12 1 2003 Matematici Aplicate in Economie Lect Univ Cristina Fatu

7/31/2019 12 1 2003 Matematici Aplicate in Economie Lect Univ Cristina Fatu

1/71

Universitatea Cretin Dimitrie Cantemir" Bucureti

Facultatea de tine Economice Cluj-Napoca

CRISTINA-IOANA FTU

MATEMATICI APLICATE

NECONOMIE

SUPORT DE CURS

CLUJ-NAPOCA 2009


2/71

UNIVERSITATEA CRETIN DIMITRIE CANTEMIR" BUCURETI

FACULTATEA DE TINE ECONOMICE CLUJ-NAPOCA

CRISTINA-IOANA FTU

MATEMATICI APLICATE

NECONOMIE

SUPORT DE CURS

CLUJ-NAPOCA

2009


3/71

Cuprins

Prefata 3

1 Complemente de analiza matematica 5

1.1 Functii de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Continuitatea pentru functii de mai multe variabile reale . . . . . 71.3 Derivate si diferentiale pentru functii de mai multe variabile reale 8

1.4 Puncte de extrem pentru functii de mai multe variabile reale . . . 12

1.5 Puncte de extrem local legate (conditionate) . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Ajustarea si interpolarea datelor numerice . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Ajustarea datelor numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.2 Interpolarea datelor numerice . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Teoria probabilitatilor 27

2.1 Camp de evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Camp de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Definitia statistica a probabilitatii . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 Definitia clasica a probabilitatii . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Definitia axiomatica a probabilitatii . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Scheme clasice de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 Schema lui Bernoulli cu bila revenita (binomiala) . . . . . 40

2.3.2 Schema urnei cu bila revenita cu mai multe stari . . . . . . 41

2.3.3 Schema urnei cu bila nerevenita (hipergeometrica) . . . . . 42

2.3.4 Schema urnei cu bila nerevenita cu mai multe stari . . . . 43

2.3.5 Schema urnelor lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4.1 Legea binomiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.2 Legea hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.3 Legea lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.4 Legea uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1


4/71

2 CUPRINS

2.4.5 Legea normala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.6 Legea exponentiala negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5 Caracteristici numerice asociate variabilelor aleatoare . . . . . . . 57


5/71

Prefata

In conditiile actuale ale unor economii complexe, lucrarea de fata prezinta

aspectele fundamentale necesare aplicatiilor matematicii n domeniul economic.

Formulele abstracte pe care stiinta matematica le stabileste din observarea re-

alitatii au mare grad de generalitate si se pot aplica fara a fi nevoie de fiecare data

sa fie demonstrate.

Organizat pe cele doua capitole, continutul cartii urmareste o prezentare clara

si bine exemplificata a notiunilor de baza, construirea modelelor matematice pre-

cum si aspectul aplicativ, pentru a raspunde ntr-o masura cat mai mare situatiilor

ntalnite n practica.

Din studiul primului capitol intitulat Complemente de analiza matematica

amintim notiunea de functie de mai multe variabile, limita, derivate, utilizate n

optimizarea anumitor factori economici, precum si tehnica ajustarii si interpolarii

datelor numerice, a calculelor aproximative si a evaluarii erorilor.

Teoria probabilitatilor, studiata n capitolul doi, cerceteaza legile dupa care

evolueaza fenomenele aleatoare din natura si societate. Conceptele de eveniment,

probabilitate, variabila aleatoare, caracteristici numerice ale acestora sunt exem-

plificate iar anumite tipuri clasice de probleme numite scheme de probabilitate

sunt prezentate rezumativ.

Speram ca, prin continutul ei si modul de prezentare, lucrarea sa fie utila

studentilor de la facultatile de profil, economistilor precum si celor care folosesc

matematica n preocuparile lor aplicative sau de cercetare.

Cluj-Napoca, 2009 Autorul

3


6/71

4


7/71

Capitolul 1

Complemente de analiza

matematica

Curs 1

1.1 Functii de mai multe variabile reale

Modelele matematice utilizate n descrierea unor fenomene economice si

situatii de afaceri constau n relatiile ce exista ntre diferiti indicatori economici

si de afaceri, adica variabile, cum ar fi costul, pretul, profitul, capitalul, venitul,

rata de interes, nivelul productiei, etc.

Functiile sunt relatii dintre astfel de variabile. Daca una dintre variabile esteconsiderata ca fiind variabila dependenta, care ia o valoare si numai una pentru

fiecare fixare a valorilor celorlalte variabile, numite variabile independente, atunci

se obtine o functie de mai multe variabile.

Variabilele independente reprezinta cantitati ce pot fi controlate sau precizate

(date de intrare), pe cand variabila dependenta precizeaza valoarea rezultata (data

de iesire).

Studiul unor astfel de functii necesita prezentarea unor notiuni cum ar fi: limite

de functii, continuitate, derivabilitate, integrabilitate.

In cele ce urmeaza sunt prezentate si studiate aceste notiuni, n cazul functiilor

de mai multe variabile reale.

Definitia 1.1.1 Numim functie reala de doua variabile reale o aplicatie

f : D R, unde D R2 este domeniul de definitie al functiei f, care realizeazacorespondenta univoca

D (x, y) f(x, y) not= z R.

5


8/71

6 Capitolul 1

Observatia 1.1.1 Analog se introduce notiunea de functie reala de 3, 4, . . . , n

variabile reale.

Exemplul 1.1.1 Fie D = R2. Functia f : D R, data prin legea f(x, y) =x + y

2 reprezinta media aritmetica a numerelor reale x si y.

Exemplul 1.1.2 Cantitatea Q dintr-un bun cumparata de consumatori este o

functie care depinde de: pretul P al bunului, venitul V al consumatorului, pretul

Sal bunurilor legate de bunul considerat (sau care poate sa-l nlocuiasca), calitatea

T a bunului. Prin urmare, avem o funct ie de patru variabile reale, anume

f : D R, R4 D (P , V , S , T ) Q = f(P , V , S , T ) R.

Functia f ar putea fi definita prin

Q = f(P , V , S , T ) = P + V + S+ T,

ceea ce precizeaza influenta fiecarei variabile independente P , V , S , T asupra vari-

abilei dependente Q. Determinarea coeficientilor , , , si este de aseme-

nea o problema importanta n studiul modelului economic prezentat prin aceasta

functie.

Daca = 250, = 5, = 0, 03, = 0, 2 si = 0, 02, deci functia f este

Q = f(P , V , S , T ) = 250 5P + 0, 03V + 0, 2S+ 0, 02T

atunci, de exemplu, o crestere a pretului P cu o unitate, produce o diminuare a

cantitatii cerute cu 5 unitati, si astfel de analize pot continua pentru influenta

fiecareia din celelalte variabile independente.

Definitia 1.1.2 Fie D R2 si functia f : D R. Spunem ca functia f admitelimita l R n punctul (x0, y0) daca pentru orice > 0, exista un () > 0, astfelncat pentru orice element (x, y) D, (x, y) = (x0, y0), pentru care |xx0| < (),|y y0| < (), sa aiba loc

|f(x, y)

l

|< .

Observatia 1.1.2 Se foloseste notatia lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = l.

Observatia 1.1.3 Analog se introduce notiunea de limita pentru functii reale de

2, 3, . . . , n variabile.

Observatia 1.1.4 Proprietatile pentru limite de functii de o singura variabila

reala se extind pentru functii de mai multe variabile reale.


9/71

Complemente de analiza matematica 7

Exemplul 1.1.3 Fie functia de doua variabile reale

f(x, y) = (1 + xy)1

x+y .

Vom calcula limita functiei f n punctul (0, 0).

Domeniul de definitie al functiei f este

D = {(x, y) R2| x > 0, y > 0}.

Se observa ca punctul (0, 0), n care se cere calculata limita functiei, nu apartine

domeniului D, dar este punct de acumulare al acestui domeniu.

Remarcam ca daca se face x 0 si y 0 se ajunge la cazul 1. Pentruaceasta, vom scrie functia sub forma

f(x, y) = (1 + xy) 1xy xyx+

y

.

In primul rand, avem ca

lim(x,y)(0,0)

(1 + xy)1xy = lim

h0(1 + h)

1h = e,

iar apoi

lim(x,y)(0,0)

xyx +

y

= lim(x,y)(0,0)

11

y

x+

1

x

y

= 0.

Folosind aceste limite avem ca lim(x,y)(0,0) f(x, y) = e0

= 1.

1.2 Continuitatea pentru functii de mai multe

variabile reale

Definitia 1.2.1 Spunem ca functia f : D R, D R2 este functie continua npunctulM0(x0, y0) D daca

lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0).

Observatia 1.2.1 Analog se introduce notiunea de continuitate pentru functii

reale de 2, 3, . . . , n variabile.

Observatia 1.2.2 Daca functiile f, g : D R, D R2 sunt functii continue npunctul M0(x0, y0) D, atunci si functiile f + g, f g si f

gsunt continue n M0,

cu conditia ca g(x0, y0) = 0.


10/71

8 Capitolul 1

Definitia 1.2.2 Spunem ca functia f : D R, D R2 este functie continua peD, daca este continua n fiecare punct al domeniului D.

Exemplul 1.2.1 Sa se cerceteze continuitatea functiei

f(x, y) = xyxy + 1 1 , daca x > 0, y > 02, daca (x, y) = (0, 0)

Vom studia continuitatatea functiei f n punctul (0, 0). Pentru aceasta cal-

culam limita functiei n origine. Astfel, avem succesiv

lim(x,y)(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)(0,0)

xyxy + 1 1 =

= limh0

h

h + 1 1= lim

h0

h

h + 1 + 1

h = 2 = f(0, 0),deci functia este continua n punctul (0, 0). Prin urmare, functia f este continua

pe domeniul de definitie

D = {(x, y) R2| x > 0, y > 0} {(0, 0)}.

Curs 2

1.3 Derivate si diferentiale pentru functii de mai

multe variabile reale

Definitia 1.3.1 Fie functia f : D R, D R2 si punctul M0(x0, y0) D.Spunem ca functia f este derivabila partial n punctul M0 n raport cu variabila

x daca

limxx0

f(x, y0) f(x0, y0)x x0

exista si este finita. Aceasta limita se numeste derivata partiala a functiei f n

raport cu variabila x n punctul M0 si se noteaza prin fx(x0, y0) sau

f(x0, y0)

x.

Observatia 1.3.1 Analog, spunem ca functia f este derivabila partial n punctul

M0 n raport cu variabila y daca

limyy0

f(x0, y) f(x0, y0)y y0

exista si este finita. Aceasta limita se numeste derivata partiala a functiei f n

raport cu variabila y n punctul M0 si se noteaza prin fy(x0, y0) sau

f(x0, y0)

y.


11/71


Observatia 1.3.2 Analog se defineste notiunea de partial derivabilitate ntr-un

punct a unei functii de 3, 4, . . . , n variabile.

Definitia 1.3.2 Spunem ca functia f : D R, D R2 este derivabila partial nraport cu variabila x pe domeniul D, daca este derivabila n raport cu x n fiecare

punct al lui D. Vom nota aceasta noua functie, fx(x, y) sauf(x, y)

x.

Observatia 1.3.3 Analog, spunem ca f este derivabila partial n raport cu y pe

domeniul D daca este derivabila n raport cu y n fiecare punct al lui D. Notam

aceasta functie cu fy(x, y) sauf(x, y)

y.

Exemplul 1.3.1 Sa cercetam derivabilitatea functiei de doua variabile reale

definita prin f(x, y) = x2 + y3, pentru orice (x, y) R2, n raport cu variabila x

n punctul (a, b) R2

. Pentru aceasta, pornind de la definitie, calculam

limxa

f(x, b) f(a, b)x a = limxa

(x2 + b3) (a2 + b3)x a = limxa

x2 a2x a = 2a.

Prin urmare, avem ca fx(a, b) =f(a, b)

x= 2a.

Se observa ca aceasta derivata partiala exista n orice punct dinR2, prin urmare

avem ca fx(x, y) = 2x. Analog se obtine ca fy(x, y) = 3y

2.

Observatia 1.3.4 Formulele de derivare din cazul functiilor de o singura vari-

abila reala raman neschimbate. Anume, pentru a deriva partial functia f(x) =f(x1, x2, . . . , xn) n raport cu variabila xk, se considera functia f ca functie de xk,

celelalte argumente fiind considerate constante si se aplica formulele de derivare

cunoscute, pentru aceasta functie de o singura variabila reala.

Observatia 1.3.5 Suma, produsul si catul a doua functii derivabile partial sunt

functii derivabile partial.

Pentru a fixa ideile, vom lua n considerare o functie reala de trei variabile

reale.

Exemplul 1.3.2 Fie functia de trei variabile reale, definita prin

f(x,y,z ) = x4y ln z+sin(x + y)

z,

pentru care vom calcula derivatele partiale n raport cu fiecare din variabilele x, y

si z. Remarcam ca D = {(x , y , z ) R3| z > 0} este domeniul maxim de definitieal functiei f.


12/71

10 Capitolul 1

Pentru calcularea derivatei partiale a functiei f n raport cu variabila x, con-

sideram pe y si z ca fiind constante si aplicam formulele de derivare de la functiile

de o variabila reala:

fx

(x,y,z ) = 4x3y ln z+cos(x + y)

z.

In mod analog, avem ca:

fy(x , y , z ) = x4 ln z+

cos(x + y)

z

si

fz(x , y , z ) =x4y

z sin(x + y)

z2.

Definitia 1.3.3 Numim derivata partiala de ordinul doi a functiei f : D

R,

D R2, derivata partiala a derivatei partiale de ordinul ntai, daca aceasta exista.

Observatia 1.3.6 Se utilizeaza notatiile:

fx2(x, y) = (fx(x, y))

x sau

2f(x, y)

x2=

x

f(x, y)

x

fy2(x, y) = (fy(x, y))

y sau

2f(x, y)

y2=

y

f(x, y)

y

.

Mai avem si derivatele partiale mixte:

fxy(x, y) = (fx(x, y))

y sau

2f(x, y)

xy=

y

f(x, y)x

fyx(x, y) = (f

y(x, y))

x sau

2f(x, y)

yx=

x

f(x, y)

y

.

Observatia 1.3.7 Analog se definesc derivatele partiale de ordinul 2 pentru

functii reale de 3, 4, . . . , n variabile reale.

Exemplul 1.3.3 Sa calculam derivatele partiale de ordinul doi pentru functia

de doua variabile reale f(x, y) = x2 ln(1 xy), (x, y) D, unde D = {(x, y) R

2| xy < 1}.Calculam la nceput derivatele partiale de ordinul ntai:

fx(x, y) =f(x, y)

x= 2x ln(1 xy) + x

2y

xy 1 ,

fy(x, y) =f(x, y)

y=

x3

xy 1 .


13/71


Putem sa calculam acum si derivatele de ordinul doi, anume

fx2(x, y) = (fx(x, y))

x =

= 2

ln(1 xy) + xy

xy

1

+2xy(xy 1) x2y2

(xy

1)2

=

= 2 ln(1 xy) + 2xyxy 1 +

xy(xy 2)(xy 1)2 ,

fxy(x, y) = (fx(x, y))

y =

=2x2

xy 1 +x2(xy 1) x3y

(xy 1)2 =

=x2(2xy 3)

(xy 1)2 ,

fyx(x, y) = (fy(x, y))x =3x2(xy

1)

x3y

(xy 1)2 =x2(2xy

3)

(xy 1)2 ,

fy2(x, y) = (fy(x, y))

y =

x4

(xy 1)2 .

Observatia 1.3.8 In exemplul precendent se observa ca derivatele partiale de

ordinul doi mixte sunt egale. In anumite conditii, aceasta egalitate are loc

ntotdeauna, iar rezultatul matematic ce contine afirmatia noastra se numeste

criteriul lui Schwarz.

Curs 3Definitia 1.3.4 Numim diferentiala functiei f : D R, D R2, D deschisa,functia definita prin

df(x, y) = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy,

unde (x, y) D, iar dx si dy sunt, respectiv, cresterile argumentelor x si y.

Observatia 1.3.9 Analog se defineste diferentiala unei functii de 3, 4, . . . , n vari-

abile.

Exemplul 1.3.4 Sa se determine diferentiala functiei f(x, y) = arctg xy

, y = 0.Calculam pentru nceput derivatele partiale de ordinul ntai:

fx(x, y) =y

x2 + y2, fy(x, y) =

x

x2 + y2.

Atunci diferentiala functiei este:

df(x, y) = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy =

y

x2 + y2dx x

x2 + y2dy.


14/71

12 Capitolul 1

Observatia 1.3.10 Diferentiala de ordinul doi se obtine din diferentiala de or-

dinul ntai, si anume:

d2f(x, y) = d[df(x, y)] =

= d(fx(x, y)dx) + d(fy(x, y)dy) == fx2(x, y)dx

2 + fxy(x, y)dxdy +

+ fy2(x, y)dy2 + fyx(x, y)dydx.

Tinand cont de criteriul lui Schwarz (egalitatea derivatelor partiale mixte),

avem:

d2f(x, y) = fx2(x, y)dx2 + 2fxy(x, y)dxdy + f

y2(x, y)dy

2.

Exemplul 1.3.5 Sa determinam diferentiala de ordinul doi pentru functia

f(x, y) = ln(x2 + y4), (x, y)R

2

\ {(0, 0)

}, de doua variabile reale.

Calculam, prima data, derivatele partiale de ordinul ntai:

f(x, y)

x=

2x

x2 + y4,

f(x, y)

y=

4y3

x2 + y4.

Derivatele partiale de ordinul doi sunt:

2f(x, y)

x2=

2(y4 x2)(x2 + y4)2

,2f(x, y)

xy= 8xy

3

(x2 + y4)2,

2f(x, y)

y2

=4y2(3x2 y4)

(x2

+ y4

)2

.

Diferentiala de ordinul doi pentru functia f este

d2f(x, y) =2f(x, y)

x2dx2 + 2

2f(x, y)

xydxdy +

2f(x, y)

y2dy2 =

=2(y4 x2)(x2 + y4)2

dx2 16xy3

(x2 + y4)2dxdy +

4y2(3x2 y4)(x2 + y4)2

dy2.

Curs 4

1.4 Puncte de extrem pentru functii de mai

multe variabile reale

Definitia 1.4.1 Fie functia f : D R, D R2 si punctul M0 D. Spunem capunctul M0 este punct de maxim local al functiei f, daca exista o vecinatate a lui

M0 astfel ncat oricare ar fi M(x, y) un punct n aceasta vecinatate, are loc relatia

f(M) f(M0).


15/71


Analog, spunem ca M0 este punct de minim local al functiei f, daca exista o

vecinatate a lui M0, astfel ncat oricare ar fi M(x, y) punct n aceasta vecinatate,

are loc relatia f(M) f(M0).

Observatia 1.4.1 Punctele de maxim si minim local le numim puncte de extrem

local.

Observatia 1.4.2 Definitia punctelor de extrem local pentru functii de 3, 4, . . . , n

variabile este analoaga cu definitia 1.4.1.

Exista rezultate teoretice care demonstreaza ca punctele de extrem local ale

unei functii se afla printre punctele ei stationare, adica acele puncte care anuleaza

derivatele partiale de ordinul ntai ale functiei. Dar nu orice punct stationar este

neaparat si punct de extrem local al functiei! Pentru ca un punct stationar sa fie

punct de extrem local trebuie ndeplinite anumite conditii, dupa cum se va vedean teorema urmatoare, enuntata pentru cazul general, al unei functii de n variabile

reale.

Teorema 1.4.1 Fie functia f : D R, D Rn si M0 un punct stationar alei. Presupunem ca functia are derivate partiale de ordinul doi continue ntr-o

vecinatate a punctului M0. Se considera matricea

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

,

unde aij = fxixj

(M0), i, j = 1, n, cu minorii principali

k =

a11 a12 . . . a1k

a21 a22 . . . a2k

. . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 . . . akk

, k = 1, n.

Cu notatiile si n conditiile de mai sus au loc afirmatiile:(i) daca k > 0, pentru fiecare k = 1, n, atunci punctul M0 este punct de

minim local pentru functia f;

(ii) daca 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0, . . . atunci punctul M0 este punct de maxim

local pentru functia f.

Observatia 1.4.3 In orice alta situatie, nu se poate preciza daca punctul este de

extrem local.


16/71

14 Capitolul 1

Exemplul 1.4.1 Sa se determine punctele de extrem local ale functiei

f(x, y) = 2x4 + y4 x2 2y2.

Calculam, pentru nceput, derivatele partiale de ordinul ntai ale functiei:

fx(x, y) = 8x3 2x

fy(x, y) = 4y3 4y.

Determinam punctele stationare ale functiei, rezolvand sistemul:fx(x, y) = 0

fy(x, y) = 0

8x3 2x = 04y3 4y = 0

x(4x2 1) = 0y(y2 1) = 0

Avem urmatoarele puncte stationare: (0, 0), (0, 1), (0, 1), 12 , 0, 12 , 1,1

2, 1

,

1

2, 0

,

1

2, 1

,

1

2, 1

.

Calculam derivatele partiale de ordinul doi:

fx2(x, y) = 24x2 2

fy2(x, y) = 12y2 4

fxy(x, y) = fyx(x, y) = 0.

Matricea A este:

A =

24x2 2 0

0 12y2 4

.

Pentru punctul (0, 0):

A =

2 00 4

si

1 =

2 < 0, 2 =

2 00 4 = 8 > 0.

Prin urmare, (0, 0) este punct de maxim local.

Pentru punctul (0, 1):A =

2 00 8

1 = 2 < 0, 2 =

2 00 8

= 16 < 0.


17/71


Punctul (0, 1) nu este punct de extrem local. Procedand analog si pentrucelelalte puncte, vom arata ca punctele

1

2, 1

,

1

2, 1

,

1

2, 1

,

1

2, 1

sunt puncte de minim local, iar punctele (0, 1),

1

2, 0

si

1

2, 0

nu sunt puncte

de extrem local.

Exemplul 1.4.2 O firma produce doua sortimente de bunuri, n cantitatile x si

y. Daca functia profitului este data prin

f(x, y) = 160x 3x2 2xy 2y2 + 120y 18,vrem sa determinam volumele celor doua bunuri astfel ca profitul sa fie maxim.

Determinam prima data punctele stationare, prin rezolvarea sistemului de

ecuatii

f(x, y)

x= 160

6x

2y = 0

f(x, y)

y= 2x 4y + 120 = 0.

Solutia acestui sistem este x = 20 si y = 20, deci punctul (20, 20) este punct

stationar pentru functia f.

Pentru a stabili daca punctul stationar (20, 20) este punct de maxim, scriem

matricea derivatelor partiale de ordinul doi

A = 6 22 4 , cu 1 = 6 < 0, 2 =

6 22 4 = 20 > 0,

prin urmare punctul (20, 20) este punct de maxim. Valoarea maxima a profitului

va fi fmax = f(20, 20) = 2782.

Curs 5

1.5 Puncte de extrem local legate (conditionate)

De multe ori este nevoie sa se calculeze extremele unei functii cand variabilele

sale sunt supuse unor conditii suplimentare.

Problema care se pune este sa se determine extremele functiei

f : D R, D Rn, daca variabilele sale satisfac conditiile (legaturile)1(x1, . . . , xn) = 0

2(x1, . . . , xn) = 0

. . .

m(x1, . . . , xn) = 0


18/71

16 Capitolul 1

cu m < n, functiile f si i, i = 1, m verificand toate conditiile ce asigura existenta

extremelor.

Exista mai multe metode pentru rezolvarea unei asemenea probleme. Noi vom

studia doar metoda directa.

Metoda directa consta n reducerea problemei la determinarea unei functiiF obtinuta din f n care m variabile sunt exprimate din relatiile de legatura n

functie de celelalte n m variabile.In continuare se aplica teorema 1.4.1.

Exemplul 1.5.1 Sa se gaseasca triunghiul de arie maxima dintre triunghiurile

cu perimetrul 2p.

Vom nota cu x, y si z lungimile laturilor unui triunghi cu perimetrul 2p, deci

x + y + z = 2p. Se stie ca aria triunghiului, n functie de semiperimetrul sau, este

S = p(p x)(p y)(p z) (formula lui Heron)sau

S2 = p(p x)(p y)(p z).Trebuie sa determinam, prin urmare, extremele functiei

f(x,y,z ) = p(p x)(p y)(p z)

cu conditia

x + y + z = 2p.

Din conditia data rezulta z = 2p x y, care se nlocuieste n functia f.Trebuie gasite extremele functiei

F(x, y) = p(p x)(p y)(x + y p).

Se calculeaza derivatele partiale de ordinul ntai:

Fx(x, y) = p(p y)(x + y p) + p(p x)(p y) = p(p y)(2x y + 2p)

Fy(x, y) =

p(p

x)(x + y

p) + p(p

y)(p

y) = p(p

x)(

x

2y + 2p).

Sistemul este: p(p y)(2x y + 2p) = 0

p(p x)(x 2y + 2p) = 0

Solutia sistemului este x = y =2p

3.

Derivatele partiale de ordinul doi sunt:

Fx2(x, y) = 2p(p y), Fy2(x, y) = 2p(p x)


19/71


Fxy(x, y) = Fyx(x, y) = p(p y)(2x y + 2p) p(p y) =

= p(p y)(2x y + 2p + 1).Matricea A este:

A = 2p(p y) p(p y)(2x y + 2p + 1)p(p y)(2x y + 2p + 1) 2p(p x) .In punctul

2p

3,

2p

3

matricea A este:

A =

2p

2

3p

2

3

p2

32p

2

3

1 = 2p2

3< 0, 2 =

2p2

3p2

3

p2

32p

2

3

=4p4

9 p

4

9=

p4

3> 0.

Prin urmare n punctul

2p

3,

2p

3

, functia F are un maxim local. Revenind la

functia f,

z = 2p x y = 2p 2 2p3

=6p 4p

3=

2p

3,

deci triunghiul cu aria maxima este triunghiul echilateral cu latura2p

3 .

Exemplul 1.5.2 Sa se determine punctele de extrem local legat pentru functia

f de patru variabile definita prin

f(x , y , z , t) = xy + xz 3xt + y2 + z2 + t2 + 10x + 6y, pentru (x , y , z , t) R4,cu legaturile

g1(x , y , z , t) = x + 2y + 3z+ 2t = 0

g2(x , y , z , t) = x + y + z+ t = 0.1

Exprimam pe z si t din cele doua legaturi, n functie de celelalte variabile,

adica x si y:

z = h1(x, y) = 3x si t = h2(x, y) = 4x y.Se obtine n acest fel functia de doua variabile reale

F(x, y) = f(x , y , h1(x, y), h2(x, y) = f(x,y, 3x, 4x y) == xy 3x2 3x(4x y) + y2 + 9x2 + (4x y)2 + 10x + 6y == 10x2 4xy + 2y2 + 10x + 6y.


20/71

18 Capitolul 1

2 Determinam punctele de extrem local pentru functia F. Pentru aceasta

determinam, n primul rand, punctele stationare ale functiei F. Scriem sistemul

de ecuatii

F(x, y)

x= 20x 4y + 10 = 0

F(x, y)

y= 4x + 4y + 6 = 0,

care are solutia x = 1, y = 52

. Asadar, punctul

1, 5

2

este punct stationar

pentru functia F.

Matricea derivatelor partiale de ordinul doi este

A =

2F

1, 5

2x22F

1, 5

2xy2F

1, 5

2

xy

2F

1, 5

2

y2

=

20 44 4

,

are minorii principali 1 = 20 > 0 si 2 = 64 > 0. Prin urmare, punctul1, 5

2

este punct de minim local pentru functia F. Astfel avem ca punc-

tul 1, 5

2

, h1 1, 5

2 , h2 1, 5

2 = 1, 5

2

, 3,

3

2 este punct deminim local legat pentru functia f. Se obtine usor ca fmin = f

1, 5

2, 3, 3

2

=

252

.

Exemplul 1.5.3 O fabrica produce bunurile x si y. Fie costul dat prin functia

f(x, y) = 6x2+10y2xy +30. Vrem sa determinam costul minim, daca x+y = 34.1 Exprimam prima data una din variabile n functie de cealalta, folosind

legatura data. Fie aceasta exprimare y = 34 x = h(x). Urmeaza construireafunctiei F(x) = f(x, h(x)) = 17x2

714x + 11590.

2 Valoarea minima a functiei F, care este o functie de gradul doi, se obtine

pentru x = b2a

=714

34= 21. Vom avea apoi ca y = 34 x = 13, iar n final

costul minim se obtine ca fiind fmin = f(21, 13) = 4093.


21/71


Curs 6

1.6 Ajustarea si interpolarea datelor numerice

1.6.1 Ajustarea datelor numerice

Diferite fenomene sau caracteristici ntalnite n diverse domenii ale activitatii

umane, sau parti componente ale acestora, se pot reprezenta printr-o legatura

functionala dintre o variabila independenta x si o variabila dependenta y. Fie

aceasta legatura data prin functia continua f : [a, b] R, adica y = f(x), functiede regula necunoscuta.

Pentru cel interesat n cercetarea unor astfel de fenomene, se pune problema

determinarii acestei functii. Pentru aceasta, se presupune ca cercetatorul are la

dispozitie valori observate (masurate) ale functiei f pe punctele distincte xi,

i = 1, n, fie acestea yi, i = 1, n. Desigur ca aceste valori observate (masurate)

ale datelor numerice yi, i = 1, n, nu sunt valorile exacte ale functiei f pe punctele

xi, i = 1, n, adica, n general, yi = f(xi). Acest lucru se datoreaza unor erori acci-dentale (ntamplatoare, aleatoare) de observare sau de masurare. Valorile exacte

ale functiei f pe punctele xi, i = 1, n, pe care le notam prin yi = f(xi), i = 1, n,sunt necunoscute.

Definitia 1.6.1 Ajustarea datelor numerice (xi, yi), i = 1, n, consta n deter-minarea, cu o eroarea minima a valorilor exacte yi, i = 1, n, precum si deter-minarea legitatii (trendului) de variatie a marimii y n functie de x, adica stabilirea

functiei f.

Observatia 1.6.1 In ajustarea datelor numerice, de regula, se considera doua

etape. Prima etapa consta n determinarea tipului trendului. Pentru aceasta, fie

ca din alte studii sau pe alte cai se cunoaste tipul acestui trend, fie ca se reprezinta

grafic punctele din plan Mi(xi, yi), i = 1, n, si din aceasta reprezentare decidem

tipul de trend pentru fenomenul cercetat. Am putea aminti astfel de tipuri detrend: liniar, parabolic, exponential, logaritmic, etc.

Un trend astfel determinat, este o functie n care apar parametri reali

necunoscuti, fie acestia ai, i = 1, p. Astfel se obtine ca trendul este dat prin

y = f(x; a1, a2, . . . , ap).

De exemplu, n cazul trendului liniar avem ca

y = f(x; a, b) = ax + b, a, b R necunoscuti,


22/71

20 Capitolul 1

pentru trendul parabolic avem ca

y = f(x; a,b,c) = ax2 + bx + c, a, b, c R necunoscuti,

iar pentru trendul exponential avem ca

y = f(x; a, b) = bax, a, b R, a > 0 si a = 1 necunoscuti.

A doua etapa consta n determinarea parametrilor ai, i = 1, p, astfel ca

diferentele yiyi = f(xi; a1, a2, . . . , ap)yi, i = 1, n, sa fie minime. Metoda ceamai des utilizata pentru determinarea parametrilor unui trend este metoda celor

mai mici patrate.

Aceasta metoda consta n determinarea parametrilor ai, i = 1, p, ai trendului

y = f(x; a1, a2, . . . , ap), astfel ncat urmatoarea suma sa fie minima

S(a1, a2, . . . , ap) =ni=1

[yi yi]2 = ni=1

[f(xi; a1, a2, . . . , ap) yi]2.

Observatia 1.6.2 Pentru determinarea punctelor de minim local ale functiei S,

se determina punctele stationare. Se poate arata ca functia S(a1, a2, . . . , ap) are un

singur punct stationar si acesta este punct de minim local. Pentru determinarea

punctului de minim local se rezolva sistemul de ecuatii normale

S

a1 = 2

n

i=1 [f(xi, a1, a2, . . . , ap) yi] f(xi; a1, a2, . . . , ap)a1 = 0S

a2= 2

ni=1

[f(xi, a1, a2, . . . , ap) yi] f(xi; a1, a2, . . . , ap)a2

= 0

. . .

S

ap= 2

ni=1

[f(xi, a1, a2, . . . , ap) yi]f(xi; a1, a2, . . . , ap)ap

= 0.

Rezolvarea acestui sistem de p ecuatii algebrice cu necunoscutele ai, i = 1, p,

conduce la determinarea parametrilor trendului considerat, obtinandu-se ceea cenumim functia de ajustare. Daca notam cu ai , i = 1, p, solutia sistemului de

ecuatii normale, atunci functia de ajustare este data prin y = f(x; a1, a2, . . . , a

p).

Aplicatia 1.6.1 Sa consideram ca din datele numerice, n urma reprezentarii

grafice, s-a obtinut un trend liniar, adica

y = f(x; a, b) = ax + b, a, b R.


23/71


Functia care trebuie minimizata, n acest caz, este

S(a, b) =ni=1

[(axi + b) yi]2,

care conduce la sistemul de ecuatii normale

S(a, b)

a= 2

ni=1

(axi + b yi)xi = 0

S(a, b)

b= 2

ni=1

(axi + b yi) = 0,

sau

n

i=1

x

2

i a + n

i=1

xi b =n

i=1

xiyi

ni=1

xi

a + nb =

ni=1

yi.

Solutia ecestui sistem, a = a, b = b, ne conduce la functia de ajustare

y = ax + b.

Exemplul 1.6.1 Cererea y a unui produs pe piata se presupune a avea un trend

liniar n raport cu pretul x de vanzare, adica y = ax + b. Folosind datele numerice(de observatie)

x 20 30 40 80 130 200

y 18 16 15 12 10 7

vrem sa determinam functia de ajustare liniara, pe baza acestor date de observatie.

Pentru determinarea sistemului de ecuatii normale, arajam calculele n tabelul

urmator

xi yi x2

i xiyi20 18 400 360

30 16 900 480

40 15 1600 600

80 12 6400 960

130 10 16900 1300

200 7 40000 1400

Total 500 78 66200 5100


24/71

22 Capitolul 1

Sistemul de ecuatii normale este66200a + 500b = 5100

500a + 6b = 78,

care are solutia a = 0, 057 si b = 17, 755, deci ecuatia dreptei de ajustare estey = 0, 057x + 17, 755.

Pe baza acestei functii de ajustare, avem, de exemplu, ca daca pretul produsu-

lui se fixeaza la 250 de unitati, atunci volumul vanzarilor va fi y = 0, 057 250+17, 755 = 3, 505 4.

Aplicatia 1.6.2 Daca trendul stabilit are forma exponentiala, adica

y = f(x; a, b) = bax, a, b > 0, a = 1,

se recomanda sa se lucreze cu functia z = lg y = Ax+B, unde A = lg a si B = lg b.

In acest mod, s-a ajuns la un trend liniar, ca n aplicatia precedenta, cu observatia

ca n loc de yi se va considera zi = lg yi, i = 1, n.

Dupa rezolvarea sistemului de ecuatii normale

ni=1

x2i

A +

ni=1

xi

B =

ni=1

xizi

n

i=1 xiA + nB =n

i=1 zi,fie solutia acestuia A = A, B = B, se determina prin antilogaritmare a = a sib = b, din relatiile A = lg a si B = lg b. Astfel se obtine functia de ajustare

y = bax

.

Exemplul 1.6.2 Pentru a stabili profitul P al unei unitati comerciale, se cunosc

realizarile pentru primele 6 luni ale anului

t 1 2 3 4 5 6

P 8, 16 8, 32 8, 50 8, 70 9, 00 9, 02

Daca presupunem ca ntre variabila dependenta P si variabila independenta

t exista un trend exponential, adica P = bat, vrem sa determinam functia de

ajustare.

Logaritmand trendul exponential, obtinem liniarizarea z = B + At, unde z =

lg P, A = lg a si B = lg b.

Efectuam calculele n tabelul urmator


25/71


ti Pi zi = lg Pi t2i tizi

1 8,16 0,911690 1 0,91169

2 8,32 0,920123 4 1,84025

3 8,50 0,929419 9 2,78826

4 8,70 0,939519 16 3,758085 9,00 0,954242 25 4,77121

6 9,02 0,955207 36 5,73124

Total 21 5,610299 91 19,80073

Sistemul de ecuatii normale este91A + 21B = 19, 80073

21A + 6B = 5, 610200,

care are solutia A = 0, 00943 si B = 0, 90203, de undea = 10A

= 1, 02195

b = 10B

= 7, 98045.

Prin urmare, functia de ajustare este P = 7, 98045 1, 02195t.

1.6.2 Interpolarea datelor numerice

La interpolare, spre deosebire fata de ajustare, se considera cunoscute valorile

exacte ale functiei f : [a, b] R, pe punctele distincte xi [a, b], i = 0, n, numitenoduri, fie acestea yi = f(xi), i = 0, n. De regula, valorile functiei f nu sunt

cunoscute, cu exceptia valorilor functiei pe noduri.

Definitia 1.6.2 Interpolarea datelor numerice (xi, yi), i = 0, n, consta n deter-

minarea unei functii F dintr-o clasa de functii, astfel ncat F(xi) = yi, i = 0, n,

numita functie de interpolare.

Observatia 1.6.3In cele ce urmeaza, vom considera ca nodurile sunt ordonatecrescator, adica a x0 < x1 < . . . < xn b, iar clasa de functii din care se

considera functia F este multimea polinoamelor de grad cel mult n.

Definitia 1.6.3 Daca se cunosc valorile yi = f(xi), i = 0, n, numim polinomul

de interpolare al lui Lagrange relativ la functia f, polinomul de grad cel mult n,

notat (Lnf)(x), care satisface conditiile de interpolare (Lnf)(xi) = f(xi) = yi,

pentru fiecare i = 0, n.


26/71

24 Capitolul 1

Teorema 1.6.1 Daca se cunosc valorile yi = f(xi), i = 0, n, atunci polinomul

de interpolare al lui Lagrange relativ la functia f, (Lnf)(x), exista n mod unic si

are urmatoarea expresie

(Lnf)(x) =

n

i=0 li(x)f(xi) =n

i=0 li(x)yi,unde

li(x) =(x x0) . . . (x xi1)(x xi+1) . . . (x xn)

(xi x0) . . . (xi xi1)(xi xi+1) . . . (xi xn) , i = 0, n,

care se numesc polinoamele fundamentale de interpolare ale lui Lagrange.

Demonstratie. Polinomul de interpolare fiind de grad cel mult n, rezulta ca are

forma

(Lnf)(x) = A0 + A1x + A2x2 + . . . + Anx

n.

Din conditiile de interpolare (Lnf)(xi) = f(xi) = yi, i = 0, n, se obtine sis-

temul liniar de n + 1 ecuatii(Lnf)(x0) = A0 + A1x0 + A2x

20 + . . . + Anx

n0 = y0

(Lnf)(x1) = A0 + A1x1 + A2x22 + . . . + Anx

n1 = y1

. . .

(Lnf)(xn) = A0 + A1xn + A2x2n + . . . + Anx

nn = yn,

cu necunoscutele A0, A1, . . . , An. Determinantul sistemului este un determinant

Vandermonde

V(x0, x1, . . . , xn) =

1 x0 x

20 . . . x

n0

1 x1 x21 . . . x

n1

. . . . . . . . . . . . . . .

1 xn x2n . . . x

nn

=n

i,j=1i>j

(xi xj).

Deoarece nodurile xi, i = 0, n, sunt distincte, avem ca determinantul sistemului

liniar, V(x0, x1, . . . , xn) = 0, deci sistemul liniar are solut ie unica. Prin urmarepolinomul de interpolare al lui Lagrange (Lnf)(x) exista n mod unic.

Deoarece

li(xj) = 1, daca i = j0, daca i = j,

avem ntr-adevar ca (Lnf)(x) are forma data n enuntul teoremei.

Observatia 1.6.4 Daca se considera punctul x [a, b], atunci putem folosiaproximarea f(x) (Lnf)(x). De asemenea, vom spune ca aceasta aproximareeste un procedeu de interpolare daca punctul x (x0, xn), iar daca x (x0, xn)spunem ca are loc un procedeu de extrapolare.


27/71


Exemplul 1.6.3 Profitul y al unei fabrici este o functie f(x), unde x este canti-

tatea produselor vandute. Se cunosc urmatoarele date numerice

x 10 20 50 100

y 408 928 2400 3600care reprezinta valori ale profitului pentru anumite cantitati vandute. Vrem sa

determinam polinomul ce interpoleaza aceste date numerice.

Deoarece exista patru perechi de date numerice, rezulta ca polinomul de inter-

polare al lui Lagrange are gradul n = 3. Expresia polinomului de interpolare este

data prin

(L3f)(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 + l3(x)y3,

unde

l0(x) = (x 20)(x 50)(x 100)(10 20)(10 50)(10 100) = x

3

170x2

+ 8000x 10000036000

,

l1(x) =(x 10)(x 50)(x 100)

(20 10)(20 50)(20 100) =x3 160x2 + 6500x 50000

24000,

l2(x) =(x 10)(x 20)(x 100)

(50 10)(50 20)(50 100) = x3 130x2 + 3200x 20000

60000,

l3(x) =(x 10)(x 20)(x 50)

(100 10)(100 20)(100 50) =x3 80x2 + 1700x 10000

360000,

astfel ca

(L3f)(x) = 1375

x3 + 750

x2 + 1493

x 100.

Observatia 1.6.5 Daca functia f Cn+1[a, b], adica este continua cu derivatecontinue pana la ordinul n + 1, atunci eroarea care se comite cand facem aproxi-

marea f(x) (Lnf)(x), adica

(Rnf)(x) = f(x) (Lnf)(x),

este evaluata prin inegalitatea

|(Rnf)(x)| |(x x0)(x x1) . . . (x xn)|(n + 1)!

maxx[a,b]

|f(n+1)(x)|.


28/71

26 Capitolul 1


29/71

Capitolul 2

Teoria probabilitatilor

Curs 7

2.1 Camp de evenimente

Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele alea-

toare din natura si societate. Multe tipuri de investigatii pot fi caracterizate n

parte prin faptul ca experimentarea repetata, n aceleasi conditii, este mai mult

sau mai putin un proces standard. De exemplu, un economist poate fi preocupat de

preturile a trei marfuri specificate la intervale de timp variabile. Singurul mod prin

care un investigator poate primi succesiv informatii despre un astfel de fenomen

este a-si face propriul experiment.

Definitia 2.1.1 Numim experiment aleator (experienta aleatoare) realizarea

practica a unui complex de conditii corespunzator criteriului de cercetare fixat;

rezultatul experimentului se numeste proba iar colectia (multimea) rezultatelor

posibile se numeste spatiu experimental sau spatiul probelor si se noteaza cu .

Exemplul 2.1.1 In aruncarea cu moneda fie pajura notata cu S iar marca

cu M. Daca presupunem ca moneda poate fi aruncata repetat n aceleasi conditii,

atunci aruncarea acestei monede este un exemplu de experiment aleator n carerezultatul este unul dintre simbolurile M sau S; asa ca spatiul probelor este

multimea formata din aceste doua simboluri, = {M, S}. Fenomenul aleatorconsta n aruncarea monedei.

Exemplul 2.1.2 In cazul experimentului care consta n aruncarea odata a unui

zar, complexul de conditii se refera la: existenta unui zar omogen din punct de

vedere fizic, perfect din punct de vedere geometric, cu cele sase fete marcate

27


30/71

28 Capitolul 2

prin puncte de la 1 la 6, existenta unei suprafete netede si respectiv, existenta

dispozitivului care sa arunce zarul pe aceasta suprafata neteda. Spatiul probelor

(spatiul rezultatelor posibile) generat de o asemenea experienta aleatoare este o

multime finita de forma = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}, daca am notat prin (i),i = 1, 6, respectiv aparitia fetei cu i puncte.

Exemplul 2.1.3 In aruncarea simultana a unui zar alb si a unuia rosu, fie rezul-

tatul perechea ordonata (numar de puncte ale zarului alb, numar de puncte ale

zarului rosu). Daca presupunem ca aceste doua zaruri identice dar de culori diferite

pot fi aruncate repetat n aceleasi conditii, aruncarea acestei perechi de zaruri este

un experiment iar spatiul probelor contine 36 de perechi ordonate,

= {(1, 1), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (2, 6), . . . , (6, 6)}.

Definitia 2.1.2 Numim eveniment(eveniment aleator) asociat unui experimentE o afirmatie sau un enunt relativ la experimentul E, care poate fi confirmatsau infirmat n urma efectuarii experientei. Un eveniment se poate realiza prin

intermediul uneia sau mai multor probe.

Definitia 2.1.3 Prin eveniment elementar vom ntelege acel eveniment care se

realizeaza printr-o singura proba iar evenimentul compus este acela realizat prin

cel putin doua probe. Evenimentul sigur este un eveniment care se realizeaza cu

certitudine la fiecare efectuare a experimentului si se noteaza cu , iar evenimentul

care nu se realizeaza la nici o repetare a experimentului se numeste evenimentimposibil, notat .

Observatia 2.1.1 Notam prin E1, E2, . . . , E n, . . . (sau e1, e2, . . . , en, . . . sau

1, 2, . . . , n, . . .) evenimentele elementare, care constituie spatiul probelor (nu-

mit si spatiu de selectie) generat de un experiment aleator; = {E1, . . . , E n, . . .}iar prin A , B , . . ., respectiv prin A1, A2, . . . notam evenimentele aleatoare. Eveni-

mentele sunt submultimi ale spatiului . Evenimentul imposibil este acela care

nu contine nici un eveniment elementar.

Exemplul 2.1.4 In cazul experimentului cu un zar vom nota cu A evenimentul

care consta din aparitia unui numar par, deci este favorizat de probele (2), (4),

(6); vom nota cu B evenimentul constand din aparitia unui numar prim, care

este favorizat de probele (2), (3), (5); vom nota cu C evenimentul constand din

aparitia unui numar compus, care e favorizat de probele (4), (6). In consecinta

avem

A = {(2), (4), (6)} P(), B = {(2), (3), (5)} P(),


31/71

Teoria probabilitatilor 29

C = {(4), (6)} P(), = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)} P(),evenimentul imposibil este multimea vida , P(), unde P() este multimeapartilor spatiului experimental.

Exemplul 2.1.5 La experimentul reprezentand testarea calitatii a N articole

dintr-un lot, spatiul probelor este constituit din N evenimente elementare, =

{(0), (1), . . . , (N)} unde (i), i = 0, N reprezinta numarul articolelor defecte ce potfigura printre N articole selectate din lotul respectiv.

Observatia 2.1.2 In cadrul unui experiment E, evenimentele se pot identifica cusubmultimi ale spatiului probelor , prin urmare studiul evenimentelor se poate

identifica cu studiul multimilor. Relatiile si operatiile referitoare multimilor se vor

transpune evenimentelor.

Definitia 2.1.4 Se numeste intersectie a evenimentelorA si B evenimentul, notat

A B, care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza atat A cat si B. Senumeste reuniune a evenimentelor A si B evenimentul, notat A B, care serealizeaza daca si numai daca se realizeaza cel putin unul din evenimentele A sau

B. Se numeste eveniment complementar evenimentului A evenimentul notat A

care se realizeaza daca si numai daca nu se realizeaza A. Vom spune ca evenimentul

A implica evenimentul B si vom scrie A B daca ori de cate ori se realizeazaevenimentul A se realizeaza, cu necesitate si evenimentul B.

Observatia 2.1.3 Au loc urmatoarele relatii:

A, A A, A , A A B, B A B, A B A, A B B.

Definitia 2.1.5 Daca A B si totodata B A atunci A si B sunt egale(echiva-lente) si vom scrie A = B.

Observatia 2.1.4 Definitia anterioara referitoare la evenimente egale se foloseste

pentru a demonstra identitatea a doua evenimente definite de o aceeasi experientaaleatoare. Suntem condusi la o noua definitie a evenimentului elementar.

Definitia 2.1.6 Evenimentul A este elementar daca pentru orice eveniment B,

cu proprietatea B A avem B = sau B = A.

Definitia 2.1.7 Evenimentul diferent a, notat A \ B, reprezinta realizarea eveni-mentului A si nerealizarea evenimentului B.


32/71

30 Capitolul 2

Observatia 2.1.5 Au loc urmatoarele relatii:

1) A B = B A, A B = B A,(A B) C = A (B C), (A B) C = (A B) C, A = , A = A, A = A, A = ,

2) = , = , (A) = A, A \ B = A B, A A = , A A = ,3) Daca A B = atunci spunem ca evenimentele A si B sunt incompatibile.

Exemplul 2.1.6 Consideram evenimentele A, B si C conform exemplului 2.1.4,

A = {(2), (4), (6)}, B = {(2), (3), (5)}, C = {(4), (6)}. Avem relatiile:

A B = {(2), (3), (4), (5), (6)}, A B = {(2)}, B C = ,

B = {(1), (4), (6)}, A \ B = {(4), (6)} = C, A B = {(4), (6)} = A \ B.

Observatia 2.1.6 Pentru a generaliza notiunile de reuniune si intersectie a

evenimentelor vom introduce o multime I de indici, finita sau infinita si numarabila

(I N) si vom considera evenimentele Ai, i I. Au loc relatiile:A

iI

Ai

=

iI

(A Ai), distributivitatea reuniunii fata de intersectie,

A

iIAi

=

iI

(A Ai), distributivitatea intersectiei fata de reuniune,

iIAi = iIAi, iIAi = iIAi, relatiile lui de Morgan.Definitia 2.1.8 Evenimentele Ai, i I, I N formeaza un sistem complet deevenimentedaca satisfac urmatoarele conditii:

1) Ai Aj = , i = j (incompatibilitatea 2 cate 2 a evenimentelor)2)

iI

Ai = .

Exemplul 2.1.7 Evenimentele A,B,C din exemplul anterior nu formeaza un

sistem complet de evenimente deoarece nu este ndeplinita prima conditie. Eveni-

mentele A si A formeaza sistem complet de evenimente.

Definitia 2.1.9 Submultimea K a partilor lui , = K P() se numeste corp(algebra) daca ndeplineste urmatoarele axiome:

(i) Daca A K, atunci A K,(ii) Daca A, B K, atunci A B K,

iar perechea (, K) se numeste camp (finit) de evenimente.


33/71


Observatia 2.1.7 Daca (, K) camp de evenimente atunci1) K, K,2) Din A, B K rezulta A B K, A \ B K,3) Daca Ai

K, i = 1, n rezulta

n

i=1 Ai K,n

i=1 Ai K.Observatia 2.1.8 Daca n Definitia 2.1.9, conditia (ii) se nlocuieste cu

(ii) Daca Ai K, i I N, atunciiI

Ai K,atunci K se numeste -corp (algebra boreliana) iar perechea (, K) se numestecamp (infinit) de evenimente (camp borelian de evenimente).

Curs 8

2.2 Camp de probabilitate

2.2.1 Definitia statistica a probabilitatii

Fie experimentul E, spatiul probelor iar evenimentul A . Daca, duparealizarea experimentului, rezultatul este n A, vom spune ca evenimentul A

s-a ntamplat. Convenim sa efectuam n repetari, independente ale experimentului

aleator. Putem stabili numarul k (frecventa absoluta) de ntamplari ale evenimen-

tului A n cele n repetari ale experimentului. Raportulk

nse numeste frecventa rela-

tivaa evenimentului A n cele n experimente independente. Se utilizeaza frecventa

relativa chiar si pentru valori mici ale lui n, cum s-a vazut la aruncarea monedei.

Daca n creste, experienta indica faptul ca frecventa relativa tinde sa se stabilizeze.

Aceasta ne sugereaza sa asociem evenimentului A un numar pA care este egal sau

aproximativ egal cu numarul la care frecventa relativa tinde sa se stabilizeze.

Prin urmare, desi nu putem prezice rezultatul unui experiment aleator, putem,

pentru o valoare mare a lui n sa prezicem aproximativ frecventa relativa pentru

care rezultatul va fi n A. Numarul pA asociat evenimentului A are nume variate.

Cateodata este numit probabilitate, cand rezultatul experimentului aleator este nA, iar uneori e numit masura probabilitatii lui A. In general, contextul sugereaza

alegerea terminologiei.

Definitia 2.2.1 Numim probabilitate a evenimentului A, valoarea numerica n

jurul careia oscileaza frecventa relativa a lui A, cand numarul n al repetarilor

experimentului creste indefinit. Notam pA.


34/71

32 Capitolul 2

Exemplul 2.2.1 Fie spatiul probelor (de selectie) din Exemplul 2.1.3 si fie C

multimea formata din perechi ordonate ale lui pentru care suma perechii este 7.

Avem C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Presupunem ca zarurile suntaruncate de n = 400 ori si fie k frecventa absoluta a sumei 7, k = 60. Atunci

frecventa relativa este k

n=

60

400= 0, 15 = pC.

2.2.2 Definitia clasica a probabilitatii

Presupunem ca spatiul probelor atasat unui experiment aleator este finit,

= {1, . . . , n} si, mai mult, cele n evenimente elementare Ei = {i}, i = 1, nau aceeasi sansa de realizare (sunt egal posibile). Fie A un eveniment a carui

aparitie este favorizata de cazurile (evenimentele elementare) i1, i2, . . . , ik , A =

{i1, i2 , . . . , ik}.

Definitia 2.2.2 Se numeste probabilitate a evenimentului A raportul

P(A) =k

n=

numarul cazurilor favorabile

numarul cazurilor posibile.

Exemplul 2.2.2 Fie experimentul cu un zar din cadrul Exemplului 2.1.4. Avem

n = 6 cazuri posibile. In cazul evenimentului A care consta din aparitia unui

numar par, numarul cazurilor favorabile este k = 3. Prin urmare P(A) =3

6

=1

2

.

In cazul evenimentului B care consta din aparitia unui numar prim, numarul

cazurilor favorabile este 3. Asadar, P(B) =3

6=

1

2. In cazul evenimentului C care

consta din aparitia unui numar compus, numarul cazurilor favorabile este 2. In

consecinta, P(C) =2

6=

1

3.

Exemplul 2.2.3 O urna contine a bile albe (a 2) si b bile negre. Se extragdeodata doua bile. Vom calcula probabilitatea ca cel put in doua bile extrase sa fie

albe. Notam prin A evenimentul ce consta n a extrage din urna doua bile albe.

Deoarece n urna avem, n total, a + b bile rezulta ca numarul total al perechilorde bile ce se pot extrage deodata va fi C2a+b. Mai mult, oricare asemenea pereche

de bile are o aceeasi sansa de-a fi extrasa, deci cele C2a+b perechi (evenimente

elementare) sunt egal posibile, asadar n = C2a+b. Numarul perechilor favorabile

evenimentului A este k = C2a . Obtinem

P(A) =k

n=

C2aC2a+b

=a(a 1)

(a + b)(a + b 1) .


35/71


Observatia 2.2.1 Avand n vedere Definitia 2.2.2 au loc relatiile

(i) 0 P(A) 1, P() = 1, P() = 0, P(A) = 1 P(A),(ii) daca A B atunci P(A) P(B),(iii) daca A B = atunci P(A B) = P(A) + P(B).

O interpretare fireasca a conditiei (i) revine la: cu cat P(A) este mai aproape

de 1, cu atat evenimentul A are loc mai des; daca P(A) = 1, atunci evenimentul

A are loc ntotdeauna, deci este evenimentul sigur. Dimpotriva, daca P(A) este

apropiata de valoarea zero, evenimentul A are loc foarte rar iar daca P(A) = 0

atunci evenimentul A se poate considera ca un eveniment imposibil.

Observatia 2.2.2 1) Insuficienta definitiei clasice a probabilitatii se vadeste

atunci cand numarul cazurilor (egal) posibile este infinit. Spre exemplu, daca

se considera sirul numerelor naturale iar evenimentul A consta n aparit ia unui

numar prim, atunci spatiul probelor (de selectie) este un numar infinit de eveni-

mente elementare egal posibile.

2) Definitia clasica a probabilitatii nu poate fi aplicata unei largi categorii de

fenomene naturale si sociale n studiul carora apare imposibilitatea de a determina

numarul cazurilor favorabile, respectiv, nefavorabile. Spre exemplu, fara a recurge

la notiunea de frecventa nu se poate determina apriori probabilitatea ca pe o

anumita regiune sa cada grindina ntr-un interval de timp dat.

Curs 9

2.2.3 Definitia axiomatica a probabilitatii

Definitia 2.2.3 Fiind dat campul (finit) de evenimente (, K), se numeste pro-babilitate o aplicatie P : K R care satisface urmatoarele axiome:

(i) P(A) 0, A K,(ii) P() = 1,

(iii) P(A B) = P(A) + P(B), A, B K, A B = ,iar tripletul (, K, P) se numeste camp (finit) de probabilitate.

Propozitia 2.2.1 Fie (, K, P) camp finit de probabilitate. Avem(P1) P() = 0,(P2) P(A) = 1 P(A), A K,(P3) P(B \ A) = P(B) P(A B), A, B K,(P4) A, B K, A B rezulta P(A) P(B),(P5) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), A, B K,(P6) P(A) 1, A K,


36/71

34 Capitolul 2

(P7) Formula lui Poincare

P

ni=1

Ai

=

ni=1

P(Ai) n

i,j=1i


37/71


Teorema 2.2.1 (Inegalitatea lui Boole) Considerand evenimentele Ai K,i = 1, n avem

P

ni=1

Ai

1

ni=1

P(Ai).

Demonstratie.

P

ni=1

Ai

= P

ni=1

Ai

= 1 P

ni=1

Ai

1

ni=1

P(Ai)

deoarece am utilizat relatiile de Morgan si Observatia 2.2.3.

Observatia 2.2.4 Forma practica a inegalitatii Boole este

P(A1 A2 . . . An) P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) (n 1)relatie evidenta datorata faptului ca n membrul drept al inegalitatii lui Boole s-a

avut n vedere ca P(Ai) = 1 P(Ai), i = 1, n.Inegalitatea lui Boole ne permite sa stabilim o margine inferioara pentru pro-

babilitatea evenimentului A1 A2 . . . An si anumeni=1

P(Ai) (n 1) P(A1 A2 . . . An) 1.

Exemplul 2.2.4 Un articol satisface standardul de fabricatie daca trei caracter-

istici sunt satisfacute. Fie caracteristicile A, B si C satisfacute cu probabilitatile

P(A) =7

11, P(B) =

9

10si P(C) =

11

12. Atunci putem evalua probabilitatea ca

toate cele trei caracteristici sa fie satisfacute prin intermediul inegalitatii lui Boolesi anume

P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) (3 1)P(A B C) 7

11+

9

10+

11

12 2 = 299

660.

Observatia 2.2.5 Daca n Definitia 2.2.3 se considera un camp infinit de eveni-

mente, tripletul (, K, P) se va numi camp (infinit) de probabilitate iar axioma(iii) se nlocuieste cu

(iii) PiIAi = iI P(Ai), pentru orice Ai K, i I, I N, Ai Aj = cand i = j.

Formula axiomei (iii) constituie formula de adunare a probabilitatilor n cazul

unui numar cel mult numarabil de evenimente ale campului (, K), doua catedoua incompatibile. Daca n = 2 avem formula de adunare a probabilitatii n cazul

a doua evenimente incompatibile si anume

P(A1 A2) = P(A1) + P(A2), A1, A2 K, A1 A2 = .


38/71

36 Capitolul 2

Definitia 2.2.4 Fie (, K, P) un camp de probabilitate (finit sau infinit) si fieevenimentele A, B K, P(B) > 0, (P(B) = 0). Probabilitatea evenimentului A,conditionata de evenimentul B este raportul

P(A|B) = PB(A) =P(A

B)

P(B) .

Observatia 2.2.6 1) P(A B) = P(B)P(A|B).2) Daca P(A) > 0 se poate defini probabilitatea evenimentului B conditionata

de evenimentul A prin raportul

P(B|A) = P(A B)P(A)

.

Rezulta relatia P(A B) = P(A)P(B|A).3) Tripletul (,

K, PB) este camp de probabilitate.

Teorema 2.2.2 (Formula de nmultire a probabilitatilor)

Daca P

ni=1

Ai

> 0 atunci avem

P(A1 A2 . . . An) =

= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) . . . P (An|A1 . . . An1).

Demonstratie. Utilizand definitia probabilitatii conditionate pentru fiecare fac-

tor al membrului drept, obtinem

P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) . . . P (An|A1 . . . An1) =

= P(A1) P(A1 A2)P(A1)

P(A1 A2 A3)P(A1 A2) . . .

P(A1 . . . An)P(A1 A2 . . . An1) ,

iar dupa simplificare se obtine formula de nmultire a probabilitatilor.

Teorema 2.2.3 (Formula probabilitatii totale) Daca avem evenimentele Ai K,i

I, care formeaza un sistem complet de evenimente cu P(Ai)

= 0, i

I, atunci

pentru orice eveniment A K avem relatia

P(A) =iI

P(Ai)P(A|Ai).

Demonstratie. Conform ipotezei, avem

A = A = A

iIAi

=

iI

(A Ai).


39/71


40/71

38 Capitolul 2

Asadar, avand n vedere formula probabilitatii totale, avem

P(A) = P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + P(A3)P(A|A3) =

= 0, 708

0, 78 + 0, 104

0, 50 + 0, 188

0, 29 = 0, 6588 = 65, 88%.

Se poate aprecia, n concluzie, ca 65,88% dintre boabele amestecului vor ger-

mina efectiv.

Teorema 2.2.4 (Formula lui Bayes) In conditiile Teoremei 2.2.3, ce exprima

formula probabilitatii totale, la care adaugam conditia P(A) > 0, are loc formula

P(Aj|A) = P(Aj)P(A|Aj)

iIP(Ai)P(A|Ai)

, j I.

Demonstratie. Utilizand formula probabilitatii totale n definitia probabilitatii

conditionate, obtinem

P(Aj|A) = P(Aj A)P(A)

=P(Aj)P(A|Aj)

iIP(Ai)P(A|Ai)

.

Exemplul 2.2.6 In cadrul Exemplului 2.2.5 dorim sa determinam, n plus, pro-

babilitatea ca un bob germinat sa provina din samanta de calitatea II. Pentru

acesta vom utiliza formula lui Bayes si anume

P(A2|A) = P(A2)P(A|A2)P(A)

=0, 104 0, 50

0, 6588= 0, 079 = 7, 9%.

Deci, dintre plantele rasarite efectiv, numai 7,9% vor proveni din samanta de

calitatea II, deci s-ar putea renunta efectiv la samanta de calitatea II.

Observatia 2.2.7 Formula lui Bayes cuprinde probabilitatile P(Ai), P(A|Ai),i I, care se pot calcula nainte de efectuarea experientei, ele se numesc proba-bilitati apriorice (initiale). Trecand la efectuarea experientei se constata ca eveni-

mentul A a avut loc si se cere sa se stabileasca probabilitatile P(Ai|A), i I, carese numesc probabilitati aposteriorice (finale).

Definitia 2.2.5 EvenimenteleA si B se numesc independente daca

P(A B) = P(A)P(B).


41/71


42/71

40 Capitolul 2

iar fiindca P(A)P(B)P(C) =1

2 1

2 1

2=

1

8rezulta ca

P(A B C) = P(A)P(B)P(C),

adica evenimentele considerate A, B si C, desi sunt independente doua cate doua,ele nu sunt independente n totalitate.

Curs 10

2.3 Scheme clasice de probabilitate

Se considera o experienta aleatoare si A un eveniment ce poate sa aiba loc

ca rezultat al acesteia. Pentru a determina probabilitatea acestui eveniment este

necesar sa precizam spatiul probelor asociat experientei (deci multimea tuturor

evenimentelor elementare) si respectiv evenimentele elementare ce favorizeaza re-

alizarea evenimentului A. Deoarece, n multe cazuri, precizarea spatiului probelor,

respectiv a evenimentelor elementare ce favorizeaza un eveniment dat, se face cu

greutate, se recurge la procedee combinatoriale de calcul numite scheme de pro-

babilitate.

2.3.1 Schema lui Bernoulli cu bila revenita (binomiala)

Descrierea schemelor probabilistice o vom face parcurgand anumite etape.

a) Structura urnei. Avem o urna ce contine bile albe si negre. Notam N1

numarul bilelor de culoare alba si cu N2 numarul celor de culoare neagra, iar

N = N1 + N2 este numarul total al bilelor urnei.

b) Tehnica extragerilor. Se extrage o bila, se noteaza culoarea ei si apoi

se reintroduce n urna. Asadar, structura urnei nu se schimba de la o extragere

la alta. Daca notam cu A evenimentul de a extrage o bila alba, atunci A va fi

evenimentul de-a extrage o bila de culoare neagra, iar

P(A) =N1

N= p, P(A) =

N2

N= q, p + q = 1.

c) Formularea problemei. Extragand n bile, dupa tehnica de la punctul b),

se cere sa se determine probabilitatea evenimentului Bn,k ca din n bile extrase, k

sa fie albe.

d) Formula de rezolvare. P(Bn,k) = P(n, k) = Cknp

kqnk.


43/71


Exemplul 2.3.1 Fie experimentul cu un zar iar aruncarea zarului se efectueaz a

de 10 ori. Vrem sa determinam probabilitatea ca numarul compus sa apara de 3

ori. Vom nota cu A evenimentul ca numarul aparut sa fie compus. Prin urmare

P(A) =

2

6 =

1

3 = p, P(A) =

4

6 =

2

3 = q.

Deoarece n = 10, k = 3 obtinem

P(10, 3) = C310

1

3

3 2

3

7= 15

2

3

10.

Exemplul 2.3.2 O unitate hoteliera se considera ca este normal ocupata, daca

cel putin 80% din capacitatea sa este utilizata. Dintr-un studiu statistic s-a obtinut

ca probabilitatea ca hotelul sa fie normal ocupat ntr-o zi este p =7

8. Vrem sa

calculam probabilitatea ca unitatea hoteliera sa fie normal ocupata n cinci zile

din cele sapte zile ale unei saptamani.

Calculul acestei probabilitati se face cu schema Bernoulli cu bila revenita, unde

n = 7, k = 5, p =7

8si q = 1 p = 1

8. Astfel,

P(7, 5) = C57

7

8

51

8

2=

3

8

7

8

6.

2.3.2 Schema urnei cu bila revenita cu mai multe stari

a) Structura urnei. Avem o urna care contine bile de r culori n numar deN1, N2, . . . , N r iar N = N1 + N2 + . . . + Nr reprezinta numarul total al bilelor

urnei.

b) Tehnica extragerii. Se extrage o bila, se noteaza culoarea ei si apoi se

reintroduce n urna. Asadar structura urnei nu se schimba de la o extragere la

alta. Notam cu Ai evenimentul ce consta n a extrage o bila de culoarea a i-a,

i = 1, r si notam pi = P(Ai). Avem

r

i=1 pi = 1.c) Formularea problemei. Se fac n extrageri de bile conform tehnicii descrise

la punctul b) si se cere sa se determine ca din cele n bile extrase sa figureze k1

bile de culoarea ntai, k2 bile de culoarea a doua,. . . , kr bile de culoarea a r-a.

d) Formula de rezolvare.

P(n; k1, k2, . . . , kr) =n!

k1!k2! . . . kr!pk11 p

k22 . . . p

krr .


44/71

42 Capitolul 2

Observatia 2.3.1 Are loc relatia

k1 + k2 + . . . + kr = n.

Exemplul 2.3.3 Se arunca un zar de 10 ori. Vrem s a calculam probabilitatea

de-a obtine fetele cu 1,3,4 puncte de 2 ori, fat a cu 2 puncte o data, fata cu 5puncte de 3 ori iar cea marcata cu 6 puncte niciodata.

Aplicand schema urnei cu 6 stari si notand cu Ai evenimentul de-a extrage

fata cu i puncte, i = 1, 6, vom obtine

p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = P(Ai) =1

6.

Probabilitatea cautata va fi

P(10;2, 1, 2, 2, 3, 0) =

=10!

2! 1! 2! 2! 3! 0!

1

6

2 1

6

11

6

2 1

6

2 1

6

31

6

0=

175

3 66 .

Exemplul 2.3.4 Piesele produse de o masina sunt supuse la doua teste. Proba-

bilitatile ca o piesa sa treaca aceste teste sunt respectiv2

3si

3

4. Vrem sa calculam

probabilitatea ca din cinci piese luate la ntamplare, doua sa treaca ambele teste,

una numai primul test, una numai al doilea test, iar una sa nu treaca nici un test.

Aplicand schema urnei cu mai multe stari unde n = 5, r = 4, k1 = 2, k2 =

k3 = k4 = 1, iar daca se presupune ca cele doua teste sunt independente, avem

p1 =2

3 3

4=

1

2, p2 =

2

3

1 34

=

1

6,

p3 =

1 2

3

3

4=

1

4, p4 =

1 2

3

1 3

4

=

1

12.

Putem scrie:

P(5;2, 1, 1, 1) =5!

2! 1! 1! 1!

1

2

2 1

6 1

4 1

12=

5

96.

2.3.3 Schema urnei cu bila nerevenita (hipergeometrica)

a) Structura urnei. Se considera o urna ce contine N = a + b bile de doua

culori, a bile albe si b bile negre.

b) Tehnica extragerii. Se extrage o bila, se noteaza culoarea si nu se mai

reintroduce n urna. Asadar, structura urnei se schimba de la o extragere la alta.

c) Formularea problemei. Se fac n extrageri conform tehnicii prezentate la

punctul b) si se cere probabilitatea ca printre cele n bile extrase, k sa fie albe.


45/71


d) Formula de rezolvare.

P(n, k) =CkaC

nkb

CnN.

Observatia 2.3.2 Au loc relatiile

a k, b n k, N n.

Exemplul 2.3.5 Intr-un lot de 50 de piese 10 sunt defecte. Se iau la ntamplare

5 piese. Vrem sa calculam probabilitatea ca trei piese din cele 5 sa nu fie defecte.

Aceasta probabilitate se calculeaza cu schema urnei cu bila nerevenita, unde

N = 50, a = 40, b = 10, n = 5, k = 3. Obtinem probabilitatea cautata:

P(5, 3) = C3

40C2

10C550

.

2.3.4 Schema urnei cu bila nerevenita cu mai multe stari

a) Structura urnei. Avem o urna ce contine bile de r culori, anume ai de

culoarea i, pentru i = 1, r iar N este numarul total de bile ale urnei, a1 + a2 +

. . . + ar = N.

b) Tehnica extragerii. Se extrage o bila, se noteaza culoarea si nu se mai

reintroduce n urna. Asadar structura urnei se schimba de la o extragere la alta.

c) Formularea problemei. Se fac n extrageri de bile conform tehnicii b) si

se cere probabilitatea ca din n bile extrase ki bile sa fie de culoarea i, i = 1, r.

d) Formula de rezolvare. Formula este o generalizare evidenta a formulei

anterioare.

P(n; k1, k2, . . . , kr) =Ck1a1 C

k2a2

. . . C krar

Ck1+k2+...+kra1+a2+...+ar.

Exemplul 2.3.6 Un magazin vinde 30 de camasi dintr-un stoc primit de la 3

furnizori, n urmatoarele cantitati: 50 de camasi albastre de la furnizorul F1, 70

de camasi multicolore de la F2 si 110 albe de la F3. Vrem sa calculam probabilitateaca din 30 de camasi vandute, 15 sa fie albastre, 5 multicolore si 10 albe.

Aceasta probabilitate se calculeaza cu schema urnei cu bila nerevenita cu r = 3

stari, unde a1 = 50, a2 = 70, a3 = 110, N = a1 + a2 + a3 = 230, n = 30, k1 = 15,

k2 = 5, k3 = 10. Obtinem probabilitatea cautata:

P(30; 15, 5, 10) =C1550C

570C

10110

C30230.


46/71


47/71


Observatia 2.3.4 Formulele mentionate la schemele anterioare se demonstreaza

enumerand cazurile posibile si cazurile favorabile; considerand aceste enumerari

prea putin instructive, demonstratiile au fost omise.

In subcapitolul prezentat am vorbit despre probabilitate si despre procent ca

despre notiuni similare deoarece practicianul este mult mai obisnuit sa interpretezeun procent decat o probabilitate iar corespondenta acestora este imediata.

Curs 11

2.4 Variabile aleatoare

Fie Eun experiment aleator si spatiul probelor generat de acesta. O vari-abila aleatoare este o marime masurata n legatura cu un asemenea experiment

aleator.

Definitia 2.4.1 Fie campul de probabilitate (, K, P). Numim variabila aleatoa-re de tip discret o aplicatie X : R care satisface conditiile:

1 Multimea X() a valorilor lui X este discreta (cel mult numarabila),

2 Pentru orice x R, evenimentul

(X = x) = { | X() = x} K.

Observatia 2.4.1 Conditia 2 este superflua daca K = P().

Observatia 2.4.2 Definitia urmatoare reprezinta legatura dintre notiunea de

probabilitate si cea de variabila aleatoare.

Definitia 2.4.2 Numim distributia sau repartitia variabilei aleatoare de tip dis-

cret, urmatorul tablou:

Xxi

pi iI ,unde xi R, i I, sunt valorile pe care le ia variabila aleatoare X iar pi = P(X =xi) este probabilitatea cu care variabila aleatoare X ia valoarea xi, pentru fiecare

i I.

Observatia 2.4.3 AvemiI

pi = 1 deoarece evenimentele (X = xi), i I,formeaza un sistem complet de evenimente iar 0 pi 1, i I.


48/71

46 Capitolul 2

Exemplul 2.4.1 In cazul experimentului cu un zar, spatiul probelor atasat este

= {1, 2, . . . , 6} = {1, 2, . . . , 6} unde am notat prin i = i, i = 1, 6, respectivaparitia fetei cu i puncte. Se defineste variabila aleatoare X : R, X(i) =X(i) = pi, i = 1, 6. Distributia variabilei aleatoare X va fi:

X 1 2 3 4 5 61

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

= X i16

i=1,6

unde pi =1

6reprezinta probabilitatea de aparit ie a fetei cu i puncte.

Se mai poate defini si variabila aleatoare Y : R, astfel

Y =

1 daca apare numar compus de puncte,0, daca apare numarul de puncte 1,

1, daca apare numar prim de puncte.Distributia variabilei aleatoare Y va fi urmatoarea:

Y

1 0 126

1

6

3

6

.Definitia 2.4.3 Fie variabilele aleatoare X si Y care au distributiile

X

xi

pi

iI

, Y

yj

qj

jJ

,

unde pi = P(X = xi), qj = P(Y = yj), i I, j J.

Definim urmatoarele operatii:

1 Variabila aleatoare constanta X0 = a are distributia

X0

a

1

.

2 Variabila aleatoare X1 = aX, a = 0, are distributia

X1 axipi iI

deoarece P(X1 = axi) = P(aX = axi) = P(X = xi) = pi, i I.3 Variabila aleatoare suma X+ Y, variabila aleatoare produs XY si variabila

aleatoare catX

Y(daca Y ia valori diferite de zero) au distributiile

X + Y

xi + yj

pij

(i,j)IJ

, XY

xiyj

pij

(i,j)IJ

,


49/71


X

Y

xiyjpij

(i,j)IJ

unde pij = P[(X = xi) (Y = yj)].

Observatia 2.4.4 1) Daca avem o functie continua h : R R si X variabilaaleatoare discreta atunci Z = h(X) este variabila aleatoare discreta cu distributia

Z

h(xi)

pi

iI

.

2) Daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, atunci

pij = P[(X = xi) (Y = yi)] = P(X = xi)P(Y = yj) = piqj .

Exemplul 2.4.2 Daca variabilele aleatoare

X

1 0 20, 3 0, 5 0, 2

, Y

2 10, 4 0, 6

sunt independente, atunci variabila aleatoare X + Y are distributia

X + Y

1 2 1 + 1 0 2 0 + 1 2 2 2 + 1

0, 3 0, 4 0, 3 0, 6 0, 5 0, 4 0, 5 0, 6 0, 2 0, 4 0, 2 0, 6

adica

X + Y 3 0 2 1 0 30, 12 0, 18 0, 20 0, 30 0, 08 0, 12 sau, scriind valorile n ordine crescatoare,

X + Y

3 2 0 1 3

0, 12 0, 20 0, 26 0, 30 0, 12

iar variabila aleatoare produs XY, are distributia

XY

(1) (2) (1) 1 0 (2) 0 1 2 (2) 2 1

0, 3 0, 4 0, 3 0, 6 0, 5 0, 4 0, 5 0, 6 0, 2 0, 4 0, 2 0, 6

adica, scriind direct valorile n ordine crescatoare, obtinem

XY

4 1 0 2

0, 08 0, 18 0, 50 0, 24

.

Observatia 2.4.5 In aplicatiile teoriei probabilitatilor ntalnim clase de vari-

abile aleatoare de tip discret. Forma cea mai generala a unei variabile aleatoare

apartinand unei clase se numeste lege de probabilitate de tip discret.


50/71

48 Capitolul 2

2.4.1 Legea binomiala

Definitia 2.4.4 Variabila aleatoare de tip discret X urmeaza legea binomiala

daca are distributia

X kP(n, k) k=0,n

,

unde P(n, k) = Cknpkqnk, k = 0, n, p (0, 1), q = 1 p.

Observatia 2.4.6 Probabilitatile P(n, k), k = 0, n, ce intervin n distributia lui

X sunt cele din schema lui Bernoulli cu bila revenita (binomiala), iar variabila

aleatoare X reprezinta numarul bilelor albe ce figureaza printre cele n bile extrase.

2.4.2 Legea hipergeometrica

Definitia 2.4.5 Variabila aleatoare de tip discret X urmeaza legea hipergeome-trica daca are distributia

X

k

P(n, k)

k=0,n

,

unde

Pn,k =CkaC

nkb

Cna+b,

iar n min(a, b).

Observatia 2.4.7 Probabilitatile P(n, k) ce intervin n distributia lui X sunt

cele din schema urnei cu bila nerevenita (hipergeometrica).

2.4.3 Legea lui Poisson

Definitia 2.4.6 Variabila aleatoare de tip discret X urmeaza legea lui Poisson

daca are distributia

X

k

pk()

k=0,1,2,...

,

unde

pk() =k

k!e, > 0.

Observatia 2.4.8 Legea lui Poisson este numita si legea evenimentelor rare.

Exemplul 2.4.3 Variabila aleatoare X poate sa reprezinte numarul apelurilor

ntr-o centrala telefonica care este rar ntr-un interval scurt de timp, sau, n mod

analog, numarul accidentelor de circulatie dintr-o intersectie sau numarul greselilor

de tipar dintr-o pagina. S-a constatat, prin urmare ca X urmeaza legea lui Poisson.


51/71


Definitia 2.4.7 Fie campul de probabilitate (, K, P). Numim variabila aleatoa-reoarecare o aplicatie X : R care ndeplineste conditia

(X < x) = { | X() < x} K, x R.

Observatia 2.4.9 Daca X si Y sunt variabile aleatoare, atunci aX (a R), |X|,Xn,

1

X(X = 0), X + Y, XY, X

Y(Y = 0) sunt variabile aleatoare.

Curs 12

Observatia 2.4.10 Vom prezenta n continuare o notiune, numita functie de

repartitie, care reprezinta o alta legatura ntre notiunea de variabila aleatoare si

cea de probabilitate.

Definitia 2.4.8 Se numeste functie de repartitie asociata variabilei aleatoare X,

functia F : R R definita astfel F(x) = P(X < x), pentru orice x R.

Observatia 2.4.11 Daca variabila aleatoare X este de tip discret, cu distributia

X

xi

pi

iI

,

atunci functia de repartitie asociata va fi de forma

F(x) = P(X < x) = xi


52/71


53/71


Demonstratie. 1) Deoarece, prin definitie, functia de repartitie este o probabili-

tate, avem 0 F(x) 1, pentru orice x R.2) P(a X < b) = P[(X < b) (X a)] = P[(X < b) (X < a)] =

P[(X < b) \ (X < a)]. Deoarece (X < a) (X < b) obtinem n continuare

P(a X < b) = P(X < b) P(X < a) = F(b) F(a).

3) limx

F(x) = limx

P(X < x) = P() = 0, respectivlim

x+F(x) = lim

x+P(X < x) = P() = 1.

4) Utilizand proprietatea 2) obtinem

0 P(x1 X < x2) = F(x2) F(x1), adica F(x1) F(x2).

5) Rationamentul este analog celui de la punctul 3).

Observatia 2.4.12 Functia de repartitie F a unei variabile aleatoare de tip dis-

cret, X

xi

pi

iI

este o functie n scara cu punctele de discontinuitate xi iar

salturile (marimile salturilor) n aceste puncte de discontinuitate sunt tocmai pro-

babilitatile pi, i I.

Definitia 2.4.9 Despre variabila aleatoare X vom spune ca este de tip continuu

daca functia de repartitie asociata ei este continua, adica F se poate reprezenta

sub forma

F(x) = x

(t)dt, pentru orice x R,

functia : R R numindu-se densitatea de probabilitatea variabilei aleatoare X.

Teorema 2.4.2 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

1) F(x) = (x),

2) Pentru orice x R, avem (x) 0,3) Pentru a < b, avem P(a x < b) =

ba

(x)dx,

4) + (x)dx = 1.Demonstratia este imediata, conform Teoremei 2.4.1.

Exemplul 2.4.5 Fie X variabila aleatoare continua cu densitatea de probabili-

tate (x) = 3x2, x [0, 1]. Vrem sa determinam functia de repartitie a lui Xprecum si functiile de repartitie, respectiv densitatile de probabilitate ale vari-

abilelor aleatoare Y = X2, Z = 2X si T = ln X.


54/71

52 Capitolul 2

Pentru variabila aleatoare X, functia de repartitie are expresia

F(x) = P(X < x) =

x0

(t)dt =

x0

3t2dt = x3, pentru orice x [0, 1].

Variabila aleatoare Y = X2

, y [0, 1], are functia de repartitieF1(y) = P(Y < y) = P(X

2 < y) =

= P(X 0, a < b.

6

-

(x)

1ba

O a b x

Figura 2.4.2.

Functia de repartitie pentru o asemenea variabila aleatoare X, ce urmeaza

legea uniforma pe [a, b], se determina conform relatiei de definitie,

F(x) = x

(t)dt.

Deosebim cazurile:

- pentru x < a,

F(x) =

x

0dt = 0,

- pentru a x b,F(x) =

x

(t)dt =

a

0dt +

xa

1

b a dt =x ab a ,

- pentru x > b,

F(x) =a

0dt +ba

1

b a dt +xb

0dt = 1.

Prin urmare,

F(x) =

0, daca x < a,x ab a , daca a x b,1, daca x > b,

iar reprezentarea grafica este urmatoarea

6

-

F(x)

O a b x

1

Figura 2.4.3.


56/71

54 Capitolul 2

2.4.5 Legea normala

Definitia 2.4.11 Spunem ca variabila aleatoare X urmeaza legea normala(legea

lui Gauss) de parametri m R si > 0, notam aceasta prin N(m, ), daca aredensitatea de probabilitate

(x) =1

2e

(xm)222 , pentru orice x R.

Reprezentarea grafica a densitatii de probabilitate este data n fig.2.4.4. Acest

grafic reprezinta o curba, care modeleaza foarte multe fenomene aleatoare si este

numit curba sau clopotul lui Gauss.

6

-x

(x)

12

O m m + m

Figura 2.4.4.

Daca variabila aleatoare X urmeaza legea normala N(0, 1), atunci spunem ca

X urmeaza legea normala redusa.

Functia de repartitie pentru variabila aleatoare X ce urmeaza legea normala

N(m, ) este

F(x) =

x

(t)dt =1

2

x

e(tm)2

22 dt, pentru orice x R

si are graficul dat n fig.2.4.5.


57/71


6

-O

F(x)

1

12

m x

Figura 2.4.5.

Observatia 2.4.14 Pentru calculul valorilor functiei de repartitie F, se foloseste

formula

F(x) =1

2+ x m ,

unde functia se numeste functia lui Laplace si este definita prin

(x) =12

x0

et2

2 dt, pentru orice x R.

Intr-adevar, daca se face schimbarea de variabilat m

= u, avem

F(x) =1

2 x

e(tm)2

22 dt =1

2 xm

eu2

2 du =

=12

0

eu2

2 du +12

xm

0

eu22 du =

=1

2+

x m

,

deoarece (u) =12

eu2

2 , u R, (u) = (u) iar

(u)du = 20

(u)du = 1,

adica 0

(u)du =1

2.

Functia lui Laplace, , este tabelata n Anexa 1, pentru x > 0. In cazul n

care x < 0, atunci (x) = (x).


58/71

56 Capitolul 2

2.4.6 Legea exponentiala negativa

Definitia 2.4.12 Spunem ca variabila aleatoare X urmeaza legea exponentiala

negativa daca functia densitate de probabilitate asociata are forma

(x) = ex, daca x > 0,0, daca x 0, > 0.

Functia de repartitie corespunzatoare va fi

- daca x > 0,

F(x) = P(X < x) =

x0

etdt = 1 ex,

- daca x 0,F(x) = P(X < x) = 0

si deci

F(x) =

0, daca x 0,1 ex, daca x > 0.

Graficele asociate functiilor (x) si F(x) sunt prezentate n figurile urmatoare.

6

-xO

(x)6

-O x

F(x)

1

Figura 2.4.6. Figura 2.4.7.

Definitia 2.4.13 Variabila aleatoare X urmeaza legea gamma, daca are densi-

tatea de probabilitate

(x) =

1

(a)baxa1e

xb , daca x > 0

0, daca x 0,

cu parametrii a, b > 0, iar (a) este functia lui Euler de speta a doua, adica

(a) =

0

xa1exdx.


59/71


Definitia 2.4.14 Variabila aleatoare X urmeaza legea beta, daca are densitatea

de probabilitate

(x) = 1

B(a, b)xa1(1 x)b1, daca x [0, 1],

0, daca x [0, 1],cu parametrii a, b > 0, unde B(a, b) este functia lui Euler de speta ntai, adica

B(a, b) =

10

xa1(1 x)b1dx.

Curs 13

2.5 Caracteristici numerice asociate variabileloraleatoare

Orice variabila aleatoare poate fi studiata cu ajutorul functiei sale de

repartitie. Totusi, de multe ori este necesara si o prezentare mai sumara a vari-

abilelor aleatoare prin intermediul unor numere numite caracteristici numerice sau

valori tipice. Determinarea practica a acestor valori tipice se face, de regula, mai

usor decat determinarea functiei de repartitie, care, n majoritatea cazurilor, mai

depinde de anumiti parametri care pot fi determinati cu ajutorul caracteristicilor

numerice. Prin intermediul acestor valori tipice se pot efectua studii compara-

tive ntre mai multe variabile aleatoare si se poate pune un diagnostic asupra

fenomenului caracterizat de variabila aleatoare.

Definitia 2.5.1 Fie I o multime cel mult numarabila de indici. Numim valoare

medie pentru variabila aleatoare X de tip discret, X

xi

pi

iI

, caracteristica

numerica

M(X) = iI xipi.Exemplul 2.5.1 Fie experimentul cu un zar, n cadrul caruia, variabila aleatoare

Y este definita astfel:

Y =

1, daca apare numar compus,0, daca apare numarul 1,

1, daca apare numar prim.


60/71

58 Capitolul 2

Distributia variabilei aleatoare va fi

Y

1 0 11

3

1

6

1

2

,

iar valoarea medie a lui Y va fi

M(Y) = (1) 13

+ 0 16

+ 1 12

=1

6.

Defin

12 1 2003 Matematici Aplicate in Economie Lect Univ Cristina Fatu

Documents

Transcript of 12 1 2003 Matematici Aplicate in Economie Lect Univ Cristina Fatu