Teorema lui Menelaus

Marian Tache

Liceul Teoretic W. ShakespeareTimisoara

March 30, 2015

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 1 / 9

Teorema lui Menelaus

Theorem

Teorema lui Menelaus:

Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .Atunci are loc relatia:

DA

DB· FBFC· ECEA

= 1.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9

Teorema lui Menelaus

Theorem

Teorema lui Menelaus:

Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .

Atunci are loc relatia:

DA

DB· FBFC· ECEA

= 1.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9

Teorema lui Menelaus

Theorem

Teorema lui Menelaus:

Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .Atunci are loc relatia:

DA

DB· FBFC· ECEA

= 1.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9

Reciproca teoremei lui Menelaus

Theorem

Reciproca teoremei luiMenelaus:

Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA

DB ·FBFC ·

ECEA = 1.

Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9

Reciproca teoremei lui Menelaus

Theorem

Reciproca teoremei luiMenelaus:

Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA

DB ·FBFC ·

ECEA = 1.

Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9

Reciproca teoremei lui Menelaus

Theorem

Reciproca teoremei luiMenelaus:

Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA

DB ·FBFC ·

ECEA = 1.

Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:

Pentru bisectoarea [AD : DBDC = AB

AC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD :

DBDC = AB

AC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE :

EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF :

FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie

Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB

DC = ABAC

Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA

BC

Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB

CA

Inmultind convenabil⇒ 1 = AB

AC ·ACBC ·

BCAB =

= DBDC ·

FAFB ·

ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒

punctele D, E , F sunt coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9

E3/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD

DA = EAEC = 3.

Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie

Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :

DADB ·

FBFC ·

ECEA = 1⇒ FB

FC = 9⇒ FBFM = 9

5 . Aplic teorema lui Menelaus

pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·

FBFM ·

PMPA = 1⇒ PA

PM = 35 .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9

E3/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD

DA = EAEC = 3.

Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie

Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :

DADB ·

FBFC ·

ECEA = 1⇒ FB

FC = 9⇒ FBFM = 9

5 . Aplic teorema lui Menelaus

pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·

FBFM ·

PMPA = 1⇒ PA

PM = 35 .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9

E3/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD

DA = EAEC = 3.

Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie

Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :

DADB ·

FBFC ·

ECEA = 1⇒ FB

FC =

9⇒ FBFM = 9

5 . Aplic teorema lui Menelaus

pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·

FBFM ·

PMPA = 1⇒ PA

PM = 35 .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9

E3/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD

DA = EAEC = 3.

Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie

Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :

DADB ·

FBFC ·

ECEA = 1⇒ FB

FC = 9⇒ FBFM =

95 . Aplic teorema lui Menelaus

pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·

FBFM ·

PMPA = 1⇒ PA

PM = 35 .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9

E3/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD

DA = EAEC = 3.

Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie

Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :

DADB ·

FBFC ·

ECEA = 1⇒ FB

FC = 9⇒ FBFM = 9

5 . Aplic teorema lui Menelaus

pentru 4ABM si transversala DF :

DADB ·

FBFM ·

PMPA = 1⇒ PA

PM = 35 .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9

E3/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD

DA = EAEC = 3.

Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie

Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :

DADB ·

FBFC ·

ECEA = 1⇒ FB

FC = 9⇒ FBFM = 9

5 . Aplic teorema lui Menelaus

pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·

FBFM ·

PMPA = 1⇒ PA

PM =

35 .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9

E3/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD

DA = EAEC = 3.

Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie

Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :

DADB ·

FBFC ·

ECEA = 1⇒ FB

FC = 9⇒ FBFM = 9

5 . Aplic teorema lui Menelaus

pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·

FBFM ·

PMPA = 1⇒ PA

PM = 35 .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA =

1−k1+k . Exprim raportul PA

PE ın functie de k :PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k .

Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE =

1+k1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :

MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k .

Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :

MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1.

Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND =

1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒

N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

A1/ pg. 233, manual M. Burtea

In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA

DB = ECEA .

Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie

Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez

DADB = EC

EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :

MDMA = 1−k

1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :

PAPE = 1+k

1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·

NEND ·

PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim

raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9

Dreapta lui Gauss

Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind

laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 7 / 9

Dreapta lui Gauss

Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind

laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 8 / 9

Dreapta lui Gauss

Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind

laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 9 / 9