Teorema lui Menelaus.pdf
40
Teorema lui Menelaus Marian Tache Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara March 30, 2015 Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara) Teorema lui Menelaus March 30, 2015 1/9
-
Upload
truongkhue -
Category
Documents
-
view
355 -
download
11
Transcript of Teorema lui Menelaus.pdf
Teorema lui Menelaus
Marian Tache
Liceul Teoretic W. ShakespeareTimisoara
March 30, 2015
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 1 / 9
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .
Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:
Pentru bisectoarea [AD : DBDC = AB
AC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD :
DBDC = AB
AC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE :
EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF :
FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC =
9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM =
95 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF :
DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM =
35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA =
1−k1+k . Exprim raportul PA
PE ın functie de k :PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k .
Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE =
1+k1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :
MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k .
Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :
MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1.
Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND =
1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒
N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 7 / 9
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 8 / 9
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 9 / 9
![TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI TIUSPA - math.uaic.ro · Exercise 7. [M.E. Panaitopol, L. Panaitopol, Probleme alitativec de geometrie plana , Editura Gil, Zalau, 1996] Fie 4ABC,](https://static.fdocumente.com/doc/165x107/5dd0a2e5d6be591ccb61f492/teorema-lui-menelaus-in-plan-si-tiuspa-mathuaicro-exercise-7-me-panaitopol.jpg)
