UNIVERSITATEA „ŞTEFAN CEL MARE” SUCEAVA

FACULTATEA DE INGINERIE MECANICĂ MECATRONICĂ ŞI

MANAGEMENT

Lector univ. dr. Cristian Pîrghie

Prep. univ. drd. Ana Camelia Pîrghie

Suceava, 2010

1

ELEMETE DE CALCUL AL ERORILOR

În cercetările de fizică experimentală distingem două feluri de

determinări de mărimi fizice:

1) Măsurători directe, de exemplu, măsurarea lungimilor cu un metru, a

meselor cu o balanţă, a temperaturilor cu un termometru, etc.

2) Măsurători indirecte, când mărimea fizică se obţine prin calcul,

folosind rezultatele unor măsurători directe şi aplicând anumite relaţii

matematice deduse pe baza legilor fizicii, de exemplu, măsurarea vitezei,

acceleraţiei, densităţii, coeficientului de frecare, momentului de inerţie,

constantelor elastice, etc.

1. Clasificarea erorilor

Orice măsurătoare fizică implică totdeauna erori. Acestea pot fi:

1. Erori de măsură (erori inevitabile). Acestea se datorează

imperfecţiunii simţurilor şi a aparatelor. Valorile citite sunt doar mai mult

sau mai puţin apropiate de valoarea exactă, evident necunoscută, a mărimii

măsurate. Aceste erori nu pot fi cunoscute exact, dar ele nu pot depăşi

eroarea maximă, corespunzătoare preciziei aparatului folosit.

Uneori în calcule se folosesc anumite constante fizice, extrase din

tabele speciale publicate. Aceste constante au în general erori foarte mici,

neglijabile (dacă păstrăm un număr suficient de zecimale) faţă de erorile

mărimilor măsurate în mod obişnuit într-un laborator pentru studenţi.

2. Erori de rotunjire. În calcule pot interveni numere iraţionale, având

un număr mare de zecimale (radicali, π , …, logaritmi, funcţii trigonometrice,

exponenţiale). Evident, suntem nevoiţi să păstrăm în calcule un număr limitat

2

de zecimale. Eroare comisă se poate neglija dacă păstrăm un număr suficient

de zecimale.

3. Erori de metodă. Foarte des suntem nevoiţi să înlocuim problema

dată (propusă) cu alta mai simplă (aproximativă), ceea ce implică evident o

anumită eroare, chiar dacă datele iniţiale ar fi cunoscute exact şi calculele ar

fi făcute exact.

Erorile se mai pot clasifica şi astfel:

a) Erori sistematice. Aceste erori se pot caracteriza prin faptul că se

produc totdeauna în acelaşi sens. Deosebim: a) erori instrumentale, datorită

defecţiunii aparatelor, de exemplu etalonarea defectuoasă a aparatului de

măsură, deplasarea scalei, etc.; b) erori personale, datorate unor lipsuri în

deprinderile şi dexteritatea experimentatorului; c) erori teoretice, datorate

neglijării unor factori fizici sau unor acţiuni exterioare permanente sau

datorate formulei de calcul imprecise sau greşite. Erorile sistematice pot fi

reduse, introducând corecţii adecvate.

b) Erori accidentale (întâmplătoare, aleatorii). Aceste erori se

caracterizează prin faptul că se produc atât într-un sens cât şi în celălalt şi

se datorează unor factori variabili sau nedeterminaţi, care nu pot fi

controlaţi de experimentator, adică se datorează întâmplării.

c) Erori grosolane sau greşeli. Aceste erori sunt mult mai mari decât

erorile obişnuite şi apar datorită neatenţiei experimentatorului: citire greşită

la un aparat, notaţie greşită a rezultatului, confuzie, omisiuni. Aceste erori pot

fi recunoscute relativ uşor şi eliminate ulterior din calcule.

2. Erori absolute şi erori relative

Măsurând o anumită mărime fizică X găsim o anumită valoare

numerică x, apropiată mai mult sau mai puţin de valoarea exactă x0 (evident

necunoscută) a mărimii măsurate. Se numeşte eroare absolută modulul

3

diferenţei (abaterea) δx = x0 - x dintre valoarea exactă şi valoarea măsurată.

Necunoscându-l pe x0, nu putem cunoaşte exact nici diferenţa x0 - x, dar

putem totdeauna evalua marginea superioară a erorilor absolute, după cum

vom vedea. Se numeşte eroare relativă raportul

00

0

x

x

x

xx δ=

− (1)

dintre eroarea absolută şi valoarea exactă a mărimii măsurate.

De obicei erorile sunt mici δx<< x0 , x ≈ x0, astfel încât practic se

foloseşte eroarea relativă aparentă

x

x

x

xxx

δε =

−= 0 (2)

unde eroarea absolută δx (care se poate evalua) este raportată la valoarea

măsurată (deci cunoscută).

Eroarea absolută se măsoară în aceleaşi unităţi ca şi mărime însăşi, în

timp ce eroarea relativă n-are dimensiuni şi se exprimă adesea în procente.

Eroarea relativă caracterizează mai bine precizia unei măsurători şi, fiind

adimensională, permite compararea preciziei de măsurare a mărimilor de

naturi diferite.

De exemplu, distanţa Bucureşti - Ploieşti (60 km) măsurată cu o eroare

absolută de 6 m înseamnă o eroare relativă de 0,01%, pe când o clădire de

60 m măsurată cu aceeaşi eroare absolută de 6 m înseamnă de fapt o

măsurătoare foarte grosolană faţă de cea precedentă, deoarece acum eroarea

relativă este de 10%.

3. Rotunjiri

1. Rotunjiri. Am arătat necesitatea de a păstra în calcul un număr

limitat de cifre. Pentru a comite o eroare minimă se respectă următoarea

regulă. Dacă cifra neglijată este mai mare decât 5, se adaugă o unitate la

4

cifra precedentă păstrată, iar dacă cifra neglijată este mai mică decât 5, nu se

adaugă nimic.

Exemplu:

5,704953 → 5,70495 → 5,7050 → 5,705 → 5,70 → 5,7 → 6. (3)

Eroarea comisă prin rotunjire nu depăşeşte evident 0,5 din valoarea

unităţii din ultima cifră păstrată.

2. Cifra "exactă". O cifră a unui număr se consideră "exactă", dacă

valoarea unei unităţi din această cifră este mai mare decât eroarea absolută

a numărului. Cifra "exactă" este cifra optimă, care corespunde erorii minime,

în sensul că, dacă mărim sau micşorăm această cifră, eroarea va creşte.

De exemplu, prin rotunjirea numerelor iraţionale toate cifrele vor fi

"exacte". Ultima cifră "exactă" poate să nu fie strict exactă, dar în orice caz

nu diferă de cea strict exactă prin mai mult decât o unitate.

3. Regula de scriere a numerelor aproximative.

Dacă nu indicăm eroarea absolută, atunci printr-un număr adecvat de

rotunjiri trebuie să scriem numărul astfel încât eroarea să nu depăşească

valoarea unei unităţi din ultima cifră scrisă, toate cifrele fiind deci "exacte" .

La nevoie se foloseşte factorul 10k, k fiind un întreg convenabil. Dacă

indicăm eroarea absolută a numărului, atunci pe lângă cifrele "exacte" se

mai scrie şi cifra următoare, numită "cifră îndoielnică". Este inutil să scriem

şi cifrele următoare deoarece sunt inexacte. Vom scrie deci numărul cu tot

atâtea zecimale câte zecimale are eroarea absolută.

Exemplu: Viteza luminii în vid este c = 299792,5 ± 0,3 km/s. Dacă nu

indicăm eroarea, trebuie să scriem numărul astfel:

c = 2,99792⋅105 ≈ 2,998⋅105 ≈ 3,000⋅105 = 300⋅103 km/s. (4)

Sub ultima formă cifrele 00 sunt "exacte" , adică eroarea numărului scris

astfel este sub 1⋅103 km/s, adică 299⋅103 ≤ c ≤ 301⋅103 km/s. Ar fi incorect să

scriem c = 300000 km/s fără a indica eroarea, deoarece ar rezulta că eroarea

5

numărului scris astfel este sub 1 km/s, adică 299999 ≤ c ≤ 300001 km/s, ceea

ce este greşit.

4. Cifre semnificative. Se numesc cifre semnificative toate cifrele

"exacte" şi cifra "îndoielnică" ale numărului scris conform regulei

precedente, fără a socoti zerourile din faţa numărului, care indică doar

ordinul cifrelor următoare şi pot fi totdeauna eliminate folosind un factor

10k, k - număr întreg (mutând virgula).

De exemplu, constanta gazelor perfectă

R = 0,82 atm. l/mol⋅grd = 82⋅10-3 atm. l/mol⋅grd (5)

are două cifre semnificative.

Dacă, de exemplu, cerem o masă de 27,5 g cântărită cu o precizie de

1 mg, trebuie să scriem m = 27,500 g. Ultimele două zerouri sunt cifre

semnificative ("exacte") şi trebuie neapărat scrise.

Dacă un rezultat experimental este scris sub forma x = 0,0003, deşi

sunt patru zecimale, precizia este grosolană, întrucât avem o singură cifră

semnificativă 3, adică x = (3 ± 1)⋅10-4 şi eroarea relativă este εx = 1/3 = 33%.

Situaţia se schimbă radical dacă rezultatul este scris sub forma x = 0,00030,

deoarece acum ultimul zero este cifră semnificativă: x = (30 ± 1)⋅10-5 şi

eroarea relativă este εx = 1/30 = 3,3%.

+u importă numărul zecimalelor (adică poziţia virgulei) ci numărul

cifrelor semnificative !

Observaţie: Eroarea absolută, indicând un domeniu de nedeterminare,

nu trebuie nici adăugată, nici scăzută din numărul considerat, ci scrisă în

continuare cu semnul ± şi în aceleaşi unităţi.

Exemplu: Prin înmulţire, împărţire, extragere de radical, etc. apar multe

cifre. Chiar dacă toate cifrele numerelor iniţiale sunt riguros exacte, nu toate

cifrele rezultatului sunt exacte (ceea ce pare la prima vedere paradoxal).

De exemplu, am cântărit un vas calorimetric din alamă: m = 50,25 g,

6

unde toate cifrele sunt exacte. Căldura specifică a alamei este c = 0,37 J/g⋅k,

unde iarăşi toate cifrele sunt exacte. Să calculăm capacitatea calorică a

vasului calorimetric definită astfel C = mc:

50,25 × 0,37 35175 15075 18,5925 C = 18,5925 J/K. La prima vedere, toate cifrele acestui rezultat ar trebui să fie exacte, din

moment ce toate cifrele factorilor au fost exacte. În realitate nu este aşa.

În numărul m = 50,25 g noi nu cunoaştem cifra care urmează după 5

(de exemplu nu am putut-o măsura), la fel în numărul c = 0,37 J/g⋅K nu

cunoaştem cifra care urmează după 7. Să înlocuim aceste cifre cu semn de

întrebare şi să efectuăm din nou înmulţirea:

50,25? × 0,37? ????? 35175? 15075? 18,5925?? ?? Se vede că ultimele 2 cifre nu sunt exacte, ba chiar cifra 5 din faţa lui 9

ar putea creşte cu o unitate posibilă de la cifra următoare. De aceea,

rezultatul trebuie rotunjit, eliminând ultimele două cifre:

C = 18,5925 ≈ 18,60 J/k.

Aici cifra 0 trebuie păstrată, fiind cifră semnificativă !.

4. Formule pentru calcule aproximative

Calculul erorilor este un calcul aproximativ de evaluare al erorilor, de

aceea se fac aproximaţii pe deplin justificate. Dăm mai jos câteva formule

utile.

7

a) (1+x) (1+y) (1+z) ≈ 1 + x + y + z, (6)

dacă x << 1, y << 1, z << 1.

Formula se obţine uşor, desfăcând parantezele şi neglijând termenii pătratici,

care sunt mici.

b) (1 + x)r ≈ 1 + rx, dacă x << 1, r număr real (7)

Formula se obţine din dezvoltarea în serie a binomului, păstrând

primii termeni. Cazuri particulare:

,1x ,11

1<<≈

±x

x∓ (aici r = -1), (8)

;b ),1(11

aa

b

aba<<≈

±∓ (8')

1x ,2

11 <<±≈±x

x (aici r = 1/2) (9)

sau

.b ,2

aa

baba <<±≈± (9')

Exemplu: Presiunea atmosferică H în torr, în funcţie de înălţimea

barometrică B, în mm, coeficientul de dilatare liniară α al riglei şi

coeficientul de dilatare în volum β al mercurului este:

[ ],)(1)1)(1(1

1θβαβθαθ

βθαθ

−+≈−+=++

= BBBH (10)

deoarece αθ << 1 şi βθ << 1.

c) Din dezvoltările în serie ale funcţiilor trigonometrice,

exponenţiale, logaritmice, funcţii ce păstrează primii termeni liniari, obţinem

formule de aproximaţie. De exemplu:

rad;in x ,2

x-1 xcos , sin

2

≈≈≈ xxtgx

ex ≈ 1+ x, ax = exln a ≈ 1+ x ln a, (11)

ln (1 + x) ≈ x, dacă x << 1.

8

5. Erori de citire

1. Prin erori de citire vom înţelege erorile de măsură directă a unei

mărimi fizice, de exemplu, măsurarea lungimii cu o riglă, a timpului cu un

cronometru, a masei cu o balanţă, a temperaturii cu un termometru, etc.

Evident, nu putem cunoaşte exact eroarea de citire, dar putem totdeauna

evalua eroarea maximă de citire, care nu poate depăşi precizia aparatului

folosit. Dacă pe aparat nu este indicată precizia sa, putem lua drept eroare

absolută maximă de citire valoarea celei mai mici diviziuni în care este

gradată scala aparatului sau chiar 0,5% din această valoare. Într-adevăr,

aparatele de măsură (riglele, cronometrele, voltmetrele, etc.) se fabrică în serie,

admiţându-se anumite toleranţe ale preciziei indicaţiilor, prin comparaţie cu

etaloane speciale. Este inutilă gradarea scalei aparatului în diviziuni mai fine

decât precizia lui, întrucât cifrele corespunzătoare acestora oricum n-ar fi

sigure (la fel cum este inutilă scrierea zecimalelor neprecise ale unui număr

aproximativ). Chiar dacă precizia aparatului ar fi mai înaltă decât valoarea

celei mai mici diviziuni, tot n-am putea aprecia exact, cu ochiul liber,

fracţiuni mai mici decât o jumătate din diviziunea cea mai mică marcată pe

scală. De aceea se ia drept eroare maximă la citire jumătate din valoarea

celor mai mici diviziuni marcate pe scală.

Exemplu: La măsurarea lungimilor cu o riglă obişnuită putem lua δx

= 0,5 mm, iar dacă avem un vernier 1/10, atunci δx = 0,05 mm. La

cronometrări putem lua δτ ≈ 0,2 s sau chiar mai mult datorită timpilor morţi

la pornire şi oprire. La cântăriri putem lua pentru δx jumătate din valoarea

celei mai mici mase marcate, la care mai este sensibilă (răspunde) balanţa.

La citiri de temperatură, δt va fi jumătate din valoarea diviziunii minime în

care este gradat termometrul folosit.

2. Dacă măsurăm o mărime X (lungime, masă, etc.) repetat de + ori, în

aceleaşi condiţii şi cu aceeaşi precizie (cu acelaşi aparat, cu aceeaşi

9

conştinciozitate, etc.), vom obţine mai multe valori xi, cu i = 1, 2, 3, …, +,

împrăştiate (grupate) în jurul valorii reale x0.

Erorile accidentale se bucură de două proprietăţi importante:

a) Valorile xi sunt împrăştiate simetric (în cazul unui număr suficient

de măsurători + = 10 ÷ 15) în jurul valorii reale x0.

Eroarea reală δxi = x0 – xi , nu poate fi determinată şi deci nici utilizată

deoarece nu cunoaştem valoarea reală (exactă) a mărimii (pe care de fapt ne

propunem să o aflăm). Această eroare are o semnificaţie pur teoretică.

Dacă construim un grafic aşezând în abscisă valorile erorilor reale

δxi, iar în ordonată frecvenţa lor, y, obţinem o curbă sub forma unui clopot,

numit clopotul lui Gauss (fig. 1.1), a cărei relaţie este:

22 )()( xhe

hxfy δ

πδ −== (12)

unde h este un parametru de preciziei (precizia metodei de măsurare).

b) Erorile mari în modul sunt puţin numeroase (sunt rare).

Se poate arăta că pentru un şir de + măsurători de egală precizie

valoarea cea mai probabilă sau cea mai bună a mărimii măsurate este

y

-δxn

0 δxn δxi

Fig. 1. Reprezentarea grafică a valorilor erorilor reale în funcţie de frecvenţa lor

10

media aritmetică a rezultatelor obţinute:

∑=

=+

iix

+x

1.

1 (13)

Eroarea mediei aritmeticice este mai mică de + ori (dacă + ≥ 10) decât

eroarea unei măsurători individuale (izolate). O măsură a erorii mediei

aritmetice (pentru + ≥ 10) este dată de eroarea pătratică medie notată cu σ

sau x

S

.)( )1(

1 N

1i

2∑=

−−

= ixx++

σ (14)

Atunci rezultatul final al unui şir de măsurători se scrie sub forma:

.σ±= xx sau ±= xxx

S (15)

Observaţie. Rezultatele xi care sunt în totală discrepanţă cu x sunt

erori grosolane (greşeli datorate neatenţiei) şi trebuie eliminate. Cu datele

rămase se recalculează media aritmetică şi eroarea pătratică medie.

Din teorie rezultă că parametrul preciziei h este influenţat de x

S

conform relaţiei:

+S

h

x2

1= (16)

Se poate vedea că σ (sau x

S ) descreşte odată cu creşterea numărului

de măsurători, +.

Semnificaţia erorii pătratice a mediei aritmetice:

1) Eroarea pătratică a mediei aritmetice caracterizează precizia măsurătorilor

şi este legată de numărul de măsurători necesare de efectuat.

2) În intervalul )(x

Sx ± vor fi cuprinse 68% din numărul măsurătorilor

efectuate, acest interval purtând denumirea de interval de încredere.

3) Eroarea pătratică a mediei aritmetice arată câte zecimale se menţin

pentru valoarea mediei aritmetice în exprimarea rezultatului.

11

Eroarea relativă a mărimii x se exprimă prin relaţia:

x

Sx

x =ε (17)

Eroarea relativă caracterizează precizia măsurătorilor legat de alegerea

erorii absolute a instrumentelor de măsură. Se apreciază că rezultatul a fost

determinat corect dacă 1≤xε %.

6. Calculul erorilor pentru mărimile măsurabile indirect

În multe cazuri mărimea de măsurat nu este accesibilă măsurării

directe. Valoarea acestei mărimi trebuie determinată indirect (calculată) dintr-o

relaţie matematică ce conţine mai multor mărimi măsurabile direct.

Considerăm o mărime, z, exprimată prin mărimile xi (i = 1,+)

măsurabile direct şi satisfăcând relaţia:

z = f(x1, x2, - - -, x+) (18)

Se pune problema determinării valorii medii, a erorii absolute, a erorii

pătratice a mediei aritmetice şi a erorii relative a mărimii de măsurat.

Valoarea medie este:

),,,( 21 +xxxfz −−−= (19)

Diferenţiala mărimii z are expresia:

++

dxx

fdx

x

fdx

x

fdz

∂∂

+−−−+∂∂

+∂∂

= 22

11

(20)

Eroarea absolută a mărimii z pentru o măsurătoare se aproximează cu

diferenţiala ei şi notând +i+iii xdxxdxxdxzdz δδδδ =−−−=== ,,,, 2211 , atunci

relaţia de mai sus devine:

+i+

iii xx

fx

x

fx

x

fz δδδδ

∂∂

+−−−+∂∂

+∂∂

= 22

11

(21)

+ fiind numărul total al măsurătorilor efectuate.

Efectuând asupra mărimii x1, n1 măsurători, asupra mărimii x2, n2

12

măsurători, etc., eroarea pătratică a mediei aritmetice a mărimii z are

expresia:

( )2

,...,,

2

,...,,2

2

,...,,12121

2

21

1

+

+

++ xxx

x+xxx

x

xxx

xzz Sx

fS

x

fS

x

fS

∂

∂+−−−+

∂

∂+

∂

∂=σ (22)

unde:

)1(

)(

11

1

21

1

1 −=

∑=

++

x

S

+

ii

x

δ (23)

……………………

)1(

)(1

2

−=

∑=

++

+

i+i

x++

x

S

+

+

δ (24)

Mărimea măsurată se va exprimă prin relaţia finală:

zSzz ±= (25)

Eroarea relativă, exprimată în procente, este:

z

S zz =ε (26)

7. Erorile funcţiilor

Majoritatea mărimilor fizice se măsoară indirect, adică se determină

prin calcul cu ajutorul unei formule în care intră mărimi ce sunt măsurate

direct. Ştiind erorile argumentelor trebuie să calculăm eroarea care rezultă

pentru funcţie, în special ne interesează eroarea maximă a funcţiei, cunoscând

erorile maxime ale argumentelor.

Este comod să notăm în cele ce urmează cu δx modul erorii absolute

şi cu εx modulul erorii relative, adică

13

,x xsau xsau 000 xxxxxx δδδ ±=±=−−=

.x

sau 0xx

x

x

x

xε

δε ±=

−= (27)

Vom presupune de asemenea că erorile sunt suficient de mici adică

,1 , x <<<< εδ xx (28)

astfel încât putem folosi formule pentru calcule aproximative.

1. Să calculăm mai întâi erorile maxime ale funcţiilor simple.

a) Sumă. Fie suma algebrică:

f = ax + by cu valoarea exactă f0 = ax0 + bx0, (29)

unde a, b sunt constante exacte. Eroarea absolută este:

f0 - f = a(x0 - x) + b(y0 - y) = ± a δx ± b δy. (30)

Cazul cel mai nefavorabil are loc atunci când erorile absolute ale

variabilelor x, y au acelaşi semn cu coeficienţii respectivi a, b de unde

rezultă eroarea maximă:

. ;)( ff

fybxabyaxf

δεδδδδ =+=+= (31)

În particular,

dacă f = const.⋅x, atunci δf = |const.|⋅δx; (31')

şi cazul diferenţei, pe care o vom trata şi separat:

f = x - y, δf = δ(x - y) = δx + δy. (31'')

Observaţie: La adunarea mai multor numere, termenul cu număr

minim de zecimale (deci cu eroare absolută maximă) se lasă neschimbat, iar

ceilalţi termeni se rotunjesc păstrând o zecimală în plus faţă de termenul

grosolan (aceste zecimale vor da cifra "îndoielnică" a rezultatului).

b) Diferenţă. Asemănător sumei avem:

f = x - y, f0 = x0 - y0, f0 - f = (x0-x) - (y0-y) = ± δx ± δy.

Cazul cel mai favorabil are loc atunci când erorile absolute ale termenilor

au semne opuse şi deci se adună, de unde eroarea maximă:

14

( ) . , fyx

yxyxyxf

−+

=+=−=δδ

εδδδδ (32)

Cazul diferenţei este un caz particular al sumei algebrice de la punctul

precedent (punând a = 1, b = -1).

Dacă x şi y sunt apropiaţi între ei, eroarea relativă maximă a

diferenţei va fi foarte mare (din cauza numitorului mic), chiar dacă erorile

relative ale termenilor sunt mici. Acest fapt trebuie totdeauna avut în vedere,

evitând determinarea unei mărimi ca diferenţă a două mărimi apropiate.

De exemplu, dacă creşterea de temperatură într-un vas calorimetric

este mică, de la t1 = 19,3 ± 0,10C la t2 = 19,7 ± 0,10C atunci eroarea relativă

a diferenţei ∆t = t2 - t1 va fi

%,505,03,197,19

1,0.22

1212

21 ==−

=−

=−

+=∆

tt

t

tt

ttt

δδδε

deşi citirile t1, t2 au fost făcute cu o precizie de 100 ori mai bună:

εt ≈ 0,1/20 = 0,005 = 0,5 %.

c) Produs. Pentru un produs de doi factori avem:

f = xy, f0 – f = x0y0 - xy = x(y0-y) + y(x0-x) + (x0-x) (y0-y) = ± xδy ± yδx ±

δx δy = ± xδy ± yδx.

unde am neglijat ultimul termen, erorile fiind presupuse mici.

Eroarea maximă (cazul cel mai nefavorabil) va fi:

yxxy

fxyyxxyf εε

δεδδδδ +==+== f ,)( (33)

deci se adună erorile relative ale factorilor.

d) Cît . Analog produsului avem:

,)(

)()(f ,

20

00

0

00

0

00

y

yxxy

yyy

yxxy

yy

yyxxxy

yy

xyyx

y

x

y

xf

y

xf

δδδ

δδ ∓∓ ±≈

±±

=−−−

=−

=−=−=

de unde eroarea maximă (cazul cel mai nefavorabil):

, , f2 yxf

f

y

yxxy

y

xf εε

δε

δδδδ +==

+== (34)

15

deci şi în acest caz se adună erorile relative ale factorilor.

Observaţie: Pentru ca o expresie de tip produs - cît să aibă sigur n

cifre exacte trebuie ca factorii să aibă n + 2 cifre exacte.

e) Putere. Să considerăm o funcţie putere f = x2, unde x este un

număr real exact. Atunci

f0 - f = xrr

xrrr

xrrrrr rxxrxxxxxxxx εεεδ ±=−±≈−±=−±=− )1()1()(0

de unde eroarea:

, , f xrxrr r

x

fxrxf ε

δεεδδ ==== (35)

adică eroarea relativă a unei puteri este egală cu eroarea relativă a bazei

înmulţită cu exponentul (în modul).

Pentru funcţiile simple de mai sus se calculează întâi creşterea

absolută şi apoi cu ajutorul acesteia eroarea relativă.

Pentru funcţii mai complicate de tip produs – cât se calculează mai

întâi eroarea relativă după regula de mai jos şi apoi cu ajutorul acesteia

eroarea absolută.

Exemple: 1) Diametrul d2 al unui tub capilar se determină pe baza

diametrului cunoscut d1 al unui tub capilar de comparaţie şi a ascensiunilor

capilare h1, h2,

2

112

h

hdd = (36)

de unde eroarea relativă maximă este, conform regulii:

,11

2121

21

212112

+=+=+≈++=

hhhhh

hhhhhhdd δ

δδεεεεεε (36')

(δh1 ≈ δh2)

dacă diametrul d1 este cunoscut cu suficientă precizie.

2) Modulul lui Young E se determină pe baza alungirii ∆l a unui fir

de lungime l, şi secţiunea S0 supus forţei F:

16

,0

0

lS

FlE

∆= (37)

de unde eroarea relativă maximă:

,2)(

00

000 ll

l

ll

llllSlFE −

=−

−=≈+++= ∆∆

δδεεεεεε (37')

unde erorile forţei F (dată de greutăţi marcate), a lungimii l0 şi a secţiunii

date S0 pot fi neglijate (δl ≈ δl0).

3) Perioada pendulului simplu T este dată de formula:

,2g

lT π= (38)

de unde eroarea relativă maximă:

,2

1

2

1

2

1lglT εεεεε ≈++= Π (38')

unde erorile pentru π, g se pot neglija dacă luăm un număr suficient de

zecimale.

4) Constanta elastică k a unui resort se determină fie static pe baza

alungirii x sub acţiunea greutăţii mg, fie dinamic pe baza perioadei T a

oscilaţiilor verticale ale greutăţii:

,T

m4k sau

22π==

x

mgk (39)

de unde eroarea relativă maximă:

εk = εm + εg + εx ≈ εx sau εk = 2επ+ εm + 2εT ≈ 2εT, (39')

unde se pot neglija erorile masei marcate m, a lui g şi π (luând un număr

suficient de zecimale).

2. În cazul unor funcţii oarecare, de exemplu, al funcţiilor

trigonometrice, logaritmice, exponenţiale etc., se aplică calculul diferenţial,

asimilând diferenţialele cu erori (presupuse mici).

Presupunem că funcţia este continuă şi cu derivate parţiale continue

în domeniul considerat.

17

Fie o funcţie de două variabile f = f(x, y), valoarea exactă fiind f0 =

f(x0,y0). Se dezvoltă funcţia în serie Taylor în jurul valorilor (x, y) păstrând

doar termenii liniari:

,)()(),(),( 0000y

fyy

x

fxxyxfyxf

∂∂

−+∂∂

−+≈

.0y

fy

x

fxff

∂∂

±∂∂

±≈− δδ

Cazul cel mai nefavorabil are loc atunci când erorile argumentelor au

acelaşi semn cu derivatele respective, de unde eroarea maximă:

.yy

fx

x

ff δδδ

∂∂

+∂∂

=

Putem raţiona şi astfel. Anume, diferenţiem funcţia:

dxx

fdy

y

fdx

x

fdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ,

asimilăm diferenţialele cu erori (considerate mici) dx → δx, … şi luăm cazul

cel mai nefavorabil pentru a obţine eroarea maximă:

.zz

fy

y

fx

x

ff δδδδ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= (40)

Putem obţine şi pe această cale formulele pentru funcţiile simple

(31 - 35):

;af )( ybxbdyadxby, dfaxfa δδδ +=→+=+=

(b) f = x - y, df = dx - dy → δf = δx + δy;

(c) f = xy, df = xdy + ydx → δf = ;xyyx δδ +

(d) f = . ,22 y

yxxyf

y

ydx-xdy df

y

x δδδ

+=→=

Pentru expresii de tip produs - cât se calculează întâi eroarea relativă.

Pentru aceasta este comod să logaritmăm în prealabil funcţia şi apoi să

diferenţiem (ştiind că d lnx = x

dx);

18

(a) f = xyz, ln f = lnx + lny + lnz, ,z

z

y

y

x

x

f

f

z

dz

y

dy

x

dx

f

df δδδδ++=→++= deci

εf = εx + εz + εz;

(b) f = ,lnlnlnln ,z

z

y

y

x

x

f

f

z

dz

y

dy

x

dx

f

dfz, y-x- f

yz

x δδδδ++=→−−== deci

εf = εx + + εz + εz;

(c) f = xr , lnf = r ln x, . , f xr

x

xr

f

f

x

dxr

f

dfεε

δδ==→=

Se găseşte astfel regula de adunare a erorilor relative pentru expresii de

tip produs - cât.

Exemple: 1) Ascensiunea capilară h este dată de formula:

,cos2

grh

ρθσ

= (41)

unde σ este tensiunea superficială, θ - unghiul de racord (umectaţie) , ρ -

densitatea lichidului, g - acceleraţie gravitaţională, r - raza tubului capilar.

Eroarea relativă maximă este:

εh = εσ + εcosο + ερ + εg + εr, unde

..cos

.sin

cos

coscos δθθ

θ

δθθ

θθδ

ε θ tg=== (41')

2) Nivelul sonor L (în decibeli) este definit prin intensităţile sonore I0

şi I astfel:

0

lg10I

II = (42)

de unde eroarea maximă:

( ).I deoarece

,11

1010)11(10

0

00

00

I

III

I

I

I

IgIgIL

δδ

δδδ

δδ

≅

+≅

+=−=

19

8. Trasarea graficelor

În alcătuirea şi trasarea graficelor trebuie respectate anumite reguli.

1. Tabelul de valori.

În primul rând alcătuim tabelul cu valorile argumentului x (în ordine

crescătoare) şi valorile corespunzătoare ale funcţiei y = f(x), ca de exemplu

în tabelul alăturat.

x, unit. măs. 482 589 648 785 880 1030 y, unit. măs. 1,18 1,225 1,287 1,335 1,360 1,391

x 1150 1336 1470 1575 1725 y 1,425 1,432 1,429 1,425 1,440

La capătul rândului trebuie scrisă neapărat unitatea de măsură respectivă, fie

despărţită printr-o virgulă de simbolul mărimii, fie în paranteze.

2. Domeniul de variaţie

Stabilirea domeniului de variaţie a celor două mărimi x şi y, se face

prin rotunjirea valorilor extreme până la valori convenabile care să

încadreze bine valorile din tabel. În exemplul nostru: x ∈ (500, 1700), ∆x

=1200, y ∈ (1,00; 1,50), ∆y = 0,50.

3. Dimensiunile graficului.

Dimensiunile graficului trebuie să fie de ordinul 12 x 18 cm (dublul

unei cărţi poştale sau jumătate dintr-o coală oficială obişnuită). În cazuri

speciale graficul poate fi mai mic, de ordinul 9 x 12 cm (adică o carte

poştală, dar în nici un caz mai mic) sau poate fi mai mare, de ordinul 18 x

24 cm. Raportul optim dintre lungime şi lăţime trebuie să fie 2 =1,4.

Graficul poate fi aşezat în una din cele două poziţii a sau b din

fig. 2, în funcţie de comoditatea scărilor pentru x şi y.

20

y y sau x a)

b) x Fig. 2. Poziţia graficului

4. Scările

Graficul poate fi trasat comod pe hârtie milimetrică sau eventual pe

hârtie în pătrăţele de aritmetică (sau comercială). Poate fi folosită şi o hârtie

albă, liniată de noi uşor cu creionul cu linii consecutive, verticale sau

orizontale, dar aşa ceva se recomandă doar în cazuri extreme. Trebuie să

reprezinte un număr de unităţi egal neapărat cu unul din divizorii lui 10,

adică 1, 2 sau 5, înmulţit cu o putere întreagă convenabilă a lui 10, deci

10k, 2⋅10k sau 5⋅10k unităţi, unde k este un număr întreg convenabil (pozitiv,

negativ sau nul). Astfel, intervalul dintre liniile echidistante, verticale sau

orizontale, poate fi următorul număr de unităţi:

1⋅10-1 = 0,1: 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6 etc.

2⋅10-1 = 0,2: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2 etc.

5⋅10-1 = 0,5: 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0 etc.

1: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; etc.

2: 0; 2; 4; 6; 8; 20; 12; 14; etc.

5: 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; etc.

10: 0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; etc.

20: 0; 20; 40; 60; 100; 120; 140; etc.

50: 0; 50; 100; 150; 200; 250; 300; 350; etc.

100: 0; 100; 200; 300; 400; 500; 600; etc.

200: 0; 200; 400; 600; 800; 1000; 1200; etc.

500: 0; 500; 1000; 1500; 2000; 2500; 3000; etc.

21

Nu se folosesc pentru intervale numere sub 0,1 sau peste 500 unităţi,

deoarece le putem evita folosind submultipli sau multipli ai unităţilor folosite.

Distanţa dintre două linii consecutive trebuie să fie de ordinul a

10- 20 mm. Liniile nu trebuie să fie nici prea dese, deoarece încarcă desenul,

şi nici prea rare, deoarece strică precizia de reprezentare a datelor.

În cazul hârtiei milimetrice sau în pătrăţele (de aritmetică sau

comercială), nu se trasează liniile echidistante (deoarece sunt gata trasate de

fabrică), ci se marchează pe cele două axe doar intervalele echidistante

alese. Distanţa dintre aceste marcaje trebuie să cuprindă 1, 2 sau 5 cm,

respectiv 2, 4 sau 10 pătrăţele de aritmetică. În cazul exemplului nostru ∆x =

1400 repartizat pe 14 cm lungime (în cazul hârtiei albe putem alege şi ∆x =

1300 repartizat pe 14-16 cm). Pe axa verticală avem ∆y = 0,50 unităţi pe

care îi repartizăm pe 10 cm înălţime (fig. 2a) sau pe 15 cm înălţime (fig. 2b).

5. Trasarea graficului

Fiecare punct experimental se marchează vizibil printr-un cerculeţ,

pătrăţel, triunghi, cruciuliţă etc. (de 1 mm mărime) fără a duce linii

ajutătoare (pline sau puncte), ci urmărind paralel liniile de coordonate deja

trasate, şi fără a nota pe axe valorile numerice ale coordonatelor punctelor.

Numai punctele remarcabile (critice) pot fi eventual evidenţiate prin linii de

coordonate (întrerupte) şi înscrise pe axe valorile coordonatelor respective.

Punctele experimentale reprezentate nu trebuie unite prin linii drepte,

astfel încât graficul să iasă o linie frântă. Trebuie trasată o curbă lină

(eventual cu ajutorul unui florar) prin interpolare, astfel încât curba să

treacă prin cât mai multe puncte experimentale, lăsând eventual de o parte

şi de alta, în mod egal şi simetric, un număr cât mai mic de puncte şi cât

mai apropiate de curbă.

Forma curbei pe care o vom trasa depinde de cunoştinţele noastre

asupra desfăşurării fenomenului (procesului) studiat. Astfel, dacă avem

argumente temeinice în sprijinul unei dependenţe liniare atunci vom trasa

22

prin interpolare o linie dreaptă (fig. 3, linia plină). Dacă ştim că dependenţa

este parabolică vom interpola o curbă parabolică (fig. 3, linia întreruptă).

Fig.3

Dacă studiem un fenomen nou şi nu ştim deloc la ce tip de curbă

ne putem aştepta, atunci trebuie să evaluăm bine erorile funcţiei y pentru

fiecare punct experimental, pentru a vedea câtă încredere putem avea în

punctele experimentale obţinute. Pentru aceasta marcăm intervalele (y - δy,

y + δy) (δy = eroarea absolută) prin segmente verticale centrate pe punctele

experimentale respective (x, y) şi facem interpolarea printr-o curbă lină care

să taie aceste segmente.

De exemplu, în cazul graficului din fig. 4 se evidenţiază experimental

existenţa unui anumit proces (de cristalizare) în regiunea palierului A.

Uneori se reiau măsurătorile în mod special în regiunea interesantă pentru a

obţine mai multe (mai dese) puncte experimentale şi a evita o eventuală

pierdere (estompare) a unor variaţii (fig. 4, în porţiunea cu cruciuliţe).

Sub cadrul graficului sau sus în cuprinsul cadrului se scrie titlul

graficului, iar acesta trebuie sa indice in general variaţia unei mărimi în

funcţie de altă mărime, eventual şi ceea ce scoate în evidenţă acea

reprezentare grafică.

23

Fig . 4 6. Exemple:

a) Sensibilitatea balanţei. Deviaţia acului balanţei în funcţie de masele

puse pe platane (la o suprasarcină dată), deviaţie proporţională cu

sensibilitatea balanţei, ne conduce de exemplu, la următorul tabel de date:

m, g 5 30 78 100 120,5 158 α, div. 6,0 3,4 2,9 2,5 2,3 2,2

Graficul este dat în figura 5.

Fig. 5

24

b) Studiul căderii libere. Înălţimea de cădere s şi timpul de cădere

liberă ne conduc la o curbă parabolică (pătratică), (fig. 6).

s, cm 16 17 37 44 55 69 79 t, s 0,18 0,28 0,36 0,365 0,405 0,40 0,41

Fig. 6 c) Densitatea unor soluţii

Densitatea relativă a două soluţii în funcţie de concentraţie ne

conduce la graficul din figura 7.

I c , % 4 8 13 δ 1,037 1,06 1,086 II c , % 25 50 δ 0,931 0,883

25

Fig. 7. Densitatea relativă a unor soluţii

d) Oscilatorul armonic

Forţa elastică (egală cu greutatea atârnată) în funcţie de alungirea

resortului ne conduce la graficul liniar (F = kx) din figura 8.

F, gf 5 10 15 20 25 30 35 x, mm 15 30,5 51 59 70 83 98,5

F 40 45 50 x 108 120 140

Constanta elastică se determină din grafic alegând pe dreapta de

interpolare două puncte cât mai depărtate între ele spre marginile

graficului), de exemplu, (0,0) şi (140, 50).

Prin urmare obţinem: m+cmgfcm

gf

x

Fk /63,3/70,3

0,14

50====

26

Fig.8. Oscilatorul armonic

e) Termocuplul. Tensiunea termoelectromotoare E a unui termocuplu

variază practic liniar cu temperatura sudurii calde (cea rece fiind la 00C).

Datele experimentale din tabelul alăturat ne conduc la graficul din figura 9.

E , mV 0,85 2,2 4,0 5,0 6,7 0 , 0C 24,8 55 80 110 140

Interpolând o dreaptă şi luând pe această dreaptă două puncte cât

mai depărtate între ele, de exemplu (0,0) şi (140; 6,7) găsim panta dreptei,

adică sensibilitatea termocuplului:

./48.140

7,6grdV

grd

mVEs µ

θ==

∆∆

=

Fig. 9

27

f) Termometrul cu rezistenţă. Rezistenţa în funcţie de temperatură ne

conduce la graficul din figura 10.

R, Ω 108 109 120 122 127 136 142 146

θ, 0C 22 29 50 58 80 90 105 118 R 154 158

θ 139 150

Interpolând o dreaptă, R = R0 (1+Aθ), şi extrapolând-o spre 00C găsim

R0 = 100 Ω. Pentru determinarea pantei luăm de exemplu punctele (0, 100) şi

(150, 158), (pentru simplificare în grafic s-au trecut mai puţine puncte):

,/387,0150

1001580 grdARm Ω=

−==

de unde coeficientul termic

.10.87,3100

387,0 13

0

−−=== grdR

mA

Fig.10. Termometrul cu rezistenţă

28

g) Termistorul. Termistorul este un semiconductor a cărui rezistenţă

scade cu temperatura după o lege de tip exponenţial:

R = A e-ε/2kT (43)

k = 1,38.10-23 J/grd – constanta Boltzmann,

unde ε este lărgimea benzii interzise în cazul conductibilităţii intrinseci (fără

impurităţi sau la temperaturi suficient de înalte). Logaritmând relaţia (43) şi

exprimând pe ε în electron-volţi (1eV = 1,6⋅10-19J), avem

)(,1000

5,2lg1038,12

106,14343,0lglg

2lglg

23

19eVin

TA

TAe

kTAR εε

εε+=

⋅⋅

⋅⋅+=+=

−

−(44)

Prin urmare, graficul lui lg R în funcţie de 1000/T trebuie să fie o

linie dreaptă cu panta m = 2,5 ε, din care putem afla pe ε, anume ε = 0,4 m.

Fig. 11. Termistorul

În figura 11 am reprezentat R = f(θ) şi lg R = f(1000/T), conform

datelor experimentale din tabelul următor.

29

R, Ω 68 66,5 52 25,0 20,0 10,8 7,2 lg R 1,832 1,823 1,716 1,398 1,301 1,034 0,858 θ , 0C 25 28 30 50 62 83 90 1000/T 3,35 3,32 3,3 3,09 2,985 2,81 2,74 R 6,2 3,9 3,1 2,2 1g R 0,792 0,591 0,491 0,342 θ 104 140 145 148 1000/T 2,65 2,42 2,39 2,37

Din graficul lgR = f(1000/T), luând de exemplu pe dreapta de

interpolare punctele (2,35; 0,35) şi (3,30; 1,80), găsim panta

ε5,2526,135,230,3

35,080,1==

−−

=m

de unde intervalul energetic:

.61,04,0 eVm ==ε

Fig.12. Termistorul

1

DETERMIAREA IDICELUI DE REFRACŢIE PETRU

MATERIALE SOLIDE, OPTIC-TRASPARETE PRI

METODA CHAULES

1. Scopul lucrării

Scopul lucrării îl constituie determinarea indicelui de refracţie la

unele materiale optic - transparente şi utilizarea rezultatelor în diferite

aplicaţii.

2. Teoria lucrării

Conform teoriei electromagnetice lumina reprezintă o undă

electromagnetică cu lungimea de undă λ cuprinsă între 3600 A° şi 7600

A°, care impresionează retina ochiului uman. Acest domeniu al lungimilor

de undă se mai numeşte şi spectrul vizibil.

Practic, undele electromagnetice sunt clasificate pe baza lungimii

lor de undă, extinsă pe un domeniu larg, începând cu cele a căror

lungime de undă este de ordinul 1810− m şi sfârşind cu cele pentru care

λ este de ordinul 610 m.

)Hz1010(m1010 19261218 ÷≈υ÷=λ −− - radiaţii γ şi radiaţii cosmice

)Hz1010(m1010 1821913 ÷≈υ÷=λ −− - radiaţii X

)1010(106,310 161878 Hzm ÷≈⋅÷= −− υλ - radiaţii ultraviolete

)1010(106,7106,3 151677 Hzm ÷≈⋅÷⋅= −− υλ - radiaţii vizibile

)1010(10106,7 121537 Hzm ÷≈÷⋅= −− υλ - radiaţii infraroşii

)Hz1010(m110 9123 ÷≈υ÷=λ − - domeniul microundelor (radar)

)Hz1010(m1010 7101 ÷≈υ÷=λ − - domeniul radio, televiziune

)Hz1010(m101 484 ÷≈υ÷=λ - domeniul radio

2

)1010(m1010 474 Hz÷≈÷= υλ - joasă frecvenţă (instalaţii de putere).

Înţelegerea profundă a legilor de structură şi interacţie ale

câmpului electromagnetic evidenţiată de teoria cuantică generală a

câmpurilor a avut la origine teoriile ondulatorii ale lui Huygens, Fresnel,

Maxwell şi Lorentz, precum şi pe cele corpusculare ale lui Newton,

Planck şi Einstein asupra naturii fizice a fenomenelor luminoase.

Unda electromagnetică constituie o propagare simultană a

vectorului câmp electric →

E şi a vectorului intensitate câmp magnetic →

H

variabili în timp.

Dacă unda se propagă în lungul axei Oz, atunci rezultă că

mărimile ),( tzE şi ),( tzH , concomitent şi în aceleaşi puncte din spaţiu,

ating valorile maxime şi respectiv minime, oscilând deci în fază, ca în

fig. 1.

Fig.1

Dintre cei doi vectori ai undei electromagnetice numai vectorul →

E ,

orientat în sensul axei x, s-a dovedit că produce efecte luminoase.

Cu ajutorul ecuaţiilor lui Maxwell se deduce următoarea ecuaţie de

propagare a unei unde luminoase într-un mediu omogen şi izotop:

Et

E

∆=∂

∂ 22

2v (1)

unde ∆ reprezintă operatorul lui Laplace (sau lapacian) iar viteza de

propagare a undelor electromagnetice într-un mediu este dată de relaţia

(2), în care ε – reprezintă permitivitatea electrică;

3

εµ

1v = (2)

iar µ – permeabilitatea magnetică a mediului prin care se propagă unda.

Legătura dintre constantele optice, electrice şi magnetice ale mediului se

exprimă prin următoarea relaţie:

rr

rr

cn µε

µµεε

µε===

00

00

1

1

v (3)

unde: n - este indicele de refracţie al mediului, c viteza luminii în vid,

εr – reprezintă permitivitatea relativă a mediului,

µr – permeabilitatea relativă a mediului prin care se propagă unda.

Metoda lui CHAUL,ES pentru determinarea indicelui de refracţie a

materialelor solide transparente din punct de vedere optic are la bază

fenomenul de refracţie al luminii când aceasta întâlneşte o suprafaţă de

separaţie S dintre două medii optic transparente.

Acest fenomen constă în schimbarea direcţiei de propagare a unei

raze luminoase când traversează suprafaţa de separaţie S dintre cele

două medii transparente.

Să considerăm o placă transparentă cu feţele plan paralele (dioptru

plan) de grosime l , un obiect luminos A şi un observator O (fig. 2).

Fig. 2

4

O rază luminoasă AB ce pleacă de la obiectul A se va refracta în

B, cu depărtare de normală, propagându-se în mediul cu indicele de

refracţie n1 (aer) după raza BO. Imaginea punctului A va fi în A1, adică

în punctul de intersecţie a prelungirii razei OB şi razei AA’, dusă după

normala N2, în punctul A, la suprafaţa AC.

Aplicând teorema sinusurilor în ∆ABA1 obţinem:

( )r

AB

ir

d

−=

− πsin)sin( (4)

Din ∆ABC rezultă:

AB= l /cos i (5)

Din relaţiile (4) şi (5) se obţine expresia:

ir

l

ir

d

cossin)sin(=

− (6)

Pentru unghiuri mici (i ≈ r ≈ 0 ; cos i ≈ cos r =1) şi ţinând seama de legea

refracţiei:

n2 sin i = n1 sin r (7)

relaţia (6) devine:

2

11n

n

l

d−= (8)

Mediul cu indicele de refracţie n1 fiind aer (n1 = 1), atunci indicele de

refracţie relativ al mediului transparent este n = 1

2

n

n = n2 , iar din (8) se

va obţine relaţia:

dl

ln

−= (9)

3. Dispozitivul experimental

El conţine: 1) Lame din material solid transparent (lame din sticlă).

2) Microscop de laborator. Acesta este folosit pentru

determinarea mărimilor l şi d şi este reprezentat în fig. 3 având

următoarele componente:

5

Fig. 3

4. Modul de lucru

1. Se aşează pe măsuţa M a microscopului o plăcuţă transparentă

pe care s-a marcat un punct cu cerneală ce corespunde punctului luminos

A (fig. 4a).

Prin deplasarea tubului T cu ajutorul şurubului S2 se obţine

imaginea clară a petei făcută cu cerneală.

2. Se va avea grijă ca şurubul S3 să fie rotit la maxim în jos,

adică dacă se poate indicaţia de zero să fie în dreptul reperului.

3. Se notează diviziunea n0 din dreptul reperului, citită pe şurubul

S3 . Din acest moment şurubul S2 nu se mai utilizează.

4. Se aşează peste prima placă, placa transparentă a cărui indice de

refracţie dorim să-l determinăm şi pe care în prealabil s-a marcat de

asemenea un punct cu cerneală B pe faţa superioară (fig. 4c). Imaginea

punctului A văzută prin ocular a devenit neclară.

5. Se caută din nou imaginea clară a primului punct cu ajutorul

şurubului S3, imagine care se formează în punctul A1, notându-se rotaţiile

complete ,1 ale acestuia cât şi diviziunile n1 din dreptul reperului

(fig. 4b). Deplasarea d a imaginii punctului A se va calcula cu

următoarea relaţie:

S – sursa de lumină, T – tub ce conţine lentilele ocular S1 – şurub pentru reglarea condensorului de lumină, S2 – şurub pentru deplasarea grosieră a tubului T pe verticală, S3 – şurub micrometric pentru deplasarea fină a tubului T. El este împărţit în 50 de diviziuni, o diviziune având 0,002mm. M – masa microscopului

6

Fig.4

( ) 002.01.0 011 ⋅−+⋅= nn,d (mm) (10)

6. Pentru a găsi grosimea l corespunzătoare plăcii a cărui indice de

refracţie vrem să-l determinăm scoatem mai întâi din câmpul vizual al

ocularului pata A şi introducem pata de cerneală B a cărei imagine prin

ocular este foarte slab vizibilă. Apoi rotim în continuare şurubul S3

până obţinem imaginea clară a punctului B de pe faţa de sus a

plăcuţei (fig. 4c) notându-se în acelaşi timp numărul total ,2 de rotaţii

complete considerate de la începutul numărării, cât şi diviziunea n2 din

dreptul reperului.

Grosimea plăcii va fi:

( ) 002.01.0 022 ⋅−+⋅= nn,l (mm) (11)

Înlocuind în relaţia (9) valorile d şi l determinate mai sus, se va

obţine valoarea indicelui de refracţie al plăcii.

7. Se vor efectua 10 determinări iar rezultatele măsurătorilor se vor

trece în tabelul 1, unde n reprezintă media aritmetică a celor 10

măsurători, nS eroarea pătratică a mediei aritmetice iar nε eroarea

relativă. Pentru calcularea ultimelor două mărimi se vor folosi formulele

clasice, cunoscute deja din lucrările anterioare.

Determinările se vor efectua la sticlă pentru care valoarea standard

a indicelui de refracţie folosită în calcule este n = 1,5 dar în realitate

indicele de refracţie variază între 1,55 şi 1,8 în funcţie de natura sticlei

şi valoarea lungimii de undă.

7

Tabelul 1

Nr.

crt.

d (mm) l (mm) n nSnn ±= nε

1

2

..

..

..

..

10

După trecerea datelor în tabel se vor face comentariile de rigoare.

1

DETERMIAREA LUGIMII DE UDĂ PRI METODA

OSCILOSCOPICĂ

1. Scopul lucrării

Lucrarea are drept scop înţelegerea modului de propagare a unei

unde într-un mediu elastic şi însuşirea metodei de determinare a lungimii

de undă a unei unde sonore prin metoda osciloscopică.

2. Teoria lucrării

Prin undă se înţelege fenomenul de propagare din aproape în

aproape cu viteză finită a unei oscilaţii (perturbaţii) într-un mediu elastic.

Ecuaţia unei unde ce se propagă după direcţia Ox este dată de relaţia:

( )kxtAy −= ωsin sau

−=λ

πx

vtAy 2sin (1)

unde: A – amplitudinea undei, termenul ϕ = ωt – kx reprezintă faza undei,

k- numărul de undă, ω - pulsaţia, υ – frecvenţa, λ – lungimea de undă

x – distanţa faţă de originea O, străbătută de undă într-un timp t.

Între două puncte M1 şi M2 ale mediului, aflate în oscilaţie la

distanţa x1, respectiv x2 de sursa O, diferenţa de fază este dată de relaţia:

λ

πλ

πλπ

πυλπ

πυϕxxxx

tx

t∆

=−

=

−−

−=∆ 22

22

22 1221 (2)

unde ∆x reprezintă distanţa dintre punctele măsurată după axa Ox (fig. 1).

Fig. 1

2

Oscilaţiile mecanice ale celor două puncte ale mediului, provocate

de undă sunt transformate în oscilaţii electrice x(t) şi y(t) cu

amplitudinile A şi B şi dirijate a fi compuse după direcţii perpendiculare

într-un osciloscop cu două întrări x şi y. Spotul luminos al

osciloscopului va descrie o traiectorie dată în general de ecuaţia:

ϕϕ ∆=∆⋅

−+ 22

2

2

2sincos

2

BA

xy

B

x

A

x (3)

care reprezintă ecuaţia unei elipse înscrise într-un dreptunghi cu laturile

2A şi 2B, dacă diferenţa ∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 are valori arbitrare (fig. 2).

Fig. 2

Excentricitatea, direcţia axelor elipsei şi sensul de mişcare a

spotului pe elipsă depinde de valoarea defazajului ∆φ.

Ne vom limita în cadrul lucrării numai la situaţiile pentru care în

funcţie de defazajul ∆φ, elipsele respective devin:

1. drepte pentru: ∆φ = 0 sau ∆φ = 2nπ;

∆φ = π sau ∆φ = (2n+1) π;

2. elipse pentru: ∆φ = π/2 sau ∆φ = (4n+1) π/2,

∆φ = 3π/2 sau ∆φ = (2n+1) π/2

unde n = 0,1,2,3,……. .

Traiectoriile rezultante ce corespund acestor situaţii sunt prezentate

în fig. 3a, 3b, 3c. Defazajul dintre două oscilaţii poate fi măsurat direct

din traiectoriile elipsei rezultante, vizualizate pe ecranul osciloscopului

catodic. Câteva cazuri particulare:

a) Dacă φ1 = φ2, adică ∆ϕ = 0, oscilaţiile x(t) şi y(t) sunt în fază iar

3

ecuaţia elipsei devine: B

y

A

x= => y =

A

Bx . (4)

În acest caz traiectoria corpului este dreapta ab, indicată în figura 3a.

Fig. 3a

b) Dacă φ2 = φ1 + π , atunci:

y(t) = B sin(ωt+ φ1+ π) = -B sin(ωt + φ1) iar ecuaţia elipsei devine:

B

y

A

x −= => y =

A

B−x (5)

În acest caz traiectoria corpului este dreapta a’b’ cu panta negativă

(fig. 3b) în timp ce în (fig. 3a) panta dreptei este pozitivă.

Fig. 3b

c) Dacă φ2 = φ1 +2

π , atunci între fazele iniţiale putem scrie:

)tsin(A

x1ϕω += iar

B

y= sin(ωt+ φ1+

2

π) = cos(ωt + φ1) sau

2

2

2

2

B

y

A

x+ = 1. În

acest caz traiectoria corpului (spotului) este o elipsă centrată, acesta

efectuând rotaţia dinspre cadranul 1 către cadranul 2 pentru ∆ϕ = π/2 şi

dinspre cadranul 2 către cadranul 1 pentru ∆ϕ = 3π/2 (de exemplu fig. 3c).

4

Fig. 3c

d) Dacă φ2 = φ1 + 2

π , iar A = B = A 0 , traiectoria corpului este un

cerc de rază A0 înscris într-un pătrat cu latura 2A0. Ca şi la elipsă, pentru

∆φ = π/2 avem oscilaţie circulară stânga (adică săgeata din figura 4

orientată invers), iar pentru ∆φ=3π/2, oscilaţie circulară dreapta (fig. 4).

Fig. 4

Dacă pulsaţiile celor două oscilaţii sunt diferite (ω1≠ ω2) traiectoria

rezultantă este mai complicată, iar curba se închide numai dacă raportul

pulsaţiilor ω1 şi ω2 este egal cu raportul a două numere întregi n1 şi

n2, 2

1

ω

ω=

2

1

n

n. În funcţie de valorile lui n 1 ,n 2 şi φ se obţin curbe diferite

care se numesc curbele lui Lissajous.

Exemplu: - Dacă x = A sin ωt iar y = B sin(2ωt+2

π) atunci figura lui

Lissajous este reprezentată în (fig. 5), iar în funcţie de valoarea raportului

dintre cele două pulsaţii forma figurii se modifică sau se complică.

5

Fig. 5

Undele staţionare

Prin unde staţionare se înţeleg acele unde care se obţin prin

suprapunerea undelor incidente cu cele reflectate. Considerăm cazul în

Fig. 6

care unda incidentă emisă de sursa S aflată în punctul O cade

perpendicular pe suprafaţa de separaţie (zona haşurată) dintre două medii.

Considerând că A incid = A ref = A, atunci elongaţiile punctului P aflat la

distanţa l–x de sursa de unde S, se vor datora undei incidente:

Ψ i = A cos[ωt – k(l– x)] =A cos[(ωt–kl)+ kx] (6)

şi undei reflectate:

Ψ r = A cos[ωt–k(l+ x)] = cos[(ωt–kl) – kx] (7)

Prin compunerea celor două oscilaţii se obţine ecuaţia undelor staţionare:

Ψ = Ψ i + Ψ r = 2A coskx⋅cos(ωt–kl) (8)

Se vede că mediul oscilează cu o pulsaţie egală cu cea a undei

incidente dar amplitudinea oscilaţiei rezultante A rez depinde de distanţa x

de la suprafaţa de separare a celor două medii:

A rez = 2A coskx = 2Acosλπ2

x (9)

6

În punctele în care λπ2

x = nπ, (n = 0,1,2,…) amplitudinea este

maximă, A rez = 2A, iar punctele se numesc ventrele undei staţionare.

Poziţia lor este dată de x n = n2

λ. În punctele în care

λ

2π= (2n+1)

2

π

amplitudinea rezultantă este zero, A rez = 0, iar punctele se numesc nodurile

undei staţionare. Poziţia lor este: x n = (n+2

1)

2

λ.

3. Dispozitivul experimental

Dispozitivul experimental conţine următoarele componente:

1. Osciloscopul Os cu două intrări x şi y,

2. Generatorul de audiofrecvenţă G.A.,

3. Difuzorul D,

4. Microfonul M fixat la capătul tijei T,

5. Tub de sticlã, prevăzut cu o riglă gradată T0,

6. Două amplificatoare A1 şi A2 pentru amplificarea

semnalelor culese de la difuzor şi microfon deoarece semnalele electrice

din difuzor şi microfon sunt relative slabe,

7. Surse de alimentare.

Cu ajutorul acestor materiale se realizează dispozitivul prezentat în fig. 7.

Fig. 7

7

Semnalele electrice emise de G.A. sunt transformate în semnale

sonore (unde) de către difuzorul D. Unda emisă se propagă în tubul de

sticlă T0 întâlnind microfonul M. Acesta transformă din nou semnalele

sonore primite în semnale electrice de aceeaşi frecvenţă cu cele emise de

generator. Semnalele electrice culese de la generator, respectiv microfon,

sunt amplificate cu ajutorul amplificatoarelor A1 şi A2, apoi se aplică

celor două perechi de plăci ale osciloscopului catodic Os.

4. Modul de lucru

Semnalele electrice aplicate osciloscopului determină spotul

luminos, de pe ecranul osciloscopului să efectueze simultan două oscilaţii

armonice de aceeaşi frecvenţă după doua direcţii perpendiculare. În

consecinţă prin compunerea celor două oscilaţii pe ecran va apărea o

elipsă dată de ecuaţia (3).

Între cele două semnale există o diferenţă de fază determinate de

distanţa difuzor-microfon, ∆x. Prin modificarea distanţei ∆x se modifică

defazajul şi implicit aspectul traiectoriei spotului de pe ecranul

osciloscopului. Pentru efectuarea determinării, după ce instalaţia a fost

conectată la sursele de alimentare, se procedează în felul următor:

Se deplasează uşor microfonul pană în apropierea difuzorului

fixându-l în locul unde apare pe ecran o dreaptă ab (fig. 3a).

Acest punct îl înscriem pe tubul de sticlă şi-l considerăm originea

de măsură a distanţei difuzor-microfon. Îndepărtând uşor microfonul,

acţionând asupra tijei T, faza semnalelor culese de microfon se modifică

şi ne vom opri, prima oară când ∆φ= π, iar pe ecran se obţine dreapta

a’b’ (fig. 3b). Continuând deplasarea ne vom opri a doua oară când ∆φ =

2π iar pe ecran va apărea din nou dreapta ab. Fie ∆x1 distanţa cu care

s-a deplasat microfonul până la a doua oprire (faţă de originea stabilită)

pe care o măsurăm cu ajutorul riglei fixate pe tub. Conform relaţiei (2)

se determină lungimea de undă care este egală cu λ1 = ∆x1.

8

Deplasăm în continuare microfonul până se obţine pe ecran dreapta

a’b’, la distanţa ∆x2 faţă de prima oprire. În acest caz lungimea de undă

este egală cu λ2 = ∆x2. Dacă tubul ne permite putem deplasa în continuare

microfonul până se obţine pe ecran dreapta ab, la distanţa ∆x3.

În acest caz ∆φ = 4π, iar lungimea de undă este λ3 = ∆x3/2.

După ce se efectuează un număr mare de determinări se calculează

lungimea de undă medie λ :

<

ii∑

=λ

λ , (i = 1,.N) (10)

Se află apoi eroarea pătratică a mediei aritmetice conform relaţiei:

( )1

)( 2

−

∆=

∑

<<S i

iλ

λ , unde ii λλδλ −= (11)

Rezultatul final va fi: λλλ S±= (12)

Eroarea pătratică: λ

ε λλ

S= . (13)

Rezultatele experimentale se trec în tabelul 1 de mai jos.

Tabelul 1

Nr. Crt. Distanţa dintre

difuzor şi microfon

∆xi[m]

Defazajul

∆φi [rad]

Lungimea de

undă determinată

λi[m]

λ ελ

1.

2.

..

..

..

..

10.

Fiind cunoscută frecvenţa semnalului sonor (a undei) se poate

determina viteza de propagare a acestui semnal în diferite medii gazoase

(necorozive) introduse în tubul de sticlã.

9

În cazul de faţă se va determina viteza medie de propagare a undei

din tubul de sticlă în cazul aerului, folosind relaţia: υv ∗= λ ,(υ = 1070 Hz).

Ştiind că în aer viteza de propagare a sunetului în funcţie de

temperatura t, exprimată în grade Celsius se determină după relaţia:

v = 331,36 + 0.54t (14)

se vor compara în final valorile celor două viteze obţinute, care trebuie

să coincidă.

Observaţie: Pe parcursul determinărilor experimentale se vor scoate în

evidenţă undele staţionare iar la final se vor determina poziţia ventrelor

şi nodurilor folosind relaţia (9).

5. Întrebări

1. Câte tipuri de unde cunoaşteţi ?

2. Care sunt criteriile de clasificare ale acestora ?

DETERMIAREA COEFICIETULUI DE VISCOZITATE

LA LICHIDE PRI METODA STOKES

1. Principiul fizic al metodei

Asupra unei bile care cade într-un lichid vâscos, acţionează trei forţe : greutatea

bilei G, forţa arhimedică Fa şi forţa de rezistenţă R. Aceasta din urmă se opune

mişcării şi este condiţionată de forţele de frecare internă a lichidului. Trecerea bilei

prin lichid face ca diferite straturi să alunece unele faţă de altele cu viteze diferite.

Stratul de lichid din imediata apropiere a suprafeţei bilei se mişcă cu viteza bilei,

iar celelalte cu viteze din ce în ce mai mici. Astfel ia naştere4 între straturile din

lichid o forţă de frecare internă sau viscozitate .

Forţa de rezistenţă la înaintare pentru o bilă cu viteză de cădere mică , fără

vârtejuri, este dată de formula lui Stokes :

R = 6 π η v r

în care η= este coeficientul de frecare internă sau viscozitate a lichidului,

v = viteza bilei, r = raza acesteia.

- cele trei forţe au aceeaşi direcţie verticală (Fig. 1)

- forţa de greutate este orientată în jos

- forţa arhimedică şi de rezistenţă în sus

Fig.1

Greutatea bilei şi forţa arhimedică sunt constante. Forţa de rezistenţă creşte o

dată cu creşterea vitezei. Când bila se găseşte în imediata apropiere a suprafeţei

lichidului, ea are o anumită viteză . Pe măsură ce bila înaintează , viteza ei creşte şi

conform relaţiei (1) creşte şi forţa de rezistenţă. La un moment dat , suma celor trei

forţe devine egală cu zero şi bila , datorită inerţiei se va mişca rectiliniu şi uniform

cu o viteză constantă v0 , viteză pe care o avea în momentul echilibrului forţelor.

Punând condiţia ca rezultanta forţelor ce acţionează asupra bilei să fie nulă,

avem :

G – Fa – R = 0 (2 )

Dacă în relaţia (2) înlocuim pe G şi Fa cu expresiile lor :

G = m x g = 4πr3 ρ g ; Fa = 4π r

3 ρ1 g

3 3

iar pe R cu expresia (1) , obţinem :

4πr3 ρ g - 4πr

3 ρ1 g - 6π r η v0 = 0

3 3

unde ρ = densitatea materialului din care este confecţionată bila

ρ1 = densitatea lichidului

g = acceleraţia gravitaţională

Din relaţia (3) se poate determina expresia lui η : η = 18

1 ( ρ – ρ0 ) gd

2

în care d = 2v este diametrul sferei . v 0

Formula (4) se deduce pentru cazul când bila cade într-un lichid care se întinde

nelimitat în toate părţile. Practic , acest lucru nu se poate realiza , deoarece lichidul

se găseşte într-un vas. Dacă bila cade de-a lungul unui cilindru de diametru 0 , se

obţine pentru η formula corectată :

η = 18

1 gd

2 ρ – ρ0

v0 ( 1 + 2,4 d )

D

O parte din mărimile care intră în partea dreaptă a semnului de egalitate pot fi

măsurate direct , celelalte se găsesc în tabele .

2. Descrierea aparatului

Aparatul folosit în această lucrare se compune dintr-un cilindru de sticlă umplut

cu lichidul de studiat şi prevăzut cu 2 repere care sunt de fapt 2 beculeţe ce se

aprind sau se sting în momentul în care bila trece prin dreptul acestora (Fig. 2 )

Fig.2

3. Procedeul experimental Pentru efectuarea lucrării sunt necesare :

* bile mici din diferite materiale a căror densitate se cunoaşte

* un magnet necesar scoaterii bilei din lichid

* cronometru pentru măsurarea timpului în care bila parcurge distanţa dintre cele

două repere

* reperul din partea superioară se aşează la o anumită distanţă de suprafaţa

lichidului, de la care viteza bilei devine constantă .

* viteza v0 a bilei se determină măsurând timpul ,, x’’ în care bila parcurge distanţa

dintre cele două repere : v 0 = t

l unde ,, l’’ este distanţa dintre cele două repere

* în vederea efectuării calculului erorilor de măsură se fac cel puţin 10 măsurători

pentru v0

Rezultatele măsurătorilor se trec în următorul tabel :

Nr.crt d ( m) D( m) l (m ) t (sec) v 0 =

t

l

sec

m η

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Pentru experimentul din laborator :

ρ = 7800 Kg / m3 ; ρ 1 = 700 Kg / m

3 ; l = 0,3 m ; d = 9,4 • 10

–3 m ,

D=11•10 – 3

m

DETERMIAREA TESIUII SUPERFICIALE A UUI LICHID PRI METODA STALAGMOMETRULUI

1. TEORIA LUCRARII

Stratul de molecule de la suprafaţa unui lichid de grosime egală cu raza sferei de

acţiune moleculară, se comportă asemănător unei membrane elastice. Acţiunea forţelor de coeziune dintre molecule fac pentru moleculele dm stratul superficial să aibă o rezultantă îndreptată către interiorul lichidului. Astfel, acest strat exercită o presiune asupra lichidului, iar el însuşi tinde să aibă suprafaţă minimă.

Pe de altă parte, pentru a menţme o membrană elasticâ întinsă şi în echilibru trebuie sâ se exercite asupra conturului .ei forţe tangente la suprafaţa sa. Se numeşte coeficient de tensiune superficială ( α ) rezultanta forţelor de coeziune care lucrează pe unitatea de lungime, tangent la suprafaţa stratului superficial de lichid:

αααα = l

F ; σ S.I. =

m

El depinde de natura lichidului şi scade cu creşterea temperaturii Pentru determinarea lui se folosesc două metode : - metoda stalagmometrului;

- metoda tensiometrului;

2. DISPOZITIVUL EXPERJMETAL. STALAOMOMETRUL Constă dintr-un cilindru vertical, prevăzut în partea inferioară cu un tub capilar.

Curgerea lichidului prin tubul capilar se poate realiza picătură cu picătură, prin intermediul unui tub de cauciuc prevăzut cu o clamă şi interpus între tubul vertical şi tubul capilar. (Fig.1).

Fig.1 Fig.2

Dacă lichidul curge pictură cu picătură, în momentul desprinderii picăturii, greutatea ei G este egalâ cu suma forţelor F de tensiune superfîcială care se exercită de-a lungul conturului orificiului de scurgere prin tubul capilar (Fig.2).

G = F ⇔ m g ⇔ σ l ⇔ m g ⇔ σ 2 ππππ r ( 2) unde m reprezintă masa picăturii, iar r raza tubului capilar.

Din relaţia (2) s-ar putea determina coeficientul de tensiune superficială σ, dar cum masa unei picături şi raza tubului capilar se determină greu, se va folosi un lichid de referinţă având coeficientul de tensiune superficială cunoscut σ 0 în vederea eliminării acestora. Pentru acest lichid de referinţâ, relaţia (2) se scrie:

m 0 g = σ0 2 ππππ r (3) unde m 0 este masa picăturii de referinţă

Presupunem că din stalagmometru se scurg în cele două cazuri, acelaşi volum de lichid. Deci putem scrie următoarele relaţii:

V = V0 ⇔ N m = N0 m0 → m = N 0 ρ ρ ρ 0 m0 N ρ

unde , 0 ,ρ , ρ 0 reprezintă numerele de picături, respectiv densităţile celor două lichide. Ţinând cont de faptul că din relaţiile (2)şi (3) se poate calcula raportul:

m = σ ( 5 )

m 0 σ 0

rezultă din relaţiile (4) şi (5): σ = 0 ρ = > σ = 0 ρ σ 0 ( 6 )

σ 0 ρ 0 ρ

3. MODUL DE LUCRU

1) Se introduce în cilindrul vertical un volum din lichidul de referinţă (apă distilată); alegându-se în acest scop două repere arbitrare a,b între care se face numărătoarea celor 0 picături ce se scurg din stalagmometru. 2) Se introduce lichidul de studiat, repetându-se operaţia de numărare în aceleaşi condiţii ca la punctul 1), adică între aceleaşi repere a,b şi obţinând astfel valoarea lui . 3) Se calculează valoarea lui σ din relaţia (6); cunoscând valorile celorlalte constante :

ρ = 1160 Kg / m 3 ; ρ 0 = 1000 Kg / m

3 ; σ 0 = 73 •10

– 3 N / m

4) Se repetă măsurătorile, în aceleaşi condiţii de cel puţin 10 ori, în vederea efectuării calculului erorilor. 5) Calculul erorilor se va face observând că valoarea lui σ nu se determină direct , ci indirect prin efectuarea de măsurători a numerelor de picături N şi N 0 . Deci se vor face următoarele calcule :

a) valorile medii ale lui = n

in

i

∑=1 ; 0 =

n

n

i

i∑=1

0

; precum şi abaterile standard

asupra unei măsurători individuale :

)1(

)(1

2

−

−

=

∑=

nn

S

n

ii

; )1(

)(1

200

0 −

−

=

∑=

nn

S

n

ii

unde ,,n ’’reprezintă

numărul de măsurători . b) valoarea medie a lui σ , conform relaţiei ( 6 ) este :

σ = 0

0

ρ

ρ

σ 0

c) abaterea pătratică medie a coeficientului de tensiune superficială măsurat , se va calcula din legea de propagare a erorilor:

22,

0

22,

000

)()( S

S

S∂

∂+

∂

∂=

σσσ

d) rezultatul final se va da sub forma :

σ = σ ± S σ (unitatea de măsură )

1

DETERMIAREA EXPERIMETALĂ A COSTATEI LUI

PLACK PRI METODA CÂMPULUI ÎTÂRZIETOR

1. Scopul lucrării

În această lucrare se urmăreşte determinarea constantei lui Planck, a

energiei de extracţie We pentru un electron din catodul celulei fotoelectrice

şi a lungimii de undă a pragului fotoelectric, folosind efectul fotoelectric.

2. Teoria lucrării

Prin efect fotoelectric se înţelege fenomenul de punere în libertate a

electronilor dintr-un metal supus acţiunii radiaţiilor din domeniu vizibil sau

ultraviolet, ca urmare a interacţiunilor dintre radiaţii şi electronii liberi ai

metalului. Acest efect se mai numeşte şi efect fotoelectric extern şi a fost

descoperit experimental de către fizicianul H. Hertz (1887).

Studii sistematice asupra acestui fenomen au fost efectuate de A. G.

Staletov (1898) şi A. Einstein (1905) care au stabilit experimental legile

acestui fenomen.

Interpretarea teoretică a acestui fenomen a fost realizată de A. Einstein

pe baza teoriei cuantelor, prin extinderea ipotezei lui Planck, care a stabilit

totodată şi o relaţie matematică pe baza legii conservării energiei:

cEhh += 0υυ (1)

unde υhE = este energia fotonului incident, We = hυ0 este energia de

extracţie al electronului din metal aflat la suprafaţa acestuia (h fiind

constanta lui Planck), 2

v2mEc = este energia cinetică iniţială a

2

fotoelectronului emis iar υ0 – este frecvenţa minimă (limită) pentru care se

mai produce efectul fotoelectric şi care se numeşte frecvenţă de prag sau

pragul roşu al efectului fotoelectric.

Pentru studiul efectului fotoelectric se foloseşte o celulă fotoelectrică

care este construită dintr-un tub vidat, având în interiorul său doi electrozi:

catodul K construit din metalul ce emite electroni sub acţiunea luminii şi

anodul A, care este un inel metalic ce colectează electronii emişi de catod.

Datorită unei diferenţe de potenţial între anod şi catod fotoelectronii

ce ajung la anod determină în circuitul exterior (fig. 1) un curent electric pus

în evidenţă de un galvanometru G.

Fig. 1 Fig. 2

Dependenţa intensităţii curentului fotoelectric de tensiunea aplicată

între electrozi este dată de curba prezentată în figura 2. Trebuie remarcat că

dacă condiţiile experimentale rămân neschimbate atunci intensitatea curentului

fotoelectric de saturaţie Imax este proporţională cu intensitatea ℑ a radiaţiei

incidente.

Această curbă pune în evidenţă următoarele proprietăţi:

a) Dacă tensiunea aplicată U este nulă (U = 0), valoarea curentului

3

fotoelectric I = I0 ≠ 0.

b) Dacă tensiunea dintre electrozi creşte luând valori pozitive curentul

I creşte până atinge pentru valoarea U = Umax o valoare maximă Imax. În

continuare, dacă se măreşte tensiunea U , curentul rămâne staţionar. Dacă însă

tensiunea creşte prea mult catodul poate fi distrus (străpuns).

c) Dacă U ia valori negative, intensitatea I scade şi se anulează pentru

o valoare negativă a tensiunii (-U0) , unde U0 se numeşte tensiunea inversă

maximă.

Pentru această valoare, lucrul mecanic al câmpului electric invers

(- eU0) devine egal în valoare absolută cu energia cinetică iniţială a

electronului, adică înlocuind în legea de variaţie a energiei cinetice, rezultă:

2

mv2

0 =eU (2)

În această situaţie relaţia lui Einstein (1) devine:

00 eUhh += υυ (3)

Deoarece pentru un anumit metal egalitatea eWh =0υ este o constantă,

rezultă că între eU0 şi υ există o dependenţă liniară .

Prin iradierea succesivă a catodului cu radiaţii monocromatice de

diferite frecvenţe υi sunt necesare anumite valori U0i ale tensiunii inverse

(întârzietoare) care să anuleze curentul fotoelectric.

Perechile de valori (υi ,U0i), cu ni ,1= , satisfac câte o relaţie de forma:

00 υυ hheU ii −= (4)

Deci dacă se aplică o tensiune inversă cu plusul la fotocatodă şi cu

minusul la fotoanodă, adică o tensiune de frânare, se poate ajunge în situaţia

când curentul fotoelectric se anulează, pentru anumite valori ale tensiunii

inverse, dependente de frecvenţele radiaţiilor monocromatice utilizate 0υυ →i .

Acest fapt constituie o metodă pentru determinarea constantei lui Planck,

4

numită metoda câmpului întârzietor. Dacă iradiem succesiv fotocatodul cu

două radiaţii diferite υ1 şi υ2 obţinute cu două filtre diferite, atunci valorile

corespunzătoare ale tensiunilor de frânare vor fi U01 şi U02. Conform relaţiei

(4) vom putea scrie următoarele expresii:

0101 υυ hheU −=

0202 υυ hheU −=

Prin scădere se obţine relaţia:

( ) ( )120102 υυ −=− hUUe

de unde: ( )

0102

0102

υυ −

−=

UUeh (5)

sau utilizând lungimile de undă ale radiaţiilor:

λλ 12

010211

−

−⋅=

UU

c

eh (6)

Cu ajutorul relaţiilor (5) şi (6) se poate determina valoarea lui h. Dacă

se reprezintă grafic perechile de valori (υi , eU0i) atunci se obţine o dreaptă

de forma celei prezentate în (fig. 3):

Fig. 3

Folosind graficul se observă din (5) că h = tgα, adică tangenta

unghiului format de dreaptă cu axa absciselor, numită şi panta dreptei, este

tocmai constanta h.

Pe baza datelor experimentale se mai pot determina:

1. Energia de extracţie folosind relaţia:

5

iie eUhW 0−= υ (7)

2. Frecvenţa respectiv lungimea de undă a pragului fotoelectric:

h

We=0υ respectiv eW

ch=0λ (8)

3. Aparate şi materiale necesare

Schema instalaţiei experimentale este data în figura 4 şi conţine

următoarele elemente componente:

1. Celulă fotoelectrică C,

2. Galvanometrul G,

3. Voltmetru V,

4. Potenţiometru R,

5. Sursa de curent

continuu U,

6. Sursa de lumină S.

Pentru efectuarea experienţei mai sunt necesare patru filtre (F) cu diferite

lungimi de undă şi hârtie milimetrică folosită la reprezentarea graficelor.

4. Modul de lucru

Folosind montajul din (fig. 4) se va proceda astfel:

a) Se ecranează cu hârtie neagră celula fotoelectrică (C) şi se fixează

potenţiometrul (R) în poziţia în care acul galvanometrului indică diviziunea

6

zero. În acelaşi timp zeroul galvanometrului se ajustează din acordul fin al său.

b) Se fixează în faţa sursei de lumină (S) un filtru (F) de o anumită

lungime de undă (λ) cunoscută.

c) Se îndepărtează ecranul de hârtie neagră de pe celula fotoelectrică.

Galvanometrul (G) va indica un anumit curent fotoelectric.

d) Cu ajutorul potenţiometrului (R) se va aplica treptat, prin rotire

lentă, o tensiune electrică întârzietoare până când acul galvanometrului indică

din nou valoarea zero. În acest moment tensiunea U este tensiunea U0.

Valoarea acestei tensiuni este indicată de voltmetrul (V).

e) Se schimbă succesiv filtrele şi se repetă operaţia.

f) Pe baza a două lungimi de undă (frecvenţe) cunoscute ale radiaţiilor

emise de filtrele folosite şi ale valorilor potenţialelor inverse determinate, se

calculează h cu ajutorul relaţiilor (5) sau (6) şi se reprezintă grafic, pe hârtie

milimetrică, în planul eU0 şi υ perechile de valori (υi, eU0i), conform figurii 3.

Se determină din grafic panta dreptei şi se compară cu valoarea calculată.

g) Se calculează energia de extracţie We şi lungimea de undă a

pragului fotoelectric λ0.

h) Se calculează eroarea pătratică a mediei aritmetice Sh în urma

repetării măsurătorilor, e şi c fiind constante cunoscute cu o precizie mare.

Observaţii:

1. Măsurătorile trebuiesc efectuate cu mare atenţie.

Determinarea tensiunii U0 este în practică deranjată de un efect fotoelectric

parazit de pe anodul colector care determină schimbarea sensului curentului I.

2. În cazul catozilor confecţionate din diferite metale se obţine o

familie de drepte U0 = f(υ) , respectiv figura 5.

3. Dacă frecvenţele radiaţiilor monocromatice sunt mai mici decât

frecvenţa de prag υ0, efectul fotoelectric nu are loc (a se vedea legile

7

Fig. 5

efectului fotoelectric extern).

4. Erorile efectuate în determinarea lui h, se datorează curentului

fotoelectric secundar şi a potenţialului de contact.

5. Întrebări

1. Care este intervalul de timp scurs din momentul iluminării

fotocelulei şi emisia fotoelectronului ?

2. Ce este efectul fotoelectric intern şi în ce constă efectul fotoelectric

nuclear ?

3. Datorită sensibilităţii lor, unde se pot folosi celulele fotoelectrice ?