XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite

7/25/2019 XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite

1/7

SUPORT DE CURS XII / III.Metode de calcul a integralelor definite/P a g e | 19

III. Metode de calcul a integralelor definite

COMPETENE SPECIFICE

1. Identificareaunor date i relaii matematice si corelarea lor nfuncie de contextul n care au fost definite2. Prelucrareadatelor de tip cantitativ, calitativ, structural saucontextual cuprinse n enunuri matematice3. Utilizareaalgoritmilor si a conceptelor matematice pentrucaracterizarea local sau global a unei situaii concrete4. Exprimareacaracteristicilor matematice cantitative sau calitativeale unei situaii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora5. Analizasi interpretareacaracteristicilor matematice ale uneisituaii problem n scopul gsirii de strategii pentru optimizareasoluiilor6. Modelareamatematic a unor contexte problematice, prin

integrarea cunostinelor din diferite domeniiCONINUTURI Integrarea prin pri , integrarea prin schimbare de variabil

Calculul integralelor de forma( )( )

b

a

P xdx

Q x , 4gradQ prin metoda

descompunerii n fracii simple Aria unei suprafee plane Volumul unui corp de rotaie

BIBLIOGRAFIE BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT2, programa M2 Mircea Ganga MATEMATIC-Manual pentru clasa a XII-a , profil

M2 , Editura MATHPRESS Marius Burtea , Georgeta Burtea Clasa a XII-a , Culegere de

exerciii i probleme , MATEMATIC M2 ,Editura CAMPION .


1. Integrarea prin pri

T. ( Formula de integrare prin pri) . Dac , : ,f g a b sunt

dou funcii derivabile , cu derivate continue , atunci :

b b

b

a

a a

f x g x dx f x g x f x g x dx (1)

(1) se numete formula de integrare prin pri pentru integraladefinit .

Pentru a aplica uor formula integrrii prin pri vom aranjafunciile astfel :

f x

g x

(prin derivare)

(prin integrare)

f x

g x

( din prima integral ) ( din a doua integral )


2/7


EXERCIII PROPUSE

1) S se calculeze integralele :

a)1

0

xxe dx ; b)1

2

0

xx e dx ; c)0

sinxe xdx

; d)0

sinx xdx

; e)1

lne

xdx

f)

2

0arcsin xdx

;

2) S se calculeze integralele : a)1

lne

x xdx ; b)2

1

lne

x xdx ;

c) 2

1

lne

xdx ;d)3 2

1

lne

x xdx ; e) 2

2

1

3 lne

x x xdx ; f) 1

2

0

ln 1x dx ;


0

xxe dx ; b)1

2 2

0

xx e dx ;

c)

2

03

x

x dx ; d)1

2

05

x

x dx ; e)

12

02 1

x

x x e dx ;

f) 1

3 2 2

0

5 2 xx x e dx ; g) 1

2 3

0

2 xx x e dx ; h)1

2 2

0

x

x e dx

;

4) S se calculeze integralele : a)

1

2

0

arcsinx xdx ; b)1

2

0

arccosxdx ;

c)1

0

arctgxdx ; d)1

0

xarctgxdx ;


0

cosxe xdx

; b)0

2 sinx xdx

;

c)3

2

0

sin3xe xdx

; d)2

0

sinxe xdx

; e)2

2 2

0

cosxe xdx

;


6) S se calculeze integralele : a) 2

0

sinx xdx

; b)2

0

cosx xdx

;

c)3

0

sin3x xdx

; d)2

0

sinx xdx

; e)4

2

0

cos2x xdx

;

f) 2

03 5 sin2x x xdx

; g)3

0sinx xdx

;


2

0

9x dx ; b)5

2

3

9x dx ;

c)4

2

0

16 x dx ; d)4

2

3

9x x dx ; e)4

2 2

3

9x x dx ;

f)2

2

0

1x x dx ;

8) Se consider funcia :f ,

2 , 0

1 , 0

xx e x

f x x x

. S se

calculeze 0

1

xf x d x

.

9) Se consider funcia :f , , 1

2 , 1

xe e xf x

x x

. S se

calculeze 0

2

xf xdx

e .

10) Se consider funcia :g , 3 2

1 3 1g x x x . S se

determine numrul real 1a astfel nct 31

6a

x ag x x e dx e

11)Se consider funcia :f , 2 1xf x x e . S se

calculeze 1

0

xf x dx .


3/7


2. Integrarea prin schimbare de variabil

Metoda substituiei ( schimbrii de variabil )

T. ( Prima formul a substituiei ) Fie ,f

a b J

( J interval

din ) dou funcii cu proprietile :1) f este continu pe J ;

2) este derivabil cu derivata continu pe ,a b

Atunci

bb

a a

f x x dx f t dt

(1)

Formula (1) se numete prima formul a substituiei. De la variabila,x a b se trece la noua variabil ,t x a b


EXERCIII PROPUSE

S se calculeze integralele de mai jos utiliznd substituia indicat :

I. a) 51

0

1x dx , 1t x ; b) 0

6

23

3 2x dx

; 3 2t x ;

c)

1

2 9

0

2 1x x dx ; 2 1t x ; d) 1 3

2

0

1x x dx ;2 1t x ;

e) 1

52 3

1

2

1 3 1x x x dx ,3 3 1t x x ; f)

15

2 3

0

1x x dx ,

3 1t x ;

II. a)2

0 3

dx

x , 3x , 3t x ; b)

1

2 2 1

dx

x

,

1

2x , 2 1t x ;

c)

2

1 1 4dxx , 14x , 1 4t x ; d)

1

50 2 1

dxx , 12x , 2 1t x ;

e)1

20 1

xdx

x , x ,

2 1t x ;f)2

21

2 1

9

xdx

x

, x ,

2 9t x ;

g)

3 3

102 1

xdx

x , 1x , 1t x ; h)

2 2

30 2 1

x dx

x , 0x ,

32 1t x ;

i)

2 2

33

0 2

x dx

x , 0x ,

3 2t x ; j)2

40 1

xdx

x , x ,

2t x ;


4/7


EXERCIII PROPUSE

S se calculeze integralele de mai jos utiliznd substituia indicat :

III. a)2

0

2 1x dx ,1

2x , 2 1t x ; b)

1

0

1x xdx , 1x ,

1t x ; c) 2

23

0

2 1x dx , x , 2 1t x ; d)1

2

0

3x x dx ,

x , 2 3t x ; e)0

2 3

1

1x x dx

, 1x ,3 1t x ;

f)

3

23 2

2

1x x dx

, 1x ,2 1t x ; g)

2

31

25 1

dx

x ,

1

5x ,

5 1t x ;

IV. a)

0

3

2

xe dx , x

, 3t x ; b)

2

20

x

dx

e , x , 2t x ;

c)3

02

2

xx e dx

, x ,3t x ; d)

2

2

0x

xdx

e , x ,

2t x ;

e)1

0

x xx e dx , 0x , t x x ; f)2

1

xedx

x , 0x , t x ;

V. a)1

lne xdx

x, 0x , lnt x ; b)

1

sin lne xdx

x, 0x , lnt x ;

c) 5

2

1

1 ln x dxx

, 0x , 1 lnt x ; d)2 ln

e

dxx x

, 1x , lnt x ;

e) 2 ln 1

e dx

x x , 1x , ln 1t x ;


EXERCIII PROPUSE

1) S se calculeze integralele :

a) 1

5

0

2 1x dx ; b)1

2

0

1x x dx ; c)2

2

2

sin cosx xdx

;

d)1 2

30 1

x dx

x ; e)

2

1

lne xdx

x; f)

1

20 1

arctgxdx

x ; g)

3

20 cos

tgxedx

x

;

h)1 3

81 1

xdx

x ;

2) S se calculeze integralele de mai jos :

I. a) 1

4

0

2 1x dx ; b) 1

73

1

x x dx

; c) 1

5

2

1 3x x dx

;

II. a)

2

1 2 1

dx

x ; b)

0

1 1 3

dx

x ; c)

1

20

3

1

xdx

x ; d)

2

1 1 5

dx

x ; e)

1 2

30

2

3 2

x dx

x ;

f)

1 2

23

0 1

x dx

x ; g)

1

40 1

xdx

x ;

III. a)1

0

3 1x dx ; b)0

1

1x x dx

; c) 2

23

1

1 2x dx

;

IV. a)3

12

0

xx e dx ; b) 21

1x

xdx

e ; c)

4

1

x xx e dx ; d)9

1

xedx

x ;

V. a)

2

lne

e

x dxx

; b) 2

1

1 lne x dxx

; c)3

ln

e

e

dxx x

; d) 1 1 ln

e dxx x

;

VI. a)5

0

sin5xdx

; b)9

12

sin 34

x dx

; c)2

2

0

sin cosx xdx

;


5/7


3. Calculul integralelor definite din funcii raionale

D. O funcie :f I , I interval , se numeteraional dac

P x

f xQ x

, unde P ,Q sunt funcii polinomiale cu coeficieni reali

i 0Q x , x I .

D.O funcie raional se numete simpldac are una din formele :1) 11 1 0...

n n

n nf x a x a x a x a

( funcia polinomial );

2)

n

Af x

x a

, n ;

3) 2

n

Bx Cf x

x bx c

, n , 2 4 0b c .

T. Orice funcie raional poate fi reprezentat sub forma unei sumefinite de funcii raionale simple prin metoda coeficienilornedeterminai .


EXERCIII PROPUSE

1) S se descompun n fracii simple funciile raionale :f D :

a)1

( )( 3)

f xx x

; b)1

( )( 1)( 2)

f xx x x

; c)2

( )( 1)x

f xx x

;

d)2

2

1( )

( 1)( 2)

xf x

x x

;


a)2

1( )

( 1)f x

x x

; b)

2 2

1( )

( 2)

xf x

x x

; c)

2

1( )

( 1)f x

x x

;

d)2 2

1( )

( 4)

xf x

x x


a)2 2

( )( 1)( 4)

xf x

x x

; b)

2

2 2

1( )

( 4)( 9)

xf x

x x

;

c) 4 2( ) 1

x

f x x x ;4) S se calculeze integralele de funcii raionale ( numitorul arerdcini reale simple ) :

a)2

1

1( 3)

dxx x ; b)

3

1

1( 1)( 2)

dxx x x ; c)

4 3

2 23 ( 1)( 4)

xdx

x x ;

d)0 2

2 21

1

( 9)( 3 2)

x xdx

x x x

;

5) S se calculeze integralele ( numitorul are rdcini reale multiple ) :

a)

2

21

1

( 1)dxx x ; b)2

2 21

1

( 2)

xdxx x

; c)1 2

20

1

( 1) ( 2)

xdxx x

;

d)3 3

2 22 ( 2) ( 1)

xdx

x x ;

6) S se calculeze integralele de funcii raionale ( numitorul arerdcini complexe simple ) :

a)1 2

20

3

( 1)( 1)

x xdx

x x

;b)

1

2 20 ( 1)( 4)

xdx

x x ;c)

1

2 20

2 1

( 1)( 2 2)

xdx

x x x


6/7


7) Calculai :

a)

32

0

2 1

1x

dxx

; b)

1 2

3 2x

dxx

; c)

12

2

2

1

( 1)dx

x x; d)

1

0

3( 1)( 2)

xdx

x x

;

e)1

20 ( 1)( 2)

xdx

x x ; f)

2

21

2 1

( 1)

xdx

x x

; g)

2

2 21

1

( 1)

xdx

x x

;

h)

1 2

2 20 ( 4)( 1)

xdxx x ; i)

1 2

2 20

1

( 1)( 9)

x xdxx x

;8) S se calculeze :

a)3 2

2

2 51

x xdx

x

; b)2

2

2 5

( 1)

x xdx

x

; c)

3 2

32

2 5

( 1)

x xdx

x

9) Se consider funcia :[0,1]f ,1

( )1

xf x

x

. S se calculeze

1

0

( )f x dx ;

10) Se consider funcia : \ 0, 1f , 2 22 1

( ) ( 1)

xf x x x

.

a) S se verifice c2 2

1 1( )

( 1)f x

x x

;

b) S se calculeze4

1

( )f x dx ;

11) Se consider funcia : (1, )f ,2

1( )

( 1)( )f x

x x x

a) S se verifice c1 1 1

( )

2( 1) 2( 1)

f x

x x x

;

b) S se calculeze4

2

( )f x dx ;


4. Aplicaii ale integralei definite

Dac : ,f a b este continu ,

atunci aria mulimii A delimitat de graficulfunciei f , axa Ox i dreptele x a i x b

este egal cu ( )b

a

aria A f x dx .

Pentru calculul integralei se expliciteaz

( )f x , ,x a b .

Notm ,f g regiunea delimitat de

graficele funciilor f i gi dreptele

x a i x b . Atunci

, ( ) ( )

b

f ga

aria f x g x dx

O alt aplicaie a calculului integral ( a integralei definite ) oconstituie determinarea volumelor unor corpuri prin rotaia unorsuprafee n jurul unei axe de rotaie .

Corpurile astfel generate se numesc corpuri de rotaie .T.Dac : , 0,f a b este o funcie continu , atunci corpul de

rotaie determinat de f are volum i 2( )b

fa

vol C f x dx .


7/7


EXERCIII PROPUSE

1) Se consider funcia :f ,2 , 0

( )1 , 0

xx e xf x

x x

. S se

determine volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox agraficului funciei :[0,1] , ( ) ( )g x f x .

2) Se consider funciile , :f F , ( ) xf x xe i ( ) ( 1) xF x x e

a) S se verifice c funcia F este o primitiv a funciei f ;b) S se calculeze aria suprafeei plane determinate de graficulfunciei f , axa Ox i dreptele 0x i 1x .

3) Se consider funcia :f ,, 1

( )2 , 1

xe e xf x

x x

. S se

calculeze volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox , agraficului funciei :[0,2] , ( ) ( )g x f x , [0,2]x .

4) Se consider funcia :f , ( ) xf x x e .

a) S se calculeze aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei

f , axa Ox i dreptele de ecuaii 0x i 1x ;b) S se determine volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axeiOx a graficului funciei :[0,1]g , ( ) ( ) ( )g x f x f x

5) Se consider funcia : 1,f ,1

( )(1 ln )

f xx x

. S se

determine numrul real 2(1, )a e astfel nct aria suprafeei plane ,

determinate de graficul funciei f , axa Ox , dreptele de ecuaii

x a i 2x e , s fie egal cu3

ln2

.

6) Se consider funcia :f , 2( ) 1xf x e x . S se determinearia suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei :g ,

( ) ( )xx xe f x , axa Ox i dreptele de ecuaii 0x i 1x .

7) Se consider funcia : (0, )f , ( ) lnf x x x . S se

calculeze aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei: [1, ]h e , ( ) ( )h x f x x , axa Ox i dreptele 1x i x e


8) S se calculeze volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox

, a graficului funciei :[0,1]g , ( ) 3 xg x .

9) Se consider funcia : [2, )f ,1 1

( )1

f xx x

. S se

determine areal , 2a astfel nct aria suprafeei plane , mrginitede graficul funciei f , axa Ox i dreptele de ecuaii 2x i x a ,s fie egal cu ln3 .10) Se consider funcia : (0, )g , ( ) lng x x x . S se

determine aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei g , axa

Ox i dreptele de ecuaii 1x i x e 11) Se consider funcia :[0,1]f , ( ) 1f x x . S se determine

volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox , graficuluifunciei f .

12) Se consider funcia : (0, )f , 2( ) lnf x x x x . S se

determine aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei f , axaOx i dreptele de ecuaii 1x i x e .13) Se consider funcia : (0, )F , ( ) lnF x x x . S se

determine aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei F ,axa Ox i dreptele de ecuaii 1x i x e .

14) Se consider funcia : (0, )f ,1

( )f x xx

. S se

demonstreze c volumele corpurilor obinute prin rotaia n jurul axeiOx a graficelor funciilor , : [1, ]h e , ( ) ( )g x f x i

1( )h x f

x

sunt egale .

15) Se consider funcia :f , 2( ) 2xf x e x x . S se

calculeze aria suprafeei plane mrginite de graficul funciei

:[0,1]h ,2( ) 2

( )1x

f x x x h x

e

, axa Ox i dreptele de ecuaii

0x i 1x .

XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite

Documents

Transcript of XII 2012-13 3 Metode de Calcul a Integralelor Definite