Post on 24-Oct-2014
SIRURI ,SERII
οΏ½2π
5π
β
π=0
a. este divergenta c. are suma 5/3 b.are suma 5/2 D. alt raspuns οΏ½(βπ)π
πβπ + π + π
β
π=π
este divergenta pt. ca termenul general nu tinde la 0 οΏ½
ππ+1
(2π + 1)π
β
π=1
este convergenta , din criteriul radicalului
οΏ½(β1)π
4π
β
π=0
a. este divergent a c. are suma 3/5 b.are suma 5/3 D. alt raspuns οΏ½(βπ)π ππ
ππ
β
π=π
este divergenta, din criteriul raportului οΏ½(ππππ‘π π)βπ
β
π=1
este convergenta , din criteriul radacinii
οΏ½3π
(β1)π
β
π=1
este divergenta οΏ½2π
π!
β
π=0
este convergenta , din criteriul raportului οΏ½
(lnπ)βπ
π
β
π=2
este convergenta , din criteriul radacinii
οΏ½2π + 3π
5π
β
π=1
este alternanta οΏ½π
2π
β
π=1
este convergenta , din criteriul raportului
οΏ½π Β· πΆπβ
π=π
unde πΆ β πΉ
seria este convergenta pentru IπΆI<1 si divergenta pentru IπΆIβ₯1
οΏ½1
9π2 β 1
β
π=1
are suma =0 este convergenta spre 0 οΏ½
2π(π + 1)π!
β
π=1
este convergenta , din criteriul raportului
οΏ½2π2
9π2 β 1
β
π=1
este divergenta deoarece este serie cu termeni strict pozitivi οΏ½
1π Β· 3π
β
π=1
este convergenta , din criteriul raportului οΏ½
sinππ2
β
π=1
este divergenta
οΏ½π2πππ sinπ
2π
β
π=1
are termenul general an=n2arcsin π
ππ,
este convergenta ptr. ca π₯π’π¦πββ
ππ+πππ
<1 οΏ½
(π!)2
(2π)!
β
π=1
este convergenta , din criteriul raportului
Suma seriei
οΏ½1
π(π + 1)
β
π=1
este 1
οΏ½π2
2π
β
π=1
este convergenta ptr. ca π₯π’π¦πββ
ππ+πππ
<1 οΏ½1
(lnπ)π
β
π=2
este convergenta , din criteriul radicalului
Fie a un nr. real. Se considera seria
οΏ½(β1)π
ππ
β
π=1
Atunci:
seria este convergenta daca si numai daca a>1
οΏ½ππππ πππ1π
β
π=1
este divergenta οΏ½οΏ½1 +1ποΏ½π2β
π=1
este divergenta , din criteriul radicalului
LIMITE 1
limπββ
1π
=0 Aplicand criteriul clestelui calculeaza
limita sirului an= 1π2+1
+ 1π2+2
+ β―+ 1π2+π
=0 limπββ
1π!
=0
limπββ
2π2 + π + 1π2 + 7
=2 limπββ
2π + 33π + 6
=ππ lim
πββ
1ππ
=0
limπββ
π + 23π8 + 7π3 β 11
=0 limπββ
5π + 711π + 3
= πππ
limπββ πΌπ, cand 0< πΌ < 1 =0
limπββ
(οΏ½4π2 + π β 1 β π) =+β limπββ
π2 β π + 1π2 + π + 1
=1 limπββ1ππΌ
daca πΌ > 1 =0
limπββ
(οΏ½4π2 + 4π β 1β 2π)
=1 limπββ
56 οΏ½
1 +(β1)π
2πβ1 οΏ½ =π
π limπββ
ππΌπ
daca πΌ > 1 =0
limπββ
(οΏ½64π3 β 3π2 + 33
β 5π) =-β lim
πββ
(β1)π
π =0 limπββ
π2
πΌπ daca πΌ > 1
=0
limπββ
7 Β· 4π β 11 Β· 3π
2 Β· 5π + 13 Β· 2π =0 lim
πββ
sinππ
=0 limπββ
3π
π! =0
limπββ
π‘π1π
=0 limπββ
π sinπ(βπ + 1 + βπ β 1)3
=0 limπββπΌπ
π! daca πΌ > 1 =0
limπββ
π Β· π‘π1π
=1 limπββ
sin 1 + sin 2+. . + sinππ2
=0 limπββ
1π3 + 4π β 5
=0
limπββ
βππ =1 limπββ
13π
=0 limπββ
4π =+β
LIMITE 2
limπββ πΌπ daca daca πΌ > 1 =+β Determina limita sirului an=οΏ½1 + 1
ποΏ½π
=+β limπββ
οΏ½οΏ½π₯2 + 5 βοΏ½4π₯2 + 6οΏ½ =β
limπββ
π! =+β Determina limita sirului an=οΏ½1 + 1π2οΏ½π
=e limπββ
ππ₯ β πβπ₯
ππ₯ + πβπ₯ =β
limπββ
ππ =+β Determina limita sirului an=οΏ½1 + 1ποΏ½2π+1
=ππ limπββ
ln (1 + ππ₯)π₯
=1
limπββ
π!3π
=+β Determina limita sirului an=οΏ½1 + 1βποΏ½3βπ+2
=ππ limπββ
(π₯ β πππ₯) =+β
limπββ
(π2 β 5π + 144) =+β Determina limita sirului an=οΏ½1 + πΌππ2+1
οΏ½πΌππ½ =πΆ
π
π· lim
πββ
π3π₯ β 12π₯
=+β Determina limita sirului an=1
π+(0.75)π =0 lim
π₯β0
π ππ2π₯π₯
=2 limπ₯βππππ₯βππππ₯βπ
, daca a>0 =ππ
Determina limita sirului
an=5οΏ½οΏ½58οΏ½π
+ 8οΏ½ =40 lim
π₯β0
4π₯ β 1π₯
=ln4 limπ₯β0
πππ₯ β πππ₯
π₯ =a-b
Determina limita sirului an= 3
οΏ½1+2ποΏ½π,nβ₯1 = π
βπ lim
π₯β2
π₯2 β 5π₯ + 6π₯2 β 3π₯ + 2
=-1 limπ₯β0
οΏ½π₯2 β 2π₯ + 3π₯2 β 3π₯ + 2
οΏ½
π πππ₯π₯
=ππ
Determina limita sirului
an=οΏ½1 + 1ποΏ½π+1
=e lim
π₯β1
π₯π β 1π₯π β 1
=ππ
limπ₯β0
(1 + π πππ₯)1π₯ =e
Determina limita sirului
an=οΏ½1 β 1ποΏ½π
, nβ₯3 =ππ lim
πββοΏ½οΏ½π₯6 + 1 β βπ₯ + 23 οΏ½ =β =
Continuitate derivabilitate
Fie a si b numere reale.Se defineste functiaf:π βR prin f(x)=οΏ½ππ₯ + π ππππ π₯ < 0π₯ 2 ππππ π₯ β₯ 0 .Sa se determine a si b
astfel incat f sa fie derivabila pe R
=functia f este derivabila daca si numai daca a=b=0
Fie f:[0,β)βR, f(x)=(βπ₯3+1)x. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in origine. =y=x
Fie f:RβR, f(x)=(π₯2 + π₯ + 2)32. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in punctul de abcisa x=1. =y-9=x-1
Fie f:π βR, definita prin f(x)=IxI.Sa se stabileasca domeniul unde f este continua, respectiv unde f este derivabila. = functia f este derivabila
Fie functia f(x)=οΏ½π₯ + 3, π₯ β€ 0πππ₯ π₯ > 0.Sa se determine a astfel incat f sa fie continua =3
Fie functia f:(0,β) βR, f(x)= 1π₯2
si fie n un numar natural nenul.Sa se calculeze, in caz ca exista π(π)(π₯). π(π)(π) = (βπ)n(n+1)!x-n-2 pentru orice x β R;
Sa se determine mβ π astfel incat f:π βR sa fie continua,unde f(x)=οΏ½ππ₯2 + 1 ππππ π₯ < 1
π₯ + 2, ππππ π₯ β₯ 1 =2
Sa se determine mβ π astfel incat f:π βR sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π₯ + 7 ππππ π₯ < 7ππ₯, ππππ π₯ β₯ 7 =2
Sa se determine mβ π astfel incat f:π βR sa fie continua,unde f(x)=οΏ½ ππ₯ ππππ π₯ < 0π₯ + π, ππππ π₯ β₯ 0 =1
Sa se determine mβ π astfel incat f:π βR sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π₯ + π, ππππ π₯ < 0ln (1 + π₯),ππππ π₯ β₯ 0 =0
Sa se determine mβ π astfel incat f:π βR sa fie continua,unde f(x)=οΏ½sinπ₯π₯
,ππππ π₯ β 0π, ππππ π₯ = 0
=1
Sa se determine mβ π astfel incat f:π βR sa fie continua,unde f(x)=οΏ½5 ππ₯β1π₯
ππππ π₯ β 0π, ππππ π₯ = 0
=5
Sa se determine mβ π astfel incat f:π βR sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π, ππππ π₯ β€ 0ln (1+π₯)
x,ππππ π₯ > 0 =1
Sa se determine mβ π astfel incat f:π βR sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π, ππππ π₯ β€ 0
(1+π₯)πβ1x
,ππππ π₯ > 0 si aβ π =a
Serii de functii
Calculati domeniul de convergenta al seriei β 11+π₯2
βπ=1 =(ββ,-1)βͺ(1,+β)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii β οΏ½π+πποΏ½ποΏ½ πβππ+ππ
οΏ½π
βπ=π =(ββ,-1)βͺ(1,+β)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii β (βπ)π
π₯π§ (π)Β· οΏ½πβπ
π
π+πποΏ½π
βπ=π =R
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii β (π β π)(π β πππ)β
π=π (π β πππ)β¦ οΏ½π β π
πποΏ½ ,π > 0 =(e,β)βͺ{2}
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii β (π+π)π
ππ+πβπ=π ={xβ πΉ/π > 1}
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii β (ππ)π
ππ+ππβπ=π ,a>0,x>0
=π β(0,1)daca aβ₯1 π β(0,β)daca aβ(0,1)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii β πππ+πππ§π+ππ§+π
Β· οΏ½ πππ+π
οΏ½π
βπ=π =(ββ,-1)βͺ(-π
π,+β)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii β πππππ οΏ½ ππποΏ½β
π=π =R
Sa se studieze natura convergentei seriei de functii β οΏ½ ππ
π+π+πβ (πβπ)π
π+ποΏ½β
π=π , xβ[0,1] =este uniform convergenta
Sa se studieze natura convergentei seriei de functii β οΏ½ πππ+π+π
β (πβπ)ππ+(πβπ)π
οΏ½βπ=π , xβ[0,1] =converge neuniform
INTEGRALE DEFINITE
β« ππ₯β1βπ₯2
β32
12
=π π
οΏ½max ( π₯, π₯2)ππ₯2
0
= πππ
οΏ½1
π₯3 + 1
1
0
ππ₯ = ππππ
+ π πβπ
οΏ½ xππ₯10
0
=40 οΏ½οΏ½π₯5
7βπ₯6
6οΏ½ππ₯
1
0
=0
οΏ½ arc sinππ₯1
0
= π πβ π οΏ½
ππ₯π₯2 + π₯
2
1
=ln ππ
οΏ½ xππ₯π+2
πβ2
=4a οΏ½ππ₯π₯2
4
1
= ππ
οΏ½ cosxln1 + x1 β x
ππ₯
12
β12
=0 οΏ½ππ₯
π₯2 + π₯ + 1
1
0
= π πβπ
οΏ½ x2ππ₯π
π2
= πππ
ππ οΏ½ 3βπ₯ππ₯
9
1
=52
οΏ½1
π₯2 + 1
β
0
ππ₯ = π π
οΏ½ excosxππ₯
π2
0
= πποΏ½π
π2 β ποΏ½ οΏ½
b2x2
a2ππ₯
2π
π
= πππππ οΏ½
ππ₯β2ax
2π
π
=2-βπ
οΏ½ xexππ₯1
0
=1 οΏ½ππ₯π₯πππ₯
π2
π
=ln2 οΏ½π₯2 + π2
π2
π
0
ππ₯ = πππ β« ππ₯
βx43ππ a,b>0 =3οΏ½ π
βππ β π
βππ οΏ½
οΏ½1βx
ππ₯1
0+0
=2 οΏ½ x2cosxππ₯
π2
0
= π π
πβ π οΏ½ (2π₯ + 1)2ππ₯
2,5
1
=31,5 οΏ½ exππ₯3
0
=e3-1
οΏ½min ( π₯, π₯2)ππ₯2
0
= ππππ
οΏ½ eβxππ₯β
0
=1 οΏ½(π + π₯)2
π
0
βπ
ππ₯ = ππ
π οΏ½ sec2xππ₯
π4
0
=1
οΏ½1οΏ½βxn ππ₯
1
0
,π > 1 = ππβπ
οΏ½ exππ₯1
0
=e-1 οΏ½π₯3ππ₯2
0
=4 οΏ½ππ₯
1 + π₯2
1
0
= π π
Serii de puteri
Studiati convergenta seriei de puteri x+ ππx2+π
πx3+.. domeniul de convergenta al seriei este [-1,1)
Sa se studieze convergenta seriei β ππ§π
βπ§=π (π± β π)π§
Converge pentru xβ (π,π) si diverge pentru xβ (ββ,π)πΌ(π,β)
Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri β (βπ)π§+π π±π§
π§βπ§=π
ptr. x=1 suma este ln(2), domeniul de convergenta al seriei este (-1,1]
Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri β (βπ)π§+π π±ππ§+π
ππ§+πβπ§=π
ptr. x=1 suma este π π
domeniul de convergenta al seriei este [-1,1]
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=ππ±, precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea. ππ± = β ππ§(π)
π§!π±π§β
π§=π =β ππ!ππβ
π=π ; (ββ,β)
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=sin(x), precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=(π + π),πΆ πΆ β πΉ precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se arate ca functia f:(-1,1)βR,f(x)=ln οΏ½π+ππβπ
este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca
aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se arate ca functia f:RI{-2,-3}βR,f(x)= ππππ+ππ+π
este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=ππ±.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=πβπ±π.
PRIMITIVE
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita π₯π’π¦πββππ+ππ+β―+ππ
ππ+π pentru pβN* =1
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita π₯π’π¦πββ οΏ½π
ππ+π+ π
ππ+ππ+ β―+ π
ππ+πποΏ½ = π
π
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita π₯π’π¦πβββπ+βπ+β―+βπ
πβπ = π
π
β«βπ₯dx = ππβππ + πͺ οΏ½(ππππ πππ₯ + ππππππ π₯)ππ₯ = π
ππ + πͺ β« (ππππππ)π
π+ππ dx = (ππππππ)π
π+ πͺ
β« βπ₯ππ dx = ππππ+π
π+π+ πͺ οΏ½π πππ₯πππ π₯ππ₯ = πππ
πππ
+C β« ππ₯(π ππππ₯)dx =- cosππ+C
οΏ½dxπ₯2
=C- ππ
β« πππππππππ
dx = πππππ
+ πͺ β« ππ
ππ+π dx = π
π ln I1+ππI+C
β« 10π₯dx = πππ
ππππ +C οΏ½
xdxβπ₯2 + 1
= βπ₯2 + 1+C β« ππ
ππ+π dx =ln(ππ + π)+C
β«ππ₯ ππ₯dx = (ππ)π
π+πππ +C οΏ½
x4dxβ4 + π₯5
= ππβ4 + π₯5 + πͺ οΏ½
dxπ₯πππ₯
= ππππ + πͺ
οΏ½dx
2βπ₯ =βπ+C οΏ½π ππ3π₯πππ π₯ππ₯ = π
πππππx+C β« (πππ)π
π dx mβ π = ππ
π+πππ+π
+C
β«(1 β 2π₯)dx =x-ππ+C β« π¬π’π§ππππππ
dx = πππππ
+ πͺ οΏ½πππ π₯ππ πππ₯ππ₯ =ππ πππ₯+C
οΏ½πππππ
πππππ ππππππ π =C-ctgx+tgx οΏ½πππ 3π₯π ππ2π₯ππ₯ =C - π
ππππππ