var imprimare m1 bac 2010

Filiera teoretica , profilul real, specializareaefectiv de Educatde 3iei, Se Evaluare n oficiu. vocationala, National Ministerulmatematica -informatica. specializarea Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul matematica -informaticaore. Cercetarii din nvata lucru este Centrul profilul militar, pentru Curriculum . si acorda 10 puncte si La toate subiectele se cer rezolvari complete.

SUBIECTUL I (30p)

Preuniversitar

EXAMENUL DE BACALAUREAT - Proba D Proba scrisa la MATEMATICA 2009Inovarii

mntul Varianta 1

5p 1. . x 2 5p 2. Sa se rezolve n multimea numerelor reale inecuatia 2530 . xx -+= 2 5p 3. Sa se determine inversa functiei bijective ffxx ) (1, = + ) 1 . :(0, 8 8 ), ( 5p 4. Se considera multimea A = { } 3,...,10 . Sa se determine numarul submultimilor cu trei elemente ale 1, 2, multimii A, care contin elementul 1. 5. Sa se determine m , astfel nct distanta dintre punctele A(2, ) si Bm m (,2) pp 5p 6. Sa se calculeze cos sin 23 . 12 12 5p sa fie 4.

Varianta 001 Sa se determine numa rul natural x din egalitatea 1 +++... 231 5 9 +=

,1 1.

SUBIECTUL II (30p) Varianta 001 Se considera matricea A b a =ab

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar, cu ab ,M2 ()

si b

0.

5p a)

Sa se arate ca daca matricea X nct X v=uuv

veri fica relatia AX XA =

, atunci exista uv ,

, astfel

.n* n , Axnn nn = y ==

5p b) Sa se arate ca 5p c) 2. 5p a)

xy yx nn

, unde , .

()()bab abab a ++- n nnn () +-() 22 21 12

Sa se rezolve n multimea M 2 () Se considera a7

ecuatia X 3 =6 fa=++ 7 XX5 7

.

si polinomul

X

[]

.

Sa se verifice ca, pentru orice b

, b 0 , are loc relatia b6 = 1. 7 7

633 5p b) Sa se arate ca xxx+= -4)( 4), x5( + 5p c) Sa se demonstreze ca pentru orice a

.7

, polinomul feste reductibil n

[X]

.

1 1. 5p 5p 5p 2. 5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 001

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar.

Se considera numarul real a > 0 si functia f : , fx() ax x e =a) Sa se determine asimptota oblica la graficul functiei fca tre -8 . b) Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f. c) Sa se determine a8 (0, ) , stiind ca fx() 1,= . x Se considera functia

() ffxx , () = :0, 8

ln x

. este o primitiva a functiei f.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1

() 8 a) Sa se arate ca functia FFxxx () 2 ln 2, :0, , () = -

b) Sa se arate ca orice primitiva G a functiei f este cresca toare pe [ ) . 1,8 c) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse ntre graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatii 1 x= e sixe= .

.



Filiera teoretica , profilul real, specializareaefectiv de Educatde 3iei, Se Evaluare n oficiu. vocationala, National Ministerulmatematica -informatica. specializarea Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul matematica -informaticaore. Cercetarii din nvata lucru este Centrul profilul militar, pentru Curriculum . si acorda 10 puncte si La toate subiectele se cer rezolvari complete.

SUBIECTUL I (30p)

Preuniversitar

EXAMENUL DEMATEMATICA - Proba D Proba scrisa la BACALAUREAT 2009Inovarii24

mntul Varianta 2

Varianta 002 este real. . .

5p 1. Sa se arate ca numa rul () i 1-

xx -+ 5p 2. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 31 13 += x +- 21 x1 , () 1 =+ x fx e 5p 3. Sa se determine inversa functiei bijective f :1, 8 ()

5p 4. Sa se determine probabilitatea ca, alegnd un numar ab din multimea numerelor naturale de doua cifre, sa avem ab . 5p 5. Sa se calculeze lungimea medianei din A a triunghiului ABC , unde ABC1), (2, 0), (0,6) ( 2, . 5p 6. Fie vectorii u mi j 3 =+ perpendiculari. si v mij=- ()2

. Sa se determine m > 0 astfel nct vectorii u si v sa fie

2 1.

SUBIECTUL II (30p) Varianta 002 Se considera matricea A M 2 () Sa se arate ca exista a Sa se calculeze ()AA -

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar, A=22 11

. .

5p a) 5p b) 5p c) 2.

astfel nct A2 aA =t 2009

. M .2 () .

5 Sa se rezolve ecuatia XAX , =

Pentru ab din multimea M =8 ) se defineste operatia ab e e - 1) *= + ln( ab , [0, , atunci a bM * . 5p a) Sa se arate ca daca a ,bM 5p b) Sa se arate ca legea de compozitie * este asociativa . 5p c) Pentru n , n = 2 , sa se determine a M astfel nct a ** *=... 2 aaade ori na

.

2 1. 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 002 Se considera sirul ()n n a*

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitardat de a1*

() si aa+1 =an 0,1 nn n.

() 1,

*

.

a) Sa se arate ca an () , 0,1 n b) Sa se demonstreze ca sirul () an n

este strict descrescator. , este ma rginit superior de a11 x == g

5p c) Sa se arate ca sirul , MT1, programa M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, dat de nn =+ ++ 2. Se considera functiaffx = xx

5p 5p

Sa se arate ca functia FFx x= Sa se calculeze aria suprafetei delimit ate de dreptele . ( )(2 1)() Sa se calculeze lim ( )n n

f ,

n

*


Filiera teoretica , profilul National MinisterulCurriculum iei, vocationala, profilul militar, specializarea matematica - informatica. acorda 10 puncte Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucruEducat . Se si Evaluaredin n nvata este de 3 ore. Centrul real, specializarea matematica - informatica pentru Cercetarii oficiu. si La toatePreuniversitar subiectele se cer rezolvari complete. Inovarii

EXAMENULla MATEMATICA - Proba D Proba scrisa DE BACALAUREAT 2009. , fx() x=-+81 x 4 2

3

mntul Varianta 3

SUBIECTUL I (30p) Varianta 003 3 5p 1. Sa se ordoneze crescator numerele 2, 4, 45

5p 2. Sa se determine valoarea minima a functiei f : RR

.

5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia lg( 1)-+ - =5) 2 . xx lg(6 5p 4. Sa se determine probabilitatea ca, alegnd un numar din multimea numerelor naturale de doua cifre, acesta sa fie patrat perfect. 5p 5. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul (6,4) si este perpendiculara pe dreapta A :2 3 1 y -+= dx 0 . 5p 6. Stiind ca sin a = 1 , sa se calculeze cos2 a . 3

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru SUBIECTUL II (30p) Preuniversitar Varianta 003011

1. Se considera matricea A = 101110

M 2

3

() .

5p a) 5p b) 5p c) 2.

Sa se verifice egalitatea A2A-= I Sa se calculeze A- 1 . Sa se arate ca A2009 2008 2008 AAI+= + 2

3

. .

()

3

si Se considera cunoscut ca () ,,* este un inel comutativ, unde 3x *=+yxy xy xy=- - + 3312 xy , xy , . Sa se arate ca elementul neutru al legii de compozitie este 4. 5p a) 5p b) Sa se determine ab , astfel nct ntre inelele () ,,* si () ,,+ sa existe un izomorfism de forma : f , () ax=+ fx b . 5p c) Sa se rezolve n multimea ecuatiaxx x ... 2 3=+ 2009x

.

de 2009ori

3 1. 5p 5p 5p


Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar

2 () 18 Se considera functia ffxxx ,() =ln. :0, 8 a) Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f. b) Sa se determine a pentru care fx () x(=) 8,0,. a c) Sa se determine numarul de radacini reale ale ecuatiei fx() = m

, unde meste un parametru real. .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 2. 1 Se considera functiile ffxxa 3 -+ aa :,() =

, unde a

5p 5p 5p

a) Sa se arate ca , pentru orice a b) Sa se calculezea8 3 0

, functia fa are primitive strict cresca toare pe .

() fxdx 23 0

. .

c) Sa se calculeze lim

() fxdx a




EXAMENULla MATEMATICA - Proba D Proba scrisa DE BACALAUREAT 20092

4

mntul Varianta 4

SUBIECTUL I (30p) Varianta 004 11 11+i i este real.51

5p 1. Sa se arate ca numa rul

5p 2. Sa se arate ca vrful parabolei y xx 2 =++

este situat n cadranul III.

xx 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 9103+= - 1 . - 10 5p 4. Sa se determine probabilitatea ca, alegnd un numar din multimea numerelor naturale de trei cifre, acesta sa aiba exact doua cifre egale. 5p 5. Sa se determine a pentru care vectorii u ai a j (1) si v aij -(5 1) 2 sunt =++ =- + perpendiculari. 5p 6. Sa se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascutitunghic ABC stiind ca AB = 6 , AC = 10 si ca aria triunghiului ABC este egala cu 15 3 .

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar4 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 004 Se considera matricea A =- 12 2 22 1 -

.

5p a) Sa se calculeze rangul matricei A. t 5p b) Sa se demonstreze ca det( AA= )0 5p c) 2. Sa se determine o matrice nenulaB

.M3,2

() astfel nct

ABO =

2

. . Se considera functia

Se stie ca (,) este grup, unde G =8 ) si xy x y=-(3)(3)3 G (3, -+ , fx() 3 =+ . f G )8 :(0, x 5p a) Sa se calculeze 456 . 5p b) Sa se demonstreze ca functia feste un izomorfism de grupuri, de la 5p c)

() ), (0, 8

la () G,

.

Sa se demonstreze ca daca Heste un subgrup al lui Gcare contine toate numerele naturale k = 4 , atunci Hcontine toate numerele rationale q > 3 .

4 1. 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 004 Se considera functia ffx :\1,0 ,{}= () - () .

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar21 + x2 xx 2

+1

a) Sa se determine asimptotele graficului functiei f. b) Sa se demonstreze ca functia fnu are puncte de extrem local.

5p c) Sa se calculeze lim 1 2 f ... ++++ BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - ff 3 fn D, MT1, programa M1 Proban8

() () ( ) ()(),,*

n2

, unde n

*

.

2. 5p 5p 5p

Se considera sirul ()nndxn II nn a) Sa se calculeze I1 . b) Sa se arate ca In = 1, n

=

2* 1

x

n

x +1

.

*

.

c) Sa se calculeze lim In .n8





mntul Varianta 5

SUBIECTUL I (30p) Varianta 005 5p 1. Sa se calculeze 11 + . 12 12 +- ii 2 5p 2. Sa se rezolve n inecuatia xx -+= 12 0 10 . 5p 3. Sa se determine inversa functiei bijective f :1, 0, 8 ()() 8 5p 4. Sa se determine numa rul functiilor f : { 1,2,3,4} 1,2,3,4 5p 5.

, fx()x3log =

2

. .

ff(1) = 4 ) . ( Sa se determine coordonatele vrfului { } paralelogramului ABCD stiind ca ABC (7,4), (8,3) D al (2,9), 3

cu proprietatea ca

5p 6. Triunghiul ABC are B = p si lungimea razei cercului circumscris egala cu 1. Sa se calculeze laturii AC .

lungimea

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar5 SUBIECTUL II (30p) Varianta 0051111

1.Se considera punctele ABC 6), (1, 4), ( 1, 8)(0,

si matricea M a=- 01 164 8 b

, unde ab ,

.

5p a) Sa se arate ca punctele A,B C sunt coliniare. , 5p b) Sa se determine rangul matricei Mn cazul ab== 0 . 3, 5p c)Sa se arate ca daca unul dintre minorii de ordin trei ai lui M, care contin ultima coloana, este nul, atunci rang( ) 2. = M 2. Pe multimea definim legea de compozitie . xy*= + + + xy x y 666 5 5p a) Sa se arate ca legea * este asociativa . 5p b) Sa se determine elementele simetrizabile ale multimii n raport cu legea * . 5p c) Sa se rezolve ecuatia xxx x *=- ... 1 . ***de 2009 ori x

5 1. 5p 5p


Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar21 x 1

() 8 Se considera functia ffxxx , () .()- + :0, ln =

a) Sa se calculeze derivata functiei f. b) Sa se determine punctele graficului functiei f n care tangenta la grafic este paralela cu dreapta de ecuatie 92 . yx= BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programax M1 5p c) Sa se arate ca, daca x > 1 , atunci ln .1) + 2( x = x 1 2. 1 () Se considera functia ffxx ,() = :0, 8 si sirul ( ann (1)fn ... ( ). ) af f (2) =+ ++ , n =12

5p 5p 5p

()1(),0, k +1 a) Sa se arate ca fk() +=fk k 8 fxdx () =k

. .

b) Sa se calculeze lim ,n8

n 1

() fxdxn=1

c) Sa se arate ca sirul () n n a

este convergent.




EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Proba scrisa la MATEMATICA - Proba D

6

mntul Varianta 6

SUBIECTUL I (30p) Varianta 006 5p 1. Sa se calculeze suma tuturor numerelor naturale de doua cifre care se divid cu 11. 5p 2. Sa se determine functia f de gradul al doilea stiind ca fff -= = = 1, (1) 3 . ( 1) 1, (0) . 0, sin 5p 3. Sa se rezolve n multimea () p ecuatia sin 3 xx= 5p 4. Cte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elemente ale multimii { }4,6,8 ? 2, 5p 5. Se considera triunghiul ABC cu vrfurile n A(1, 2) , B (2, 2) si C (4,6) . Sa se calculeze cos B . p si 6 = . AB

5p 6. Sa se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC stiind ca 6 = C

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar6 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 006 Se considera permutarea s=12345 312 54 S5 .

5p a) Sa se calculeze s 2009 . 5p b) Sa se dea exemplu de o permutare tS5 astfel nct ts

e si () ts

2

=e.p

* 5p c) Sa se demonstreze ca , pentru orice t S5 , exista p astfel nct t 32 2. Se considera a , x1 , x2 , x3 rada cinile ecuatiei xxxa 22 0 -+-=

=e.

si determinantul

=

x123 xx x312 xx x231 xx

.

Pentru a = 1 , sa se determine xx, si x3 . 5p a) 12 , ecuatia are o singura ra dacina reala . 5p b) Sa se arate ca, pentru orice a 5p c)Sa se arate ca valoarea determinantului nu depinde de a.

SUBIECTUL III (30p) 6 5p 5p 5p

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar Varianta 006xln x

() . 1. Se considera functia ffxe ,() = :0, 8

() > a) Sa se arate ca fx' fx x()( ) =+ x 1ln , 0. b) Sa se determine valoarea minima a functieif. c) Sa se arate ca functia f este convexa pe () 8 . 0,2.Se considera, pentru fiecare ngnn() 1 =-fx - + - +23 21 xxxx x () ... +*


, functiile ffxx( 1, ) =+ ) 1 nn : -8 , ( .

x2n

si gn :( -8 ) 1,

,

n1 0

5p 5p 5p

a) Sa se calculeze

g2xdx ()1* 0

. 1 21 + n nn . n

b) Sa se arate ca 0() , fxdx n == n

c) Sa se calculeze 111 1 1-+-++ lim ... , . 234 2 12 n8





7

mntul Varianta 7

SUBIECTUL I (30p) Varianta 007

5p 1. Sa se calculeze modulul numarului complex 8 i - + i . z= 74 () , fxxx =- + 25p 2. Sa se determine valoarea maxima a functiei f : RR 5p 3. Sa se rezolve n multimea 5p 4. Sa se determine n*

69

.

[0, 2p )ecuatia

1 x =sin 2

.

pentru care multimea { }2,...,n are exact 120 de submultimi cu doua elemente. 1,

5p 5. Se stie ca , n triunghiul ABC , vectorii ABAC si ABAC au acelasi modul. Sa se demonstreze ca + triunghiul ABC este dreptunghic. 5p 6. Sa se calculeze lungimea razei cercului nscris n triunghiul ABC care are lungimile laturilor egale cu 3, 4 si 5.

7

SUBIECTUL II (30p) Varianta 00712 34

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar

1. Se considera matricele AB 0123, 0001 ==00 12

()

si sistemul

xyzt2343 +++= ++= yzt 232 += z t 21

.

5p a) 5p b)

Sa sedetermine rangul matricei A. Sa se determine multimea solutiilor sistemului. = 5p c) Sa se demonstreze ca ecuatia XA B nu are solutii X 2. Se considera multimea GAk k () 22 ==HAkt k t =22kk kk

M

1,3

() .nota m cu

, si pentru fiecare t

{ }) (

1

. Se admite faptul ca () este un grup, unde este nmultirea matricelor. G,

, An Ap An p . np , () ( =++ ) ( 1) 5p a) Sa se arate ca , Ht este un subgrup al grupului (,) . G 5p b) Sa se demonstreze ca, pentru orice t 5p c) Sa se demonstreze ca grupurile (,) si (,) + sunt izomorfe. G

7 1. 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 007 Se considera functia ffxx )8, (=) ln :(0,

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar11 1 si sirul ( xx, nn...* ln , . =+ + + + )nn 1 n 2311 kk+ 1

()

1

+=

x.

5. Fie hexagonul regulat ABCDEF de latura 4 . Sa se calculeze modulul vectorului ACBD + 91 6. Sa se arate ca sin22 2sin 2 ... sin 90 2 1 +++ =

.


()()() , 1. Fie A xyABxy Cxy ,, ,, ABBCC

xy AA

1 1 1 M3

trei puncte din plan si matricea Mxy =

BB

() .

xy CC

() 5p a)Sa se arate ca , daca A,, C se afla pe dreapta de ecuatie yx= 2 , atunci det 0M = . B 5p b) () Sa se arate ca, daca triunghiul ABCeste dreptunghic si are catetele de lungime 1, atunci det 1M =5p c) 2. 5p a) 5p b) Sa se arate ca , daca matricea M este inversabila, atunci suma elementelor matricei Se considera multimea de matrice Aab =ab - 3ba , M - 1 este 1.

.

.

Sa se arate ca, daca XA si YA , atunci XY+ . A Sa se arate ca, daca XA , YA si XYO= 2 , atunci X O 2 sau Y O 2 . = = 5p c) Admitem cunoscut faptul ca Aeste inel n raport cu adunarea si nmultirea matricelor. Sa se determine elementele inversabile ale acestui inel.

9 1. 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 009 () Se considera functia ffxxx =:, sin

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar.

a) Sa se arate ca functia f este cresca toare. b) Admitem ca pentru fiecare n ecuatia fx() = are o solutie unica xn . Sa se arate ca sirul n() n n x*

este nema rginit.n

5p

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 x

c) Sa se calculeze limn8

n

, unde sirul ()n n x 1 11 xx .1 2

=1

a fost definit la b). xn , unde n*

2.Fie functiile fg fx g,() ,()= = ,:0,1 [ ) nn x1

.

5p 5p 5p

a) Sa se calculeze

2 2 fx (() 0

g xdx -

())1 *

b) Sa se arate ca 0(), 2 gxdx n == nn0

. .

c) Sa se arate ca lim ... ln 2 ++++ = 23n8

11 1 1

12 32 2 22

n

n




10

mntul Varianta 10

SUBIECTUL I (30p) Varianta 0102 si ca zz ++= 10

5p 1. Stiind ca z

, sa se calculeze z4z+

. , oricare ar fi x .10

5p 2. Sa se determine functia

() () f de gradul nti, pentru care ffx fx()2 1=+

.

1xx+- 1 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia lg ()lg 9 =- lg

5p 4. Sa se determine numa rul termenilor rationali din dezvoltarea 33 3 + 5p 5. 5p 6. Sa se arate ca unghiul vectorilor u i=j54 si 23=+ vij este obtuz.

()

. .

Sa se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC , stiind ca ABC (0,2), (2, 1) ( 1,0),

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar10 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 010 Se considera permuta rile e,S a Sa se calculeze a .3 3

, e = 123123

, a=

123 312

.

5p a) 5p b) 5p c) 2. 5p a) 5p b) 5p c)

2009 Sa se rezolve ecuatia a= xe , xS 3 . Sa se demonstreze ca , oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permuta rilor din S3 este permutare impara . [] =+{ } Fie inelul iabiab , .

Sa se dea exemplu de un numar complex z astfel nct zi Sa se determine elementele inversabile ale inelului

[] si

2 zi

[ ]. [] n raport i

[] . i, este parte stabila a lui

{()() Sa se arate ca multimea Hmnmnimn =++-}cu nmultirea.

10 1. 5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 010 Se considera functia f :

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar, fx() x =-+arctg ln 1 x x

()

2

.

a) Sa se arate ca functia f este convexa pe . b) Sa se arate ca functia f ' este marginita. c) Sa se demonstreze ca fx()x0,= . 2.Se considera sirul ()nndxn ,, IIn =1 2 n

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1,nprograma M1 1

=0

x

*

1+ x

.

5p 5p 5p

a) Sa se calculeze I1 . 1, n +1 c) Sa se calculeze lim In . b) Sa se arate ca In = nn8 *

.





11

mntul Varianta 11

SUBIECTUL I (30p) Varianta 011 Sa se determine ab stiind ca numerele 2, ,ab sunt n progresie geometrica si 2, 17, a sunt n , progresie aritmetica . () 5p 2. Sa se rezolve ecuatia ffx () 0 = , stiind ca ffxx =-+ . :,()32 5p 1. 5p 3. Sa se rezolve n multimea [ 2p ) ecuatia tg( -=- 2 tg . 0, )1 xx 5p 4. Sa se determine numa rul functiilor f :0,1,2 0,1,2 { } care verifica relatia f (2) 2 . = . Sa se arate ca p p B = si AB = 6. 4 6

{ 5p 5. Se considera triunghiul ABC si punctele }DE astfel nct ADDBAEE , == 2 2, C dreptele DE si BC sunt paralele.

5p 6. Sa se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , daca A = ,

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar11 SUBIECTUL II (30p) 1. Pentru abcd ,,, Varianta 011 , se considera matricea A c dab =a bcd b ad c d cba

si matricea transpusa . At

== 1 si bd== 0 , sa se calculeze det ( A . ) 5p a) Pentru a c 2222 5p b) Sa se arate ca A =at , unde a= +a+ + . AI bcd 4 5p c) Sa se demonstreze ca daca A O 4 , atunci Aeste inversabila. 32 2. Se considera abc si polinomul f XaXbXc ,, =+ ++ , cu radacinile xx,,x 123

, astfel

nct 5p a) 5p b) 5p c)

xx x 1, 1, 1 . 123 === c < 0 , polinomul are cel putin o ra dacina reala n intervalul () 8 . 0,

Sa se demonstreze ca a = 3. Sa se arate ca, daca Sa se arate ca , daca ac==- 1, 1, atunci b =- 1.

11 1. 5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 011 Se considera functia


1 ||x ffxe . {} + :2, = () x 2 a) Sa se studieze derivabilitatea functiei f n punctul x0 = 0 . b) Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f . c) Sa se determine numarul de radacini reale ale ecuatiei fx() = m , unde m este un parametru real.x31


2. Se considera functiile ffxxx =-+ :,sin 6

()

( si g :0,1

]

, g () = xdt

Se admite cunoscut faptul ca fx() = 0, 0. x = 5p 5p 5p a) Sa se calculeze1

x

sin t t

.

0

fxdx ()

.

b) Sa se arate ca functiageste strict descrescatoare. c) Sa se arate ca lim 0,9() > . gxx 0 x>0





12

mntul Varianta 12

SUBIECTUL I (30p) Varianta 012 . .

5p 1. Sa se calculeze 11 + 11 +-ii

xx ++ 5p 2. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 127 += x ++ x 236 5p 3. Sa se rezolve n multimea

[0, 2p ) ecuatia

cos 2 x = .

1 23

5p 4. Sa se determine a > 0 stiind ca termenul din mijloc al dezvoltarii 5p 5. 5p 6. Sa se determine ecuatia simetricei dreptei dx:2 3 1 0 y -+= Stiind ca ctg 3 = , sa se calculeze ctg 2 x . x

a+

14

12

a

este egal cu 1848.

fata de punctul A (3,4) . -

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar12 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 012 Se considera polinoamele fg, Xg aX bX2c =++

[]

, fX=++ 2 XM

1 , cu rada cinile complexe xx, 12

si .

, cu a

0 . Fie matricele AV ,

3

() ,

c ba A acb = b ac

11 1 si V xx 1 12 = 122 x12 x

5p a) Sa se arate ca det (V 3(=) xx ) 5p b) Sa se arate ca

21

. .0 sau a b c ==

ggx gx) ( ) 12 (1) ( A = xgxxgx ( ) ( )2 2 Vg (1) 1122 g (1)()xgx 22 xgx 11 ()

5p c) Sa se arate ca det ( A0 = daca si numai daca abc ) ++= 2. Se considera functia f : 55 , f xx 4 =+ 4 . () x 5p a) 5p b) 5p c) Sa se calculeze f (0) si f (1) . Sa se arate ca functia fnu este surjectiva .

.

Sa se descompuna polinomul X 4 5+ XX 4[]

n factori ireductibili peste

5

.

12


Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitarln 1x +

() 1. Se considera functia ffxx , () = :0, 8 ()5p 5p 5p a) Sa se arate ca sirul ()n n x b) Sa se calculeze lim ( f) x

. est e divergent.

unde xf f=+ +() ... ++ n ff 1 =1 .

1111 11 2233 nn

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 x8

c) Sa se arate ca functia f este descresca toare. 2.Se considera functia

() ffxetdt() = :1, ,8

1 1 tx 0

.

5p 5p 5p

a) Sa se calculeze f (2) . b) Sa se demonstreze relatia fx x, 1 > 1() = x . 1 e .

()x c) Sa se demonstreze relatia fx() += - > xfx 1,1



Filiera teoretica , profilul National MinisterulCurriculum iei, vocationala, profilul militar, specializarea matematica - informatica. acorda 10 puncte Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucruEducat . Se si Evaluaredin n nvata este de 3 ore. Centrul real, specializarea matematica - informatica pentru Cercetarii oficiu. si

13

La toatePreuniversitar subiectele se cer rezolvari complete. Inovarii


mntul Varianta 13

SUBIECTUL I (30p) Varianta 013 5p 1. Sa se arate ca numa rul (1 ++-(1 322 3 ii ) ) 5p 2. Sa se rezolve n 5p 3. 5p 4. 5p 5. 5p 6.

este numa r ntreg.xy+= xy 3 4

sistemul de ecuatii =

.

Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia xx 621 =--

()

.x2x+ 19

Sa se determine termenul care nu contine pe x din dezvoltarea

. .

Sa se calculeze distanta de la punctul A(3, 0) la dreapta dx:3 4 1 0 y -+= Triunghiul ABC are AB BC 5 == 4,

() () si CA = 6 . Sa se arate ca m BmC = 2.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar13 SUBIECTUL II (30p) Varianta 013 1. Se considera sistemul de ecuatiixyz -+= ++= xyz ++= m mxyz 1 3 3

, unde m

. Pentru fiecare m

, nota m cu Sm

multimea solutiilor reale ale sistemului. 5p a) Sa se determine m pentru care sistemul are solutie unica. 5p b) Sa se arate ca pentru orice m sistemul este compatibil. 5p c) 2. Sa se determine min ( ,x222 xyzS ,yz )++ Se considera matriceleGX X= = 01 A= - 10 01 , B= - 11

{}

1

. , I2 =10 01

, CAB =

si multimea

{ }M

2

() () det 12

..

5p a) 5p b)

Sa se verifice ca A46 == BI

Sa se arate ca () , este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile de ordin doi, G cu elemente numere complexe .2

n 5p c) Sa se demonstreze ca CI

, pentru orice n

*

.

13 1. 5p 5p


Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar, fx() x =+-32 x x334,

.

a) Sa se determine asimptota oblica a graficului functiei fspre 8 . 22 () b) Sa se arate ca fxfx x x x () =+ -'2, 2,1 .

5p c) Sa se determine derivatele laterale programa M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, ale functiei 2.Pentru n 5p 5p 5p*

{}

f n punctul x0 =- 2.x nt 0

() 8 se considera functia FFxtedtx0= > :0, , () , nn

.

x a) Sa se calculeze Fx () ,0 > . 1

b) Sa se determine punctele de inflexiune ale graficului functiei Fn . c) Sa se calculeze lim (F2 x . )x8





14

mntul Varianta 14


5p 1. Sa se calculeze lg lg++++ lg 123 99 ... lg . 2 3 4 100 * pentru care () -< 2 5p 2. Sa se determine a axaxa 30

, oricare ar fi x

.

5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 33894xx . -= 5p 4. Sa se determine numa rul elementelor unei multimi stiind ca aceasta are exact 45 de submultimi cu doua elemente. 5p 5. Sa se determine ecuatia dreptei AB stiind ca A(2,3) si B(5,4) . 5p 6. Triunghiul ABC ascutitunghic are AC = 23 si lungimea razei cercului circumscris egala cu 2. Sa se determine masura unghiului B.

14

SUBIECTUL II (30p) Varianta 014a bc

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar, unde abc ,,*

1. Se considera matricea A abc 222 =333 a bc

.

5p a) Sa se calculeze rangul matricei A. 5p b) Sa se arate ca exista d astfel nct A2dA = . 5p c) Sa se arate ca exista matricele KM 3,1 () si LM 2. 5p a) 5p b) 5p c) Se considera numa rul 3 ai=si polinomul fX Sa se arate ca ()fa = 0. Sa se determine rada cinile polinomului f. Sa se arate ca polinomul feste ireductibil n

1,3

() astfel nct AKL =

. .

[]

, fX=- +42 416 X

[] X

.

14

SUBIECTUL III (30p) Varianta 014 1. Pentru nn =*

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar,3

se considera functia ffxx, sin : = nn

()

n

si se noteaza cu xn abscisa

punctului de inflexiune din intervalul 5p 5p 5p

p 0, 2 , al graficului functiei fn .

nn () (=a) Sa se arate ca fx'' nn xn)x-n n= 1sin sin*22, 3 , n

si x

.


b) Sa se arate ca sin ,xn == 3 n c) Sa se calculeze lim ( fn n )xn8

n-1 n

.

.

5p 5p 5p

32 xxa xax -+35 ++ , fx() () Fx == ,. 22 2 (1) 1 + + xx +1 x a) Sa se arate ca functia F este o primitiva a functiei f . b) Pentru a = 2 , sa se determine aria suprafetei plane cuprinsa ntre graficul functiei f, axa Ox si dreptele x = 1 si x = 2 .

2.Se considera a

si functiile fF ,:

c) Sa se determine a astfel nct

20 02

Fxdx Fxdx () () 2-=

-

.





15

mntul Varianta 15


5p 1. Sa se calculeze log333 7 -+ +- 7 log 2 5 log 5 5p

2.Sa se determine functia de gradul al doil ea al ca rei grafic este tangent la axa Oxn punctul (1, 0 )si trece prin punctul (0, 2) . 5p 3. Sa se rezolve n multimea [ 2p )ecuatia sin cos 0 . 0, xx+= 5p 4. Cte numere naturale de patru cifre se pot forma cu elemente ale multimii { } 5 , 7 , 9? 1, 3, 5p 5. Sa se determine ecuatia dreptei care contine punctul A (2,2) punctele C (2,1) , D(1,3) . 3p ,2

() ()

.

si este paralela cu dreapta determinata de

5p 6. Fie ap

astfel nct 5 a =cos 13

. Sa se calculeze sina .

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar15 SUBIECTUL II (30p) Varianta 015a bc

1. Fie abc ,, 5p a) 5p b)

si matricea A cab =b ca

.

Sa se calculeze det () . A Sa se arate ca dacaabc ++ 0 si A nu este inversabila n M ++= axbycz x 1 2 1 2 1 23

() , atunci

abc ==

.

5p c)

Sa se arate ca sistemul de ecuatii liniare

++= cxaybz y ++= bxcyaz z

admite numai solutia xyz ===

0.

2. 5p a) 5p b) 5p c) 15 1. 5p 5p 5p 2. 5p 5p 5p

Se considera polinomul fX Sa se calculeze 1111 +++x1234 xxx

[]

, fX=- +42 55 X .

, cu rada ci nile xx,,, x x 1234

.

Sa se arate ca polinomul fare toate rada cinile reale. Ministerul Educat iei, Cercetarii si Sa se arate ca daca geste un polinom cu coeficienti reali care are proprietatea ca pentru orice xreal Centrul Nat, atunciInovarii - [1,1] astfel ncts giaf Evaluare n nvata mntul ional exista a Curriculum pentru g () () = xfx = .

SUBIECTUL III (30p) Varianta 015n Pentru fiecare nn ,3 , se considera functia fnn :[0,nx , ( )-1 . = fx x ) = + 8 a) Sa se arate ca f este strict descresca toare pe [ ] si strict cresca toare pe [ ) . 0;1 1;8 n b) Sa se arate ca ecuatia fx x =>0, 0 () are exact doua radacini an (0,1) si bn 8 (1, ) . n

Preuniversitar

c)Sa se calculeze lim an , unde an s-a definit la punctul b).n8


Se considera sirul ()n n I a) Sa se arate ca I 0 = p . 4

1

, unde I0dx + = 20

1 x 1

1

si Idxn = n0

xn x2 +1

,

*

.

1 ,,2 b) Sa se arat e caIInn=- = 222 nn 21 n 111 1 c) Sa se arate ca lim 1 ... 1 .++- = -+357 2 1 n8

-

.

()

n- 1

n-

I0





16

mntul Varianta 16


5p 1. Sa se calculeze modulul numarului complex 2z i + - i . = 2 2 5p 2. Sa se determine a pentru care xax++= 20, oricare ar fi numarul real x . p 1 5p 3. Sa se rezolve n intervalul [ 1, 1 ecuatia arcsin arcsin . -] += x23

5p 4. Sa se rezolve ecuatia C 810 C= nn p2

, nn =3

,10

. .

()()() 5p 5. Sa se afle masura celui mai mare unghi al triunghiului ABC stiind ca ABC, , 2,3 , 2, 3 2 25p 6. Fie ap,

astfel nct sin 5 = a

. Sa se calculeze sin 2a .

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar16 SUBIECTUL II (30p) Varianta 016 1. Se considera multimea GX ab a ,,0 == > ab 01 .

5p a) Sa se arate ca daca A ,B G , atunci AB G . 5p b) Sa se gaseasca doua matrice C ,D G pentru care CDDC 5p c) Sa se arate ca daca AG , atunci I2AA G 2 -+ 32 2. Se considera abc si polinomul f XaXbXc ,, =+ ++ 5p a) 5p b) 5p c) . .

.

Sa se determine a ,, c astfel nct polinomul fsa aiba radacinile xx == b 12

1 si x3 =- 2 .

Sa se arate ca daca fare rada cina 2 , atunci fare o ra da cina rationala . Sa se arate ca daca abc , iar numerele f (0) si f (1) sunt impare, atunci polinomul fnu are ,, rada cini ntregi.

16 1. 5p 5p 5p 2. 5p 5p 5p


Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar, fx () {} x == 1 2 xx sin , \ 02

.x

0, 0

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 x8

a) Sa se arate ca functia feste derivabila pe . b) Sa se calculeze lim '(fx ). Pentru fiecare n a) Sa se calculeze b)Sa se arate ca1 0 * 1 0

c) Sa se demonstreze ca functia feste marginita pe . se considera functiafxdx 2 () fnn :[0,1] ,=-) (1 ) fx x (n

.

.1

xfnx() (1)(2) ++ dx nn =1 0

, oricare ar fi n

*

.

c) Sa se calculeze limn8

fndx

x n

.





17

mntul Varianta 17

SUBIECTUL I (30p) Varianta 017 Sa se arate ca numarul 13 i +

5p 1.

()

3

este ntreg.ffxxx 2 -+ :,() =2

5p 2. Sa se determine imaginea functiei 5p 3.

. .

Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 215 x -+=

5p 4. Sa se determine probabilitatea ca, alegnd un numa r ab din multimea numerelor naturale de doua cifre, sa avem ab+= 4 . 5p 5. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A(1,1) si este perpendiculara pe dreapta . dx:5 4 1 0 y -+= p p 5p 6. Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC stiind ca AB = 6 , B = si 6 = . 4 C

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar17 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 017 Se considera matricele A = 13 Sa se calculeze AB 22

01 234

si B = 38

13

.

5p a) 5p b) 5p c) 2.

. .2

Sa se calculeze det( )2AA A+A+ I ++ Sa se arate ca ecuatia XI =2

are o infinitate de solutii n M 2 () .

Se considera polinoamele fg, X

[]

, fX=++++ X X432 X

1 , cu rada cinile xx,,,4x x 123

si gX=- 2 1 . 5p a ) Sa se determine restul mpa rtirii polinomului f la polinomul g. . 11 )()() --x-1 xxx 5p b) Sa se calculeze ()( 1 1234 ()1234 gx 5p c) Sa se calculeze g xgx() ()() . gx

17 1. 5p 5p 5p 2. 5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 017 Se considera sirul ()n n x*

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar, unde x1*

() si 0,1

xn = n+1

xx5 * + 3 , nn 4

.

a) Sa se arate ca xn () , . 0,1 n b) Sa se arate ca sirul () xnn

*

este convergent. .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 x 9

c) Sa se arate ca li m 16n8 n

n+ 2

x

=

Se considera o functie : f a) Sa se calculezep 0

, cu proprietatea ca () sin,x= xf x x .

x2fxdx . ()

p b) Sa se arate ca functia f este integrabila pe intervalul 0, 2 .p

c) Sa se arate ca

2 1

() fxdx

= cos1 .





18

mntul Varianta 18

SUBIECTUL I (30p) Varianta 018 2 5p 1. Sa se rezolve n multimea numerelor complexe ecuatia xx -+= 240 5p 2. Sa se afle valoarea minima a functieif :

. . p

, fx() 3 =-+2 x x21 2

5p 3. Sa se rezolve n intervalul [ 1, 1 ecuatia arcsin arccos 2 -] x +=

.

5p 4. Care este probabilitatea ca, alegnd un numar k din multimea { } 2,...,7 , numarul C k sa fie prim. 0,1, 7 5p 5. Sa se determine a 5p 6. Sa se calculeze ABACBC +

()

pentru care vectorii u ai j =+ , stiind ca A(3,4) -

3 si v ia 44 =++ j

()

sunt coliniari.

, B(4, - si C (1, 2 ). 3)


1. Se considera matricea A = 100 ()110

M3

.

5p a)

Sa se calculeze A3 .I3A++ At

5p b) Sa se afle rangul matricei

. , cu ra da cinile xx,, x 123 .

5p c) Sa se determine inversa matricei IA + . 3 32 2. Se considera ab si polinomul f XaX+ + 420 , =+ Xb 5p a) Sa se determine x123x n cazul ab== 0 . x ,, 2, 5p b) Sa se demonstreze ca ()()()8(415)xx -+-+-=a22 xx x x22

. 12 13 23 5p c) Sa se determine ab astfel nct polinomul fsa aiba o ra dacina dubla egala cu - a . ,

18 1. 5p 5p


Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitarx+ si sirul () nn x dat de xxfxn2, ( ),+. 01 == nn

Se considera functia ffxx 8 [0,= + ) 2 21 ) 8 ), ( :[0,

5p ... , BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 2. Se considera functiile ffxx =+ si F :, x ftdt Fx = :,()1cos 5p 5p 5p a) Sa se calculezep 2

a) Sa se determine asimptotele graficului functiei f. b) Sa se arate ca sirul ()xnn , are limita 1 . c) Sa se arate ca sirul ()ynn dat de ynn =++++xxx xn 012

este convergent.

() ()

x 0

.

0

fxdx ()

.

b) Sa se arate ca F este functie para. c) Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei F .





19

mntul Varianta 19

SUBIECTUL I (30p) Varianta 019 5p 1. Sa se ordoneze crescator numerele 3, 3 4 8 . 5, 5p 2.Sa se determine functia f : , gx x3 =- + stiind ca graficul sau si graficul functiei g : () 3 sunt simetrice fata de dreapta x = 1 . 21 1 xx ++ 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 3103270 = . - + 5p 4. Sa se determine probabilitatea ca, alegnd un numar din multimea numerelor naturale de trei cifre, acesta sa aiba toat e cifrele pare. 5p 5. Sa se determine ecuatia medianei duse din vrful A al triunghiului ABC , unde A 2 ) , B (1, (2,3) si (2, 5)- . C 5p 6. Sa se arate ca ctg 2 =ctg1 tg1 2

.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar19 SUBIECTUL II (30p) Varianta 019 1. Se considera sistemul +-+= Sa se calculeze det () . A Sa se rezolve sistemul. Sa se determine A- 1 .432 Fie polinomul fX=+ aX-+221 X + XX

x yzt +++= -++= x yzt x yzt ++-= x yzt

1 0 0 0

si A matricea sistemului.

5p a) 5p b) 5p c) 2.

[].11 xx2

si xx,,, x x 12 34

ra dacinile sale.

5p a) Sa se calculeze 5p b) Sa se arate ca

xx x x 1234

1111 +++

fx ()x =-+-++ x xa2 x

22,

*

.

5p c) Sa se determine a

pentru care toate rada cinile polinomului f sunt numere reale.

19 1. 5p 5p


Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar2+x .

() Se considera functia ffxx - =:2,2 ,()ln2

a) Sa se determine asimptotele graficului functiei f. b) Sa se determine punctele de inflexiune ale graficului functiei f.1x8

a unde a este un numar real. 5p c) Sa se calculeze lim ,xf x BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1

2.

Se considera functia a) Sa se calculeze b) Sa se calculeze1 0

ffx x ,. :,() =

-+ 32+ 258 xxx x2 + 4

5p 5p 5p

() fxdx(()2).dx x fx +-

.

42 1

c)Stiind ca functia feste bijectiva, sa se calculeze

21 4 5

fxdx ()

.





20

mntul Varianta 20

SUBIECTUL I (30p) Varianta 020 5p 1. Sa se arate ca 2 log 4,35 .

()

5p 2. Sa se rezolve n multimea numerelor complexe ecuatia 5p 3. Sa se rezolve n [0, 2p ecuatia sin cos 1 . ) xx+=444 C456++ CC

2 xx -+= 220

.

5p 4. Sa se calculeze . 5p 5. Pe laturile ABsi ACale triunghiului ABC se considera punctele M, respectiv Nastfel nct si MNBC . Sa se determine m R astfel nct CNmAC . AM MB =4 = 5p 6. Sa se calculeze perimetrul triunghiului OAB , stiind ca O(0, 0) , A (1,2) si B (2,3) . -

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar20 SUBIECTUL II (30p) Varianta 020 1. Se considera triunghiul ABC, cu laturile AB c , BC a , CA b si sistemul = = = 5p a) Sa se rezolve sistemul n cazul abc 3, 4, 5. === 5p b) Sa se demonstreze ca , pentru orice triunghi, sistemul are solutie unica . ()000 , sa se demonstreze ca xyz 1,1 x yz ,, ,, 5p c) Stiind ca solutia sistemului este 000 2. ab Se considera multimea Gab = , . 3 baaybxc += += cxazb += bzcya

.

-

()

.

5p a) Sa se determine numarul elementelor multimii G. 5p b) Sa se arate ca AB G , pentru orice A ,B G . 5p c) Sa se determine numa rul matricelor din multimea G care au determinantul nul.

20 1. 5p

SUBIECTUL III (30p) Varianta 020 Se considera functia ffxexx :, 2325. =+-+


()

x

2

a) Sa se demonstreze ca functia feste strict cresca toare pe [ 8 ) . 0, 5p b) Sa se arate ca functia fnu este surjectiva . () 5p c) Sa se calculeze lim fx' . BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 x8 fx() 2. Se considera functia a) Sa se calculeze b) Sa se arate ca

[ () )(1 fft:0, , 8 = ) (1 )13 0

1++23 tt

.

5p 5p 5p

(1)() t ftdt +x

. ,0. .

13 1 x

() () = ftdt tftdt x>1 x 1 x

c) Sa se calculeze limx8

() ftdt





21

mntul Varianta 21

SUBIECTUL I (30p) Varianta 021 . , 2.Sa se determine a intersecteaza axa , pentru care graficul functiei f : Ox n doua puncte distincte. , fx() 1 =+1+a- +- 2 a x 3 () 1 a x ()

2 5p 1. Sa se rezolve n multimea numerelor complexe ecuatia xx -+= 8250

5p

. 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 86 xx - = 11 +5p 4. Sa se calculeze C 443 . CC 877 5p 5. Sa se determine ecuatia perpendicularei duse din punctul (1, 2 ) pe dreapta :10 y +-= A dx5p 6. Stiind ca sin x = 1 3 , sa se calculeze cos2 x .

.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar21 SUBIECTUL II (30p) Varianta 021 1. Pentru abc ,, 5p a)*

, se considera sistemul cxaybza++= bxcyazc

axbyczb ++= ++=

, xyz ,,

.

Sa se arate ca determinantul sistemului este

222 =++ ()( b c a b c ab ac bc ++a ).

5p b) Sa se rezolve sistemul n cazul n care este compatibil determinat. 5p c) Stiind ca a222 c ab ac bc b++---= astfel nct 2.22 xyz+=-

0 , sa se arate ca sistemul are o infinitate de solutii () ,, z xy ab 0 c

,

1. ,,4

Se considera multimea G abc =

.

5p a) Sa se determine numarul elementelor multimii G. 5p b) Sa se dea un exemplu de matriceAG

cu proprietatea ca det 0 A 10 = 00

si det 0 2 = . A

5p c) Sa se determine numarul solutiilor ecuatiei X 2

, XG

.

21 1. 5p


Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar, fx(x) x =-x- 3)( 5)( 7) ( 1)( - xx

.

() a) Sa se calculeze lim fx . 4x8 1

5p b) Sa se calculeze lim fx() x . BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1x8

5p

c) Sa se arate ca ecuatia fx' () = 2.Se considera functiileffx :,() ,. nn n =

0 are exact trei rada cini reale.122 nx + *

5p 5p 5p

a) Sa se calculeze aria suprafetei cuprinse ntre graficul functiei f1 , axele de coordonate si dreapta x = 1. b) Sa se calculeze12 0

x ()1dx fx ()

. p 4

c) Sa se arate ca lim (1)f (2) n ++++ = . nf()nn fn n ... ( ) f (3)n8





22

mntul Varianta 22

SUBIECTUL I (30p) Varianta 022 5p 1. Sa se calculeze 1 ++ ii 210 ...i + + .,: , () 3 =-+=2, 5p 2. Se considera functiile f gfxxxgxx () 2 1 ()()0 fgx = .2

. Sa se rezolve ecuatia2

9) lg 7 3 +lg( ++ 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia lg( xx x +=+ 1() 9)2 5p 4. Sa se rezolve inecuatia Cn sin , 0

.

Sa se arate ca functia f admite primitive pe . Sa se determine primitiva F a functiei f care are proprietatea F () =01x

.

Sa se calculeze limx 0 x> 0

0

ftd ) ( t2 x

.





54

mntul Varianta 54

SUBIECTUL I (30p) Varianta 054 5p 1. Sa se calculeze partea ntreaga a numarului (3 7) +

2 . xx -+ 5p 2. Sa se rezolve n multimea numerelor reale inecuatia 2132. = 112x x 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 3 22 xx -+=

.

3 249 . Sa se determine termenul care i contine pe xsi yla 5p 4. Se considera dezvoltarea () x y + aceeasi putere. 5p 5. Fie r i j=+ , rBi j=+ 3 si rCi j=+ vectorii de pozitie ai vrfurilor triunghiului ABC . Sa se 2 32 A determine vectorul de pozitie al centrului de greutate a triunghiului ABC .

5p 6. Sa se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , stiind ca BC = 3 si cos 2 = A

1

.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar54 1. 5p a) 5p b) SUBIECTUL II (30p) Varianta 054 Se considera matricele A = Sa se verifice ca AB BA Sa se arate ca A46 += BI2 01 10

si B =

01 - 11

.

.2

.2 +-1

5p c) Sa se arate ca , pentru orice nn 2 PQ X 1, ,2.X Q X FX F n ,[],nnnn X = P =--=--

* , ()AB n I 2. Se considera sirul ()nnnn ,0,1,1,1 =+ = F FFFFFn == 01 1 n

. si polinoamele

3 5p a) Sa se arate ca polinomul XX 21 este divizibil cu P . 5p b) Sa se determine rada cinile reale ale polinomului Q3 . 5p c) Sa se arat e ca, pentru orice n = 2 , polinomul Qn este divizibil cu P .

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar54 1. SUBIECTUL III (30p) Varianta 054

. Se considera functia f : , fx() x=- x e 5p a) Sa se determine punctul n care tangenta la graficul functiei feste paralela cu prima bisectoare. 5p b) Sa se arate ca valoarea minima a functiei f este 1.5p c) Sa se arate ca functia ggxfx=:, 1 2. 5p 5p 5p Se considera functiile

() ()x 2


nu este derivabila n x0 = 0 .t2

() ffxdt , 8 )= :1, (

t2 - 1

() dt si g gx e 8 )= + :1, , ( 3 1

x2 - 1 ln 3 0

t

.

a)Sa se calculeze f () . 3 b) Sa se arate ca gx () () 8 ',1, = x 22 x2 x -1

. .

c) Sa se arate ca gx() x() ( )1, f = 2, x 8





55

mntul Varianta 55

SUBIECTUL I (30p) Varianta 055 5p 1. Sa se calculeze [8]{2,8} , unde [] reprezinta partea ntreaga a lui xsi {x} reprezinta partea x fractionara a lui x. 5p 2. Sa se rezolve n multimea

sistemul +=

+= 22 xy xy

13 5

.

xx 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 452 160 + 1 - + = . 22 5p 4. Sa se determine x N , x = 2 astfel nct CA += 30 . xx 5p 5. Fie punctele O () 0 , A () si B () 2;1 . Sa se determine cosinusul unghiului format de vectorii 0; 2;1 -

OA si OB .

5p 6.

Sa se calculeze tg 2 x , stiind ca ctg x= 3.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar55 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 055 MatriceaA ba = ab 22 xy++2222 nn abxyn nn +=+ 11

M +

2

() si sirurile ()nn xy() , nn1, atunci sirurile () nn nn xy ,() , =n

verifica

xx+1 nn yy+1 nn

= An

,.

5p a) Sa se arate ca

()(),.

5p b) Sa se arate ca, daca

22 ab +=

sunt ma rginite.0.

5p c) Sa se arate ca , daca a = 1 si b = 3 , atunci xx +6 = 64 nn 2. Se considera corpul () 11 ,,+ . 5p a) Sa se arate ca ecuatia x 2 = 8 nu are solutii n 11 . 5p b) Sa se determine numarul polinoamelor de grad doi din2 5p c) Sa se arate ca polinomul XX ++

11 11

1 este ireducti bil n

[] . X [] . X

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar55 1. 5p SUBIECTUL III (30p) Varianta 055 Se considera functia f : a) Sa se calculeze lim 1fx() .x 1 x 0 .

5p 5. Se considera dreapta dxy4810+= si punctul A () ; 1 . Sa se determine ecuatia dreptei care trece : 2 prin punctul A si este paralela cu dreapta d . 5p 6. Triunghiul ABC are AB = 2 , AC = 4 si mA () = 60 . Sa se calculeze lungimea medianei duse din A.

57 1.

SUBIECTUL II (30p) Varianta 057 Fie matriceleAM = 34 ()si(), M 22,1 23

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitarxn yn

cu

xx+ 1 nn = An yy +1 nn

,

si xy == 0 00 1,

.

,, 5p a) Sa se determine x x y 121

si y2 . .7

n 5p b) Sa se arate ca xy n =+ 2(322), . nn + 5p c) Sa se arate ca xxx21 60,0 nnn n-+= = ++ 2. Se considera multimile de clase de resturi

2 5p a) Sa se rezolve n corpul (,,)7 + ecuatia 340.+= x

= {0,1,2,3,4,5,6}

si

6

= {0,1,2,3,4,5} .

5p b) Sa se determine ordinul elementului 3 n grupul

() , .* 7 *

5p c) Sa se arate ca nu exista niciun morfism de grupuri f :( , ) ( + ) , 67

cu f 23 = .

()

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar57 1. 5p SUBIECTUL III (30p) Varianta 057 Fie functia f : , fx x1 =+ 2 ()=1

.

1 si xfxn = = (), 1 are limita . nn 1 + 2 xf x x = : , (), 0arctgM1 () este derivabila pe . 5p b) Sa se arate ca functia g BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, gx xx= > , 0 programa a) Sa se arate ca sirul ()xn n definit prin x = 1 5p 2. 5p 5p 5p c) Sa se determine cel mai mare numa r real a care are proprietatea ()fx a x,x(0, )8 2ln =+ Fie functia : f a) Sa se calculeze1 0

.

, fx () = exfxdx ()

- x2

si F o primitiva a sa.

.

() FxF (1) cos b)Sa se calculeze lim . x 0 x2 c) Sa se arate ca functia g gx ()=+f () : , Fx x ()

are exact un punct de extrem local.





58

mntul Varianta 58

SUBIECTUL I (30p) Varianta 058 + i 5p 1. Sa se calculeze partea reala a numarului complex 14 . 47 i + 5p 2. Sa se determine axa de simetrie a graficului functiei f : RR

, fx() x=-+ 2 x 361

.

xx 11 +5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 3310+= . 5p 4. Sa se determine probabilitatea ca, alegnd un element al multimii A = { }3,5, ..., 2009, acesta sa fie 1, multiplu de 3. 5p 5. Se considera dreapta :2 1 0 +-= dxy si punctul A () 3,2 . Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A si este perpendiculara pe dreapta d . 5p 6. Fie triunghiul ABC care are AB AC == 5 si BC = 6 . Sa se calculeze distanta de la centrul de greutate al triunghiului ABC la dreapta BC .

58

SUBIECTUL II (30p) Varianta 058 1.Fie abcd ,,, 0,>

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitarmatricea A = d cabnn

ab

()() si functia ffxcx 8 , 8 = + :0, 0, () d*

ax b +

.

n Se noteaza Ancn = d

, unde n

.

5p a) Sa se arate ca daca det 0 = , atunci f este functie constanta . A 5p b) Sa se arate ca, daca det 0, atunci functia f este injectiva. A 5p c) Sa se arate ca 2.

()()fx n fffde nf ori

... ,

=

ax b + nn cx d + nn

*

. |

Se considera matricele AB 10 01 , ==00 00

si multimea GIaAbBab a =++2 {,,1}.

5p a) Sa se arate ca orice matrice din G este inversabila. 5p b) Sa se arate ca Geste un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din M 2 (). 5p c)Sa se arate ca ecuatia XI2 =2

are o infinitate de solutii n G.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar58 1. 5p 5p 5p 2. 5p 5p 5p SUBIECTUL III (30p) Varianta 058 Se considera functiile f : , fx() = + x1 x2

si g :

() , g x x = arctg

.

lim () fxgx a) Sa se calculeze x8 ( ) ( )

.


b) Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f. , pentru orice x 8 () 0, . gx < c) Sa se arate ca fx () () Fie m

[] si functia f :0,2

- xmx ,0,1 , fx xxx , 1, 2 () ln =

[](

].

a)Sa se arate ca , pentru orice ,mx 1 b) Sa se calculeze li m 1 x 1 x >1

functia feste integrabila. .(0, 2) exista a ,[0,2], , bab

t ln tdt x-

c)Pentru m = 1 , sa se demonstreze ca, pentru orice tb a

astfel nct

fxdx( b aft () ) () =-

.





59

mntul Varianta 59

SUBIECTUL I (30p) Varianta 059234 100

111 1 5p 1. Sa se arate ca numa rullg 1 lg 1-+ -++ -lg 1 -+ lg 1 ...

este ntreg.xx-+34= - 1 153

5p

2.Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia

..

x+ 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia log 3logx2=

5p 4. Sa se determine probabilitatea ca, alegnd un element al multimii A = { }4, 6,..., 2010 , acesta sa fie 2, divizibil cu 4 , dar sa nu fie divizibil cu 8. () si Bm , -2 . Sa se determine m R astfel nct AB = 4 . () 5p 5. Se considera punctele A m 2, 5p 6. Sa se calculeze sin2 x stiind ca ctg x = 6.

59

SUBIECTUL II (30p) Varianta 059 1. Se considera sistemul xyz 320 +xy z = mx y z ++= ++= 40

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar0

, cu m

.

5p a) Sa se determine m 5p b) Sa se determine m 5p c) Sa se determine m sunt concurente.

pentru care matricea sistemului are determinantul nenul. astfel nct sistemul sa admita cel putin doua solutii. pentru care dreptele dmx y d ++=d+xy --+= :10,:320,:40+= xy 123mn 01 |, , 1 40 01

2. Se considera multimea Hmnm = = 5p a) Sa se verifice ca daca A =11 01

5

. , atunci BA A B =-1

si B =

.

5p b) Sa se arate ca Heste un grup cu 10 elemente n raport cu nmultirea matricelor. 5p c)Sa se determine numa rul elementelor de ordinul 2 din grupul H.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar59 1. 5p 5p 5p 2. 5p 5p 5p SUBIECTUL III (30p) Varianta 059 Se considera functia f : a) Sa se calculeze lim .x8

, fx() x =+ 3 xf x) ( fx(1)+fx 1 () 3

.


b) Sa se demonstreze ca functia feste inversabila . c) Sa se calculeze limx8

x

. , f xx sin () x =2

Se considera functiilep -p

f :

si F o primitiva a lui f .

a) Sa se calculeze () . fxdx b) Sa se determine c sin x c) Sa se arate ca functia F nu are limita la +8 .1

() 3 astfel nct 1,

3 2 fxdxc () 2

=

.





60

mntul Varianta 60

SUBIECTUL I (30p) Varianta 060 5p 1. Sa se arate ca 2(1 ++ + +3< 3 . 3 3 ... 289 ) 5p 2. Fie xx, 122 solutiile ecuatiei xx +-= 570 33 . Sa se arate ca numa rul x12 + x

este ntreg.

5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia log5log 5 2 x +=

5x

.

2 5p 4. Sa se determine xx ,3 astfel nct C 23x - = 3 . = 5p 5. Se considera punctele A () si B () 2,3 3,2 . Sa se scrie ecuatia mediatoarei segmentului AB .

5p 6. Fie vectorii u si v . Stiind ca uv =

5 , 2u = si 3v = sa se calculeze cos ,

()()v u

.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul National pentru Curriculum si Evaluare n nvatamntul Preuniversitar60 1. 5p a) SUBIECTUL II (30p) Varianta 060 42 = si funct ia f fX AX () () () :,MM . = 22

Se considera matricea 21 = A Sa s e cal culeze (). A f ( )( ) O( X ffX , ). fX fY I+XY () () , , ().

5p b) Sa se arate ca 5p c) Sa se arate ca 2.

22

M22

Se considera multimea

P= = AAAI

{ } , unde | M ()22

Mt

At este transpusa matricei

A.

5p a) Sa se verifice daca matricea 0 1

10

apartine mult imii P.

5p b) Sa se arate ca nmultirea matricelor determina pe multimea P o structura de grup necomutativ. 5p c) Sa se arate ca, daca AB,() X , P M 2si AX B , atunci .X P =

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul PreuniversitarSUBIECTUL III (30p) Varianta 060 1. 5p 5p Se considera functia f : , fx() x =+ + 1 2 . x a) Sa se arate ca multimea valorilor functiei feste () 8 . 0, b) Sa se arate ca , daca g gxln= :, f x

() ()

, atunci1 0

() () gx x fx x - =

() '1,

.

5p c) Sa se demonstreze ca Proba D, , pentru orice x BACALAUREAT 2009-MATEMATICA -g() x < MT1, programa M1 0 > x 2. 5p 5p 5p

| Fie multimea Mf = fxdxfeste derivabil f ==: fa) Sa se arate ca functia f fx x x x :,()23 =-+32

{

, unde geste functia definita la punctul b).

a s i ( ) (0) (1)

} .

apartine multimii M .= 1 (0). 2

b) Sa se arate ca , daca f este o functie polinomiala de grad trei care apartine lui M , atunci ff c) Sa se arate ca , pentru orice fM , ecuatia (fx' 0 )=

are cel putin doua solutii n intervalul (0,1) .





61

mntul Varianta 61

SUBIECTUL I (30p) Varianta 061 5p 1. Sa se determine numa rul real xstiind ca numerele xx+-1, 1 5p 2. Sa se determine punctele de intersectie a parabolei yx=+-2 x 5p 3. Sa se rezolve n multimea [] 2p ecuatia 2sin 1 0 . 0, x +=

si 4 sunt n progresie aritmetica .56

cu axele de coordonate.

5p 4. Fie multimea M = { } 4,5,6 . Sa se determine probabilitatea ca, alegnd una dintre submultimile 1, 2,3, multimii M , aceasta sa aiba 2 elemente. 5p 5. Punctele A , B si G au vectorii de pozitie r i j +47 , rBi j=-2 , rGi j=+ . Sa se determine 44 A = vectorul de pozitie a punctului C astfel nct punctul G sa fie centrul de greutate al triunghiului ABC . p 5p 6. Fie vectorii u si v . Daca u = 1 , v = 2 si ma sura unghiului vectorilor u si v este 3 , sa se calculeze

() + 22 vvu u ()

.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar61 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 061 1 ab Se considera multimea GM M ab ab|010,, == ab 3 ,,++

M . ()

001

5p a) Sa se arate ca MM cd= ab Macbd ,, , abcd 5p b) Sa se arate ca orice matrice din 5p c) Sa se calculeze, n functie de 2.

,,,, .t t ( M ab, este transpusa lui M ab ). ,

G este inversabila . a si b , rangul matricei MM a ,, bab K eabc ,,, ={}

Se considera un grup () , , unde K

, e este elementul neutru si a222=== bce

.

3 5p a) Sa se rezolve n grupul K ecuatia xe = . 5p b) Sa se arate ca ab c . = K 5p c) Sa se arate ca grupul () , nu este izomorf cu grupul () 4 , + .

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar61 1. SUBIECTUL III (30p) Varianta 061 ln x x ,1 , fx() = x . 1 =1, 1 x 5p a) Sa se demonstreze ca functia f este continua. BACALAUREAT 2009-MATEMATICAfx() 1- D, MT1, programa M1 - Proba . 5p b) Sa se calculeze lim 1 x 1 x5p c) Sa se arate ca functia f este strict descrescatoare. 2 2. Se considera functia : f , f x xln(1 sin ) . () =+ a) Sa se arate ca orice primitiva a functiei feste crescatoare pe . 5p

() Fie functia f :0, 8

5p 5p

b) Sa se calculeze

p 0

fx xdx . ()cos

() c)Sa se calculeze derivata functiei g :1,1 -

() , g xftdt=

arcsin x p 4

() .





SUBIECTUL I (30p) 5p 1.

mntul Varianta 62

Varianta 062 Sa se determine x > 0 stiind ca numerele x , 6 si x - 5 sunt n progresie geometrica .f : RR2 , fx() x =+x

5p 2. Se considera functia

2 . Sa se calculeze ff () () () 21 pp22

.

xx+= 5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia cos 2 cos -

.

5p 4. Sa se arate ca () 2 divide () , pentru oricare nnatural. n! 2! n 5p 5. Se considera punctele A () 2 si B () 5 . Sa se determine coordonatele punctelor M si N stiind 3, 6, ca acestea mpart segmentul 5p 6.

[] AB

n trei segmente congruente, iar ordinea punctelor este

A ,,, MNB

.

Sa se determine numerele naturale apentru care numerele a ,1 + si a + 2 sunt lungimile laturilor a unui triunghi obtuzunghic.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar62 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 062 Fie matricea A cd =ab M2

() cu proprietatea ca

2 AA = 2

.

5p a) Sa se arate ca matricea B = 5p b) Sa se arate ca, daca ad+ 5p c) Sa se arate ca , daca ad+= 2.

31 31

2 verifica relatia BB = 2 .

2 , atunci A O =

() 2 , atunci det 0A =

2

sau A I 2. 2 = . .46

Se considera polinoamele fg X =-=- X ,[], f X1g 1,

5p a) Sa se arate ca un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f si g este X 2 - 1. ()() 5p b) Sa se determine numarul solutiilor complexe distincte ale ecuatiei fxgx = 0. 5p c) Sa se descompuna polinomul f n factori ireductibili n

[] X

.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar62 1. 5p 5p SUBIECTUL III (30p) Varianta 062 Pentru fiecare numa r natural nenul n se considera functiafn :(0, ) 8

() , fx x x =+ n n

ln .

0, a) Sa se arate ca functia f2 este strict crescatoare pe intervalul () 8 . * , ecuatia fx b) Sa se arate ca, pentru orice n = are exact o rada cina reala, situata n intervalul n () 0

1 ,1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 5p 2. 5p 5p 5p e 31 c) Sa se calculeze lim () 1 1 x 1 2 fx x Fie functia : f .3

() .

] , fx () (= + 8

-8 ,,0 xx 1sin, 0,xx

()

. .

a) Sa se arate ca functia f este integrabila pe intervalul [2,2pp - ] b) Sa se calculezep -1

fxdx ()

.*

c) Sa se arate ca , pentru orice n

,

2p 0

nn fxdx 2 ()

=

p .





63

mntul Varianta 63

SUBIECTUL I (30p) Varianta 063 n , este cresca tor. 3 Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie a parabolelor y xx 2 =++ , de termen general ann= + 4 pp44

5p 1. Sa se arate ca sirul () an n 5p 2.

1 si yx=- - + x 2

26.

5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia sin sin 3 + xx-= 5p 4. Suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii

.

()y 25 x2

n

este egala cu 32. Sa se determine termenul si dxy 2 8 +-= 0 2:2222 +=+ 0 , atunci ABCD ADBC

de rang patru. 5p 5. Sa se determine m R astfel nct dreptele dmx y ++= 1 :320 5p 6. Fie ABCD un patrulater. Sa se arate ca daca AC BD =

sa fie concurente. .

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar63 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 063 Se considera multimile P SSS = =13 31 P si

{} M02 - 20

2

()| Q.

t

si Q AAA M 2 () | = =-

{}

t

.

5p a) Sa se arate ca

5p b) Sa se arate ca, daca A ,B Q

, atunci AB P

. 1

() 5p c) Sa se arate ca det 0X = , oricare ar fi XQ . 32 2. =++3 [] si fX X X Se considera polinoamele fX=+ X X 2345 X ++ 5p a) Sa se arate ca ra dacinile din ale polinomului fnu sunt toate reale. 5p b) Sa se arate ca polinomul f nu are ra dacini n .2

2

[]

.

5p c) Sa se demonstreze ca polinomul f nu poate fi scris ca produs de doua polinoame neconstante, cu coeficienti ntregi.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar63 1. 5p SUBIECTUL III (30p) Varianta 063 Se considera functia f : x a) Sa arate ca fx() x = - ,1,1 , fx() = xxxx ,3

,\

.

[]

.

5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT1, programa M1 b) Sa arate ca functia f este continua n origine. 5p c) Sa se arate ca functiafnu este derivabila n origine. 2. 5p 5p 5p Se considera ab , si functia f : , fx xxbx , +> () cos 0 =-= xx x axe ,0

.

a)Sa se determine a si b stiind ca functia f este primitiva pe a unei functii. b) Stiind ca a = 0 si b = 0 , sa se calculezep n8 0 p -1

fxdx ()

.=-8

n c)Sa se arate ca , daca b = , atunci li m ( ) xfxdx 0

.





64

mntul Varianta 64

SUBIECTUL I (30p) Varianta 064=1

5p 1. Sa se arate ca sirul ()n n a 5p 2.Se considera functiile

, de termen general ann =n si g : RRx , 32

2

, este strict monoton. 21

f : RR

2 definite prin fx() x =++ x

() si gx x =-

2009 .

Sa se demonstreze ca, pentru orice

() fgx

( ) 0. =

pp 5p 3. Sa se rezolve n () p ecuatia tg tgx x = 0, +

.

xx13 5p 4. Sa se determine x N , x = 3 stiind ca CC += - 1 9 . xx 5p 5. Sa se determine m R stiind ca dreptele dmxm1 0++() -= 1 :2 y

() si dmxmy 4 8 0 +-= 2 : +2

sunt

paralele. 5p 6. Fie ABCun triunghi cu

tg 2, ==3. AB tg

Sa se determine masura unghiului C.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar64 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 064 Fie multimea Mxy =xy 3 |, yx

si matricea A = 2312 .2

.

5p a) Sa se arate ca daca Y M 2 () si AYYA , atunci Y M = () 5p b) Sa se arate ca daca XM si det 0X = , atunci X O =n * 5p c) Sa se arate ca AMn ,. 2. Se considera polinomul f XX XX 32 =-+ 54 X 32[]. 5p a) Sa se determine o radacina ntreaga a polinomului f.

.

5p b) Sa se calculeze 5p c) Sa se arate ca

22 2 x12 5 xx +++

... ,

unde x12, 5,..., xx

sunt radacinile polinomului

f.

fare o singura radacina reala .

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar64 1. 5p SUBIECTUL III (30p) Varianta 064

()() 8 Se considera functia ffxx -8 - ln1 = + :,20, , ()-8 a) Sa se arate ca functia f este concava pe intervalul (,2) -

2

. .nn + 1

() ) 5p b) Sa calculeze limita sirului () MT1,()1 ( =+ ln 2 aaff , 2 ... M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D,nn fn programa++ 5p 2. 5p 5p 5pc fc fc f ' -+= c) Sa se arate ca exista un punct c (1, 2 )astfel nct (1)() () (2)

()

n=1

. .

Fie functia ffx [] , = :0,1 a) Sa se calculeze1 0

()xfxdx ()

1 1 + x4

.

. .

1 p b) Sa se arate ca == fxdx1 () 0 4

c) Sa se calculeze

1 0

() f dx fxf x ()x''() ' -

()2

2

() () fx

.




EXAMENULla MATEMATICA - Proba D Proba scrisa DE BACALAUREAT 2009.

65

mntul Varianta 65

SUBIECTUL I (30p) Varianta 065 5p 1. Sa se determine primul termen al progresiei aritmetice aa, ,13,17,... 12 5p 2. Sa se arate ca functia f : RR , fx() x=+ 3 x 2sin este impara .

5p 3. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatia 3sin 3cos 0 xx += . 5p 4. Sa se determine probabilitatea ca, alegnd un numar din multimea numerelor naturale de trei cifre, acesta sa aiba suma cifelor egala cu 2. 5p 5. Sa se determine m R stiind ca dreptele dmx3y2 +-= : 0 si dxy 12 2++= : 10 sunt perpendiculare. 1 2 5p 6. Stiind ca tg a 3= 1 , sa se calculeze sin a . 2

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar65 1. SUBIECTUL II (30p) Varianta 065 Se considera sistemul xyz 236 32 yzb =x ax y z ++= ++= 4

, cu ab ,

.

5p a) Sa se determine ab pentru care sistemul are solutia (1, 1, 1). , 5p b) Sa se determine ab astfel nct sistemul sa fie incompatibil. , 5p c) Sa se arate ca pentru orice a exista b astfel nct sistemul sa admita solutii cu toate componentele numere ntregi.a bca 002

2. Se considera multimea de matrice Aaabc 00|,, = 5p a) Sa se determine numa rul elementelor multimii A . 5p b) Sa se arate ca, pentru ori ce XA , XI2 3= sau X 2 3= O

.

.3

5p c) Sa se determine numa rul matricelor X din multimea Acare au proprietatea X 2 = O

.

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul Preuniversitar65 1. 5p 5p 5p 2. 5p 5p 5p SUBIECTUL III (30p) Varianta 065 Se considera functia f : , fx() e =+ x a) Sa se arate ca functia feste bijectiva. x 21, . b) Sa se arate ca fx() x=+ mx x c) Sa se demonstreze ca, daca fx() =+ Fie functia f :, a) Sa arate ca exista cfx ()x = sin 3cos x 1,x

.


, atunci m = 2 .

si Fo primitiva a functiei f pe .4

astfel nct 4() sin =+ F xxc

.p 0, 2 .

b) Sa se calculeze aria subgraficului restrictiei functiei f la intervalul c) Sa se arate cap + 21 n 0

fxdx () 0

=

, pentru orice n

.




EXAMENULla MATEMATICA - Proba D Proba scrisa DE BACALAUREAT 2009.

66

mntul Varianta 66

SUBIECTUL I (30p) Varianta 066 5p 1. Sa se calculeze ()(+---iii )( )() 232122 i -

5p 2. Sa se arate ca 1 , () {3} f RR fx x = 3 este o perioada a functiei : numarului a. 5p 3. Sa se rezolve n [] 2p ecuatia 3sin cos 1= 0, xx . 5p 4. Sa se calculeze C10 20

, unde { } este partea fractionara a a

. 9 C20 () 5p 5. Se considera punctele A () , B () , C () si Dm ,5 . Sa se determine mn 2,3 n4, 2,2 , patrulaterul ABCDsa fie paralelogram . 5p 6. Sa se calculeze cos 2 x , stiind ca tg 4 = . x

R astfel nct

66 SUBIECTUL II (30p) Varianta 066 Fie dreptele d12:23,:34 1,:43 , unde m . xy dxy dxym 1. 3 += -=- += 5p a) Sa se determine m astfel nct dreptele sa fie concurente. 5p b) Sa se demonstreze ca exista o infinitate de valori ale lui m pentru care vrfurile triunghiului determinat de cele trei drepte au toate coordonatele ntregi. 5p c) Sa se calculeze valorile lui mpentru care triunghiul determinat de cele trei drepte are aria 1. 2. Fie polinomul f X aX aX , cu a si cu radacinile complexe x xx =--+ 32 22 ,,.123

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Centrul National Inovarii Curriculum si Evaluare n nvata mntul pentru Preuniversitar

5p a) Sa se calculeze f (1) . 5p b) Sa se determine apentru care polinomul are trei radacini reale. 5p c) Sa se determine aastfel nct |||xx |3. || x++= 123

Ministerul Educat iei, Cercetarii si Inovarii Centrul Nat ional pentru Curriculum s i Evaluare n nvata mntul PreuniversitarSUBIECTUL III (30p) 1. 5p 5p 2. 5p Varianta 066 Se considera functia ffx xl1=-:,

()

2

.

a) Sa se ca

var imprimare m1 bac 2010

Documents

Transcript of var imprimare m1 bac 2010