1

UNIVERSITATEA ECOLOGICĂ DIN BUCUREŞTI

FACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE

Lect. univ. dr. SANDRA TEODORESCU

MATEMATICI ECONOMICE

- sinteză-

„Şi în ştiinţă ca şi în altele: mai

mândru e cine o poartă decât cine o face.”

Nicolae Iorga

BUCUREŞTI

2006

2

CUPRINS

1. ALGEBRĂ LINEARĂ 3 1.1. Metoda Gauss-Jordan pentru rezolvarea sistemelor algebrice lineare 3 2. SPAŢII VECTORIALE 8 2.1. Definiţia unui spaţiu vectorial. Exemple 8 2.2. Subspaţii vectoriale 11 2.3. Combinaţii lineare. Dependenţă şi independenţă lineară 11 3. APLICAŢII LINEARE 16 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII 20 5. PROGRAMARE LINEARĂ 24 6. CALCUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 28 6.1. Funcţii de mai multe variabile 28 6.2. Funcţii omogene. Relaţia lui Euler. 29 6.3. Derivate parţiale şi diferenţialele funcţiilor de mai multe variabile 30 6.4. Derivate de ordin superior 32 7. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 34

7.1. Definiţia probabilităţii 34 7.2. Evenimente independente 35 7.3. Probabilităţi condiţionate. Formula probabilităţii totale 38 7.4. Scheme probabilistice clasice 40 7.4.1. Schema binomială generalizată Poisson 40 7.4.2. Schema binomială Bernoulli 45 7.4.3. Schema hipergeometrică 48 7.5. Variabile aleatoare discrete 50 7.5.1. Operaţii cu variabile aleatoare discrete 50 7.5.2. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete 52 7.5.3. Media şi dispersia unei variabile aleatoare discrete 54

8. PLĂŢI EŞALONATE ANUAL 56 8.1. Valoarea finală a unor depuneri anuale 56 8.2. Valoarea actuală a unor plăţi anuale constante 59 Bibliografie 61

3

CAPITOLUL 1.

ALGEBRĂ LINEARĂ

1.1. Metoda Gauss-Jordan pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii

algebrice lineare

Metoda lui Gauss (metoda eliminării complete) este o metodă directă de rezolvare a

sistemelor de ecuaţii lineare, adică după un număr finit de operaţii logice şi aritmetice, metoda

dă soluţia exactă a sistemului. Avantajele acestei metode sunt: se poate programa, se foloseşte

la calculul inversei unei matrici, calculul rangului, aflarea soluţiilor unui sistem de ecuaţii

lineare de dimensiuni mari, etc.

Rezolvarea sistemelor Cramer

Se consideră sistemul de ecuaţii algebrice lineare:

=+++

=+++

=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............................................

...

...

2211

22222121

11212111

(1)

în care presupunem că matricea njiijaA

,1,)(

== este nesingulară (are determinantul nenul),

unde

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

este matricea sistemului,

4

=

nx

x

x

X...

2

1

este vectorul soluţiei sistemului,

=

nb

b

b

b...

2

1

este vectorul termenilor liberi.

Sistemul (1) se mai poate scrie matriceal astfel:

bAX = (2)

sau, dacă 0det ≠A

bAX1−= (3)

Se construieşte tabelul de mai jos care se completează pe prima coloană cu elementele

matricei A , iar a doua coloană cu termenii liberi. După exact n paşi se obţine în stânga

jos, matricea unitate, iar în dreapta jos, soluţia sistemului.

A b

.

.

.

.

.

.

nI X

Algoritmul de determinare a soluţiilor unui sistem de ecuaţii lineare folosind

metoda Gauss-Jordan

Pornim cu primul element al matricei A, pe care îl vom numi pivot (în cazul în

care elementul este nul, putem schimba două linii sau două coloane între ele astfel încât

primul element să fie nenul ).

Elementele de pe diagonala matricii A vor deveni pe rând pivoţi (în tabel el va

apărea subliniat), coloana lui se va numi coloana pivotului iar linia lui, linia pivotului.

5

Regula de transformare a elementelor este următoarea:

Elementele de pe linia pivotului se împart la pivot (astfel că, elementul pivot

se va înlocui cu 1; )

Elementele de pe coloana pivotului devin 0;

Restul elementelor din tabel se calculează cu regula dreptunghiului:

Este vorba despre minorul de ordinul doi care are pe diagonala principală

elementul care trebuie înlocuit şi elementul pivot:

a

bcdad

dc

ba −=→ '

sau

c

adbcb

dc

ba −=→ '

unde, elementul subliniat este pivotul. Se observă că întotdeauna înmulţirea începe cu

pivotul.

Se continuă următoarea iteraţie luând drept pivot următorul element nenul de

pe diagonală.

Observaţie:

În cazul în care unul din pivoţi este nul, se pot efectua permutări de linii sau coloane.

Exemplul 1.

Să se determine soluţia sistemului de mai jos, folosind metoda lui Gauss-Jordan:

=+−

=−+

=−−

1022

1024

22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Rezolvare:

Calculăm determinantul matricei sistemului:

018

221

241

112

≠=

−

−

−−

6

În acest caz, putem aplica metoda, sistemul are soluţie unică. Construim tabelul şi îl

completăm conform regulilor de mai sus:

A b

221

241

112

−

−

−−

10

10

2

Elementele care sunt pe linia pivotului se împart la pivot iar cele de pe coloana pivotului

devin 0. Elementele care nu sunt nici pe linia nici pe coloana pivotului se transformă

conform regulii dreptunghiului astfel:

Linia 2:

( )

( ) ( )

=⋅−⋅

→

−=−⋅−−⋅

→−

=−⋅−⋅

→

92

2110210

2

3

2

11222

2

9

2

11424

devine

devine

devine

Linia 3:

( ) ( )

( )

=⋅−⋅

→

=−⋅−⋅

→

−=−⋅−−⋅

→−

92

2110210

2

5

2

11222

2

3

2

11222

devine

devine

devine

Astfel, înlocuind în tabel, obţinem:

25

230

23

290

21

211

−

−

−−

9

9

1

7

În continuare, scriem prima coloană neschimbată, iar pivotul va fi următorul element

nenul de pe diagonală, adică 29 . Aplicînd aceleaşi reguli de calcul, rezultă la următorul

pas:

2003

1103

201

−

−

12

2

2

Pentru cel de-al treilea pas şi ultimul, pivotul va fi al treilea element nenul de pe

diagonală, adică 2. Primele două coloane rămîn neschimbate, linia pivotului se împarte la

pivot, coloana pivotului se completează cu 0, iar pentru restul elementelor se aplică

regula dreptunghiului:

100

010

001

6

4

6

3I X

Prin urmare, am obţinut pe prima coloană, matricea unitate, iar pe poziţia în care iniţial

au fost termenii liberi, soluţia sistemului:

=

=

=

6

4

6

3

2

1

x

x

x

8

CAPITOLUL 2.

SPAŢII VECTORIALE

2.1. Definiţia unui spaţiu vectorial. Exemple.

Fie V o mulţime nevidă şi K un corp nevid (de exemplu, mulţimea numerelor

reale sau complexe) cu K0 şi K1 elementul zero şi respectiv elementul unitate din K.

Definim următoarele operaţii:

a) adunarea ""+ a două elemente din V astfel: dacă VyxVyx ∈+⇒∈, (operaţie

internă)

b) înmulţirea cu un scalar ""• a unui element din V astfel: fiecărui element Vx ∈ şi

K∈α i se poate asocia un element din V notat cu ,Vx ∈⋅α sau simplu, xα . (operaţie

externă)

În acest context, pe K îl vom numi corpul scalarilor iar elementele sale, numite scalari,

se notează de obicei cu litere greceşti.

Definiţia 2.1.1.

Cvartetul ),,,( ⋅+KV se numeşte spaţiu vectorial dacă cele două operaţii de la a) şi b) sunt

definite şi satisfac următoarele axiome:

)1v Vzyxzyxzyx ∈∀++=++ ,,,)()(

)2v VV ∈∃0 astfel încât Vxx VK ∈∀=⋅ ,00

)3v VxxxK ∈∀=⋅ ,1

)4v VxKxx ∈∀∈∀= ,,,)()( βααββα

)5v VyxKyxyx ∈∀∈∀+=+ ,,,)( αααα

)6v VxKxxx ∈∀∈∀+=+ ,,,)( βαβαβα

9

Observaţie:

Dacă K=R, corpul numerelor reale, atunci V se numeşte spaţiu vectorial real, iar dacă

K=C, corpul numerelor complexe, atunci V se numeşte spaţiu vectorial complex.

Observaţie:

Elementele lui V se numesc vectori, şi se notează de obicei cu litere latine.

Observaţie:

Adunând doi vectori obţinem tot un vector, iar înmulţind un scalar cu un vector rezultatul

este tot un vector.

Exemplul 1.

Primul şi cel mai important exemplu de spaţiu vectorial este spaţiul nR .

Rezolvare:

Fie ( ) 1 2, , ...,nn ix x x x= ∈R R . Corpul K este R, corpul numerelor reale.

Egalitatea a doi vectori este definită astfel : ( )nxxxx ,...,, 21= şi ( )nyyyy ,...,, 21= sunt

egali dacă şi numai dacă niyx ii ,1, =∀= .

Definim acum cele două operaţii:

a) dacă ( )1 2, , ..., nnx x x x= ∈R şi ( )1 2, , ..., n

ny y y y= ∈ R atunci adunarea vectorilor

yx + se defineşte astfel:

1 1 2 2( , ,..., ) nn nx y x y x y x y+ = + + + ∈R

b) înmulţirea unui scalar cu un vector se defineşte astfel:

( )1 2, , ..., nnx x x xα α α α= ∈ R

Acum esate uşor să verificăm cele 5 axiome din definiţia 1.

10

)1v Fie ( )1 2, , ..., nnx x x x= ∈R , ( )1 2, , ..., n

ny y y y= ∈ R , ( )1 2, , ..., nnz z z z= ∈R trei

vectori din nR

Asociativitatea adunării se scrie astfel:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) zyxzzzyyyxxx

zzzyxyxyxzyxzyxzyx

zyxzyxzyxzyzyzyxxx

zzzyyyxxxzyx

nnn

nnnnnn

nnnnnn

nnn

++=++

=++++=++++++=

=++++++=++++=

=++=++

)(,...,,,...,,,...,,

,...,,,...,,,...,,

,...,,,...,,,...,,

,...,,,...,,,...,,)(

212121

212211222111

222111221121

212121

)2v Vectorul nul V0 este evident vectorul cu toate componentele egale cu zero:

)0,...,0,0(0 =nR

Dacă înmulţim vectorul nx ∈R cu scalarul 0 0K = ∈ R obţinem:

( ) ( ) ( ) nRnn xxxxxxx 00,...,0,00,...,0,0,...,,00 2121 ==⋅⋅⋅==⋅

)3v Dacă înmulţim vectorul nx ∈R cu scalarul 1 1K = ∈R obţinem:

( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxx nnn ==⋅⋅⋅==⋅ ,...,,1,...,1,1,...,,11 212121

)4v Fie R∈βα , şi nx ∈R . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) xxxxxxxxxxx nnn )(,...,,,...,,,...,.)( 212121 αβαβαβαββαβαβαβββαβα ====

)5v Fie α ∈ R şi , nx y ∈ R . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) yxyyyxxxyxyxyx

yxyxyxyxyxyxyx

nnnn

nnnn

αααααααααααααα

ααααα

+=+=+++=

=+++=+++=+

,...,,,...,,,...,,

,...,,,...,,)(

21212211

22112211

)6v Fie ,α β ∈ R şi nx ∈R . Atunci:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xxxxxxxx

xxxxxxxxxx

nn

nnn

βαβββααα

βαβαβαβαβαβαβα

+=+=

+++=+++=+

,...,,,...,,

,...,,,...,,)(

2121

221121

11

Am verificat cele 5 axiome ale spaţiului vectorial deci, spaţiul nR este spaţiu vectorial

peste R.

2.2. Subspaţii vectoriale

Definiţia 2.2.1.

O submulţime VW ⊂ nevidă, se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă

i) WyxWyx ∈+⇒∈∀ ,

ii) WxKWx ∈⇒∈∀∈∀ αα,

Observaţie:

Cele două condiţii i) şi ii) se pot exprima într-o formă echivalentă:

iii) WyxKWyx ∈+⇒∈∀∈∀ βαβα ,,,

Exemplul 1.

Fie ( ) 31 2 3, , , 1,3ix x x x i= ∈ ∀ =R R şi fie ( ) 3

1 3 1 3, 0, ,W x x x x= ∈ ⊂R R o submulţime.

Arăt că W este subspaţiu vectorial al lui 3R .

Într-adevăr avem îndeplinite cele două condiţii:

i) ( ) ( ) ( ) Wyxyxyyxx ∈++=+ 33113131 ,0,,0,,0,

ii) ( ) ( ) Wxxxxx ∈== 3131 ,0,,0, αααα

2.3. Combinaţii lineare . Dependenţă şi independenţă lineară.

Definiţia 2.3.1.

Fie ),,,( ⋅+KV un spaţiu vectorial.

i) Dacă nααα ,...,, 21 sunt n scalari din K, şi nvvv ,...,, 21 sunt n vectori din V atunci

vectorul nnvvv ααα +++ ...2211 se numeşte combinaţie lineară a vectorilor nvvv ,...,, 21

cu scalarii nααα ,...,, 21 .

12

ii) Dacă Vv ∈ şi există Kn ∈ααα ,...,, 21 astfel încât nnvvvv ααα +++= ...2211 se

spune că v este combinaţie lineară de vectorii nvvv ,...,, 21 .

Fie ),,,( ⋅+KV un spaţiu vectorial şi nvvvS ,...,, 21= un sistem de vectori din V.

Definiţia 2.3.2.

Se spune că sistemul de vectori S este linear dependent dacă există n scalari

Kn ∈ααα ,...,, 21 , nu toţi nuli, astfel încât

Vnnvvv 0...2211 =+++ ααα (1)

Observaţie:

Relaţia (1) se numeşte relaţie de dependenţă.

Definiţia 2.3.3.

Se spune că sistemul de vectori S este linear independent dacă din orice combinaţie

lineară de forma

Vnnvvv 0...2211 =+++ ααα

rezultă că toţi scalarii Kn ∈ααα ,...,, 21 sunt nuli.

Propoziţia 1.

Sistemul de vectori nvvvS ,...,, 21= este linear dependent ⇔ cel puţin unul dintre

vectori este combinaţie lineară de ceilalţi vectori.

Demonstraţie:

""⇒ Dacă sistemul nvvvS ,...,, 21= este linear dependent atunci există scalarii

Kn ∈ααα ,...,, 21 nu toţi nuli pentru care este adevărată relaţia de dependenţă (1).

Fie Kk 0≠α . Multiplicând relaţia (1) cu kα

1 şi izolând kv în membrul stâng, obţinem:

13

n

k

n

kk

k vvvvα

α

α

α

α

α−−−−= ...2

21

1

Notăm cu kiniKk

ii ≠=∀∈−= ,,1,

α

αβ . Atunci, relaţia de mai sus devine:

∑≠=

=⇔+++=n

kii

iiknnk vvvvvv1

2211 ... ββββ

adică cel puţin unul dintre vectori este combinaţie lineară de ceilalţi vectori.

""⇐ Fie jv o combinaţie lineară de ceilalţi vectori din S astfel:

∑≠=

=n

jii

iij vv1

α

sau altfel spus:

0...2211 =−−−− nnj vvvv ααα

iar scalarii nααα −−− ,...,,,1 21 nu sunt toţi nuli, deci sistemul de vectori nvvvS ,...,, 21=

este linear dependent.

Exemplul 1.

Fie vectorii ( ) ( ) ( ) 31 2 31, 0,0 , 0,1,0 , 0, 0,1e e e= = = ∈R . Stabiliţi dacă sistemul de vectori

321 ,, eee este linear independent.

Rezolvare:

În acest caz, relaţia de dependenţă (1) este:

30332211 Reee =++ ααα

Înlocuind vectorii obţinem:

( )

=

=

=

⇔=

⇔=++

0

0

0

)0,0,0(,,

0)1,0,0()0,1,0()0,0,1(

3

2

1

321

321 3

α

α

α

ααα

αααR

ceea ce înseamnă că sistemul de vectori 321 ,, eee este linear independent.

14

Observaţie:

Considerăm în spaţiul vectorial nK peste corpul K, mulţimea de vectori neee ,...,, 21 ,

unde

)1,0,...,0,0,0(

...........................

)0,0,...,0,1,0(

)0,0,...,0,0,1(

2

1

=

=

=

ne

e

e

Analog se arată că această mulţime formează un sistem de vectori linear independent.

Exemplul 2.

Fie vectorii ( ) ( ) ( ) 31 2 31,1, 0 , 2, 1,1 , 1,5, 4v v v= = − = − ∈R . Stabiliţi dacă sistemul de vectori

321 ,, vvv este linear independent.

Rezolvare:

În acest caz, relaţia de dependenţă (1) este:

30332211 Rvvv =++ ααα

Înlocuind vectorii obţinem:

( )

=+

=+−

=−+

⇔=++−−+

⇔=−+−+

04

05

02

)0,0,0(4,5,2

0)4,5,1()1,1,2()0,1,1(

32

321

321

32321321

321 3

αα

ααα

ααα

αααααααα

αααR

astfel, problema s-a redus la rezolvarea unui sistem omogen de trei ecuaţii cu trei

necunoscute. Calculând determinantul sistemului se obţine:

018

410

511

121

≠−=−

−

În acest caz sistemul are soluţie unică şi pentru că sistemul este omogen, soluţia este nulă:

0321 === ααα

adică sistemul 321 ,, vvv este linear independent.

15

Observaţie:

Subsistemul 21, vv este deasemenea independent. În general vorbind, un subsistem al

unui sistem de vectori linear in dependent este deasemenea linear independent. Dacă

adăugăm la acest subsistem încă un vector, natura sistemului s-ar putea schimba.

Exemplul 3.

Fie vectorii ( ) ( ) ( ) 31 2 32, 1,3 , 1,1, 1 , 2, 2, 2v v v= − = − = − − ∈ R . Stabiliţi dacă sistemul de

vectori 321 ,, vvv este linear independent.

Rezolvare:

În acest caz, relaţia de dependenţă (1) este:

30332211 Rvvv =++ ααα

Înlocuind vectorii obţinem:

( )

=++

=−+−

=−+

⇔=++−+−−+

⇔=−−+−+−

023

02

022

)0,0,0(23,2|,22

0)2,2,2()1,1,1()3,1,2(

321

321

321

321321321

321 3

ααα

ααα

ααα

ααααααααα

αααR

astfel, problema s-a redus la rezolvarea unui sistem omogen de trei ecuaţii cu trei

necunoscute. Calculând determinantul sistemului se obţine:

0

213

211

212

=

−

−−

−

În acest caz, sistemul este compatibil (fiind omogen) şi nedeterminat.

Un minor principal este :

0311

12≠=

−

care corespunde primelor două ecuaţii din sistem şi necunoscutelor 21,αα . În acest caz

vom considera 21,αα necunoscute principale şi Rtnot

∈=3α necunoscută secundară . Cum

16

t este arbitrar şi 21,αα se vor calcula în funcţie de t ⇒ există cel puţin un

2,1,0 ∈∀≠ iiα ⇒ sistemul de vectori 321 ,, vvv este linear dependent.

Pentru a stabili relaţia de dependenţă rezolvăm sistemul:

0202

0

2

22321

3

2

1

21

21=++⇒

=

=

=

⇒

=+−

=+tvtvv

t

tt

t

α

α

α

αα

αα

Cum t este arbitrar, fie t=1, deci relaţia de dependenţă va fi:

020 321 =++ vvv .

Observaţii:

1) Dacă un sistem de vectori, conţine vectorul nul, sistemul este linear dependent.

2) Dacă S este un sistem de vectori linear dependent şi 'SS ⊂ atunci sistemul S’ este

deasemenea linear dependent.

CAPITOLUL 3.

APLICAŢII LINEARE

3.1. Aplicaţii lineare

Definiţia 3.1.1.

Fie V şi W două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K .

Aplicaţia :A V W→ se numeşte aplicaţie (transformare) lineară ⇔ sunt îndeplinite

condiţiile:

1) ( ) ( ) ( ), ,A x y A x A y x y V+ = + ∀ ∈ (aditivitate)

2) ( ) ( ), ,A x A x x V Kα α α= ∀ ∈ ∀ ∈ (omogenitate)

sau

3) ( ) ( ) ( ), , , , .A x y A x A y x y V Kα β α β α β+ = + ∀ ∈ ∀ ∈

17

Observaţie:

Aplicaţia :A V V→ se numeşte operator ,iar dacă A este şi liniară atunci se numeşte

operator liniar. Aplicaţia :A V K→ se numeşte funcţională sau formă iar dacă A este

şi liniară atunci se numeşte funcţională liniară.

Exemplul 1.

Să se verifice dacă aplicaţia

2:A → 3R R

1 2 1 2 1 2( , ) (3 , , )A x x x x x x= −

este aplicaţie liniară.

Rezolvare:

Verific condiţiile 1) şi 2) din definiţia 1. Fie x = 21 2( , )x x ∈ R şi 1 2( , )y y y= ∈ 2

R

1) 2( ) ( ) ( ), ,A x y A x A y x y+ = + ∀ ∈ R .

Încep cu membrul drept al egalităţii:

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) (3 , , )

( ) (3 , , )

A x x x x x

A y y y y y

= −⇒

= −

⇒ ( ) ( )A x A y+ = 1 2 1 2(3 , , )x x x x− + 1 2 1 2(3 , , )y y y y−

= ( 1 1 2 2 1 2 1 23 3 , , )x y x y x x y y+ + − + − .

Evaluez membrul stâng al egalităţii. Pentru aceasta e necesar să determin componentele

vectorului x y+ :

1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )x y x x y y x y x y+ = + = + +

⇒ 1 1 2 2 1 1 2 2( ) (3( ), , )A x y x y x y x y x y+ = + + + − −

= 1 1 2 2 1 1 2 2(3 3 , , )x y x y x y x y+ + − + −

= ( ) ( )A x A y+ .

2) ( ) ( )A x A xα α= , 21 2( ) ,x x x α∀ = ∈ ∀ ∈R R .

1 2 1 2 1 2 1 2( ) (3 , , ) (3 , , ).A x x x x x x x x xα α α α α α= − = −

Vectorul xα are componentele:

1 2 1 2( , ) ( , )x x x x xα α α α= =

18

1 2 1 2( ) (3 , , ) ( )A x x x x x A xα α α α α α⇒ = − = .

Cum condiţiile 1) şi 2) sunt îndeplinite ⇒ aplicaţia A este liniară.

3.2. Matricea ataşată unei aplicaţii lineare

Fie ,n mV W două spaţii vectoriale peste corpul K de dimensiuni n şi respectiv m, şi

1 2 , ... nB e e e= şi 1 2 , ... mB w w w= câte o bază în fiecare din spaţiile date. Atunci, se

poate dovedi că există şi este unică o aplicaţie liniară definită pe nV cu valori în mW dată

de relaţia:

1

( ) , 1,m

i ij j

j

A e a w i n=

= =∑ (1)

unde ija sunt coordonatele vectorilor ( )iA e în baza B . Matricea ( ) 1,

1,

i nij

j m

a =

=

=A se numeşte

matricea ataşată aplicaţiei liniare A .

Dacă notăm cu

1( )

( )

( )n

A e

A e

A e

=

M şi 1

m

w

W

w

=

M relaţia (1) se va transcrie matriceal astfel:

( ) tA e W= ⋅A (2)

Dacă : n mA V W→ este o aplicaţie liniară şi nx V∈ care se scrie

1

ni

i

i

x x e=

=∑ ,

unde ix sunt coordonatele lui V în baza B , şi dacă my W∈ admite scrierea

1

mj

j

j

y y w=

=∑ în baza B

atunci avem următoarea corespondenţă:

1

, 1,n

j i

ij

i

y a x j m=

= =∑ . (3)

19

Relaţia (3) exprimă legătura dintre coordonatele vectorului x şi imaginea acestui vector

prin aplicaţia A.

Dacă notăm cu

1

m

y

y

y

=

M şi

1

n

x

x

x

=

M , relaţia (3) are următoarea transcriere matriceală:

y x= ⋅A (4)

Exemplu rezolvat:

Să se scrie matricea ataşată aplicaţiei liniare 3 3:A →R R

1 1 2 1 2 3( ) (2 , , 3 )A x x x x x x x= − + + .

Rezolvare:

Fie 1 2 , ... ne e e baza canonică din 3R .

1 1 2 3( ) (2,1,1) 2A e e e e⇒ = = + +

2 1 2 3( ) (0, 1,1) 0A e e e e= − = ⋅ − +

3 1 2 3( ) (0,0,3) 0 0 3A e e e e= = ⋅ + ⋅ +

1 1

2 2

3 3

( ) 2 1 1 2 0 1

( ) ( ) 0 1 1 1 1 0

( ) 0 0 3 1 1 3

A e e

A e A e e

A e e

⇒ = = − ⇒ = −

A

sau: 1 2 3( ) , ( , , )A x y y y y y= = ⇒ 1 12y x=

2 1 2y x x= −

3 1 2 33y x x x= + +

2 0 0

1 1 0

1 1 3

⇒ = −

A .

20

CAPITOLUL 4.

VALORI ŞI VECTORI PROPRII

4.1. Valori şi vectori proprii ai unui endomorfism

Fie V spaţiu vectorial peste K , V=K R C şi :A V V→ un endomorfism (

aplicaţie liniară şi injectivă).

Definiţia 4.1.1.

Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie a endomorfismului A dacă există cel puţin

un vector \ 0vv V∈ a.î. ( ) ( )A v vλ= .

Definiţia 4.1.2.

Orice vector \ 0vv V∈ care satisface relaţia de mai sus se numeşte vector propriu al

endomorfismului A .

Definiţia 4.1.3.

Mulţimea valorilor proprii ale unui endomorfism A se numeşte spectrul

endomorfismului A .

Exemplu rezolvat.

Dacă 2 2:A →R R

1.1) ( , ) ( , )A x y y x= , atunci (1,1) 1 (1,1)A = ⋅ , deci 1 1λ = este valoare proprie iar

1 (1,1)v = este vector propriu al endomorfismului A .

1.2) ( 1,1) (1, 1) ( 1)( 1.1)A − = − = − − deci 2 1λ = − este valoare proprie iar 2 ( 1,1)v = −

este vector propriu al endomorfismului A .

21

Proprietatea 1.

p1) Unui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie .

p2) Dacă v este vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ , atunci toţi vectorii

, 0k v k⋅ ≠ , sunt vectori proprii corespunzători acestei valori proprii.

Demonstraţie:

p1) Reducere la absurd. Presupunem că unui vector propriu îi corespund două valori

proprii 1 2, ,λ λ 1 2λ λ≠ ⇒

11 2 1 2

2

( )( ) 0

( ) v

A v vv v v

A v v

λλ λ λ λ

λ

=⇒ = ⇒ − =

=

dar 1 20vv λ λ≠ ⇒ = ⇒ presupunerea e falsă.

p2) Avem 0

( ) ( ) ( ) ( )aplicatie liniara v vector propriu k

A kv kA v k v kvλ λ≠

= = ⋅ = ⇒ 0vkv kv≠ ⇒ este vector

propriu pentru endomorfismul A .

Consecinţă (la p2)

Unei valori proprii λ îi pot corespunde o infinitate de vectori proprii.

Definiţia 4.1.4.

Mulţimea ( ) / ( ) , este valoare proprie,S kv A v v kλ λ λ= = ∈ K se numeşte subspaţiu

propriu generat de A . ( este mulţimea tuturor vectorilor proprii corespunzători valorii

proprii λ ).

Proprietatea 2.

Subspaţiile proprii, corespunzătoare valorilor proprii distincte sunt distincte.

Demonstraţie:

Fie 1 2λ λ≠ şi presupunem că subspaţiile proprii nu sunt distincte, adică

1 2 1( ) ( ) ( )S S A v vλ λ λ= ⇒ = şi 1 2

2 1 2 1 2( ) ( ) 0 0v vA v v v v v vλ λ

λ λ λ λ λ≠

= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

0vv⇒ ∀ ≠ avem 1 2 1 2( ) ( ) pentruS Sλ λ λ λ≠ ≠ .

22

Fie . .nV s v K , un spaţiu de dimensiune n , şi fie o bază a sa 1 2, ,..., nB e e e= . Fie

endomorfismul : n nA V V→ , despre care am văzut că i se poate ataşa o matrice A , unică,

în baza B .

Definiţia 4.1.5.

Prin valori şi vectori proprii ai matricii A , înţelegem valori şi vectori proprii ai

endomorfismului A .

Definiţia 4.1.6.

Matricea , ( )n n nIλ− ∈A KM se numeşte matricea caracteristică ataşată matricii

, ( )n n∈A KM , iar determinantul det( )nIλ−A se numeşte determinantul caracteristic al

matricii A .

Observaţie:

Dacă dezvoltăm determinantul de mai sus, obţinem un polinom de gradul n , de forma:

10 1( ) det( ) ... , , 1,n n

n n n iP I c c c c i nλ λ λ λ −= − = + + + ∈ =A K .

Definiţia 4.1.7.

Polinomul ( )nP λ se numeşte polinom caracteristic ataşat matricii A .

Definiţia 4.1.8.

Ecuaţia det( )nIλ−A =0 se numeşte ecuaţie caracteristică ataşată matricii A , iar

rădăcinile ecuaţiei carcateristice se numesc rădăcini caracteristice ale matricii A .

Proprietatea 3.

Un scalar λ ∈ K este valoare proprie a matricii ( )n∈ ⇔A KM verifică ecuaţia

caracteristică: det( )nIλ−A =0.

23

Observaţie:

Mulţimea valorilor proprii, ale matricii A , coincide cu mulţimea rădăcinilor ecuaţiei

caracteristice, iar subspaţiile proprii corespunzătoare fiecărei valori proprii în parte sunt

formate de soluţiile ecuaţiilor matriceale.

Exemplul 1.

Să se determine valorile şi vectorii proprii corespunzători matricei 2 ( ),∈A RM

1 2

4 1

=

− A .

Rezolvare:

Rezolvăm ecuaţia caracteristică:

3

1 2 0 1 2det( ) 0 det 0 det 0

4 1 0 4 1I

λ λλ

λ λ

− − = ⇔ − = ⇔ =

− − − A

2 21 20 (1 )(1 ) 8 0 1 8 9

4 1

λλ λ λ λ

λ

−⇔ = ⇔ − − + − = ⇔ − = − ⇔ =

− −

1 23, 3λ λ⇔ = = − sunt valorile proprii pentru A .

Determinăm vectorii proprii corespunzători fiecărei valori proprii în parte:

Pentru 1 3λ = căutăm vectorul 21 1, a.

av v

b

∈ =

R î.

1 1 1

1 2 2 3 2 2 03

4 1 4 3 4 4 0

a a a b a a bv v

b b a b b a bλ

+ = − + = = ⇔ = ⇔ ⇔

− − = − = A

0a b a b⇔ − = ⇒ = .

Deci 1 1

a av v

b a

= ⇔ =

,

( ) ( ) (3) , 1,1S a a a a a= ∈ = ∈R R . Unul din vectorii proprii corespunzători valorii

proprii 1 3λ = este ( )1,1 (pentru 1a = ).

24

Pentru 2 3λ = − căutăm un vector 22 2,

av v

b

∈ =

R a.î.

2 2 2

1 2 2 3 4 2 03

4 1 4 3 4 2 0

a a a b a a bv v

b b a b b a bλ

+ = − + = = ⇔ = − ⇔ ⇔

− − = − + = A

4 2 0 2a b b a⇔ + = ⇒ = − .

Deci 2 2 2

a av v

b a

= ⇔ =

− ,

( ) ( ) ( 3) , 2 1, 2S a a a a a− = − ∈ = − ∈R R . Unul din vectorii proprii corespunzători

valorii proprii 2 3λ = − este ( )1, 2− (pentru 1a = ).

CAPITOLUL 5.

PROGRAMARE LINEARĂ

Se consideră m resurse materiale (materii prime, materiale, forţă de muncă,

investiţii de capital) notate prin mRRR ...,,, 21 ce se utilizează pentru a produce n produse

notate prin .,...,, 21 nCCC

Se cunosc cantităţile disponibile de resurse, notate prin mbbb ,...,, 21 ; beneficiile

unitare obţinute prin realizarea produselor, notate prin nccc ,...,, 21 ; coeficienţii

tehnologici, notaţi prin ija , ce reprezintă cantitatea din resursa miRi ,1, = , ce se consumă

(utilizează) pentru a se realiza unitatea de produs .,1, njC j =

Scopul acestui proces economic constă în determinarea cantităţii din fiecare

produs, ce trebuie produsă pentru a se obţine beneficiul total maxim.

În vederea construirii modelului matematic datele problemei se reprezintă în

următorul tabel:

25

Obiective

Resurse

nj CCCC .......21 Disponibil

1

.

.

.

.

i

m

R

R

R

11 12 1 1

1 2

1 2

.... ...

. . .... . ... .

. . .... . ... .

.... ...

. . .... . ... .

. . .... . ... .

.... ...

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a

a a a a

1

.

.

.

.

i

m

B

B

B

Beneficii nj cccc .......21

Tabel 1.

Fie njx j ,1, = cantitatea ce trebuie realizată din produsul njC j ,1, = .

Problema de programare lineară (pe care o vom nota prescurtat cu p.p.l.)

optimizează (maximizează sau minimizează) o funcţională lineară, numită “funcţie

obiectiv” şi o mulţime de egalităţi şi/sau inegalităţi lineare numite “restricţii”.

Exemplul 1.

O firmă produce matase de două tipuri : A şi B. Profitul la un balot de matase de tipul A

este de 20 € iar unul de tipul B este de 16 €. Firma are un stoc de 1400 kg de mătase

roşie, 1500 kg de mătase neagră şi 1800 kg de mătase verde. Pentru un balot de matase de

tipul A sunt necesare 4 kg de mătase roşie, 5 kg de mătase neagră şi 2 kg de mătase

verde. Cantităţile corespunzătoare pentru un balot de mătase de tipul B sunt respectiv: 4

kg, 3kg, 6 kg. Cîte baloturi de mătase de tipul A respectiv B trebuie să producă firma

pentru a-şi maximiza profitul?

Formularea matematică a problemei

Vom nota cu 1x numărul baloturilor de tipul A şi cu 2x numărul baloturilor de

tipul B. Aceste variabile le vom numi variabile de decizie.

26

Profitul total realizat de 1x şi 2x este : 20 1x +16 2x . Funcţia obiectiv reflectă

obiectivul problemei: maximizarea profitului total.

Una din restricţii referitoare la stocul de mătase roşie este că acesta nu trebuie să

depăşească 1400 kg: 4 1x +4 2x ≤1400. Analog, restricţiile referitoare la stocul de mătase

neagră: 5 1x +3 2x ≤1500, şi la stocul de mătase verde: 2 1x +6 2x ≤1800, şi bineînţeles

cerinţele minime: 0,0 21 ≥≥ xx .

Problema se poate scrie astfel:

≥

≥

≤+

≤+

≤+

+=

0

0

180062

150035

140044

1620)max(

2

1

21

21

21

21

x

x

xx

xx

xx

xxf

Observaţii:

1. Funcţia obiectiv )(xf şi restricţiile sunt expresii lineare ale variabilelor de

decizie.

2. Restricţia poate fi:

- inegalitate: “mai mic sau egal” (≤), “mai mare sau egal” (≥)

- egalitate: (=)

3. Toate variabilele unei p.p.l. sunt nenegative. Această proprietate reflectă faptul că

programarea lineară este folosită în probleme reale (variabilele negative fiind

ilogice).

Definiţia 5.1.1.

În general p.p.l. este definită astfel:

=∀≥

≥=≤+++

≥=≤+++

≥=≤+++

+++=

njx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcfsauf

j

mnmnmm

nn

nn

nn

,1,0

),,(...

.....................................................

),,(...

),,(...

...)max()min(

2211

22222121

11212111

2211

(1)

27

unde njmiabc ijij ,1,,1,,, =∀=∀ , sunt constante care se determină din datele problemei

iar jx sunt variabilele de decizie.

Pentru fiecare restricţie este valabilă doar una din inegalităţile: ≥=≤ ,, .

Restrâns, problema se poate scrie astfel:

=∀≥

=∀≥=≤

=

∑

∑

=

=

njx

mibxa

xcfopt

j

i

n

j

jij

n

j

jj

,1,0

,1,),,(

)(

1

1

(2)

unde

- prima relaţie opt(f) reprezintă max(f) sau min(f);

- a doua relaţie reprezintă sistemul de restricţii;

- a treia relaţie reprezintă condiţiile de nenegativitate (pozitivitate) impuse

variabilelor modelului matematic.

Problema de programare lineară se poate rezolva cu metoda Simplex, care este o

tehnică iterativă care pleacă de la o soluţie admisibilă şi prin calcule algebrice această

soluţie se îmbunătăţeşte succesiv, în mai mulţi paşi. Metoda simplex investighează toate

soluţiile de bază posibile. Astfel, există două condiţii numite condiţia de admisibilitate şi

condiţia de optimalitate, care selectează soluţia optimă. Numărul maxim de iteraţii din

rezolvarea unei p.p.l. prin metoda simplex nu poate depăşi numărul soluţiilor de bază. O

simplă greşeală de calcul într-o iteraţie oarecare poate duce la un rezultat eronat, deşi

studentul respectiv a înţeles corect mecanismul algoritmului.

28

CAPITOLUL 6.

CALCUL DIFERENŢIAL PENTRU

FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

6.1. Funcţii de mai multe variabile

Funcţiile de mai multe variabile sunt întâlnite adesea în modelarea activităţilor

economice.

De exemplu: o firmă exportă 3 produse în cantităţile , ,1 2 3x x x la preţul pieţei,

, ,1 2 3p p p .

Să se scrie funcţia care cuantifică nivelul încasărilor dacă:

a) indiferent de cantităţile cumpărate, preţul rămîne ,1 2p p şi respectiv 3p .

b) se face o reducere de preţ de 1% pentru produsul 2, o reducere de 1,5%

pentru produsul 1 şi o reducere de 2% pentru produsul 3, în raport cu cantităţile

cumpărate.

Rezolvare:

a) ( , , )1 2 3 1 1 2 2 3 3y f x x x p x p x p x= = + +

b)

( ) ( ) ( )( , , ) 0,015 0,01 0,021 2 3 1 2 31 1 2 2 3 30,985 0,99 0,981 1 2 2 3 3

y f x x x p p x p p x p p x

p x p x p x

= = − + − + −

= + +

Definiţia 6.1.1.

Fie nRI ⊂ . O funcţie nRIf →: se numeşte funcţie reală de n variabile reale.

Valoarea funcţiei f într-un punct ( ) Ixxxx n ∈= ,...,, 21 se notează cu

),...,,( 21 nxxxf .

29

6.2. Funcţii omogene

Definiţia 6.2.1.

Fie 2RI ⊂ o mulţime cu proprietatea că Iyx ∈∀ ),( şi 0\Rt ∈∀ rezultă Itytx ∈),( .

O funcţie RIf →: se numeşte omogenă de grad m dacă

),(),( yxfttytxf m= , 0\Rt ∈∀ .

Definiţia 6.2.2.

Fie nRI ⊂ o mulţime cu proprietatea că Ixxx n ∈∀ ),...,,( 21 şi 0\Rt ∈∀ rezultă

Itxtxtx n ∈),...,,( 21 . O funcţie RIf →: se numeşte omogenă de grad m dacă

),...,,(),...,,( 2121 n

m

n xxxfttxtxtxf = , 0\Rt ∈∀ .

Teorema 1. (Teorema lui Euler)

Dacă ),( yxf este omogenă de grad m şi diferenţiabilă pe mulţimea I, atunci:

),(''yxfmyfxf yx ⋅=+ .

Analog, pentru o funcţie de trei variabile, teorema sună astfel:

Teorema 2. (Teorema lui Euler)

Dacă ),,( zyxf este omogenă de grad m şi diferenţiabilă pe mulţimea I, atunci:

),,('''zyxfmzfyfxf zyx ⋅=++ .

Exemplul 1.

Să se arate că funcţia )(35),( 33 yxxyyxyxf +−+= este omogenă şi să se verifice

pentru ea relaţia lui Euler.

Rezolvare:

Înlocuim cele două variabile x şi y, în ordine, cu tytx, :

30

⇒⋅=+−+= ).()(3)()(5),( 333 yxfttytxtxtytytxtytxf funcţia este omogenă de grad

m=3.

22' 3615 yxyxf x −−=

xyxyf y 633 22' −−=

[ ] ),(),(3)(353 33''yxfmyxfyxxyyxyfxf yx ⋅=⋅=+−+=+ , deci relaţia lui Euler este

verificată.

6.3. Derivate parţiale şi diferenţialele funcţiilor de mai multe

variabile

Fie 2RI ⊂ , 2: RIf → şi un punct interior mulţimii I.

Definiţia 6.3.1.

Funcţia ),( yxf admite în punctul (a,b) derivată parţială în raport cu variabila x dacă

există şi e finită limita:

ax

bafbxf

axax −

−

≠→

),(),(lim .

În acest caz ea se notează cu ),(' baf x sau x

baf

∂

∂ ),( sau

( )bax

f

,

∂

∂sau ),( ba

x

f

∂

∂.

Definiţia 6.3.2.

Funcţia ),( yxf admite în punctul (a,b) derivată parţială în raport cu variabila y dacă

există şi e finită limita:

by

bafyaf

byby −

−

≠→

),(),(lim

În acest caz ea se notează cu ),(' baf y sau y

baf

∂

∂ ),( sau

( )bay

f

,

∂

∂sau ),( ba

y

f

∂

∂.

Observaţia 1.

31

Derivatele de mai sus sunt derivate parţiale de ordinul I în raport cu cele două variabile.

Din definiţiile de mai sus se observă imediat că atunci când calculăm derivata parţială lui

f în rapot cu variabila x, considerăm variabila y, ca fiind constantă, iar atunci când

calculăm derivata parţială lui f în rapot cu variabila y, considerăm variabila x, ca fiind

constantă.

Observaţia 2.

Pentru o funcţie de trei variabile, ),,( zyxf pot exista trei derivate parţiale de ordinul I în

punctul (a,b,c):

• derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport cu variabila x

ax

cbafcbxfcbaf

axax

x−

−=

≠→

),,(),,(lim),,('

• derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport cu variabila y

by

cbafcyafcbaf

byby

y−

−=

≠→

),,(),,(lim),,('

• derivata parţială a lui f în punctul (a,b,c)în raport cu variabila z

.),,(),,(

lim),,('cz

cbafzbafcbaf

czcz

z−

−=

≠→

Definiţia 6.3.3.

Fie nRI ⊂ şi o funcţie nRIf →: de n variabile reale.

Funcţia f este derivabilă în punctul Iaaa n ⊂),...,,( 21 în raport cu variabila ix dacă

ii

niiiniii

axax ax

aaaaafaaxaaf

ii

ii −

− +−+−

≠→

),...,,,,...,(),...,,,,...,(lim 111111

există şi este finită.

În acest caz derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila ix se notează cu:

),...,,( 21'

nx aaafi

.

32

6.4. Derivate de ordin superior

Definiţia 6.4.1.

Fie 2RI ⊂ şi o funcţie RIf →: de 2 variabile reale pentru care există 'xf şi '

yf pe I .

Dacă pentru funcţiile de două variabile ),(' yxf x şi ),('yxf y există derivatele lor parţiale,

atunci ele se numesc derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei f(x,y).

( )''''2 xxx

ff = sau 2

2

x

f

x

f

x ∂

∂=

∂

∂

∂

∂

( )''''yxxy ff = sau

yx

f

x

f

y ∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂ 2

( )''''

xyyx ff = sau xy

f

y

f

x ∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂ 2

( )''''2

yyyff = sau

2

2

y

f

y

f

y ∂

∂=

∂

∂

∂

∂

Observaţia 1:

Derivatele parţiale de ordinul trei sunt derivatele parţiale ale celor de ordinul doi.

Observaţia 2:

O funcţie de trei variabile, f(x,y,z) pate avea 9 derivate de ordinul doi.

Criteriul lui Young

Dacă f(x,y) are 'xf şi '

yf pe o vecinătate V a punctului (a,b) şi sunt diferenţiabile în

(a,b)⇒ există derivatele mixte de ordinul doi în (a,b) şi ),(),( ''''bafbaf yxxy = .

Criteriul lui Schwarz

Dacă f(x,y) are 'xyf şi '

yxf pe o vecinătate V a punctului (a,b) şi sunt continue în

(a,b)⇒derivatele mixte de ordinul doi în (a,b) sunt egale: ),(),( ''''bafbaf yxxy = .

33

Diferenţiala de ordinul I pentru funcţia de două variabile RRIf →⊂ 2: este dată de

formula:

dyy

fdx

x

fdf

∂

∂+

∂

∂=

sau

dyfdxfdf yx

'' +=

Diferenţiala de ordinul I pentru funcţia de trei variabile RRIf →⊂ 3: este dată de

formula:

dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

sau

dzfdyfdxfdf zyx

''' ++=

Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia de două variabile RRIf →⊂ 2: este dată de

formula:

22

222

2

22 2 dy

y

fdxdy

yx

fdx

x

ffd

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂=

sau

2''''2''222 2 dyfdxdyfdxffd

yxyx++=

Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia de trei variabile RRIf →⊂ 3: este dată de

formula:

dzdxxz

fdydz

zy

fdxdy

yx

fdz

z

fdy

y

fdx

x

ffd

∂∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

2222

2

22

2

22

2

22 222

sau

dzdxfdydzfdxdyfdzfdyfdxffd zxyzxyzyx

''''''2''2''2''2 222222 +++++=

34

CAPITOLUL 7

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

7.1. Definiţia probabilităţii

Se consideră E multimea evenimentelor ataşate unei experienţe cu un număr finit

de rezultate posibile. Evenimentele din E se deosebesc între ele şi prin posibilitatea de

apariţie sau gradul de realizare, adica unele au grad de realizare mai mare în comparaţie

cu altele ţinându-se seama şi de numărul evenimentelor elementare ce le implică. Pentru a

masura gradul de realizare al unui eveniment din E se defineşte noţiunea de probabilitate

în sens clasic.

Definiţia 7.1.1.

Daca ţinem cont că evenimentele elementare din E au acelasi grad de realizare, se

numeşte probabilitate în sens clasic a unui eveniment A din E numărul

P Am

n( ) =

unde n este numarul total de evenimente elementare din E, iar m este numarul

evenimentelor elementare care îl implica pe A.

Altfel spus definiţia de mai sus poate fi exprimată astfel : probabilitatea realizarii

evenimentului A este raportul dintre numărul cazurilor favorabile şi numărul cazurilor

total posibile.

Observaţie:

Probabilitatea, se poate considera ca o funcţie P:P( Ω ) → [0,1] având proprietăţile:

a) P( ∅ )=0;

b) P( Ω )=1;

c) P(AU B)=P(A)+P(B)-P(AI B);

d) P(A-B)=P(A)-P(B), daca B ⊂ A;

e) P(A-B)=P(A)-P(AI B);

35

f) P(AU B)=P(A)+P(B), daca AI B= ∅ ;

Proprietatea f) se extinde imediat:

P(A 1 U A 2 U …U A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n ), daca A 1 ,A 2 ,…,A n sunt disjuncte

două câte două (incompatibile) ;

g) P(CA)=1-P(A);

Definiţia 7.1.2.

Se numesc evenimente echiprobabile, evenimentele care au aceeaşi probabilitate.

7.2. Evenimente independente

Definiţia 7.2.1.

Două evenimente A si B sunt independente ⇔ P(AI B)=P(A)P(B);

Generalizând, evenimentele A A An1 2, ...,, sunt independente ⇔ probabilitatea oricarei

intersectii de evenimente diferite din cele n este egala cu produsul probabilitatilor

evenimentelor intersectate.

Exemplificare:

1) Se considera experimentul care consta în aruncarea a doua monezi si fie

evenimentele:

A: obtin cap pe prima moneda;

B: obtin pajura pe a doua moneda;

În acest caz realizarea evenimentului A nu depinde de realizarea evenimentului B, deci

evenimentul A este independent de evenimentul B.

2) Se considera o urna care contine 4 bile albe si 3 bile negre. Doua persoane extrag

fiecare câte o bila din urna. Fie evenimentele:

A: prima persoana a extras o bila alba

B: a doua persoana a extras o bila alba

Atunci, în absenta informatiilor asupra lui B , P(A)=4

7.

36

Daca A s-a realizat⇒P(B)=3

6

1

2= , deci evenimentul B depinde de evenimentul A.

Daca A nu s-a realizat, în acest caz, evenimentul B depinde de evenimentul A.

Concluzie:

Evenimentul B îsi modifica probabilitatea în functie de realizarea sau nerealizarea

evenimentului A. Este natural sa spunem ca A si B sunt evenimente dependente.

Exemplul 1.

Doi tragatori trag simultan asupra unei tinte, câte un foc fiecare. Probabilitatile de

nimerire a tintei sunt: 0,8 pentru primul tragator si 0,6 pentru al doilea tragator. Sa se

determine probabilitatea ca tinta sa fie atinsa de cel putin un tragator.

Rezolvare:

Fie evenimentele:

A: primul tragator nimereste tinta

B: al doilea tragator nimereste tinta

C: cel putin un tragator nimereste tinta

⇒C=AU B ⇒P(C)=P(AU B)=P(A)+P(B)-P(AI B)

⇒P(C)= P(A)+P(B)-P(A)P(B)

⇒P(C)=0.8+0.6-0.8•0.6

⇒P(C)=0.92

Deci probabilitatea ca tinta sa fie atinsa de cel putin un tragator este de 92%.

Exemplul 2.

Într-o tinta trag simultan, în aceleasi conditii 3 arcasi. Probabilitatile ca ei sa nimereasca

tinta sunt 0,9 pentru primul arcas, 0,5 pentru al doilea arcas si 0,8 pentru al treilea arcas.

Sa se determine probabilitatile :

a. de nimerire a tintei;

b. de nimerire a tintei de cel putin 2 arcasi.

Rezolvare:

37

Fie evenimentele:

Ai: arcasul i nimereste tinta; 3,1=i . Evenimentele Ai sunt independente si compatibile.

Fie A si B evenimentele ale caror probabilitati se cer la a) si b). Atunci:

a)

.99,08,05,09,08,05,08,09,05,09,08,05,09,0

)()()()()( 321

3

1,

3

1321

=⋅⋅+⋅−⋅−⋅−++

=+−== ∑∑<

==

AAAPAAPAPAAAPAP

jiji

ji

i

i IIIUU

b) [ ]

.85,08,05,09,08,05,01,08,05,09,02,05,09,0

)()()()()( 321321321321

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

== AAAAACAACAACAAAPBP IIUIIUIIUII

Exemplul 5.

Se notează cu ),( yxp probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la

împlinirea vârstei de y ani. Presupunem că avem două persoane în vârstă de 35 ani şi

respectiv 50 ani. Care este probabilitatea ca peste 20 ani :

a. ambele persoane să fie în viaţă;

b. nici unul să nu fie în viaţă;

c. cel puţin unul să fie în viaţă.

Rezolvare:

Dacă ),( yxp reprezintă probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la

împlinirea vârstei de y ani, atunci putem nota cu ),( yxq probabilitatea ca o persoană în

vârstă de x ani să nu fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani, de unde rezultă că

1),(),( =+ yxqyxp .

Notăm evenimentele cu:

A: prima persoană se află în viaţă peste 20 ani;

B: a doua persoană se află în viaţă peste 20 ani;

Cele două evenimente A şi B sunt compatibile şi independente.

a) )70,50()55,35()()()( ppBPAPBAP ⋅=⋅=I

b) )70,50()55,35()()()( qqCBPCAPCBCAP ⋅=⋅=I , deoarece şi evenimentele CA şi

CB sunt independente

38

c) )70,50()55,35()70,50()55,35()()()()( ppppBAPBPAPBAP ⋅−+=−+= IU

Exemplul 6.

Se notează cu ),( yxp probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la

împlinirea vârstei de y ani. Presupunem că avem trei persoane în vârstă de 20 ani, 31 ani

şi respectiv 48 ani. Care este probabilitatea ca peste 30 ani :

d. toate persoane să fie în viaţă;

e. nici unul să nu fie în viaţă;

f. cel puţin unul să fie în viaţă

g. unul să fie în viaţă.

Rezolvare:

Dacă ),( yxp reprezintă probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la

împlinirea vârstei de y ani, atunci putem nota cu ),( yxq probabilitatea ca o persoană în

vârstă de x ani să nu fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani, de unde rezultă că

1),(),( =+ yxqyxp .

Notăm evenimentele cu Ai: persoana i se află în viaţă peste 30 ani; 3,1=i .

Cele trei evenimente sunt compatibile şi independente.

a) )78,48()61,31()50,20()()()()( 321321 pppAPAPAPAAAP ⋅⋅=⋅⋅=II

b) )78,48()61,31()50,20()()()()( 321321 qqqCAPCAPCAPCACACAP ⋅⋅=⋅⋅=II ,

deoarece şi evenimentele CA1, CA2 şi CA3 sunt independente

c)

......)(

)()()()()()()(

321

323121321321

=+

+−−−++=

AAAP

AAPAAPAAPAPAPAPAAAP

II

IIIUU

d) ......)]()()[( 321321321 =ACACACAACACACAAP IIUIIUII

7.3. Probabilităţi condiţionate. Formula probabilităţii totale

Sa începem prin a da câteva consideratii cu privire la probabilitatea

conditionata . Se considera doua evenimente A=2, 4, 6 si B=1, 2.

39

Definitia probabilitatii conditionate a evenimentului A în raport cu evenimentul B este

construita astfel încât aceasta probabilitate sa dea o indicatie cantitativa privind aparitia

evenimentului A, atunci când stim ca evenimentul B s-a realizat. Probabilitatea

conditionata se noteaza P(A/B) si se defineste prin relatia

P(A/B)=P A B

P B

( )

( )I

.

Pentru evenimentele considerate mai înainte, obtinem P(A/B)=1

2, adica probabilitatea ca

se realizeaza evenimentul care consta in aparitia unui numar par, când stim ca s-a realizat

evenimentul dintre numerele 1 sau 2.

Daca evenimentele A A An1 2, , ..., formeaza o desfacere a evenimentului I in n evenimente

(I= Ai

i

n

=1U , A Aj kI = ∅ , j ≠ k), atunci pentru orice eveniment A avem egalitatea

P(A)= P A P A Ai

i

i( ) ( / )∑ = P A Ai

i

( )I∑ , egalitate cunoscuta sub numele de formula

probabilitatii totale.

Exemplul 1.

Trei urne identice contin: prima urna : 3 bile albe si 2 bile negre; a doua urna: 2 bile albe

si 1 bila neagra; a treia: 4 bile albe si 5 bile negre.

Se alege la întâmplare o urna si se extrage o bila. Sa se determine probabilitatea de a

extrage o bila alba.

Rezolvare:

Se noteaza urmatoarele evenimente:

Ai : se alege urna nr. i unde i=1,2,3

A :se extrage o bila alba.

Avem P A P A P A( ) ( ) ( )1 2 3

1

3= = = .

P A P A P A A P A P A A P A P A A( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )= + +1 1 2 2 3 3 unde

40

P A A P A A P A A P A( / ) , ( / ) , ( / ) ( ) ( )1 2 3

3

5

2

3

4

9

1

3

3

5

2

3

4

9

77

135= = = ⇒ = + + = .

Exemplul 2.

Zece aparate de acelasi tip sunt date in exploatare astfel: 3 provenind de la uzina U1 , 5

provenind de la uzina U2 , 2 provenind de la uzinaU3 . Aparatele sunt supuse unei probe

de verificare. Cele care provin de la:

U1 trec de proba de verificare cu probabilitatea 0,9,

U2 trec de proba de verificare cu probabilitatea 0,

U3 trec de proba de verificare cu probabilitatea 0,85.

Se alege la întâmplare un aparat. Care este probabilitatea ca aparatul sa treaca proba de

verificare?

Rezolvare:

Fie urmatoarele evenimente:

Ai :aparatul ales provine de la uzina U i , i=1, 2,3.

A :aparatul ales trece proba de verificare.

Avem P A P A P A( ) , ( ) , ( )1 2 3

3

10

5

10

1

5= = = . si

P A P A A P A P A A P A P A A P A( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )= + +1 1 2 2 3 3 dar

P A A P A A P A A( / ) , ( / ) , ( / )1 2 3

9

10

75

100

85

100= = =

⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =P A( )3

10

9

10

5

10

75

100

1

5

85

100

163

200.

7.4. Scheme probabilistice clasice

7.4.1 Schema binomială generalizată (Poisson)

Dacă A A An1 2, , ..., sunt evenimente independente, atunci probabilitatea să se realizeze k

din cele n evenimente (şi să nu se realizeze n-k) este coeficientul lui x k din dezvoltarea

41

polinomului ( p x q1 1+ )( p x q2 2+ )…( p x qn n+ ) unde probabilitatea

nipqAPp iiii ...3,2,1,1),( =−==

Cum scriem evenimentul A, a cărui realizare înseamnă realizarea a k din cele n

evenimente? Pentru a se realiza A, trebuie să se realizeze k din evenimentele Ai (fie

A A Ai i ik1 2, , ... aceste evenimente) şi să nu se realizeze n-k : A A Ai i ik k n+ +1 2

, , ... adică trebuie să

se realizeze unul din evenimentele de forma: A A A A Ai i i

Ci

Ci

k k n1 2 1I I II I... ...+

.

Va rezulta că A este reuniunea evenimentelor incompatibile de aceasta formă:

A= ( ... ... )U I I II IA A A A Ai i i

Ci

Ci

k k n1 2 1+ unde i i in1 2, , ... parcurge familia

submulţimilor de k elemente ale mulţimii de indici 1,2,…,n.

Exemplul 1.

Se dau 3 urne: prima conţine 2 bile albe şi 3 bile negre, a doua conţine 4 bile albe şi o bilă

neagră, iar a treia conţine 3 bile albe şi două bile negre. Din fiecare urnă se extrage câte o

bilă. Care este probabilitatea ca două bile să fie albe şi una neagră?

Rezolvare:

Considerăm evenimentele independente:

Ai :bila extrasă din urna i este albă ; cu i = 1 3, .

Problema cere probabilitatea realizării a două din cele 3 evenimente. Suntem în cazul

schemei lui Poisson cu n=3 ; k=2 ;

p P A1 1

2

5= =( ) ;

p P A2 2

4

5= =( ) ;

p P A3 3

3

5= =( ) .

Probabilitatea căutată este coeficientul lui x 2 din polinomul ( )( )( )2

5

3

5

4

5

1

5

3

5

2

5x x x+ + +

adică 58

125.

42

Observaţie:

Dacă ni s-ar fi cerut probabilitatea ca cele trei bile extrase să fie negre atunci aceasta ar fi

fost coeficientul lui x 0 din polinomul de mai sus adică 6

125; etc.

Exemplul 2.

Trei trăgători trag asupra unei ţinte. Primul nimereşte ţinta cu probabilitatea 2

3, al doilea

cu 3

4, iar al treilea cu

4

5. Care este probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de 3 ori? Dar exact

de 2 ori? Dar să fie atinsă?

Rezolvare:

Fie evenimentele independente:

Ai :trăgătorul i atinge ţinta; cu i = 1 3, .

p P A q1 1 1

2

3

1

3= = ⇒ =( )

p P A q2 2 2

3

4

1

4= = ⇒ =( )

p P A q3 3 3

4

5

1

5= = ⇒ =( )

Atunci polinomul va fi:

( )( )( )2

3

1

3

3

4

1

4

4

5

1

5x x x+ + +

Probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de 3 ori este coeficientul lui x3 din polinomul de mai

sus, adică 2

5.

Probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de 2 ori este coeficientul lui x 2 din polinomul de mai

sus, adică 13

30.

Probabilitatea ca ţinta să fie atinsă va fi calculată astfel: ”ţinta este atinsă” înseamnă că ea

poate fi atinsă o dată de 2 ori sau de 3 ori.

43

Notăm A: ţinta este atinsă⇒ AC : ţinta nu este atinsă⇒P( AC )=coeficientul lui x 0 din

polinomul de mai sus, adică 1

60 ⇒P(A)=1-P( AC )=

59

60.

Exemplul 3.

Trei trăgători trag asupra unei ţinte câte un foc fiecare. Probabilităţile de nimerire a ţintei

sunt: 4

3,

3

2 şi

5

4 pentru primul, al doilea şi al treilea ţintaş.

După trageri s-a constatat că ţinta a fost atinsă o singură dată. Care este probabilitatea ca

ea să fi fost atinsă de primul trăgător?

Rezolvare:

Ca în problema de mai sus, avem:

fie evenimentele independente: Ai :trăgătorul i atinge ţinta; cu i = 1 3, cu probabilităţile:

p P A q1 1 1

2

3

1

3= = ⇒ =( )

p P A q2 2 2

3

4

1

4= = ⇒ =( )

p P A q3 3 3

4

5

1

5= = ⇒ =( )

Atunci polinomul va fi:

( )( )( )2

3

1

3

3

4

1

4

4

5

1

5x x x+ + +

Fie evenimentul A: ţinta este atinsă de un trăgător.

Dar nouă ni se cere probabilitatea ca ţinta să fi fost atinsă de primul trăgător ştiind că a

fost atinsă de un singur trăgător, adică:

)(

)()\( 1

1AP

AAPAAP

I= ,

dar

=)(AP coeficientul lui x din descompunerea polinomului, adică

20

3)( 213312321 =++= qqpqqpqqpAP

44

iar

=)( 1 AAP I probabilitatea ca doar primul trăgător să nimerească ţinta, rezultă:

30

1)()( 3213211 === qqpCACAAPAAP III .

Rezultă: )2(,09

2

3

20

30

1

)(

)()\( 1

1 ==⋅==AP

AAPAAP

I.

Exemplul 4.

Un patron verifică lucrările a trei angajaţi. Aceştia lucrează corect în proporţie de 99%,

85% şi respectiv 97%. Se cere probabilitatea ca:

a) toate lucrările să fie bune;

b) nici o lucrare să nu fie bună;

c) două lucrări să fie bune;

d) cel puţin două lucrări să fie bune;

e) cel mult o lucrare greşită.

Rezolvare:

Fie evenimentele Ai: angajatul i lucrează fără greşeală; 3,1=i şi )( ii APp = iar

iii pCAPq −== 1)( .

Astfel, avem: 01,099,0 11 =⇒= qp

15,085,0 22 =⇒= qp

03,097,0 33 =⇒= qp

Aplicăm schema lui Poisson iar polinomul va fi:

))()(( 332211 qxpqxpqxp +++

Notăm cu A, B, D,F şi G evenimentele ale căror probabilităţi se cer la a), b), c), d), e).

a) P(A)=coeficientul lui x3= 321 ppp =0,816

b) P(B)=coeficientul lui x0= 321 qqq

c) P(D)=coeficientul lui x2= 132231321 qppqppqpp ++

45

d) P(F)=coeficientul lui x2 +coeficientul lui x3=P(D)+P(A)

e) Cel mult o lucrare greşită ⇔ cel puţin două lucrări bune⇒

P(G)=P(F).

7.4.2 Schema binomială(Bernoulli)

Dacă evenimentele independente A A An1 2, , ..., au aceeaşi probabilitate,

p p q q i ni i= = =; ( , )1 , atunci probabilitatea să se realizeze k din cele n evenimente este

coeficientul lui x k din polinomul ( )px q n+ , adică este egală cu C p qn

k k n k− şi se notează

cu P kn ( ) .Se observă că schema lui Bernoulli este un caz particular al schemei lui

Poisson.

Exemplul 5.

Se aruncă două zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea să apară de 4 ori suma 7?

Rezolvare:

La o efectuare a experienţei, evenimentul “apariţia sumei 7” are probabilitatea 1

6 (6

cazuri favorabile din 36 posibile). Deci:

p q n k P C= = = = ⇒ =1

6

5

610 4 4

1

6

5

610 104 4 6; ; ; ( ) ( ) ( )

Exemplul 6.

În medie din 3 vizitatori ai unei consignaţii ,2 cumpără şi unul nu. Care este

probabilitatea ca din 10 persoane aflate în magazin:

a) toate persoanele să cumpere?

b) 3 să nu cumpere?

c) cel puţin 6 să cumpere?

d) cel puţin 4 să nu cumpere?

e)

46

Rezolvare:

Fie evenimentul A: “vizitatorul cumpără”⇒ = = = =p P A q n( ) ; ;2

3

1

310

a) k=10⇒ = =P C10 1010 10 0 1010

2

3

1

3

2

3( ) ( ) ( ) ( )

b) 3persoane nu cumpără⇒7 persoane cumpără⇒k=7⇒ =P C10 107 7 37

2

3

1

3( ) ( ) ( )

c) cel puţin 6 cumpără înseamnă k ∈ ⇒ ≥ = −

=

∑6 7 8 9 10 62

3

1

310 1010

6

10

, , , , ( ) ( ) ( )P k Ck k k

k

d) cel puţin 4 nu cumpără înseamnă cel mult 6 cumpără ⇒

k ∈ ⇒ ≤ = −

=

∑0 1 2 3 4 5 6 62

3

1

310 1010

0

6

, , , , , , ( ) ( ) ( )P k Ck k k

k

Exemplul 7.

Un pensionar şi-a stabilit nişte cote la consumul de energie electrică. El nu depăşeşte într-

o zi cota propusă cu probabilitatea de 80%. Să se afle probabilitatea ca într-o lună (30

zile) consumul de energie electrică să nu depăşească cotele stabilite pe 20 zile.

Rezolvare:

Fie A evenimentul că într-o zi pensionarul nu depăşeşte cota stabilită, iar p=P(A)=0,8 şi

q=P(CA)=0,2.

Fie B evenimentul a cărui probabilitate se cere. Atunci ( ) ( )3447 2,08,0)( CBP = .

Exemplul 8.

În urma unei experienţe, un eveniment apare cu probabilitatea de 2%.

a) Care este probabilitatea ca, efectuând n=100 experienţe, evenimentul A să apară de

60 ori?

b) Câte experienţe trebuie făcute astfel ca probabilitatea de apariţie a evenimentului

A să nu fie mai mică decât 0,5?

47

Rezolvare:

Conform schemei lui Bernoulli avem:

a) 406060100100 )98,0()02,0()60( CP =

b) Probabilitatea evenimentului contrar adică în n experienţe evenimentul A să nu

apară niciodată este:

nn

nn CP 98,0)98,0()02,0()0( 00 ==

Probabilitatea ca evenimentul A să apară cel puţin o dată în cele n experienţe este

n98,01− .

Numărul n se află din condiţia:

2

198,01 ≥− n , de unde, logaritmând se află n.

Exemplul 9.

În urma unor verificări s-a constatat că 10% dintre călătorii transportului în comun nu

achită contravaloarea călătoriei. Care este probabilitatea ca efectuând 10 verificări:

a) toţi călătorii să aibă bilete;

b) toţi călătorii să fie prinşi fără bilete

c) cel mult doi călători să fie prinşi fără bilete.

Rezolvare:

Dacă 10% dintre călători nu achită contravaloarea biletului, înseamnă că 90% achită.

Astfel, notăm cu:

p=0,90=probabilitatea ca un călător să aibă bilet

q=1-p=0,10=probabilitatea ca un călător să nu aibă bilet

n=10

a) Fie A evenimentul “călătorul are bilet”, eveniment care apare cu probabilitatea de

90%.

Atunci, probabilitatea, ca din 10 verificări toţi cei 10 călători să aibă bilete, este:

34,0)9,0()1,0()9,0()10( 10010101010 === CP , adică 34%.

48

b) Fie B=CA evenimentul “călătorul nu are bilet”, eveniment care apare cu

probabilitatea de 10%.

Atunci, probabilitatea, ca din 10 verificări toţi cei 10 călători să nu aibă bilete sau 0

persoane au bilete, este:

0)1,0()1,0()9,0()0( 1010001010 ≅== CP ,adică este un eveniment imposibil.

c) cel mult 2 călători fără bilete înseamnă cel puţin 8 persoane au bilete ⇒

k ∑=

−=≥⇒∈10

8

101010 )1,0()9,0()8(10,9,9

k

kkkCkP

7.4.3 Schema hipergeometrică (schema urnei cu bilă nerevenită)

Dintr-o urnă în care sunt a bile albe şi b bile roşii (a+b=N), se extrag n bile, n ≤ N, fără

să se pună înapoi în urnă, după fiecare extragere, bila extrasă. Însemnăm prin α numărul

de bile albe obţinut în n extrageri.

Probabilitatea ca din n extrageri ,efectuate în modul pe care l-am arătat, să obţinemα

bile albe este

PC C

Cn

a b

n

N

n( )αα α

=−

Exemplul 10.

Din 100 de bilete la un joc de televiziune, puse în vânzare într-o săptămână, 10 bilete sunt

câştigătoare. La o agenţie LOTO se repartizează la întâmplare 100 bilete. Să se determine

probabilitatea ca:

a) 3 bilete din cele repartizate să fie câştigătoare;

b) cel mult 2 bilete repartizate să fie câştigătoare;

c) cel puţin 4 bilete să fie câştigătoare;

d) nici un bilet să nu fie câştigător.

Rezolvare:

Se aplică schema urnei cu bilă nerevenită în care parametrii au următoarele valori:

N=100.000, a=10, n=100;

49

a) Fie evenimentul A: “3bilete dintre cele repartizate să fie câştigătoare”⇒

parametrulα are valoarea 3 şi rezultă:

P AC C

C( ) = 10

39999097

100000100

b) Fie B evenimentul a cărui probabilitate se cere; atunci α ∈ 01, ,2 şi are loc:

P BC C

C( ) =

=

−

∑α

α α

0

210 99990

100

100000100

c) Fie C evenimentul a cărui probabilitate se cere; atunci α ∈ 4 10,..., şi are loc:

P CC C

C( ) =

=

−

∑α

α α

4

1010 99990

100

100000100

d) Fie D evenimentul ca ici un bilet să nu fie câştigător; atunci α =0 şi are loc:

P DC

C( ) = 99990

100

100000100

Exemplul 11.

O firmă particulară scoate la concurs 4 posturi. La concurs se prezintă 10 bărbaţi şi 8

femei. Care este probabilitatea ca:

a) să fie aleşi 2 bărbaţi şi două femei?

b) să fie aleşi numai bărbaţi?

c) să fie alese şi femei?

Rezolvare:

Aplicăm schema hipergeometrică şi notăm cu A, B, D evenimentele ale căror

probabilităţi ne sunt cerute la a), b) şi c).

a) 4

18

28

210)(C

CCAP

⋅=

b) 4

18

410

418

08

410)(

C

C

C

CCBP =

⋅=

c) 4

18

4101)(1)()(

C

CBPCBPDP −=−==

50

7.5.Variabile aleatoare discrete

Definiţia 7.5.1.

Variabilele aleatoare care iau o mulţime finită sau numărabilă de valori se numesc

variabile aleatoare discrete.

O variabilă aleatoare discretă, schematic, se reprezintă astfel:

Xx x x

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

,

unde, în primul rând al tabloului am trecut valorile posibile ale variabilei şi sub fiecare

valoare, probabilitatea cu care X ia această valoare. Altfel spus, variabila aleatoare este o

funcţie.

Observaţie:

pii

n

=

∑1

=1.

Tabloul de mai sus se numeşte repartiţia variabilei X.

Notaţie:

Pentru simplitate vom nota de acum înainte variabila aleatoare cu v.a.

7.5.1 Operaţii cu variabile aleatoare discrete

A. Adunarea variabilelor aleatoare

Fie X şi Y două v.a. independente cu repartiţiile:

Xx x x

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

,

Yy y y

q q q

m

m

:. . .

. . .1 2

1 2

,

Atunci se defineşte adunarea v.a. X şi Y astfel:

X Yx y x y x y x y

p p p p

i j n m

ij nm

++ + + +

:

. . . . . .

. . . . . .1 1 2 2

11 12

,

51

unde p i n j mij ( , , , )= =1 1 este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor X xi= şi

Y y j= .

B. Înmulţirea variabilelor aleatoare

Fie X şi Y două v.a. independente cu repartiţiile:

Xx x x

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

,

Yy y y

q q q

m

m

:. . .

. . .1 2

1 2

,

Atunci se defineşte produsul v.a. X şi Y astfel:

X Yx y x y x y x y

p p p p

i j n m

ij nm

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

:

. . . . . .

. . . . . .1 1 2 2

11 12

,

unde p i n j mij ( , , , )= =1 1 este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor X xi= şi

Y y j= .

C. Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare

Fie v.a.

Xx x x

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

.

Se ridică la putere prima linie din repartiţia v.a. ,linia probabilităţilor rămânând

neschimbată:

Xx x x

p p p

n

n n

n

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

.

D. Înmulţirea cu o constantă a unei variabile aleatoare

Fie v.a.:

Xx x x

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

.

Se înmulţeşte doar prima linie din repartiţia v.a. cu constanta a ;linia probabilităţilor

rămânând neschimbată:

52

aXax ax ax

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

.

E. Adunarea unei variabile aleatoare cu o constantă

Fie v.a. :

Xx x x

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

.

Atunci variabila X+c are repartiţia:

.

7.5.2 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete

Definiţia 7.5.2.

Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare X aplicaţia [ ]F R: ,→ 0 1 dată de

F(x)= P(X<x).

Fie variabila aleatoare: Xx x x

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

. Funcţia de repartiţie asociată acestei

variabile aleatoare are următoarea formă:

F x

x x

p x x x

p p x x x

x xn

( )

,

,

,

...

,

=

<

≤ <

+ ≤ <

>

0

1

1

1 1 2

1 2 2 3

Graficul funcţiei de repartiţie este un grafic în trepte.

Exemplul 1.

Fie variabila aleatoare discretă X:− −

2 1 1 3 41

9

2

9

1

9

2

9

1

3.Să se determine funcţia de

repartiţie.

53

Rezolvare:

Funcţia de repartiţie a acestei variabile aleatoare este

F x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

( )

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

=

≤ −

− < ≤ −

+ − < ≤

+ + < ≤

+ + + < ≤

+ + + + >

=

≤ −

− < ≤ −

− < ≤

< ≤

< ≤

⟩

0 21

92 1

1

9

2

91 1

1

9

2

9

1

91 3

1

9

2

9

1

9

2

93 4

1

9

2

9

1

9

2

9

1

34

0 21

92 1

3

91 1

4

91 3

6

93 4

1 4

Exemplul 2.

Variabila aleatoare are repartiţia X:1 2 3 4

7

4

1

3

1

62

p p

. Se cere P(X ≤ 3).

Rezolvare:

Cum X este variabilă aleatoare , suma probabilităţilor trebuie să fie egală cu 1:

p p p p

p p p

X X X X X

2 2

1 2

7

4

1

3

1

61 12 21 6 0 441 48 6 729 27

21 27

24

6

24

1

4

21 27

2424

48

242

1

41 2 3 41

6

7

16

1

3

1

63 1 2 3

+ + + = ⇒ + − = ⇒ = + ⋅ = ⇒ = ⇒

=− +

== = =− −

=−

= − ⇒ = ⇒

⇒

⇒ ≤ = = = = ⇒

∆ ∆

,

: UU

P X P X P X P X

sauP X P X

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

≤ = = + = + = = + + =

≤ = − = = − =

3 1 2 31

16

7

16

1

3

5

6

3 1 4 11

6

5

6

54

7.5.3 Media şi dispersia unei variabile aleatoare discrete

Fie v.a. discretă Xx x x

p p p

n

n

:. . .

. . .1 2

1 2

;

Definiţia 7.5.3.1

Se defineşte media lui X sau valoarea medie a lui X ca fiind:

M X x p x p x p x pi i

i

n

n n( ) ...= = ⋅ + ⋅ + + ⋅=

∑1

1 1 2 2

Definiţia 7.5.3.2

Se defineşte dispersia lui X ca fiind:

D X M X M X( ) ( ) ( )= −2 2

Definiţia 7.5.3.3

Se defineşte abaterea medie pătratică ca fiind σ ( ) ( )X D X= .

Observaţie:

Întotdeauna dispersia trebuie să fie strict pozitivă.

Exemplul 3.

Fie v.a. X cu repartiţia 2 1 3

2 17 7

p

−.

a) Să se calculeze p;

b) Să se calculeze media,dispersia şi abaterea medie pătratică a variabilei X;

c) Să se calculeze P(X 1≥ ).

Rezolvare:

a) Cum X este variabilă aleatoare , suma probabilităţilor trebuie să fie egală cu 1:

2 1 41

7 7 7p p+ + = ⇒ =

55

Astfel, repartiţia lui X devine:

4

7

2 1 32 17 7

−

b) 2 4 1 3( ) ( 2) 1 3 ;

7 7 7 7M X = − ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 2 2 2 32 4 1 21

( ) ( 2) 1 3 ;7 7 7 7

M X == − ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Atunci, D X M X M X( ) ( ) ( )= −2 2 =2

3 9 1473 3

7 49 49

− = − = , iar 147( ) ( )

49X D Xσ = = .

Exemplul 4.

Se dau variabilele independente Xa

p q:

1 21

3

şi Y

a

q p:

+

−

1 1 21

3

2

3.

Să se calculeze a astfel încât variabila X-Y să aibă dispersia egală cu 4

9.

Rezolvare:

Cum X şi Y sunt variabile aleatoare discrete⇒ trebuie să avem:

1

31

1

3

2

31

+ + =

+ − + =

p q

q p

,

sistem care prin rezolvare dă soluţia: p q= =1

3.

Deci, variabilele X şi Y au repartiţiile:

Xa

:1 2

1

3

1

3

1

3

şi Y

a:

+

1 1 21

3

1

3

1

3.

Din ipoteză ştim că D(X-Y)=4

9 , iar din teorema dispersiei ştim că:

D(X-Y)=D(X)+D(Y)

56

D(X)= M X M X( ) ( )2 2−

D(Y)= M Y M Y( ) ( )2 2−

Dar, M(X)= aa

M Xa

⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⇒ = +1

31

1

32

1

3 31

312 2( ) ( ) ;

Xa

M Xa

D Xa a2

2

22 21 4

1

3

1

3

1

33

5

3

2

9

2

3

2

3: ( ) ( )

⇒ = + ⇒ = − +

Analog se calculează D Ya a

( )( ) ( )

=+

−+

+2 1

9

2 1

3

2

3

2

;

Din egalitatea D(X)+D(Y)=4

9 ⇒ a=1.

CAPITOLUL 8

PLĂŢI EŞALONATE ANUAL

8.1. Valoarea finală a unor depuneri anuale

Se pune problema calculării sumei acumulate după un număr de ani, în cazul în

care se depune anual aceeaşi sumă S, luând în calcul şi dobânda.

Ca de obicei, notăm cu 1 1100

pu i= + = + factorul de fructificare. În funcţie de

momentul depunerii putem avea: depuneri anticipate (la începutul anului) sau depuneri

posticipate (la sfârşitul anului).

I Depuneri anticipate

Definiţia 8.1.1.

Se numesc anuităţi anticipate, operaţiunile de plată efectuate în condiţiile următoare:

1. anual, la începutul anului;

57

2. prin anuităţi (rate) egale sau nu de la un an la altul;

3. un anumit număr de ani bine precizat;

4. cu procent anual constant sau nu de la un an la altul.

Observaţie:

Vom presupune în continuare că sumele depuse sunt constante, S, şi că rata anuală

de dobândă este constantă.

Notaţii:

n = numărul de plăţi (anuale)

S = valoarea ratei plătite în anul k, k n= 1,...,

i = dobânda anuală unitară din anul k, k n= 1,...,

Sn

A( ) = valoarea finală a operaţiunii de plăţi eşalonate desfăşurate în regim de dobândă

compusă, în cazul depunerilor anticipate

În cazul depunerilor anticipate, suma S , depusă în primul an, la începutul anului devine,

la sfârşitul celor n ani, nSu , cea depusă în al doilea an, tot la început, devine 1nSu − ,

ş.a.m.d.

Rezultatul final va fi:

( )( ) 1 2 1 1 1... 1 ...

1

n nA n n n

n

u uS Su Su Su u u u Su Su S u

u i

− − − −= + + + = + + + + ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

−

II Depuneri posticipate

Definiţia 8.1.2.

Se numesc anuităţi posticipate, operaţiunile de plată efectuate în condiţiile următoare:

1. anual, la sfîrşitul anului;

2. prin anuităţi (rate) egale sau nu de la un an la altul;

3. un anumit număr de ani bine precizat;

4. cu procent anual constant sau nu de la un an la altul.

58

Observaţie:

Vom presupune în continuare că sumele depuse sunt constante, S, şi că rata anuală

de dobândă este constantă.

Notaţii:

n = numărul de plăţi (anuale)

S = valoarea ratei plătite în anul k, k n= 1,...,

i = dobânda anuală unitară din anul k, k n= 1,...,

( )P

nS = valoarea finală a operaţiunii de plăţi eşalonate desfăşurate în regim de dobândă

compusă, în cazul depunerilor posticipate

În cazul depunerilor posticipate, suma S , depusă la sfârşitul primului an, devine la

sfârşitul celor n ani, 1nSu − , cea depusă în al doilea an, tot la sfârşit, devine 2nSu − ,

ş.a.m.d.

Se obţine deci:

( )( ) 1 2 2 1 1 1... 1 ...

1

n nP n n n

n

u uS Su Su Su S u u u S S S

u i

− − − − −= + + + + = + + + + ⋅ = ⋅ = ⋅

−

Exemplul 1.

Se depune anual suma de 10.000 u.m. cu procentul de 8% anual. Ce sumă se acumulează

după 15 ani în cazul depunerilor:

a) anticipate

b) posticipate

Rezolvare:

a) ( ) ( )15

15.

1 1,08 110.000 1 0, 08 293.243 u.m

0,08

nA u

S Sui

− −= = + =

b) ( ) ( )

( )15 15

15 15.

1 1, 08 110.000 271.521 u.m sau

0, 08

A

nP P

u

Su

S S Si

=− −

= = =

59

8.2. Valoarea actuală a unor plăţi anuale constante

Se cunoaşte că dacă se depune la bancă suma S, după un număr de ani n ea devine

nSu . Se pune însă următoarea problemă: ce sumă S0 trebuie depusă la momentul de faţă

pentru ca după n ani să devină S?

Din relaţia 10 0

n nS u S S Su −= ⇒ = se numeşte valoarea actuală a plăţii S efectuată

peste un număr de n ani.

Pentru a calcula valoarea actuală a unui şir de n plăţi anuale de aceeaşi sumă S,

distingem două cazuri, după cum plăţile se fac la începutul sau la sfârşitul anului.

I Plăţi anticipate de sumă constantă

Notaţii:

n = numărul de plăţi (anuale)

S = valoarea ratei plătite în anul k, k n= 1,...,

i = dobânda anuală unitară din anul k, k n= 1,...,

An

A( ) = valoarea actuală sau actualizată, a n plăţi,efectuate la începutul anului

( )11

( ) 1 1 1...

1

nn

nA

nA

u uS Su Su S S u

iu

−− −

−

−− − −

= + + + = ⋅ = ⋅ ⋅−

II Plăţi posticipate de sumă constantă

Notaţii:

n = numărul de plăţi (anuale)

S = valoarea ratei plătite în anul k, k n= 1,...,

i = dobânda anuală unitară din anul k, k n= 1,...,

( )P

nA = valoarea actuală sau actualizată, a n plăţi,efectuate la sfîrşitul anului

2 11

( ) 1 1 1...

1

nn

nP

nA

u uSu Su Su S u S

iu

−− − −

−

−− + ⋅

− −= + + = ⋅ = ⋅

−

60

Exemplul 1.

Se presupune că achitarea unor datorii a fost stabilită pentru 5 ani, cu plata anuală

anticipat (posticipat) astfel: anual câte 10.000 u.m. cu procent de 5% anual

Să se determine în fiecare caz valoarea actuală.

Rezolvare:

a) cazul anticipat

S=10.000 u.m.;

i=0,05;

n=5 ani;

Suntem în cazul în care procentul şi ratele sunt egale

( ) 1 (1 )1(1 )

nnA

n

iuA S u S i

i i

−− − +−= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ,

Atunci, A u mA

5

5

10 000 1 051 1 05

0 0545 495 5( ) . ,

,

,. , . .= ⋅ ⋅

−=

−

b) cazul posticipat

( ) 1 (1 )1 nnP

n

iuA S S

i i

−− − +−= ⋅ = ⋅

Atunci,5

( )

5.

1 1,0510.000 43.294, 7 .

0, 05P

A u m−−

= ⋅ =

Exemplul 2.

Plasând la fiecare început de an, timp de 15 ani suma de 200.000 u.m. cu un procent

anual de 5%, atunci la sfârşitul ultimului an la ce valoare se va ridica fondul acumulat?

Dar valoarea actuală a întregii operaţiuni?

Rezolvare:

..729.179.205,0

05,1105,1000.200

..394,598.531.405,0

105,105,1000.200

15)(

15

15)(

15

muA

muS

A

A

=−

⋅⋅=

=−

⋅⋅=

−

61

BIBLIOGRAFIE

1. Ciucu, G., Oaru, V., Săcuiu, I., -Probleme de teoria

probabilităţilor, Bucureşti, Editura Tehnică 1974 2. Fătu, I., Dinescu, C., -Matematici pentru economişti; Bucureşti,

Editura Didactică şi Pedagogică, 1995

3. Popa, I. –Analiză matematică-Calcul diferenţial, Editura Matrix Rom, Bucureşti 2000

4. Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie;

Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993

5. Trandafir, R., -Introducere în teoria probabilităţilor, Bucureşti, Editura Albatros, 1970

6. Matei, P., -Algebră lineară, Geometrie analitică şi diferenţială,

Editura Agir, Bucureşti, 2000

7. Teodorescu, S., -Matematici aplicate în economie, Editura Bren, 2003

8. Teodorescu, S., -Probleme de probabilităţi şi statistică

matematică, Editura Bren, 2004

9. Teodorescu, S., -Matematici pentru economişti, Editura Bren, 2004

10. Teodorescu, S., -Matematici financiare. Culegere de probleme,

Editura Bren, 2004