Ghid MATE M1 elev.pdf

Investeşte în oameni !

FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013 Axa prioritară 2 “Corelarea învăţării pe tot parcursul vieţii cu piaţa muncii” Domeniul major de intervenţie 2.2 ”Prevenirea şi corectarea părăsirii timpurii a şcolii” Titlul proiectului: Educaţie, calificare şi facilitarea tranziţiei spre un loc de muncă pentru elevi şi tineri cu risc sau în situaţie de abandon şcolar

Numărul de identificare al contractului: POSDRU/8/2.2/S/4/ ID 3024 Beneficiar: Ministerul Educaţiei Cercetării Tineretului şi Sportului

ARIANA-STANCA VĂCĂREŢU

MATEMATICĂ Numere

Modulul 1

Ghidul elevului

Proiec

t pilo

t

Viitorul incepe la scoala!

©2012 Ministerul Educaţiei Cercetării Tineretului şi Sportului Toate drepturile sunt rezervate Ministerului Educaţiei Cercetării Tineretului şi Sportului Atât publicaţia cât şi fragmente din ea nu pot fi reproduse fără permisiunea Ministerului Educaţiei Cercetării Tineretului şi Sportului. Bucureşti, 2012

Ministerul Educaţiei Cercetării Tineretului şi Sportului Str. Gen. Berthelot 28-30

Sector 1, 010168, Bucureşti Tel. Centrală: 4056200;4056300

e-mail: [email protected]

Proiec

t pilo

t

mailto:[email protected]

NUMERE

Lecţie introductivă

De ce este important modulul Numere?SĂ MĂ PREZINT... PRIN NUMEREÎmparte o coală A4 în patru părţi egale şi completează cele patru cadrane astfel:

Prezintă colegilor ceea ce ai completat în cele patru cadrane. Sunt numerele prezente în viaţa ta? Ceai aflat despre colegii tăi în cadrul acestei activităţi? Discutaţi.

DIN JURNALUL MEU.... M-am trezit la ora 6 şi un sfert. Ar fi trebuit ca la ora 7 să fiu la muncă, aşa că m-am spălat şi

m-am îmbrăcat cu repeziciune, mi-am luat şi al doilea pulover şi mi l-am pus în geantă – păreadestul de frig afară –, am mâncat două felii de pâine şi am băut o cană cu lapte, am luat 3 lei casă îmi pot cumpăra ceva de mâncare în pauza de masă şi am ieşit val-vârtej din casă... Trebuia săaştept în staţie autobuzul 28... şi, ca de fiecare dată când sunt în întârziere, autobuzul nu vine.Mă uit la ceas... deja e ora 6 şi 35 de minute... Voi ajunge oare la timp? Autobuzul face 15 minute,apoi pe jos, încă 5 minute... Îmi duc mâna la buzunar şi dau de cei 3 lei pe care îi luasem înaintede a pleca... Îmi vor ajunge pentru a-mi cumpăra 3 cornuri şi un iaurt în pauza de masă?... Nu amvreme să îmi răspund la întrebare pentru că vine autobuzul. Urc repede în el, mă uit la ceas dinnou, fac un calcul şi mă liniştesc... La ora 7 voi fi pe strada Meseriei, la numărul 10..., adică înatelierul în care lucrez... Parcă şi aud vocea maistrului: „Azi vei avea de făcut 45 de piese. Spercă te-ai odihnit bine azi-noapte, pentru că trebuie să onorăm azi cele 2 comenzi!“.

Reciteşte textul şi elimină toate numerele din text. Cum ţi se pare textul în această variantă? Cumar fi viaţa noastră fără numere? Discutaţi.

Eu… prin numere(vârstă, data naşterii, înălţime, număr de fraţi/surori etc.)

Văd numere când…(de exemplu: mă uit la ceas etc.)

Aud numere când…(de exemplu: sunt la gară, se anunţă sosireaunui tren, când întreb cât costă ceva etc.)

Lucrez cu numere când…(de exemplu: sunt la cumpărături şi doresc sămă asigur că îmi ajung banii etc.)

1.

2.Pro

iect p

ilot

MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI

Despre modul de utilizare a acestui ghidGhidul este structurat în patru unităţi de învăţare: numere naturale, numere întregi, numereraţionale şi numere reale. Fiecare unitate de învăţare conţine descrierea lecţiilor corespunzătoare şise finalizează cu o activitate de autoevaluare. La finalul ghidului vei găsi informaţii referitoare la

dezvoltarea proiectelor acestui modul (Anexa 1şi Anexa 2), un exemplu de utilizare a algoritmu -lui de rezolvare a problemelor (Anexa 3) şi inde -xul cuvintelor cheie. Fiecare lecţie este cuprinsăîn două pagini.

Pentru început…O PROBLEMĂ DE DEMULTÎntr-unul din cele mai vechi manuale de matematică, atribuit lui Ahmes (1700 î.Hr.),apare următoarea problemă: 7 persoane au câte 7 pisici, fiecare pisică mănâncă 7

şoareci, fiecare şoarece mănâncă 7 spice de orz, din fiecare spic pot răsări 7 plante noi. Câteplante noi vor răsări?

Rezolvaţi problema în grup. Răspundeţi la următoarele întrebări: Ce operaţie aţi utilizat pentru rezolvarea problemei? De

câte ori? Între ce numere?

Descoperă şi învaţăO NOUĂ OPERAŢIE?

Citeşte textul de mai jos şi apoi completează tabelul.Ridicarea la putere este o altă operaţie cu numere naturale. Produsul a n factori egali cu a se

numeşte ridicarea lui a la puterea n şi se notează an. Produsul a doi factori egali cu a se numeştepătratul numărului a, iar produsul a 3 factori egali cu a se numeşte cubul numărului a. Deexemplu, pătratul numărului 5 este 52, adică 5 · 5 = 25, iar cubul numărului 5 este 53, adică 5 · 5 · 5 = 125. În scrierea an, a se numeşte bază şi n se numeşte exponent. Numerele 1, 4, 9, 16, 25etc. se numesc pătrate perfecte pentru că sunt pătratele unor numere naturale.

NUMERE NATURALE

MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI10

Ordinea efectuării operaţiilor cu numere naturale 2

Problema Baza Exponentul Ce înseamnă Soluţia23 2 3 2 · 2 · 2 832

4 26 · 6

72

43

5 28 · 8

(2 · 3)3

5 3(2 · 5)2

8 + 4 · (10 – 7) = 8 + 4 · 3 paranteza8 + 4 · 3 = 8 + 12 înmulţirea8 + 12 = 20 adunarea

AM MAI MULTE OPERAŢII. CE FAC CU ELE?

Efectuează următorul calcul: 8 + 4 · (10 – 7) şi notează cum aiprocedat. Discutaţi şi verificaţi dacă aţi procedat precum în tabelul de mai jos:

EXERSEAZĂEstimează, calculează, fără a uita să ţii cont de ordinea efectuării operaţiilor şi aşază rezultateleobţinute pe axa numerelor naturale:

a) 18 + 36 : 32; b) 52 · 24 – 10 · 4; c) 289 – (3 · 5) 2 -– 54; d) 8 + (2 · 5) · 34 : 9 – 89.

1.

2.

3.

• Ordinea efectuăriioperaţiilor este foarteimportantă în rezolvareaexerciţiilor ce presupunmai multe operaţii diferite.Ar fi bine să reţii regula:Parantezele – Ridicarea laputere – Înmulţirea/Împărţirea – Adunarea/Scăderea.

Reţine

4.

I.

Ştiu să utilizez acest ghidAlege o lecţie din acest ghid, identifică toate simbolurile descrise mai sus şi explică-i colegului tăusemnificaţia fiecărui simbol.

Deschide ghidul la Indexul cuvintelor-cheie (pagina 57). Care este utilitatea acestuia? Cum sefoloseşte Indexul? Discutaţi.

CALCULE, CALCULE

a. Calculează mintal: 2 · 35 – 19; 6 · 2 · 11; 3 · 40 : 4; 25 · 4 – 18; 43 + 9 · 5; 12 – 3 · 4 + 202.

b. Estimează şi apoi calculează: 182 + 200; 292 - 400; 112 + 350 – 225; 1 + 12 · 23; 59 · 98 – 540; 26 · 101 + 280; 71 · 69–1500.

c. Calculează: 32 · 43, 27 – 256 : 43; 9 · (5 +3) 2 – 144; 7 + 3 · 24 : 6; 159 : (6 + 3 · 8) – 5; (36 – 6) :(12 + 3); (36 – 3 · 4) : (15 – 9 : 3).

d. Reprezintă printr-un desen expresiile aritmetice: 8 – 3; 5 : 5; 5 : 5 · 2; 9 - 5 : (8 – 3) · 2 + 6.Desenele vor conţine obiecte din viaţa reală şi cifre.

e. Dacă aveţi conexiune internet la şcoală, rezolvă exerciţiile de la adresahttp://www.aaamath.com/g53_alx1.htm şi/ sauhttp://www.edhelper.com/math/order_of_operations105.htm

Am înţeles şi pot să aplicCALCULE… ÎN PROBLEMERezolvă, împreună cu colegii tăi, problemele:

a. Un grup de 28 de persoane este împărţit, în mod egal, în 4echipe. Câte persoane sunt în fiecare echipă?

b. Leo, Vlad şi Tudor au lucrat la o spălătorie de maşini pe timpulverii. Ei au primit 210 lei. Câţi lei a primit fiecare dacă au decis să împartă banii primiţi în mod egal?

c. 58 de prieteni s-au hotărât să sărbătorească majoratul Marieiîntr-o discotecă. Câte mese au rezervat dacă o masă are 8 locuri?

d. Un decorator de apartamente încasează 12 lei/m2pentru a lipitapetul şi 150 lei preţ de lucrare. Câţi lei trebuie să îi plătesc dacădoresc să tapetez doi pereţi în formă de pătrat cu latura de 3m? Îţireamintim că suprafaţa pătratului de latură l este l2 .

PROGRAMUL „A DOUA ŞANSĂ” • NIVEL SECUNDAR 11

5.

6.• În efectuarea calculeloreste important să utilizeziproprietăţi ale operaţiilorpentru a calcula mintal mai uşor (de exemplu: 19 + 45 + 1 = 19 + 1 + 45 =20 + 45 = 65).

Ştiaţi că...?

Dincolo de lecţieRezolvă problemele şi explică, în scris, cum aigândit rezolvarea lor:

a. Un parchetar încasează 20 lei/ m2 pentru apune parchet. Dacă el pune parchet într-un holîn formă de pătrat cu o lungime de 6 m şi oferăo reducere de 25 lei la această lucrare, cât va ficostul lucrării?

b. O firmă de catering cere pentru organizareaunei mese 50 lei plus 20 lei/ persoană. Câttrebuie să plătesc firmei dacă la petrecereparticipă 35 de persoane şi beneficiez de oreducere de 100 de lei?

c. Un grădinar încasează 8 lei/ m2 pentru amonta gazon. Dacă o gradină are forma unuipătrat cu latura de 15 m, cât va încasagrădinarul pentru a acoperi cu gazon grădina?

d. Şase persoane vor împărţi consumaţia pe careau făcut-o într-un club. Cât va avea Anca deplătit dacă întreaga consumaţie a fost de 150 leişi are un cupon de reducere în valoare de 8 lei?

e. Dana mănâncă la cantină şi prânzul ocostă zilnic 4 lei. Cât trebuie să plă -

tească pentru o cartelă săptămânală? Dar pentruuna lunară? Stabileşte o formulă de calcul.

În cadrul activităţilor din această etapă alecţiei îţi reaminteşti ce ştii deja despre temăşi îţi formulezi întrebări despre temă.

În cadrul activităţilor din a doua etapă alecţiei eşti condus în activitatea de explorare,investigare şi descoperire a temei.

În cadrul activităţilor din această etapă a lecţieiaplici cele învăţate în noi contexte, cu sprijinulcolegilor şi al profesorului (dacă ai nevoie desprijin), şi reflectezi asupra celor învăţate.

Utilizeazăcalculatorulşi resurseweb.

Folosind activităţile din această etapă a lecţiei,aplici cele nou învăţate extinzând învăţarea înafara orei de matematică.

Include înportofoliu.

Lucrează împreunăcu 3-4 colegi pentrua rezolva sarcina delucru (activitate degrup).

Proiec

t pilo

t

PROGRAMUL „A DOUA ŞANSĂ” • NIVEL SECUNDAR

Rezolvă problemele de mai jos. a. Am intrat în supermarket şi aveam 26 lei. Am luat o pâinede 2 lei, o cutie cu margarină de 6 lei şi am văzut un tricou ‒ce mi-ar fi plăcut să-l am!‒ cu 22 lei. Îmi ajung banii şipentru tricou? Justifică răspunsul.

b. Vecina mea, Ana, doreşte să plece în concediu în Greciasau Tunisia. A luat un ziar de publicitate şi m-a rugat să oajut să decidă la ce hotel să se cazeze. Ciudată rugăminte!...Cum pot eu să o ajut în alegerea hotelului?! – m-am întrebat şiapoi i-am adresat întrebarea cu voce tare. „Foarte simplu“ –mi-a răspuns ea – „te rog să-mi scrii ofertele de preţ din ziarîn ordinea crescătoare a preţului“. Imaginează-ţi că eştivecinul Anei şi că vrei să o ajuţi. Scrie lista ofertelor din ziarîn ordinea crescătoare a preţurilor.

Marchează cu x căsuţele prin care afirmaţiile de la a, b, c, ddevin adevărate.

a. Sunt pus în situaţia de a face calcule cu numere când:fac cumpărături;citesc ziarul;mă uit la televizor;lucrez;îmi planific timpul;îmi planific banii;altele (te rog să specifici) ………………………………

b. Calculez uşor cu numere dacă:numerele sunt naturale, de la 0-10;numerele sunt naturale, de la 10-100;numerele sunt naturale şi mai mari ca 100;numerele sunt cu virgulă;numerele sunt fracţii (exemplu: );numerele sunt sub formă de procente (exemplu: 20%);alte situaţii (te rog să specifici) ………………………………...

c. Calculez uşor dacă în calcul sunt operaţii de:adunare şi scădere;înmulţire;împărţire;alte situaţii (te rog să specifici) ……..........………..

d. Calculez uşor:în minte;utilizând creionul şi hârtia;utilizând calculatorul.

Completează propoziţia:Aş dori să învăţ despre numere …...................……

23

1.

2.

3.

NUMERE

De unde pornesc?

Proiec

t pilo

t


Numere naturale I

Proiec

t pilo

t


Matematica din jur

MESERII ŞI NUMERE

Scrie 10 meserii în care este necesar să lucrezi cu numere şidescrie modul în care oamenii folosesc numerele în timp cepractică meseriile respective. Prezintă colegilor din grup meseriileidentificate şi modul în care oamenii lucrează cu numerele întimp ce practică meseriile respective. Discutaţi.

Descoperă şi învaţăPUŢINĂ ISTORIE

Reprezentarea numerelor a evoluat de-a lungul timpului în sensulsimplificării şi concentrării scrierii. Cum credeţi că s-ar fi scrisacum 5000 de ani numărul 11? Discutaţi.

NUMERE ÎN TEXTE

Citeşte întreg textul şi apoi citeşte doar numerele din text:

UNESCO (Organizaţia Naţiunilor Unite pentru Educaţie, Ştiinţă şiCultură) a fost fondată la 16 noiembrie 1945. Îşi are sediul în Paris,Franţa, dar are şi 73 de sub-oficii active în diverse ţări ale lumii.

Constituţia adoptată în Conferinţa de la Londra, din noiembrie 1945, şi aplicată începând cu 4noiembrie 1946 a fost adoptată de cele 20 de state fondatoare. UNESCO are 191 de state membre(octombrie 2003) şi 6 state asociate. România este membră UNESCO din 27 iulie 1956.

Scopul organizaţiei este de a contribui la pacea şi securitatea lumii prin colaborarea între naţiuniîn educaţie, ştiinţă, cultură şi comunicaţii, pentru a se reuşi stabilirea unui respect universal faţă dejustiţie, pentru corectitudinea justiţiei şi pentru drepturile şi fundamentele omului liber, indiferent derasă, sex, limbă sau religie, după Carta Naţiunilor Unite.

(informaţie preluată de pe website-ul ro.wikipedia.org)

Răspunde la următoarele cerinţe, ştiind că toate fac referire la numerele naturale dintextul anterior:• scrie fiecare număr ca o sumă de cel puţin alte 2 numere naturale diferite;

• scrie numerele mai mari decât 10 ca sumă de 3, 4 şi 5 numere naturale diferite; • scrie numerele mai mari decât 4 ca sumă în care unul din termeni este un alt număr natural din text; • scrie toate numerele în ordine crescătoare; • scrie toate numerele în ordine descrescătoare;• reprezintă numerele mai mici decât 30 pe axa numerelor;

NUMERE NATURALE

Numere naturale: comparare, reprezentare, operaţii 1

1.

2.

• Un mod simplu dereprezentare a numerelor,folosit în Orientul Mijlociucu peste 5000 de ani înurmă, este cel cu ajutorulrăbojurilor.

Ştiaţi că...?

3.

I.

Proiec

t pilo

t


• rotunjeşte numerele naturale mai mari decât 100 şi mai micidecât 1000; • identifică 4 divizori diferiţi ai numărului 1956.

EXERSEAZĂ

a. Citeşte textul şi apoi, împreună cu colegii tăi, rezolvă sarcinilede lucru.

Fie numerele: 5; 12; 3; 1; 7; 17; 8; 11; 6; 13. Citeşte-le, aşează-leîn ordine crescătoare şi reprezintă-le pe axa numerelor. Arată că 3 ≤ 17 şi că 12 ≥ 6. Arată că 6 este divizor al lui 12.

b. Calculează mintal: 80 – 49; 48 : 3; 15 · 6; 35 + 36; 12 + 39 + 8 + 1.Explică-i colegului cum ai procedat.

c. Calculează: a) 1 + 23 + 45 + 54 + 32 + 1; b) 45 – 17; c) 345 – 194; d) 63698 – 3333; e) 4963 – 232; f) 253 + 121 – 323; g) 120 · 5; h) 3 · 5 · 20.Explică-i colegului cum ai procedat.

Am înţeles şi pot să aplicNUMERE NATURALE ÎN PROBLEME

Citeşte textul problemei şi apoi, împreună cu colegii tăi,răspunde cerinţelor.

Vasile i-a cerut Mihaelei 32 lei pentru piese şi 10 lei/ oră pentrurepararea maşinii. Petre a cerut 35 lei pentru piese şi 8 lei/ orăpentru repararea maşinii. Dacă timpul de lucru pentru reparareamaşinii este de 3 ore, estimează şi apoi calculează cât ar plătiMihaela dacă maşina ar fi reparată de Petre, respectiv de Vasile.Explică în scris cum ai procedat. Stabileşte în care dintre situaţiicostul reparaţiei este mai mic. Reprezintă pe axă toate numereledin textul problemei.

Dincolo de lecţieRezolvă problemele şi explică, în scris, cum ai gândit rezolvareaacestora:

a. Am 17 ani şi mama m-a născut când avea 20 de ani. Câţi aniare mama?

b. Am ajutat-o pe vecina mea să culeagă caise şi, dreptrăsplată, mi-a dat 15 kg de caise. Am preparat gem din 6kg, am mâncat 1 kg şi restul l-am vândut. Câţi lei am

obţinut dacă am vândut restul caiselor la preţul de 4 lei/ kg? Câtm-a costat zahărul pentru gem dacă am pus 1 kg de zahăr la 2 kgde caise, iar 1 kg de zahăr costă 2 lei?

Reprezintă numerele din textul problemei pe axă.

• Numerele naturale sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Cele treipuncte scrise după cifra 6arată că şirul numerelornaturale continuă, fără a setermina vreodată. Mulţimeanumerelor naturale senotează cu IN.• Cele patru operaţii debază cu numere naturalesunt: (+) adunarea (deexemplu: 3 + 6 = 9), (–) scăderea (de exemplu: 6 – 3 = 3), (·) înmulţirea (deexemplu: 3 · 6 = 18) şi (:) împărţirea (de exemplu: 6 : 3 = 2). • Numărul natural b dividenumărul natural a saunumărul natural b estedivizor al număruluinatural a dacă existănumărul natural c astfelîncât a = c · b. De exemplu, 3 este divizor al lui 21 pentru că 21 = 7 · 3. • Numărul natural a estemai mare sau egal decâtnumărul natural b (şiscriem a ≥ b) dacă exis tă c, un număr natural, astfelîncât a = b + c. Deexemplu, 8 ≥ 6 pentru că 8 = 6 + 2. • Dacă a ≥ b, atuncispunem şi că b este maimic sau egal cu a şi scriemb ≤ a.• Axa numerelor naturaleeste:

• Fiecărui număr natural îi corespunde un punct pe axă. Numerele mai marise reprezintă în dreaptanumerelor mai mici.

Reţine

4.

5.

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurO PROBLEMĂ DE DEMULTÎntr-unul din cele mai vechi manuale de matematică, atribuit lui Ahmes (1700 î.Hr.),apare următoarea problemă: 7 persoane au câte 7 pisici, fiecare pisică mănâncă 7

şoareci, fiecare şoarece mănâncă 7 spice de orz, din fiecare spic pot răsări 7 plante noi. Câteplante noi vor răsări?

Rezolvaţi problema în grup. Răspundeţi la următoarele întrebări: Ce operaţie aţi utilizat pentru rezolvarea problemei? De

câte ori? Între ce numere?

Descoperă şi învaţăO NOUĂ OPERAŢIE?

Citeşte textul de mai jos şi apoi completează tabelul.Ridicarea la putere este o altă operaţie cu numere naturale. Produsul a n factori egali cu a se

numeşte ridicarea lui a la puterea n şi se notează an. Produsul a doi factori egali cu a se numeştepătratul numărului a, iar produsul a 3 factori egali cu a se numeşte cubul numărului a. Deexemplu, pătratul numărului 5 este 52, adică 5 · 5 = 25, iar cubul numărului 5 este 53, adică 5 · 5 · 5 = 125. În scrierea an, a se numeşte bază şi n se numeşte exponent. Numerele 1, 4, 9, 16, 25etc. se numesc pătrate perfecte pentru că sunt pătratele unor numere naturale.

NUMERE NATURALE

Ordinea efectuării operaţiilor cu numere naturale 2

Problema Baza Exponentul Ce înseamnă Soluţia23 2 3 2 · 2 · 2 832

4 26 · 6

72

43

5 28 · 8

(2 · 3)3

5 3(2 · 5)2

8 + 4 · (10 – 7) = 8 + 4 · 3 paranteza8 + 4 · 3 = 8 + 12 înmulţirea8 + 12 = 20 adunarea

AM MAI MULTE OPERAŢII. CE FAC CU ELE?

Efectuează următorul calcul: 8 + 4 · (10 – 7) şi notează cum aiprocedat. Discutaţi şi verificaţi dacă aţi procedat ca în tabelul de mai jos:

EXERSEAZĂEstimează, calculează, fără a uita să ţii cont de ordinea efectuării operaţiilor şi aşează rezultateleobţinute pe axa numerelor naturale:

a) 18 + 36 : 32; b) 52 · 24 – 10 · 4; c) 289 – (3 · 5) 2 -– 54; d) 8 + (2 · 5) · 34 : 9 – 89.

1.

2.

3.

• Ordinea efectuăriioperaţiilor este foarteimportantă în rezolvareaexerciţiilor ce presupunmai multe operaţii diferite.Ar fi bine să reţii regula:Parantezele – Ridicarea laputere – Înmulţirea/Împărţirea – Adunarea/Scăderea.

Reţine

4.

I.

Proiec

t pilo

t


CALCULE, CALCULE

a. Calculează mintal: 2 · 35 – 19; 6 · 2 · 11; 3 · 40 : 4; 25 · 4 – 18;43 + 9 · 5; 12 – 3 · 4 + 202.

b. Estimează şi apoi calculează: 182 + 200; 292 - 400; 112 + 350 –225; 1 + 12 · 23; 59 · 98 – 540; 26 · 101 + 280; 71 · 69–1500.

c. Calculează: 32 · 43 · 27 – 256 : 43; 9 · (5 +3)2 – 144; 7 + 3 · 24 : 6;150 : (6 + 3 · 8) – 5; (36 – 6) : (12 + 3); (36 – 3 · 4) : (15 – 9 : 3).

d. Reprezintă, printr-un desen, expresiile aritmetice: 8 – 3; 5 : 5; 5 : 5 · 2; 9 - 5 : (8 – 3) · 2 + 6. Desenele vor conţine obiecte dinviaţa reală şi cifre.

e. Dacă aveţi conexiune internet la şcoală, rezolvă exerciţiile de la adresahttp://www.aaamath.com/ g53_alx1.htm şi/ sauhttp://www.edhelper.com/math/order_of_operations105.htm

Am înţeles şi pot să aplicCALCULE… ÎN PROBLEMERezolvă, împreună cu colegii tăi, problemele:

a. Un grup de 28 de persoane este împărţit, în mod egal, în 4echipe. Câte persoane sunt în fiecare echipă?

b. Leo, Vlad şi Tudor au lucrat la o spălătorie de maşini pe timpulverii. Ei au primit 210 lei. Câţi lei a primit fiecare dacă au decis să împartă banii primiţi în mod egal?

c. 58 de prieteni s-au hotărât să sărbătorească majoratul Marieiîntr-o discotecă. Câte mese au rezervat dacă o masă are 8 locuri?

d. Un decorator de apartamente încasează 12 lei/m2 pentru a lipi tapetul şi 150 lei preţ de lucrarecu manopera. Câţi lei trebuie să îi plătesc, dacă doresc să tapetez doi pereţi în formă de pătrat culatura de 3 m? Îţi reamintim că suprafaţa pătratului de latură l este l2.

5.

6.

• În efectuarea calculeloreste important să utilizeziproprietăţi ale operaţiilorpentru a calcula mintal mai uşor (de exemplu: 19 + 45 + 1 = 19 + 1 + 45 =20 + 45 = 65).

Ştiaţi că...?

Dincolo de lecţieRezolvă problemele şi explică, în scris, cum aigândit rezolvarea lor:

a. Un parchetar încasează 20 lei/m2 pentru apune parchet. Dacă el pune parchet într-un hol înformă de pătrat cu o lungime de 6 m şi oferă oreducere de 25 lei la această lucrare, cât va ficostul lucrării?

b. O firmă de catering cere, pentru organizareaunei mese, 50 lei plus 20 lei/persoană. Câttrebuie să plătesc firmei dacă la petrecereparticipă 35 de persoane şi beneficiez de oreducere de 100 de lei?

c. Un grădinar încasează 8 lei/m2 pentru a montagazon. Dacă o grădină are forma unui pătrat culatura de 15 m, cât va încasa grădinarul pentru aacoperi cu gazon grădina?

d. Şase persoane vor împărţi, în mod egal, consu -ma ţia pe care au făcut-o într-un club. Cât va aveaAnca de plătit, dacă întreaga consumaţie a fost de150 lei şi are un cupon de reducere în valoare de 8lei?

e. Dana mănâncă la cantină şi prânzul ocostă zilnic 6 lei. Cât trebuie să plă tească

pentru o cartelă săptămânală? Dar pentru unalunară? Stabileşte o formulă de calcul.

Proiec

t pilo

t


Descoperă şi învaţăCUM REZOLV PROBLEMELE?Gândiţi-vă la etapele parcurse pentru rezolvarea problemelor din cadrul lecţiilor 1 şi 2 dinaceastă unitate de învăţare. Discutaţi şi stabiliţi care sunt etapele de rezolvare a unei

probleme. Verificaţi dacă etapele stabilite de voi sunt similare cu cele din algoritmul descris mai jos.

Matematica din jurGĂSEŞTE-ŢI PERECHEA ŞI ALINIAZĂ-TEPrimeşti o „carte de joc“ dintr-un pachet de cărţi de joc maispecial. De data aceasta, cărţile de joc nu sunt aşi, dame, regi sauvaleţi, ci conţin exerciţii numerice. În setul de cărţi de joc suntcâte două cărţi care au aceeaşi valoare, adică rezultatulexerciţiilor de pe cele două cărţi este acelaşi. Află valoarea cărţiide joc pe care ai primit-o şi apoi găseşte-ţi perechea, adicăgăseşte un coleg care are aceeaşi valoare a cărţii de joc. După cetoţi elevii din clasă şi-au găsit perechea, scrie valoarea cărţii pepartea nescrisă a acesteia şi, împreună cu colegii tăi, realizează olinie valorică, aşezându-vă într-un rând în ordinea crescătoare avalorilor cărţilor de joc.

DESPRE REZOLVAREA PROBLEMELOR„Fiecare problemă pe care am rezolvat-o a devenit o regulă pecare am utilizat-o mai târziu în rezolvarea altor probleme.“(René Descartes)

Discutaţi semnificaţia citatului de mai sus şi afirmaţi-văpoziţia faţă de cele spuse de Descartes. Argumentaţi.

1.

René Descartes – filosof şimatematician francez

(1596-1650)2.

3.

Citeşte problema.Acordă importanţă

întrebării. Subliniazăcuvintele cheie din text.

Decide care sunt paşii ce trebuieparcurşi, ce date trebuie aflate şice operaţii sunt necesare pentru

a rezolva problema.

Scrie calculele pe care aide gând să le efectuezi. Nuuita să foloseşti paranteze,

dacă ele sunt necesare.

Verifică dacă rezultatulproblemei are sens. Compară

rezultatul cu estimarea pecare ai făcut-o şi vezi dacă

rezultatul pe care l-ai obţinuteste de bun simţ.

Efectuează calculele. S-arputea să ai nevoie de un

calculator de buzunar dacănumerele sunt prea mari.

Interpretează rezultatul. Nuuita de unităţile de măsură.

Estimeazărezultatulcalculului.

NUMERE NATURALEI.Aplicaţii cu numere naturale 3

Proiec

t pilo

t


PROBĂM ALGORITMULRezolvaţi problema următoare folosind algoritmul de mai sus.Discutaţi dacă algoritmul v-a fost util în rezolvarea problemei.

Distanţa de la Cluj-Napoca la Budapesta este de 480 km. Dacămicrobuzul parcurge aproximativ 80 km într-o oră, estimează câteore durează călătoria.

Am înţeles şi pot să aplicAJUT-O PE DANIELA!Rezolvă problema împreună cu colegii tăi.

Echipa de majorete pe care o antrenez a fost invitată laCampionatul European de Majorete. Este o recunoaştere avalorii echipei, dar participarea la campionat înseamnă şi unefort financiar mare. Va trebui să găsesc şi nişte sponsori. Amînceput prin a-mi pregăti o listă cu tot ceea ce ar fi necesarpentru a onora cum se cuvine participarea noastră lacampionat.

Astfel pentru fiecare membră a echipei trebuie cumpărate:un costum nou ‒ o bluză (aproximativ 20 lei), o fustă(aproximativ 37 lei), o pereche de cizme (aproximativ 90 lei), opereche de pantofi de sport (depinde de marcă, dar hai săspunem 70 lei), 3 perechi de ciorapi (o pereche costăaproximativ 6 lei), 2 perechi de şosete albe (o pereche costăaproximativ 2 lei), o pereche de cercei – toate fetele trebuie săaibă cercei identici (aproximativ 2 lei), 3 elastice de păr (1bucată costă 1 leu). Ar mai trebui să refacem pomponii, ceea ceînseamnă că ar trebui să cumpărăm panglici de hârtie (dintr-orolă se pot confecţiona două pompoane şi costă 2 lei) şi bandăadezivă groasă (o rolă este suficientă pentru 20 de pomponi şi costă 2 lei). Vă rog să mă ajutaţi săcalculez cât este costul echipamentului de concurs pentru una dintre majorete şi cât costăechipamentul pentru întreaga echipă, dacă în echipă sunt 30 de fete. Estimaţi şi apoi calculaţisuma pe care ar trebui să o obţin ca sponsorizare pentru a achiziţiona bluzele, fustele şi cizmelepentru toate fetele din echipă şi suma pe care ar trebui să o cheltuiască fiecare fată pentru restulobiectelor din echipament, în condiţiile în care obţin sponsorizarea.

Dincolo de lecţieRezolvă problema şi explică, în scris, cum ai gândit rezolvarea ei.

Vasile lucrează ca voluntar la un centru pentru copii. El trebuie să cumpere 14 tricouri pentruechipa de volei a centrului. La magazinul Tineret, un tricou costă 12 lei. La magazinul Sport, untricou costă 16 lei, dar în această perioadă magazinul are o ofertă specială: dacă cumperi 3produse, unul dintre produse este gratis. Vasile doreşte să cheltuiască cât mai puţin. De la caremagazin să cumpere tricourile? Argumentează-ţi răspunsul.

Realizează-ţi propria culegere de probleme, notând 5-7 probleme cu numere naturale pecare le ai de rezolvat în viaţa cotidiană, pe durata a două săptămâni. Rezolvă problemelepe care le-ai notat.

4.

• Cuvântul algoritmprovine de la numelematematicianului persanAl-Horezmi (780-845) şidefineşte o succesiune deraţionamente sau operaţiiavând ca scop rezolvareaunor probleme.

Ştiaţi că...?

5.

Proiec

t pilo

t


NUMERE NATURALE

Autoevaluare

Completează fişa de autoevaluare:

1. Am învăţat despre numerele naturale că: ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Calculez corect valoarea unei expresii cu numere naturale dacă în expresie aparoperaţiile: .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Produsele ................................................................................din portofoliu şi paginile.................. din caiet demonstrează afirmaţiile mele de la 1 şi 2.

4. Atunci când lucrez cu numere naturale, am încă dificultăţi cu:...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5. Cred că întâmpin aceste dificultăţi pentru că:....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

6. Produsele ............................................................................ din portofoliu şi paginile......................din caiet demonstrează afirmaţiile mele de la 4 şi 5.

7. Am contribuit la activităţile în perechi/ pe grupe/ cu întreaga clasă atunci când:..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

8. În cadrul acestei unităţi de învăţare mi-a plăcut să ………...................………………………pentru că .....................................................................................................................................……………………………………………………...........................................………………………..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

I.

Proiec

t pilo

t


Numere întregi II

Proiec

t pilo

t


NUMERE ÎNTREGI

• Numerele „sub zero“ careau intervenit în cadrulactivităţii 2 sunt numerenegative. Ele se notează cu„minus“ în faţa numărului.• Mulţimea numerelorîntregi (se notează cu )conţine numerele naturale şinumerele negative, adică: ...,–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,4, 5,... . Numerele negativesunt mai mici decât 0, iarnumerele pozitive sunt maimari decât 0. Numărul –2este opusul numărului 2 şireciproc.• Pentru a reprezentanumerele negative pe axă, artrebui să prelungim sprestânga axa numerelor natu -rale. În această situaţie, axanumerelor este reprezentatăca în desenul de mai jos:

Reţine

Matematica din jurTEMPERATURICiteşte textul de mai jos. Subliniază cu o linie numerelenaturale şi cu 2 linii celelalte numere.

Îmi era frig. Mă îmbrăcasem ca de toamnă, pentru că înperioada asta a anului temperaturile erau între 7°C şi 10°C.Imaginează-ţi că la prânz, temperatura aerului a fost de –1°C,iar spre seară s-a răcit şi mai tare şi au fost –5°C.

Discutaţi despre semnificaţia numerelor din text.

Descoperă şi învaţăNUMERE SUB ZEROCiteşte textele de mai jos şi, împreună cu colegul tău, răspundecerinţelor.

Priviţi hotelul din imagine. Proprietara lui doreşte să introducăun lift care să îi transporte pe turişti la fiecare etaj (până la etajul4) şi în discoteca, barul şi parcarea aflate la cele două niveluridin subsolul hotelului.

Desenaţi, în caiete, panoul de comandă cu butoanele pentrulift. Scrieţi pe fiecare buton numărul etajului.Registrul de casă al firmei A&V pentru data de 30 octombrie seprezintă astfel:

Efectuaţi totalul pe cele două coloane (încasări şi, respectiv,plăţi) şi stabiliţi ce sumă va avea firma de reportat pentru ziuaurmătoare (suma de reportat este diferenţa dintre total încasări şitotal plăţi). Refaceţi calculele pentru situaţia în care suma plătităla poziţia 5 ar fi fost 700 (adică dacă firma ar fi cumpărat hârtiede copiator în valoare de 700 de lei). În această situaţie cum aţireprezenta în scris suma de reportat pentru ziua următoare înaceastă situaţie?

Numere întregi: comparare, reprezentare


Nr.crt.

Nr. actcasă

Nr.anexă Explicaţii Înca-

sări Plăţi Simbol contcorespondent

Report/ sold ziua precedentă 4000

1. Chit. 12 Achiziţiecalculator 1500

2. DP 20 Salarii 23003. Chit. 2 Chirie 5004. Chit. 72 Protocol 100

5. Chit. 98 Hârtiecopiator 600

De reportat pagina/TOTAL X

1.

2.

II.

1

Proiec

t pilo

t

Azi, la Helsinki sunt 5 grade sub zero. Scrieţi, utilizândsimboluri matematice, temperatura aerului din Helsinki.

EXERSEAZĂa. Reprezintă pe axa numerelor valorile celor mai scăzutetemperaturi lunare (în °C) înregistrate în ultimii 21 de ani la Deva.

Citeşte numerele din tabel. Compară numerele 1 şi –23, –19 şi –13, –3 şi –2, –15 şi –13, 2 şi 1, 2 şi –1.Aşează valorile din tabel în ordine crescătoare. Determină numărul de unităţi de pe axa numerelordintre punctele reprezentate pe axă.

b. Ordonează crescător numerele: ‒75, 29, ‒12, ‒76, ‒14, 0, ‒5, 10; ‒15, 12, 53, 60, 7, 3, 32, ‒38;25, 7, ‒28, 22, 8, ‒27, ‒9, ‒22, 16, ‒16, ‒24; ‒43, -7, -22, 7, 23, 19, 26.

Am înţeles şi pot să aplicCUVINTE CARE DEVIN NUMERE ÎNTREGIScrieţi numerele întregi care să reprezinte fiecare descriere din tabel:

Ordonaţi descrescător numerele întregi obţinute.

O PLIMBARE PE AXA NUMERELOR ÎNTREGICompletează textul astfel încât afirmaţia să fie adevărată:Te găseşti pe axa numerelor exact în punctul care reprezintă numărul 0. Dacă faci 7 paşi ladreapta, apoi 8 paşi la stânga, apoi 2 paşi la dreapta, 4 paşi la stânga şi încă 3 la dreapta, te vei găsipe axa numerelor în punctul care reprezintă numărul ……… . Precizăm că pasul tău are lungimeade o unitate.


Era atât de frig afară încât ţi se vedea răsuflarea. Dimineaţa a debutat cu o temperatură de ‒20°C,până la prânz temperatura a crescut cu 5°C, iar spre seară, gerul s-a lăsat din nou şi temperatura ascăzut cu 7°C. Ce temperatură a fost în acea seară?

Luna Ian. Feb. Martie Apr. Mai Iunie Iulie Aug. Sept. Oct. Nov. Dec.Temp. –23 –19 –19 –3 2 1 6 7 –1 –5 –13 –15

• Dacă numărul a se află înstânga numărului b (peaxă), spunem că a ≤ b.

Reţine

(sursa: www.weatherbase.com)

4.6 unităţi la stânga lui 11 pe axa numerelor O creştere de 80 lei20°C sub 0 120 m sub nivelul măriiO pierdere de 3 kg Un profit de 14356 lei la o investiţieUn câştig de 15 kg 4 unităţi la stânga lui ‒5Retragere de 956 lei de la ATM O reducere de 35 lei7 unităţi la dreapta lui ‒15 pe axa numerelor O datorie de 250 lei

5.

3.

Proiec

t pilo

t

PROGRAMUL „A DOUA şANSă” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR

Matematica din jurUN PIC DE ISTORIE

Citeşte textul şi apoi discută-l cu colegii tăi. Faceţi o predicţiereferitoare la perioada introducerii numerelor întregi.

Introducerea conceptului de număr negativ a fost un processurprinzător de lent. Bineînţeles că nu putea fi vorba de numerenegative atâta timp cât nu exista numărul 0. Cei care şi-au dat deseama de existenţa independentă a lui 0 au fost matematicieniiIndiei, în secolul al VI-lea. Numărul 0 reprezenta, din punct devedere cantitativ, nimicul. Pentru prima dată, „nimicul“ a primito reprezentare simbolică. Numărul 0 a „ajuns“ în Europa laînceputul secolului al XV-lea.

Descoperă şi învaţăADUNĂRI ŞI SCĂDERI CU… TEMPERATURITemperatura creşte sau descreşte în cursul zilei sau/ şide la o zi la alta. Răspundeţi în scris, folosind

reprezentarea valorilor pe axa numerelor, la următoareleîntrebări:a) cu câte grade a crescut temperatura dacă dimineaţa au fost 3°Cşi la prânz au fost 11°C?; b) cu câte grade a scăzut temperaturadacă la prânz au fost 14°C şi seara au fost 9°C?; c) cu câte grade acrescut temperatura dacă dimineaţa au fost ‒4°C şi la prânz aufost 5°C?; d) cu câte grade a scăzut temperatura dacă la prânz aufost 3°C şi noaptea au fost ‒2°C?; e) cu câte grade a crescuttemperatura dacă dimineaţa au fost ‒20°C şi la prânz au fost‒8°C?

Discutaţi rezultatele obţinute şi deduceţi o regulă pentruadunarea şi scăderea numerelor întregi.

EXERSEZa. Determinaţi valoarea absolută şi opusul pentru fiecare dintrenumerele: ‒5; 10; ‒2; ‒14; 4; ‒2 + (‒4); 7; ‒5 – (‒2); ‒3; 15; ‒28 +30; 32 – 36.

Comparaţi şi discutaţi rezultatele. Identificaţi o regulă (caresă nu presupună reprezentarea numerelor pe axă) pentrudeterminarea valorii absolute a unui număr.

b. Calculaţi: ‒10 + (‒5); ‒2 – (‒9); ‒4 –(‒11); ‒12 + (‒17); ‒21 + 35;‒1 + (‒3); ‒33 ‒ (‒35); ‒21 – (‒14); ‒5 + 16; ‒2 +1; ‒7 + 4; ‒15 ‒ (‒12); ‒32 – (‒23); ‒31 + 42. Verificaţi rezultatelereprezentând numerele pe axă.

c. Dacă aveţi la şcoală conexiune internet, exersaţiadunarea şi scăderea numerelor întregi rezolvândexerciţiile de la adresa http://www.mathsisfun.com/

numbers/casey-runner.html.

TITLUL CAPITOLULUINUMERE ÎNTREGI


Adunarea şi scăderea numerelor întregi 2

II.

1.

2.

• Adunarea numerelorîntregi se efectuează astfel:a) dacă numerele suntambele pozitive sau ambelenegative, se efectueazăoperaţie de adunare, iarrezultatul va fi pozitiv,respectiv negativ, dacănumerele au fost pozitive,respectiv negative (exemplu: ‒5 + (‒3) = ‒8; 5 + 3 = 8); b) dacă numerele au semnediferite, se efectueazăoperaţie de scădere şirezultatul va avea semnulnumărului mai mare învaloare absolută (exemplu:‒5 + 3 = ‒2; ‒5 + 7 = 2). • Adunarea a două numerenegative are ca rezultat unnumăr mai mic decâtambele numere (exemplu:‒3 + (‒5) = ‒8). • Scăderea numerelorîntregi se efectuează dupăregula adunării, adică a – b = a + (‒b), unde (‒b)este opusul numărului b.• Valoarea absolută saumodulul unui număr estedistanţa pe axa numerelordintre punctulcorespunzător numărului şipunctul corespunzătornumărului 0 (de exemplu:valoarea absolută anumărului ‒1 este 1).Valoarea absolută anumărului a se notează│a │.

Reţine

3.Pro

iect p

ilot

Am înţeles şi pot să aplicÎMPRUMUTURILucrând în grupe, rezolvaţi problema:Am o datorie de 50 de lei şi, pentru a plăti consumul de energie electrică la timp, mă

împrumut cu 55 de lei. Care este suma totală pe care am împrumutat-o dacă la primul salar potachita 75 de lei din datorie? Ce sumă voi mai avea de achitat?

UN ALTFEL DE JOC DE CĂRŢIPrimeşti o „carte de joc“ dintr-un pachet în care fiecare carte de joc conţine exerciţii numerice. Însetul de cărţi de joc sunt câte două cărţi care au aceeaşi valoare, adică rezultatul exerciţiilor de pecele două cărţi este acelaşi. Află valoarea cărţii de joc pe care ai primit-o şi apoi găseşte-ţiperechea. După ce toţi elevii din clasă şi-au găsit perechea, scrie valoarea cărţii pe partea nescrisăa acesteia şi realizaţi o linie valorică aşezându-vă într-un rând în ordinea descrescătoare a valorilorcărţilor de joc.

Un exemplu de două cărţi de joc cu aceeaşi valoare este următorul:

Dincolo de lecţiePROIECTUL DIVIZIA PUNCTAJELORAlege 11 jucători din Campionatul Naţional (feminin sau masculin) de Fotbal. Vei stabilipunctajul fiecărui jucător din echipa ta îl vei stabili utilizând tabelul de mai jos şi

informându-te despre activitatea jucătorilor aleşi de tine în ultimul meci din campionatul anuluitrecut. Punctajul echipei tale va fi suma punctajelor jucătorilor. Stabileşte punctajul echipei tale peo perioadă cuprinsă între 5 şi 8 săptămâni.


Pentru toţi jucătorii punctaj Pentru apărători şi portari punctaj

Joacă întreg meciul +2 Nici o sancţiune primită şi a jucatîntreg meciul +4

Joacă doar o anumită perioadă din meci +1 Nici o sancţiune primită şi a jucatnumai o perioadă în meci +2

Gol marcat (inclusiv din penalti) +10 Gol primit şi recunoscut dearbitru –1

Pasă decisivă de gol +3

Ratarea unui penalti (unei lovituri de la 11m) –5

Eliminat din joc –5

Primeşte cartonaş galben –2

4.

5.

Proiec

t pilo

t

Matematica din jurŞTIAŢI CĂ EXISTĂ GLUME CU MATEMATICIENI?!

Un matematician, un biolog şi un fizician stau la o terasă. Cei trei beau cafea şi se uită laoamenii care intră şi ies din casa de peste drum. Ei văd doi oameni intrând în casă. Timpul treceşi, după o perioadă, ei observă trei oameni care ies din casă. Fizicianul spune: „Măsurarea nu estecorectă“. Biologul spune: „S-au reprodus“. Matematicianul spune: „Dacă acum ar intra o persoanăîn casă, atunci casa ar fi din nou goală“.

Explicaţi afirmaţia matematicianului.

MAI MULTE MODURI DE A SCRIE O SINGURĂ TEMPERATURĂMăsoară temperatura de afară cu ajutorul unui termometru şi

notaţi valoarea temperaturii pe tablă. Reprezintă această valoare, înscris, pe cartonaşe separate, în cel puţin cinci moduri (de exemplu:numărul –4 poate fi reprezentat în scris ca –6 + 2 sau –10 + 6 sau–1 –3 sau „minus patru“ sau „de două ori doi sub zero“ sau...).

Discută împreună cu colegii tăi, reprezentările pe care le-aţiscris. Câte astfel de reprezentări are un număr întreg?

Descoperă şi învaţăADUNAREA REPETATĂ

Efectuaţi în scris următoarele calcule: 4 + 4 + 4; (–4) + (–4) + (–4); (–4) – (–4) –(–4); [(–4) + (–4) + (–4)]. Identificaţi modalităţi de scriere ale exerciţiilor anterioare cu ajutorul operaţieide înmulţire. Prezentaţi şi discutaţi modalităţile identificate.


Înmulţirea şi împărţirea numerelor întregi 3

II.

1.

2.

3.

Pentru a înmulţi două numere întregi, se efectuează înmulţirea dintre valorile absolute ale numerelor şi în faţarezultatului se pune semnul „+“ dacă numerele au acelaşi semn, respectiv semnul „–“ dacă numerele ausemne diferite. De exemplu:

Aceeaşi regulă este valabilă şi pentru împărţirea numerelor întregi; evident că între valorile absolute vom aveaoperaţie de împărţire.Exemplu: 15 : 3 = 5; (‒15) : (‒3) = 5; (‒15): 3 = ‒5; 15 : (‒3) = ‒5.

Reţine

4 · 3 = 12 Înmulţim două numere pozitive, rezultatul este pozitiv.

(‒4) · (‒3) = 12 (‒4) · (‒3) = │‒4│· │‒3│ = 4 · 3 = 12; rezultatul este pozitiv pentru că cele două numereau acelaşi semn.

(‒4) · 3 = ‒12 │‒4│·│3│= 12 şi în faţa rezultatului punem semnul minus pentru că numerele ausemne diferite.

4 · (‒3) = ‒12 │4│·│‒3│= 12 şi în faţa rezultatului punem semnul minus pentru că numerele ausemne diferite.

Proiec

t pilo

t


Regula semnelor de la înmulţirea şi împărţirea numerelor întregieste reprezentată sugestiv în următorul tabel:

MAI MULTE OPERAŢII DIFERITE ÎNTR-UN SINGUREXERCIŢIUIdentificaţi operaţiile din expresia numerică:

26 + [(‒42) ‒ 17 · (‒33) + 31], efectuaţi calculele şi discutaţi despre modul în care aţi rezolvatexerciţiul de calcul. Care a fost ordinea în care aţi efectuat operaţiile?

EXERSEAZĂa. Estimaţi şi apoi efectuaţi următoarele calcule:

b. Determinaţi valorile următoarelor expresii numerice:

c. Dacă există la şcoală conexiune internet, rezolvă exerciţiile de la adresa http://www.math-play.com/ multiplying-and-dividing-integers-game.html şi de la adresahttp://www.aaamath.com/mul65_x2.htm.

d. Alege un număr întreg negativ. Reprezintă valoarea lui cu ajutorul celor patru operaţii de bază,în cel puţin 10 moduri.

Am înţeles şi pot să aplicOPERAŢII CU NUMERE ÎNTREGI ÎN PROBLEMELucrând în grupe, rezolvaţi problemele.a. Aron a participat la un concurs pe teme de circulaţie rutieră. După prima rundă, a

acumulat 400 puncte. Apoi, în rundele 2, 3 şi 4, a pierdut câte 300 puncte. Care a fost punctajulfinal al lui Aron?b. Tudor are în contul de card 240 lei. El a alimentat maşina cu benzină de 5 ori şi de fiecare dată aplătit cu cardul câte 50 lei. Ce sold are Tudor după efectuarea plăţilor?

Dincolo de lecţieRezolvă problema şi explică în scris cum ai gândit rezolvarea ei.Maria doreşte să participe la o întâlnire a reprezentanţilor unor organizaţii de tineret dinEuropa de Est, organizată la Budapesta. Ea trebuie să achite taxa de participare de 30 euro

şi costul drumului dus-întors, de la Cluj la Budapesta, cu microbuzul. Drumul până la Budapestade la Cluj, costă 18 euro. Dacă Maria are în cont 45 euro, ce sold va avea după efectuarea plăţilor?


(–6) · (–44) (–12) · 1 41 · (–9) (–49) · 30 29 · 13 (–19) · 4(–11) · 1 (–13) · (–7) (–18) · 14 (–19) · 15 (–2) · (–2) (–11) · 2935 · (–48) 21 · 49 (–4) · (–31) 5 · (–39) (–3) · 13 (–6) · (–6)(–3) · (–3) (–11) · (–10) (–12) · 12 10 · (–34) 15 · (–40) 18 · (–25)27 : (–3) (–10) : (–5) 196 : (–14) 150 : (–3) (–44) : 2 125 : (–5)(–35) : 7 (–120) : (–40) (–72) : 9 (–63) : (–7) 40: (–8) 55 : 11

(–38) · (–25) 14 · (–22) (–38) · 30 (–99) : (–3) 0 : (–3) (–54) : 935 · (–21) (–198) · 0 (–12) · 30 8 · (–22) 960 : (–32) 172 : (–43)8 : (–8) 108 : (–6) (–51) : 3 (–14) : 14 (–154) : 11 (–240) : (–16)

5 – (–5) + 125 : (–5) + (–6 + 4 – 12 – 24): (–2) [(–30) : (–3 ) + (–42 )] + (–38)(–35) + [(–37) – 1 ·15] –12 + (–32) · 31 – (–25)

26 + [(–42) – 17 · (–33) + 31] –41 – (–104) : (–2)3

–8 : (–2)3 – │–5│ + │21 – 48│– │–48 –30│: (–6) [10 – (– 2) 3 · 2 – 6]

Semnul lui a Semnul lui b(b diferit de 0)

Semnul lui a · b saual lui a : b

+ + ++ – –– + –– – +

4.

5.

• Ordinea efectuăriioperaţiilor cu numereîntregi este aceeaşi cuordinea efectuăriioperaţiilor cu numerenaturale.

Reţine

6.

Proiec

t pilo

t

Rezultatul ar trebui să fie un număr care conţine (de la stânga spre dreapta) luna, ziua şi ultimeledouă cifre ale anului în care te-ai născut. Este aceasta data la care te-ai născut? Dacă nu, reia paşiipe care i-ai parcurs şi găseşte greşeala.

Descoperă şi învaţăLOCUL ARE IMPORTANŢĂ… Fiecare cifră a unui număr are semnificaţia ei. De exemplu, în cazul numărului 367, cifra 3reprezintă cifra sutelor, 6 reprezintă cifra zecilor şi 7 reprezintă cifra unităţilor. Ca urmare,

putem scrie: 367 = 3 · 100 + 6 · 10 + 7 sau 367 = 3 ·102 + 6 ·10 + 7.Reprezentaţi numărul 91063, punând în evidenţă semnificaţia fiecărei cifre.

DE LA CUVINTE LA NUMĂRa. Desenează şi utilizează axa numerelor pentru a identifica numărul care este:

• cu 10 mai mare ca –20;• cu 200 mai mare decât –300;• cu 80 mai mic decât 50;

• cu 170 mai mare decât –700;• cu 70 mai mic decât –225;• cu 400 mai mic decât 60;

• cu 150 mai mare decât –500;• cu 40 mai mic decât –20;• cu 200 mai mare decât –200;• cu 50 mai mic decât –60.

Matematica din jurCÂND TE-AI NĂSCUT?Scrie pe foaie toate numerele de la 1 la 12. Răspunde apoi în scris,notând răspunsul tău lângă numărul cerinţei.



Aplicaţii cu numere întregi 4

1. Scrie numărul care repre zintăluna în care te-ai născut;2. înmulţeşte-l cu 4;3. adună 13;4. înmulţeşte cu 100;5. împarte la 4;6. scade 200;

7. adună numărul care repre zintăziua în care te-ai născut;8. înmulţeşte cu 2;9. scade 40;10. înmulţeşte cu 50;11. adună ultimele 2 cifre aleanului în care te-ai născut;12. scade 10500.

• cu 4 mai mare decât –1;• cu 6 mai mic decât 3;• cu 8 mai mare decât –10;

• cu 4 mai mare decât 0;• cu 7 mai mic decât –4;• cu 3 mai mic decât –1;

• cu 8 mai mare decât –2;• cu 5 mai mic decât –4;• cu 2 mai mic decât 0;• cu 5 mai mare decât –8.

PROBLEME CU… TEMPERATURIFiecare linie a tabelului de mai jos, începând cu a doua linie, reprezintă o problemă cutemperaturi. Completaţi tabelul. Formulaţi textul problemei pentru trei dintre liniile tabelului.

Tempera turala prânz (°C)

Temperatura în timpulnopţii (°C)

Diferenţa detemperatură

(°C)

6 –8 –14 (a scă zutcu 14 °C)

4 –7–1 –6

Tempera tura laprânz (°C)

Temperatura în timpulnopţii (°C)

Diferenţa detemperatură

(°C)–5 0–4 –19

–18 –55 –7

3 –8

II.

1.

2.

3.

b. Identificaţi numărul:

4.

Proiec

t pilo

t

Estimează suma plătită din cont şi sumele de bani care au intrat în cont. Înlocuieşte „...“ din tabelcu valorile corespunzătoare. Adaugă o coloană în dreapta tabelului, coloană ce se va numi Balanţăşi va conţine soldul contului după fiecare transfer de sumă în şi din cont. Completează coloana pecare ai adăugat-o.

Am înţeles şi pot să aplicNUMERE ÎN… ATLETISMLucrând în grupe, rezolvaţi problema folosindu-vă, eventual, dealgoritmul de rezolvare a problemelor de la Lecţia I.3.

Lavinia şi-a propus să sară în înălţime 1 m, adică 100 cm. Ea şi-a notat cum s-a poziţionat la fiecare săritură faţă de performanţa pe care şi-a propus-o. Dacăa sărit mai mult cu 1 cm faţă de rezultatul pe care şi l-a propus, a notat +1, iardacă a sărit mai puţin cu 1 cm, a notat –1. Foaia ei de hârtie arăta astfel:

Câţi centimetri a avut cea mai înaltă săritură a ei? Câţi centimetri a avut ceamai „slabă“ săritură a ei?

Dincolo de lecţieRezolvă problema şi explică în scris cum ai gândit rezolvarea ei.

Andra şi Mihai, prietenii mei, au plecat în Statele Unite într-un turneu cu ansamblul dedansuri populare. Primul spectacol era programat în Los Angeles. Ei au decolat la ora 4 dimineaţadin Bucureşti şi au călătorit timp de 36 de ore – cu escale la Amsterdam şi Alabama. La ce oră artrebui ca organizatorii americani să fie în aeroport pentru a-i întâmpina pe dansatori, ştiind că oralocală din Los Angeles este UTC/ GMT –8 şi ora locală din Bucureşti este UTC/ GMT +2? (UTCînseamnă Coordinated Universal Time şi este termenul oficial pentru timpul măsurat atomic, iarGMT înseamnă Greenwich Mean Time şi denumeşte „timpul de bază“ faţă de care toate celelaltefusuri orare sunt relative şi este determinat de observaţiile astronomice realizate la Greenwich,Regatul Unit al Marii Britanii).

PROBLEME… CU CREDITELucrând în grupe, rezolvaţi problema, folosindu-vă, eventual,de algoritmul de rezolvare a problemelor de la Lecţia I.3.

Am un „card de salariu“, adică firma la care lucrez îmi virează înfiecare lună salariul în contul cardului. Mi s-a părut o variantă foarteavantajoasă, mai ales că banca mi-a oferit posibilitatea de a cheltuimai mult decât câştig. Ea mă creditează (dacă am nevoie) cu o sumăegală cu salariul meu pe o lună, urmând ca mai apoi să returnez sumacu care am fost creditată (şi evident, dobânda aferentă). Extrasul meude cont pe o anumită perioadă a lunii septembrie arăta astfel (am notat cu „...“ sumele pe care nu potsă le citesc de pe extras din cauza unei erori de imprimare):

–3 –2 +1 0 +2 –1

5.

Data Denumire Debit (plăţi în cont) Credit (intrări în cont)Sold iniţial la 1.09.2011 3201.09.2011 Dobândă sold 33.09.2011 ATM retragere 1204.09.2011 Tranzacţie Oranges 2866.09.2011 Tranzacţie S &V 2448.09.2011 Alimentare automată 50Suma mişcărilor ... ...Sold la 9.09.2011 ...

6.

Proiec

t pilo

t

PROGRAMUL „A DOUA şANSă” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR

NUMERE ÎNTREGI

Autoevaluare

Completează propoziţiile de mai jos:1. Am învăţat despre numerele întregi: ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Calculez corect valoarea unei expresii cu numere întregi dacă în expresie aparoperaţiile: ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Rezolv corect probleme care presupun utilizarea numerelor întregi dacă: ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. Produsele …………………………………………..............................din portofoliu şipaginile .................. din caiet demonstrează afirmaţiile mele de la 1, 2 şi 3.

5. Am încă dificultăţi cu:...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

6. Cred că întâmpin aceste dificultăţi pentru că:...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

7. Produsele .................................................................................... din portofoliu şi paginile.............................. din caiet demonstrează afirmaţiile mele de la 5 şi 6.

8. În cadrul acestei unităţi de învăţare mi-a plăcut să …………………………….. pentru că………......…………......................................................................................................................

Marchează cu X căsuţele prin care afirmaţia 9 devine adevărată.

9. În cadrul activităţilor în perechi/ grup:am contribuit cu idei pentru rezolvarea sarcinilor;am îndeplinit sarcinile care mi-au revenit în cadrul grupului/ perechii;am adresat întrebări relevante;am ascultat activ atunci când un alt coleg îşi prezenta ideile;alte situaţii…………………………………………………….....................................................

II.

Proiec

t pilo

t


Numere raţionale III

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurCE LUCRURI INTERESANTE FACEM CU FRACŢIILE?„Următoarea invenţie după numerele necesare numărării a fost descoperirea fracţiilor – acel tip denumere pe care azi le simbolizăm cu 2/3 (două treimi) sau 22/7 (douăzeci şi două de şeptimi sau,echivalent, trei întregi şi o şeptime). Cu ajutorul fracţiilor nu se poate număra – deşi 2/3 dintr-ocămilă pot fi mâncate, dar nu pot fi numărate –, în schimb se pot face multe alte lucruriinteresante.“ (Stewart Ian, Numerele naturii – Ireală realitate a imaginaţiei matematice,Humanitas, Bucureşti, 1999, p. 42)Discutaţi citatul de mai sus şi scrieţi ce lucruri interesante se pot face cu fracţiile.

Descoperă şi învaţăPĂRŢI ÎN DESENEa. Copiază în caiet figurile geometrice din desenul alăturat în caiet şi, în dreptul fiecărui desen, scrieîn câte părţi egale este împărţită figura geometrică, câte dintre părţi sunt colorate cu gri şi câte părţisunt albe.

b. Studiaţi desenele.

Reprezentaţi tabelul în caiet (cu atâtea rânduri câte figuri sunt) şi completaţi-l:

Discută cu colegii semnificaţia semnului „—“ din scrierea a⎯b .

ÎMPĂRŢIM PIZZARezolvaţi problema:

Patru prieteni cumpără o pizza şi doresc să o împartă în mod egal. Câte bucăţi va lua fiecare dintreei dacă bucătarul a tăiat pizza în: a) 8 părţi egale, b) 16 părţi egale; c) 4 părţi egale.Discutaţi cum aţi gândit rezolvarea problemei, scrieţi fracţiile corespunzătoare şi comparaţi întreele rezultatele obţinute la a), b) şi c).

NUMERE RAŢIONALE

Fracţii 1III.

1.

Numărulfigurii

Numărul de părţi egale încare este împărţită figurageometrică

Numărul de părţiegale colorate

Scrie a⎯b , unde a este numărul depărţi egale colorate şi b estenumărul total de părţi egale

3.

2.

1 2 3 4 5 6 7 8Proiec

t pilo

t


CUM OBŢIN FRACŢII ECHIVALENTE?Citeşte şi îndeplineşte sarcinile: În cele trei desene am reprezentat aceeaşi fracţie; scrie cele treifracţii diferite (dar echiva lente) reprezentate de cele trei diagrame.

Găseşte o regulă de obţinerea fracţiilor echivalente.Discută cu colegii tăi regulape care ai găsit-o.

EXERSEZa. Identifică valoarea lui x şi pe cea a lui t din următoarele egalităţi:1⎯2 = x⎯8 ; 1⎯5 = x⎯10 ; 3⎯4 = x⎯12 ; 1⎯8 = 2⎯x ; 16⎯40 = x⎯5 ; 3⎯12 = x⎯4 ; 1⎯3 = x⎯15 ;1⎯6 = 2⎯x ; 1⎯4 = 2⎯x = t⎯16 .

Compară rezultatele pe care le-ai obţinut cu rezultatele obţinutede colegi. Discutaţi modalitatea pe care fiecare dintre voi autilizat-o în rezolvarea exerciţiului.

b. Dacă aveţi la şcoală conexiune internet, exerseazăsimplificarea şi amplificarea fracţiilor rezolvând exerciţiilede la adresa http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_

g_4_t_1.html?from=topic_t_1.html şi/ sau de la adresahttp://www.edhelper.com/math/fractions_ft105.htm.

Am înţeles şi pot să aplicFRACŢII ÎN… BĂUTURI RĂCORITOARELucrând în grupe, rezolvaţi problema şi apoi explicaţicolegilor cum aţi rezolvat-o.

Marian are lipsă de calciu. Medicul i-a recomandat să ia calciusub formă de pastile şi să bea cât mai mult lapte. Singuraproblemă este că lui Marian nu-i place laptele. De aceea, fraţii luicaută reţete de băuturi răcoritoare pe gustul lui Marian, care săconţină cât mai mult lapte. Tudor a găsit următoarea reţetă: „Într-un pahar de 250 ml se pun 25 ml sirop de fragi, secompletează cu lapte răcit şi se amestecă bine“. Daniela a găsiturmătoarea reţetă: „într-un pahar de 200 ml se pun 25 ml sirop deportocale, se completează cu lapte răcit şi se amestecă bine“. Caredintre reţete conţine mai mult lapte? Argumentează-ţi răspunsul.De cât lapte este nevoie pentru a prepara 1 litru de „fragi culapte“? Dar pentru a prepara un 1 litru de „portocale cu lapte“?

Dincolo de lecţieRezolvă problema şi explică în scris cum ai gânditrezolvarea ei.Camelia şi Adrian au făcut o prăjitură cu mere pentru

prietenii lor care au venit în vizită. Era prima lor încercare şi afost o adevărată reuşită! După ce fiecare s-a servit din prăjitură,Camelia a spus: „A mai rămas un sfert din prăjitură!“ şi Adrian areplicat: „Ba nu, au mai rămas două optimi“. Cine are dreptate:Camelia sau Adrian? Pentru a putea răspunde la întrebare, priviţifotografia prăjiturii rămase.

• Numerele de forma a⎯b , cu

a şi b numere naturale, b ≠ 0 se numesc fracţii (saufracţii ordinare); a senumeşte numărătorulfracţiei, b se numeştenumitorul fracţiei, iarsemnul „—“ se numeştelinie de fracţie şi semnificăîmpărţirea. O fracţie seciteşte punând în evidenţăatât numitorul (numărul depărţi în care a fost împărţitîntregul), cât şi numărătorul(numărul de părţi luate înconsiderare). De exemplu,fracţia 3

⎯4se citeşte

„trei pătrimi“.• Două fracţii care suntreprezentate (în scris) diferitşi au aceeaşi valoare senumesc fracţii echivalente. De exemplu,

1⎯2 şi 2⎯4 sunt fracţii echivalente.• Dacă înmulţim sauîmpărţim atât numărătorul,cât şi numitorul fracţiei cuacelaşi număr (diferit de 0),atunci obţinem o fracţieechivalentă cu fracţia dată.Dacă înmulţim numitorul şinumărătorul unei fracţii cuun acelaşi număr n diferitde 0, spunem că amplificămfracţia cu n. Dacă împărţimnumitorul şi numărătorulunei fracţii cu un acelaşinumăr n diferit de 0, n fiinddivizor al numitorului şi alnumărătorului, spunem căsimplificăm fracţia dată.

Reţine4.

5.

6.

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurEGALITATEA DE ŞANSE PENTRU FEMEI ŞI BĂRBAŢI ÎN ROMÂNIA PRIN FRACŢII

– În 2002, femeile reprezentau 3⎯10 din numărul membrilor corpurilor legislative şi al directorilor

de instituţii publice şi unităţi socio-economice şi politice.

– În urma alegerilor din 2004, 1⎯10 din numărul membrilor Parlamentului României sunt femei.

(Date preluate din Raportul Equal Opportunities for Women and Men – Monitoring Law and Practice in New MemberStates and Accession Countries of the European Union realizat de Open Society Institute şi dat publicităţii în mai 2005.)

Reprezintă fracţiile din textul de mai sus. Compară fracţiile din text cu fracţia 51⎯100 , care repre -

zintă numărul femeilor din totalul populaţiei României. Discută despre semnificaţia comparaţiei.

Descoperă şi învaţăÎMPĂRŢIM MÂNCARE

a. Citeşte textul şi îndeplineşte sarcinile.Corina a tăiat o prăjitură în 10 părţi egale. Ea mănâncă 3 bucăţi din prăjitură şi Marius mănâncă 4bucăţi. Scrie fracţiile care completează afirmaţia:Corina a mâncat ……… din prăjitură, Marius a mâncat ……… din prăjitură, împreună au mâncat……… din prăjitură.Găsiţi care este regula de adunare a două fracţii care au numitor comun.

b. Rezolvă problema împreună cu un coleg şi apoi prezentaţicelorlalţi colegi răspunsurile la întrebări şi modul în care aţi rezolvatproblema.

Ieri, patru prieteni şi-au cumpărat fiecare câte o franzelă mică. Toatefranzeluţele erau la fel. Mihai şi-a tăiat franzela în 4 felii egale şi amâncat 3, Corina a tăiat-o în 5 felii egale şi a mâncat 4, Maria a tăiat-oîn 10 felii egale şi a mâncat 9, Sami a tăiat-o în 20 de felii egale şi amâncat 17. Cine a mâncat mai multă pâine? De unde ştii? Cui i-a rămasmai multă pâine? De ce? Dacă Sami ar fi mâncat cu o felie în plus, ar fimâncat cel mai mult din pâine? Dar dacă ar fi mâncat cu două felii maimult?

Reprezintă pe axa numerelor fracţiile: 3⎯4 , 4⎯5 , 9⎯10 , 17⎯20 , 18⎯20 .

Ai fi putut rezolva problema utilizând aceste reprezentări? Discută cu colegii tăi pentru a găsirăspunsul la această întrebare.

EXERSEZ

a. Citeşte textul de mai jos şi îndeplineşte sarcinile.Scrie patru fracţii subunitare diferite, utilizând numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Reprezintă-le peaxa numerelor. Ordonează-le descrescător. Efectuează patru operaţii de adunare diferite cu fracţiile

TITLUL CAPITOLULUINUMERE RAŢIONALE


Compararea fracţiilor şi operaţii cu fracţii 2

III.

1.

2.

3.

Proiec

t pilo

t

pe care le-ai scris. Efectuează patru operaţii de înmulţire diferite cu operaţiile scrise de tine.Efectuează patru operaţii de împărţire diferite cu fracţiile pe care le-ai scris. Simplifică rezultatelepe care le-ai obţinut, dacă este posibil, şi reprezintă-le pe axa numerelor. Împărtăşeşte-i coleguluitău rezultatele obţinute. Discutaţi.

b. Efectuează operaţiile: 2⎯3 + 5⎯6 ; 3⎯4 – 1⎯3 ; 3⎯5 · 2⎯3 ; 2⎯3 + 1⎯6 ; 2⎯3 : 1⎯6 ; 1⎯4 + 1⎯6 · 2⎯3 ; 2⎯5 : 5⎯20 .

Stabileşte care dintre rezultate este fracţie subunitară. Reprezintărezultatele pe axa numerelor.

c. Dacă aveţi la şcoală conexiune internet, exersează• adunarea fracţiilor la http://www.aaamath.com/fra57a-addfractld.html şi

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_106_g_3_ t_1.html, • înmulţirea fracţiilor la adresahttp://www.aaamath.com/B/fra66mx2.htm sauhttp://www.aplusmath.com/Flashcards/fractions-mult.html, • împărţirea fracţiilor la http://www.aaamath.com/B/fra66ox2.htm.

Am înţeles şi pot să aplicOPERAŢII CU FRACŢII ÎN PROBLEME

Gândiţi împreună şi rezolvaţi problema. Garofiţei i-a rămas jumătate dintr-o plăcintă cu brânză.Ea împarte bucata rămasă celor 4 copii ai ei. Ce parte din

plăcintă primeşte fiecare copil?

Dincolo de lecţieRezolvă problema şi explică în scris cum ai gândit rezolvarea ei.

Ca în fiecare an, în luna mai se organizează Zilele Şcolii. Cutoţii, elevi şi profesori, contribuim la organizarea diferitelormomente. Maria şi Mihai se oferă să prepare sucul de fructepentru copiii ce participă la acest eveniment. Ei prepară suculamestecând concentratul de suc de fructe cu apă. Pentru a fisiguri că sucul va fi apreciat de copii, Maria şi Mihai încearcămai multe reţete de amestec. Reţeta A: 2 căni de concentrat şi 3căni de apă rece; reţeta B: 1 cană de concentrat şi 4 căni de apărece; reţeta C: 4 căni de concentrat şi 8 căni de apă rece; reţetaD: 3 căni de concentrat şi 5 căni de apă rece. Care reţetă artrebui utilizată pentru ca sucul să aibă cel mai pronunţat gust defructe? Care dintre reţete este cea mai ieftină? Dacă fiecare copilva primi o jumătate de cană de suc şi la eveniment vor participa360 de copii, calculaţi cât concentrat şi câtă apă vor fi necesarepentru prepararea sucului (consideră fiecare din cele 4 reţete).Argumentează răspunsurile.

• Pentru a compara douăfracţii, vom ţine cont deurmătoarele:a⎯b ≤ c⎯b dacă şi numai dacă

a ≤ c (b ≠ 0); a⎯b ≤ a⎯c dacă şi

numai dacă b ≥ c, (b ≠ 0, c ≠ 0); pentru a compara douăfracţii care nu au nici acelaşinumitor, nici acelaşinumărător, se scriu formeechivalente ale celor douăfracţii care fie au acelaşinumitor, fie au acelaşinumărător şi se aplică unadin regulile anterioare.

• Pentru a efectua adunareasau scăderea a două fracţii,vom ţine cont de următoarearegulă:

a⎯b ± c⎯b = a ± c⎯b (b ≠ 0).

Dacă cele două fracţii nu auacelaşi numitor, atunci elese vor aduce la numitorcomun utilizândechivalenţa fracţiilor.

• Înmulţirea a două fracţiise efectuează astfel:

a⎯b · c⎯d = a · c⎯b · d (b ≠ 0, c ≠ 0)

şi împărţirea a două fracţiise efectuează astfel:

a⎯b : c⎯d = a⎯b · d⎯c

(b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0). Înainte de a efectuaînmulţirea şi împărţireafracţiilor, simplificaţifracţiile.• O fracţie a⎯b se numeştesubunitară dacă a < b.

Reţine

4.

Proiec

t pilo

t


TITLUL CAPITOLULUI

Matematica din jurUMOR CU FRACŢIIUn matematician îi spune soţiei sale că se va întoarce acasă la 12 fără un sfert. Ajungând acasă laora 3 dimineaţa, soţia lui îi reproşează că nu s-a ţinut de cuvânt. Răspunsul matematicianului afost: „M-am ţinut de cuvânt, draga mea… Doar ţi-am spus că voi veni acasă la un sfert din 12.“Explicaţi răspunsul matematicianului.

Descoperă şi învaţăFRACŢIE DINTR-UN NUMĂRRezolvaţi următoarele probleme:a. Determină 3⎯5 din 60 de lei.

b. Marin are trei copii. Fiind foarte bătrân, el şi-a scristestamentul. Jumătate din averea sa o lasă soţiei, un sfert celuimai mare dintre copii, o cincime mijlociului şi restul celui maimic. Ce parte din avere va primi cel mai mic dintre copiii lui Marin? Dacă averea lui Marin este51.000 de lei, ce sumă reprezintă moştenirea fiecăruia?Discutaţi cu ceilalţi modalitatea de rezolvare a fiecărei probleme.

DE LA FRACŢII LA PROCENTELucrând în perechi, rezolvaţi problemele:a. Patronul a anunţat o creştere salarială de 6⎯100 . Dacă am unsalariu de 400 de lei, cu cât îmi va creşte salariul?b. Doar doi tineri din cinci au un loc de muncă – spune un articolcitat de revista presei on line după Cotidianul(http://www.cafeneaua.com/node/view/2407). Determină câţitineri din 100 au un loc de muncă.Discutaţi modalitatea de rezolvare a fiecărei probleme.

CUM NECUNOSCUTE DEVIN CUNOSCUTE ÎNPROBLEME CU PROCENTERezolvaţi problemele de mai jos. Discutaţi modalitatea de

rezolvare a fiecărei probleme. Stabiliţi „cunoscutele“ şi „necunos -cuta“ în fiecare caz şi identificaţi şi formulaţi reguli de rezolvare.

a. Patru stomatologi din cinci recomandă guma de mestecat fărăzahăr. Care este procentul de medici stomatologi care recomandăguma de mestecat fără zahăr?b. 80% din costul transportului este suportat de organizatorii unui eveniment. Dacă contravaloareatransportului este de 50 lei, cât vor acoperi organizatorii din costul biletului?c. Din cauza unor probleme financiare, firma a putut onora în această lună doar 80% din salarii.Dacă am primit 320 lei, care este salariul meu lunar?

EXERSEZDetermină mintal:1⎯2 din 20, 1⎯3 din 60, 1⎯5 din 100, 1⎯4 din 28, 3⎯7 din 63, 3⎯8 din 64, 3⎯4 din 100, 1⎯2 din 10,2⎯5 din 25, 3⎯5 din 45, 20⎯100 din 50, 40⎯100 din 300.

NUMERE RAŢIONALE

Aplicaţii practice ale fracţiilor 3

III.

1.

2.Pentru a determina a⎯b

dintr-o cantitate n se

efectuează a⎯b · n.

Reţine

3.

4.

5.

• Fracţiap⎯

100 se notează cup% şi se numeşte procent.Cuvântul „procent“ provinedin limba latină, „percent“,însemnând „la fiecare sută“.• Pentru a determinaprocentul reprezentat defracţia , determinăm pastfel încât fracţiile şi să fie echivalente.

ab a

bp

100

Reţine

Proiec

t pilo

t


Am înţeles şi pot să aplicFRACŢII ÎN PROBLEMERezolvaţi problemele şi discutaţi în grup modalitatea de rezolvare a fiecăreia.

a. Punctajul maxim care poate fi obţinut la testul scris de la examenul pentru obţinerea car ne tului de

şofer este de 26 de puncte. Mădălina a obţinut 12⎯13 din punctaj. Câte puncte a obţinut la test?

b. Într-un departament al unei firme lucrează 32 de persoane, dintre care 3⎯8 vin la firmă cuautobuzul. Câte persoane vin la firmă cu autobuzul?

c. Într-o şcoală sunt 798 de elevi. 1⎯2 din numărul elevilor sunt fete. Câte fete sunt în şcoală?

d. 3⎯10 din angajaţii unei firme nu au copii. Firma are 510 angajaţi. Determinaţi numărul de angajaţi

care au copii.

e. Unul din cinci tineri între 16 şi 20 de ani au condus în anul2004 sub influenţa alcoolului – dezvăluie raportulguvernamental al Statelor Unite ale Americii din decembrie2004. Dacă în S.U.A. sunt 20 de milioane de tineri cu vârsteîntre 16 şi 20 de ani, câţi tineri au condus sub influenţaalcoolului în 2004? (informaţie preluată de pe site-ul ASAPFamily – http://www.asapfamily.com/news/drive.htm)

PROCENTE ÎN PROBLEMERezolvă problemele, compară rezultatele cu ale colegului tău şidiscută modalităţile de rezolvare cu toţi colegii.

a. La alegerile pentru preşedinţia Asociaţiei TIME, 2268 persoane auvotat pentru Mirela V., 8820 persoane au votat pentru Leo T. şi 1512persoane au votat pentru Vlad G. Ce procent din voturi a avut fiecarecandidat, ştiind că fiecare membru al asociaţiei a votat pentru unul dincandidaţi?b. Dobânda oferită de o bancă pentru depozitele în lei este 11% pe an.Ce dobândă voi primi după un an, dacă depozitul meu este 500 de lei? Dar după 5 luni? Dar după2 ani, dacă dobânda primită pe primul an s-a capitalizat (adică a fost depusă automat în cont)?

Dincolo de lecţieRezolvă problemele şi explică în scris cum ai gândit rezolvarea lor.

a. Eva cheltuieşte jumătate din salariul ei pe mâncare şi chirie, 25% din salariu pehaine, 1⎯12 pentru petrecerea timpului liber şi reuşeşte să economisească în fiecare an 120 de lei.

Maria cheltuieşte 50% din salariul ei pe mâncare şi chirie, 1⎯3 pe haine, 1⎯12 pentru petrecerea

timpului liber şi reuşeşte să economisească în fiecare an 120 de lei. Estimează cine câştigă mai mult, Eva sau Maria? Argumentează-ţi răspunsul. Reprezintă prin desen fiecare dincele două situaţii. Calculează venitul anual al Evei în mai multe moduri. Calculează venitulanual al Mariei.b. O pereche de blugi costă 80 de lei la magazinul de pe strada mea. Luna aceasta, magazinul oferăo reducere de 20%. Pot să îmi cumpăr blugii, dacă am 60 lei? Argumentează-ţi răspunsul.

6.

7.

Proiec

t pilo

t


TITLUL CAPITOLULUI

Matematica din jurNUMERELE COMUNICĂÎncepând cu anul 1995, din patru în patru ani, România a participat, împreună cu alte ţări din lume, lastudiul TIMSS1, iniţiat de Asociaţia Internaţională pentru Evaluarea Rezultatelor din Educaţie. În anul1995, elevii români testaţi la matematică (clasa a VIII-a) au obţinut 474 de puncte, în 1999 au obţinut472 puncte, în 2003 ‒ 475 puncte şi în anul 2007 ‒ 461 puncte. Cel mai mare punctaj a fost obţinut deelevii din Singapore: 609 puncte în 1995, 604 în 1999, 605 în 2003 şi 593 în 2007. Pentru a interpretacorect rezultatele obţinute de elevi, s-a făcut un studiu2 legat de condiţiile pe care le au acasă eleviicare au participat la test. Datele acestui studiu se găsesc în tabelul de mai jos:

Ce vă „spun“ datele din tabel? Ce fel de numere sunt cele dinultima coloană? Aţi mai întâlnit astfel de numere? Dacă da, în cecontext? Discutaţi.

Descoperă şi învaţăDE LA FRACŢII LA „NUMERE CU VIRGULĂ“Utilizând un calculator de buzunar, calculează valorileurmătoarelor fracţii prin împărţirea numărătorului la numitor:

1⎯4 , 1⎯2 , 3⎯10, 7⎯2 , 4⎯8 , 1⎯3 , 1⎯5 , 2⎯9 , 5⎯4 , 14⎯10, 5⎯100 , 25⎯1000 , 245⎯100 .

(Linia de fracţie înseamnă operaţie de împărţire).Scrie toate rezultatele obţinute în caiet. Lucraţi în perechi pentru a răspunde la următoarele întrebări: Ce au în comun toate valorile pe care le-ai obţinutlucrând cu fracţii subunitare? Câte cifre ai obţinut după virgulă în fiecare caz? Ce crezi că determină numărul de cifre de după virgulă? Compară scrierea fiecărei fracţii cu scrierea valorii pe care ai obţinut-o. Se regăsesc aceleaşi cifre? Dacă da, în ce situaţii? Crezi că ai putea scrie valoarea unei fracţii fără a utilizacalculatorul? Dacă da, în ce condiţii?

NUMERE RAŢIONALE

Fracţii zecimale 4


ŢaraPunctajobţinutîn 1999

% elevicare au

acasă uncalculator

de buzunar

% elevicare au

acasă unbirou

% elevicare au

acasă undicţionar

% elevicare au

acasă maimult de 25

de cărţi

% elevicare au

acasă uncalculator(computer)

Media devârstă aelevilor

România 472 58% 68% 55% 49% 17% 15Hong Kong 582 97% 78% 97% 50% 37% 14,4S.U.A. 502 96% 87% 95% 75% 54% 14,3

III.

1 The Trends in International Mathematics and Science Study.2 realizat de Eric A. Hanushek şi Javier A. Luque,http://edpro.stanford.edu/eah/papers/TIMSS.pdf

1.

2.

• Valoarea unei fracţii ce seobţine prin împărţirea numă -rătorului la numitorul fracţieise numeşte fracţie zecimală.Fiecare cifră din tr-o zecimalăare o semnifica ţie legată depoziţia ei în număr. Deexemplu: pentru numărul34,56, avem 3 – cifra zecilor,4 – cifra unităţilor, 5 – cifrazecimilor, 6 – cifra sutimilor;numărul se poatedescompune ca sumă astfel: 3 · 10 + 4 + 5 · 1⎯10 + 6 · 1⎯100 . • Numărul 34,56 se citeşte„treizeci şi patru şi 56 desutimi“ sau, în limbajulcurent, se utilizează varianta„treizeci şi patru virgulăcincizeci şi şase“. • Fracţiile care au lanumitor puteri ale lui 10,100, 1000 se scriu foarteuşor ca fracţii zecimale. Deexemplu:

3⎯10 = 0,3; 234⎯100 = 2,34;

45⎯1000 = 0,045.

Reţine

Proiec

t pilo

t

EXERSEZCiteşte textele de mai jos şi răspunde cerinţelor.

a. Citeşte fracţiile zecimale 0,23; 1,25; 3,25; 4,5; 0,75; 4,24.Ordonează-le crescător şi reprezintă-le pe axa numerelor. Scrie-lesub formă de fracţii.b. Scrie următoarele fracţii ca fracţii zecimale: 4⎯10, 2⎯4 , 12⎯5 , 3⎯2 .

Citeşte fracţiile zecimale pe care le-ai scris. Reprezintă-le pe axanumerelor şi ordonează-le crescător. Compară rezultatele obţinutecu cele obţinute de unul dintre colegii tăi.

c. Compară: 2⎯3 şi 0,65; 1⎯4 şi 2,5; 0,5 şi 360⎯720 . Explică-i colegului

cum ai procedat pentru a face comparaţia.

d. Scrie două fracţii zecimale mai mici decât 1⎯2 . Scrie două fracţii

zecimale mai mari decât 1,2 şi mai mici decât 1,3. Discutaţi.

Am înţeles şi pot să aplicDOBÂNZIGândiţi împreună şi rezolvaţi problema: Dobânzile la

vedere (pe an)acordate de diferitebănci pentrudepozite în lei sunt:0,5% (Bank ofCyprus), 0,1%(Leumi, Volksbank,UniCredit ŢiriacBank etc.), 0,25%(BRD-GSG, PiraeusBank) sau 0,15%(Banca Transilvania,CEC Bank). Caredintre bănci oferă ceamai mare dobândă?Care oferă cea maimică dobândă? Cedobândă vei primidupă 6 luni, la BRD-GSG dacă ai depus încont 500 lei?

Dincolo de lecţiePROIECT NUMERE ÎN MESERIEDescrie utilizarea numerelor şi a operaţiilor cu numere în meseria pe care o practici sau înmeseria pe care ţi-ai ales-o. Dacă este nevoie, înainte de a realiza descrierea, colectează

informaţii despre utilizarea numerelor în meseria pe care doreşti să o practici.

Fracţiile zecimale se potreprezenta pe axa numerelor.

În cazul a două fracţii scrisesub formă zecimală, secompară cifrele care ocupăaceeaşi poziţie în cadrulnumărului. De exemplu: 2,34 ≤ 2,39 pentru că: 2 = 2, 3 = 3 şi 4 < 9.Dacă fracţiile zecimale aumai mult de trei cifre dupăvirgulă, se lucrează cuaproximările lor prin lipsă;altfel spus, se consideră doarprimele două cifre de dupăvirgulă.


3.

4.

Reţine

Proiec

t pilo

t

Matematica din jurNUMERE LA ŞTIRI„7% dintre europeni folosesc bicicleta ca principalmijloc de deplasare; media nu e mare dacă o comparăm

cu numerele din ţări precum Olanda (31%), Danemarca, Ungaria(fiecare cu câte 19%) sau Suedia (17%). …România se află totuşisub media continentului: doar 5%.“ (ştire preluată de pe site-ulThink Outside the Box1)

„Din 2000 şi până în 2009, la nivelul U.E., ponderea tinerilorcu vârsta cuprinsă între 18 şi 24 de ani care au cel mult 8 clase ascăzut de la 17,6% la 14,4%, România situându-se în prima partea clasamentului din punct de vedere al progreselor, reducerea, încazul nostru, fiind de la 21,2% în 2000, la 16,6% în prezent.“(ştire preluată de pe site-ul Fundaţiei Dinu Patriciu2).

„Datoria publică a României a ajuns la 214 miliarde lei lamijlocul acestui an (N.A. 2011), echivalentul a 39,4% din PIB,arată datele publicate de Ministerul Finanţelor Publice. …Lasfârşitul anului trecut, România avea o datorie publică de 194,4miliarde lei (37,86% din PIB), în creştere de la 109,1 miliarde lei(21,65% din PIB) la finele anului 2008.“ (ştire preluată de pe site-ul Business Forum3).

Citiţi cu atenţie textul fiecărei ştiri. Calculaţi diferenţele dintreprocentele prezentate în textul fiecărei ştiri, discutaţi rezultateleşi prezentaţi modul în care aţi lucrat. Analizaţi apoi informaţiacuprinsă în cele trei ştiri.

Descoperă şi învaţăCUM CALCULĂM CU NUMERE ZECIMALE?Rezolvaţi problemele de pe pagina următoare. Discutaţi despre modalitatea de rezolvare afiecărei probleme şi despre cum aţi efectuat calculele.



Operaţii cu fracţii zecimale 5

III.

• Operaţiile de bază cufracţii zecimale sunt: adu -narea, scăderea, înmulţirea,împărţirea. Pentru a adunasau scădea două fracţiizecimale, acestea se aşazăuna sub alta, în aşa fel încâtvirgulele să ocupe aceeaşipoziţie. Dacă unul dinnumere este natural, atunciconsiderăm că după virgulăare cifre de 0.Exemplu: 234,34 + 72,36 – 15,61+ 1,40 23,45 3 235,74 48,91 18,61

• Pentru a înmulţi douăfracţii zecimale, seefectuează înmulţireanumerelor neţinând seamade virgulă, iar la rezultatdespărţim atâtea cifrezecimale câte au cele douănumere zecimale împreună.Exemplu: 0,175 · 3,5 = 0,6125. • Împărţirea fracţiilorzecimale se face în acelaşimod ca în cazul numerelornaturale. Înmulţim atâtdeîmpărţitul, cât şiîmpărţitorul cu acea puterea lui 10 care transformăîmpărţitorul în numărîntreg. Exemplu:33 : 6,5 = 330 : 65 = 5,07. Împărţirea unei fracţii zeci -male cu o putere a lui 10 seface mutând virgula spre stân -ga, peste un număr de cifreegal cu exponentul puterii.

Reţine

1 http://totb.ro/?p=199672 https://www.fundatiadinupatriciu.ro/ro/media_room/stiri/4503 http://www.business-forum.ro/business/financiar/30111-datoria-public-a-romaniei-aproape-de-40.html

1.

2.

Proiec

t pilo

t

Am înţeles şi pot să aplicCÂŞTIGURI ŞI CUMPĂRĂTURIGândiţi împreună şi rezolvaţi problemele de mai jos:a. Gelu lucrează la cantina unei firme. El îşi începe munca în fiecare dimineaţă la ora 5:20

şi pleacă acasă la ora 11:20. Lucrează 5 zile pe săptămână şi este plătit cu 3,5 lei pe ora lucrată. Câtcâştigă Gelu într-o săptămână? Dar într-o lună?b. Un euro este 4,2418 lei. Fratele meu mi-a trimis din Spania 350 euro. Îmi pot cumpăra, dinaceastă sumă, un calculator care costă 1301,5 lei din această sumă? Argumentaţi răspunsul.


Corina şi Daniel au musafiri la masă. S-au gândit să îi servească pe prietenii lor cu o prăjiturăcu mere. Pentru o tavă de prăjitură au nevoie de 1 kg de mere, 1⎯4 kg zahăr, 0,2 kg unt, 3 ouă, 0,30kg făină, 1 plic de zahăr vanilat şi o lămâie. Pentru că vor veni 15 persoane şi pentru că prăjiturilefăcute de cele două gazde sunt foarte apreciate, Corina şi Daniel doresc să facă două tăvi deprăjitură. Mergi la magazin şi află preţurile tuturor produselor necesare pentru prăjitură şicalculează suma necesară pentru achiziţionarea lor.

PROIECT REŢETE DE CRĂCIUNPopoare diferite sărbătoresc Crăciunul diferit. În cadrul acestui proiect vei prezenta reţete de

mâncăruri tradiţionale de Crăciun ce se servesc în diferite ţări ale lumii. Vei putea alege minimcinci ţări. Prezentarea reţetelor înseamnă o listă a ingredientelor şi cantităţilor corespunzătoarenecesare pentru prepararea mâncării. Apoi vei calcula cantităţile necesare pentru a pregătirespectivul fel de mâncare pentru 25 de persoane.

a. Un kg de zahăr costă 4,9 lei şi un ou costă 0,4 lei. Cumpăr 3 kg de zahăr şi 22 ouă. Câţi lei voi primirest de la trei bancnote de 10 lei?b. Pentru 4 porţii de găluşte din cartofi cu brânză şi ceapă sunt nece sare: 0,6 kg cartofi, 0,25 kg făină,0,2 kg brânză de vaci, 0,2 kg ceapă, 0,15 kg margarină. Ce cantităţi sunt necesare pentru 10 porţii?c. Un trening costă 40,95 lei la magazinul „Sport“ şi 40 lei la magazinul unde lucrez. La magazinul„Sport“ au reducerea „cumperi şi plăteşti două treimi din preţ“, iar la magazinul unde lucrez avem oreducere de 30%. Unde costă treningul mai puţin?

EXERSEZa. Lucrând în perechi, estimaţi rezultatele şi apoi efectuaţicalculele:


23,02 + 32,5645,24 + 6,0981,23 + 55,2994,37 + 101,23581,24 + 0,2485,32 + 34,2

102,34 – 51,35 42,39 – 25,39114,23 – 0,9324,25 – 102,4556,22 – 20,4481,34 – 0,23

5,1 · 22,31 · 4,510,5 · 0,235,3 · 0,1235,6 · 0,018,34 · 50

8 : 1,632,14 : 10,345 : 274,24 : 0,145,13: 12,11,6 : 4,8

Verificaţi rezultatele pe care le-aţi obţinut cu ajutorulcalculatorului de buzunar. Comparaţi estimările pe care le-aţi făcut cu rezultatele operaţiilor.Discutaţi despre modalităţile în care aţi realizat estimările.b. Lucrând în perechi, efectuaţi calculele:80,7 : 0,3 · 2,7830 : 5 + 4,4 + 3,1343 : 7 · 2,876,5 : 0,5 – 3,9 – 2,7 · 2,4

21,8 : 0,2 + 1,7 · 2(630 : 7) – (4,80 + 35,46)1,5 : 0,03 + (51,2 – 2) 726 : 6 · (5,24 +1)

918 : 6 – 4,80 + 2 + 48,620,63 : 0,7 · 25, 6 + 2 . Verificaţi cu ajutorul calculatoruluide buzunar dacă aţi lucrat corect.

Ordinea efectuării opera -ţiilor cu fracţii zecimale esteaceeaşi cu ordinea efectuăriioperaţiilor cu numere întregi.

Reţine

3.

4.

Proiec

t pilo

t

Matematica din jurNUMERE ÎN ZIARE„În ultimii 15 ani, în ţara noastră au dispărut, ca urmare adefrişărilor ilegale, pădurile de pe o suprafaţă de peste trei sute

de mii de hectare. La ora aceasta, în România, suprafaţa declarată apădurilor este de 6,3 milioane de hectare, ceea ce reprezintă doar 26,7%din suprafaţa totală a ţării.“... „Toate aceste lucruri au accentuat eroziuneasolului şi schimbările climaterice, fenomen care, de altfel, se manifestă lanivel global.“ (România Liberă, 15 iulie 2005).

Reprezentaţi prin desen suprafaţa declarată a pădurilor şi suprafaţa defrişată în ultimii 15 ani.Pornind de la textul preluat din ziar şi de la afirmaţia: „Calamităţile naturale sunt cauzate şi de

defrişarea pădurilor“, discutaţi în grup şi răspundeţi la întrebarea:Ce putem face noi acasă, la şcoală sau în comunitate pentru a diminua defrişarea pădurilor?Rezolvaţi problema: Familia Gaşpar colectează separat deşeurile de hârtie. În fiecare săptămână se

strâng aproximativ 0,5 kg de hârtie. Câte kg de hârtie colectează familia Gaşpar într-un an? Dacă prinreciclarea a 50 de kg de hârtie se salvează o zecime dintr-un copac, în câţi ani va salva familia Gaşparun copac?

EU AM... CINE ARE...?Fiecare va primi o „carte de joc“. De data aceasta, cărţile de joc vor fi astfel:

Fiecare din voi va avea o carte de joc... şi pentru că profesorii sunt întotdeauna privilegiaţi, primacarte de joc este a profesorului/ profesoarei. Trebuie să fiţi atenţi şi să efectuaţi calculul pe care îlpropune cel ce citeşte cartea. Cu siguranţă că unul din voi are răspunsul. Citeşte răspunsul şiadresează întrebarea scrisă pe cartea ta de joc. Ultima carte de joc nu va mai conţine nici oîntrebare. Ea va conţine doar răspunsul la întrebarea precedentă şi apoi este scris „sfârşit“.

Descoperă şi învaţăALTE FRACŢIICiteşte textele de mai jos şi răspunde cerinţelor:

a. Se consideră numerele 1⎯4 , 5⎯2 , – 1⎯3 , – 9⎯2 . Reprezintă-le pe axa numerelor, ordonează-lecrescător, scrie-le sub formă de fracţii zecimale, compară-le cu 0, apoi cu 1⎯2 , apoi cu – 1⎯2 .Reprezintă numerele pozitive cu ajutorul figurilor geometrice.Discutaţi în grup.

b. Se consideră numerele: 0,75; ‒1,25; 2,5; ‒3,25. Reprezintă-le pe axa numerelor, ordonează-lecrescător, scrie-le sub formă de fracţii, compară-le cu 0, apoi cu 0,5, apoi cu ‒1,5. Reprezintănumerele pozitive cu ajutorul figurilor geometrice.Discutaţi în grup.


Numere raţionale 6


III.

1.

2.

3.

Proiec

t pilo

t

UN EXTRAS DE CONT ŞI MULTE ALTE NUMERECiteşte textul de mai jos şi îndeplineşte sarcinile.Acesta este extrasul meu de cont din prima săptămână a luniidecembrie (am notat cu „ …“ sumele pe care nu pot să le citescde pe extras din cauza unei erori de imprimare):

Citeşte toate numerele din extrasul de cont. Stabileştesemnificaţia fiecărui număr. Scrie sub formă de fracţie toatefracţiile zecimale care apar în extrasul de cont.

Estimează suma plătită din cont şi sumele de bani care auintrat în cont. Înlocuieşte „ ...“ din tabel cu valorilecorespunzătoare. Răspundeţi la întrebarea: Ce fel de numere suntnumerele care apar în extrasul de cont? Discutaţi în grup.

CALCULEZ CU NUMERE RAŢIONALEEfectuează calculele şi apoi verifică rezultatele cu ajutorul unuicalculator de buzunar.


0,5 + 1,3 – 1,513⎯36 + 1⎯9 + (– 5⎯9 )92⎯10 + (–7,5) – 2,7

–1 – 1,65

2 – 2,3

–3,2 · 4,51 · 01⎯2 · (–0,75) + 0,5 · (–0,25)

5⎯6 – 5⎯6 · 2

0,5 – 2⎯3 : 1⎯0,3(– 2⎯3 – 0,5) : 7⎯3 + (–0,1)

Am înţeles şi pot să aplicCE DE NUMERE ÎN MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE!Argumentează afirmaţia: „numerele naturale şi numerele întregi sunt numere raţionale“.Lucrează împreună cu unul din colegii tăi. Prezentaţi argumentul vostru celorlalţi colegi.

NUMERE RAŢIONALE ÎN GEOGRAFIEGândiţi împreună şi rezolvaţi problema:Dacă, pe o hartă, 1 cm reprezintă 30,5 km în teren, câţi km reprezintă în teren 4,8cm de pe hartă?

Dincolo de lecţieRezolvă problema şi explică în scris cum ai gândit rezolvarea ei: Vaca lui Ion este destul de slabă, şi, totuşi, încă dă 11,5 l lapte pe zi. Ion are patrucopii, astfel că el vinde doar 4⎯5 din lapte la o firmă de comercializare a laptelui,

care îi plăteşte 1,2 lei pe litrul de lapte. Ce cantitate de lapte dă vaca lui Ion într-o lună(consideră că luna are 31 de zile)? Ce cantitate de lapte vinde Ion într-o lună? Cât câştigăIon din vânzarea laptelui într-o lună? Ce cantitate de lapte bea zilnic fiecare copil dinfamilia lui Ion dacă laptele nevândut este împărţit în mod egal între copii?

• Numerele de forma a⎯b ,unde a şi b sunt numereîntregi şi b ≠ 0, se numescnumere raţionale. Mulţimeanumerelor raţionale se

Q. Numerelenaturale, numerele întregi şi,evident, fracţiile (scrise suborice formă) sunt numereraţionale. • Operaţiile de bază cunumere raţionale sunt:adunarea, scăderea,înmulţirea, împărţirea.Aceste operaţii se efectueazăţinând cont de regulileefectuării operaţiilor cunumere întregi şi, respectiv,cu fracţii. De exemplu:

– 1⎯4 – 5⎯4 = – 6⎯4 = – 3⎯2 ;

1 – (– 1⎯2 ) = 1 + 1⎯2 = 3⎯2 ;

2⎯3 · (– 1⎯5 ) = – 2⎯15;

(–0,25) · (–0,5) = 0,125.

Reţine

Data Denumire Debit (plăţidin cont)

Credit (intrăriîn cont)

Sold iniţial la 1.12.2011 325,71.12.11 Dobândă sold 2,883.12.11 ATM (retragere) 1204.12.11 Tranzacţie Oranges 290,346.12.11 Tranzacţie M & N 226,128.12.11 Alimentare automată 50Suma mişcărilor … …Sold la 9.12.2011 …

4.

6.

7.

5.

Proiec

t pilo

t

notează cu

Matematica din jurDESPRE PROBLEME „Problema nu este că există probleme. Problema este că gândim că este o problemă dacă avemprobleme.“ – Theodore Isaac Rubin, scriitor, 1923 Comentaţi citatul de mai sus.

AM O PROBLEMĂCiteşte cu atenţie textul de mai jos.Doresc să mă duc împreună cu prietena mea,Mădălina, la Sărbătoarea Castanelor din Baia Mare.Două zile de distracţii nu e puţin lucru... Cristina şiAndrei au fost anul trecut şi impresiile lor au fostgrozave!... Singura problemă este că trebuie să facemrost de bani ca să putem merge. Ne-am gânditîmpreună la cheltuielile presupuse de un astfel dedrum şi le-am scris într-un tabel:

Avem 150 lei. Nu am făcut calculul, dar se pare că nu ne ajung. Mădălinei i-a venit o ideegrozavă. Ea ar putea obţine aprobare să vindem prăjituri de casă la meciurile de baschet de laSala Sporturilor. Ideea este cu atât mai bună cu cât noi facem nişte preparate delicioase.Specialităţile noastre sunt işlerele şi covrigeii săraţi. Pentru 20 de işlere avem nevoie de 0,3 kgfăină, 1 pachet de unt de 200 grame, 200 grame de zahăr, 150 grame de nuci măcinate, 3 linguride cacao şi jumătate de borcan de gem. Nuci nu trebuie să cumpărăm pentru că are bunica unnuc în grădină şi ne dă câte nuci vrem. Putem vinde işlerele cu 1,6 lei/ bucata. Pentru 60 decovrigei săraţi avem nevoie de 0,5 kg făină, 150 grame unt, 2 ouă, 200 ml smântână, 20 gramedrojdie, o linguriţă rasă de zahăr, o linguriţă de sare, o linguriţă de chimion. Covrigeii îi putemvinde în pungi de 300 grame (adică



Numere raţionale în probleme

Tip de cheltuială CostTransport cu trenul personal clasa a II-ade la Cluj-Napoca la Baia Mare 23,8 lei/persoană

2 nopţi de cazare 11,2 lei/ persoană/ noapteMâncare pentru 2 zile şi jumătate 10,2 lei/ zi/ persoană

Distracţie – două zile Aici e clar că putem scrie oricât… dar, hai, să spunemcă ar trebui cel puţin 25 lei/ persoană/ zi

Produs Preţ1 kg făină 2,95 lei200 grame unt 5,13 lei1 kg zahăr 4,9 lei200 grame cacao 10,12 lei1 borcan de gem 4,46 lei1 ou 0,4 lei800 grame smântână 8 lei100 grame drojdie 8,91 lei100 grame chimion 4,13 leiPungi alimentare – 100 bucăţi 2,69 leiŞerveţel pentru ambalat/ servit işler – 100 bucăţi 3 lei

20 de covrigei), la un preţ de 5lei/ punga. Preţulingredientelor este în tabelulalăturat.

Ne-am luat inima în dinţi şiam cumpărat, din economiilenoastre, ingredientele pentruprăjituri şi i-am plătit luiTudor 5 lei pentru un poster dereclamă. Am făcut 120 deişlere şi 18 pungi de covrigei.Am vândut tot, ba chiar ammai fi putut vinde dacă am fiavut mai multe prăjituri.

7III.

1.

2.

Proiec

t pilo

t

Descoperă şi învaţăCUM O REZOLV?Lucraţi în grupe, utilizaţi algoritmul de rezolvare a problemelor de la lecţia I.3. şi efectuaţicalculele în caiet pentru a răspunde la următoarele întrebări:

De ce sumă minimă au nevoie Mădălina şi prietenul ei pentru a merge la Sărbătoarea Castanelor dela Baia Mare? Cât au câştigat ei din vânzarea işlerelor? Cât au câştigat din vânzarea covrigeilor? Câtau cheltuit pentru prepararea şi comercializarea işlerelor? Cât au cheltuit pentru prepararea şicomercializarea covrigeilor? Ce este mai convenabil să vândă: covrigei sau işlere? Ce sumă aucâştigat? – completaţi enunţurile din chenarul a) de mai jos. Ce sumă au cheltuit? – completaţienunţurile din chenarul b) de mai jos. Au avut profit sau pierdere? – completaţi enunţurile dinchenarul c) de mai jos. Le ajung banii câştigaţi pentru a merge la Sărbătoarea Castanelor? Dacă nu,ce sugestie le daţi? Discutaţi cu întreaga clasă răspunsurile pe care le-aţi dat.

a. Suma câştigatăSuma câştigată din vânzarea işlerelor …… buc · 1,6 lei = ……… leiSuma câştigată din vânzarea covrigeilor …… pungi · 5 lei = + ……… leiTOTAL câştig ……… lei

b. Suma cheltuităSuma cheltuită pentru ingrediente – işlere ……… leiSuma cheltuită pentru ingrediente – covrigei + ……… leiSuma cheltuită pentru ambalaj + ……… leiSuma cheltuită pentru reclamă + ……… leiTOTAL cheltuit ……… lei

c. Câştig sau pierdere?Sumă câştigată …………… leiSumă cheltuită – …………… leiProfit/ pierdere …………… lei

Am câştigat sau am pierdut? Încă nu ştim, dar se poate afla. Oricum, a fost o experienţăinteresantă. Şi dacă am şi câştigat din această primă afacere pe care am făcut-o, mă gândesc serios să-mi fac o mică firmă, să amenajez un mic laborator, să-mi cumpăr ustensile performante, un cuptormai mare… Va trebui atunci să plătesc şi gazul, apa, salubritatea şi chiar să cumpăr de la bunicanucile de care am nevoie la prepararea prăjiturilor.

Am înţeles şi pot să aplicPROBLEME TOT APARLucraţi în grupe şi răspundeţi la întrebările de mai jos:Dacă Mădălina şi prietenul ei doresc să-şi cumpere un calculator la un preţ de 1500 lei, ce

strategie de vânzare a işlerelor şi covrigeilor le sugeraţi? Propuneţi strategii realiste..., nu vă gândiţică ar putea vinde la un meci de baschet, unde sunt cam 1000 de spectatori, 3 milioane de işlere!Nu uitaţi că ei nu au ajutor la bucătărie. Argumentaţi strategia propusă prin calcule.

Dincolo de lecţiePROIECTUL „SĂ PLĂNUIM O EXCURSIE (UN TURNEU)“În cadrul proiectului vei avea de realizat planul/ proiectul unei excursii (unui turneu) în trei ţări dinEuropa. Vei face calcule referitoare la distanţa parcursă, costul total al excursiei (turneului), vei prezentainformaţii despre moneda ţării respective, rata de schimb şi vei calcula costurile excursiei (turneului) peteritoriul fiecărei ţări în moneda ţării. Câteva idei despre aspectele pe care ar trebui să le iei în consi -derare în calculul costului total al excursiei (turneului) le găseşti în cadrul activităţii 2 din această lecţie.

3.

4.

5.

Proiec

t pilo

t


NUMERE RAŢIONALE

Autoevaluare


Completează propoziţiile 1-5 şi 7-10.

1. Am învăţat despre numerele raţionale: ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Reprezint numere raţionale prin desen cu ajutorul .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Compar numere raţionale dacă ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. Calculez corect valoarea unei expresii cu numere raţionale dacă în expresie aparoperaţiile: ........................................................................................................................................................................................................................................................................................

5. Lucrez cu uşurinţă cu procente dacă .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

6. Mi se pare mai uşor să rezolv exerciţii şi probleme în care apar:(Marchează cu X căsuţa prin care afirmaţia devine adevărată.)

fracţii;fracţii zecimale;procente.

7. Parcurgând această unitate de învăţare, mi-am demonstrat că sunt capabil să rezolvprobleme în care .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

8. Am contribuit la activităţile în perechi/ pe grupe/ cu întreaga clasă atunci când: …………………………………………………………………………………………………...............................................................................................................................................................................

9. În parcurgerea acestei unităţi de învăţare m-am simţit bine atunci când ............................................................................ pentru că .....................................................................................................................................................................................................................................

10. Mi-ar fi plăcut ca pe parcursul acestei unităţi de învăţare să .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

III.

Proiec

t pilo

t

Numere reale IV

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurCUVINTEGândeşte-te la semnificaţia cuvintelor „raţional“ şi „iraţional“. Eventual, folosind un dicţionar allimbii române, reaminteşte-ţi definiţia „numerelor raţionale“ şi formulează o definiţie pentruconceptul de „număr iraţional“. Prezintă colegilor definiţia şi apoi stabileşte elementele comune şicele ne-comune ale tuturor definiţiilor formulate.

Descoperă şi învaţăPĂTRATE, CERCURI… NUMEREa. Desenează un cerc cu raza 10 cm, decupează-l, măsoară circum ferinţa (lungimea) cerculuicu un metru de croitorie şi calculează raportul dintre lungimea cercului şi diametrul

acestuia. Precizăm că diametrul cercului este un segment de dreaptă ce uneşte două puncte de pe cerc,trecând prin centrul cercului. Comparaţi lungimea cercului cu diametrul acestuia.

b. Desenează un cerc de rază 20 cm, decupează-l, măsoarăcircumferinţa cercului cu un metru de croitorie şi calculează raportuldintre lungimea cercului şi diametrul acestuia. Comparaţi lungimeacercului cu diametrul acestuia.

c. Comparaţi valorile celor două rapoarte pe care le-aţi calculat încadrul activităţilor 2.a şi 2.b. Discutaţi.

d. Desenează două pătrate cu lungimea laturii de 1 dm,decupează-le şi apoi taie fiecare dintre pătrate după odiagonală. Construieşte un pătrat cu cele patru triunghiuri

obţinute. Măsoară lungimea laturii noului pătrat cu o riglă gradată şinoteaz-o pe o foaie. Comparaţi rezultatele măsurării.

e. Determinaţi aria noului pătrat ca sumă a ariilor celor două pătratedecupate. Discutaţi dacă se poate determina lungimea laturii nouluipătrat folosindu-vă de faptul că aria pătratului este egală cu l2, unde leste lungimea laturii pătratului.

FRACŢII VERSUS NUMERE IRAŢIONALECiteşte textul de mai jos: Fracţiile reprezintă tot ceea ce este necesar pentru tranzacţiile comerciale, dar ele nu sunt

suficiente pentru matematică. Grecii antici, de pildă, au descoperit, spre marea lor tristeţe, căradicalul din 2 nu poate fi reprezentat exact printr-o fracţie. Adică, multiplicând o fracţie prin eaînsăşi, nu veţi obţine exact doi. Veţi putea ajunge foarte aproape – de exemplu, pătratul

lui este , dar numai dacă ar fi aţi obţine doi. Dar nu este aşa, iar dumnea voastră nu aţi

obţinut doi şi nu veţi obţine niciodată, oricât vă veţi strădui. Rădăcina pătrată a lui 2, notată de obicei , a fost din acest motiv numită „iraţională“. (Stewart Ian,Numerele naturii – Ireală realitate a imaginaţiei matematice, Humanitas, Bucureşti, 1999, p. 42)

NUMERE REALE

Numere iraţionale: scriere, citire,reprezentare prin aproximări 1

IV.

1.

2.

3.

1712

289144

288144

√2

Proiec

t pilo

t


Recitiţi definiţia conceptului de „număr iraţional“ formulată încadrul activităţii 1 şi, folosind informaţia din textul de mai sus,reformulaţi definiţia. Discutaţi în grup.

APROXIMĂRIFolosind valorile pe care le-aţi obţinut în cadrul activităţii2, determinaţi o valoare apropiată de valoarea numerelor

şi π. Stabiliţi cum anume se poate determina o valoare apropiatăde valoarea numărului iraţional . Discutaţi în grup.

EXERSEZa. Citeşte unui coleg numerele: , , , , , .b. Scrie numerele: radical din 14, radical din 21, radical din 18.c. Citeşte cu atenţie şi apoi explică-i colegului tău raţionamentul:Ştim că 32 = 9 < 10 < 16 = 42 , deci 3 < < 4, adică are ovaloare cuprinsă între numerele 3 şi 4.Încadrează numerele , , , , între două numerenaturale consecutive, folosind raţionamentul de mai sus.

Am înţeles şi pot să aplic ZARURI ŞI… RADICALICitiţi cu atenţie textul de mai jos şi apoi, în grup,parcurgeţi pe rând toţi paşii jocului, respectând

instrucţiunile din text.Dai cu zarul de două ori şi formezi un număr din cele două cifre(prima cifră reprezintă cifra zecilor şi a doua cifra unităţilor).Fiecare membru al grupului estimează valoarea radicalului dinnumărul format printr-o fracţie zecimală cu 2 zecimale şi apoicompletează o linie într-un tabel de forma:

Prima linie a tabelului conţine un exemplu: am dat cu zarul şi prima cifră a fost 3, iar a doua cifră afost 1, adică am format numărul 31. Pentru că 52 = 25 < 31 < 36 = 62, concluzionez că 5 < < 6 şipentru că de la 25 la 31 sunt 6 unităţi şi de la 31 la 36 sunt 5 unităţi, estimez că are o valoareaproximativă egală cu 5,55.

Punctajul final al fiecărui jucător se calculează efectuând suma punctajelor. Câştigătorul joculuieste cel care are punctajul cel mai mic.

Dincolo de lecţie Răspunde în scris la întrebarea: Este numărul un număriraţional? Argumentează răspunsul (în scris).

Numerele iraţionale suntnumerele care nu se potreprezenta printr-un raportde numere întregi.Numărul a, care areproprietatea că a2 = 2, senotează cu , se citeşteradical din doi şi este unnumăr iraţional. Alteexemple de numereiraţionale sunt: , , ,etc.

Reţine

√2

√3 √5 √6 √7

3.√2

√7

4. √13 √10 √17 √143 √500 √6101

√10 √10

√13 √10 √17 √143 √500

5.

Numărulformat (îl

notăm cu a)

Valoareaestimată a lui

Pătratul valorii estimate a lui

(îl notăm cu b)

Diferenţa dintre a şi b Punctaj

31 5,55 5,552 = 30,8025 31 – 30,8025 = +0,1975 +0,1975√a

√a

√31√31

√81Numărul π (se citeşte pi), de -fi nit ca raportul dintre lungi -mea unui cerc şi diametrulsău, este un număr iraţional.

Reţine

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurALTE NUMERE?Citeşte textul de mai jos:Cea mai simplă cale de a lărgi sistemul numerelor pentru includerea iraţionalelor este

folosirea numerelor aşa-zis reale – un nume neadecvat, în măsura în care aceste numere au doarvalori aproximative şi sunt reprezentate cu ajutorul zecimalelor care merg la nesfârşit. De exemplu, π = 3,14159..., unde punctele indică un număr infinit de cifre. Cum pot fi reale nişte numere pe carenici nu le poţi scrie complet? Dar numele a prins probabil datorită faptului că numerele realeîntrupează multe dintre intuiţiile noastre vizuale despre lungimi şi distanţe (text adaptat după StewartIan, Numerele naturii – Ireală realitate a imaginaţiei matematice, Humanitas, Bucureşti, 1999, p. 43).

Răspundeţi la întrebările: • Ce fel de numere formează mulţimea numerelor reale? Exemplificaţi. • Sunt numerele reale diferite de numerele învăţate până acum? Argumentaţi. Discutaţi cu întreg grupul.

Descoperă şi învaţăNUMERE REALE… DE LA CUVINTE LA DESENCiteşte textul de mai jos şi apoi, împreună cu colegii tăi,reprezintă printr-un desen mulţimea numerelor reale.

În terminologia curentă, numerele întregi 0, 1 2, 3,... sunt cunoscutesub numele de numere naturale. Dacă includem şi numerele întreginegative, obţinem numerele întregi. Fracţiile pozitive şi negative senumesc numere raţionale. Numerele reale sunt cele mai generale,ele incluzând atât numerele raţionale, cât şi cele iraţionale.Obţinem astfel patru sisteme de numere, fiecare mai cuprinzătordecât precedentul: numerele naturale, cele întregi, numereleraţionale şi numerele reale (text adaptat după Stewart Ian, Numerelenaturii – Ireală realitate a imaginaţiei matematice, Humanitas,Bucureşti, 1999, p. 43).Prezentaţi şi explicaţi colegilor reprezentarea prin desen a textului.

EXERSEZCiteşte textul de mai jos şi apoi, împreună cu colegul tău, realizeazăsarcinile de lucru.Stadiul Parkingului Fabricii din cartierul Mărăşti este în acestmoment de circa 45%, termenul de finalizare asumat de constructorfiind luna noiembrie. Până în acest moment s-a realizat cofrareaplanşeului peste demisol, cota corpului A fiind acum la nivelulsolului, cota 0, iar la corpul B s-a turnat planşeul peste subsol,ajungând cu lucrarea la cota 1,40 m. Capacitatea parkingului estede 310 locuri (…). Suprafaţa construită este de 1650 mp, iar ceadesfăşurată de 6600 mp. (…) Valoarea investiţiei este de 7.243.348lei (fără TVA) (de reţinut că acest preţ este cu circa 72% mai scăzutdecât valoarea estimată în caietul de sarcini, care a fost de 26,2milioane lei). (preluat din Jurnalul Municipal Cluj-Napoca, Ziar deinformare cetăţenească, nr. 56, mai-august 2011).

• Mulţimea numerelor realeconţine atât numereleraţionale, cât şi numereleiraţionale. Ea se notează cu IR.. • De exemplu, numerele: 1;0,4; –3; ; –12,36; – ; 0;

; – sunt numerereale.• Axa numerelor reale este:

• Fiecărui număr real îicorespunde un punct pe axanumerelor reale. Modululunui număr real estedistanţa pe axa numerelor,dintre punctul corespun -zător numărului respectiv şipunctul corespunzătornumărului 0.

Numere reale

NUMERE REALEIV.

2

1.

Reţine

√31

32

47

√713

3.

2.

Proiec

t pilo

t


a. Citiţi toate numerele din text.b. Scrieţi, în ordine crescătoare, toate numerele din text.c. Reprezentaţi pe axa numerelor reale toate numerele dintext mai mici decât 310.d. Aşezaţi toate numerele din text în diagrama alăturată, înfuncţie de tipul acestora.

Am înţeles şi pot să aplicLA CE ÎMI FOLOSESC NUMERELE?Scrie o listă de cel puţin zece situaţii din viaţa de zi cu ziîn care foloseşti numere. Pentru fiecare situaţie, dăexemple de numere pe care le utilizezi, stabileşte ce fel denumere sunt (naturale, întregi, raţionale, reale) şi precizează ceanume reprezintă ele (cantităţi, lungimi, părţi dintr-un întreg etc.).Prezintă colegului tău lista pe care ai realizat-o, discutaţiîmpreună şi, apoi, utilizând cele două liste, completaţi un tabelsimilar celui de mai jos:

Prezentaţi colegilor din grup tabelul pe care l-aţi realizat,discutaţi şi, împreună cu colegii din grup, realizaţi un postercare să transmită celorlalţi colegi informaţia cuprinsă în tabele. Prezentaţi posterul şi discutaţi.

Dincolo de lecţiePROIECT TOTUL ESTE NUMĂRPriveşte cu atenţie şi analizează picturile Hardy’s taxi, Girasole şi 3.14159… ale pictorului elveţianEugen Jost. Identifică şi notează proprietăţi matematice ale unor numere şi/ sau şiruri de numere.Prezintă, în scris, proprietăţile familiilor de numere identificate şi relaţiile între numere.

Picturile sunt reproduse în anexa 2 a acestui ghid; ele pot fi vizualizate color la adresahttp://mathematik-kalender.uni-bayreuth.de/index.php?id=2741.

4.

Situaţie din viaţade zi cu zi încare folosim

numere

Exemplede numere

folosite

Tipulnumerelor

folosite

Semnificaţianumerelor

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurEU ŞTIU CALCULA!

a. Calculează mintal: 45 + 46; 89 – 48; 11 + 107 + 9 + 43; (3,5 – + – 7,3 + ) · 0.

Explică-i colegului cum ai procedat pentru a efectua calculele.

b. Calculează în scris sau cu ajutorul calculatorului: – ( + ); (–2)2 + [( + ) + 5] · (–3) + (–25): 4; + 2 · .

Explică-i colegului cum ai procedat pentru a efectua calculele.

Descoperă şi învaţăCALCULE PRIN... REPREZENTĂRI PE AXĂReprezintă numerele pe axa numerelor reale şi apoi efectueazăcalculele:

3 + ; + ; 2 · ; - 2 · ; - π - 2; - 2 · ; + 2 · .

Verifică rezultatul fiecărui calcul cu ajutorul calculatorului debuzunar (aproximaţi numerele iraţionale cu fracţii cu douăzecimale). Discută cu colegii rezultatele obţinute şi deduceţi oregulă pentru efectuarea operaţiilor cu numere iraţionale.

EXERSEZLucrând în grupe, efectuaţi calculele (dacă este necesar,aproximaţi numerele iraţionale cu fracţii cu două zecimale)

şi completaţi tabelul:

Verificaţi rezultatele pe care le-aţi obţinut cu ajutorulcalculatorului de buzunar. Discutaţi despre modul în care aţirealizat calculele. Comparaţi rezultatele pe care le-aţi obţinut încoloanele 7 şi 8 din tabel.

NUMERE REALE

Operaţii cu numere reale 3IV.

23

45 √3

1112

13

14

32

54

√5 √5

Operaţiile de bază cunumere reale sunt adunareaşi înmulţirea.• Adunarea este operaţiaprin care numerelor reale aşi b, numiţi termenii sumei,li se asociază numărul reala + b, numit sumanumerelor a şi b.Dacă a şi b sunt numerereale, suma dintre a şiopusul lui b, adică a + (–b),se notează a – b şi senumeşte diferenţanumerelor a şi b.• Înmulţirea este operaţiaprin care numerelor reale aşi b, numiţi factoriiprodusului, li se asociazănumărul real a · b, numitprodusul numerelor a şi b.În matematică, în loculscrierii a · b se utilizeazăab, care este doar oconvenţie de scriere. Laînmulţirea numerelor realese aplică regula semnelorstudiată şi aplicată laînmulţirea numerelorîntregi/ raţionale. Dacă a şi b sunt numerereale, b ≠ 0, definim a : b = a · = .

Reţine

1b

ab

2.14

√3 √2 √2 √3 √2 √2 √2 √2 √2

3.

a b c a + b a – b a · b a · (b + c) a · b + a · c a : b

2 –6 –4

4 –π

3 –2 5

4 –3 –2

√2

√2

14

√2

√3

√2

Proiec

t pilo

t


Am înţeles şi pot să aplicANTRENAT ŞI ANTRENORPrimeşti o „carte de joc“ dintr-un pachet de cărţi de joc maispecial. De data aceasta, cărţile de joc nu sunt aşi, dame, regisau valeţi, ci conţin exerciţii de calcul cu numere reale. Lucreziîmpreună cu un coleg.

În prima etapă, tu rezolvi exerciţiul de calcul de pe cartea dejoc, în timp ce colegul tău urmăreşte modul în care rezolviexerciţiul, verifică corectitudinea calculelor tale, te laudă atuncicând rezolvi corect şi te sprijină când ai nevoie, fără să rezolveexerciţiul în locul tău. Pe scurt, colegul tău se va comporta caun antrenor.

În etapa a doua, schimbaţi rolurile: tu eşti antrenorul şicolegul tău rezolvă exerciţiul de pe cartea sa de joc.

În etapa a treia, profesorul sau membrii unei alte perechiverifică corectitudinea calculelor tale şi ale colegului cu care ailucrat.

Reluaţi „jocul“ de mai multe ori.

Dincolo de lecţieBINGO… CU NUMERE REALE

Verifică în pătratul A că produsul numerelor de pe linii, coloane şi diagonale este acelaşi.Construieşte un exemplu asemănător în pătratul B, pornind de la numerele date.

Pătrat A Pătrat B

• Dacă a este număr real şin este număr natural diferitde 0 şi 1, definim ridicareala putere astfel: an = a · a · a · … · a (înmembrul drept al egalităţiisunt n factori). Princonvenţie, a0 = 1 şi a1 = a.• Ordinea efectuăriioperaţiilor cu numere reale:în primul rând seefectuează operaţiile deordinul al III-lea (ridicarea la putere şiextragerea rădăciniipătrate), apoi operaţiile deordinul al II-lea (înmulţireaşi împărţirea) şi, în final,operaţiile de ordinul I(adunarea şi scăderea).

Reţine

4.

2 3

6

1 6

–

6

2

12

√3

√3 √3 16 √3

12 √3

√2

√3 √2

12 √3 √2

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurCUVINTE, NUMERE, ZÂMBĂREŢI ŞI LITERECiteşte textul de mai jos şi analizează modul în care sunt completate rubricile tabelului. Explică-icolegului tău modul de completare a coloanelor tabelului.Alege un număr, apoi adună 4; dublează numărul obţinut şi din rezultat scazi 8; prin împărţire la 2 veiobţine numărul pe care l-ai ales la început.

Discutaţi cu colegii despre avantajele şi dezavantajele fiecăreia din cele trei variante de transcriere a textului.

Descoperă şi învaţăCUM ADUNĂM NUMERELE REALE REPREZENTATE PRINLITERE?Gândeşte-te la semnificaţia fiecărei operaţii cu numere: ai învedere că printr-o literă desemnăm un număr real oarecare şidacă într-o expresie avem două litere, înseamnă că, de fapt,lucrăm cu două numere oarecare diferite. Efectuează calculeleîmpreună cu colegul tău şi apoi verifică rezultatul, atribuind câteo valoare fiecărei litere.

5a + 4b – 3a + 8b = 2a2 + 3a – 7a + 4a2 =3m – 2n – (4m + 5n) =6c – 2p + (3c +3) + p – 4 =2b3 + 5b – 3 – (b3 - 2b + 7) = 2a3b2 – 5ab + 4a3b2 + 2 + 1,3ab – 7=12a2b + 10ab2 – 32a2b + 24ab2 = 12a2 + 14a3 – 21a2 + 24a2 + 15a3 – 12,5a2 – 14,6a3 = 3xyz – 24x2yz – (4xyz + 15x2zy – 20xyz) =

6x2yz2 – 12xy2z2 – (3x2yz2 – 23xy2z2 + x2y2z) + xy2z2 – 15 =

–7b3 + 15b2 – 3b – (b3 – 12b + 14b2) + (23b – 3b2 - b3)= –12a3b2 – 4a2b2 + 40a3b2 + 2a3b2 – 1,8 ab – (7a3b2 – 12a2b2 - 1,8ab) + 24 =13xyz – 2x – 3y + 4z –(4xyz + 15x – 20yz +12y – 3) + 3x - 1,2z + 21xyz – 4 =

Comparaţi rezultatele obţinute, discutaţi despre modul în care aţi efectuat calculele şi deduceţi oregulă pentru a efectua operaţii de adunare şi scădere cu numere reprezentate prin litere.

NUMERE REALE

Calcule cu numere reale reprezentate prin litere

IV.

4

1.

Textul în cuvinteTextul transcris înlimbaj matematic -

numeric

Textul transcrisîn limbaj vizual

Textul transcris înlimbaj matematic

algebric – cu literealege un număr 3 ☺ xapoi adună 4 3 + 4 = 7 ☺�� x + 4dublează numărul obţinut 7 · 2 = 14 ☺��☺�� (x + 4) · 2 = 2x + 8din rezultat scazi 8 14 – 8 = 6 ☺☺ 2x + 8 – 8 = 2xprin împărţire la 2, vei obţinenumărul pe care l-ai ales la început 6 : 2 = 3 ☺ 2x : 2 = x

• Termenii asemenea suntdoi termeni în care aparaceleaşi litere, literele aparo singură dată şi au acelaşiexponent. De exemplu,termenii 2a3b2 şi –4,3a3b2

sunt termeni asemenea, întimp ce termenii 2a3b2 şi8,2ab nu sunt termeniasemenea.• Într-o sumă algebrică sepoate efectua operaţia deadunare sau scădere doarîntre doi sau mai mulţitermeni asemenea.

Reţine2.

34

Proiec

t pilo

t


PRODUSUL… PRIN DREPTUNGHIURIPriveşte şi analizează figura alăturată. Răspundela întrebările: • Ce lungime are segmentul AB? • Ce lungime are segmentul BC? • Cu cât este egală aria dreptunghiului ABCE (ariaunui dreptunghi este egală cu produsul dintrelungimea şi lăţimea sa)? • Ce lungime are segmentul CD? • Cu cât este egală aria dreptunghiului CDFE? • Ce lungime are segmentul BD? De ce are locegalitatea x(y+z) = xy + xz?Transcrie egalitatea în limbaj vizual. Discută cucolegul tău şi apoi cu colegii din grup.

EXERSEZEfectuaţi calculele, verificaţi rezultatele şi apoi discutaţi despre modul în care aţi calculat fiecareexpresie.

(3x3)(4x2) (2x + 5)(4 x – 7) (x + 1)(x + 6) (72m5p3n)(0,3mnp)(–5a4)(3,2ab3) (0,5x + 2)(4x – 3)

Am înţeles şi pot să aplicALT PRODUS, ALTE DREPTUNGHIURIUtilizând reprezentarea cu ajutorul dreptunghiurilor şiformula ariei dreptunghiului, arătaţi că:

(x + y)(a + b + c) = xa + xb + xc + ya + yb + yc

Explicaţi colegilor raţionamentul vostru şi deduceţi o regulă deînmulţire pentru două paranteze care conţin fiecare o sumă dedoi sau mai mulţi termeni.

DE CE?Gândeşte-te la rostul efectuării calculelor cu numere realereprezentate prin litere. Notează ideile şi apoi prezintă-lecolegilor.

Dincolo de lecţieTranscrie în limbaj algebric textul de la activitatea 1 din lecţia II.4. în limbaj algebric. Explicăde ce, parcurgând cei 12 paşi şi efectuând calculele corect, se obţine întotdeauna un numărcare conţine (de la stânga spre dreapta) luna, ziua şi ultimele două cifre ale anului în care te-ai

născut, indiferent de data naşterii.

În calculul unui produsalgebric ţinem cont dedefiniţia ridicării la puterea numerelor reale (deexemplu: a3 · a2 = (a · a · a) · (a · a) = a5

şi de proprietatea x (y + z) = xy + xz. Dinproprietatea mai înainteamintită se deduce că (x + y) (a + b) = xa + xb +ya + yb.

Reţine

4.

5.

6.

3.

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurLA CE FOLOSESC FORMULELE?Aminteşte-ţi de situaţiile în care ai întâlnit sau ai lucrat cu formule. Descrie situaţiile, noteazăformulele cu care ai lucrat sau despre care ai auzit, gândeşte-te de ce le-ai utilizat tu sau apropiaţii tăişi apoi formulează în scris răspunsul la întrebarea La ce folosesc formulele? Împărtăşeşte ceea ce aiscris colegului tău şi formulaţi împreună un răspuns ‒ cu care amândoi sunteţi de acord ‒ la întrebare. Prezentaţi răspunsul vostru grupului. Discutaţi cu întreg grupul.

Descoperă şi învaţăDEMONSTRĂM ŞI VERIFICĂM FORMULE!a. Efectuaţi calculele: (a + b)(a + b), (a ‒ b)(a ‒ b) şi (a – b)(a + b). Comparaţi rezultatele pecare le-aţi obţinut cu cele obţinute de colegi.

b. Priviţi reprezentarea din figura alăturată.Citeşte textul, urmărind explicaţiile: Pătratul ABCD are lungimea laturii egală cu a + bşi atunci va avea aria (a + b)2. Pe de altă parte,aria pătratului ABCD este egală cu suma ariilor adouă pătrate şi două dreptunghiuri, adică cu: a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Obţinem că (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.Explică-i colegului tău raţionamentul din textulde mai sus. Verificaţi împreună dacă formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 este verificată de a = 2 şib = 6. Discutaţi cu întreg grupul.

c. Transcrie în limbaj vizual sau geometricformula a2 – b2 = (a – b)(a + b). Comparătranscrierea pe care ai realizat-o cu transcrierilefăcute de colegi. Discutaţi.

EXERSEZa. Calculaţi, utilizând formulele de calculprescurtat, expresiile de mai jos. Scrieţi fiecare etapă a

rezolvării. Comparaţi rezultatele şi discutaţi despre etapele derezolvare pe care le-aţi parcurs în rezolvarea fiecărui exerciţiu.

(x + 1)2 (2x + 1)2 (3x ‒ 1)2

(2a+ 5b)2 (3 – 5m)2 (3y – 4x)2

25 ‒ a2 9y2 ‒ 4x2 49m2 ‒ 4z2

(5 ‒ 6x)(5 + 6x) (2 + z)(2 – z) (x ‒ )(x + ).

NUMERE REALE

Formule de calcul prescurtat: pătratul unui binom, diferenţa de pătrate 5

IV.

1.

3.

32

32

Pătratul unui binom estepătratul sumei/ diferenţeide doi termeni şi este datde formulele: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 şi(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.Formula diferenţei depătrate este a2 – b2 = (a – b)(a + b).

Reţine

2.

Proiec

t pilo

t


b. Scrieţi sub forma unui pătrat perfect expresiile de mai jos.Notaţi fiecare etapă a rezolvării exerciţiului. Comparaţirezultatele şi discutaţi despre etapele de rezolvare pe care le-aţiparcurs în rezolvarea fiecărui exerciţiu.4x2 ‒ 4x + 1 x2 + 2x + 1 x2 ‒ 6x + 99x2 - 12x + 4 x2 + 10x + 25 25x2 – 30x + 9x2 + x + x2 + 14x + 49 x2 – x + .

c. Efectuaţi calculele numerice de mai jos utilizând formule decalcul prescurtat:812 99 · 1014022 38 · 42 10012 57 · 633982 698 · 702.

Am înţeles şi pot să aplicGĂSEŞTE-ŢI PERECHEAPrimeşti o „carte de joc“ dintr-un alt fel de pachet de cărţi de joc.În setul de cărţi de joc sunt câte două cărţi care reprezintă cei doi membri (membrul stâng şi,respectiv, membrul drept) ai unei formule de calcul prescurtat aplicată unor valori iraţionale.Identifică formula de calcul prescurtat şi apoi găseşte-ţi perechea, adică găseşte un coleg care areexpresia ce completează formula de pe cartea ta de joc. Efectuaţi calculul scris pe fiecare din celedouă cărţi de joc.

AM ÎNVĂŢAT AZI CĂ…Discută cu colegul tău despre ceea ce ai învăţat azi în cadrul lecţiei de matematică şi scrie un textdespre ceea ce ai descoperit în cadrul lecţiei privind formulele de calcul prescurtat, calculele cunumerele reale, despre colegii tăi, despre tine.

Dincolo de lecţieScrie zece exemple de calcule cu numere naturale în care utilizarea formulelor de calculprescurtat ne „scapă“ de calcule grele.

Formulele de calculprescurtat sunt utile şi înefectuarea calculelor cunumere naturale. Deexemplu, dacă trebuie să îlcalculăm pe 592 şi nu avemcalculator şi nici nu dorimsă îl înmulţim pe 59 cu elînsuşi, putem procedaastfel:592 = (60 – 1)2 = 602 - 2 · 60 · 1 + 12 = 3600 – 120 + 1 = 3481

Ştiaţi că...?

4.

5.

14

13

49

Proiec

t pilo

t


Matematica din jurBAGAJE, ORAR, TEMPERATURI, PREŢURICiteşte informaţiile de mai jos:a. Fiecare pasager are dreptul de a transporta: un bagaj de mână (…)care nu depăşeşte greutatea de 10 kg, în mod gratuit (…) (informaţiepreluată de pe site-ul companiei Wizz Air: http://wizzair.com/useful_information/baggage/?language=RO).

b. Orarul liniei de autobuz 43 pentru zilele lucrătoare:• (...)• Ora: 8 minutele: 00 15 25 35 50• Ora: 9 minutele: 20 50 • (...)(informaţie preluată de pe site-ul Ponteshttp://www.pontes.ro/ro/servicii/transport-in-comun/companii/orar.php?nr=43&sens=dus&zi=w&o=cluj)

c. Temperaturile maxime medii anuale oscilează între 22°C şi 24°Cîn timpul verii, respectiv între ‒3°C şi ‒5°C în timpul iernii(informaţie preluată de pe site-ul Wikipedia – Clima României:http://ro.wikipedia.org/wiki/Clima_Rom%C3%A2niei).

d. Audienţele au loc în fiecare zi de marţi, între orele 9,00-10,00, înlimita a 3 persoane, iar înscrierea la audienţă se poate face înperioada luni-joi, între orele 9.00 şi 17.00 (informaţie preluată de pesite-ul Autorităţii Naţionale pentru Protecţia Consumatorilor ‒http://www.anpc.gov.ro/anpc/index.php?option=com_content&view=article&id=398&catid=63&Itemid=100).

e. Oktoberfest: Munchen dus-întors ‒ de la 131 euro, doar cuairtickets24.com! Profitaţi de noua ofertă valabilă din 1/09/2011!(informaţie preluată din Newsletter airtickets24.com, septembrie 2011)

Reprezintă printr-un desen fiecare informaţie şi discută cu colegiimesajul transmis de fiecare informaţie în parte.

Descoperă şi învaţăDE LA BAGAJE, ORAR, TEMPERATURI LA... INTERVALEÎn cadrul acestei activităţi vei lucra cu informaţiile cu care ai ajunsîn contact în cadrul activităţii 1. Împreună cu un coleg, reprezintăpe axa numerelor reale şi transcrie în limbaj matematic fiecare dinurmătoarele propoziţii: bagajul de mână nu depăşeşte 10 kg;autobuzul pleacă la ora 8 şi la ora 8 şi 15 minute; temperaturileoscilează între ‒3°C şi ‒5°C; audienţele au loc între orele 9.00-10.00;înscrierea la audienţă se poate face între orele 9.00 şi 17.00; preţulbiletului începe de la 131 euro.

Comparaţi reprezentarea pe axa numerelor reale şi transcriereafiecărei propoziţii în limbaj matematic pe care aţi realizat-o cu cele

Intervale de numere

NUMERE REALEIV.

1.

• Cuvântul infinit sefoloseşte în matematicăpentru a arăta că o mărimevariabilă poate lua valorimai mari, respectiv maimici, decât orice mărimedată.• Infinitul se reprezintă cusimbolurile +∞ şi –∞ .Aceste două simboluri nureprezintă numere.

Ştiaţi că...?

6

• Un interval mărginitconţine toate numerelereale dintre două numerereale date. Intervaleleînchise îşi conţinmarginile, iar intervaleledeschise nu îşi conţinmarginile.Considerăm două numerereale a şi b, a < b.• Intervalul închis senotează [a; b] şi conţinetoate numerele realecuprinse între a şi b,inclusiv a şi inclusiv b,adică este mulţimea tuturornumerelor reale x cuproprietatea că a ≤ x ≤ b.

Reţineţi

2.

Proiec

t pilo

t


realizate de colegi. Explicaţi modul de rezolvare a sarcinii de lucru.Discutaţi în grup.

EXERSEZExistă mai multe moduri prin care putem descrie uninterval de numere reale: în cuvinte, prin inegalităţi, cu

ajutorul axei numerelor reale şi cu notaţia intervalului. În tabelul demai jos, fiecare interval este descris într-un singur mod. Completaţi,lucrând în grup, celelalte rubrici ale tabelului şi apoi prezentaţicolegilor din celelalte grupe tabelul completat de voi. Discutaţi.

Am înţeles şi pot să aplicINTERVALE ÎN VIAŢA DE ZI CU ZIÎn tabelul de mai jos sunt scrise câteva exemple deinformaţii din viaţa cotidiană care pot fi scrise sub formă

de intervale. Citeşte cu atenţie informaţiile din tabel,completează, împreună cu colegii din grup, celelalte rubrici aletabelului şi apoi prezentaţi colegilor din celelalte grupe tabelulcompletat de voi. Discutaţi.

Dincolo de lecţieColectează de pe internet, din ziare şi reviste, de pe panourile stradale etc. cel puţin zeceinformaţii care conţin intervale. Completează un tabel cu următoarea rubricatură:

• Intervalul deschis senotează (a; b) şi conţinetoate numerele realecuprinse între a şi b,excepţie a şi b, adică estemulţimea tuturornumerelor reale x cuproprietatea că a < x < b.

• Toate numerele reale x cuproprietatea x≥a formeazăintervalul nemărginit ladreapta [a; +∞), în timp cetoate numerele reale x cuproprietatea x < b formeazăintervalul nemărginit lastânga (‒∞; b).

Reţineţi

3.

Intervaluldescris în…cuvinte

Intervaluldescris prin…inegalităţi

Intervalul descrisprin… reprezentare peaxa reală

Notaţiainterva-

luluiNumerele din-tre 3 şi 7, inclu-siv 3, exclusiv 7

(‒∞; –1]x >2

4.

InformaţiaIntervalul…

dininformaţie

Intervaluldescris prin…

inegalităţi

Intervalul descrisprin… reprezen -tare pe axa reală

Notaţiainterva-

lului

Vindem orice produs la preţuri sub 10 lei. preţurisub 10 lei

Minorii cu vârsta între 14 şi 18 ani pot parti-cipa la concurs doar cu acordul părinţilor.Primeşti cadou între 10 şi 40 lei.Creşterile de salarii din mediul privat arurma să varieze între 2,5% şi 4,1%.

Informaţia De unde ampreluat informaţia

Intervalul…din informaţie

Intervaluldescris prin…

inegalităţi

Intervalul descrisprin… reprezen -tare pe axa reală

Notaţiainterva-

lului

Proiec

t pilo

t


TITLUL CAPITOLULUI

Autoevaluare

NUMERE REALE


Marchează cu x căsuţele prin care afirmaţiile 1-4 devin adevărate.

1. Cred că ceea ce am învăţat în această unitate de învăţare:îmi foloseşte;îmi va folosi;nu îmi foloseşte.

2. Pe parcursul acestei unităţi de învăţare am înţeles:ce este un număr iraţional;din cine este formată mulţimea numerelor reale;ce sunt termenii asemenea; ce sunt intervalele de numere reale; altele: ……………………………………………………….…………

3. Pe parcursul acestei unităţi de învăţare am învăţat să:aproximez valoarea unui număr iraţional;reprezint pe axă numere iraţionale;compar numere iraţionale; efectuez calcule cu numere iraţionale;efectuez calcule cu numere reprezentate prin litere;utilizez formule de calcul prescurtat;descriu un interval de numere reale în mai multe moduri;alte situaţii …………………………….………………………………

4. În cadrul activităţilor în grup/ perechi:am contribuit cu idei valoroase pentru rezolvarea sarcinilor de lucru;am contribuit la procesul de luare a deciziilor;i-am inclus pe colegi în procesul de luare a deciziilor;am apreciat contribuţia colegilor;alte situaţii: ……………………………………………………….……

Completează propoziţiile de mai jos:

5. Cel mai mult mi-a plăcut activitatea …………………………………………….. pentru că…………………………………………………………………………………..…………………………

6. În parcurgerea acestei unităţi de învăţare, m-am simţit bine atunci când ……………………………………………………. pentru că …………………………………………………......……..……………………………………………………………………………………………………..………

IV.

Proiec

t pilo

t

ANEXA 1


Proiecte

În cadrul acestui modul, vei avea de realizat cinciactivităţi de proiect, prin care să demonstrezi că poţisă operezi cu numere. Cele cinci proiecte sunt precizate în cadrul lecţiilorII.2 (Divizia punctajelor), III.4 (Numere în meserie),III.5. (Reţete de Crăciun), III.7. (Să plănuim oexcursie/ un turneu), IV.2. (Totul este număr).

În realizarea fiecărui proiect, vei parcurge următoriipaşi:• Discută cu profesorul/ profesoara de matematicătermenele la care trebuie să prezinţi ceea ce ai lucratîn cadrul proiectului.• Informează-te despre tema aleasă şi stabileşteaspecte concrete legate de proiect (de exemplu: stabileşte cele 3 ţări din Europa pe care le vei aveaîn vedere în cadrul proiectului din lecţia III.7. sau cei 11 jucători pe care ţi i-ai ales în echipăpentru proiectul din lecţia II.2., meseria pe care o ai în vedere pentru proiectul din lecţia III.4.,ţările din care alegi mâncarea tradiţională de Crăciun pentru proiectul din lecţia III.5. sau când şicum poţi avea acces la internet în şcoală pentru a vizualiza picturile la care face referire proiectuldin lecţia IV.2.).• Prezintă-i profesorului/ profesoarei cum ai gândit abordarea proiectului şi cum ţi-ai propus să teinformezi. Sursele de informare pentru realizarea proiectului pot fi diverse; poţi căuta informaţiaîn cărţi, pe internet, în ziare, la radio sau televizor, intervievând persoane resursă din comunitate(în special pentru proiectul Numere în meserie, dar poate fi o variantă bună şi în cazul proiectelorReţete de Crăciun sau Să plănuim o excursie/ un turneu).• Stabileşte-ţi un program pentru realizarea proiectului. Nu lăsa totul pe ultimul moment, pentrucă îţi va fi greu să realizezi un proiect de calitate.• Anunţă profesorul/ profesoara cu privire la orice problemă întâmpini în realizarea proiectuluiprofesorului/ profesoarei. • După ce ai obţinut toate informaţiile de bază necesare, trebuie să începi să faci calculele. Încazul proiectului Divizia punctajelor nu este recomandabil să te apuci de calcule decât după ceaduni toate datele. În situaţia acestui proiect, după fiecare etapă a Campionatului Naţional deFotbal este bine să calculezi punctajul fiecărui jucător. • Pregăteşte prezentarea scrisă a proiectului. Pe prima pagină trebuie să apară numele proiectului,numele tău şi al coechipierilor tăi (dacă aţi lucrat în echipă), clasa, şcoala şi perioada în care l-airealizat. Pe pagina a doua, va trebui să faci o prezentare a situaţiei concrete pe care ai ales-o (ţăriledin Europa în care planifici călătoria‒, eventual harta ‒, numele jucătorilor din echipa ta, meseriape care ai ales-o, bucătăriile tradiţionale din care provin mâncărurile de Crăciun sau tipurile denumere pe care le-ai identificat în picturile lui Jost: pătrate perfecte, numerele din şirul luiFibonacci, numere triunghiulare etc.). Începând cu pagina 3, va trebui să prezinţi date concrete şicalculele pe care le-ai realizat. Poţi alege ce variantă doreşti: poţi utiliza tabele (ai avut ocazia săvezi astfel de tabele în cadrul lecţiilor din ghid) sau poţi scrie întrebările pe care ţi le-ai adresat şiapoi să prezinţi modalitatea prin care ai găsit răspunsul la ele, sau... Orice variantă este bună, atâttimp cât există o ordine în informaţia şi calculele pe care le-ai făcut. Pe penultima pagină scrie unfoarte scurt raport al etapelor pe care le-ai parcurs pentru realizarea proiectului, iar pe ultimapagină scrie de unde sau de la cine ai obţinut informaţiile din proiect (numele persoanei pe care aiintervievat-o sau cărţile, ziarele, numele şi adresa web-site-urilor).• Pregăteşte prezentarea orală a proiectului. Aceasta nu trebuie să fie mai lungă de 10 minute.Prezintă rezultatele pe care le-ai obţinut şi modalitatea în care le-ai obţinut.Realizarea unui proiect poate fi o activitate foarte plăcută şi utilă dacă îţi alegi o temă care teinteresează şi dacă îţi planifici munca la proiect.

Proiec

t pilo

t


Picturi pentru proiectul Totul este număr

ANEXA 2

3.1415 ... Eugen Jost

Hardys Taxi, Eugen Jost

Girasole, Eugen Jost

Proiec

t pilo

t

Problema: Cei cinci membriai unei formaţii îşi cumpărăcostume noi. Cămăşile costă35 lei fiecare, pantaloniicostă 76 lei perechea,cizmele costă 89 leiperechea. Care este costultotal al costumelor noipentru întreaga formaţie?Soluţie: pentru a rezolvaproblema, parcurgem toateetapele de rezolvare a uneiprobleme.

Etapa 1: citeşte atentproblema şi subliniazăcuvintele-cheie.Cei cinci membri ai unei formaţii îşi cumpără costume noi. Cămăşile costă 35 lei fiecare,pantalonii costă 76 lei perechea, cizmele costă 89 lei perechea. Care este costul total al costumelornoi pentru întreaga formaţie?

Etapa 2: decide care sunt paşii ce trebuie parcurşi, ce date trebuie aflate şi ce operaţii suntnecesare pentru a rezolva problema.Problema poate avea două abordări: prima abordare presupune calculul costului unui costumpentru un membru din formaţie şi apoi calculăm costul costumelor pentru întreaga formaţie; adoua abordare presupune calculul costului cămăşilor, al pantalonilor, al cizmelor pentru toţimembrii formaţiei şi apoi determinarea costului total al costumelor.

Etapa 3: scrie calculele pe care urmează să le efectuezi.


ANEXA 3

Cum rezolv problemele?

Prima abordare:1) calculăm costul unui costum pentru unmembru din formaţie (adunare);2) calculăm costul costumelor pentru toţimembrii formaţiei (înmulţire).

A doua abordare:1) calculăm costul cămăşilor pentru toţimembrii formaţiei (înmulţire);2) calculăm costul perechilor de pantalonipentru toţi membrii formaţiei (înmulţire);3) calculăm costul perechilor de cizme pentrutoţi membrii formaţiei (înmulţire);4) calculăm costul costumelor pentru toţimembrii formaţiei (adunare).

Prima abordare:1) 35 + 76 + 89 = L2) 5 · L

A doua abordare:1) 35 · 5 = C2) 76 · 5 = P3) 89 · 5 = B4) C + P + B

Proiec

t pilo

t

Etapa 4: estimează rezultatul.

Etapa 5: efectuează calculele.

Etapa 6: compară rezultatul problemei cu estimarea făcută şi vezi dacă rezultatul obţinut este debun simţ.

Estimarea făcută este de 1000 lei, iar rezultatul obţinut este de 1000 lei, ceea ce confirmă cărezultatul obţinut este corect.


Prima abordare:1) 35 + 76 + 89 = 200 lei;2) 5 · 200 = 1000 lei.

A doua abordare:1) 35 · 5 = 175 lei;2) 76 · 5 = 380 lei;3) 89 · 5 = 445 lei;4) 175 + 380 + 445 = 1000 lei.

Prima abordare permite o estimare rapidă:1) 35 + 76 + 89 înseamnă aproximativ 200 lei (35 + 76 este mai mult de 100 şi, dacă maiadunăm 89, rezultatul este aproximativ 200);2) 5 · 200 = 1000 lei.

A doua abordare:1) 35 · 5 = 35 · 2 + 35 · 2 + 35 = 70 + 70 + 35 =140 + 35 = 175 lei. Am calculat mintal 35 · 5,ţinând cont de faptul că 35 · 2 = 140;2) 76 · 5 este aproximativ egal cu 75 · 5 = 150 + 150 + 75 = 375 lei;3) 89 · 5 este aproximativ egal cu 90 · 5 = 450 lei;4) 175 + 375 + 450 = 100 + 75 + 300 + 75 + 450 =100 + 300 + 75 + 75 + 450 = 400 + 150 + 450 =550 + 450 = 1000 lei.

Proiec

t pilo

t

Adunare – 8, 11, 12, 18, 20, 22, 30, 31, 36, 38,48, 50, 59

Amplificarea unei fracţii – 29Aproximare – valoare apropiată de valoarea

unui număr, determinată prin calcul – 43

Aproximare prin lipsă – 35Axa numerelor – 10, 11, 16, 18, 24, 29, 38, 44Axa numerelor naturale – 11, 12, 18, 20Axa numerelor reale – 46, 48, 54

A

Bază – 11, 12

B

Cifra sutelor – 24Cifra sutimilor – 34Cifra unităţilor – 24, 34, 44Cifra zecilor – 24, 34, 44

Cifra zecimilor – 34Compararea a două numere – 10, 18Cubul unui număr – 12

C

Egal (=) – care are aceeaşi valoare în aceeaşiunitate de măsură (DEX); două obiecte

matematice sunt egale dacă sunt identice dintoate punctele de vedere – 11, 12

Exponent – 12, 36, 50

E

Factor – 12, 48, 49Formule de calcul prescurtat – 52, 53, 56Fracţie – 29, 31, 32, 44

Fracţii echivalente – 29, 31, 32, 36Fracţie subunitară – 31Fracţie zecimală – 39, 45

F

Intervale de numere – 55Interval deschis – 55Interval închis – 54

Interval mărginit – 54Interval nemărginit la dreapta – 55Interval nemărginit la stânga – 55

I

Diferit (XX) – care nu are aceeaşi valoare înaceeaşi unitate de măsură; inegal – 10, 20,21, 50

Diferenţa de pătrate – 52Divizor – 11, 29

D

Împărţire – 11, 12, 22, 31, 34, 39, 49 Înmulţire/produs – 11, 12, 22, 23, 31, 36, 39,48, 51, 59

Î

Indexulcuvintelor-cheie

Proiec

t pilo

t


Operaţie cu numere – 12, 22, 34Opusul unui număr – 18, 20, 48Ordine crescătoare a numerelor – 10, 11

Ordine descrescătoare a numerelor – 10, 21Ordinea efectuării operaţiilor – 12, 22, 37Ordonarea numerelor – 12

O

Pătratul unui număr – 12, 13, 45Pătratul unui binom – 52Pi (p) – 45Procent – 33

Produs/ înmulţire – 11, 12, 22, 23, 31, 36, 39,48, 51, 59

Produs algebric

P

Radical – 45Regula semnelor – 23, 48

Reprezentarea unui număr – 10, 20Ridicarea la putere – 12, 36, 51

R

Scădere – 11, 20, 31, 36, 39, 50Simplificarea unei fracţii – 29

Sisteme de numere – 46Sumă algebrică – 50

S

Valoare absolută/ modul – 20 Valoare estimată – valoare evaluată/ apreciatăcu aproximaţie pe baza unor calculeincomplete – 45

V

Număr natural – 10, 11, 49Număr iraţional – 44, 45Număr întreg – 22, 23, 36Număr pozitiv – 10Număr negativ – 20

Număr raţional – 44Număr real – 46, 49, 50 Numere reprezentate prin litere – 50Numărător – 31Numitor – 30, 31, 34

N

Linie de fracţie – 29

L

Mai mare sau egal ( >_ ) – 11Mai mic sau egal ( <_ ) – 11Mulţimea numerelor naturale ( IN ) – 11

Mulţimea numerelor întregi (Z) – 18Mulţimea numerelor raţionale ( IQ) – 39

M

Termeni asemenea – 50

T

Proiec

t pilo

t


Baptist, P., Jost, E., Everything is Number, la adresa:www.everything-is-number.net. Pagină accesată la data de14.09.2011.

Kushnir, D.,Cooperative Learning & Mathematics. High SchoolActivities, Kagan Publishing, 2001.

Marcus, S., Singer, M., Matematică. Manual pentru clasa a IX-a,Editura Sigma, Bucureşti, 1999.

Mower, P., Algebra Out Loud. Learning Mathematics ThroughReading and Writing Activities. Jossey-Bass, U.S.A, 2003.

NCTM., Focus in High School mathematics. Reasoning and Sense Making, U.S.A., 2010.

Radu, D., Radu, E., Matematică. Manual pentru clasa a VII-a, Ed. Teora, Bucureşti, 2002.

Singer, M., Voica, C., Voica, C., Matematică. Manual pentru clasa a VIII-a, Ed. Sigma,Bucureşti, 2002.

Stewart, I., Numerele naturii – Ireală realitate a imaginaţiei matematice, Humanitas,Bucureşti, 1999.

Văcăreţu, A-S., Lecţii de matematică pentru dezvoltarea gândirii critice, Editura EikonEducaţional, Cluj-Napoca, 2008.

Bibliografie

Proiec

t pilo

t


Cuvânt de încheiere

Fiecare persoană are o „înţelegere“ a numerelor. Cu toţii utilizămnumere... Îmi amintesc de o situaţie ce s-a petrecut nu demult...Pe o bancă, în parc, s-au aşezat o mamă şi două fetiţe. Mamaavea o pungă cu cireşe – cred că erau primele cireşe din acel an.Fetiţele au început să ceară cireşe. Mama a pus câteva cireşe într-o pungă mai mică, le-a spălat la o ţâşnitoare din parc şi apoile-a pus fetiţelor câteva cireşe în palmele lor deschise căuş. Şi, înloc să mănânce cireşele, una dintre fetiţe şi-a numărat dintr-oprivire cireşele din palmă şi a întrebat: „Eu am primit 7 cireşe;câte cireşe a primit Anca?“. Cu alte cuvinte, a „legat“ cireşele deun număr şi apoi a fost interesată de relaţiile dintre numere...pentru că, de fapt, prin întrebarea pe care o adresase, dorea săafle dacă Anca a primit mai multe cireşe decât ea.

Modulul NUMERE şi-a propus să contribuie la dezvoltareacapacităţii voastre de opera cu numere reale (naturale, întreginegative, fracţii, fracţii zecimale, numere iraţionale). Capacitateade a opera – în mod natural şi corect ‒ cu numere esteimportantă pentru cetăţeanul secolului al XXI-lea. Aceastăcompetenţă se bazează pe dezvoltarea „înţelegerii numerelor“.Ea include „înţelegerea“ conceptelor de număr şi de operaţie cunumere, dar şi deprinderi de calcul cu numere (mintal, scris şicu calculatorul) în scopul rezolvării de probleme, precum şiabilitatea de a utiliza estimări cât mai realiste. Exerciţiile şi problemele pe care le-aţi rezolvat v-au ajutat sădescoperiţi „aproape“ singuri Lumea Numerelor. Spunem„aproape singuri“ pentru că profesorul sau profesoara dematematică a fost lângă voi pentru a vă sprijini atunci când aţiavut nevoie. Ideile matematicii au fost îmbrăcate în exerciţii şiprobleme interesante. Credem că aplicaţiile propuse, majoritatealor fiind puse în context, v-au ajutat să înţelegeţi şi să reţineţimai uşor conceptele şi regulile matematicii, să găsiţi utilitatea şifrumuseţea „înţelegerii numerelor“.

Veţi exersa competenţa de operare cu numere atât în cadrulcelorlalte module ale matematicii, cât şi în cadrul unor moduledin cadrul altor discipline pe care le veţi studia în cadrulProgramului „A Doua Şansă“. Capacitatea de a opera cu numereeste o condiţie de bază pentru abordarea celorlalte module dincadrul disciplinei Matematică şi avem convingerea că acum,după parcurgerea acestui modul, aţi dobândit această capacitate.Vă dorim mult succes în descoperirea Formelor, a matematicii deDincolo de aritmetică şi în acceptarea Provocărilor matematice!

Proiec

t pilo

t


Viitorul incepe la scoala!

Investeşte în oameni !

Proiect cofinanţat din FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013 Axa prioritară 2 “Corelarea învăţării pe tot parcursul vieţii cu piaţa muncii” Domeniul major de intervenţie 2.2 ”Prevenirea şi corectarea părăsirii timpurii a şcolii”

Titlul proiectului: Educaţie, calificare şi facilitarea tranziţiei spre un loc de muncă pentru elevi şi tineri cu risc sau în situaţie de abandon şcolar Nr. de identificare: POSDRU/8/2.2/S/4/ ID 3024 Beneficiar: Ministerul Educaţiei Cercetării Tineretului şi Sportului

Conţinutul acestui material nu reprezintă în mod obligatoriu poziţia oficială a Uniunii Europene sau a Guvernului României

Proiec

t pilo

t

Ghid MATE M1 elev.pdf

Documents

Transcript of Ghid MATE M1 elev.pdf