOGRAFICE SUPLIMENTARE

- Ardelean I., Fizică pentru ingineri, Editura U.T.PRESS, Cluj- Napoca, 2006; - Biro D., Prelegeri „Curs de Fizică generală” (format electronic, CD, revizuit), Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Berkeley, Cursul de fizică - Electricitate şi Magnetism (Vol. 2), Editura Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1982; - Berkeley, Cursul de fizică - Mecanică (Vol.1), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981; - Fechete R., Elemente de fizică pentru ingineri, Editura U.T.PRESS, Cluj Napoca, 2008; - Feynmann R.P., Leighton R. B., Sands M., Fizica modernă, Vol. I - III. Editura Tehnică, Bucureşti, 1970; - Gîju S., Băţagă E., Lucrări de laborator - Fizică. Editura - Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 1991; - Gîju S., Teorie şi Probleme, Editura Universitatea. „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2001; - Gîju S., Curs de Fenomene termice şi electromagnetice, Editura Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2003; - Halliday D., Resnick R., Fizica, vol. I şi II. Editura Didactică. şi Pedagogică, Bucureşti, 1975; - Hudson A., Nelson R., University Physics, Second Edition, Saunders College Publishing, New York, 1990; - Modrea A. , Lucrări de laborator” (format electronic), Universitatea, „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Modrea A., Curs de Fizică generală”(format electronic), Universitatea, Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Oros C., Fizică generală-format electronic, Universitatea „Valahia”, Târgovişte, 2008; - Serway R. A., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Second Edition, Saunders College Publishing, New York, 1986.

106

TEST DE EVALUARE

1.După starea corpurilor energia mecanică poate fi: a) statică b) dinamică c) niciuna 2.Energia potenţială este definită prin relaţia: a) EP= mgv b) EP= mah c) EP= mgh 3.Energia cinetică este definită prin relaţia: a) EC= mv2/2 b) EC= v2m/2 4. Energia totală a unui corp în mişcarea de translaţie este egală cu: a) nulă b) infinită c) nu există

Încercuiţi răspunsurile corecte la următoarele întrebări. ATENŢIE: pot exista unul, niciunul sau mai multe răspunsuri corecte la aceeaşi întrebare. Timp de lucru :15 minute

107

5. Cazuri în care momentul forţei se anulează sunt: a) forţa se anulează. b) direcţia forţei trece prin punctul axa de rotaţie. c) forţa şi braţul forţei sunt paralele. (Forte de tip central). Grila de evaluare: 1.-a,b; 2.-c; 3.-a,b; 4-niciunul; 5.-a,b,c.