Aplicatii Din Teoria Jocurilor

download Aplicatii Din Teoria Jocurilor

of 47

Transcript of Aplicatii Din Teoria Jocurilor

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    1/47

    Universitatea din Bucureti

    Facultatea de Matematic Informatic

    Aplicaii ale teoriei jocurilor

    Profestor coordonator: Masterand:

    Prof. Univ. r. !asile Preda Bo"dan #e"ril

    Bucureti

    2013

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    2/47

    $uprins

    Introducere....................................................................................................................%1. Conceptul de joc.......................................................................................................&

    1.1 Jocuri n forma extins.......................................................................................5

    1.2 trate!ii. "orma normal....................................................................................#

    1.3 $uncte de ec%ili&ru............................................................................................10

    2. Jocuri de dou persoane cu sum nul...................................................................'(

    2.1 Jocuri cu sum nul...........................................................................................1'

    2.2 "orma normal...................................................................................................15

    2.3 trate!ii mixte....................................................................................................1(

    2.' )eorema *inimax..............................................................................................1+

    3. Jocuri contra naturii..................................................................................................)%

    3.1 Criteriul lui ,ur-ic............................................................................................23

    3.2 Criteriul Ba/es aplace...................................................................................25

    3.3 Criteriul lui aa!e.............................................................................................2(

    3.' Criteriul lui ald.................................................................................................24

    '. plica6ii.....................................................................................................................%'

    '.1 $ro&lema amenin6rilor credi&ile........................................................................31

    '.2 $ro&lema pira6ilor...............................................................................................33

    '.3 7n experiment n reolarea jocurilor prin eliminarea

    strate!iilor dominate..........................................................................................3(

    '.' plica6ii din teoria jocurilor n jocul de $o8er......................................................3#

    Bi&lio!rafie....................................................................................................................(&

    Introducere

    2

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    3/47

    9n majoritatea situa6iilor cu care ne confruntm i de i suntem pui n situa6ia de a adopta

    o deciie dintr:o mul6ime de deciii posi&ile; n ederea atin!erii unui anumit scop. $erfect

    natural i caracteristic actiit6ii noastre t mai mare msur. ?ei folosim n mod frecent termenul de deciie

    t n limitele unui model matematic. )eoria modelelor

    matematice de adoptare a deciiilor optime ntr:un anumit sens constituie ai o

    important ramur a matematicii; numit cercetare operaional.

    Teoria jocurilor este capitolul cercetrii opera6ionale consacrat adaptrii deciiilor n

    situaii de competiie Asitua6ii conflictuale; adic situa6ii n care ac6ionea mai mul6i

    factori ra6ionaliD : fiecare urmrind un anumit scop independen6i n ale!erea deciiilor

    proprii; dar dependen6i prin reultate; care depind de ansam&lul tuturor deciiilor. ceast

    situa6ie este formaliat n conceptul matematic de joc. )re&uie s specificm ns c

    teoria jocurilor repreint un model a&stract de luare a deciiilor; astfel c nu tre&uie

    confundat cu o explica6ie de luare a unei deciii n realitatea social.

    Eri!inea acestui frumos domeniu matematic ncepe la 1410; prin studiile lui ei&nie

    asupra jocurilor de strate!ie; care anticipea neoia unor teorii asupra acestui domeniu.

    )rei ani mai t>riu James alder!rae formulea principiul minmaxca solu6ie a unui joc

    de cr6i ce are ca participan6i doar dou persoane. Cum persoanele epocii nu au !sit

    utilitatea acestui princpiu; el a fost neutiliat p>n la nceputul secolului FF. &ia la 1#(5

    Isaac )od%unter n6ele!e importan6a acestui principiu; pe care l include n lucrarea sa; @

    ,istor/ of t%e mat%ematical t%eor/ of pro&a&ilit/=. 9n 1+21 Gmile Borel a ncercat s

    demonstree teorema lui alder!rae; dar fr Hlle!eH. a 1+2( matematicianul un!ur

    Jo%n on eumann reuete s demonstree teorma minmax. 9n 1+3# economistul

    *or!enstern I se altur lui eumann n ncercarea de a defini o teorie a jocurilor. Celcare a des>rit ns acest domeniu este cele&rul Jo%n as%; Hlle!eHe al premiului

    o&el pentru economie n 1++' i su&iectul unuia dintre cele mai appreciate filme de la

    ,oll/-ood; @ &eautiful mind=.

    9n acest moment; teoria jocurilor ne permite s descriem i s analim fenomene

    economice i sociale ca nite jocuri strate!ice; precum i s sta&ilim ec%ili&rele unui joc;

    3

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    4/47

    adic strile n care nici un juctor nu dorete s:i modifice comportamentul; indiferent

    de comportamentul celorlal6i juctori.

    Gxist numeroase concepte de ec%ili&ru ntr:un joc. 9n cadrul lucrrii de fa6 om insista

    asupra ec%ili&relor ce se &aea pe situa6ii credi&ile. Gconomitii utiliea termenul de

    de echilibre ale subjocurilor perfectepentru a descrie astfel de ec%ili&re. 7n joc estecaracteriat pe cantitatea i calitatea informa6iei de care dispun juctorii. stfel; distin!em

    jocuri cu informaie complet sau incomplet; precum i jocuri cu informaie perfect sau

    imperfect. E alt cate!orisire a jocurilor 6ine cont de numrul participan6ilor; n func6ie de

    care aem jocuri de 2 persoane i jocuri de npersoane.

    Cele mai &une exemple de jocuri n func6ie de cantitatea informa6iei sunt jocul de a% Ala

    care informa6ia este complet i fiecare mutare este decis de cea a oponentului n

    afara primei mutri; jocul de &rid!e An care informa6ia este par6ial; la fel ca la jocul de

    po8er i ruleta; la care informa6ia este nul; fiecare nou spin fiind total aleator Anu

    considerm situa6iile ipotetice n care o persoan ar juca suficient de multe jocuri astfel

    nc>t s interin ec%ili&rul dat de statistica jocului.

    le!erea acestei lucrri a a aut la &a numeroasele aplica6ii ale teoriei jocurilor de la

    aplica6ii n jocurile de societate; la aplica6ii deciionale i de studiu asupra

    comportamentului uman; la modelri economice este o teorie foarte utiliat n preent

    n modelarea riscului opera6ional; n modelarea situa6iilor militare; sau mai preent n

    motiarea an!aja6ilor; n te%nici de n6are; medicin i multe altele.

    tructura acestei lucrri urmrete n primul capitol c>tea no6iuni introductie; mai mult o

    recapitulare a no6iunilor din timpul cliclului licen6 master. 9n cel de:al doilea capitol om

    preenta no6iuni din jocurile contra naturii; folosite n luarea deciiilor n func6ie de

    eenimentele aleatoare ce pot intereni. 7ltimul capitol este dedicat exclusi aplica6iilor;

    preent>nd unele pro&leme foarte frumoase i interesante; cum sunt pro&lema

    amenin6rilor credi&ile; puleul pira6ilor Aidee folosit n foarte multe filme dar i n te%nici

    de ne!ociere real i se nc%eie cu un studiu relati amplu asupra jocului de po8erfolosind informa6ii din teoria jocurilor.

    $apitolul I: $onceptul de joc

    4

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    5/47

    Ideea de &a a jocului tratat n aceast lucrare i are ori!inea n jocurile de societate.

    $ornind dintr:o anumit situa6ie ini6ial; urmea o serie de pai Amicri; la fiecare pas

    juctorii ale!>nd o micare dintr:o mul6ime dat de micri posi&ile. 7nele din aceste

    micri pot fi aleatoare; de exemplu aruncarea unui ar sau extra!erea unei cr6i dintr:un

    pac%et de cr6i.7n aspect interesant al jocului de a% este acela c juctorul nu poate sta&ili care din

    mutrile adersarului au fost fcute pe &aa ale!erii unei strate!ii i care din nt>mplare.

    umrul uria de strate!ii posi&ile n!reunea aceast separare a mutrilor

    nt>mpltoare de cele ce fac parte din cadrul unei strate!ii.

    9n final; la nc%eierea jocului; juctorii primesc o recompens ce depinde de modul de

    desfurare a jocului. Gxist aadar o func6ie ce asocia c>ti!uri fiecrei mplareaK

    : starea de informare a juctorilorK

    : o func6ie de c>ti!.

    $entru nceput; om defini no6iunea de arbore de joc, ca o mul6ime finite de noduri

    A>rfuri care sunt unite prin muchiiAarce, astfel ca s reulte un !raf conex fr circuite

    Adrumuri nc%ise. $entru oricare >rfuriAi Bexist deci exact un ir de muc%ii i noduri

    care unescAcu B.

    efiniia '.' "ie un ar&ore topolo!ic cu un nod specificatA. punem c nodul Ceste

    un succesoral nodului Bdac irul de muc%ii care uneteAcu Btrece prin C. Ceste un

    succesor directal lui Bdac Ceste un succesor al lui Bi exist o muc%ie care unete B

    cu C.Xse numete nod finaldac nu are nici un succesor.efiniia '.) $rinjoc de n persoane n form extins se n6ele!e

    a un ar&ore topolo!ic cu un nod specificatA; nodul iniialal lui K

    & o funcie de cticare asocia fiecrui nod final al lui un n:ectorK

    c o pari6ie a nodurilor lui care nu sunt noduri finale n 1+n mul6imi ,,...,, 10 nSSS

    numite mulimi ale juctorilorK

    5

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    6/47

    d pentru fiecare nod din 0S o distri&u6ie de pro&a&ilitate pe mul6imea succesorilor

    direc6i ai acestui nodK

    e o parti6ie a mul6imilor iS ; ni ,1= n su&mul6imilej

    iS Amulimi de informaie; astfel

    nc>t dou noduri din aceeai su&mul6ime de informa6ie au acelai numr desuccsesori direc6i1i nici un nod al unei mul6imi de informa6ie nu este succesor al

    unui nod al acestei mul6imiK

    f pentru fiecare mul6ime de informa6iej

    iS exist o mul6imej

    iI 2.

    emnifica6ia acestor elemente esen6iale ale unui joc este urmtoarea

    a existen6a unui nod esen6ialK

    & existen6a unei func6ii de c>ti!K

    c totalitatea micrilor se mparte n micri aleatoare )( 0S i cele efectuate de cei n

    juctori ),...,( 1 nSS K

    d pentru fiecare micare aleatoare se definete o sc%em aleatoareK

    e micrile unui juctor se mpart n ti! un dolar de la II. 9n ar&orele jocului; repreentat n fi!ura 1.1;

    ectorul ataat nodurilor finale repreint func6ia de c>ti!; iar numerele de l>n!

    celelalte noduri indic juctorul cruia i apar6ine mutarea. ?omeniul mr!init de linia

    punctat con6ine nodurile din aceeai mul6ime de informa6ie.

    1 Altfel spus, din fiecare nod al lui pornesc acelai numr de arce. Conform axiomei f), fiecare dinaceste arce corespunde uneia dintre aciunile pe care !uctorul le poate "nreprinde "n situaia .2 repre#int mulimea tuturor mutrilor (aciunilor) posi$ile ale !uctorului "n situaia .

    %

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    7/47

    "i!. 1.1

    -,emplul '.) ?oi juctori primesc fiecare c>te o culoare complet a unui pac%et de cr6ide joc A13 cr6i numerotate de la 1 la 13. Cr6ile unei a treia culori se amestec i apoi

    sunt descoperite una c>te una. ?e fiecare dat c>nd o carte a fost descoperit; fiecare

    juctor joac una dintre cr6ile sale; la ale!erea sa; fr a cunoate cartea jucat de

    cellalt. Juctorul care a jucat cea mai mare carte c>ti! un numr de puncte e!al cu

    numrul cr6ii descoperite An caul n care cr6ile jucate sunt e!ale nu c>ti! nici unul.

    Jocul se continu p>n la epuiarea celor 13 cr6i. C>ti!ul este diferen6a dintre punctele

    acumulate de cei trei juctori.

    9n caul a 13 cr6i; ar&orele jocului este prea mare pentru a fi repreentat aici. ?e aceea

    om considera o repreentare pentru un joc cu doar 3 cr6i A1; 2 i 3; redat n fi!ura 1.2.

    in!ura micare aleatoare const n amestecarea cr6ilor; prin care acestea se aea n

    una dintre cele ase ordini posi&ile; fiecare cu pro&a&ilitatea 1L(. )oate micrile

    ulterioare sunt decise de cei doi juctori. ?in ar&orele jocului sunt repreentate aici numai

    anumite pr6i; ntre care nodul ini6ial; c>tea ramuri i patru noduri finale. Celelalte ramuri

    sunt asemntoare celor repreentate n desen.

    Melati la informa6ia juctorilor introducem defini6iaefinia '.%7n juctor are informaie completn dac fiecare dintre mul6imile sale de

    informa6iej

    iS

    constau dintr:un sin!ur element. Jocul se numete cu informaie complet

    dac fiecare juctor are informa6ie complet n .

    ?e exemplu; a%ul i jocul de dame sunt jocuri cu informa6ie complet; n constrast cu

    jocul de &rid!e sau cu cel de po8er.

    &

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    8/47

    "i!.1.2

    '.) trate"ii. Forma normal

    Intuiti; o strate!ie este un plan de joc prin care un juctor sta&ilete cum a reac6iona n

    fiecare din situa6iile posi&ile ale jocului. *ai precis

    efiniia '.( E strateiea juctorului i este o func6ie care ataea fiecrei mul6imi de

    informa6iej

    iS un arc3 ce succede unui nod dinj

    iS . otm cu i mul6imea tuturor

    strate!iilor juctorului i .

    3 'ai precis, este or$a de o clas de arce,anume toate arcele care corespund unei anumite aciunidin prin corespondena din axioma f) a definiiei 1.2. utem spune c o strate*ie asocia# fiecreimulimi un element din . rin urmare, o strate*ie a !uctorului este o funcie definit pe mulimeaa tuturor mulimilor de informaie ale !uctorului cu proprietatea c pentru orice .

    +

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    9/47

    9n !eneral; se presupune c un juctor planific doar c>tea micri iitoare; i de cele

    mai multe ori acest lucru se nt>mpl doar atunci c>nd el tre&uie s efectuee o micare.

    E asemenea practic este adeseori necesar pentru c; aa cum se nt>mpl de

    exemplu la jocul de a% sau la cel de po8er; numrul micrilor posi&ile este at>t de mare

    nc>t nimeni nu poate 6ine seama de toate posi&ilit6ile iitoare. ?in punct de edere purteroretic se poate depi aceast dificultate practic i se poate presupune c nainte de

    nceputul jocului fiecare juctor decide ce a face el n fiecare situa6ie particular posi&il;

    adic fiecare juctor ale!e; nainte de joc; strate!ia sa. ?up aceasta rm>n desc%ise

    numai micrile aleatoare. Gle pot fi concentrate ntr:o sin!ur @micare=; al crei reultat;

    mpreun cu strate!iile alese; determin perfect punctul final al jocului.

    "iecare juctor este interesat; desi!ur; de acea strate!ie care i asi!ur cel mai mare

    c>ti! Aadic juctoruli

    urmrete s maximiee componentai a ectorului

    c>ti!urilor. ?eoarece asupra reultatelor pailor aleatori se pot face doar afirma6ii

    pro&a&ilistice; se consider c>ti!ul e!al cu aloarea medie a func6iei de c>ti!. 7n

    aspect de discutat ns n pro&lema maximirii func6iei de c>ti! este i profilul

    decidentului. Gste cunoscut pro&lema inestitorului; n care o persoan dispune de

    1.000 de dolari i are dou ariante s nu inesteasc i s rm>n cu cei 1.000 de

    dolari sau s inesteasc i cu o pro&a&ilitate de +0N s c>ti!e 1.100 dolari iar cu o

    pro&a&ilitate de 10N s piard +00 de dolari. ?ei din punct de edere matematic cele

    dou situa6ii sunt e!ale Aa>nd aceeai medie; o persoan optimist a ale!e s

    inesteasc &anii n timp ce o persoan pesimist a ale!e s pstree &anii.

    notm acum cu),1( ni

    ii = strate!iile juctorilor i cu

    )),...,,(),...,,...,,((),...,,( 2121121 nnnn =

    aloarea medie a func6iei de c>ti!. "unc6ia ),...,,( 21 n poate fi ta&elat pentru toate

    alorile posi&ile ale lui n ,...,1 fie su& forma unor rela6ii; fie printr:un ta&el n :

    dimensional de n : ectori. cest ta&el n : dimensional se numete forma normal a

    jocului .

    -,emplul '.% 9n jocul aruncrii monedei; fiecare juctor are dou strate!ii ale!erea

    stemei sau &anului. "orma normal a acestui joc este redat de matricea urmtoare; n

    care liniile repreint strate!iile juctorului I; iar coloanele strate!iile juctorului II

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    10/47

    -,emplul '.( considerm acum urmtorul joc. E aria&il aleatoare ia alorile 1; 2; 3;

    '; fiecare cu o pro&a&ilitate de O. Juctorul I; fr a cunoate reultatul experimentului

    aleator; ale!e un numr x ; iar juctorul II; fr a cunoate reultatul experimentului

    aleator i ale!erea lui I; ale!e un numry . ?rept func6ie de c>ti! se ia

    ),( zyzxzxzy ;

    adic se urmrete !%icirea c>t mai exact a alorii z luate de aria&ila aleatoare. 9n

    acest joc fiecare juctor dispune de ' strate!ii 1; 2; 3; '. ?ac I ale!e strate!ia 1 i II

    ale!e strate!ia 3; atunci c>ti!ul este A2; :2 cu pro&a&ilitatea O; A0; 0 cu pro&a&ilitatea

    O sau A:2; 2 cu pro&a&ilitatea P. Qaloarea medie este deci )2-1,2-1()3,1( = . Calcul>nd

    astfel toate alorile ),( 21 ; se o&6ine urmtoarea matrice

    1 2 3 '1 A0; 0 A: P ; P A: P; P A0; 02 A P ; : P A0 ;0 A0; 0 A P ; : P

    3 A P ; : P A0; 0 A0; 0 A P ; : P ' A0; 0 A: P ; P A: P ; P A0; 0

    efiniia '.& 7n joc se numete finitdac ar&orele su are un numr finit de noduri.

    *ajoritatea jocurilor de societate sunt; conform acestei defini6ii; finite. Gste uor de ut

    c ntr:un joc finit exist doar o mul6ime finit de strate!ii.

    '.% Puncte de ec/ili0ru

    efiniia '.1 7n sistem ),..,,(

    2

    1 n de n strate!ii

    ii

    se numete punct de

    echilibrudac pentru orice ni ,1= i orice ii aem).,..,(),..,,,,..,( 1

    1

    1

    1 niniiii +

    10

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    11/47

    Cu alte cuinte; un sistem de n strate!ii formea un punct de ec%ili&ru dac nici un

    juctor nu are un moti reona&il s i modifice strate!ia; presupun>nd c to6i ceilal6i

    juctori i pstrea strate!ia corespuntoare. Qom edea ns n partea de aplica6ii a

    acestei lucrri c n majoritatea caurilor; c%iar n situa6ii foarte simple; juctorii nu ale!

    situa6iile optime. )eoretic; dac un juctor cunoate exact planurile celorlal6i; el a preferastrate!iile care mpreun cu acelea ale oponen6ilor formea un punct de ec%ili&ru; i

    jocul a deeni sta&il.

    -,emplul '.& Considerm un joc de dou persoane cu forma normal

    1 2

    1 A2; 1 A0; 0

    2 A0; 0 A1; 2

    tunci ),( 11 i ),( 22 sunt puncte de ec%ili&ru.

    ?in pcate; nu orice joc posed puncte de ec%ili&ru.7n exemplu este aruncatul monedei;

    joc preentat anterior. ?ac un joc nu posed puncte de ec%ili&ru; atunci fiecare juctor

    a ncerca s:i pcleasc adersarii; pstr>ndu:i secrete strate!iile. ceast

    consecin6 ne conduce la ideea c n jocuri cu informa6ie complet exist ntotdeauna

    puncte de ec%ili&ru.

    $entru a demonstra aceast afirma6ie om folosi no6iunea de descompunere a unui joc.

    7n joc se numete decompo!abil n nodul X dac nici o mul6ime de informa6ie nu

    con6ine noduri care apar6in at>t mul6imii formate din X i to6i succesorii lui c>t i restului

    ar&orelui jocului. 9n acest ca putem separa jocul par6ial X ; a>nd drept noduri pe X i

    to6i succesorii lui; de jocul c>t X- ; a>nd drept noduri restul nodurilor i pe X . $entru

    jocul c>t X este un nod finalK c>ti!ul n acest punct; notat X ; const din reultatul su&:

    jocului X .

    a cum am afirmat anterior; o strate!ie pentru juctorul i este o func6ie al crei domeniu

    de defini6ie este totalitatea mul6imilor de informa6ie ale juctorului i . ?ac un joc este

    decompoa&il n nodul X ; atunci fiecare strate!ie se poate descompune n dou pr6i;

    anume X

    ; restric6ia lui la X ; respecti X-

    ; restric6ia lui la mul6imile de

    11

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    12/47

    informa6ie ale lui X- . Iners; o strate!ie pentru X- i o strate!ie pentru X pot fi

    com&inate ntr:o sin!ur strate!ie pentru jocul .

    2eorma '.' "ie jocul decompo!abil n nodul X # $entru ii % ni ,1= & se ataa!

    nodului X , considerat ca nod final al lui X- , ctiul

    XXX nX ,...,,

    21 .

    Atunci a'em(

    ( )XXXn -2-1-1

    ,...,,...,

    =.

    ?emonstra6ia acestei teoreme se reduce la a arta c pentru orice reultat posi&il al

    pailor aleatori; acelai nod final este atins at>t n jocul ini6ial; c>t i n descompunerea

    acestuia. $e &aa acestui reultat aem urmtoarea teorem

    2eorema '.) "ie un joc decompo!abil n nodul X i fie ii % ni ,1= & astfel nct(

    a& XXX n ,...,,

    21 este un punct de echilibru pentru X i

    b& XnX --1 ,...,

    este un punct de echilibru pentru X- a'nd ctiul XX n ,...,

    1

    n nodul final X #

    Atunci ( )n ,...,1 este un punct de echilibru pentru .

    )emonstraie( "ie ii/ A ni ,1= . 9ntruc>t XXX n ,...,, 21 este punct de ec%ili&ru

    pentru X ; aem

    ( )XXX ninXiXi

    ,...,,...,/,...,11

    .

    $e de alt parte; c>ti!ul n nodul X fiind XX n ,...,

    1 i 6in>nd cont de b&,aem

    XnXiXnXiXi --1---1 ,...,,...,/,...,

    .

    C>ti!ul; pentru o mul6ime dat de strate!ii; este o medie ponderat a c>ti!urilor n

    unele din nodurile finale ale ar&orelui jocului. ?ac c>ti!ul juctorului i ntr:un nod final

    dat An caul de fa6 X descrete; atunci; pentru orice ale!ere a strate!iilor; c>ti!ul su

    12

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    13/47

    mediu deasemenea descrete sau n cel mai &un ca rm>ne nesc%im&at. plic>nd

    teorema 1.1; o&6inem

    ( ) ( )ninii ,..,,...,/,..., 11 ;

    deci

    ( )n ,...,1este un punct de ec%ili&ru.Melati la existen6a punctelor de ec%ili&ru; demonstrm urmtoarea teorem

    2eorema '.% *rice joc finit de n persoane cu informaie complet posed un punct de

    echilibru#

    )emonstraie( ?efinim lunimea unui ca numrul maxim de noduri parcurse p>n la

    atin!erea unui nod final; adic numrul maxim de pai de la nceputul p>n la sf>ritul

    jocului. 7n joc finit are eident lun!ime finit. ?emonstra6ia teoremei se face prin induc6ie

    complet dup lun!imea jocului. ?ac

    are lun!imea 0 afirma6ia este &anal. cum;ntr:un joc de lun!ime 1; cel mult un juctor efectuea o micare i el o&6ine strate!ia de

    ec%ili&ru; ale!>nd cea mai &un alternati. ?ac are lun!imea m ; jocul poate fi

    descompus Aa>nd informa6ie complet n jocuri par6iale de lun!ime mai mic dec>t m .

    9n &aa ipoteei induc6iei; fiecare dintre aceste jocuri are un punct de ec%ili&ru. plic>nd

    acum teorema 1.2; o&6inem concluia dorit.

    13

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    14/47

    $apitolul II: *ocuri de dou persoane cu sum nul

    ).' *ocuri cu sum nul

    efiniia ).'7n joc se numetejoc cu sum nul dac; pentru orice nod final; func6ia

    de c>ti! satisface condi6ia

    0

    1

    ==

    n

    i

    ip

    . A2.1

    9n !eneral; un joc cu sum nul repreint un sistem nc%is; n care orice c>ti! al unui

    juctor repreint n mod necesar o pierdere e!al pentru ansam&lul celorlal6i juctori.

    *ajoritatea jocurilor de societate sunt jocuri cu sum nul. Jocurile de dou persoane cu

    sum sunt numite antaoniste.

    ?atorit rela6iei A2.1; a n :a component a ectorului de plat este perfect determinat de

    celelalte 1n componente. ?e aceea; n caul unui joc de dou persoane cu sum nul

    este suficient s se dea doar prima component a ectorului c>ti!urilor. doua

    component este n mod necesar e!al cu opusul primei. 9n acest ca numim prima

    component; pe scurt; cti; n6ele!>nd prin aceasta c al doilea juctor pltete

    aceast sum primului juctor. *ai departe se a edea c jocurile de dou persoane cu

    sum nul se deose&esc de alte jocuri prin aceea c pentru am&ii juctori este lipsit de

    sens s cooperee ntr:un mod oarecare; cci orice c>ti! al unuia nseamn o pierdere

    pentru cellalt. emnifica6ia acestei o&sera6ii se n6ele!e din urmtorul reultat

    2eorema ).'"ie ( )21 , i ( )21 , puncte de echilibru ntr+un joc de dou persoane cu

    sum nul# Atuncia& ( )21 , i ( )21 , sunt de asemenea puncte de echilibru

    b& ( ) ( ) ( ) ( )21212121 ,,,, === # A2.2

    )emonstraie( $entru c ( )21 , este punct de ec%ili&ru; aem

    ( ) ( )2121 ,,

    14

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    15/47

    i analo!; din ( )21 , punct de ec%ili&ru; aem

    ( ) ( )2121 ,, ;

    de unde o&6inem rela6ia

    ( ) ( ) ( )212121

    ,,, .

    9n mod analo!; o&6inem rela6ia

    ( ) ( ) ( )212121 ,,, ;

    rela6ie ce nc%eie demonstra6ia rela6iei A2.2. *ai departe; pentru orice 1/ aem

    ( ) ( ) ( )212121 ,,,/ =

    i analo! pentru orice 2/

    ( ) ( ) ( )212121 ,,/, =;

    deci ( )21, este un punct de ec%ili&ru. imilar; se arat c ( )21, este punct de

    ec%ili&ru.

    firma6ia teoremei nu este ala&il pentru un joc ar&itrar. 9n jocul din exemplul 1.5;

    ),( 11 i ),( 22 sunt puncte de ec%ili&ru; dar c>ti!urile corespuntoare sunt diferite.

    ?e asemenea; nici ( )21 , i nici ( )12 , nu sunt puncte de ec%ili&ru.

    ).) Forma normal

    ?up cum am ut; forma normal a unui joc finit de dou persoane cu sum nul se

    reduce la o matrice'A n care numrul liniilor Arespecti coloanelor este e!al cu numrul

    strate!iilor juctorului I Arespecti II. ?ac juctorul I ale!e a i :a strate!ie; iar juctorul II

    a j :a strate!ie; atunci c>ti!ul mediu este repreentat de elementul ija

    din linia i i

    coloana j a matricei A .

    ?up cum om edea; o perec%e ( )ji, de strate!ii este un punct de ec%ili&ru dac i

    numai dac elementul ija

    corespuntor este simultan cel mai mare n coloana lui i cel

    mai mic din linia sa. 7n astfel de element se numete punct a Aprin analo!ie cu

    4 e unde i denumirea dejoc matriceal

    15

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    16/47

    suprafa6a unei ei; cur&at n sus pe o direc6ie i n jos pe direc6ia perpendicular. u

    orice matrice posed un punct a.

    -,emplul ).' a3 Jocul matriceal

    103423

    315

    l are pe 2 punct a Aelementul din coloana a doua i linia a doua.

    03 Jocul matriceal

    11

    11

    nu are punct a.

    presupunem c cei doi juctori joac un joc matriceal. 9n acest ca; ale!erea uneistrate!ii nseamn pentru juctorul I ale!erea unei linii i ; iar pentru juctorul II ale!erea

    unei coloane j . C>ti!ul este atunci ija

    . 9ntruc>t aceasta este suma primit de juctorul I

    de la juctorul II; I a ncerca s o maximiee n timp ce II a ncerca s o minimiee. 9n

    orice ca; nici unul nu tie ce strate!ie a ale!e adersarul su i tocmai acesta este un

    element esen6ial n ale!erea propriei strate!ii.

    analim; de exemplu; jocul aruncrii monedei. Juctorul I poate ra6iona astfel

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    17/47

    ).% trate"ii mi,te

    nalia de p>n acum a indicat cum tre&uie tratat un joc matriceal care posed un punct

    a; dar nu a dat nici o indica6ie asupra comportrii optime a juctorilor n jocurile fr

    puncte a. stfel de jocuri sunt ns cele mai des nt>lnite.

    presupunem c jucm un joc matriceal fr punct a; de exemplu

    31

    24

    .

    ?esi!ur; nu putem preedea desfurarea jocului. presupunem ns c; strate!ia

    adeersarului rm>n>ndu:ne impreii&il; acesta !%icete exact deciia noastr. 9n

    aceast situa6ie; ca juctor I; om ale!e cu si!uran6 prima strate!ie; cu care c>ti!m

    dou unit6i; n timp ce cu a doua strate!ie am c>ti!a doar o unitate. cest c>ti! si!urde cel pu6in dou unit6i este pentru noi c>ti!ul minim; notat

    ij

    iiI

    av minmax =. A2.3

    9n rolul juctorului II; n aceleai condi6ii; ar tre&ui s ale!em a doua strate!ie; care ne

    aduce o pierdere de cel mult trei unit6i.otm aceast pierdere maxim

    ij

    ij

    i

    II av maxmin=

    . A2.'

    C>ti!ul minim i pierderea maxim joac un rol extrem de important n jocurilematriceale. C>ti!ul minim al juctorului I este eident cel mult e!al cu pierderea maxim

    a juctorului II; adic

    i

    II

    i

    I vv A2.5

    ?emonstra6ia acestui reultat este elementar. ?ac n aceast ine!alitate aem c%iar

    e!alitate; atunci exist un punct a. 9n caul n care ine!alitatea este strict; jocul nu are

    puncte a. 9ntr:un astfel de joc nu putem preedea nimic; dar putem sta&ili urmtoarele

    juctorul - trebuie s nu ctie mai puin dectiIv , iar juctorul -- s nu piard mai mult

    dei

    IIv #

    ?ac i transmitem adersarului strate!ia noastr; ntr:un joc fr punct a putem o&6ine;

    n cel mai &un ca; c>ti!ul minimi

    Iv ; respecti pierderea maximi

    IIv , dup cum

    repreentm juctorul I sau II. $utem o&6ine un reultat mai &un doar eit>nd ca

    1&

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    18/47

    adersarul s ne afle strate!ia. ceasta este desi!ur !reu de realiat at>ta timp c>t

    ale!erea noastr se &aea pe ra6ionamente lo!ice; cci nimic nu l mpiedic pe

    adersar s reproduc acest ra6ionament.

    adar strate!ia tre&uie aleas n mod mplare; adic nu pe &aa unui

    ra6ionament; dar sc%ema aleatoare nsi tre&uie conceput n mod ra6ional. ceast

    idSe st la &aa no6iunii de strate!ie mixt.

    efiniia ).) E strateie mixt a unui juctor este o reparti6ie de pro&a&ilitate pe

    mul6imea strate!iilor sale pure.

    ?ac juctorul posed un numr finit m de strate!ii pure; atunci o strate!ie mixt a sa

    const dintr:un m :ector ( )nxxx ,..,1= ce erific propriet6ile

    ,0ix pentru orice ni ,1= A2.(

    i

    1

    1

    ==

    n

    i

    ix

    . A2.4

    otm cu X i Y mul6imile strate!iilor mixte ale juctorilor I; respecti II.

    presupunem acum c juctorii I i II joac jocul matriceal A i ale! strate!iile mixte x

    i y . tunci c>ti!ul mediu este

    ( )

    = =

    =m

    i

    n

    j

    jiji yaxyxA

    1 1

    ,

    ; A2.#

    sau; scis su& form matriceal

    ( ) txAyyxA =, . A2.+

    Ca i p>n acum; juctorul I tre&uie s se team c II a descoperi strate!ia sa x . 9n

    acest ca II a ale!e cu si!uran6 strate!ia sa y care minimiea ( )yxA , . "olosindstrate!ia x ; juctorul I o&6ine deci cel pu6in c>ti!ul mediu

    t

    YyxAyxv

    =min)(

    . A2.10

    1+

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    19/47

    ?eoarecet

    xAy poate fi considerat ca medie ponderat a c>ti!urilor medii ale juctorului

    I; c>nd acesta folosete strate!ia x mpotria strate!iilor pure ale juctorului II; minimul

    acestor medii ponderate se atin!e pentru o strate!ie pur; adic

    j

    jxAxv =min)(

    A2.11

    Aunde jA repreint coloana j a matricei A .

    ?esi!ur; juctorul I ale!e x astfel nc>t s maximiee )(xv i astfel c>ti! cel pu6in

    jjXx

    I xAv = minmax

    A2.12

    AGxisten6a acestui maxim e asi!urat de faptul c mul6imea X este compact iar func6ia

    )(xv este continu. 7n asemenea x se numete strateie maximin a juctorului I.

    nalo!; folosind strate!ia y ; juctorul II are cel mult pierderea medie

    t

    ii

    yAyv =max)( A2.13

    Gl tre&uie s alea! y astfel nc>t s minimiee aceast pierdere i astfel are cel mult

    pierderea

    t

    iiYy

    II yAv = maxmin

    A2.1'

    E strate!ie y pentru care se atin!e minimul n A2.1' se numete strate!ie minimax

    pentru juctorul II. Qalorile Iv i IIv se numesc 'alori ale jocului pentru juctorul I;

    respecti pentru juctorul II.

    ).( 2eorema Minima,

    e arat cu uurin6 c pentru orice func6ie ( )yxF , definit pe produsul carteian YX

    aem

    ( ) ( )yxFyxF XxYyYyXx ,maxmin,minmax A2.15

    presupun>nd c minimele i maximele exist. ?in aceast ine!alitate reult imediat c

    III vv .

    ceast ine!alitate corespunde celei de la punctul A2.5. ?e fapt; i n acest ca; este

    natural ca cel mai mic c>ti! al juctorului I s nu depeasc pierderea maxim a lui II.

    1

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    20/47

    9n caul strate!iilor pure am ut c n A2.5 e!alitatea are loc doar n anumite cauri

    particulare. 9n acest ca aem ns urmtorul reultat

    2eorema ).) 4Teorema minimax3.

    III vv = .

    ceast teorem fundamental a teoriei jocurilor a fost demonstrat n dierse moduri.

    Qom preenta n continuare demonstra6ia ori!inal dat de on eumann i *or!enstern.

    $entru aceasta; om da; fr demonstra6ie; dou leme

    5ema ).% A.xistena hiperplanelor de separare. "ie B o mulime con'ex nchis n

    spaiul euclidiann

    +dimensional i( )nxxx ,..,1=

    un punct ce nu aparine lui B # Atunci

    exist numerele reale 11 ,,..., +nn ppp astfel nct (

    =+=

    n

    i

    nii pxp

    1

    1

    A2.1(

    i

    ,1

    1

    +=

    > nn

    i

    ii pyp

    By . A2.14

    Teometric; lema afirm c exist un %iperplan ce trece prin punctul x astfel ca mul6imeaB s fie con6inut ntr:unul dintre semispa6iile determinate de %iperplan.

    5ema ).(ATeoremaalternati'ei pentru matrice. "ie ijaA=

    o matrice nm # Atunci este

    ade'rat una i numai una dintre urmtoarele dou afirmaii (

    /& $unctul 0 %al spaiului m + dimensional& aparine acoperirii con'exe a urmtoarelor

    nm + puncte (

    ( )1111 ,..., maaa =

    1111111

    ( )mnnn aaa ,...,1=

    i

    e1=(1,0, ,0 )

    1111111

    20

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    21/47

    en=(0,0, ,1 ) #

    2& .xist numerele reale mxx ,...,1 astfel nct(

    ,0>ix

    =

    =m

    i

    ix

    1

    1

    ,

    =

    >m

    i

    iijxa

    1

    ,0

    .,1nj=

    )emonstraia teoremei minimax "ie A un joc matriceal. Conform lemei 2.'; este

    aderat fie afirma6ia 1 a acesteia; fie 2. 9n caul 1; ectorul 0 se poate repreenta ca

    o com&ina6ie liniar a celor m+n ectori; adic exist numerele s1 , , sm+n astfel

    nc>t

    j=1

    n

    sj aij+sn+i=0, i= 1, m

    sj 0,j= 1, m+n ;

    j=1

    m+n

    sj=1.

    ?ac numerele s1 , , sn ar fi toate nule; atunci 0 ar fi o com&ina6ie liniar a celor m

    ectori unitari e1, , , em ; ceea ce este imposi&il Adeoarece acetia sunt liniar

    independen6i. ?eci cel pu6in unul dintre s1 , , sn este poiti; ceea ce implic

    j=1n

    sj>0 . ot>nd

    yj= sj

    j=1

    n

    sj;

    aem

    y i 0,j=1

    n

    yj=1,

    j=1

    n

    aijyj=s

    n+ i

    j=1

    n

    sj

    0, i .

    $rin urmare; v (y ) 0 i vII0 .

    9n al doilea ca al lemei 2.'; aem v (x )>0 i deci vI>0 .

    $rin urmare; ine!alitatea vI 0

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    22/47

    xB yt=xA y t+k

    i deci

    vI( B )=vI(A )+k ,

    vII(B )=vII(A )+k #

    ?eoarece nu putem aea

    vI( B ) 0

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    23/47

    2eorema ).& 3ntr+un joc matriceal A de dimensiune m n , fie juctorul -- are o

    strateie optim y cu yn>0 , fie - are o strateie optim x , pentru care

    i=1

    m

    axi>v .

    $apitolul III: *ocuri contra naturii

    $>n acum ne:am ocupat de jocuri n care ale!erea strate!iilor era determinat de

    matricea A a c>ti!urilor primului juctor. unt situa6ii n care riscurile cu care se iau

    %otr>ri nu pot fi cunoscute; deoarece juctorul II nu ac6ionea rational. 7n astfel dejuctor poate fi considerate natura; de unde i denumirea de jocuri contra naturii. ?e

    analia unor astfel de situa6ii se ocup teoria deciiilor.

    9n cele ce urmea om edea unele criteria de ale!ere a deciiei juctorului I Ape care l

    om numi i statistician n jocurile contra naturii Anumite i jocuri n ca de incertitudine.

    *en6ionm c atitudinea fa6 de joc; diferit de la o persoan la alta; face ca n teoria

    23

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    24/47

    deciiilor s nu existe criterii uniersal ala&ile. plicarea criteriilor poate conduce la

    reultate diferite.

    le!erea strate!iei ar putea fi data de reultatul aplicrii mai multor criteria. Qom

    presupune c statisticianul juctorul I; dispune de m strate!ii pure A 1 , , A m ; iar

    natura de n stri B 1 , , B n .

    "ie matricea A=( aij ) ; i= 1,m; j= 1,n ; unde aij este c>ti!ul juctorului I c>nd

    ale!e strate!ia A i ; iar natura se afl n starea Bj .

    %.' $riteriul lui 6ur7ic8 4criteriul optimistului3

    Eptimismul juctorului I se definete ca un numr [0,1 ] . e determin numere

    reale

    mi=minj

    {a ij}

    Mi=maxj

    {a ij} ; i= 1, m .

    "iecrei strate!ii A i i asociem expresia

    Mi+ (1 ) mi , i= 1,m #

    trate!ia optim a fi cea care corespunde la

    [Mi+(1) mi]

    maxi .

    9n folosirea acestui criteriu este necesar ns s se defineasc n preala&il optimismul

    juctorului; adic aloarea [0,1 ] .

    $entru o mai &un n6ele!ere a acestui criteriu om preenta n cele ce urmea un scurt

    exemplu.

    -,emplul %.' e consider jocul contra naturii a crui matrice a c>ti!urilor juctorului I

    n orice strate!ie a sa A i ,i= 1, 4 i n orice stare Bj , j= 1, 4 a naturii esteB

    1 B

    2 B

    3 B

    4

    A1 2 ' 3 3

    A2 3 2 3 2

    A3 1 5 2 1

    A4 3 3 2 3

    24

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    25/47

    Considerm =2

    3i ne propunem s determinm strate!ia optim.

    tam matricei date coloanele elementelor mi , Mi i Mi+(1)mi ; fiecare

    a>nd semnifica6ia descris anterior. E&6inem astfel

    B1 B2 B3 B 4 mi Mi Mi+(1)miA1 2 ' 3 3 2 ' 2+2

    A2 3 2 3 2 2 3 +2

    A3 1 5 2 1 1 5 4+1

    A4 3 3 2 3 2 3 +2

    Ca s determinm[Mi+(1) mi]

    maxi

    ; cum [0, 1 ] ; o&serm c +2 2+2.

    adar; studiem doar caurile

    a 4+1

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    26/47

    ?ac juctorul I a ale!e strate!ia A i ; c>ti!ul su a fi1

    nj=1

    n

    a ij ; care este aloarea

    medie a aria&ilei aleatoare discrete cu reparti6ia

    (ai1

    1n

    ai2

    1n

    a1

    n

    ).

    Juctorul I a ale!e strate!ia care maximiea c>ti!ul su mediu

    max1 im {1ni=1

    n

    aij} .*bse'aia - ?ac se cunosc totui pro&a&ilit6ile diferitelor stri ale naturii; respecti

    y1

    ,, yn ; deci strate!iay

    y=(1 ,, yn)

    cu yj 0,j= 1,n i j=1

    n

    y j=1 ; c>ti!ul

    mediu al statisticianului I c>nd folosete strate!ia A i a fi; conform teoremei minimax

    (i , y )=j=1

    n

    aijy j ;

    iar c>ti!ul mediu a fi maxim pentru strate!ia corespuntoare alorii

    max1 i m

    (i , y ) .

    *bser'aia -- Criteriul lui aplace introduce toate neajunsurile alorii medii. ?ac

    estimrile au fost fcute !rosolan apar erori mari n apreciere; ce or duce la deciii!reite. Criteriul deine de multe ori inaccepta&il atunci c>nd elementele jocului sunt

    foarte dispersate.

    -,emplul %.). e propunem ca pentru jocul de la exemplul 3.1 s determinm strate!ia

    optim a juctorului I n caurile

    a c>nd strile naturii sunt e!al pro&a&ileK

    & c>nd pro&a&ilit6ile ca natura s se afle n strile ei sunt respecti1

    9,2

    9,4

    9,

    2

    9.

    $entru caul a; atam matricei jocului coloana 14j=1

    4

    aij

    2%

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    27/47

    B1

    B2

    B3

    B4 1

    nj=1

    4

    a ij

    A1 2 ' 3 3 1

    4 12

    A2 3 2 3 2 1

    4

    10

    A3 1 5 2 1 1

    4 9

    A4 3 3 2 3 1

    4 11

    ?eci max1 i 4 {14j=1

    n

    aij} este 14 12 ; ce corespunde strate!iei A 1 ; deci aceasta estealoarea optim conform criteriului aplace.

    $entru &; calculm pentru fiecare strate!ie A i aloarea expresiei date de (i , y ) ;

    i= 1, 4 . E&6inem

    (1,y )=1

    92+

    2

    94+

    4

    93+

    2

    93=

    28

    9

    (2,y )=1

    93+

    2

    92+

    4

    93+

    2

    92=

    23

    9

    (3,y )=1

    91+

    2

    95+

    4

    92+

    2

    91=

    21

    9

    ( 4,y )=193+ 2

    93+ 4

    92+ 2

    93=23

    9

    Cea mai mare aloare este28

    9; corespuntoare lui (1,y ) ; deci A 1 este

    strate!ia optim.

    3.3 $riteriul lui ava"e 4criteriul re"retelor3

    aa!e compar reultatul deciiei n caul necunoaterii strii naturii cu cel care s:ar

    o&6ine dac s:ar cunoate aceast stare. ?iferen6a dintre c>ti!ul realiat c>nd se ia

    deciia fr a cunoate strile naturii i cel realiat dac se cunosc acestea repreint

    reretulsau ce s:ar fi c>ti!at dac I ar fi cunoscut strile naturii.

    2&

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    28/47

    $ornind de la matricea A=( aij ) ; i= 1, m ; j= 1,n ; se formea o nou matrice

    R=( rij) numit matricea reretelor; cu elementele

    rij=max1 k m

    akjaij , i= 1, m , j= 1,n

    adic rij este dat de diferen6a dintre cele mai mare element de pe coloana j ielementul aij .

    e o&6ine astfel un nou joc caracteriat de matricea R care a fi tratat dup criteriul

    minimax. Juctorul I a ale!e strate!ia pe linia creia se o&6ine

    min1 i m{max1 j nrij } ; adic linia pe care cel mai mare re!ret este minim.

    -,emplul %.% Qrem s edem; pentru acelai joc folosit i n primele dou exemple; ce

    strate!ie ar ale!e juctorul I aplic>nd criteriul re!retelor.

    e determin mai nt>i matricea re!retelor ale crei elemente de pe o coloan se o&6insc>nd din cel mai mare element al coloanei fiecare element al acesteia. e o&6ine

    B1

    B2

    B3

    B4

    maxj

    rij

    A1 1 1 0 0 1

    A2 0 3 0 1 3

    A3 2 0 1 2 2

    A4 0 2 1 0 2

    Cum min1im{max1 j nrij } U min {1,3,2,2} U 1; ne reult c i utili>nd acest principiu

    juctorul I a ale!e tot strate!ia A 1 .

    %.( $riteriul lui ald

    ?ac jocul are punct a; statisticianul I ale!e strate!ia A i determinat de condi6ia

    maxi (minj aij ) .

    ?ac jocul nu are punct a; se determin strate!ia mixt x=(x1 , , xm ) pentru care

    minj{i=1

    m

    aijx i} este maxim.

    2+

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    29/47

    -,emplul %.(plicarea criteriului lui ald jocului cercetat i cu celelalte criterii ne duce la

    concluia c jocul nu are punct a. $roced>nd ca n su&capitolul 2.3 preentat anterior se

    determin strate!ia mixt a statisticianului i se !sete ectorul

    x=

    (

    1

    3

    ,1

    3

    ,0,1

    3

    );

    de unde reult c juctorul I poate ale!e oricare dintre strate!iile sale A 1 ; A 2 sau

    A4 .

    *bser'aie ?ei criteriile aplicate nu au dus mereu la aceeai deciie; n majoritatea

    caurilor s:a o&6inut c cea mai &un strate!ie este A 1 , astfel c statisticianul o a

    ale!e pe aceasta.

    Aplicaie e propunem ca pe &aa criteriilor de mai sus s !sim o solu6ie a urmtoarei

    pro&leme$atronul unui ma!ain ac%ii6ionea un numr de fri!idere de un anumit tip pe o

    perioad de ( luni Aprimar ar; cu scopul de a le inde. ?in o&sera6iile statistice;

    &aate pe cererea din ultimii trei ani; el estimea c a inde un numr de fri!idere

    cuprins ntre 15 i 25 cu pro&a&ilitatea de 0;1K ntre 25 i 35 cu pro&a&ilitatea de 0;'K

    ntre 35 i '5 cu 0;3 i ntre '5 i 55 cu 0;2.

    Costul unitar de ac%ii6ie este de 300 de euro; iar pre6ul unitar de >nare este de '00

    euro Ainclu>nd c%eltuielile de transport i asi!urarea !aran6iei de func6ionare pentru un

    an de ile. )oate fri!iderele ne>ndute p>n n toamn se restituie furniorului pentru

    250 de euro &ucata.

    e propunem s determinm numrul optim de fri!idere pe care patronul ar tre&ui s le

    ac%ii6ionee.

    *ai nt>i determinm matricea A=( aij ) ; i , j= 1, 4 ; unde aij este c>ti!ul o&6inut de

    patron c>nd aplic strate!ia A i ,i= 1, 4 i cererea este n starea Sj , j= 1,4 . E&6inem

    astfel

    $ererea pieei ; cantitatea

    ac/i8iionatS

    1:20 S

    2: 30 S

    3: 40 S

    4: 50

    A1

    : 20 2000 2000 2000 2000A

    2: 30 1500 3000 3000 3000

    A3

    :40 1000 2500 '000 '000A

    4:50 500 2000 3500 5000

    2

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    30/47

    unde de exemplu elementul de pe lina A 3 i coloana S2 se calculea astfel din

    cele '0 de fri!idere ac%ii6ionate se >nd 30.

    ?iferen6a dintre pre6ul unitar de >nare i cel de ac%ii6ionare este de 100 de euro

    pentru un fri!ider; ce repreint c>ti!ul patronului. $entru cele 30 de fri!idere >ndute a

    c>ti!a 3000 de euro. ?ar alte 10 fri!idere ne>ndute or fi restituite furniorului cu opierdere unitar de 50 de euro dat de diferen6a dintre costul de ac%ii6ie; 300 de euro; i

    cel de restituire; 250 de euro. ?eci pierderea a fi de 500 de euro; astfel c &eneficiul

    final a fi 3000 500 U 2500 euro.

    ?eoarece n sta&ilirea deciiei contea consecin6ele economice se pot aplica n

    reolarea pro&lemei criteriile maximin; minimax; aa!e i Ba/es aplace.

    a $rin criteriul maximinse ale!e minimul fiecrei linii i dintre acestea se !sete

    maximulA

    1 A

    2 A

    3 A

    4

    )

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    31/47

    (4,y )=0,1500+0,42000+0,33500+0,25000=2900Cel mai mar c>ti! se o&6ine c>nd se aplic strate!ia A 3 .

    adar; prin dou metode am !sit strate!ia A3 ca fiind cea mai indicat; iar prin alte

    dou metode am !sit strate!ia A 1 drept optim.

    Gste de remarcat c nici una din aceste metode nu indic i strate!ia A 2 care dinpunct de edere stric economic are sens prin prisma a dou aspecte ofer cea mai &un

    pro&a&ilitate de realiare i un foarte &un cost de oportunitate.

    31

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    32/47

    $apitolul I!: Aplicaii

    9n cadrul acestui capitol ne propunem s edem solu6iile unora dintre cele mai interesante

    pro&leme ce se pot reola cu teoria jocurilor. m ales problema ameninrilor credibiledatorit rolului foarte important n te%nicile de ne!ociere; c%iar dac majoritatea

    persoanelor nu contientiea aspectul mat%ematic al situa6iei; problema pirailor; de

    asemenea foarte folosit n te%nici de ne!ociere; dar i n sta&ilirea pre6ului pe pia6 i

    c%iar o surs de inspira6ie n filme. 7lterior am exemplificat felul n care oamenii percep n

    ia6a de i cu i aceste pro&leme de teoria jocurilor n situa6ii reale cu care se pot

    confrunta. 7ltimul su&capitol este dedicate jocului de po5er; din punctul meu de edere

    unul dintre cele mai complexe jocuri n care se aplic te%nici matematici complexe.

    (.' Pro0lema ameninrilor credi0ile

    $ro&lema a fost de&tut de economistul !erman Mei&%ard elten; profesor la

    7niersitatea din Bonn; laureat al premiului o&el pentru economie n 1++'. cesta a

    dorit s demonstree diferen6ele dintre forma extins i cea normal a unui joc ca

    instrumente de anali strate!ic; dup ce mult reme au fost considerate ec%ialente.

    Gxemplul pe care l om preenta se numete @copilul rsf6at= i are urmtorul scenariu

    ntr:o s>m&t dup:amia un copil capricios Ajuctorul I dorete s mear! la cinema;

    dar prin6ii si Ajuctorul II au decis ca toat familia s fac o iit mtuii ofia.

    Juctorul I desc%ide jocul. Gl poate accepta s mear! la mtua ofia sau s refue.

    ?ac decide s mear! la mtu; jocul se termin i fiecare juctor are un c>ti! de 1.

    ?ac totui copilul refu s mear!; atunci prin6ii sunt n fa6a ale!erii urmtoare l pot

    pedepsi; pri>ndu:l de ieire sau s cedee i toat familia a mer!e la cinema.

    9n caul n care ale! s l pedepseasc; fiecare are un c>ti! de :1 Acopilul este suprat

    deoarece este pedepsit; dar nici prin6ii nu or fi mai ferici6i; urm>nd s stea acas toatiua i s asculte pl>nsetele copilului. ?ac or ceda i or mer!e la cinema; atunci

    copilul a aea un c>ti! de 2 iar prin6ii de 0.

    ?e aceea; prin6ii nu or pune n aplicare executarea amenin6rii lor; n ciuda refuului

    copilului de a mer!e la mtua ofia. Gi or prefera s rein asupra deciiei i s

    mear! la cinema.

    32

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    33/47

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    34/47

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    35/47

    2. )o6i pira6ii; inclusi cel care a propus mpr6irea &anilor; or ota dac accept sau

    nu mpr6irea propusK3. ?ac este majoritar otul pentru; are loc mpr6irea &anilorK'. ltfel; piratul care a propus mpr6irea este aruncat peste &ord i lsat s se neceK5. 7rmtorul cel mai puternic pirat propune o nou mpr6ire a &anilor i procesul se

    reia p>n c>nd se sta&ilete o mpr6ire acceptat.9n mod eident; fiecare pirat este interesat n primul r>nd de a scpa cu ia6 i mai apoi

    de c>t aur primete. stfel c la o prim edere a fi dispus s ofere foarte mult aur

    celorlal6i; fiind dispus s nu pstree c%iar nimic pentru el. )otui; cum a decur!e joculR

    olu6ia se o&6ine rela6ion>nd n sens iners. $iratul C este interesat s accepte orice

    sum primit de la piratul . 9n ca contrar; dac i B a ota mpotri; piratul a fi

    aruncat peste &ord iar otul se a da ntre B i C. cum; piratul B poate propune ca el s

    pstree to6i cei 100 de !al&eni; iar C s nu primeasc nimic. a ot; eident c B i a

    ota propria:i prounere; i cum este mai puternic dec>t piratul C; indiferent de otul

    acestuia; propunerea sa a fi acceptat. stfel; pentru C este aantajos s accepte orice

    ofert din partea lui n urma cruia el primete cea.

    ?in punctul de edere al piratului B; el este interesat s refue orice propunere a piratului

    ; cu excep6ia caului c>nd i sunt oferi6i to6i cei 100 de !al&eni Asolu6ie nerealist. ltfel;

    el a ota mpotri deoarece dac piratul a fi aruncat peste &ord el a decide

    mpr6irea &anilor i automat a opri to6i !al&enii. ?e aceea indiferent de suma propus

    de piratul ; el a ota mpotri.

    $entru piratul ; care are eident otul propriu; este suficient s mai atra! un sin!ur pirat

    de partea sa. Conform celor descries mai sus; i este practic imposi&il s fie pe aceeai

    lun!ime de und cu piratul B; dar l poate conin!e pe C. ?e aceea; solu6ia optim pentru

    piratul este o mpr6ire de !enul A++; 0; 1.

    Cum se extinde aceast situa6ieR

    considerm caul a ' pira6i; ; B; C i ? care impart &anii conform acelorai re!uli.

    $iratul are neoie de un sin!r ot; iar cel mai simplu este s l o&6in pe cel al lui C.?ac ar fi aruncat peste ⩝ am ajun!e la situa6ia descris anterior; iar B ar pstra ++

    de !al&eni i ? un sin!ur !al&en. Gident; C a prefera s primeasc cea; n timp ce B

    a refua orice ofert su& ++ de !al&eni. ? ateapt o ofert de minim 1 !al&en; pe care

    i:ar o&6ine n caul n care este aruncat. adar; ar putea mpr6i astfel !al&enii A++;

    35

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    36/47

    0; 0 ;1 sau A++; 0; 1; 0. )otui; el a prefera otul unui pirat mai puternic; anume al lui C;

    astfel c a ale!e a doua ariant. ceasta constituie reolarea pro&lemei de fa6.

    $ro&lema se poate !eneralia pentru orice numr de pira6i i orice numr de monede.

    Gxist ns o mare diferen6 ntre situa6iile teoretice i situa6iile practice. E a&ordare a

    acestei pro&lem; experimentat practic; este pro&lema ultimatumului 2 juctori primesc100 de dolari. Juctorul I este cel care mparte &anii. ?ac juctorul II accept; mpr6irea

    are loc. ?ac nu; nici unul nu primete nimic. )eoretic; juctorul II este mul6umit cu orice

    sum primete; deoarece n ca contrar nu a primi nimic. ?e aceea; o mpr6ire de A++;

    1 ar tre&ui s satisfac am&ii juctori. ?in punct de edere al ec%ili&rului as%; i o

    mpr6ire de A100; 0 ar tre&ui s repreinte un punct de ec%ili&ru; deoarece fie c refu

    fie c accept juctorul II nu primete nimic; astfel c i este indiferent. u om considera

    ns o astfel de solu6ie pentru pro&lema ultimatumului.

    $ractic; s:a constatat ns c solu6iile su& 20 de dolari au fost respinse de majoritatea

    persoanelor care au aut rolul celui de:al doilea juctor5. ?eranja6i de lcomia primului

    juctor ei prefer s nu primeasc nimic dec>t ca acesta s rm>n cu o mare parte a

    sumei. $rocente mari de acceptare s:au o&6inut a&ia pentru mpr6iri de 50 : 50.

    $ro&lema ini6ial proine din )almud Atextul central al iudaismului islamic din perioada

    Ba&/lonian; i a fost nesolu6ionat pentru mai &ine de 1#00 de ani. 9ntr:unul din pasaje;

    )almudul tratea situa6ia unei persoane care moare ls>nd n urm o datorie de (00 de

    !al&eni; 100 ctre Creditorul I; 200 ctre Creditorul II i 300 ctre Creditorul III. erea sa

    nu acoper ns aceast datorie; astfel c se pune pro&lema cum or fi mpr6i6i &anii.

    olu6ia dat n )almud nu iea propor6iile ntre nielul datoriilor i aerea defunctului;

    ci preede urmtoarele

    ?ac aerea este de 100; fiecare creditor primete o cot e!al; de 33;A3K ?ac aerea este de 200; primul creditor primete 50 de !al&eni iar ceilal6i doi c>te

    45K ?ac aerea este de 300; primul primete 50 de !al&eni; al doilea 100 iar cel de:al

    treilea 150 An acest ca se respect propor6iile.

    l!oritmul prin care se mpart &anii a fost descoperit de matematicienii Mo&ert umann i

    *ic%ael *asc%ler; n 1+#0(.

    5 tudiu pu$licat de osep enric "n 2004 "n 67e 8ltimate 9ame, :airness, and Cooperationamon* ;i* 9ame unterssis of a $an?ruptc> pro$lem from te7almud 3% (1+5), 15 213.

    3%

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    37/47

    (.% Un e,periment +n re8olvarea jocurilor prin eliminarea strate"iilor dominate

    9n su&capitolul '.1 am ut c exist o diferen6 ntre solu6iile considerate optime

    !enerate de descrierea n form extinsi de cea n form normal. e propunem n cele

    ce urmea s preentm un experiment ce demonstrea c forma extinseste i maiutil n ceea ce priete luarea deciiilor; fiind mai intuiti. ?esi!ur; are deaantajul

    dificult6ii de expunere atunci c>nd numrul juctorilor este mare sau c>nd aem mai

    multe strate!ii posi&ile.

    Gste eident c un juctor ra6ional nu a utilia niciodat o strate!ie dominat. Cu toate

    acestea; c>nd participm la un joc; nu tim ntodeauna dac adersarul nostru este

    suficient de ra6ional sau inteli!ent pentru a sesia c anumite strate!ii ale sale sunt

    dominate. ?ac apar astfel de ndoieli; nu este si!ur c ec%ili&rul reultat din eliminareastrate!iilor dominate s fie acela pe care l o&serm n realitate.

    $entru a studia aceast pro&lem; c%otter; ei!elt i ilson au cerut unui numr de '0

    de studen6i s participe la jocul descris n ta&elul urmtor

    *uctorul II

    trate!ia trate!ia B

    *uctorul I

    trate!ia a A'; ' A'; 'trate!ia & A0; 1 A(; 3

    Gxperimentul a artat c studen6ii afla6i n rolul juctorului I ale!eau strate!ia an 54N din

    cauri; pe c>nd cei n rolul juctorului II i ale!eau strate!ia dominat n 20N din cauri.

    ltfel spus; mul6i studen6i n rolul juctorului I i &nuiau clar adersarii de a nu fi suficient

    de inteli!en6i sau ra6ionali pentru a n6ele!e c ei nu ar tre&ui s utiliee niciodat

    strate!ia A. ltfel spus; pentru a eita riscul unui c>ti! nul Acelula din st>n!a jos a

    ta&elului; ei preferau s joace n si!uran6 i ale!eau strate!ia acare le !arana un c>ti!

    de '.

    Cei trei autori au descoperit n timpul experimentului c lu>nd un alt !rup de studen6i i

    pun>ndu:i n fa6a aceluiai joc; dar n forma sa extins; reultatele au fost cu totul diferite.

    Jocul a fost repreentat n forma urmtoare

    3&

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    38/47

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    39/47

    (.( Aplicaii din teoria jocurilor +n jocul de Po=er

    Qom ncepe acest su&capitol cu cu un joc simplu de cr6i; numit @$o8erul de o carte=.

    Jocul este jucat de dou persoane care folosesc un set cu doar trei cr6i un as; un trei i

    un doi. $entru a se ncepe joculm; unul din juctori a fi ales dealer; iar cellalt se anumi desc%itor. ?up ce dealerul este selectat; fiecare juctor pune c>te 100 de dolari;

    form>ndu:se un pot de 200 de dolari. poi; dealerul mparte c>te o carte fiecrui juctor.

    ?up ce fiecare juctor i ede cartea; desc%itorul are prima micare. $oate s dea

    c%ec8 sau s mreasc mia cu al6i 100 de dolari. ?ac ale!e s mreasc mia;

    dealerul poate rspunde sau se poate arunca. ?ac dealerul arunc; desc%itorul ia

    ntre!ul potK altfel; am&ii juctori i arat cr6ile i c>ti! cel care are cartea mai mare.

    sul e considerat cea mai mic carte; urmat de doi i apoi de trei.

    ?ac desc%itorul ncepe jocul cu un c%ec8; atunci dealerul poate de asemenea s dea

    c%ec8 sau s mreasc pariul cu 100 de dolari. ?ac dealerul ale!e c%ec8:ul; se arat

    cr6ile. 9n ca contrar; desc%itorul fie se arunc fie rspunde pariului.

    cum; a>nd aceste re!uli; s considerm urmtoarea situa6ie dealerul a primit doiul; iar

    desc%itorul ale!e s pariee. Gident; doiul dealerului poate nin!e doar un &luff din

    partea desc%itorului Adac acesta are n m>n asul. e propunem s determinm care

    este frecen6a teoretic cu care dealerul ar tre&ui s rspund acestui pariu.

    9n cartea @)eoria $o8erului=; ?aid 8lans8/ folosete elemente de teoria jocurilor pentrua determina situa6iile n care tre&uie rspuns la un &luff. $rintre altele; notea @n

    !eneral; c>nd m>na ta nin!e doar un &luff; 6i ei folosi experien6a i judecata pentru a

    determina ansele ca oponentul s &lufee. )otui; n fa6a unui adersar a crui lo!ic

    este la fel de &un ca a ta sau c%iar mai &un; sau n fa6a unuia ce este capa&il s

    foloseasc teoria jocurilor; la r>ndul tu a tre&ui s foloseti aceast teorie mcar pentru

    a:i minimia profitul=.

    Gl preint urmtorul exemplu @?ac oponentul tu mrete mia cu al6i 20 de dolari

    pentru a c>ti!a 100 Aaloarea potului deja existent; a mer!e la &luff n 5 situa6ii din (.

    adar; faci cotele de 5 la 1 mpotria aruncrii tale. ltfel spus; ei rspunde pariului de

    5 ori i ei arunca cr6ile o dat=

    $e &aa acestei o&sera6ii; s ne ntoarcem la exemplul de la care am plecat. ?ealerul

    are un doi i poate c>ti!a doar n fa6a unui &luff. ?esc%itorul a adu!at 100 de dolari

    la un pot de 200; deci sunt anse de 2 la 1 s &lufee. m putea !>ndi atunci c dealerul

    3

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    40/47

    tre&uie s rspund de dou ori i s se arunce o dat. ltfel spus; frecen6a cu care

    dealerul ar tre&ui s rspund a>nd doiarul este de2

    3. ?up cum om edea ns;

    aceast frecen6 este !reit.

    "recen6a teoretic optim a jocului cu care dealerul ar tre&ui s rspund pariului este

    de1

    3.

    O alt situaie interesant este urmtoarea: dealerul are asul iar deschiztorul

    alege s nu creasc miza. Ar trebui dealerul s blufeze? Dac deschiztorul

    are treiarul, atunci va pierde automat, dar dac totui primul uctor are doiul,

    este posibil ca blu!ul s funcioneze. "acem presupunerea c totui

    deschiztorul are #n m$n un doi, deoarece #n caz contrar el ar % mrit miza#nc de la #nceput. &are este frecvena optima teoretic cu care dealerul ar

    trebui s blufeze?

    &onform aceleiai cri citate mai sus, frecvena blu!ului ar trebui s %e1

    3.

    Dar analiza acestui e'emplu pleac de la supoziia c deschiztorul va paria

    mereu atunci c$nd deine treiul. Dar dac el folosete o tehnic #neltoare i

    uneori alege s nu mreasc miza, dei are cea mai bun carte? (au dac nu

    pariaz niciodat atunci c$nd are treiul? &u at$t mai mult cu c$t poate d

    chec) i atunci c$nd are doiul, ce concluzie ar mai putea trage dealerul?

    Aadar dealerul tine #n m$n asul i deschiztorul a dat chec). *n umtate din

    cazuri, statistic, el va avea treiul i blufatul va % fatal. *n cealalat umtate va

    avea doiul, iar #n1

    3din aceste situaii dealerul ar trebui s blufeze. Aadar,

    frecvena optim cu care ar trebui s blufeze este1

    6.

    Dar din nou, aa cum vodea, aceast presupunere este greit. "recvena

    teoretic optim cu care primul uctor ar trebui s blufeze este1

    3,

    indiferent de frecvena cu care primul uctor alege s dea chec) av$nd treiul

    #n m$n. De fapt, dac dealerul ar alege s blufeze doar #ntr+o esime de

    40

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    41/47

    cazuri, deschiztorul ar putea folosi aceast strategie #n favoarea sa, aleg$nd

    s nu mreasc miza de %ecare dat c$nd are un trei #n m$n.

    &um vrem ca #n continuare s folosim teoria ocurilor pentru determinarea

    frecvenelor optime, este important s de%nim strategiile posibile ale

    dealerului i cele ale deschiztorului. &um vrem ca analiza s %e c$t maiscurt, vom elimina strategiile aberante, ca de e'emplu s plteti creterea

    pariului cu un as #n m$n. (trategiile neacceptate sunt:

    (: Aruncatul crii atunci c$nd aceasta este treiul. -resupunem c nici un

    uctor nu se va arunca av$nd treiul #n m$n.

    (: /spunsul la pariu av$nd asul.

    (0: &hec) la chec)+ul primului uctor cu treiul #n m$n. 1om presupune c de

    %ecare c$nd dealerul are treiul #n m$n iar deschiztorul a dat chec), dealerulva mri miza. 2vident, prin aceast tehnic el poate %e s rm$n cu aceiai

    bani 3dac primul uctor se arunc4, %e s #i dubleze pariul 3dac primul are

    doiul #n m$n i g$ndete c primul blufeaz4.

    (5: &reterea mizei av$nd doiul #n m$n. Atunci c$nd deschiztorul are doiul

    #n m$n, el nu are nici un motiv s creasc miza. Dac adversarul su are

    asul, se va arunca 3conform (4, deci deschiztorul nu va c$tiga nimic #n plus.

    *n schimb, dac dealerul are treiul el va rspunde pariului i deschiztorul va

    pierde cu 66 de dolari mai mult. (ituaia se aplic i #n cazul #n care dealerul

    are doiul iar deschiztorul a dat chec). &reterea pariului av$nd doiul #n m$n

    este o situaie din care nu se poate c$tiga.

    &um am limitat strategiile uctorilor, dealerul trebuie acum doar s decid c$t

    de frecvent s blufeze atunci c$nd are asul #n m$n i deschiztorul d chec)

    i c$t de frecvent s rspund pariului av$nd doiul #n m$n atunci c$nd

    deschiztorul crete miza. 1om nota aceste probabiliti cu q1 , respectiv

    q2 .

    *n ceea ce privete deschiztorul, el are de luat trei decizii: c$t de des s

    blufeze cresc$nd miza atunci c$nd are asul #n m$n 3 p1 4, c$t de des s

    rspund pariului atunci c$nd are doiul #n m$n iar dealerul a crescut miza

    (p2 ) , i c$t de des alege s mreasc miza av$nd treiul #n m$n (p3 ) .

    41

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    42/47

    1rem s folosim aceste valori pentru a calcula valoarea ateptat de

    deschiztor. -entru aceasta vom privi potul initial de 66 de dolari ca

    neaparin$nd nici unui uctor. Astfel, dac de e'emplu primul uctor d

    chec), al doilea crete miza iar primul se arunc, vedem cei 66 de dolari ca

    un c$tig pentru dealer i un c$tig de 6 dolari pentru primul uctor.&onsider$nd toate situaiile posibile, deschiztorul are trei valori nenule ale

    valorii ateptate: astfel, el poate pierde 66 de dolari, c$tiga 66 de dolari

    sau c$tiga 066 de dolari. 1om calcula probabilitile pentru %ecare din aceste

    cazuri. *ai nt>i s descriem pe lar! caurile posi&ile

    Caul 1 desc%itorul are asul iar dealerul are doiul. ?esc%itorul poate &lufa i s i se

    rspund; ca n care pierde 100 de dolari cu pro&a&ilitatea p1q2 ; sau s c>ti!e 200

    de dolari dac &lufea i dealerul se arunc; pentru care aem o pro&a&ilitate dep

    1 (1q2 ) .

    Caul 2 desc%itorul are asul; iar dealerul are trei. ?ac desc%itorul ncearc s

    &lufee; atunci automat el pierde 100 de dolari. $ro&a&ilitatea este p1 .

    Caul 3 desc%itorul are doiul; iar dealerul are asul. Conform celor de mai sus;

    desc%itorul nu mrete mia.

    Caul ' ?esc%itorul are doiul; iar dealerul are treiul; ca n care desc%itorul nu poate

    c>ti!a; ci doar pierde 100 dolari cu o pro&a&ilitate p2 dac rspunde pariuluidealerului.

    Caul 5 ?esc%itorul are treiul; iar dealerul are asul.

    Caul ( ?esc%itorul are treiul; iar dealerul are doiul.

    *n %nal,

    Qa pierde 100 de dolari cu pro&a&ilitatea

    1=1

    6(p1 q2+p1+p2 ) A'.1

    Qa c>ti!a 200 de dolari cu pro&a&ilitatea 2=

    1

    6(p1p1q2+32 q1+p3 q1p3 q2 ) A'.2

    Qa c>ti!a 300 de dolari cu pro&a&ilitatea

    3=1

    6(p2q1+q1p3 q1+p3 q2) 35.04

    adar; aloarea sa ateptat este

    1+2

    2+3

    3 .

    42

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    43/47

    ?ac rem s reducem i cei 100 de dolari inesti6i ini6ial; atunci din fiecare aloare om

    scdea 1 Aconsiderm c 100 de dolari este aloarea unitate; astfel c aloarea final

    ateptat a fi

    1+2 2+3 31 . A'.'

    copul desc%itorului este eident acela de a maximia aceast aloare.9n continuare; rem s edem cum ale!erea lui p i q afectea aloarea

    ateptat.

    ?in rela6iile A'.1; A'.2; A'.3 i A'.'; o&6inem rela6ia

    1

    6(p1 q2p1p2 )+

    1

    6(2p12p1 q2+64 q1+2p3 q12p3 q2 )+

    1

    6(3p2 q1+3 q13p3 q1 )1

    care prin efectuarea calculelor se reduce la forma

    1

    6(3

    p1q2+p 1p2q1p3 q1+p3 q2+3

    p2 q1 ) .$entru a ne putea folosi c>t mai mult de aceast formul; o om rescrie

    1

    6[p1(13 q2)+p 2 (3 q11 )+p3(q2q1 )q1 ] A'.5

    sau din perspectia dealerului

    1

    6[q1 (3p2p31 )+q2 (p33p1 )+(p1p2 ) ] . A'.(

    E&serm c n A'.5 aem o situa6ie special pentru q1=q2=1

    3

    . 9n aceast situa6ie

    aloarea ateptat a desc%itorului este118

    ; independent de modul n care acesta i

    ale!e alorile p1, p2 , p3 . adar; dac desc%itorul i ale!e aceste alori; atunci

    pentru el dein indiferente ale!erile desc%itorului; a>nd c>ti!ul estimat de1

    18 n

    orice situa6ie. ?e aceea om numi aceast situa6ie drept @strate!ia indiferent= a

    dealerului.

    ?ac dealerul ale!e s deiee de la aceast strate!ie; face o !real ntruc>t i permite

    desc%itorului s o&6in o aloare ateptat mai &un; poate c%iar poiti.

    considerm de exemplu urmtorul exemplu; n care dealerul nu &lufea suficient de des

    cu asul; nu rspunde cu doiul destul de des i &lufea cu asul mai des dec>t rspunde

    cu doiul. ltfel spus; ale!e o strate!ie cu q2

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    44/47

    aceast situa6ie; pentru a:i maximie aloarea ateptat el nu a rspunde niciodat cu

    doiul Adin moment ce dealerul nu &lufea destul de des; a &lufa mereu cu asul

    Adeoarece dealerul nu rspunde cu doiul suficient de des i nu a paria niciodat cu

    treiul Adin moment ce dealerul a &lufa de mai multe ori dec>t a rspunde. trate!ia sa

    se exprim aadar prin p1=1,p2=0 i p3=0 .

    ?in rela6ia A'.( edem c n acest ca aloarea ateptat a desc%itorului este

    1

    6[q13q2+1 ] .

    Cum q2t

    118

    ; put>nd c%iar

    foarte &ine s fie poiti. ?e exemplu; pentru q2=1

    6 i q1=

    1

    4 aloarea ateptat e

    1

    24.

    $entru alt exemplu; s considerm exemplul n care desc%itorul este un fel de juctor

    pasi; n sensul c nu a paria niciodat cu un trei. ?ealerul sesiea acest lucru i din

    motiele indicate n desc%iderea acestui su&capitol ale!e s &lufee doar n1

    6 din

    cauri. cest lucru se a doedi ns !reit; cci desc%itorul poate contraataca

    nefc>nd efecti nimic. Gl nu a mri niciodat i a rspunde doar atunci c>nd are treiuln m>n. trate!ia sa a fi definit de p1=p2=p3=0. ?in rela6ia A'.5 constatm c a

    o&6ine o aloare ateptat de136

    ; ceea ce este mai &ine dec>t118

    .

    $entru ultimul exemplu; s presupunem c dealerul a citit @)eoria $o8erului= i a decis s

    &lufee cu asul n o treime din cauri. adar; ale!e q1=1

    3. *ai tie c dac are doiul

    nu poate c>ti!a dec>t n fa6a unui as; astfel c atunci c>nd desc%itorul mai adau!100 de dolari la un pot de 200; dealerul a face ansele de 2 la 1 mpotria aruncatului;

    deci a plti de dou ori i se a arunca o dat. stfel; se decide asupra lui q2=2

    3.

    ?in rela6ia A'.5 edem acum c aloare ateptat de desc%itor este

    1

    6[p1+13 p313 ].44

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    45/47

    ?esc%itorul i poate maximie acum aloare ateptat prin ale!erea lui p1=0 As nu

    &lufee niciodat; p3=1 As mreasc mia de fiecare dat c>nd are treiul i s

    alea! orice strate!ie atunci c>nd are doiul. Qedem c n acest ca aloarea ateptat

    este 0. 9n alte cuinte; rspun>nd n dou treimi din cauri cu doiul; dealerul i:a pierdut

    aantajul alorii ateptate de1

    18; pe care l are n mod natural deoarece este ultimul

    care ac6ionea. ?ac cei doi or sc%im&a rolurile; iar primul a deeni dealer; el poate

    acum s termine; pe termen lun!; n c>ti!.

    dar; sin!ura strate!ie corect a dealerului este s alea! mereu q1=q2=1

    3.

    Qrem acum s analim situa6ia i din punctul de edere al desc%itorului. ?in rela6ia

    A'.( n6ele!em c un set de p : alori ce satisfac

    3p2p

    31=0

    p33p

    1=0

    or repreenta o strate!ie indiferent pentru desc%itor ce i a aduce mereu o aloare

    ateptat de1

    6(p1p2 ) ; indiferent de felul n care dealerul joac. adar; desc%itorul

    poate ale!e ar&itrar aloarea lui p3 iar apoi s determine

    { p1=

    1

    3 p3

    p2=1

    3p

    3+1

    3

    .

    $rin aceast modalitate; i a asi!ura o aloare ateptat de

    1

    6 (13 p 3( 13 p3+ 13 ))=118indiferent de strate!ia dealerului. dar; toate aceste strate!ii repreint pentru el

    strate!ii optime.

    45

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    46/47

    Bi0lio"rafie

    W1X. Ber!e; C.

  • 8/9/2019 Aplicatii Din Teoria Jocurilor

    47/47

    W10X. 8lans8/; ?.;