Statica punctului material supus la legaturi.doc

STATICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGTURI

statica punctului material supus la legturi Axioma legturilor Poziia punctului n spaiu este supus anumitor restricii geometrice:punctul este obligat s rmn pe o suprafa dat, pe o curb, sau ntr-un punct din spaiu.Aceste legturii restrng numrul de grade de libertate ale punctului.

(pe o suprafa rmn doar dou grade de libertate, pe o curb doar unul )

n cazul inelului mic de srm aflat pe cercul de raz OA, dac srma este lustruit, adic nu avem frecare, poziia de echilibru este n punctul cel mai de jos A.

Dac exist asperiti (frecare) inelul poate rmne n echilibru oriunde n interiorul arcului BB. Se observ c n ambele cazuri rezultanta forelor aplicate nu mai este nul. Dac vom ndeprta legtura va trebui ca n locul ei s introducem o for care s suplineasc rolul legturii. Acesast for este numit for de legtur sau reaciune. Prin ndeprtarea legturii punctul devine liber iar condiia de echilbru se scrie:

(1.29)

nlocuirea legturii printr-o for este cunoscut drept axioma legturilor (sau axioma eliberrii, sau principiul forelor de legtur). Forele de legtur satisfac principiul aciunii i al reaciunii.

Clasificarea legturilor

n fig. 1.7b fora de legtur echilibreaz greutatea . Descompunnd fora de legtur dup normala i dup tangenta la cerc vom avea

(1.30)

Rolul componentei este de a mpiedica punctul s prseasc legtura. Ea se numete for normal de legtur. Rolul componentei este de a se opune deplasrii punctului pe curba pe care este obligat s rmn. Aceast component se numete for de frecare. Din punctul de vedere al forelor de frecare putem avea legturii lucii (ideale) cnd , adic sau legturi reale sau cu frecare cnd ( ) n natur nu exist legturi ideale.

Clasificarea legturilor

Din punct de vedere al frecrii avem legturi

ideale (lucii) fr frecare,

legturi reale, (rugoase) cu frecare

Din punct de vedere al limitrii unei liberti putem avea

legturi unilaterale (o bil aezat pe mas)

legturi bilaterale (bil dispus ntre dou plane)

legturi cu fire (unilaterale)

Din punct de vedere geometric o legtur unilateral se exprim printr-o relaie de

forma:

sau .

De exemplu , o bil legat cu un fir trebuie s rmn pe o sfer:

(originea este n punctul desusupendare)

O legtur bilateral se exprim printr-o relaie de forma:

. (1.33)

Dac s-ar nlocui firul cu o tij, legtura se va exprima prin relaia:

Legturi cu frecare. Fora de frecare

Fig.1.8

Un punct materiel silit s rmn pe o curb sau pe o suprafa cu anumite rugoziti este supus aciunii unei fore de frecare (fig. 1.8). La creterea forei F va crete i fora de frecare fr ca corpul s se mite. Se va ajunge la o valoare limit peste care corpul va ncepe s se mite.

Fora de frecare apare numai dac exist o tendin de micare

Direcia este tangent la suprafaa sau la curba de care este legat punctul.

Sensul este opus tendinei de alunecare

Mrimea forei variaz ntre 0i , adic

Valoarea maxim a foreide frecare este

Coeficientul se numete coeficient de frecare, este adimensional i depinde de natura corpurilor i a suprafeelor n contact. Se poate deci scrie

(1.34)

Coeficientul de frecare depinde de viteza relativ dintre corpuri.(Fig.1.9)

Valoarea se numete coeficient de aderen.

Fig.1.12 n multe cazuri practice nu se ia n consideraie dependena coeficientului de frecare de vitez. Unghiul de frecare. Conul de fercare. Fie un punct material P situat pe o suprafa aspr i s considerm c fora de frecare are valoarea maxim .

Fora de legtur are componentele ii formeaz cu normala la suprafa un unghi . Pentru toate direciile de micare posibile fora de legtur descrie un con numit con de frecare ( locul geometric al suportului forei de legtur ) avnd unghiul la vrf 2 (fig.1.12).

Se poate scrie , sau innd cont c rezult:

(1.35) (1.35)

Unghiul se numete unghi de frecare. Corpul rmne n echilibru atta timp ct rezultanta forelor de legtur se afl n interiorul conului de frecare.

Echilibrul punctului material cu legturi

Condiia de echilibru este dat de

(1.36) Care este echivalent cu trei ecuaii scalare

(1.37) (1.37)

Problemele privind echilibrul punctului material supus la legturi conin dou feluri de necunoscute:

Necunoscute care privesc poziia de echilibru

Necunoscute care privesc fora de legtur

Pentru un punct obligat s rmn pe o suprafa poziia de echilibru este definit de doi parametrii, cum ar fi coordonatele curbilinii i ale punctului pe suprafaa dat.

Coordonatele carteziene x,yi z se exprim prin relaii de forma:

, ,

(1.38)(1.38)

Pentru punctul obligat s rmn pe o curb poziia de echilibru este definit de un singur parametru, cum ar fi de exemplu arcul s msurat de la origine pn la punct.

Coordonatele carteziene ale punctului se exprim prin relaii de forma:

, , . (1.39)(1.39)

Vom examina separat cazul legturilor ideale i reale.

1. Legturi lucii

Fora de legtur are direcia normalei la suprafa Ecuaia de echilibru devine (n cazul unei curbe)

(1.40)

(componenta reaciunii dup normala i dup binormal)

2.Legturi cu frecare

Fora de legtur are dou componente i .

Condiiile de echilibru sunt:

(1.41)

Se poate scrie : (12.42)

Adic la echilibru, rezultanta forelor efectiv aplicate este egal i opus forei de legtur ale crei componente sunt i

mprind prima relaie la a doua rezult :

(12.43)

Sau

(12.44)

Relaie care arat c pentru echilibru este necesar ca unghiul format de rezultant cu normala s fie mai mic sau cel mult egal cu unghiul de frecare.

Altfel spus, pentru echilibru, suportul rezultantei trebuie s se afle n interiorul conului de frecare

STATICA SOLIDULUI RIGID

Solid rigid: Distana dintre dou puncte rmne aceiai oricare ar fi forele finite ce acioneaz asupra sa.

Momentul unei fore n raport cu un punct

Definiie: Momentul unei fore n raport cu un punct , vectorul ,este egal cu produsul vectorial dintre vectorul de poziie al punctului de aplicaie al forei i vectorul .

(12.45)

Vectorul de poziie are originea n i vrful n punctul de aplicaie al forei P

Fig.1.16 Modulul este :

Dar cum , rezult

Proprietile vectorului moment:

Momentul nu se schimb cnd fora se deplaseaz pe suportul su (fig. 1.17)

Fig.1.17 Se vede c ; .

Dar

i deci deoarece

Fie momentul forei calculat n raport cu alt punct situat pe o dreapt ce trece prin i este paralel cu suportul forei (fig.1.18)

Fig.1.18

Avem:

deoarece este paralel cu fora. Prin urmare, momentul unei fore n raport cu un punct nu se schimb dac punctul se deplaseaz pe o dreapt paralel cu suportul forei. Dac admitem c iar ,calculul componentelelor momentului se face uor:

Notnd cu scalarii proieciilor momentului pe axeletriedrului rezult:

unde , , . Teorema lui Varignon

Fie un sistem de fore concurente n punctul (fig.1.19), i rezultanta lor

Fig.1.19 Momentele forelor n raport cu punctul sunt:

nsumnd vectorii se obine:

Teorma lui Varignon se poate enuna deci:

Suma vectorial a momentelor unui sistem de fore concurente n raport cu un punct este egal cu momentul rezultantei acestor fore calculat n raport cu acelai punct . Momentul unei fore n raport cu o ax Definiie: Momentul unei fore n raport cu o ax ,este proiecia pe axa

a momentului forei calculat n raport cu un punct oarecare

de pe ax

Fig.1.20

Momentul forei n raport cu punctul este:

Proiecia sa pe axa este: ,

une este unghiul format de vectorul cu versorul al axei . Rela ia anterioar se poate scrie: sau nc:

Pentru ca definiia s aib sens este necesar s artm c

este acelai oricare ar fi punctul de pe ax.

Fie un alt punct de pe axa . Avem

unde

Se poate observa c

Deoarece vectorii i sunt paraleli produsul lor mixt este nul i prin urmare

Adic momentul unei fore n raport cu o ax este proiecia pe acea ax a momentului forei calcula t n raport cu orice punct de pe ax i poate fi exprimat prin produsul mixt scris anterior. Exist i un alt mod de calcul al momentului unei fore n raport cu o dreapt prezentat n figura 1.21

Fig. 1.21 Se consider un plan perpendicular pe axa i se noteaz cu proiecia forei pe acest plan. Se descompune fora n componentele ortogonale paralel cu planul i paralel cu axa :

Momentul forei n raport cu axa se scrie

Din care rezult

Ceilali termeni sunt nuli deoarece au cte doi vectori paraleli.

Deci, momentul unei fore n raport cu o ax este dat de momentul proieciei acestei fore pe un plan perpendicular pe ax calculat n raport cu punctul n care axa ntlnete planul.

2.4 Cuplu de fore. Reducerea cuplurilor

Definiie: Cuplul este un element mecanic format dou fore egale, paralele, de sens opus i avnd suporturi diferite.

Este un element mecanic ireductibil. Intensitatea aciunii cuplului asupra unui corp depinde de mrimea forelor i de distana dintre suporii acestora. Pentru definirea uniu cuplu este necesar s se cunoasc: modulul forelor

distana dintre suporii forelor

planul cuplului

sensul cuplului

Fig.1.22

Fie cuplul de fore din figur. Suma proieciilor forelor pe o ax oarecare este nul.Calculm momentul fa de un punct arbitrar O.

,

iar

i prin urmare suma lor va fi

sau nc

iar cum vom avea n final

A i Afiind punctele de aplicaie a celor dou fore.

Punctul O a fost ales arbitrar i prin urmare este un vector liber, perpendicular pe planul cuplului de fore

Modulul lui este

2.4.2 Operaii elementare de echivalen Dou cupluri sunt echivalente dac au acelai moment .

Efectul unui cuplu nu se schimb dac: Forele alunec pe suporii lor

Forele se rotesc, ambele cu acelai unghi n planul cuplului

Se modific forele i distana dintre ele astfel nct

2.43 Reducerea cuplurilorCnd asupra unui solid acioneaz mai multe cupluri se poate face nlocuirea acestora cu un singur cuplu. Operaia se numete reducerea cuplurilor.

Fig.1.23 Momentele fiind vectori liberi sepot deplasa paralel cu ei nsi n punctul O unde se compun, obinnd momentul rezultant:

Proieciile sale pe axele triedrului Oxyz sunt

Modulul momentului rezultant este:

Cosinuii directori ai suportului sunt

, ,

2.5 Reducerea sistemelor de fore 2.51Torsorul unui sistem de fore

Fig.2.11 Fie sistemul de fore () aplicate n punctele ca n figura 2.11a Se tie c se pot aduga perechi de fore egale i de semn contrar (,...) fr ca acestea s aibe vre-un efect asupra corpului (fig.2.11.b).

Perechile:din punctuli perechea sa ,din constituie un cuplu de moment , similar fora din punctul i perechea sa din

constituie un cuplu de moment , perechea un cuplu de moment . Vectorii moment au ca rezultant

Rmn forele aplicate n care, fiind fore concurente se pot nlocui cu o rezultant

Prin urmare, sistemul de fore aplicate solidului rigid n punctele

EMBED Equation.3 este echivalent cu perechea aplicate n . Perechea se numete torsor de reducere al sistemului de fore n punctul i se noteaz .Punctul se numete punct de reducere.

Dac dou sisteme se reduc la acelai torsor , cele dou sisteme sunt echivalente. 2.5.2 Variaia elementelor torsorului

EMBED Equation.3 Dac schimbm punctul de reducere din nrezultanta nu se schimb,fiind deci un invariant al sistemului de fore. Momentul ns, depinde de poziia punctului de reducere:

Astfel vom avea

iar

se observ c

i relaia devine succesiv:

Sau innd cont de ()

Aadar alegnd punctul de reducere n se obine torsorul

iar dac se alege punctul de reducere n se obine torsorul

n figura 2.12.se prezint modul n care variaz elementele torsorului cu punctul de reducere

Fig.2.12 Fie punctele de reducere i n care avem vectorii moment i .nmulind scalar cu se obine:

Produsul mixt este nul (doi termeni identici) i rmne

Sau, conform figurii sau nc

Relaia arat c proiecia vectorului moment pe direcia rezultantei este aceiai oricare ar fi punctul .Aceast mrime este un alt invariat n raport cu operaia de reducere.

Exist puncte n spaiu (situate pe axa )n care momentul are chiar direcia rezultantei, modulele vectorilor moment n aceste puncte fiind egale cu proieciile scrise anterior.

Prin urmare vectorul moment are modulul minim, torsorul de reducere fiind deci unul minimal. Conform figurii se poate scrie:

Avnd n vedere componentele vectorilor vom avea

Dar cum

sau nc

Deoarece vectorii sunt paraleli se poate scrie:

Axa central Dreapta pe care, n orice punct torsorul de reducere este minimal se numete axa central a sistemului de fore.

Pentru a stabilii ecuaia axei centrale se alege un triedru

i se reduce sistemul n obinnd

Fie un punct situat pe axa central. Reducnd sistemul de fore n acest punct se obine rezultanta i momentul dat de

dar cum rezult:

De unde :

Pentru ca punctul s fie pe axa central este necesar ca vectorii

i s aib aceiai direcie, adic

Sau nc, proieciile pe axele triedrului s fie proporionale:

Relaia reprezint ecuaiile a dou plane a cror intersecie este o dreapt, adic axa central.

Cazuri de reducere.

1. , (echivalent cu zero)2. , (rezultant unic)3. i ( cuplu de fore)

4. i cu dou subcazuri:4.1

Pe axa central sistemul se reduce la o rezultant unic:

Fig. 2.134.2 - exist torsor minimal pe axa central:

Fig.2.14 Reducerea unor sisteme particulare de fore

Reducerea sistemelor de fore cooplanare Avem: ;

i prin urmare:

, ,

,,

Sistemul se reduce n la o rezultant de modul :

i la un cuplu de moment

Se observ c

i deci

Putem avea deci trei cazuri de reducere:

1) (echivalent cu zero)

2) (echivalent cu un cuplu)

3) , (rezultant unic, pe axa central)

Ecuaia axei centrale:

Din prima ecuaie, ntruct rezult , adic axa central se afl n planul forelor . Rmne deci ecuaia:

Reducerea unui sistem de fore paralele.

Fie sistemul de fore din figura 2.16

Fig.2.16 Fie versorul direciei comune a suporilor tuturor forelor

.

Elementele torsorului de reducere n punctul sunt:

Fora rezultant are direcia versorului avnd modulul

Vectorul moment este perpendicular pe direcia versorului , adic

Se disting deci urmtoarele cazuri de reducere:

1)i (echivalent cu zero)

2) (rezultant unic cu suportul axa central).

Axa central trece prin dac sau este situat la distana

fa de punctul dac

3) i sistemul este echivalent cu un cuplu Centrul forelor paralele Fie cazul .Ne propunem s determinm axa central a sistemului de fore. Considerm c punctul n care s-a fcut iniial reducerea nu se afl pe axa central.Fie un punct de pe axa central.

Vom avea

Unde . Punctul fiind situat pe axa central momentul va avea valoarea minimal

adic

sau

Relaia arat c suma momentelor unor fore paralele n raport cu un punct este egal cu momentul rezultantei n acelai punct

considerndu-se c fora are ca suport axa central.innd seama de expresiile rezultantei i a momentului gsite anterior

ultima relaie se poate scrie

sau

i deci

Relaia este satisfcut independent de pentru un anumit vector

pentru care se anuleaz expresia din parantez:

Aceasta nseamn c n cazul forelor paralele exist un punct dat de vectorul de poziie prin care trece axa central independent de direcia comun a forelor (independent de direcia versorului ).Proiectnd pe axele unui triedru ortogonal

se obine

Unde sunt coordonatele centrului forelor paralele C iar

sunt coordonatele punctelor de aplicaie ale forelor .

N

F

Ff

G

EMBED Equation.DSMT4





Fig.1.13

Proiectnd dup normal i dup tangent se obine :



innd cont c EMBED Equation.DSMT4 iar EMBED Equation.DSMT4 , ( EMBED Equation.DSMT4 fiind unghiul de frecare)

rezult : EMBED Equation.DSMT4


a






b

c

Fig.1.14 Fig.1.15

n poziia iniial (a) acioneaz fora EMBED Equation.DSMT4 .n (b) se aplic o pereche

de fore EMBED Equation.DSMT4 .Reducnd fora iniial cu EMBED Equation.DSMT4 , rmne fora EMBED Equation.DSMT4 .

Deci, vectorul EMBED Equation.DSMT4 se poate deplasa pe suportul su fiind un vector

alunector. Pentru a defini un vector alunector sunt necesare 5

mrimi scalare: componentele sale EMBED Equation.DSMT4 ,i coordonatele

punctului n care suportul fortei neap planul EMBED Equation.DSMT4 , adic

EMBED Equation.DSMT4 (fig.1.15)

Ultimele dou mrimi sunt necesare pentru definirea suportului

pe care poate aluneca fora.



O




z

y

x

F

(

F

r

M0(F)

d

O

F

rA

rB

d

0

F

F

P

O1

O

P

O1

O

r1

r

M0(F)

M

P

r

r1

O

O1

F

u

P

z

y

x

O

r

Fn

F3

F2

F1

R

F

u

O

r

r1

F2

F1

F1

d

A

A

-F

F

O

M

r

r

O

x

y

z

M1

M2

Mn

b)

O

Mn

M2

M1

Fn

F2

F1

O

rn

a)

r2

r1

-F1

F1

-F2

F2

-Fn

Fn

O

O

An

A2

A1

Fn

F2

F1

c)

d)

M

R

O1

R

Fi

r

d

A2

rc

A1

ri

M0

O

z

F2

F1

R

Axa central

R

O1

O

Mmin

R

R

M0

F

-F

M0

R

R

F1

d

Axa centrala

M0

R

Axa central

3

2

1

Mmin

Mmin

M01

M03

M07=M01

M04=M03

O6

O7

O3

O2

O4

O5

R

R

R

R

R

R

M02=M0

R

x

O

O1

M0

R

z

y

Fn-1

Fn

An

An-1

Axa central

C

k

P

P1

_1235022776.unknown

_1235197524.unknown

_1235796478.unknown

_1235798999.unknown

_1235801262.unknown

_1235808654.unknown

_1235811915.unknown

_1235813019.unknown

_1235816623.unknown

_1235817121.unknown

_1235817650.unknown

_1235817984.unknown

_1235818068.unknown

_1235818248.unknown

_1235983197.unknown

_1235818156.unknown

_1235818006.unknown

_1235817868.unknown

_1235817891.unknown

_1235817774.unknown

_1235817344.unknown

_1235817460.unknown

_1235817617.unknown

_1235817408.unknown

_1235817134.unknown

_1235817200.unknown

_1235816806.unknown

_1235817078.unknown

_1235816687.unknown

_1235816363.unknown

_1235816433.unknown

_1235816517.unknown

_1235816409.unknown

_1235816218.unknown

_1235816293.unknown

_1235813086.unknown

_1235813173.unknown

_1235816168.unknown

_1235813063.unknown

_1235812470.unknown

_1235812833.unknown

_1235812966.unknown

_1235812880.unknown

_1235812690.unknown

_1235812717.unknown

_1235812807.unknown

_1235812503.unknown

_1235812075.unknown

_1235812140.unknown

_1235812002.unknown

_1235809970.unknown

_1235810187.unknown

_1235810310.unknown

_1235810371.unknown

_1235810143.unknown

_1235809458.unknown

_1235809679.unknown

_1235809813.unknown

_1235809902.unknown

_1235809561.unknown

_1235809017.unknown

_1235809405.unknown

_1235808869.unknown

_1235801711.unknown

_1235808550.unknown

_1235808605.unknown

_1235808624.unknown

_1235808583.unknown

_1235808417.unknown

_1235808519.unknown

_1235808344.unknown

_1235801341.unknown

_1235801571.unknown

_1235801669.unknown

_1235801357.unknown

_1235801485.unknown

_1235799959.unknown

_1235800533.unknown

_1235800749.unknown

_1235800862.unknown

_1235801224.unknown

_1235800657.unknown

_1235800091.unknown

_1235800305.unknown

_1235799983.unknown

_1235799703.unknown

_1235799855.unknown

_1235799941.unknown

_1235799754.unknown

_1235799625.unknown

_1235799664.unknown

_1235799311.unknown

_1235797855.unknown

_1235798510.unknown

_1235798844.unknown

_1235798946.unknown

_1235798822.unknown

_1235798252.unknown

_1235798426.unknown

_1235798183.unknown

_1235797012.unknown

_1235797425.unknown

_1235797519.unknown

_1235797322.unknown

_1235796549.unknown

_1235796608.unknown

_1235796526.unknown

_1235199616.unknown

_1235203165.unknown

_1235795389.unknown

_1235795709.unknown

_1235796466.unknown

_1235795668.unknown

_1235203695.unknown

_1235795357.unknown

_1235203606.unknown

_1235202669.unknown

_1235202934.unknown

_1235203104.unknown

_1235202826.unknown

_1235202324.unknown

_1235202659.unknown

_1235199983.unknown

_1235199830.unknown

_1235199852.unknown

_1235199803.unknown

_1235198463.unknown

_1235198745.unknown

_1235199038.unknown

_1235199200.unknown

_1235198913.unknown

_1235198515.unknown

_1235198553.unknown

_1235198495.unknown

_1235198199.unknown

_1235198340.unknown

_1235198432.unknown

_1235198294.unknown

_1235198136.unknown

_1235198174.unknown

_1235197563.unknown

_1235028005.unknown

_1235123630.unknown

_1235126324.unknown

_1235127075.unknown

_1235197489.unknown

_1235127076.unknown

_1235197357.unknown

_1235126769.unknown

_1235127074.unknown

_1235126669.unknown

_1235124062.unknown

_1235124281.unknown

_1235124739.unknown

_1235124236.unknown

_1235123869.unknown

_1235123956.unknown

_1235123781.unknown

_1235031460.unknown

_1235032032.unknown

_1235032374.unknown

_1235123452.unknown

_1235032071.unknown

_1235031921.unknown

_1235031960.unknown

_1235031868.unknown

_1235028405.unknown

_1235028493.unknown

_1235028752.unknown

_1235028429.unknown

_1235028104.unknown

_1235028182.unknown

_1235028030.unknown

_1235025694.unknown

_1235027221.unknown

_1235027642.unknown

_1235027857.unknown

_1235027905.unknown

_1235027703.unknown

_1235027468.unknown

_1235027490.unknown

_1235027295.unknown

_1235026189.unknown

_1235026250.unknown

_1235027206.unknown

_1235026214.unknown

_1235025835.unknown

_1235026100.unknown

_1235025703.unknown

_1235024075.unknown

_1235024337.unknown

_1235025276.unknown

_1235025671.unknown

_1235024412.unknown

_1235024174.unknown

_1235024280.unknown

_1235024134.unknown

_1235023329.unknown

_1235023914.unknown

_1235023947.unknown

_1235023817.unknown

_1235023207.unknown

_1235023227.unknown

_1235022873.unknown

_1207564475.unknown

_1234678896.unknown

_1234681719.unknown

_1234685513.unknown

_1234765050.unknown

_1235021773.unknown

_1235021854.unknown

_1235022598.unknown

_1235021815.unknown

_1234765255.unknown

_1234765537.unknown

_1234765134.unknown

_1234763444.unknown

_1234763529.unknown

_1234765001.unknown

_1234763472.unknown

_1234686136.unknown

_1234686239.unknown

_1234685571.unknown

_1234683900.unknown

_1234685056.unknown

_1234685422.unknown

_1234685456.unknown

_1234685411.unknown

_1234684133.unknown

_1234684958.unknown

_1234685010.unknown

_1234684911.unknown

_1234684938.unknown

_1234684157.unknown

_1234684056.unknown

_1234683376.unknown

_1234683825.unknown

_1234683839.unknown

_1234683713.unknown

_1234683789.unknown

_1234683664.unknown

_1234683312.unknown

_1234683337.unknown

_1234681768.unknown

_1234683289.unknown

_1234680721.unknown

_1234681322.unknown

_1234681430.unknown

_1234681561.unknown

_1234681621.unknown

_1234681459.unknown

_1234681397.unknown

_1234681019.unknown

_1234681262.unknown

_1234680742.unknown

_1234680178.unknown

_1234680677.unknown

_1234680705.unknown

_1234680179.unknown

_1234679056.unknown

_1234679945.unknown

_1234679055.unknown

_1207567268.unknown

_1234677653.unknown

_1234678677.unknown

_1234678876.unknown

_1234678574.unknown

_1207567421.unknown

_1207567446.unknown

_1207567384.unknown

_1207566702.unknown

_1207566755.unknown

_1207567071.unknown

_1207567095.unknown

_1207567046.unknown

_1207566728.unknown

_1207566486.unknown

_1207566503.unknown

_1207564569.unknown

_1207558853.unknown

_1207562902.unknown

_1207564132.unknown

_1207564239.unknown

_1207564111.unknown

_1207564079.unknown

_1207564027.unknown

_1207560004.unknown

_1207560134.unknown

_1207560263.unknown

_1207560092.unknown

_1207559850.unknown

_1207559969.unknown

_1207559578.unknown

_1207415597.unknown

_1207557704.unknown

_1207557958.unknown

_1207558033.unknown

_1207557763.unknown

_1207415727.unknown

_1207557664.unknown

_1207415652.unknown

_1207415041.unknown

_1207415311.unknown

_1207415579.unknown

_1207415102.unknown

_1207415199.unknown

_1207414414.unknown

_1207414575.unknown

_1207414110.unknown

Statica punctului material supus la legaturi.doc

Documents

Transcript of Statica punctului material supus la legaturi.doc