FRACTII (nr. rationale pozitive)Fractie o pereche de numere naturale a si b scrise sub forma ab, cu0 b Elementele fractiei: a numaratorul (arata cate parti s-au luat din intreg)b numitorul (arata in cate parti este impartit intregul).Fractii echivalente fractiile care masoara aceeasi cantitate(fractiile ab si cd sunt echivalente daca( ) , , 0 a d b c b d ).Numar rational multimea tuturor fractiilor echivalente cu o fractie data.Orice fractie din aceasta multime se va numi reprezentant al acestui numar rational. In calcule cu numere rationale vom opera cu reprezentanti.Multimea numerelor rationale pozitive se noteaza *,aa bb+ ' ; . Multimea numerelor rationale nenegative este{ } 0+ Numerele rationale sunt numere reprezentate fie cu ajutorul fractiilor ordinare, fie cu ajutorul fractiilor zecimale finite sau periodice (simple sau mixte).Exemple: a)2 711, ,3 8 5(reprezentare pe axa numerelor).b)0, 5;1, 25; 7, 3c)( ) 0, 12Perioada 12d)( ) 3, 0323 partea intreaga si 032 perioadae)( ) 1, 23451 partea intreaga; 23 neperioada si 45 perioada.Observatii: Orice nr. nat. este un nr. rat. pozitiv: 1nn (in particular: 001-nr. rat. nul; 111- nr. rat. unitate)Orice nr. rat. ab este nat.b a Oricarui nr. rat nenul ab i se poate asocia numarul rat. ba , numit inversul lui ab si notat 1ab _ , .1a bb a _ ,Orice nr. rat.( )*, , , , 1aa b a bb se poate scrie sub forma zecimala prin impartirea lui a la b. Spunem ca avem fractie ireductibila.Observatii: fractiile ordinare pot fi : - subunitare (numitorul > numaratorul : 2 7 11, ,3 8 2007 ). -Echiunitare (numitorul = numaratorul : 2 7 20071, 1, 12 7 2007 ).-Supraunitare (numitorul < numaratorul : 5 711, ,3 2 5).Tipuri de fractii:a.Fractii zecimale finite (daca 2 3 , ,m nb m n )cate cifre are partea zecimala1 0............0numarul fara virgula _ ,142 431 2 31 2 3..., ...10nn nabb b ba bb b b Exemple:0, 7; 0, 75;1, 23b.Fractii zecimale infinite periodice simple (daca ( ) ,10 1 b )cate cifre are perioadaint9............9numarul fara virgula partea reaga _ ,142 43( )1 2 31 2 3n cifre..., ...99....9nnabb b b aabb b b123Exemple: ( ) ( ) ( ) 0, 3;1, 3;12, 35c.Fractii zecimale infinite periodice mixte (daca 2 5 'm nb b , b-prim)cate cifre are perioada cate cifre are ne perioadanr. fara virgula - nr. format din parteaintreaga si neperioada9............9 0..........0 _ ,142 43 142 43( ){1 2 1 2 1 21 2 1 2de n cifre k cifre, ... ... , ..., ... ...99....9 0...0n k nn ka bb b c c c a bb ba bb b c c c123Exemple: ( ) ( ) ( ) 0, 23;1, 35; 2,134Aplicatii.Pentru a aduce la cel mai mic numitor comun una sau mai multe fractii procedam astfel:- aflam c.m.m.m.c al numitorilor fractiilor;- calculam catul dintre numitorul comun si numitorul fractiei respective;- amplificam fiecare fractie cu catul corespunzator.Exemplu: 17 13,72 60[ ]3 23 2272 2 372, 60 2 3 5 36060 2 35360: 72 5360: 60 6 ; deci ))5617 8572 36013 7860 360Aplicatii.Pe multimea+se defineste relatia de ordine b)19 19 145 145; ;27 135 329 312> >sau ) ) 2 513 5 26 25;15 6 30 30> >Adunarea este operatia prin care oricarei perechi de numere rationale a si b ii corespunde un numar rational si numai unul notata b +si numit suma dintre a si b.Avem urmatoarele situatii:a)Fractii ordinare cu acelasi numitor (se aduna numaratorii si pastram numitorul comun)2 4 623 3 3+ ( 47 5 12 316 16 16 4+ 3 5 7 158 8 8 8+ + 3 1 2 3 1 2......n na a a a a a a am m m m m+ + + ++ + + + b)Fractii ordinare cu numitori diferiti (aducem intai la acelasi numitor si apoi adunam numaratorii noi obtinuti si pastram numitorii comuni)) ) 2 32 1 4 3 73 2 6 6 6+ + ) ) 4 59 11 36 55 36 55 915 4 20 20 20 20++ + ) ) ( 6 3 41 7 5 6 7 15 6 7 15 28 74 24 8 24 24 24 24 24 6+ ++ + + + Proprietatile adunarii numerelor rationale:1)Comutativitatea (putem schimba ordinea termenilor fara ca rezultatul sa se modifice). ( ) ( ) , , a b b a a b++ + 2)Asociativitatea (putem inlocui 2 sau mai multi termini prin suma lor, fara a modifica rezultatul). ( ) ( ) ( ) ( ) , , , a b c a b c a b c++ + + + 3)Numarul rational nul este elementul neutru. ( adunarea cu zero nu modifica rezultatul). ( ) ( ) 0 0 a a a a++ + 4)Suma a 2 sau mai multe nr. rationale este tot un nr. rational.Scoaterea intregilor din fractie. Fie un nr. rat. reprezentat printr-o fractie supraunitara mn . aplicand teorema impartirii cu rest avem m c n r c n r r rm c n r c cn n n n n n + + + + , unde c estecatul si r restul.Exemple: 25 1 16 64 4 4 + 123 4 47 717 17 17 + Introducerea intregilor in fractie. Daca avem rcn a introduce intregii in fractie inseamna a scrie fractia r mcn n. Practic se procedeaza astfel: se pastreaza numitorul , iar numaratorul se calculeaza inmultind intregul cu numitorul si adunand numaratorul initial) r c n r mcn n n + Exemple: 3 78 3 56 3 5987 7 7 7 + + 7 5 15 7 75 7 82515 15 15 15 + + Scaderea: daca a si b sunt 2 numere rat. , atunci diferenta lor se noteaza cua b . Nr. a si b se numesc termenii diferentei; a s.n. descazut; b s.n. scazator.Operatia prin care se obtine diferenta a 2 nr. rat. Se numeste scadere. Diferenta a 2 nr. rat este un nr. rational.Avem urmatoarele situatii:a)Fractii ordinare cu acelasi numitor (se scad numaratorii si pastram numitorul comun)4 2 23 3 3 ( 27 5 2 116 16 16 8 3 5 7 18 8 8 8+ 3 1 2 3 1 2......n na a a a a a a am m m m m+ + + ++ + + + b)Fractii ordinare cu numitori diferiti (aducem intai la acelasi numitor si apoi scadem numaratorii noi obtinuti si pastram numitorii comuni)) ) 2 32 1 4 3 13 2 6 6 6 ) ) 4 514 11 56 55 56 55 15 4 20 20 20 20 ) ) ( 6 3 23 7 5 18 7 15 18 7 15 10 54 24 8 24 24 24 24 24 12+ + + Aplicatii.Inmultirea este operatia prin care oricarei perechi de nr. rat. a si b ii corespunde un nr. rat. si numail unul notat a b p .Obs.1) Pentru a inmulti 2 nr. rat. positive scrise sub forma de fractie ordinara, cautam eventualele simplificari, iar apoi se inmultesc numaratoriiintre ei si numitorii intre ei.3 12 33 94 32 32 32 Generalizare : a c a cbd b d sau a n anb b 2)Numerele rat. reprezentate prin fractii zecimale (finite sau infinite) se pot transforma in fractii ordinare si apoi se pot inmulti. Exemple :1 2 12 3 3 2 2 14 2 2843 5 3 5 15 2 3 1 8 3 15 202 23 10 7 310 7 7 2 2 2 20, 27 10 7 35 2 5 75 51 0, 753 3100 4 6 25 30, 60, 2510 100 20 Proprietatile inmultirii:a)Comutativitatea (putem schimba ordinea termenilor fara ca rezultatul sa se modifice). ( ) ( ) , , a b b a a b+ b)Asociativitatea (putem inlocui 2 sau mai multi termini prin produsullor, fara a modifica rezultatul). ( ) ( ) ( ) ( ) , , , a b c a b c a b c+ c)Numarul rational unitate este elementul neutru. (inmultirea cu unu nu modifica rezultatul). ( ) ( ) 1 1 a a a a+ d)Distributivitatea fata de adunare si scadere (la stg. si la dr.) ( ) ( ) ( ) , , , a b c a c b c a b c+t t ( ) ( ) ( ) , , , c a b c a c b a b c+ t t e)Produsul a 2 sau mai multe nr. rationale este tot un nr. rational.f)Oricare ar fi nr. rat. a, avem ( ) ( ) 0 0 0 a a a+ g)Orice nr. rat. nenul a are un invers, notat 1a si 11 a a .Inversul unui nr. rat. nenul reprezentat prin fractie se obtine schimband intre ei numitorul si numaratorul. Inversul lui ab este( ) , , 0ba ba .Daca a si b sunt 2 nr. rat. pozitive si0 b , catul lor se noteaza: a bsau ab . Numerele a si b se numesc factorii catului. Prin definitie 1: a b a b . Operatia prin care se obtine catul a 2 nr. rat pozitive se numeste impartire. Catul a 2 nr. rationale este tot un nr. rat.Obs :1)Nr. rat. 0 nu are invers.2)Produsul dintre un nr. rat si inversul sau este 1: 1a bba .3)1a bb a _ ,.4)Numerele rat. reprezentate de fractii zecimale se pot imparti direct sau se pot transforma in fractii ordinare.Exemple: 1 2 1 3 3:2 3 2 2 4 2 2 14 5 354 :3 5 3 2 3 2 1 8 7 562 : 23 7 315 45 2 2 7 70, 2 :7 10 2 10 2 5100 201 : 0, 753 3 75 9 6 100 120, 6: 0, 2510 25 5 Pe+am definit urmatoarele operatii:adunareaoperatii de ordinul Iscaderea ' ; .inmultireaoperatii de ordinul IIimpartirea ' ; .Ordinea efectuarii operatiilor pe+ este : Cand avem operatii de acelasi ordin } se fac in ordinea in care sunt scrise. Cand avem operatii de ordine diferite } se fac astfel operatiile de ordin IIoperatiile de ordin I

. Cand avem paranteze} efectuam operatiile dintre parantezele rotundeoperatiile dintre parantezele drepteoperatiile dintre parantezele acolade

. Observatie: in paranteze se respecta ordinea efectuarii operatiilor.Aplicatii.Numim ecuatie o egalitate de formaax b c + , in care x este o variabila numita necunoscuta si de fiecare data se precizeaza multimea in care aceasta poate lua valori. Egalitatea poate fi adevarata pentru anumite valori si falsa pentru unele.Valoarea necunoscutei pentru care propozitia este adevarata se numeste solutie sau radacina a ecuatiei.A rezolva o ecuatie inseamna a afla multimea solutiilor ecuatiei.Pentru a rezolva o ecuatie folosim metoda operatiei inverse. Punem in evident termenul care contine necunoscuta ax c b Calculam diferenta c b c b d Rescriem ecuatia ax d Punem in evident factorul x : x d a Multimea solutiilor este: dSa ' ; Exemple: 1.Sa se rezolve ecuatia: ) ) 3 21 1 1 12 23 2 2 33 2 1 1 12 2 : 26 6 6 12112x xx x x xS+ ' ; .2.Sa se afle un numar astfel incat prin impartirea acestui numar la 57 sa obtinem 1445.5 14 14 5:7 45 45 72 29 9x xx S ' ; .3.Sa se afle un numar astfel incat prin inmultirea acestui numar cu 5 sa obtinem acelasi rezultat ca atunci cand il adunam cu 112.1 15 1 5 12 23 3 3 14 : 42 2 2 43 38 8x x x xx x xx S + ' ; .