1ELEMENTE DE MATEMATICI FINANCIARE 1.DOBNDA SIMPL 1.1 Definiii i relaii de calcul Noiunea de baz n matematicile financiare este dobnda. Dobnda se poate defini n urmtoarele moduri: a - Dobnda reprezint suma de bani care este pltit de ctre debitor unui creditor pentru o anumit sum de bani pe care debitorul a mprumutat-o de la creditor. bDobndareprezintsumadebanicorespunztoareplasriisumei) (0S dectreun partener 1P ctreunpartener 2P peoduratdetimp) (t nanumitecondiiiprecizate. Dobnda este direct proporional cu) (0Si) (t . nsensulgeneralalcuvntului,dobndareprezintsumadebaniprimitpentruun mprumut bnesc. Dobnda unitar (i) reprezint suma de bani dat de o unitate monetar pe timp de 1 an. Procentul(p)reprezintdobndaobinutcaurmareaplasriisumei100uniti monetare (u.m.) pe timp de 1 an. Relaiile dintre p i i sunt: 100100pii p= = Dobnda simpl (D) reprezint dobnda calculat asupra sumei ) (0S pe perioada) (t . Dobnda simpl se calculeaz cu relaia: 10000t p SDt i S D = = Formuladobnziiconinepatruelemente(D,p,t,0S )inconsecindacsecunosctrei dintre acestea se poate determina cel de al patrulea element. 2Valoareafinal) (tS -reprezintsumatotalobinutdecreditorulcareaplasatsuma ) (0S , pe o perioad) (t cu dobnda iniial) (i . ) 1 (0 0 0 0t i S t i S S D S St + = + = + = Valoareafinalestecunoscutnmatematicilefinanciareisubdenumireadevaloare revenit sau valoare acumulat . Dacanulestempritn) (k priegalei) ( kt esteunnumrdeastfeldepripentru care se calculeaz dobnda, obinem: ) 1 (100000k tkkt i S Skt p St i S D + = = = Dac: kt- este un numr de zile, atunci k=360 (numrul de zile al anului financiar)

kt- este un numr de luni (luna financiar are 30 zile) atunci k=12 Rezult c: 1200) (12) (36000) (360) (0 00 0luni t p S luni t i SDzile t p S zile t i SD = = = = Scaden- perioada (t) pentru care s-a mprumutat o anumit sum de bani. Sconsidermsumeledebani nS S S ,..., ,2 1mprumutatecuacelaiprocent(p)darcare au respectiv scadenele nt t t ,..., ,2 1. Fie suma de bani (S) Scadencomuntimpul(t)ncaresumadebani(S)produceaceeaidobndcai cele (n) sume cu scadenele respective. Se calculeaz cu relaia: St S t S t Stn n+ + +=...2 2 1 1 Dac nS S S S + + + = ...2 1atunciscadenacomundatderelaiaanterioarsenumete scaden medie. Scadena medie se calculeaz cu relaia: 3St S t S t Stn n + + + =...2 2 1 1 Procentul mediu de plasament Sconsidermcsemprumutsumele nS S S ,..., ,2 1cuscadenele nt t t ,..., ,2 1irespectiv cu procentele np p p ,..., ,2 1. Senumeteprocentmediudeplasamentprocentulpcucaretrebuiemprumutate sumele nS S S ,..., ,2 1cu scadenele nt t t ,..., ,2 1pentru a produce aceeai dobnd. Procentul mediu de plasament se calculeaz cu relaia:

n nn n nt S t S t St p S t p S t p Sp+ + ++ + +=......2 2 1 12 2 2 1 1 1 1.2. Aplicaii 1.Se mprumut suma 0Scu procentul p, iar dup t ani se ncaseaz suma tS . a) Care este valoarea sumei tS dac. . 100000m u S = ,iar5 , 2 = t ani i p=8? b) Ct este durata t dac. . 100000m u S = ,p=10 i13000 =tS ? c) Care este valoarea procentului p dac. . 100000m u S = ,. . 11000m u St = iar t=4 ani? 2. Se mprumut suma 0Scu procentul p, iar dup t ani se ncaseaz suma tS . a) Care este valoarea sumei tS dac30000 = S RON, iar t=3 ani i p=6? b) Ct este durata t dac30000 = S RON, p=5 i4000 =tS RON? c)Careestevaloareaprocentuluipdac30000 = S RON,5000 =tS RON,iart=5 ani? 3. Se mprumut suma 0Scu procentul p, iar dup t ani se ncaseaz suma tS . a) Care este valoarea sumei tS dac20000 = S $,iar2 = t ani i p=5? b) Ct este durata t dac20000 = S $, p=6 i 5000 =tS $ c) Care este valoarea procentului p dac40000 = S $,6000 =tS $ iar t=3 ani? 4.Semprumutsumele:. . 50001m u S = , . . 70002m u S = , . . 20003m u S = ,. . 10004m u S =cuacelaiprocentppetermenele:21 = t ani,32 = t ani,13 = t an,5 , 34 = t ani.Sse calculeze scadena medie. 45.Semprumutsumele:RON S 40001 = , RON S 60002 = , RON S 10003 = , RON S 50004 = cuacelaiprocentppetermenele:11 = t an,22 = t ani,33 = t ani, 44 = t ani. S se calculeze scadena medie. 6.Semprumutsumele:$ 70001 = S , $ 60002 = S , $ 50003 = S ,$ 40004 = S cuacelai procentppetermenele:21 = t ani,32 = t ani,43 = t ani,54 = t ani.Ssecalculeze scadena medie. 7.Careesteprocentulmediudeplasamentalsumelor:. . 10001m u S = , . . 30002m u S = , . . 70003m u S = ,. . 50004m u S = ,. . 80005m u S = cuscadenele:21 = t ani, 12 = t an,33 = t ani,24 = t ani,45 = t anicuprocentele . 6 , 8 , 12 , 5 , 105 4 3 2 1= = = = = p p p p p 8.Careesteprocentulmediudeplasamentalsumelor:RON S 20001 = , RON S 30002 = , RON S 40003 = ,RON S 50004 = ,RON S 60005 = cuscadenele: 11 = t an,22 = t ani,33 = t ani,=4t 4ani,55 = t anicuprocentele . 15 , 14 , 13 , 12 , 105 4 3 2 1= = = = = p p p p p 9.Careesteprocentulmediudeplasamentalsumelor: $ 10001 = S , $ 20002 = S , $ 30003 = S ,$ 40004 = S ,$ 50005 = S cuscadenele:31 = t ani,42 = t ani, 53 = t ani,=4t 6 ani,75 = t ani . 10. S se determine scadena unei sume de 25000 u.m. care produce o dobnd egal cu suma dobnzilor produse de 3500 u.m. pe timp de 72 zile; 4500 u.m. pe timp de 105 zile; 6000 u.m. pe timp de 124 zile i 5000 u.m. pe timp de150 zile. 11.Suma36000 = S u.m.afostmprumutatpentru1andezilenregimdedobnd simplcuprocenteleanualede5,6,7,8i10%pentrudurateleconsecutivede30,45,60, 75 i respectiv 150 zile. S se calculeze dobnda corespunztoare acestui mprumut. 12.Suma50000 = S RONafostmprumutatpentru2anide zile n regim de dobnd simpl cu procentele anuale de 5,6,7,8 i 9% pentru duratele consecutive de 30,45,60, 75 i respectiv 510 zile. S se calculeze dobnda corespunztoare acestui mprumut. 2 DOBNDA COMPUS 2.1. Definiii i relaii de calcul Osumdebaniesteplasatcudobndcompusdaclasfritulprimeiperioade, dobndasimplaacesteiperioadeesteadugatlasumpentruaproducelarndulei dobnd n perioada urmtoare. 5Notaii: 0S- sum iniial p - procentul i- dobnda unitar||

\| =100pi t- durata de plasament a sumei 0S(t numr ntreg)

tS - durata final dup t perioade Dacvaloareasumeiplasate 0S semodificperiodicpeduratadetimp-tdupo anumitregul,iarntredoumodificriconsecutivesumeimodificateiseaplico dobnd simpl atunci vom afirma c s a realizat un proces de dobnd compus sau c plasarea sumei 0Ss-a efectuat n regim de dobnd compus. Dac se mprumut suma 0Scu dobnda p, dup1 = tan aceast sum devine: u S i SpS San t = + = ||

\| + == 0 0 0 1) 1 (1001 Notaie:i u + =1 (Factor de fructificare) Suma final dup t ani va fi: t ttu S i S S = + =0 0) 1 ((Formula de fructificare) Dobnda compus va fi pentru t ntreg ) 1 ( ) 1 (0 0 0 0 = + = =t ttu S S i S S S D Suma iniial depus va fi: ( )ttttv SiS S =+ =110(Formula de actualizare) Notaie: ) 1 (1iv+= (Factor de actualizare) Factoriiuivsegsescntabelefinanciarepentrudiferiteprocenteidiferite perioade ntregi. Dac t (durata de plasament) a sumei 0Snu este un numr ntreg de ani ci este fracionar (ani plus trimestre, luni sau zile): khn t + = , exist dou soluii pentru tS . 6Soluia raional: ) 1 ( ) 1 (0khi i S S Snkhnt+ + = =+

Soluia comercial: khnkhnti S S S+++ = = ) 1 (0 2.2. Aplicaii 1.Cesumtrebuiesdepunemastzipentruancasapeste3anisumade10000 RON tiind c dobnda unitar este de 2,5%? 2.Cuceprocenttrebuiedepussumade3450RONtimpde8anipentruadeveni 5324,45 RON? 3.S se calculeze valoarea final a sumei de 10000 RON plasat timp de 8 ani i 5 luni cu procentul anual de 5%. Se cer soluia raional i soluia comercial. 4.SedepunelaC.E.C.cudobndap=5suma100000 = S RON.Cesumseva obinelalichidareacarnetuluidup3anii5luni?Secersoluiaraionali soluia comercial. 5.O sum de 900000 RON este depus ntr-un cont cu dobnda anual de 8%. Care este suma disponibil peste 4 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste 1 semestru? 6.Ce sum va ridica o persoan peste 5 ani cu dobnd compus dac astzi depune 500000 RON cu 4%. Care este dobnda obinut? 3 - DOBNDA ANUAL EFECTIV Delanceputulanului2005aintratnvigoarelegeacreditelordeconsum.Printre celemaiimportantereglementrialeacesteilegiintriobligativitateabnciloria comercianilordeaafiadobndaanualefectiv,pescurtD.A.E.Acestparametru reprezint costul total al creditului la consumator. Articolul 5 al aceleiai legi prevede cnoriceanunpublicitarinoriceofertpentruuncontractdecreditpentru consumatoriafiatnlocalurilecomerciale,princareopersoandeclarcacord uncreditsauintermediazncheiereadecontractedecreditiprincareseindico dobndsauoricealtecifrereferitoarelacostulcreditului,trebuiessemenioneze D.A.E.nmodclariinteligibil,itrebuiesserespecteprevederilelegaleprivind publicitatea. 7Dobndaanualefectiv(D.A.E.)estecalculatporninddelacaracteristicileunui crediticoninetoatecosturileasociatecumprumutulrespectiv,dobndaanual, costulasigurrii,comisionanalizdosar.D.A.E.trebuie obligatoriu s fie prezentat n toate ofertele de credit de consum, ntruct permite compararea costurilor suportate de consumator n cazul contractrii unui mprumut. Spreexemplu,uncreditpoatepreanaparenmaiscumpdectunaltul,dacse comparnumaidobndaanual.Pentruatictcostuncreditipentruaseputea facecomparaii,estenecesarssecunoascD.A.E.pentrufiecareofert,deoarece aceasta include tot ce trebuie pltit n plus fa de dobnda mprumutului. MenionareaD.A.E.esteobligatorienumaipentruoferteledecreditdeconsum nevoipersonale,bunuridefolosinndelungat,carduridecredit.Pentrucreditele imobiliareipentruceledestinatepersoanelorfiziceautorizatesaupersoanelor juridice pentru desfurarea activitii nu este obligatorie prezentarea D.A.E. Rata de plat rmne nemodificat , chiar dac D.A.E. raportat la vechea dobnd d impresiauneicreteriaacesteiaD.A.E.nusefolosetepentrucalcululratelorunui mprumut,cidoarpentruasefaceocomparaientrediverseleofertedecredit. Consumatorii de credite trebuie s tie c aceste produse au costuri i riscuri asociate . Deaceea,condiiilecontractualetrebuiecititecuatenie.Demulteoriceeaceeste scrisculiteremiciascundelucruriimportante,cumarfi,deexemplu,penalizri practicatelantrzierearatelor,condiiiderambursareanticipateialteasemenea informaiipecaredeobiceiofieriidecreditlespunntreactsaunicinule menioneaz.Unaspectcetrebuiereinutesteacelac,ngeneralcreditelepe perioade lungi sunt dezavantajoase. Afiarea D.A.E. ajut la observarea acestui lucru mai uor. Unele bnci au redus recent rata anual a dobnzii la creditele n lei. Ct de ieftine au devenit ns aceste mprumuturi se poate vedea doar dup verificarea D.A.E. 3. OPERAIUNI DE SCONT 3.1. Definiii i relaii de calcul ngeneral,operaiuneadescontconstdincumprareadectrebncilecomercialea unorpolienaintedescadenaacestora,percepndoanumittaxpentruunastfelde serviciu fcut deintorilor acestor documente financiare, iar la scaden vor ncasa de la creditorul poliei valoarea integral a acesteia. Opolisecumprlaunmomentdatcupreulsausuma 0S .Aceastaesteevaluatcu procentuldeemisiunei p =100 iestescadentdupmomentulsaudurata . Valoarea finalla scaden a poliei, K va fi: 8an i S Kan i S K1 , ) 1 (1 ), 1 (00> + = + =

Daclaunmomentdat + = + = Valoareascontatapoliei(adicvaloareaactuallamomentulvnzriiacesteia;la momentult = 1 se noteaz cu.aK Notaii: 0S- valoarea iniial a operaiunii (pre de cumprare, valoare de emisiune a poliei) p - procent nominal deevaluare sau procent de emisiune a poliei. 1K - valoarea final la scontare sau curs al poliei la data scontrii (sau vnzrii) acesteia. K -valoareafinalaoperaiuniisauvaloareanominallascadenapolieisaucapital disponibil sau nominal la scaden. q - procent anual, procent de scont al poliei. aK -valoareaactualapolieilamomentulvnzriiacesteiasauvaloarescontatsau capital scontat. SenumetetaxdescontsauscontdiferenadintrecapitalulnominalK icapitalul scontat.aK

aK K S = Prin urmare, la momentul