Modelarea şi analiza sistemelor multi-agent

4. Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I) Florin Leon

Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iaşi Facultatea de Automatică şi Calculatoare

http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

2

Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)

Jocuri de sumă nulă cu doi jucători

1. Introducere

2. Dominanţa

3. Diagramele de mişcare

4. Echilibru minimax pur

5. Echilibru minimax mixt

6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)

7. Jocuri matriceale (m x n)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

3

Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)

Jocuri de sumă nulă cu doi jucători

1. Introducere

2. Dominanţa

3. Diagramele de mişcare

4. Echilibru minimax pur

5. Echilibru minimax mixt

6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)

7. Jocuri matriceale (m x n)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

4

Teoria jocurilor

Studiază interacţiunile strategice între jucători raţionali care aleg diferite acţiuni pentru a-şi maximiza profitul

Mai formal, reprezintă studiul modelelor matematice de conflict şi cooperare între decidenţi inteligenţi şi raţionali

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

5

Bazele teoriei jocurilor

Teoria jocurilor este o abordare interdisciplinară menită să studieze comportamentul uman

John von Neumann, Oskar Morgenstern: Theory of Games and Economic Behavior (1944)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

Întrebări fundamentale

Ce înseamnă alegerea raţională a unor strategii când rezultatele depind de strategiile necunoscute alese de alţii?

În jocuri care permit câştiguri colective, este raţională cooperarea sau urmărirea scopurilor individuale? Când este raţională cooperarea şi când este raţional comportamentul egoist?

Sunt diferite interacţiunile continue de cele singulare?

Pot apărea spontan reguli de cooperare din interacţiunile indivizilor egoişti?

Este „raţional” comportamentul uman real? Care sunt diferenţele: sunt oamenii mai cooperanţi sau mai egoişti decât ar fi „raţional”?

6 Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

7

Raţionalitatea

Teoria jocurilor studiază modul în care se comportă jucătorii raţionali

Potrivită pentru modelarea agenţilor inteligenţi

Fiecare agent încearcă să-şi maximizeze recompensele (venituri, profituri, alte beneficii)

Ajută studiul alocării resurselor

Restrânge numărul posibilităţilor de analizat (comportamentul raţional este mai predictibil decât cel iraţional)

Furnizează un criteriu pentru evaluarea eficienţei unui sistem economic (ineficienţă: reducerea recompenselor unora fără compensaţii suplimentare pentru alţii)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

8

Interacţiunile indivizilor

În economia neoclasică, se consideră că indivizii raţionali interacţionează cu un sistem de instituţii (constrângeri): drepturi de proprietate, schimburi bazate pe bani, competitivitatea economică

Indivizii nu interacţionează direct, ci pe baza „condiţiilor pieţei”

Teoria jocurilor analizează interacţiunile directe, nu prin intermediul „pieţei”

„Jocurile” sunt o metaforă pentru probleme care presupun luarea unor decizii sau alegerea unei strategii

Se poate aplica la jocuri propriu-zise, dar şi la interacţiuni din lumea reală: competiţia economică, strategiile militare, poluarea mediului etc.

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

9

Maximizarea recompenselor

Fiecare jucător / agent trebuie să-şi maximizeze recompensele într-un mediu influenţat de strategiile celorlalţi agenţi

Alegerile unui agent depind de alegerile tuturor celorlalţi agenţi

Fiecare jucător încearcă să-şi maximizeze profitul indiferent de acţiunile celorlalţi jucători

Conflicte, cooperare

Decizii sociale: cu cine şi cum să coopereze

Alegerea raţională a strategiilor poate presupune şi maximizarea recompenselor grupului de agenţi

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

10

Aplicaţii

Oriunde există interacţiuni strategice între jucători raţionali Economie

Strategii geo-politice

Psihologie

Sociologie

Ştiinţa calculatoarelor (reţele etc.)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

11

Elementele unui joc

Un joc este orice situaţie în care:

Există cel puţin 2 jucători

Fiecare jucător are la dispoziţie un număr de strategii posibile

Strategiile alese de fiecare jucător determină rezultatul (engl. “outcome”) jocului

Pentru fiecare rezultat, există un profit (engl. “payoff”) numeric pentru fiecare jucător

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

12

Dilema inculpaţilor

engl. “prisoner’s dilemma” Jucători

2 inculpaţi

Acţiuni Inculpatul 1: Mărturiseşte, Neagă Inculpatul 2: Mărturiseşte, Neagă

Strategii Inculpaţii îşi aleg acţiunile simultan,

fără a cunoaşte acţiunea celuilalt

Rezultate Numărul de ani de închisoare

Profitul Mai puţini ani profit mai mare

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

13

Reprezentarea în forma normală (strategică)

O matrice care conţine jucătorii, strategiile şi profiturile

Se presupune că jucătorii acţionează simultan

Pentru dilema inculpaţilor:

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

14

Jocuri de sumă nulă

Numite şi „jocuri de sumă zero”

Pentru orice rezultat al jocului, profiturile jucătorilor au suma 0

Câştigul lui Rose (“rows”) = – câştigul lui Colin (“columns”)

Pentru un joc de sumă generală, sunt necesare perechi

Pentru un joc de sumă nulă, (2) este echivalent cu (2, –2)

În limba română ar putea fi Laura şi Cristi

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

15

Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)

Jocuri de sumă nulă cu doi jucători

1. Introducere

2. Dominanţa

3. Diagramele de mişcare

4. Echilibru minimax pur

5. Echilibru minimax mixt

6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)

7. Jocuri matriceale (m x n)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

16

Dominare. Definiţii

O strategie S domină o strategie T (T este dominată de S) dacă orice rezultat al lui S este cel puţin la fel de bun ca rezultatul corespunzător al lui T

Un jucător raţional nu trebuie să joace niciodată o strategie dominată

Dacă fiecare jucător are o strategie dominantă şi o joacă, atunci combinaţia acestora şi profiturile corespunzătoare constituie echilibrul strategiilor dominante ale jocului

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

17

Exemple

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

18

Exemple

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

19

Exemple

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

20

Echilibrul strategiilor dominante

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

21

Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)

Jocuri de sumă nulă cu doi jucători

1. Introducere

2. Dominanţa

3. Diagramele de mişcare

4. Echilibru minimax pur

5. Echilibru minimax mixt

6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)

7. Jocuri matriceale (m x n)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

22

Diagrame de mişcare

În fiecare linie, trasăm o săgeată de la fiecare intrare către intrarea minimă de pe linie

Colin vrea să-şi maximizeze profitul, minimizând negatul profitului lui Rose

În fiecare coloană, trasăm o săgeată de la fiecare intrare către intrarea maximă de pe coloană

Rose vrea să-şi maximizeze profitul

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

23

Diagrame de mişcare

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

24

Exemplu mai complex

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

25

Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)

Jocuri de sumă nulă cu doi jucători

1. Introducere

2. Dominanţa

3. Diagramele de mişcare

4. Echilibru minimax pur

5. Echilibru minimax mixt

6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)

7. Jocuri matriceale (m x n)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

26

Echilibru minimax pur

Un rezultat al unui joc matriceal este numit punct şa (engl. “saddle point”) sau echilibru minimax pur dacă este minimul liniei şi maximul coloanei sale

Echilibrul minimax este un caz particular al echilibrului Nash pentru jocuri de sumă generală (vezi cursul 5)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

27

Rezultate teoretice

Principiul punctului şa: Dacă o matrice are un punct şa, ambii jucători trebuie să joace strategia indicată de acesta

Pentru orice joc matriceal, există un număr v numit valoarea jocului, astfel încât Rose are o strategie care garantează că va câştiga cel puţin v, iar Colin are o strategie care garantează că Rose nu va câştiga mai mult decât v

Teoremă: Într-un joc de sumă nulă cu doi jucători, dacă intrarea (Ri, Cj) este un echilibru de strategii dominante, atunci aceasta este şi un echilibru minimax pur

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

28

Exemple

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

29

Teoremă

Oricare 2 puncte şa dintr-un joc matriceal au aceeaşi valoare

Demonstraţie:

Presupunem că a şi b sunt puncte şa

Deci a = b

a ≤ c a ≥ d b ≤ d b ≥ c

a ≤ c ≤ b b ≤ d ≤ a

a ≤ c ≤ b ≤ d ≤ a

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

30

Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)

Jocuri de sumă nulă cu doi jucători

1. Introducere

2. Dominanţa

3. Diagramele de mişcare

4. Echilibru minimax pur

5. Echilibru minimax mixt

6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)

7. Jocuri matriceale (m x n)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

31

Jocuri fără echilibru minimax pur

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

32

Echilibru minimax mixt

von Neumann a demonstrat că pentru orice joc de sumă nulă cu doi jucători se poate găsi întotdeauna un echilibru minimax mixt

Strategie mixtă = combinaţie de strategii cu probabilităţi fixe

De exemplu, jucătorul alege strategia A cu probabilitatea de 25% şi strategia B cu probabilitatea de 75%

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

33

Exemplu

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

34

Strategii mixte

Strategia lui Rose: (y, 1-y)

Strategia lui Colin: (x, 1-x)

Profitul aşteptat al lui Rose: E[P] = y G xT

Rose încearcă să maximizeze E[P] variind y

Colin încearcă să minimizeze E[P] variind x

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

35

Model de calcul: Colin (I)

Profiturile aşteptate ale strategiilor lui Rose:

3 situaţii posibile pentru Colin

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

36

Model de calcul: Colin (II)

Rose ar alege y = 1 şi ar câştiga mai mult de -1/2

Rose ar alege y = 0 şi ar câştiga mai mult de -1/2

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

37

Profiturile R1 şi R2

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

38

Model de calcul: Rose

La fel se poate calcula strategia optimă a lui Rose

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

39

Metoda resturilor (I)

engl. “oddment method”

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

40

Metoda resturilor (II)

Metoda funcţionează numai pentru jocuri 2 x 2 fără echilibru pur!

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

41

Jocuri cu echilibru pur

Diferenţele au acelaşi semn

Prima linie domină linia a doua

Strategia (3/4, 1/4) nu este optimă pentru Colin

Rose alege sigur R1 iar Colin ar trebui să aleagă C1

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

42

Teorema Minimax

Orice joc de sumă nulă m x n cu doi jucători are o soluţie, un număr unic v numit valoarea jocului şi există strategii optime (pure sau mixte) pentru Rose şi Colin astfel încât:

Dacă Rose joacă strategia optimă, profitul său aşteptat nu va fi mai mic decât v, indiferent ce joacă Colin

Dacă Colin joacă strategia optimă, negatul profitului său aşteptat nu va fi mai mare decât v, indiferent ce joacă Rose

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

43

Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)

Jocuri de sumă nulă cu doi jucători

1. Introducere

2. Dominanţa

3. Diagramele de mişcare

4. Echilibru minimax pur

5. Echilibru minimax mixt

6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)

7. Jocuri matriceale (m x n)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

44

Rezultat

Jocurile (2 x n) şi (m x 2) pot fi întotdeauna reduse la jocuri (2 x 2) şi deci pot fi rezolvate prin metodele prezentate anterior

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

45

Jocuri (m x 2)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

46

Exemplu

Profitul minim al lui Rose

Strategia optimă a lui Colin

x1 = R1 ∩ R2

5 x1 – 3 = 2 – 2 x1

x1 = 5/7

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

47

Reducerea la (2 x 2)

Strategia optimă a lui Colin este (5/7, 2/7)

Dacă Colin alege punctul x1, Rose poate răspunde doar cu R1 şi R2

R3 i-ar aduce profit mai mic

Deci Rose nu va juca R3 deloc

Jocul se reduce la (2 x 2)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

48

Rezolvare

Valoarea jocului se poate afla şi calculând, de exemplu: R1(x1) = 2 · 5/7 – 3 · 2/7 = 4/7

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

49

Exemplul 2

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

50

Rezolvare

Contează doar R4 şi R5, care se intersectează în punctul x:

Strategia optimă a lui Colin este (3/5, 2/5)

Valoarea jocului este: 3/5 + 6 · (1 – 3/5) = 3 (pe R4)

Jocul se reduce la (2 x 2)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

51

Jocuri (2 x n)

Se transpune matricea şi se transformă jocul în (n x 2)

G’ = – GT

Prin transpunere, Colin devine „noua Rose” iar Rose devine „noul Colin”

Se rezolvă cu metoda prezentată anterior

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

52

Exemplu

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

53

Rezolvare

Intervin 4 segmente: R2, R3, R1, R5

Minimul este R1 ∩ R3

x0 = 4/7

Strategia optimă a noului Colin este (4/7, 3/7)

Valoarea jocului este 1/7

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

54

Jocul devine (2 x 2)

Strategia optimă pentru noua Rose este:

(R1, R2, R3, R4, R5) = (2/7, 0, 5/7, 0, 0)

Pentru jocul iniţial, strategiile optime sunt:

Rose: (4/7, 3/7)

Colin: (2/7, 0, 5/7, 0, 0)

Rezolvare

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

55

Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)

Jocuri de sumă nulă cu doi jucători

1. Introducere

2. Dominanţa

3. Diagramele de mişcare

4. Echilibru minimax pur

5. Echilibru minimax mixt

6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)

7. Jocuri matriceale (m x n)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

56

Jocul culorilor

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

57

Exemplu

Jocul culorilor nu are echilibru minimax pur

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

58

Programare liniară

Jocurile matriceale (m x n) nu pot fi reduse la jocuri (2 x 2)

Se rezolvă prin metode de programare liniară

Pentru cazul n-dimensional, este nevoie de ajutorul calculatorului

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

59

Rezolvare

Vom considera mai întâi un joc (2 x 5) pentru a ilustra metoda şi a verifica rezultatele

Strategia lui Colin este dată de probabilităţile (x1,..., x5)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

60

Transformarea pentru PL (I)

Profiturile posibile ale lui Rose

Rose doreşte profitul maxim

Colin încearcă minimizarea acestuia

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

61

Transformarea pentru PL (II)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

62

Rezolvarea cu Excel (I)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

63

Rezolvarea cu Excel (II)

Din meniu: Tools Solver (sau Data Solver)

Dacă Solver nu există în meniul Tools, se adaugă din Tools Add-Ins

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

64

Rezolvarea cu Excel (III)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

65

Soluţia

Valoarea jocului:

1/7

Strategia optimă a lui Colin:

(2/7, 0, 5/7, 0, 0)

Strategia optimă a lui Rose:

(4/7, 3/7)

valorile negate ale multiplicatorilor Lagrange

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

66

Exemplu de joc (m x n)

Colin: (4/13, 4/13, 5/13)

Rose: (5/13, 2/13, 6/13)

Valoarea jocului: -1/13

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

67

Jocul culorilor

Colin: (1/2, 1/2, 0)

Rose: (1/2, 1/2, 0)

Valoarea jocului: 0

nimeni nu trebuie să joace cartea „2”

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

68

Problema pescarilor (I)

În Jamaica pescarii pescuiesc la ţărm sau în larg (sau ambele) în funcţie de curenţi

Strategia optimă a pescarilor: (0.67, 0, 0.33)

Strategia optimă a curentului (!): (0.31, 0.69)

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

69

Problema pescarilor (II)

Pescarii urmează această strategie cu un profit de 13.3

Curenţii sunt prezenţi în 25% din timp

Valoare apropiată de 31%, dar nu egală

Pescarii ar putea alege strategia (0,1,0) cu un profit de 14.35

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

70

Avantajul soluţiei minimax

Însă cu strategia (0.67, 0, 0.33) ei îşi garantează un profit de cel puţin 13.3

Dacă ar alege strategia (0,1,0) şi într-un an curenţii ar fi prezenţi 35% din timp, ar câştiga doar 11.85

Avantajul principal al soluţiei minimax este garantarea unui profit minim, independent de deciziile celorlalţi jucători

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

Referinţe

Raymond Chan

Games and Strategic Thinking Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong

http://www.math.cuhk.edu.hk/course/0910/ugb253na

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm