2011_Matematică_Etapa locala_olimpiada
of 4
description
olimpiada matem\tica
Transcript of 2011_Matematică_Etapa locala_olimpiada
-
Inspectoratul colar Judeean Prahova
Olimpiada de matematic
Etapa local-12 februarie 2011
Clasa a IX a
Subiecte
1. Fie irul (xn)n N* de numere reale dat prin relaia 1 1 ,1
n nn
p x xx
p
oricare ar
fi n2, n N. a. S se arate c termenul general al irului este
2 21 2 11 ... nnx x p p p x x , oricare ar fi n N*. b. S se arate c :
1 1 ,1
n nn
p x xx
p
oricare ar fi n2, n N* dac si numai dac
2 1 2 1
1 2 2 3 3 4 1 1 1
1 1 ......
n n
n n n
p p p p p p
x x x x x x x x x x
, oricare ar fi n1, n N.
Prof Gabriel Necula, Plopeni
2. Fie a, b N*, (a,b) = 1, astfel nct a < 2b 2 .
a. Demostrai c 8b2 a2+4.
b. Artai c 2ab 2 > a2+1
Prof Petre Nchil i Ctlin Nchil, Ploieti
3. Fie patrulaterul ABCD , 1H - ortocentrul ABC si 2H - ortocentrul DBC .
S se demonstreze c ABCD este inscriptibil dac i numai dac
21HH AD .
Prof Claudiu Militaru, Ploieti 4. Se consider triunghiul echilateral ABC i punctele M (BC), N AC, P AB
astfel nct vectorii PCNBMA
,, s fie coliniari.
Artai c suma 222
111
CPBNAM este constant.
***
SSUUCCCCEESS!!
Not:
Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se noteaz cu puncte de la 1 la 10
-
Inspectoratul colar Judeean Prahova
Olimpiada de matematic
Etapa local-12 februarie 2011
Clasa a X a
Subiecte
1. Fie funcia f:R*R, f(x) = x +x
1 i a, b R*, a = log20102009 i
b = log20102011.Comparai valorile funciei f n a i b. Prof Alexandru Diei , Breaza 2.
Prof Apostolescu Cezar, Ploieti
3. Se consider n plan punctele A(x), B(y), C(z), x, y, z C.
Determinai aria triunghiului ABC, tiind c x= y=z= m, m R*+
i m2(x+y+z )= xyz R.
Prof Petre Nchil i Ctlin Nchil, Ploieti
4. Fie A= { z C * Rez,Im z Z, z < 3}.Determinai cel mai mic k N*,
astfel nct, n orice mulime B inclus n A, card B= k , s existe numere
cu suma zero.
Prof Emil Vasile, Ploieti
.
SSUUCCCCEESS!!
Not:
Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se noteaz cu puncte de la 1 la 10
-
Inspectoratul colar Judeean Prahova
Olimpiada de matematic
Etapa local-12 februarie 2011
Clasa a XI- a
Subiecte
1. Fie AM 2 (R) astfel nct trA 0 i det A 0.
i S se arate c funcia f : M 2 (R) M 2 (R), f( X ) = AX + XA este bijectiv.
ii S se determine toate matricele XM 2 (R) care verific egalitatea :
A( AX + XA ) + ( AX + XA )A = A( AX 2 + X 2 A ) + ( A X 2 + X 2 A )A .
Prof.Necula Gabriel,Plopeni
2. Fie sirul 1)( nnx , 21 2011
4022
n
nn
x
xx
, 1n , 20121 x . Demonstrati ca sirul
este convergent si calculati nn
x
lim .
Prof. Militaru Claudiu,Ploiesti
3. Fie sirul 1)( nnD unde
)!8()!7()!6(
)!5()!4()!3(
)!2()!1(!
nnn
nnn
nnn
Dn
a)Calculati nD
b)Fie .1,1 nD
Dt
n
nn Calculati
n
k
kn
t1
3lim
Prof. Emil Vasile,Ploiesti
4. Fie matricele A,BMn (R), n2 asfel incat AB+A+2B=On
unde 2 + +1=0.Sa se arate ca AB =BA
Gazeta Matematica
SSUUCCCCEESS!!
Not:
Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se noteaz cu puncte de la 1 la 10
-
Inspectoratul colar Judeean Prahova
Olimpiada de matematic
Etapa local-12 februarie 2011
Clasa a XII- a
Subiecte
1. Fie G=[0,1) definim legile de compozitie
};{ yxyx x y=0,3 yx ; xoy=0,7 yx unde {x} reprezinta
partea fractionara a numarului x
a)Sa se arate ca ( G, * ) este grup abelian
b)Sa se arate ca ( G, ) si ( G, o ) sunt grupuri abeliene izomorfe
***
2.Sa se calculeze 2
, 0, .arctgx
dx xarctgx x
Prof. Vasile Coman,Valenii de Munte
3.Fie (G,) un grup finit de n elemente(n , n2), de element neutru e,
astfel incat x3=e, xG a) Sa se arate ca 6 | (n-3) b) Dati un exemplu de grup cu proprietatea din enunt, cu 9 elemente
Prof Cezar Apostolescu,Ploiesti
4. Fie f: R [-a,a], a>0 o functie continua. Sa se arate ca :
a
a
a
a
adxxfdxxfa 222 8)(3)(7
Gazeta Matematica
SSUUCCCCEESS!!
Not:
Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se noteaz cu puncte de la 1 la 10
