CUPRINSCAPITOLUL I ECUAII DIFERENIALE

1. Ecuaii difereniale. Soluia general.Soluii particulare. Interpretarea geometric. Exemple. Problema Cauchy8 2. Ecuaii difereniale de ordinul nti rezolvate n raport cu y', integrabile prin metode elementare. 9 2.1. Ecuaii cu variabile separate 9 2.2. Ecuaii omogene 9 2.3. Ecuaii reductibile la ecuaii omogene................................................... 9 2 4. Ecuaii difereniale liniare de ordinul nti11 2.5. Ecuaia lui Bernoulli. 11 2.6. Ecuaia lui Riccati. 12 2.7. Ecuaia lui Lagrange i Clairaut12 3. Ecuaii difereniale de ordin superior. 13 4. Ecuaii difereniale de ordinul n, liniare.Dependena liniar. Wronskian. Soluia generala unei ecuaii difereniale liniare14 5. Ecuaii difereniale de ordinul n, liniare i neomogene.Soluia general. Metoda variaiei constantelor pentrudeterminarea unei soluii particulare a ecuaiei neomogene. Exemplu 16 6. Ecuaii difereniale de ordinul n, liniare,cu coeficieni constani.. 20 7. Ecuaii neomogene. Determinarea soluiei particulare21 8. Ecuaia lui Euler. Exemplu. 23 9. Sisteme de ecuaii difereniale. Exemplu 25 10. Sisteme simetrice. Definiie. Integrale prime.Combinaii integrabile. Exemple...27 11. Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti liniare i omogene. Sistem caracteristic.Soluie general. Exemplu 29 12. Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti cvasiliniare. Exemplu 30 13. Probleme propuse 32

CAPITOLUL II . FUNCII COMPLEXE1. Corpul numerelor complexe.Construcia i reprezentarea numerelor complexe. ........................................................................ 34 2. Elemente de topologie n corpul numerelor complexe. Proiecia stereografic. ................................................................. 37 3. iruri i serii de numere complexe. ..................... 42

4. Funcii complexe de variabil real. Limita ntr-un punct.Continuitate. Derivata i difereniala.Integrala Riemann.Primitiv. ..... 45 5. Funcii monogene.Derivata unei funcii complexe.Condiiile de monogeneitate Cauchy-Riemann.Proprieti. .............................................47 6. Determinarea unei funcii olomorfe pe un domeniu cnd se cunoate partea real sau partea imaginar.Exemplu. ............49 7. Interpretarea geometric a derivatei.Transformarea conform. Exemplu. ............................................................................... 52 8. Integrala curbilinie n planul complex.Definiie.Principiul de calcul . Proprieti. ................................................................ 55 9. Teorema lui Cauchy. ..........58 10.Formula integral a lui Cauchy. ... .61 11.Serii de puteri.Teorema lui Abel.Dezvoltri n serie Taylor. 62 12.Seria lui Laurent.Puncte singulare. ... 65 13.Reziduu.Teorema reziduurilor.Exemplu. ..... 68 14.Aplicaii ale teoremei reziduurilor.Teorema semireziduurilor.Exemple. 72 15.Funcii elementare. ..... . 76 16.Probleme propuse. ......... 80

CAPITOLUL III . FUNCII SPECIALE1. Sisteme de funcii ortogonale.Polinoamele lui Laguerre. Polinoamele lui Cebev. .............................................................. 46 2. Funciile lui Euler. .. 48 3. Funciile lui Bessel. .... 51 4. Polinoame Hermite.Relaia de recuren.Ecuaia diferenial. Proprieti. Funcia generatoare. 54 5. Polinoame Legendre.Relaia de recuren.Ecuaia diferenial. Proprieti. Funcia generatoare. .. 55 6. Probleme propuse. ... 57

CAPITOLUL IV . SERII FOURIER1. Serii Fourier pentru funcii. Funcii periodice. Transformata periodic. Dezvoltarea n serie Fourier a unei funcii periodice cu perioada 2.Exemplu. ............................................................................................... 59 2. Seria Fourier a funciilor pare sau impare. .. 61 3. Dezvoltarea n serie Fourier a funciilor definite pe (-l,l). Exemplu. . 62 4. Dezvoltarea n serie Fourier dup cosinusuri sau sinusuri a unei funcii definite pe intervalul (0,l).Exemplu. . 63 5. Forma complex a seriilor Fourier. 66 6. Dezvoltarea unei funcii n serie de funcii ortogonale.Aproximarea funciilor n medie ptratic. Relaia de nchidere a lui Parseval. .. 67

7. Probleme propuse. .

70

CAPITOLUL V . TRANSFORMRI INTEGRALE1. Integrala Fourier.Forma complex i forma real a integralei Fourier. Cazul funciilor pare sau impare. .. 2. Transformata Fourier. ... 3. Transformata Laplace. Proprieti. ... 4. Transformarea invers. Formula Mellin-Fourier. ..... 5. Teoreme de dezvoltare.Exemple. . 6. Aplicaii ale transformatei Laplace.Rezolvarea operaional a ecuaiilor difereniale i a sistemelor de ecuaii difereniale sau cu coeficieni constani. Exemple. ......... 7. Probleme propuse. 72 74 77 82 83 86 88

CAPITOLUL VI. ECUAIILE FIZICII MATEMATICE1. Observaii generale asupra ecuaiilor cu derivate pariale..... 1.1.Definiii i exemple... 1.2.Clasificarea ecuaiilor liniare de ordinul al doilea... 1.3.Forma canonic a ecuaiilor liniare de ordinul al doilea... 1.4.Probleme de baz ale teoriei ecuaiilor cu derivate pariale. Condiii la limit i condiii Cauchy....... 1.5.Probleme de fizic ce conduc la ecuaii cu derivate pariale de ordinul al doilea......................................................................... 2. Ecuaii cu derivate pariale de ordinul doi.Clasificare. Reducerea la forma canonic. ............................................................ 3. Ecuaii liniare i omogene n raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficieni constani. .......... 4. Coarda infinit.Metoda schimbrii variabilelor (metoda lui DAlambert i Euler). Formula lui DAlambert. ....... 5. Coarda finit. Metoda separrii variabilelor (D.Bernoulli i Fourier). ...... 6. Ecuaii de tip eliptic.Formularea problemelor la limit.Soluii particulare ale ecuaiei lui Laplace. .... 7. Problema lui Dirichlet pentru cerc. Formula lui Poisson. . 8. Problema lui Neumann pentru interiorul cercului.Formula lui Dini . 9. Ecuaia cldurii. . 10.Proprietti ale funciilor armonice.Prima formul a lui Green. A doua formul a lui Green. ... 11.Probleme propuse. . 90 90 91 93 95 98 104 110 113 117 121 125 131 132 135 140

CAPITOLUL VII . ELEMENTE DE CALCUL VARIAIONAL1. Probleme geometrice i mecanice de calcul variaional. Funcional. Funcii admisibile.Clasificarea extremurilor funcionalelor (extreme absolute, extreme relative). Lemele fundamentale ale calculului variaional. ............ 2. Condiii necesare de extrem. Ecuaia lui Euler. Condiia lui Legendre. ... 3. Funcionale coninnd derivate de ordin superior.Ecuaia Euler-Poisson. Condiia lui Legendre. Exemplu. ... 4. Funcionale depinznd de mai multe funcii.Sistemul Euler-Lagrange. Condiia Legendre. Exemplu. ..... 5. Funcionale determinate prin integrale multiple.Ecuaiile lui Euler-Ostrogradski. Exemplu. ... 6. Probleme izoperimetrice.Extreme condiionate ale funcionalelor. Teorema lui Euler. Problema lui Lagrange. Exemplu. ... 7. Probleme propuse. .

144 151 154 156 159 161 165

CAPITOLUL VIII . DISTRIBUII1. Spaiile de funcii Lp, K,S,C ...... 2. Spaiul distribuiilor. Operaii cu distribuii. Exemple. . 3. Derivarea distribuiilor. Produsul direct i produsul de convoluie. Proprieti. .................................................................................. 4. Aplicaii ale teoriei distribuiilor. ... 5. Reprezentarea unui cuplu concentrat. 6. Calculul variaional n distribuii.Probleme discontinue. .. 7. Probleme propuse. . 167 169 172 173 175 177 180

CAPITOLUL IX PROBABILITILOR

ELEMENTE

DE

TEORIA

1.Cmp de evenimente.Cmp de probabiliti.Definiia axiomatic a probabilitii (A.N.Kolmogorov). ... 2. Probabiliti condiionate. .................. 3. Probabilitatea evenimentelor rezultate din operaii cu evenimente. .. 3.1. Reuniunea evenimentelor compatibile. ................................................. 3.2. Intersecia evenimentelor dependente i independente. ........................ 3.3. Inegalitatea lui Boole. Exemplu. ... 3.4. Formula probabilitii totale. Formula lui Bayes. Exemplu. ................. 4. Scheme probabilistice clasice. ....................................................................... 4.1 Schema urnei cu bile nerevenite. Exemplu. ........................................... 4.2. Schema urnei cu bile revenite. Exemplu ...............................................

182 188 189 189 189 190 191 193 193 194

4.3. Schema urnelor Poisson*. Exemplu. ..................................................... 5. Variabile aleatoare. .................... 5.1. Introducere. Variabile aleatoare. Distribuia unei variabile aleatoare.... 5.2. Operaii cu variabile aleatoare. .............................................................. 5.3. Funcia de repartiie a unei variabile aleatoare. ..................................... 6. Caracteristici ale variabilei aleatoare. ............................................................. 6.1 Tendina central de grupare a distribuiei. ............................................ 6.2 mprtierea distribuiei variabilei aleatoare. ......................................... 7. Funcia caracteristic ataat unei variabile aleatoare. ................................... 8. Inegalitatea Bienayme Cebev. .................................................................. 9. Distribuii clasice. ........................................................................................... 9.1 Legea binomial. .... 9.2 Distributia normal (Laplace i Gauss). ..... 9.3 Distributia Gama. 9.4 Distributia Beta. .. 9.5 Distribuia 2 (hi -ptrat)......................................................................... 9.6 Repartiia Poisson (legea evenimentelor rare). ... 9.7 Repartiia t ( Student ). 10. Convergena n repartiie sau n sens Bernoulli. ... 11.Variabile aleatoare bidimensionale (discrete i continue). Repartiii marginale. ............................................................................... 12. Convariana i corelaia a dou variabile aleatoare. ..................................... 13. Aplicaii ale teoriei probabilitilor n teoria fiabilitii. .............................. 14. Probleme propuse.

196 196 196 198 199 201 202 205 209 211 212 212 213 217 218 218 220 221 223 225 227 228 232

CAPITOLUL X PROBLEME DATE LA CONCURSUL DE MATEMATICTRAIAN LALESCU, anul II (politehnic), (fazele naionale)-19801996- (selectiv). .. 234

BIBLIOGRAFIE . 239

CAPITOLUL IECUAII DIFERENIALE1. Ecuaii difereniale. Soluia general. Soluii particulare. Interpretarea geometric. Exemple. Problema Cauchy.

Definiie. Fie F(x,y,y',,y(n)) o funcie real definit pe [a,b] Y,Y R n +1 , avnd argumente variabila real x [ a, b] i funcia real y mpreun cu derivatele ei y ' , y ' ' ,..., y (n ) . Relaia: (1) F(x,y,y',,y(n))=0 se numete ecuaie diferenial de ordinul n, dac se cere s se determine funciile y=f(x) definite pe intervalul [a,b], avnd derivate pn la ordinul n inclusiv n orice punct al intervalului [a,b] astfel nct s avem: F(x,f(x),f' (x),,f(n)(x))=0 pentru orice x [a, b] . Funciile reale f(x) care ndeplinesc condiiile de mai sus se numesc soluii ale ecuaiei difereniale (1). Dac (1) poate fi scris: (2) y(n)=f(x,y,y',,y(n-1))

atunci (2) se numete forma normal a ecuaiei (1). Dac n=1, din (1) avem F(x,y,y')=0 care este o ecuaie diferenial de ordinul nti (sau y'=f(x,y) forma explicit). Soluiile ecuaiei F(x,y,y')=0 se pot pune sub forma y=(x,C), C constant i se numesc soluii generale. Dac dm lui C o valoare particular obinem o soluie particular. Ecuaia y=xy'+y' are soluia general y=Cx+C2i y = 2

x2 numit 4

soluiesingular. Din punct de vedere geometric, ecuaiady = f ( x, y), ( x, y ) D reprezint un cmp de direcii, graficul unei soluii dx

y= (x) este o curb situat n D, cu proprietatea c n fiecare punct (x,y) al su, tangenta la curb reprezentat printr-un vector face cu axa Ox un unghi , astfel c tg=f(x,y).

8

2. Ecuaii difereniale de ordinul nti rezolvate n raport cu y', integrabile prin metode elementare. 2.1. Ecuaii cu variabile separate. Ecuaia diferenial (1) P(x)dx+Q(y)dy=0 se numete ecuaie cu variabile separate. Soluia general se obine astfel:x0

P( x)dx + Q( y )dy = Cy0

x

y

2.2. Ecuaii omogene. Ecuaiile difereniale omogene sunt de forma: (2)dy y = f . dx x

Dac se face schimbarea de funcie: y=tx, ecuaia (2) se transform ntr-o ecuaie cu variabile separate. ntr-adevr, avem:dy dt = x +t dx dx

i ecuaia (2) devine: x variabile separate.

dt dx dt = + t = f (t ) sau care este o ecuaie cu f (t ) t x dx

y 1 dy x = . Efectund substituia Exemplu. S se rezolve ecuaia: dx y +1 x y t +1 dx y=tx ecuaia devine: 2 dt = de unde integrnd i revenind la t = , x x t +1 y obinem integrala general: ln x 2 + y 2 + arctg = C . x

2.3. Ecuaii reductibile la ecuaii omogene. Ecuaia de forma:

9

(3) unde y' =

a x + b1 y + c1 y' = f 1 a x+b y+c 2 2 2

dy , a k , bk , ck R (k = 1,2 ) este reductibil la o ecuaie omogen. dx

1)Dac c1=c2=0, ecuaia este omogen de tipul anterior. 2 2) Dac c12 + c2 0 i a1b2 a2 b2 0 dreptele a1 x + b1 y + c1 = 0 i a2 x + b2 y + c2 = 0 nu sunt paralele i se intersecteaz n punctul (x0,y0). n acest caz facem substituia: i ecuaia (3) devine: x = x0 + u y = y0 + v

a u + b1v dv = f 1 a u + b v . Cu ajutorul substituiei v=ut se du 2 2

obine o ecuaie cu variabile separate.2 3) Dac c12 + c2 0, a1b2 a2 b1 = 0, dreptele sunt paralele deoarece

a1 b1 1 = = . n acest caz ecuaia (3) se poate scrie sub forma: a 2 b2 k a x + b1 y + c1 y' = f 1 k (a x + b y ) + c i dac facem substituia z=a1x+b1y 1 1 2

ecuaia devine:1 dz a1 = b1 dx z + c1 f kz + c , care se poate transforma ntr-o ecuaie cu variabile 2

separate. Exemplu. S se integreze ecuaia :y' = x+ y 3 . x y +1

Dreptele x+y+3=0, x-y+1=1 se intersecteaz n punctul (1,2); cu ajutorul schimbrii x=u+1, y=v+2 obinem ecuaia:dv u + v (omogen). = du u v

Efectund substituia v=tu obinem o ecuaie cu variabile separate: 1 t du 1 dt = care dup integrare d soluia: arctgt ln(1 + t 2 ) = ln u + C sau 2 u 2 1+ t cu ajutorul variabilelor x i y gsim:arctg y2 = ln ( x 1) 2 + ( y 2) 2 + C. x 1

10

2.4. Ecuaii difereniale liniare de ordinul nti. O ecuaie de forma: (4) y'+P(x)y=Q(x) unde P(x) i Q(x) sunt funcii continue pe [a,b], se numete ecuaie diferenial liniar de ordinul nti. Pentru rezolvarea ecuaiei (4) vom rezolva mai nti ecuaia y+P(x)y=0 numit ecuaia liniar omogen. Aceasta este cu variabile separate:dy = P ( x)dx cu soluia general y P ( x ) dx y = Ce . Cutm pentru ecuaia neomogen (4) o soluie de forma: P ( x ) dx y = C ( x )e .

nlocuind aceast soluie n (4) rezult: sauC ' ( x ) = Q ( x )e P ( x ) dx

P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx C ' ( x )e + C ( x )e ( P ( x)) + P ( x)C ( x)e = Q( x)

.

Integrnd obinem funcia C(x):C ( x) = Q( x) e dx + C1 , C1 constant. (5) Rezult soluia general a ecuaiei (4) sub forma:P )( x ) dx

(6)

P ( x ) dx P ( x ) dx y=e C1 + Q( x) e dx .

Metoda folosit pentru determinarea soluiei generale (6) se numete metoda variaiei constantei. 2.5. Ecuaia lui Bernoulli. Ecuaia lui Bernoulli este de forma: (7) y+P(x)y= Q(x) y unde P(x), Q(x) sunt continue pe [a,b], este o constant 0 i 1 (altfel avem o ecuaie liniar). Dac se efectueaz schimbarea de variabil z=y1- ecuaia (7) a lui Bernoulli se reduce la o ecuaie liniar. ntr-adevr, dac se mparte cu y n (7), obinem11

(8)

1 1 y '+ P ( x) 1 = Q ( x). y y

Observm c z ' = (1 ) y y ' de unde devine:

y' z' = i ecuaia (8) (1 ) y

z '+ (1 ) P ( x ) z = (1 )Q ( x ) (9) care este o ecuaie diferenial liniar de ordinul I n z. Apoi se obine y din relaia z=y1-.

2.6. Ecuaia Riccati. O ecuaie diferenial de forma y '+ P( x) y 2 + Q( x) y + R( x) = 0 (10) cu P(x), Q(x), R(x) funcii continue pe un interval [a,b] se numete ecuaia Riccati. Dac se cunoate o soluie particular a ecuaiei (10), yp, prin schimbarea de variabil y = y p + liniar. Avem: y ' = y ' p 1 ecuaia se transform ntr-o ecuaie z

z' i ecuaia (10) devine: z2 2 1 1 z' y ' p 2 + P( x) y p + + Q( x) y p + + R( x) = 0 z z z 1 z '(2 y p P( x) + Q( x)) z P ( x) = 0 z

sauy ' p + P( x) y 2 + Q( x) y p + R ( x) p

[

]

i pentru c yp este soluie a ecuaiei (10) obinem ecuaia: z'- (2ypP(x)+Q(x))z-P(x)=0 care este o ecuaie liniar n z. 2.7. Ecuaia lui Lagrange i Clairaut. Ecuaia lui Lagrange este de forma: y = x ( y ' ) + ( y ' ) (11) Integrarea ecuaiei lui Lagrange se reduce la integrarea unei ecuaii liniare n modul urmtor. n (11) nlocuim y=p i obinem: y = x ( p) + ( p). Derivm n raport cu x i obinem: p = ( p) + x ' ( p) p'+ ' ( p) p'12

sau: Dac p ( p) 0, p' = (12)

p ' ( x ' ( p ) + ' ( p )) = p ( p )dp obinem ecuaia liniar: dx dx '( p) '( p) + x= dp ( p ) p p ( p)

Rezolvnd ecuaia liniar (12) obinem soluia ecuaiei (11) sub form parametric: (13) x = f (C , p ) y = ( p ) f (C , p ) + ( p )

parametrul fiind p, iar C o constant arbitrar. Dac n (11) considerm ( y ') = y ' obinem ecuaia y = xy '+ ( y ') (14) numit ecuaia lui Clairaut. Notm cu y'=p i avem y = xp + ( p ). Derivm n raport cu x i obinem: p = p + xp'+ ' ( p ) p ' sau p ' ( x + ' ( p )) = 0. Sunt dou posibiliti: 1) p'= 0 deci p=C i nlocuind n (14) obinem: (15) y = C x + (C ) care este o familie de drepte i este soluie general a ecuaiei Clairaut. 2) x + ' ( p) = 0, pe care dac o nlocuim n (14) obinem soluia: x = ' ( p ) , p [a,b]. (16) y = p ' ( p ) + ( p ) numit integrala singular. Observaie. Se poate arta c integrala singular este nfurtoarea familiei de curbe pe care o reprezint soluia general. 3. Ecuaii difereniale de ordin superior. O ecuaie diferenial de forma: F ( x, y, y, ' y ' ' ,..., y ( n ) ) = 0 (1) este de ordin superior daca n 2, n N. Funcia y = ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) este soluie general a ecuaiei (1). Problema Cauchy este problema determinrii soluiei y = ( x ), x [ a, b] care ndeplinete condiiile iniiale13

( (2) y ( x0 ) = y 0 , y ' ( x0 ) = y '0 ,..., y ( n 1) ( x0 ) = y 0n 1) ( valorile y 0 , y ' 0 ,..., y 0n 1) fiind date.

Ecuaii difereniale integrabile prin cuadraturi Ecuaia y(n)=0 are, ca soluie general, un polinom arbitrar de gradul Ecuaia F ( x, y ( k ) , y ( k +1) ,..., y ( n ) ) = 0 se transform prin substituia y(k)=u ntr-o ecuaie diferenial de ordinul n k : F ( x, u , u ' , u ' ' ,..., u ( n k ) ) = 0 . Ecuaia F ( x, y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 omogen n y, y ,,y(n), i se reduce y' ordinul cu o unitate prin schimbarea de funcie = u . ntr-adevr y 2 y ' = yu , y ' ' = y ' u + yu ' = y (u + u ' ) etc. Exemplu. S se integreze ecuaia diferenial x 2 yy ' ' = (2 y + xy ' ) 2 , x 0 Cu y ' i y ' ' calculai mai sus ecuaia devine:x 2 y 2 (u 2 + u ' ) = (2 y + xyu) 2 4 4 sau u ' u = 2 care este o ecuaie liniar n u , u ' cu soluia: x x 4 u = C1 x 4 . 5x y' y' 4 = C1 x 4 rezult ecuaia: care este o ecuaie cu nlocuind u = y y 5x

n-1.

variabile separate i care are soluia general: y = C 2 x

4 x5 C1 5 5

e, x 0 .

4. Ecuaii difereniale de ordinul n, liniare. Dependena liniar. Wronskian. Soluia general a unei ecuaii difereniale liniare. O ecuaie diferenial de forma: a0 ( x) y ( n ) + a1 ( x) y ( n1) + ... + an1 ( x) y'+ an ( x) y = f ( x) (1) se numete ecuaie diferenial de ordinul n, liniar i neomogen; o ecuaie diferenial de forma:

14

a0 ( x) y ( n ) + a1 ( x) y ( n1) + ... + a n1 ( x) y '+ a n ( x) y = 0 (2) se numete ecuaie diferenial de ordinul n, liniar i omogen. Dac y1, y2, ,yn sunt soluii ale ecuaiei (2) atunci i y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n (3) unde C1, C2, ,Cn sunt constante arbitrare, este de asemenea soluie a ecuaiei (2). Definiie. Fie y1(x), y2(x),,yn(x) n funcii pe un interval [a,b]. Se spune c aceste funcii sunt liniar independente pe [a,b] dac nu exist n 1 , 2 ,..., n nu numere toate nule, astfel nct s avem 1 y1 ( x) + 2 y 2 ( x) + ... + n y n ( x ) = 0 pentru orice x [ a, b] .

Exemplu. Funciile 1, x, ex sunt liniar independente pe R deoarece condiia 1 + 2 x + 3 e x = 0 pentru orice x R implic 1 = 2 = 3 = 0. Fie y1(x), y2(x),,yn(x), n funcii derivabile continue, pn la ordinul n-1 inclusiv, pe intervalul [a,b]; determinatul urmtor y1 y2 yn ... (4)W ( y1 , y2 ,..., y n ) = y '1 y1( n1) y '2( y 2n1)

...

y 'n

( ... ynn1)

se numete wronskianul funciilor y1, y2,,yn. Dac funciile y1(x), y2(x),,yn(x), derivabile continue pn la ordinul n-1 inclusiv pe [a,b], sunt liniar dependente pe [a,b], atunci wronskianul lor este nul n orice punct din [a,b]. Are loc: Teorema. Dac y1, y2,,yn sunt liniar independente pe [a,b] i dac wronskianul: W(y1, y2,,yn, y)=0 pentru orice x [ a, b] , atunci y este o combinaie liniar de funciile y1, y2,,yn adic: (5) y=C1y1+C2y2++Cnyn

unde C1, C2,,Cn sunt constante. S considerm ecuaia diferenial de ordinul n, omogeny ( n ) + a1 ( x) y ( n 1) + ... + a n 1 ( x) y = 0 (6) cu a1(x), a2(x),,an(x) funcii continue pe [a,b].15

Fie y1, y2,,yn, n soluii ale ecuaiei date, definite pe [a,b], atunci orice soluie a ecuaiei (6) pe [a,b] este de forma. (7) y=C1y1+C2y2++Cnyn, x [ a, b] , unde C1, C2,, Cn sunt constante. Funcia y din (7) se numete soluie general a ecuaiei (6) pe [a,b]. Un sistem de soluii y1, y2,,yn ale ecuaiei (6), definit pe [a,b] cu W(y1, y2,,yn )0 pe [a,b] se numete sistem fundamental de soluii al ecuaiei (6). Astfel, dac y1, y2,,yn, formeaz un sistem fundamental de soluii pe [a,b], atunci y=C1y1+C2y2++Cnyn, x [ a, b] , se numete soluie general a ecuaiei (6) pe [a,b]. Dac y1, y2,,yn formeaz un sistem fundamental pe [a,b] atunci ele sunt liniar independente pe [a,b] i reciproc. Fie ecuaia diferenial liniar de ordinul n, omogen: a 0 y ( n ) + a1 ( x) y ( n 1) + ... + a n 1 ( x) y '+ a n ( x) y = 0. (8) Dac cunoatem o soluie particular y1 a ecuaiei date, prin schimbarea de variabil y=y1z, i putem micora ordinul cu o unitate. Obinem succesiv:1 n y = y1 z , y ' = y1 ' z + y1 z ' , y ' ' = y1 ' ' z + 2 y1 ' z '+ y1 z ' ' ,..., y ( n ) = y1( n ) z + C n y1( n 1) z '+... + C n y1 z ( n ) .

nlocuind n (8) avem:z[ a 0 ( x) y1( n ) + a1 ( x) y ( n 1) + ... + a n ( x) y1 ] + z '[a1 ( x) y1 + ... + C n ' a 0 ( x) y1( n 1) ] + ... + z ( n ) a 0 ( x) y1 = 0.

Coeficientul lui z este nul pentru c y1 este soluie a ecuaiei date. Cu o nou schimbare de variabil z'=u, obinem o ecuaie diferenial liniar i omogen de ordinul n-1: A0 ( x)u ( n1) + A1 ( x)u ( n 2 ) + ... + An1 ( x)u = 0. 5. Ecuaii difereniale de ordinul n, liniare i neomogene. Soluia general. Metoda variaiei constantelor pentru determinarea unei soluii particulare a ecuaiei neomogene. Exemplu. Fie ecuaia diferenial de ordinul n, liniar i neomogen:

16

(1) Ln ( y ) = a 0 ( x ) y ( n ) + a1 ( x ) y ( n 1) + ... + a n 1 ( x ) y '+ a n ( x ) y = f ( x ) cu coeficienii a k ( x), k = 0, 1, ... , n i f ( x) continuie, iar a0 ( x) 0 [a,b]. Soluia general a ecuaiei (1) se obine adugnd la soluia general a ecuaiei omogene:(n) ( n 1) + ... + an1 ( x) y '+ an ( x) y = 0 (2) Ln ( y ) = a0 ( x) y + a1 ( x) y o soluie particular (oarecare) a ecuaiei neomogene (1). ntr-adevr, fie yp(x) o soluie particular a ecuaiei neomogene pe [a,b]. Facem schimbarea y(x)=yp+z. Avem (Ln este liniar) Ln ( y p + z ) = Ln ( y p ) + Ln ( z ) = f ( x); cum Ln ( y p ) = f ( x) rezult Ln(z)=0; prin urmare, dac y1, y2,,yn este un sistem fundamental de soluii ale ecuaiei omogene pe [a,b], rezult c soluia general a ecuaiei neomogene este:

(3) y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n + y p , x [ a, b] Are loc urmtoarea teorem: Teorem. Fie ecuaia (1) i y1, y2,,yn un sistem fundamental de soluii pe [a,b] al ecuaiei (2). O soluie particular yp(x) a ecuaiei neomogene (1) pe [a,b] este dat de: (4) y p = y1 C '1 ( x)dx + y 2 C ' 2 ( x)dx + ... + y n C ' n ( x)dx unde C'1(x), C'2(x),,C'n(x) este soluia sistemului : y C ' ( x) + y C ' ( x) + ... + y C ' ( x) = 0 n n 2 2 1 1 y '1 C '1 ( x) + y ' 2 C ' 2 ( x) + ... + y ' n C ' n ( x) = 0 (5) ................................................................... ( n2) ( n2) ( n2) y1 C '1 ( x) + y 2 C ' 2 ( x) + ... + y n C ' n ( x) = 0 ( n 1) f ( x) ( n 1) ( n 1) . y1 C '1 ( x) + y 2 C ' 2 ( x) + ... + y n C ' n ( x) = a0 ( x)

Dac efectum cuadraturile :

C'(6)

k

( x)dx = Ak + k ( x),

k { ,2,..., n} 1

i le nlocuim n (4), obinem soluia general a ecuaiei neomogene:

y = A1 y1 + A2 y 2 + ... + An y n + y11 + y 2 2 + ... + y n n .17

Demonstraie. Fie y1, y2,,yn un sistem fundamental de soluii ale ecuaiei omogene (2). Soluia general a ecuaiei omogene va fi aadar: (7) y H = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n , unde C1, C2, ,Cn sunt constante arbitrare. Dac reuim s artm c funcia y p = y11 + y 2 2 + ... + y n n cu 1 , 2 ,..., k determinate pe [a,b], dup cum este precizat n enunul teoremei, este o soluie particular a ecuaiei neomogene, atunci, conform celor spuse la alineatul precedent, funcia: (8) y=yH+yp este soluia general a ecuaiei neomogene pe [a,b]. Ne rmne aadar s verificm c y0 este o soluie a ecuaiei neomogene. n acest scop s considerm funcia: y = C1 ( x) y1 + C 2 ( x) y 2 + ... + C n ( x) y n , x [a, b] (9) care se obine din soluia general a ecuaiei omogene nlocuind constantele C1, C2,,Cn, cu funciile necunoscute C1(x),C2(x),,Cn(x) i s artm c funcia y dat de (9) cu C'1(x), C'2(x),,C'n(x) verificnd sistemul (5). Dac derivm pe y din (9) obinem: y' = C1 y'1 +C2 y '2 +... + Cn y'n +C '1 y1 + C '2 y2 + .... + C 'n yn. ns, conform primei ecuaii din (5) anume C '1 y1 + C '2 y2 + .... + C 'n yn. = 0 ne mai rmne (10) y' = C1 y'1 +C2 y'2 +... + Cn y'n . n continuare, dac derivm pe (10), obinem: y ' ' = C1 y ' '1 +C2 y ' '2 +... + Cn y ' 'n +C ' '1 y1 + C ' '2 y2 + .... + C ' 'n yn. ns conform ecuaiei a doua din (5), anume y '1 C '1 ( x) + y ' 2 C ' 2 ( x) + ... + y ' n C ' n = 0 , ne mai rmne: y ' ' = C1 y ' '1 +C 2 y ' '2 +... + C n y ' 'n . (11) n mod asemntor obinem: ( ( y ( 3) = C1 y13 + C 2 y 23) + ... + C n y n3) ..............................................( ( ( ( y nn1) = C1 y nn 1) + C 2 y 2n 1) + ... + C n y nn1) . n ceea ce privete derivata de ordinul n, obinut prin derivare din ultima relaie, avem:( ( ( ( y ( n ) = C1 y1( n ) + C 2 y 2n ) + ... + C n y nn ) + C '1 y1( n1) + C ' 2 y 2n1) + ... + C ' n y nn 1)

sau, innd seama de ultima relaie din (5): (12)( ( y ( n ) = C1 y1( n ) + C 2 y 2n ) + ... + C n y nn ) +

f ( x) . a 0 ( x)

18

Dac nmulim acum pe y dat de (9) cu an(x) pe y' dat de (10) cu an(n) dat de (12) cu a0(x), obinem prin nsumare: 1(x) .a.m.d., pe y Ln [ y ] = C1 Ln [ y1 ] + C1 Ln [ y 2 ] + ... + C n Ln [ y n ] + f ( x); ns Ln[yk]=0, k=1,2,,n astfel nct ne mai rmne Ln[y]=f(x); prin urmare y, date de (9) cu C1,C2,,Cn, verificnd sistemul (5), este soluie a ecuaiei (1). S observm c determinantul sistemului (5) este W(y1,y2,,yn) 0 pe [a,b]. Fie C'1,C'2,,C'n soluia sistemului (5) cuy1 y '1 C 'k ( x) = ( 1)n+k

y2 y '2( y 2n1)

... ...

yk 1 y 'k 1

yk +1 y 'k +1

... ... ...

yn y 'n( ynn1)

y1( n1)

( ( ... y kn11) yk n11) + W ( y1 , y2 ,..., yn )

f ( x) . a0 ( x )

Prin n cuadraturi obinem:C k ( x) = C ' k ( x)dx = k ( x) + Ak , k {1,2,..., n}

unde A1,A2,,An sunt constante arbitrare. nlocuind pe Ck(x) n (9) obinem: y = y1 A1 + y 2 A2 + ... + y n An + 1 y1 + 2 y 2 + ... + n y n (13) care este soluia general a ecuaiei neomogene. Funcia y p = 1 y1 + 2 y 2 + ... + n y n , este o soluie a ecuaiei liniare neomogene i este prin urmare soluia particular cutat. Teorema este demonstrat Metoda folosit pentru a determina o soluie particular a ecuaiei neomogene (1) se numete metoda variaiei constantelor i se datoreaz lui Lagrange. Exemplu. S se gseasc soluia general a ecuaiei: 2 x y ' '5 xy '+8 y = x. Dou soluii ale ecuaiei omogene sunt y1=x2, y2=x4 cu W(y1,y2)=2x50 pe R\{0}; soluia general a ecuaiei este y=C1x2+C2x4. Determinm o soluie particular a ecuaiei neomogene prin metoda variaiei constantelor. Avem:C '1 x 2 + C ' 2 x 4 = 0 1 cu soluiile: C '1 2 x + C ' 2 4 x 3 = x

C '1 =

1 1 * 1 * , C ' 2 = 1 4 i apoi C1 = C1 + , C 2 = C 2 3 . 6x 2x 2x 2 2x Soluia general a ecuaiei este, aadar:19

x y = C1 x 2 + C 2 x 4 + , x R\{0}. 3 * * (am renotat C1 = C1 , C 2 = C 2 ).

6. Ecuaii difereniale de ordinul n, liniare, cu coeficieni constani.

O ecuaie diferenial liniar a0 y ( n ) + a1 y ( n 1) + ... + a n 1 y '+ a n y = 0, a0 0 (1) unde ak R, k = 0, n, este o ecuaie de ordinul n, cu coeficieni constani, omogen. Pentru aceast clas putem determina totdeauna un sistem fundamental de soluii. V(r1,r2,,rn)0 dac rirj, ij ntruct este determinatul lui Vandermonde. Soluia general a ecuaiei (1) este: y = C1e r x + C 2 e r x + ... + C n e r x , x R (3)1 2 n

Exemplu. S se gseasc soluia ecuaiei: y(3)+3y-y-3y=0. Ecuaia caracteristic r3+3r2-r-3=0 are rdcinile r1=-1,r2=1,r=-3 deci soluia general este: y=C1e-x+C2ex+C3e-3x. Dac cutm soluii de forma y=Aerx, a0, obinem succesiv y'=Arerx, y''=Ar2erx,, y(n)=Arnerx; dac le nlocuim n (1) avem:

deoarece A0, erx nu se anuleaz pentru x R, va trebui s avem (2) a0rn+a1rn-1++an-1r+an=0.

Ae rx ( a 0 r n + a1 r n 1 + ... + a n 1 r + a n ) = 0;

Prin urmare, numrul (real sau complex) r trebuie s fie rdcin a ecuaiei (2) care se numete ecuaia caracteristic a ecuaiei difereniale (1). S observm de la nceput c dac ecuaia caracteristic (2) are toate atunci soluiile particulare rdcinile simple r1r2rn, rn x r1 x r2 x y1 = e , y 2 = e ,..., y n = e formeaz un sistem fundamental de soluii ale ecuaiei (1). ntr-adevr, calculnd wronskianul lui y1,y2,,yn, obinem:

20

e r1x W ( y1 , y 2 ,..., y n ) = r1e r1x r1n1e r1x

e r2 x r2 e r2 x r2n1e r2 x

... ...

e rn x rn e rn x = e ( r1 + r2 +...+ rn ) x V (r1 , r2 ,..., rn )

... rnn1e rn x

i se observ c este diferit de zero pentru orice x R ,deoarece exponeniala nu se anuleaz pe R iar V( r1 , r2 ,..., rn ) 0 dac ri r j , i j ( V (r1 , r2 ,..., rn ) este determinantul lui Vandermonde). Soluia general a ecuaiei (1) este: (3) y = C1e r x + C 2 e r x + ... + C n e r x . Dac ecuaia caracteristic (1) are rdcinile complexe simple1 2 n

r1 = 1 + i1 , r2 = 2 + i 2 ,..., rm = m + i m , n = 2m r1 = 1 i1 , r2 = 2 + i 2 ,..., rm = m i m

atunci funciile * y k = e k x cos k x, y k = e k x sin k x, k {1,2,..., m} formeaz un sistem fundamental de soluii ale ecuaiei (1). n acest caz, soluia general a ecuaiei (1) este: (4)* y = e k x (C k cos k x + C k sin k x) k =1 m

Observaie. Dac ecuaia caracteristic are rdcini reale i complexe, atunci soluia general a ecuaiei (1) este format dintr-o combinaie de tipul (3) i (4). S considerm cazul cnd ecuaia (1) are rdcini multiple. Dac r=a este o rdcin real multipla de ordinul p, atunci (5) y=eax(C1+C2x++Cpxp-1) este o soluie a ecuaiei (1). Dac r=+i C este multipl de ordinul p, atunci: * (6) y = ex [(C1 + C2 x + ... + C p x p1 ) cos x + (C1* + C2 x + ... + C * x p1 ) sin x] p este o soluie a ecuaiei (1).7. Ecuaii neomogene. Determinarea soluiei particulare.

S considerm ecuaia neomogen (1) a0y(n)+a1y(n-1)++an-1y+any=f(x). Soluia general a ecuaiei este: (2) y = yh + y p21

unde y h este soluiei omogene ataate ecuaiei (1) iar yp este o soluie particular a ecuaiei neomogene. Pentru determinarea lui yp putem folosi metoda variaiei constantelor, care ne permite, cunoscnd soluia general a ecuaiei omogene, s gsim o soluie particular a ecuaiei neomogene prin n cuadraturi. n aplicaii sunt cazuri frecvente, cnd n funcie de forma lui f(x), putem gsi prin identificare pe yp. Enumerm mai jos aceste cazuri: a) Funcia f(x) este un polinom Pm(x). Soluia yp va fi tot un polinom, de acelai grad, Qm(x), daca r=0 nu este rdcin a ecuaiei caracteristice a0rn++an=0. Vom nlocui yp=Qm(x) n (1) i prin identificare vom gsi soluia particular yp. Dac r=0 este rdcin a ecuaiei caracteristice, multipl de ordinul k (k N*), atunci vom alege yp=xkQm(x) i prin nlocuire n (1) i identificare vom gsi yp. b) Funcia f(x) este un polinom de forma de forma exPm(x), (Pm(x) polinom de grad m). Dac r= nu este rdcin a ecuaiei caracteristice, atunci alegem yp=exQm(x) i prin identificare, vom afla pe yp. Dac r= este rdcin multipl de ordinul k (k N*) a ecuaiei caracteristice atunci o soluie particular a ecuaiei (1) o vom cuta sub forma yp=xkeexQm(x) i vom proceda apoi ca nainte. c) Dac f(x) este de forma Pm ( x) cos x + Qm ( x) sin x atunci dac i nu este rdcin a ecuaiei caracteristice atunci vom alege * * * * y p = Pm ( x) cos x + Qm ( x) sin x, unde m=max(m1,m2) iar Pm ( x) i Qm ( x ) sunt polinoame arbitrare care se determin apoi prin identificare. Dac i este rdcin multipl de ordinul k atunci vom alege * * y p = x k [ Pm ( x) cos x + Qm ( x ) sin x ].1 2

d) Funcia f(x) are forma ex [ Pm ( x) cos x + Qm ( x) sin x] . Soluia particular yp va avea expresia: * * y p = ex [ Pm ( x) cos x + Qm ( x) sin x] (m=max(m1,m2)) dac i nu sunt rdcini ale ecuaiei caracteristice sau va avea expresia: * * y p = x k ex [ Pm ( x) cos x + Qm ( x) sin x] dac i sunt rdcini multiple de ordinul k, ale ecuaiei caracteristice. * * Polinoamele Pm ( x) i Qm ( x ) vor fi determinate prin identificare. Exemplu. S se gseasc soluia general a ecuaiei: y ( 4 ) + 2 y ( 3) + 5 y ' '+8 y '+4 y = cos x + 40e x .1 2

22

Ecuaia caracteristic r4+2r3+5r2+8r+4=0 se scrie (r+1)2(r2+4)=0 cu rdcina dubl r1=-1 i rdcinile simple r2=2i, r3=-2i. Soluia general a ecuaiei omogene este: y h = (C1 + C 2 x )e x + C 3 sin 2 x + C 4 cos 2 x, x R. O soluie particular a ecuaiei neomogene o cutm de forma y p = Ax 2 e x + B cos x + C sin x. nlocuind-o n ecuaie i identificnd obinemA = 4, B = 0, C = 1 deci soluia general a ecuaiei date este: 6

1 y = (C1 + C 2 x)e x + C3 sin 2 x + C 4 cos 2 x + sin x + 4 x 2 e x , x R. 6

8. Ecuaia lui Euler. Exemplu.

O ecuaie diferenial liniar de ordinul n de forma: a 0 x n y ( n ) + a1 x ( n 1) y ( n 1) + ... + a n 1 xy '+ a n y = f ( x ) (1) cu a0, a1,, an constante reale, iar f(x) continu pe un interval [a,b] se numete ecuaia lui Euler. Teorem. O ecuaie diferenial Euler (1), se transform prin substituia |x|=et n ecuaie diferenial liniar cu coeficieni constani. Demonstraie. Pentru x>0, punem x=et i avem:dy dy dt dy dy dy = = e t x = , sau dx dt dx dt dx dt 2 2 d 2 y d dy dy d 2 y dy t d t dy 2t d y 2 d y = =e = 2 , e = e 2 , deci x dt dt dt dt dx 2 dx dx dt dt dx 2

d y d y dy d 2 y dy d3y d d2y d 3 d y = 3 3 2 + 2 . = 2 = e t e 2t 2 sau x 3 3 dt dx dt dx dt dt dx dt dt dx dky Se observ c toate produsele x k se exprim liniar cu ajutorul dx p d y , p {1,2,..., k}, k {1,2,..., n} nmulite cu factori numerici, derivatelor dt pk

3

3

2

deci dac i nlocuim n ecuaia (1), ea se va transforma ntr-o ecuaie cu coeficieni constani : (2) undedy dny d n 1 y b0 n + b1 n 1 + ... + bn 1 + bn y = f (e t ) dt dt dt

b0, b1,,bn sunt constante reale. Ecuaia omogen23

dny d n1 y dy + b n1 + ... + bn1 + bn y = 0 (3) n dt dt dt admite soluii de forma e rk t , unde rk este o rdcin a ecuaiei caracteristice. b0

Revenind la ecuaia (1) i observnd c e k = (e ) k = x deducem c ecuaia Euler, omogen, admite soluii de forma |x|r. Acest rezultat simplific mult determinarea soluiei generale a unei ecuaii Euler. Fie ecuaia Euler, omogen a0 x n y ( n ) + a1 x n 1 y ( n 1) + ... + a n 1 xy '+ a n y = 0 . (4) r Vom cuta soluii de forma y = A x , A este constant; avem,rt t r

rk

y ' = Ar x , y ' ' = Ar (r 1) x ,..., y ( n ) = Ar (r 1)...(r n + 1) x , succesiv, derivate pe care dac le nlocuim n (1), i observm c se d factor comun r A|x|r, obinem A x K n (r ) = 0 unde Kn(r) este ecuaia caracteristic a ecuaiEuler: (5) K n (r ) a0 r (r 1)...(r n + 1) + a1r (r 1)...(r n + 2) + ... + an1r + an = 0 Fie r1,r2,,rn rdcinile ecuaiei caracteristice. Dup natura lor i ordinul lor de multiplicitate, determinm, la fel ca i la ecuaii difereniale liniare cu coeficieni constani, sistemul fundamental de soluii al ecuaiei Euler considerate. Exemplu. x2y+2xy+y=0. Ecuaia caracteristic

r 1

r 2

r n

r(r-1)+3r+1=r2+r+1=0 are rdcinile complexe r1, 2 = i diferenialy2 = 1

1 2

3 . Ecuaia 2

va

avea

soluiile

particulare

y1 =

1

3 cos ln x , 2 x

3 sin ln x , x0 i deci soluia general: 2 x

u=

3 3 1 ln x + C 2 sin ln x , x 0 . C1 cos 2 2 x

Observaie. Pentru determinarea unei soluii particulare a unei ecuaii Euler, neomogene, se folosete metoda variaiei constantelor sau determinarea lui yp dup forma membrului drept al ecuaiei.

24

9. Sisteme de ecuaii difereniale. Exemplu. Definiia 1. Relaiile F1 (t; x, x' ,..., x ( m ) ; y, y ' ,..., y ( n ) ; z, z ' ,..., z ( p ) ) = 0 ( m) (n) ( p) F2 (t; x, x' ,..., x ; y, y ' ,..., y ; z, z ' ,..., z ) = 0 (1) ( m) (n) ( p) F3 (t; x, x' ,..., x ; y, y ' ,..., y ; z, z ' ,..., z ) = 0

unde funciile F1,F2,F3 sunt definite pe [a,b] X Y Z cu X Rm+1, Y Rn+1, Z Rp+1 formeaz un sistem de trei ecuaii difereniale cu trei funcii necunoscute x,y,z, dac se cere s se determine funciile x(t), y(t), z(t), derivabile respectiv pn la ordinul m,n,p pentru t [ a, b] , funcii care mpreun cu derivatele lor verific (1) pentru orice t [ a, b] .Definiia 2. Un sistem de trei funcii reale x(t), y(t), z(t) care verific condiiile de mai sus se numete o soluie a sistemului (1). Observaii. 1) Dac m=n=p=1, sistemul (1) se numete sistem de ordinul nti; dac cel puin unul dintre numerele m,n,p este mai mare dect unu, sistemul (1) se numete sistem de ordin superior. 2) Un sistem rezolvat n raport cu derivatele de ordinul cel mai nalt se numete sistem canonic (sau explicit). Dac sistemul (1) poate fi rezolvat n raport cu derivatele x(m),y(n),z(p), adic: x ( m ) = f (t ; x, x' ,..., x ( m1) ; y, y ' ,..., y ( n1) ; z, z ' ,..., z ( p1) ) (n) ( m 1) ; y, y ' ,..., y ( n1) ; z, z ' ,..., z ( p1) ) y = g (t ; x, x' ,..., x (2) z ( p ) = h(t ; x, x' ,..., x ( m1) ; y, y ' ,..., y ( n1) ; z, z ' ,..., z ( p1) )

se obine sistemul canonic respectiv. Definiia 3. Un sistem de n ecuaii difereniale de ordinul nti, cu n necunoscute, este de forma: dy1 dt = f1 (t , y1 , y 2 ,..., y n ) dy2 = f (t , y , y ,..., y ) 2 1 2 n dt .................................... dyn = f (t , y , y ,..., y ) 1 2 n n dt

(3)

25

i se numete sistem sub forma normal a lui Cauchy. Un sistem de ecuaii difereniale de ordin superior este echivalent cu un sistem de ordinul nti. Aceasta se observ uor din (2) dac introducem funciile necunoscute: dx dx dx dx = x1 , 1 = x 2 , 2 = x3 ,..., m 2 = x m1 dt dt dt dt i la fel n y i z obinem: dxn 1 = f (t , x, x1 ,..., x m1 ; y, y1 ,..., y n 1 ; z, z1 ,..., z p 1 ) dt i la fel n y i z. Un sistem de n ecuaii difereniale de ordinul nti este, n general, echivalent cu o singur ecuaie diferenial de ordinul n. Observaie. Un sistem de ordin superior este echivalent cu un sistem de ordinul nti, iar rezolvarea acestuia se reduce n general la rezolvarea unei ecuaii difereniale de ordinul n.Exemplul 1. S se rezolve sistemul: dx dt = y x , t R dy = 2 y + 4 x dt

dy dx d x dx = + Din prima ecuaie avem y = x + ; derivnd, se obine dt dt dt 2 dt

2

i nlocuind n cea de-a doua ecuaie a sistemului rezult d 2 x dx dx d 2 x dx + = 2 x + + 4 x sau 6x = 0 . dt dt 2 dt dt 2 dt Aceasta este o ecuaie de ordinul doi cu coeficieni constani. Ecuaia caracteristic corespunztoare r2-r-6=0 are rdcinile r1=3; r2=-2. Soluia general a ecuaiei este x = C1e 3t + C 2 e 2t , , iy = 4C1e 3t C 2 e 2 t

Soluia general a sistemului dat este: x = C1e 3t + C 2 e 2t , t R y = 4C1e 3t C 2 e 2t 26

i reprezint o familie de curbe, ce depinde de dou constante arbitrare reale. Pentru rezolvarea sistemelor de ecuaii difereniale, din punct de vedere practic este mai indicat metoda eliminrii, care conduce la o ecuaie diferenial de ordinul n cu coeficieni constani. Dac sistemul de ecuaii este neomogen, aceeai metod este preferabil. Exemplul 2. S se rezolve sistemul: y ' x = t , t R x'4 y = sin t Din prima ecuaie, x=y'-t i x'=y-1. nlocuind n a doua ecuaie obinem: (4) y-4y=1+sint Soluia ecuaiei este y=yh+yp, unde yh este soluia ecuaiei y-4y=0. Ecuaia caracteristic este r2-4=0 cu r1=2, r2=-2; deci y H = C1e 2t + C 2 e 2t ; yp l alegem de forma yp=A+Bsint+Ccost. Prin nlocuirea lui yp n (4) i 1 1 identificnd obinem: y p = sin t . Deci : 4 5

y = C1e 2 t + C 2 e 2 t i din egalitatea x=y'-t obinem:

1 1 sin t 4 5

1 x = 2C1e 2t 2C2 e 2t cos t t 5 Soluia general a sistemului dat este deci:1 2t 2t x = 2C1e 2C 2 e 5 cos t t y = C e 2t + C e 2t 1 1 sin t 1 2 4 5

10. Sisteme simetrice. Definiie. Integrale prime. Combinaii integrabile. Exemple. Definiia 1. Un sistem de ecuaii difereniale de ordinul nti se numete sistem simetric, dac are forma27

(1) unde

dxn dx1 dx2 = = ... = P1 ( x1 , x2 ,..., xn ) P2 ( x1 , x2 ,..., xn ) Pn ( x1 , x2 ,..., xn )Pk ( x1 , x 2 ,..., x n )n

funciile

nu

se

anuleaz

simultan

pentru

( x1 , x 2 ,..., x n ) D R .

Soluia general a sistemului (1) este de forma: (2) F1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) = C1 F ( x , x ,..., x ) = C 2 1 2 n 2 .................................. Fn 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) = C n 1

unde F1,F2,,Fn-1 sunt continue cu derivatele pariale de ordinul nti continue n D Rn. Orice relaie Fk(x1,,xn)=Ck, k = 1, n 1 se numete integral prim. Din cele de mai sus, rezult c dac se cunosc n-1 integrale prime ale sistemului (1), se cunoate soluia general a sistemului (1). Din (1) avem egalitatea: dx dx + 2 dx2 + ... + n dxn dx1 dx2 = = ... = n = 1 1 (3) P1 P2 Pn 1 P1 + 2 P2 + ... + n Pn unde k ( x1 ,..., xn ) sunt funcii arbitrare continue n D. Definiia 2. Un sistem de n funcii 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ),..., n ( x1 , x 2 ,..., xn ) continue pe n D care ndeplinesc condiiile 1dx1 + 2 dx2 + ... + n dxn = d, 1 P1 + 2 P2 + ... + n Pn = 0 pentru orice ( x1 , x2 ,..., xn ) D , se numete o combinaie integrabil a sistemului (1) n D. Funcia ( x1 , x2 ,..., xn ) = C a crei diferenial total n D este 1dx1 + 2 dx2 + ... + n dxn este o integral prim a sistemului (1). Dac se determin n-1 combinaii integrabile distincte, se obin n-1 integrale prime, care dau soluia general a sistemului (1) sub forma (2). Exemplu. Folosind metoda combinaiile integrabile, s se determine soluia sistemuluidx3 dx1 dx2 = = . determine soluia sistemului x3 x2 x1 x3 x2 x1

Sistemul dat poate fi scris sub forma:dx3 dx + dx2 + dx3 x1dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 dx1 dx2 = = = 1 = x3 x2 x1 x3 x2 x1 0 028

De aici rezult c d(x1+x2+x3) = 0 i x1dx1+ x2dx2 + x3dx3= 0. Soluia general va fi format din dou integrale prime: x1+x2+x3 = C1 i2 2 x12 + x2 + x3 = C2 .

11. Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti liniare i omogene. Sistem caracteristic. Soluie general. Exemplu. Definiia 1. O relaie de forma

(1)

P ( x1 , x2 ,..., xn ) 1

u u u + ... + Pn ( x1 , x2 ,..., xn ) + P2 ( x1 , x2 ,..., xn ) =0 x2 x1 xn

cu Pk ( x1 , x 2 ,..., xn ), k = 1, n continue i neanulndu-se simultan ntr-un domeniu D Rn, se numete ecuaie cu derivate pariale de ordinul nti, liniar i omogen, dac se cere s se determine funcia u=f(x1,x2,,xn) avnd derivatele pariale de ordinul nti continue, care verific (1). Definiia 2. Sistemul simetric (2)dxn dx1 dx2 = = ... = P1 ( x1 , x2 ,..., xn ) P2 ( x1 , x2 ,..., xn ) Pn ( x1 , x2 ,..., xn )

definit n D se numete sistem caracteristic al ecuaiei cu derivate pariale (1). Problema integrrii ecuaiei difereniale (1) se reduce la problema integrrii sistemului caracteristic (2), aa dup cum reiese din urmtoarea: Teorem. Fie ( x1 , x 2 ,..., xn ) = C o integral prim a sistemului caracteristic (2); funcia u = ( x1 , x 2 ,..., xn ) este o soluie a ecuaiei cu derivate pariale (1). Demonstraie. Integrala prim ( x1 , x 2 ,..., xn ) = C are difereniala nul de-a lungul unei curbe integrale a sistemului (2): (3) dx1 + dx2 + ... + dxn = 0 x2 xn x1

ns de-a lungul unei curbe integrale diferenialele dx1,dx2,,dxn, sunt proporionale cu P1,P2,,Pn, conform relaiilor (2) deci egalitatea (3) mai poate fi scris i sub forma: (4) P1 + P2 + ... + Pn = 0 x2 xn x1

29

valabil pentru orice ( x1 , x 2 ,..., xn ) situat pe o curb integral a sistemului (2). Egalitatea (4) fiind adevrat pentru orice constant C, este adevrat pentru orice curb integral a sistemului (2) situat n D; prin urmare u = ( x1 , x 2 ,..., xn ) este o soluie a ecuaiei (1) n D. Teorema este demonstrat. Are loc urmatoarea:Teorem. Fie ecuaia cu derivate pariale (1). Fie n-1 integrale prime (independente) ale sistemului caracteristic (2), k ( x1 , x 2 ,..., xn ) = C k , k = 1, n 1 . u ( x 1 , x 2 ,..., x n ) dat de: Funcia u ( x1 , x 2 ,..., xn ) = [1 ( x1 , x 2 ,..., xn ), 2 ( x1 , x 2 ,..., xn ),..., n1 ( x1 , x 2 ,..., xn )] este o soluie a ecuaiei cu derivate pariale (1). Exemplu. S se determine soluia general a ecuaieix2 u u u xy + y2 =0 . x y z

Sistemul caracteristic corespunztor estedx dy dz = = 2 . 2 xy y x dx dy = rezult integrala prim xy= C1 ,iar din egalitatea 2 xy x

Din

dy dz 3 = 2 obinem innd seama de prima integral y +3xyz=C2. Astfel xy y

sistemul caracteristic are integralele prime xy = C1 . 3 y + 3xyz = C 2

Soluia general a ecuaiei este u = ( xy, y 3 + 3 xyz ) , unde este o funcie arbitrar derivabil.

12. Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti cvasiliniare. Exemplu.O ecuaie diferenial cu derivate pariale de ordinul nti cvasiliniare este de forma: u u u (1) P(x1, x2,...,xn , u) + P (x1, x2,...,xn, u) +...+ P (x1, x2,...,xn, u) = P+1(x1, x2,...,xn , u) 1 2 n n x1 x2 xn

30

Pentru determinarea soluiilor unei ecuaii cu derivate pariale cvasiliniare (1) se procedeaz astfel: a) Se scrie sistemul caracteristic corespunztor ecuaiei (1), adic: (2)dx dx1 dx2 du = = ... = n = P1 P2 Pn Pn +1

b) Folosind metoda combinaiilor integrale se determin n integrale prime: Fk (u, x1 , x2 ,..., xn ) = C k , k = 1, n (3) c) Soluia general a ecuaiei cvasiliniare (1) este dat sub forma implicit de relaia: ( F1 , F2 ,..., Fn ) = 0 (4) Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei cu derivate parialex u u +y = u u 2 + x2 + y2 x y

Atam sistemul caracteristic:dx dy du = = 2 x y u u + x2 + y2

Avem:2 2

xdx + ydy + udu2 2 2 2

x +y +u u u + x + y

=

du u u + x2 + y22

sauxdx + ydy + udu x2+ y2 + u2

(u

2

+ x2 + y2 u

)

=

du u u2 + x2 + y2

de unde

xdx + ydy + udu x2+ y2 + u2

= du

Avem astfel o integral prim: x 2 + y 2 + u 2 + u = C1 . Din egalitate primelor dou rapoarte ale sistemului caracteristic, avem i a doua integral prim:x = C 2 . Soluia general este: y x x , x 2 + y 2 + u 2 + u = 0 sau x 2 + y 2 + u 2 + u = f . y y

13. Probleme propuse.31

1. S de integreze ecuaia diferenial de ordinul nti liniar:

1 , y( 0 ) = 0 cos x 2. S se integreze ecuaia diferenial omogen generalizat: y' y tgx =( 3x-7 y-3 )y' + 7 x-3 y-7 = 0 . 3. S se integreze ecuaia diferenial a lui Bernoulli:y'1 y = - 2 xy 2 , y( 1 ) = 1. x

4. S se integreze ecuaia diferenial a lui Riccati:a) y + y 2 + a 4 2 y + 2 = 0, y p = ( a > 0). x x x2 sin x 1 . , yp = 2 cos x cos x

b) y + y 2 sin x =

5. S se integreze ecuaia diferenial a lui Clairaut i Lagrange:a) y = xy + 1 ; y

b) y = (1 + y ) x + y 2 .

6. S se integreze ecuaiile difereniale liniare de ordin superior cu coeficieni constani omogene:a) y ' ' y = 0 , y( 0 ) = 2 , y ' ( 0 ) = 0; b) y ( 4) 5 y ' '+4 y = 0; c) y ( 3) -6 y ' '+11 y '6 y = 0; d) y ( 3) 3 y ' '+3 y ' y = 0; e) y ( 4 ) y = 0; f) y ( 5 ) + 4 y ( 3 ) = 0.

7. S se integreze ecuaiile difereniale liniare de ordin superior cu coeficieni constani neomogene:

32

a) y' '5 y '+6 y = 6 x 2 10 x + 2; b) y ( 4) y (3) y '+ y = e x .c) y ( 4) y = 3e x 5 cos x + 2 x 2 .

8. S se integreze ecuaia de tip Euler: x 2 y'' 2 xy' + 2 y = x . 9.Folosind metoda variaiei constantelor,s se integreze ecuaia:y y =1 . cos x

10.S se rezolve sistemele de ecuaii difereniale:x + 4 x + 4 y = 0

a)y + 2x + 6 y = 0

, x(0) = 3, y (0) = 15, x = x(t ), y = y (t ).

x = x + y + zb)

y = x y + z

,

x(0)=0,y(0)=1,z(0)=1, x = x(t ), y = y (t ), z = z (t ).

z = x + y z

11.Folosind metoda combinaiilor integrabile s se determine soluia sistemelor simetrice:a)dx3 dx1 dx 2 = = ; x1 ( x 2 x3 ) x 2 ( x3 x1 ) x3 ( x1 x 2 )

b)

dx3 dx1 dx 2 = = 2 2 2 x1 x2 x3 x1 + x 2 + x3 dx1 x1 x 2 x32 2 2

;

c)

=

dx3 dx 2 . = 2 x1 x 2 2 x1 x3

12.S se integreze sistemul de ecuaii difereniale cu derivate pariale cvasiliniare:2 xu

u u + 2 yu = u 2 x2 y2 ,u x y

y =1

= x.

33

CAPITOLUL IIFUNCII COMPLEXE1. Corpul numerelor complexe. Construcia i reprezentarea numerelor complexe. Imposibilitatea rezolvrii unor ecuaii algebrice n corpul numerelor reale R a condus pe algebritii italieni n secolul XVI s introduc noi expresii de forma a + b 1 , a, b R, numite numere imaginare. Numerele "imaginare" apar pentru prima oar n lucrrile lui Cardan (sec. XVI). Denumirea de numere imaginare a fost atribuit datorit faptului c n epoca respectiv nu s-a putut da o reprezentare intuitiv a acestor numere. n 1763, Euler ntreprinde pentru prima oar un studiu sistematic al acestor numere introducnd i simbolul " i ". n 1797, Gauss d interpretarea geometric a numerelor complexe, ca puncte ale unui plan. Fie R2 produsul cartezian al perechilor ordonate (x,y) de numere reale. Definim pe R2 operaiile de adunare i nmulire prin : (1) (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') ; (2) (x,y) (x',y') = (xx'- yy', xy'+x'y). Prin definiie, mulimea numerelor complexe C este mulimea R2 dotat cu operaiile de adunare i nmulire (R2,+,.); mulimea C nzestrat cu cele dou operaii are o structur de corp comutativ. Elementele corpului C se numesc numere complexe. Fie A mulimea numerelor complexe de forma (x, 0), deci A={( x,0), x R}. A C i A este un subcorp al lui C deoarece: (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) A, i (x, 0)(y, 0) = (xy, 0) A . S definim aplicaia f : R A prin f(x) = (x, 0), x R. Aceast aplicaie este o bijecie i conserv operaiile de adunare i nmulire : f(x+y) = f(x) + f(y) i f(xy)=f(x)f(y) . Rezult c f este un izomorfism de corpuri de la R pe A. Acest lucru permite identificarea mulimii A cu R. Astfel vom nota numrul complex (x,0) cu x deci (x, 0) = x. n particular, zeroul (0,0) i unitatea (1,0) din corpul numerelor complexe se identific cu numrul real 0 i unitatea real 1. n consecin putem scrie (0,0) = 0 i (1,0) = 1.

34

Fie B = {(0. y), y R } C. Observm c B se poate identifica cu punctele din R2 situate pe axa Oy. Observm c : (0, y) + (0,y') = (0, y+y') B i (0,y) (0,y') = (-yy', 0) B. Aceasta arat c B nu este un subcorp al corpului numerelor complexe C. n particular, (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1 . Vom nota i = (0,1) i astfel i2 = -1, xi = (0, x), x R. Numrul complex i se mai numete i unitate imaginar, iar numerele complexe de forma xi (x R), numere pur imaginare. Dac z = (x,y) este un numr complex oarecare, atunci : z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + iy, care reprezint expresia algebric a numerelor complexe. n aceast scriere, x = Re z i y = Im z reprezint respectiv partea real i partea imaginar a numrului complex z. Prin modulul numrului complex z = x + iy se nelege numrul nenegativ definit prin relaia : z = x2 + y2 . Prin conjugatul unui numr complex z = x + iy se nelege numrul z = x - iy. n afar de aceast reprezentare geometric punctual mai este cunoscut i reprezentarea vectorial a numerelor complexe. Astfel, numrului complex z = x + iy, i se ataeaz vectorul liber ale crui componente pe axele de coordonate sunt x i y . n acest fel se realizeaz o bijecie ntre corpul C i mulimea vectorilor liberi. Scrierea numerelor complexe sub form trigonometric. Operaii cu numere complexe. n calculul cu numere complexe este foarte util scrierea acestora sub form trigonometric. Numrul complex z = x + iy se poate scrie sub form trigonometric : (1) z = (cos + i sin ) unde = z , tg =y , x = cos , y = sin . x

Unghiul fcut de vectorul corespunztor lui z cu sensul pozitiv al axei Ox se numete argument i se noteaz : = arg z

35

y y

M(x,y) z

0

x

x

Aceluiai numr complex z, z 0, i corespund o infinitate de determinri ale argumentului, care difer ntre ele printr-un multiplu de 2. Vom numi determinare principal a argumentului lui z, z 0, notat arg z, acea determinare care verific inegalitile : - < arg z . Adunarea (respectiv scderea) numerelor complexe z1 = x1 + iy1 i z 2 = x2 + iy 2 se definesc prin : z1 z 2 = ( x1 x 2 ) + i( y1 y 2 ) (2) Aceste operaii au ca semnificaie geometric adunarea respectiv scderea vectorilor corespunztori : y yz2 z1 z1 + z 2 z1 z2

0 x x z2 z1 z 2

0

Se observ c z1 z 2 reprezint distana dintre punctele z1 i z 2 z1 = 1 (cos1 + i sin 1 ) z 2 = 2 (cos 2 + i sin 2 ) . i nmulirea Fie numerelor complexe z1 i z 2 se definete astfel :

36

z1 z 2 = 1 2 [cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )] . (3) z1 z 2 = z1 z 2 i arg( z1 z 2 ) = arg z1 + arg z 2 . Observm c Dac z k C, z k = k (cos k + i sin k ) , k {1,2,..., n) atunci : (4) z1 z 2 ...z n = 1 2 ... n [cos(1 + 2 + ... + n ) + i sin(1 + 2 + ... + n )] . Dac z1 = z 2 = ... = z n = z = (cos + i sin ) atunci : z n = n (cos n + i sin n ) . (5) Dac lum pe = 1 se obine formula lui Moivre : (6) (cos + i sin ) n = cos n + i sin n . mprirea numerelor complexe z1 , z 2 se efectueaz dup regula :

(7)

z1 1 = [cos(1 2 ) + i sin(1 2 )] z2 2z1 z2

.

Observm c :

=

z1 z2

i

arg

z1 = arg z1 arg z 2 . z2

Rdcina de ordinul n se definete astfel : 2 2 n z = n (cos + n k + i sin + n k ) , k {0,1,2,..., n 1}. (8) Din punct de vedere geometric, cele n rdcini ale lui z sunt vrfurile unui poligon regulat cu n laturi nscris n cercul cu centrul n origine i de raz n . O form important de reprezentare a numerelor complexe se datoreaz lui Euler. Notnd cos + i sin = e i ( formula lui Euler ), numrul complex z se poate scrie sub forma: z = e i , = z , = arg z numit forma exponenial a numerelor complexe. 2. Elemente de topologie n corpul numerelor complexe.Proiecia stereografic. Fie C mulimea numerelor complexe. Aplicaia d : CXC R definit prin :d ( z1 , z 2 ) = z1 z 2 , z1 , z 2 C , (1) se numete metric sau distan pe mulimea C. n continuare nu vom face deosebire ntre numrul complex z i punctul M(z), imaginea lui geometric din planul Gauss. Definiia 1 . Vom numi disc deschis cu centrul n punctul aC i de raz r >0 mulimea : (2) ( a, r ) = {z C, z a 0 vom nelege mulimea : (3) ( a, r ) = {z C, z a r } . Definiia 2. Numim cerc cu centrul n a i de raz r >0 mulimea : (4) S(a,r) = {z C, z a =r } . Mai jos sunt reprezentate cele trei mulimi: y * *z * * * * 0 ( a, r )

y * * *a * * r * * x 0 ( a, r )

* * *z * * a * * * * r *

x

y

* * * 0S ( a, r )

*z a r * x *

38

Mulimea C pe care s-a definit metrica d este un spaiu metric. Pe mulimea C, relativ la distana d vom introduce topologia d , numit topologia asociat distanei d. Mulimea de pri d a spaiului metric (C, d) definit prin : (5) d = {U (C ); z U , r > 0, ( z , r ) U } , unde (C) reprezint mulimea tuturor prilor mulimii C, este o topologie pe (C,d), numit topologia asociat distanei d .

y( z 0 , r ) z0

r V 0 x

Definiia 3. Submulimea V se numete vecintate a unui punct z 0 C dac exist discul ( z 0 , r ) V ( figura de mai sus).` Dac V C este o vecintate a lui z 0 C , atunci punctul z 0 se numete punct interior lui V. Mulimea punctelor interioare ale unei mulimi V se numete interiorul lui V i se noteaz cu V sau IntV . Punctul z 0 este un punct de acumulare pentru mulimea V dac orice disc ( z 0 , r ) conine un punct z z 0 astfel nct : V (( z 0 , r ) \ {z 0 }) . Mulimea punctelor de acumulare o vom nota cu V' i o vom numi mulimea derivat a lui V. Dac z 0 V i exist ( z 0 , r ) astfel nct ( z 0 , r ) V = {z 0 } , atunci punctul z 0 este un punct izolat al mulimi V. nchiderea mulimi V reprezint mulimea V = V V / . O mulime V este deschis dac V= V . Mulimea V este nchis dac V V / . Se poate arta c V este nchisV = V .___ 0 ___ 0

39

Mulimea V C este o mulime mrginit dac exist discul (0, r ) astfel nct V (0, r ) . O mulime mrginit i nchis se numete compact. Un punct z 0 C se numete punct frontier pentru mulimea A C dac orice vecintate V a punctului z 0 conine puncte att din mulimea A ct i din complementara sa C(A). Mulimea punctelor frontier a mulimii A se noteaz Fr A i se numete frontiera lui A. Dac cel puin unul din numerele x =Re z , y =Im z este infinit, vom scrie z = i vom spune c reprezint punctul de la infinit al planului complex. Definiia 4. Numim vecintate a punctului z = exteriorul unui cerc cu centrul n origine, adic mulimea : (6) V = {z C , z > r} . Pentru a obine imaginea geometric a punctului z = al planului complex vom defini proiecia stereografic, care stabilete o coresponden biunivoc ntre punctele unei sfere i punctele planului complex al lui Gauss. Aceast coresponden a fost indicat de B. Riemann. S considerm o sfer S de diametru 1 tangent n punctul O la planul euclidian raportat la sistemul de axe rectangulare Oxy n care am reprezentat numerele complexe . Fie N punctul de pe sfera S diametral opus lui O. Vom considera spaiul euclidian tridimensional raportat la sistemul de axe rectangulare O unde O i O coincid cu Ox respectiv cu Oy, iar axa O se suprapune peste diametrul ON, N (0,0,1). Fie M un punct oarecare din planul Oxy de afix z = x + iy i s notm cu P = P( , , ) punctul diferit de N unde dreapta MN taie sfera S : z N P* y O x M

40

n acest fel, fiecrui punct M din plan (sau fiecrui numr complex z C ) i va corespunde un punct unic P al sferei S, P N. Invers, dndu-se un punct P, P S, P N, dreapta care trece prin N i P va intersecta planul Oxy ntr-un punct unic M. Vom spune c punctul M este proiecia stereografic (din N) al punctului P. Relaiile dintre coordonatele punctului P( , , ) i coordonatele punctului M(x, y) sunt : (7)=x 1+ x2 + y2 ; = y 1+ x2 + y2 ; = x2 + y2 . 1+ x2 + y2

Cnd z , atunci P N deci proiecia stereografic a polului nord N este punctul de la infinit z = al planului complex = 0 . Mulimea numerelor complexe C mpreun cu punctul z = reprezint nchiderea lui C , deci C = C {} . Definiia 5. Mulimea E C este convex, dac pentru orice descompunere n dou mulimi disjuncte i nevide A i B cel puin una din aceste mulimi are un punct de acumulare n cealalt mulime, deci : A B = E , A B = , A B / sau A / B . Dac o mulime este deschis i convex, vom spune c acea mulime este un domeniu. O mulime deschis este convex dac i numai dac oricare dou puncte ale sale pot fi unite printr-o linie poligonal coninut n acea mulime. Definiia 6. Un domeniu D C este simplu conex,dac orice curb simpl nchis , coninut n D, delimiteaz un domeniu mrginit avnd frontiera ,este inclus n D,adic D : y D

__

0

x

41

Un domeniu care nu este simplu conex vom spune c este multiplu conex. Prin introducerea unor tieturi, adic noi frontiere, domeniul poate deveni simplu conex. Ordinul de conexiune se obine adugnd o unitate la numrul minim de tieturi pentru ca domeniul respectiv s devin simplu conex. Exemplu. Domeniul D din figura de mai jos este triplu conex : DT2 B1 T1 A1

( C3 )

( C1 ) ( C2 )

B2

* A2

Prin tieturile T1 i T2 el devine un domeniu simplu conex avnd ca frontier mulimea : = (C1 ) (C 2 ) (C 3 ) ( A1 B1 ) ( B1 A1 ) ( A2 B2 ) ( B2 A2 ). .

3. iruri i serii de numere complexe. A. iruri de numere complexe. de numere complexe aplicaia f : N C , f ( n) = x n + iy n , x n R, y n R. Vom nota : ( z n ) nN sau simplu ( z n ). Spunem c irul ( z n ) este mrginit dac c R+ astfel nct : z n c, n N*. Definiia 2. (cu vecinti) Spunem c irul ( z n ) este convergent dac exist un z C astfel nct n afara oricrei vecinti V a lui z se afl un numr finit de termeni ai irului. Notm lim z n = z sau z n z , n .**

Definiia1.

Numim

ir

n

Definiia 3. (cu ) Spunem c ( z n ) este convergent dac exist un z C astfel nct pentru orice > 0 exist un rang n N cu proprietatea c pentru orice n N, n n s avem :

42

zn z < .

Geometric definiia 3 are urmtoarea interpretare : toi termenii z n cu n n se afl n interiorul cercului cu centrul n z i de raza . Teorema 1. Un ir z n = x n + iy n este convergent dac i numai dac ( x n ) i ( y n ) sunt convergente; n plus, lim z n = lim x n + i lim y n .n n n

Demonstraie. Dac z n este convergent, atunci z = x + iy C astfel nct pentru > 0, n N astfel nct n n s avem z n z < . Dar xn x z n z < i y n y z n z < , de unde urmeaz c x n i y n sunt convergente ctre x i respectiv y i deci z n x + iy . Reciproc, dac x n x i y n y obinem z n z . Definiia 4. irul ( z n ) de numere complexe se numete ir Cauchy (fundamental), dac pentru orice > 0 , exist un numr natural n ( ) astfel nct pentru orice n > n( ) i orice p N , s avem : (1) z n+ p z n < . Are loc: Teorema 2. Condiia necesar i suficient ca un ir ( z n ) s fie ir Cauchy este ca irurile ( x n ) i ( y n ) s fie iruri Cauchy. Necesitatea condiiei rezult din inegalitile : i y n + p y n z n + p z n xn+ p xn z n+ p z n iar suficiena din inegalitatea : z n+ p z n xn+ p xn + y n+ p y n . B. Serii de numere complexe. Prin serie de numere complexe nelegem suma termenilor unui ir ( wn ) de numere complexe i se noteaz :

wn =1

n

= w1 + w2 + ... + wn + ... .

Seriei de numere complexe ( S n ), definit astfel :

wn =1

n

i se asociaz irul sumelor pariale

S n = w1 + w2 + ... + wn , n {1,2,3...} .

43

Dac irul sumelor pariale ( S n ) este convergent i are limita S spunem c seria

wn este convergent i are suma S adic:n =1

wn =1

n

= S . Dac

irul ( S n ) este divergent spunem c seria

wn =1

n

este divergent.

O serie de numere complexe poate fi scris :

wn = u n + i vn , unde u n , vn R .n =1 n =1 n =1

Are loc : Teorema 1. O serie de numere complexe wn este convergent dac i numai dac

u

n

i

v

n

sunt convergente.S n = w1 + w2 + .. + wn , s n = u1 + u 2 + ... + u n i

Demonstraie.

Notm

n = v1 + v 2 + ...v n . Avem S n = s n + i n

. Dar

w

n

este convergent dac i

numai dac irul ( S n ) este convergent ceea ce are loc dac i numai dac irurile ( s n ) i ( n ) sunt convergente adic, dac i numai dac seriile i

u

n

v

n

sunt convergente.

Definiia 1. Seria

w

n

se numete absolut convergent dac seria

w

n

este convergent. Definiia 2. Dac seria

w

n

este convergent iar

w

n

este

divergent, seria

w

n

se numete semi-convergent.

Observaie. O serie absolut convergent este convergent dar reciproca nu este n general valabil . O serie de numere complexe este absolut convergent dac i numai dac att seria prilor reale ct i seria prilor imaginare sunt absolut convergente.

44

Observaie. Pentru studiul convergenei absolute a seriilor de numere complexe se utilizeaz criteriile de convergen pentru serii cu termenii pozitivi. Pentru studiul naturii seriilor de numere complexe pot fi utilizate criteriile de convergen pentru seriile de numere reale. 4. Funcii complexe de o variabil real. Limita ntr-un punct. Continuitate. Derivata i difereniala. Integrala Riemann. Primitiv. Fie E R . Definiia 1. Numim funcie complex de variabil real , aplicaia : (1) f : E R C sau (2) f(t) = x(t) + i y(t) , t R unde x(t)= Re f(t) i y(t) = Im f(t) . Rezult c o funcie complex de variabil real este determinat de o pereche ordonat x = x(t) i y = y(t), t E de funcii reale de variabil real. Definiia 2. Spunem c un numr complex l C este limita funciei f(t) n punctul t 0 E' dac pentru orice > 0 exist un numr ( ) > 0 astfel nct oricare ar fi t E , t t 0 , dac t t 0 < ( ) atunci f (t ) l < . Se scrielim f (t ) = lt t 0

Are loc: Propoziia 1.

lim f (t ) = l lim x(t ) = Re lt t 0 t t 0

i lim y(t ) = Im l . t t0

Definiia 3. Spunem c funcia complex f(t) este continu n punctul t 0 E R , dac pentru orice > 0 exist ( ) > 0 astfel nct pentru t t 0 < ( ), t E s avem : f (t ) f (t 0 ) < Dac t 0 E E / , atunci funcia complex f(t) este continu n punctul t 0 lim f (t ) = f (t 0 ) . t t0

Propoziia 2. Condiia necesar i suficient pentru ca funcia complex f(t) = x(t) + i y(t) s fie continu n punctul t 0 E R este ca funciile reale x(t)i y(t) s fie continue n t 0 . Fie f : E R C i t 0 E E / Definiia 4. Spunem c funcia complex f este derivabil n punctul t 0 dac exist i este finit limita :t

(3)

limt t 0

f (t ) f (t 0 ) . t t0

45

Valoarea acestei limite se noteaz f / (t 0 ) sau

df (t 0 ) i se numete dt

derivata funciei f n punctul t 0 E . Propoziia 3. Condiia necesar i suficient ca o funcie complex f s fie derivabil ntr-un punct este ca funciile reale x(t) i y(t) s fie derivabile n acel punct. Se poate scrie :y (t ) y (t 0 ) f (t ) f (t 0 ) x(t ) x(t 0 ) , t E \ {t 0 } , de unde +i = t t0 t t0 t t0

trecnd la limit cnd t t 0 , obinem egalitatea : (4) f / (t 0 ) = x / (t 0 ) + iy (t 0 ) . Menionm c regulile de derivare pentru funciile reale se pstreaz i n cazul funciilor complexe de variabil real. Fie f o funcie complex derivabil pe E R . Prin difereniala lui f n punctul t 0 E vom nelege numrul complex: (5) df (t 0 ) = f / (t 0 ) dt , dt = t t 0 . Explicitnd, relaia (5) poate fi scris i astfel : (6) df (t ) = dx (t ) + idy (t ) , unde dx (t ) = x / (t )dt i dy (t ) = y / (t )dt Regulile de difereniere cunoscute pentru sum, produs i ct se pstreaz i pentru funciile complexe. Definiia integralei Riemann pentru funciile complexe de variabil real este analoag cu cea dat pentru funciile reale. Fie funcia complex f (t ), t [a, b] R. S considerm o diviziune d a lui [a, b] prin punctele: d : t 0 = a < t1 < t 2 < ... < t k 1 < t k < ... < t n = b . Notm k = [t k 1 , t k ] , unde k {1,2,3,..., n} . Prin norma diviziunii d, notat (d ) , se nelege numrul real : (7) (d ) = max (t k t k 1 ) .1 k n

Funciei complexe f i diviziunii d a compactului [a ,b] li se asociaz numrul complex d , numit sum integral Riemann, avnd expresia : (8) d ( f ) = f ( k )(t k t k 1 )k =1 n

unde

punctele

k [t k 1 , t k ]

k {1,2,3,..., n} se numesc puncte intermediare ale diviziunii d a lui [a, b].

Definiia 5. Funcia complex f(t), t [a, b] este integrabil pe [a, b], dac exist un numr complex I cu proprietatea urmtoare : pentru orice

46

> 0 exist un numr ( ) > 0 , astfel nct, oricare ar fi diviziunea d cu ( d ) < ( ) i oricare ar fi alegerea punctelor intermediare k , s avem : I d ( f ) < . (9)

Numrul I se noteazb

f (t )dta

b

i se numete integrala funciei f(t) pe

intervalul [a, b]. n cazul cnd integrala exist vom scrie : (10)I = f (t )dt = lim d ( f )a

( d )0

Propoziia 4. Funcia complex f(t) este integrabil pe [a, b] dac i numai dac funciile reale x(t) i y(t) sunt integrabile pe [a, b].Aceasta rezult imediat din inegalitile :Re I d ( x(t )) I d ( f ) Re I d ( x(t )) + Im I d ( y (t )) , deoarece Im I d ( y (t )) d ( f ) = d ( x(t )) + i d ( y (t )) .

Din egalitatea de mai sus, gsim formula : (11)

f (t )dt = x(t )dt + i y(t )dt .a a a

b

b

b

Proprietile integralei Riemann au loc i pentru funciile complexe. Definiia 6. Spunem c funcia complex F(t), t [a, b], este primitiva lui f(t), t [a, b], dac F(t) este derivabil pe [a, b] i F / (t)=f(t) , t [a, b]. Dac o funcie f are o primitiv F, atunci are o infinitate de primitive, anume mulimea: F(t)+C, t [a, b], C C. Aceast mulime a primitivelor lui f se numete integrala nedefinit a funciei f care se noteaz : (9) f (t )dt = F (t ) + C . n particular, dac funcia f este continu pe [a, b], atunci funcia complex

f ( )da

t

este primitiv pentru funcia f pe [a, b] i F / (t) = f(t),b

t [a, b]. Ca i n cazul funciilor reale se arat c : (10)

f (t )dt = F (b) F (a) = F (t )a

b a

,

care constituie formula Leibniz-Newton pentru integrala definit a unei funcii complexe. 5. Funcii monogene. Derivata unei funcii complexe. Condiiile de monogeneitate a lui Cauchy-Riemann. Proprieti.

47

Definiia 1. Spunem c funcia complex definit n domeniul D C este derivabil n punctul z 0 D , dac exist i este unic: (1)z z0

lim

f ( z) f ( z0 ) . z z0

Valoarea acestei limite se noteaz f / ( z 0 ) i se numete derivata funciei f(z) n punctul z 0 D . O funcie derivabil ntr-un punct se numete monogen n acel punct. O funcie monogen n fiecare punct al domeniului D se numete olomorf pe domeniul D sau monogen (monos = unul, genos = a da natere) pe domeniul D. Propoziia 1. (Condiiile de monogeneitate a lui Cauchy-Riemann). Pentru ca funcia complex f(z) = u(x,y) + iv(x,y) definit n domeniul D s fie monogen n punctul z 0 = x0 + iy 0 D , este necesar ca funciile u i v s admit derivate pariale de ordinul nti n punctul ( x0 , y 0 ) i s satisfac relaiile: (2)u v u v ( x 0 , y 0 ) = ( x0 , y 0 ), ( x0 , y 0 ) = ( x0 , y 0 ) y x x y

numite condiiile de monogeneitate ale lui Cauchy-Riemann. Demonstraie. Pentru z = x + iy D, z z 0 , putem scrie: (3)f ( z ) f ( z 0 ) [u ( x, y ) u ( x0 , y 0 )] + i[v( x, y ) v( x0 , y 0 )] = z z0 ( x x0 ) + i ( y y 0 )

y

z

z

y0

z0 x0

z xx x 0 i y = y0

0

S presupunem c z z 0 pe un drum paralel cu Ox: Din (3) obinem: (4)

u ( x, y 0 ) u ( x 0 , y 0 ) v ( x, y 0 ) v ( x 0 , y 0 ) f / ( z 0 ) = lim +i . x x0 x x0 x x0 Dar existena derivatei f'( z 0 ) implic existena limitelor:

48

(5) i (6) (7)

x x0

lim

u ( x, y 0 ) u ( x0 , y 0 ) u ( x0 , y 0 ) = x x0 x

v( x, y 0 ) v( x0 , y 0 ) v = ( x0 , y 0 ) . x x0 x x0 x limf / (z0 ) =

u v ( x0 , y 0 ) + i ( x0 , y 0 ) . x x Presupunnd c z z 0 , pe un drum paralel cu axa imaginar Oy, atunci

Din relaiile (4), (5) i (6), obinem:

y 0 . x = x 0 i y

Din (3) obinem: (8)1 u ( x0 , y ) u ( x0 , y 0 ) v( x0 , y ) v( x0 , y 0 ) + f / ( z 0 ) = lim y y0 i y y0 y y0 lim u ( x0 , y ) u ( x0 , y 0 ) y y0 v( x0 , y ) v( x0 , y 0 ) y y0 = u ( x0 , y 0 ) y v ( x0 , y 0 ) . y

care implic existena limitelor: (9) i (10) (11)y y0 y y0

lim

=

Din (8), (9) i (10) gsim:

1 u v f / ( z 0 ) = ( x0 , y 0 ) + ( x0 , y 0 ) . i y y

Comparnd relaiile(7) i (11) rezult necesitatea condiiilor (2) i astfel propoziia este demonstrat. Propoziia 2. Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y) olomorf n domeniul D (se noteaz f H(D). Dac u i v admit derivate pariale de ordinul doi continue n D atunci funciile u(x,y) i v(x,y) sunt armonice, adic:2 2 u = 0, v = 0 ,unde = 2 + 2 ,reprezint operatorul lui Laplace. y x

6. Determinarea unei funcii olomorfe pe un domeniu cnd se cunoate partea real sau partea imaginar. Exemplu. S presupunem c f(z)=u(x,y)+iv(x,y) este o funcie monogen pe un domeniu D. Funciile u(x,y) i v(x,y) verific condiiile lui CauchyRiemann:

49

v u v u i . = = x x y y

S presupunem c se cunoate funcia u(x,y). Funcia u(x,y) fiind partea real a funciei monogene f(z) , este o funcie armonic n D. Cunoscnd funcia u(x,y), vom calcula derivatele funciei v(x,y): u v u v , = = y y x x

i difereniala sa:dv = u u dy . dx + x y 2u 2u = 0 . Funcia + x2 y2

n partea dreapt a egalitii avem o diferenial total exact, deoarece u u x = y y x

u fiind funcie armonic , u u dy dx + x y

v(x,y) se poate exprima printr-o integral curbilinie independent de drum, (1)v ( x, y ) =AM

A( x0 , y 0 ) fiind un punct fix, iar M(x,y) un punct arbitrar din D. Drumul de la

A la M se parcurge de obicei pe dou segmente de dreapt paralele cu axele de coordonate (figura), dac acestea sunt cuprinse n domeniul D. y

C ( x0 , y )

M ( x , y)

DA( x0 , y 0 ) B ( x, y 0 )

0

x

Calculnd integrala pe drumul ABM, se obine:v ( x, y ) = u u (t , y 0 )dt + ( x, t )dt x0 y y0 xx y

iar dac se alege drumul ACM,50

v ( x, y ) =

u u x ( x0 , t )dt x y (t , y)dt . y0 0

y

x

Integrala (1) determin funcia v(x,y) n afara unei constante aditive, deci funcia f(z)=u(x,y)+iv(x,y) va fi determinat n afara unei constante aditive . Se observ uor c f(z) astfel determinat este monogen. ntradevr, deoarece sub semnul de integral este o diferenial exact, avem:dv = u v u v u u dy , de unde rezult , . dx + = = y y x x x y

n mod analog se arat c, dat fiind o funcie v(x,y) armonic n D, exist o funcie f(z)=u(x,y)+iv(x,y) monogen pe D. Funcia u(x,y) este determinat n afara unei constante aditive prin integrala curbilinie independent de drum: (2)u ( x, y ) =AM

v v dy dx x y

i cu aceasta f(z) este determinat n afara unei constante aditive . Exemplu . Se d v( z, y ) = e x sin y . S se determine funcia monogen f(z)=u(x,y)+iv(x,y) tiind c f(0)=1. Se verific uor c v(x,y) este armonic. Din condiiile de monogeneitate obinem: v u u v = e x sin y . = = e x cos y, = x y x y

Deci:du = e x cos y dx e x sin y dy

iu ( x, y ) =AM

e

x

cos y dx e x sin y dy .

Integrnd pe drumul ABM din figura de mai sus, obinem:x y

u ( x, y ) = e cos y 0 dx e x sin y dy = e x cos y 0 e xo cos y 0 + e x cos y e x cos y 0x x0 y0

i deci:u ( x, y ) = e x cos y + C(C = e cos y 0 ) .x0

C - constant arbitrar

Rezult c: f ( z ) = e x cos y + C + ie x sin y . Din condiia f(0)=1 gsim C=0. Obinem funcia monogen:f ( z ) = e x cos y + ie x sin y

51

sauf ( z ) = e x (cos y + i sin y ) = e x e iy = e x +iy

i deci:f ( z) = e z .

7. Interpretarea geometric a derivatei. Transformarea conform. Exemplu. Fie f(z)=u+iv o funcie definit n domeniul D. Presupunem c f(z) este monogen n punctul z 0 = x0 + iy 0 D i f / ( z 0 ) 0 . Vom nota w=f(z) i w0 = f ( z 0 ) . Funcia f determin transformarea: (1) u = u(x,y) , v = v(x,y) ntre planele (z) i (w). n planul (z) al variabilei se consider un arc de curb (C) care are o extremitate n M 0 ( z 0 ) (figura).

()

y

(C) M(z)/ M 0 ( z0 )

(z) T

v

N(w)

(w) U

/ N 0 ( w0 )

0

x

0

/

u

Vom nota cu () imaginea curbei (C) prin transformarea punctual (1) ntre planele complexe (z) i (w). Deoarece f / ( z 0 ) 0 , putem scrie: (2) / w w0 w w0 ; f / ( z 0 ) = lim , f ( z 0 ) = zlim z0 z z z z0 z z 0 0 sau lim arg w w0 = arg f / ( z ). 0 z z0 z z 0

.

52

Transformatele punctelor M 0 i M de pe curba (C) sunt respectiv punctele N 0 i N de pe curba () . Fie / i unghiurile formate de secanta M 0 M i tangenta M 0T n M 0 la curba (C) cu axa Ox. Imaginile acestora prin transformarea (1) vor fi unghiurile / i ale secantei N 0 N i ale tangentei N 0U n N 0 la curba imagine () din planul (w) cu axa Ou. Observm c: (3)z z 0 = N 0 M e i ' , w w0 = N 0 N e i '_______ _______

_______

i notnd cu s arcul de curb M 0 M pe (C) i S arcul N 0 N de pe curba () , obinem:N M s S i ( ' ') = lim S e i ( ) , = lim 0 e z z 0 s z z0 M M z z 0 S M 0 M s 0 M N N M deoarece lim 0 = 1 i lim 0 = 1 . M M 0 N N 0 S s ( zz ) ( zz )

(4) f / ( z 0 ) = lim

N0M

ei(

/

')

0

0

Din relaiile (2) i (4) obinem: (5) i (6) arg f / ( z 0 ) = . Am obinut : Propoziia 1. O funcie monogen ntr-un punct z 0 , avnd derivata diferit de zero ( f / ( z 0 ) 0) , transform elementele de arc din vecintatea punctului M 0 ( z 0 ) n elemente de arc proporionale cu modulul derivatei n punctul z 0 . Argumentul derivatei funciei n z 0 este unghiul cu care trebuie rotit n sens direct tangenta M 0T pentru a deveni paralel cu tangenta N 0U la curba () . [Se admite c axele de coordonate din planele (z) i (w) sunt paralele]. Definiia 1. Transformarea punctual (1) ntre planele (z) i (w) se numete transformarea conform dac pstreaz unghiurile. Propoziia 2. O funcie f(z) olomorf ntr-un domeniu D avnd derivata diferit de zero n D definete o transformare conform. Demonstraie. Fie (C1 ), (C 2 ) dou curbe din planul (z) ce trec prin punctul M 0 ( z 0 ), z 0 D i f / ( z 0 ) 0 . Imaginile acestor curbe n planul (w) vor fi (1 ) i (2 ) .53

f / ( z 0 ) = lim

S z z 0 s

Curbele imagine (1 ) , (2 ) trec prin punctul N 0 ( w0 ), w0 = f ( z 0 ) (figura). yT2

(z)T1 (C 2 ) (C1 )

v

U2 U1

(w)/

(2 ) (1 )

2M 0 ( z0 )

1

2N 0 ( w0 )

1

0 x 0 u Fie 1 , 2 unghiurile pe care le formeaz tangentele M 0T1 i M 0T2 n punctul M 0 la curbele (C1 ) i (C2 ) cu axa Ox i 1 , 2 unghiurile pe care le formeaz tangentele imagine N 0U 1 , N 0U 2 n punctul N 0 la curbele (1 ) , (2 ) cu axa Ou. Unghiurile = 2 1 i / = 2 1 reprezint unghiurile sub care se taie respectiv perechile de curbe (C1 , C 2 ) i (1 , 2 ) . Obinem: de unde: (7) arg f / ( z 0 ) = 2 2 = 1 1 (8) = 2 1 = 2 1 = , sau = ,deci curbele (C1 ) i (C2 ) se taie sub acelai unghi ca i curbele imagine (1 ) i (2 ) . Cu aceasta propoziia este demonstrat. Exemplu. Considerm funcia w = f ( z ) = z 2 , z C . Deoarece f / ( z ) 0 , dac z 0 , rezult c f(z) realizeaz o transformare conform n tot planul complex cu excepia originii. Observm c u ( x, y ) = x 2 y 2 , v( x, y ) = 2 xy , i c f este olomorf n C ( f / ( z ) = 2 z ) . Imaginile dreptelor x = 1 i y = 1 din planul (z) vor fi parabolele: (1 ) u = 1 y 2 , v = 2 y, y R i ( 2 ) u = x 2 1, v = 2 x, x R : (1 ) v / = 90 0 (2 ) y(C1 )N 0 (0,2)

x=1 u = 900

(-1,0)

0

'

(1,0)

0

M 0 (1,1)

y=1 (C2 ) x54

(0,-2)

Imaginea dreptei x = 1 (C1 ) este parabola (1 ) avnd ecuaia v = 4(u 1) , iar imaginea dreptei y = 1 (C 2 ) este parabola (2 ) de ecuaie v 2 = 4(u + 1) . Aceste dou parabole sunt ortogonale i trec prin N 0 (0,2) din planul (w), imaginea punctului M 0 (1,1) din planul (z). Observm c se pstreaz unghiurile prin transformarea conform f ( z ) = z 2 ( = = 90 0 ).2

8. Integrala curbilinie n planul complex. Exemplu. Definiie. Principiul de calcul. Proprieti. Fie AB un arc de curb n planul complex (z) definit parametric prin ecuaiile: (1) x = x(t), y = y(t), t [ a, b] . Vom presupune c funciile x(t) i y(t) sunt continue mpreun cu derivatele de ordinul nti pe [a,b] : y_____

* DM1 M2

B( z n ) = M n

*Pk Mk

*

*A( z 0 ) = M 0

0

x

S considerm o diviziune (d) a intervalului [a,b] prin punctele de diviziune (2) a = t 0 < t1 < t 2 < ... < t k 1 < t k ... < t n = b Deoarece ecuaia n complex a arcului de curb_____ _____

AB

este

z = x (t ) + iy (t ), t [ a, b] diviziunea (d) induce pe arcul AB o diviziune (d') prin

punctele de diviziune:A = M 0 ( z 0 ), M 1 ( z1 ),..., M k 1 ( z k 1 ),..., M n ( z n ) = B ,

55

unde z k = z (t k ), k {0,1,2,...n} . Norma diviziunii (d) a intervalului [a,b] este numrul v(d ) = max (t k t k 1 ) . n fiecare subinterval [t k 1 , t k ] alegem un punct1 k n

arbitrar k . Acestui punct i corespunde prinM k 1 M k__________ _

z = z(t), t [a, b] , pe arcul

un punct intermediar Pk ( k ) , corespunztor numrului complex_____

k = z ( k )

Arcului AB i corespunztor diviziunii (d) a intervalului [a,b] i asociem cu ajutorul funciei f(z) numrul complex (2) d ( f ) = f (a k )( z k z k 1 ) .k =1 n

Definiia 1. Funcia f(z), z D este integrabil pe arcul AB D , dac exist un numr complex I cu proprietatea c, pentru orice > 0 , exist un numr ( ) > 0 astfel nct, oricare ar fi diviziunea d cu v(d ) < ( ) i oricare ar fi alegerea punctelor intermediare k , s avem: d( f ) I < . (3) n acest caz vom scrie:I = lim d ( f ) =v ( d )0____

_____

f ( z )dz

AB

i vom spune c I este integrala curbilinie pe arcul C a funciei f(z). Propoziia 1. Dac funcia complex f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z D , este continu pe arcul de curb , AB neted pe poriuni, atunci integrala curbilinie a funciei f(z) pe arcul AB exist i are expresia: (4) f ( z )dz = u ( x, y)dx v( x, y)dy + i v( x, y)dx + u ( x, y)dy. ._____

AB

AB

_____ )

AB

Demonstraie.

Notm

z k = x k + iy k = x(t k ) + iy (t k )

i

a k = k + i k = x ( k ) + iy ( k ), k {1,2,..., n} . Deoarece:

f ( k ) = u ( k , k ) + iv ( k , k ), z k z k 1 = ( x k x k 1 ) + i ( y k y k 1 )

obinem pentru suma d ( f ) expresia: (5) d ( f ) = d/ ( f ) + i d// ( f ) , unde: d / ( f ) = [u ( k , k ) ( x k x k 1 ) v( k , k ) ( y k y k 1 )] .k =1 n

i d // ( f ) = [v( k , k ) ( x k x k 1 ) + u ( k , k ) ( y k y k 1 )] .k =1 n

56

innd seama de definiia integralei curbilinii i de faptul c funciile u(x,y) i v(x,y) sunt continue pe AB iar x(t), y(t) au derivate continue cu excepia unui numr finit de puncte, rezult:v ( d )0_____

lim ( f ) = u ( x, y )dx v( x, y )dy = {u[ x(t ), y (t )]x / (t ) v[ x(t ), y (t )] y / (t )}dt ,/ d

b

AB

a

iv ( d )0 // lim d ( f ) =_____

/ / v( x, y)dx + u ( x, y)dy = v[ x(t ), y(t )]x (t ) + u[ x(t ), y(t )] y (t ) dt . a

b

{

}

AB

1. 2. 3.

Proprieti ale integralei curbilinii : f ( z )dz = f ( z )dz; ;_____ _____

AB

BA

AB

[f ( z ) + g ( z )]dz = f ( z )dz + g ( z )dz, , C ;AB_____

AB

_____

f ( z )dz =

_____

f ( z )dz +

_____

f ( z )dz, C AB ;_____

_____

AB

AC

CB

4.

_____

f ( z )dz M L , unde M = sup f ( z ) i L este lungimea arcului AB ._____

AB

z AB

Observaie. Integralele curbilinii pe contururi nchise luate n sens direct se noteaz . Exemplu. S se calculeze integrala:I =C

dz za

unde (C) este un cerc cu centrul n punctul a i de raz r (figura) care este parcurs n sens direct: y M(z) r a (C) 0 x

57

Punnd z = a + re i , [0,2 ] , obinem:1 1 = e i , dz = ire i d za r

i2

I=

1 i i r e ire d = i d = 2i 0 0

2

9. Teorema lui Cauchy. Pentru a defini integrala curbilinie a unei funcii f(z) pe o curb (C) am presupus c f(z) este continu pe (C) fr alte ipoteze referitoare la existena sau comportarea funciei n puncte care nu aparin curbei (C). n cele ce urmeaz vom presupune c f(z) este olomorf ntr-un domeniu D i c (C) este coninut n D. Integralele curbilinii au proprieti care depind de ordinul de conexiune al domeniului. Vom considera mai nti cazul domeniului simplu conex. Teorema lui Cauchy. Dac f(z) este olomorf ntr-un domeniu simplu conex D, atunci: (1) f ( z )dz = 0C

oricare ar fi curba nchis C coninut n D. Demonstraie. Vom presupune n plus c f / ( z ) este continu pe D (dei aceast ipotez nu este necesar, fapt dovedit de E.Goursat). Fie z = x + iy , f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) ; avem: (2) f ( z )dz = udx vdy + i vdx + udy .C C C

S presupunem c (C) este o curb simpl i s notm cu domeniul care are frontiera ( C )( D ) (figura) : y

D

(C) x

0

58

Integralelor din membrul drept al relaiei (2) li se poate aplica formula lui Green:C

P( x, y )dx + Q( x, y )dy = x y dxdy

Q

P

n ipoteza c

P Q i sunt continue pe . Continuitatea lui f / ( z ) y x u u v v implic continuitatea derivatelor , , , i aplicnd formula lui x y x y

Green obinem:C

udx vdy = x y dxdy

v

u

(3)

iC

vdx + udy = x y dxdy

u

v

.

Dar f(z) este olomorf n D. Deoarece D , n toate punctele domeniului sunt satisfcute condiiile de monogeneitate CauchyRiemann:u v u v = i = ; deci cele dou integrale din (3) sunt nule i x y y xC

pe baza relaiei (2) gsim

f ( z )dz = 0 i teorema este demonstrat.

Teorema lui Cauchy poate fi extins i n cazul cnd domeniul este multiplu conex. Astfel, fie f(z) o funcie olomorf n domeniul dublu conex delimitat de curbele nchise (C1 ) i (C2 ) conform figurii: y D

B

A

(C 2 )

x 0(C1 )

59

Efectund tietura AB , obinem domeniul simplu conex D = \ { AB} , avnd ca frontier curba = (C1 ) (C 2 ) ( AB ) ( BA ) , unde (C1 ) este parcurs n sens direct iar (C2 ) n sens invers. Aplicnd teorema lui Cauchy pentrudomeniul simplu conex D delimitat de curba () , obinem: (4) f ( z )dz = f ( z )dz + f ( z )dz + f ( z )dz + f ( z )dz = 0 .C C1+_____

_____

____

_____

_____

AB

C2

_____

BA

Cum

AB

f ( z )dz + f ( z )dz = 0BA

i

C2

f ( z )dz = f ( z )dz+ C2

formula (4) ne d: (5) f ( z)dz =C1

+ C2

f ( z)dz .

Prin C1+ ,C 2+ , am notat faptul c (C1 ) i (C2 ) se parcurg n sens direct. n cazul unui domeniu multiplu conex delimitat de curbele (C1 ) , (C 2 ) ,, (C n ) unde (C1 ) , (C 2 ) ,, (C n ) sunt exterioare ntre ele i interioare unei curbe (C), C (figura) avem: dac f(z) este olomorf n domeniul , n mod analog, prin practicarea unor tieturi ntre C i curbele (C1 ) , (C 2 ) ,, (C n ) obinem formula lui Cauchy pentru domenii multiple conexe:

y(C1 ) (C 2 )(C n )

(c3)(C k )

0

(C)

x

(6)

C

f ( z )dz = f ( z )dzk =1 C k

n

60

(curbele (C1 ) , (C2 ) ,, (C n ) sunt parcurse n sens direct). 10. Formula integral a lui Cauchy. Fie f(z) o funcie olomorf ntr-un domeniu simplu conex D i C o curb simpl nchis coninut n D. Notm cu domeniul mrginit care are frontiera C (figura) ( D ) y D

(C)

a

r x

*z 0

Teorema 1. Dac se dau valorile funciei f(z) pe curba (C), atunci funcia este complet determinat n , i anume: (1)f (a) = 1 f ( z) dz . 2i C z a

Demonstraie. Fie ( ) un cerc cu centrul n punctul a i de raz r,f ( z) este olomorf n domeniul dublu za conex delimitat de curba (C) i cercul ( ). Conform teoremei lui Cauchy

interior lui (C) (figura). Funcia

pentru domeniile dublu conexe, avem: (2) Observm cC

z a dz = z a dz = z a = 2i . f ( z)

f ( z)

f ( z)

f ( z ) f (a) f (a) dz + dz za za

Funcia f(z) fiind monogen n punctul a, este continu n acest punct i astfel putem scrie evaluarea f ( z ) f (a) < (3) pentru z a < ( ) , z D . Considernd r < ( ) , pentru z ( ) avem z a < ( ) i pe baza proprietii modulului integralei , putem scrie:

61

f ( z ) f (a) f ( z ) f (a) dz dz ds = 2 za za r

unde ds = dz reprezint elementul diferenial de curb pe arcul ( ). Cum > 0 este arbitrar, fcnd 0 obinem:

f ( z ) f (a) dz = 0 . za

innd seama de relaiile (2) i de cele de mai sus, obinem formula (1) numit formula integral a lui Cauchy. Formula integral a lui Cauchy poate fi scris i pentru un domeniu multiplu conex. Astfel, n baza formulei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe, dac a este un punct din domeniul de olomorfie al funciei f(z), avem formula integral a lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe: (4)f (a) =

1 1 n f ( z) f ( z) dz z a 2i C z a dz . 2i C k =1 K

Are loc i: Teorema 2. Fie f(z) o funcie olomorf n domeniul simplu conex D, delimitat de curba nchis (C) neted pe poriuni. Atunci funcia f(z) este indefinit derivabil n D i: (5)f ( n ) (a) = n! f ( z) ( z a) n+1 dz 2i C

unde a este un punct oarecare situat n interiorul lui (C). Formula (5) se obine uor prin inducie, derivnd n raport cu a, sub semnul integralei egalitatea: f (a) =1 f ( z) dz . 2i C z a

Aceasta justific faptul c o funcie

olomorf este indefinit derivabil i f ( k ) ( z ) este olomorf k {1,2,....} . 11. Serii de puteri. Teorema lui Abel. Dezvoltri n serie Taylor Fie irul de funcii ( f n ( z )), z D, D C . Spunem c irul de funcii considerat este convergent n punctul z 0 D dac irul de numere complexe ( f n ( z 0 )) este convergent. Definiia 1. irul de funcii ( f n ( z )), z D este uniform convergent pe mulimea A D ctre funcia f ( z ), z A , , dac pentru orice numr > 0 exist un numr natural n0 ( ) astfel nct pentru n > n0 ( ) s avem: f n ( z ) f ( z ) < , z A .

62

Fie seria de funcii dac seria

fn =1

n

( z ) . Spunem c seria este convergent n z 0 D ,

fn =1

n

( z 0 ) . este convergent. Mulimea punctelor de convergen

ale seriei le numim mulimea de convergen. Definiia 2. Seria de funcii

fn =1

n

( z ) este uniform convergent pe

mulimea A D i are suma funcia S ( z ), z A , dac irul sumelor pariale( S n ( z )) al seriei

f1

n

( z ) , unde:

S n ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f n ( z ), z D

converge uniform pe mulimea A ctre S(z). Are loc: Propoziia 1. Fie

n =1

f n ( z ), z D , o serie de funcii i

un =0

n

, un > 0 , o

serie convergent. Dac