Transformari unitare

7/21/2019 Transformari unitare

http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 1/30

1

Marta ZAMFIR

Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)

1

TRANSFORMARI INTEGRALE

UNITARE DISCRETE

Marta ZAMFIR


2

Operatii integrale

Noua valoare a oricarui pixel din imaginea prelucrata rezulta din

combinarea valorilor tuturor ale pixelilor din imaginea initiala.

linia

l

coloana

c

imagine prelucrata g imagine initiala f

T



2

Marta ZAMFIR


3

Transformari de imagine

- transformari integrale (obtinerea valorii

unui pixel din imaginea rezultata in urma

transformarii se face pe baza contributiei

tuturor pixelilor din imaginea initiala)

- sunt utilizate matrici unitare pentru

transformari

- matrici unitare ( )*T1

AA =

−

Marta ZAMFIR


4

Cazul unidimensional

{ }10),( −≤≤= N nnuu

O transformare unitara:

Auv = Adica: ∑

−

==

1

0

),(),()(

N

n

nunk ak v 10 −≤≤ N k

( )*T1AA =−

(Matrice unitara)

vAvΑu *T1 == − Adica: ∑−

=

=1

0

* ),(),()( N

k

k vnk anu 10 −≤≤ N n

Reprezentarea ca o dezvoltare in serie a vectorului u

u(0)

u(1)

….

u(N-1)

u =



3

Marta ZAMFIR


5


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−−−−

−

−

1,12,10,1

1,1110,1

1,01,00,0

....

.............

....

...

N N N N

N

N

aaa

aaa

aaa

A

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= −

−−−−

−

−

......

....

.............

....

...

11

*

1.1

*

1.1

*

1.0

*

1.1

*

1.1

*

1.0

*

0.1

*

0.1

*

0.0

* ***

0 aaaA N

N N N N

N

N

T

aaa

aaa

aaa

⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

−

::

1

1

0

T

N

T

T

a

a

a

A = coloana a matricii

T *

A⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−*

1,

*

1,

*

0,

:

N k

k

k

a

a

a

*

k a

Marta ZAMFIR


6

Cazul unidimensional- Transformarea directa

Auv = Adica: ∑−

=

=1

0

),(),()( N

n

nunk ak v

⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

:

V =

u(0)

u(1)

….

u(N-1)T

N

T

T

1

1

0

:

−a

a

a

>=< *,)( k k v au

∑−

=

>=<1

0

*q pq p, N

i

(i)(i)

Fiexare componenta a vectorului v este produsul scalar intre vectorul u si

coloana corespunzatoare din .T *A

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−*

1,

*

1,

*

0,

:

N k

k

k

a

a

a

*

k a



4

Marta ZAMFIR


7

Cazul unidimensional- Transformarea inversa

vAu *T= Adica: ∑

−

=

=1

0

* ),(),()( N

k


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

...

U =

v(0)

v(1)

….

v(N-1)

*

1

*

1

*

0 − N aaa

=v0*u +v 1* +v 2* +…….vn-1**

0a *

1a

*

2a *

1Na

−

Semnalul origial este o combinatie liniara a coloanelor cu ponderile .*

k a k v

= coloana a matricii T *

A⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−*

1,

*

1,

*

0,

:

N k

k

k

a

a

a

*

k a

Marta ZAMFIR


8


vAu *T= Adica: ∑−

=

=1

0

* ),(),()( N

k


Auv = Adica: ∑−

=

=1

0

),(),()( N

n


>=< *,)( k k v au

Fiexare componenta a vectorului v este produsul scalar intre vectorul u si

coloana corespunzatoare din .T *A

=v0*u +v 1* +v 2* +…….vn-1**

0a *

1a

*

2a *

1Na

−

Semnalul origial este o combinatie liniara a coloanelor cu ponderile .*

k a k v

= coloana a matricii T *

A⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−*

1,

*

1,

*

0,

:

N k

k

k

a

a

a

*

k a



5

Marta ZAMFIR


9

Concluzii• O transformare unitara este in cazul 1D o

schimbare de baza. O exprimare a vectorului

u intr-o alta baza.

• Elementele vectorului transformat v(k) sunt

coordonatele descompunerii vectorului original

u in baza formata de coloanele lui .T *A

Marta ZAMFIR


10


=

=1

0

* ),(),()( N

k


Auv = Adica: ∑−

=

=1

0

),(),()( N

n

nunk ak v

>=< *

k au ,)( k v

∑−

=

>=<1

0

*q pq p, N

i

(i)(i)

=v0*u +v 1* +v 2* +…….vn-1**

0a *

1a

*

2a *

1Na

−



6

Marta ZAMFIR


11

Cazul bidimensional

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−++

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

1

1

4

53

1

1

4

51

1

1

4

51

1

1

4

53

43

21

j

j j

j

j j

j

j j

j

j ju

img =V0,0* +…….VN-1,N-1*+V0,1*U= *

0,0A *

0,A 1

*

,A 11 −− N N

Marta ZAMFIR


12

Cazul bidimensional

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

* ),(),(),( N

k

N

l

kl l k vnmnmu A

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

),(),(),( N

m

N

n

kl nmunml k v A 1,0 −≤≤ N l k

1,0 −≤≤ N nm

>=< *

klAu ,),( l k v

img =V0,0* +…….VN-1,N-1*+ V0,1*U= *

0,0A *

0,A 1

*

,A 11 −− N N



7

Marta ZAMFIR


13

Matricile de baza satisfac proprietatile:

Conditia de ortonormalitate:

Conditia de completitudine

),(),(),( ''

1

0

1

0

*'' l l k k nmnm

N

m

N

nl k kl −−=∑∑

−

=

−

=

δ AA

),(),(),( ''

1

0

1

0

''* nnmmnmnm

N

k

N

l

kl kl −−=∑∑

−

=

−

=δ AA

(c1)

(c2)

Marta ZAMFIR


14

Transformari unitare separabile

),(),()()(),( nl bmk anmnm l k kl == baA

Impunand conditiile (c1) si (c2) rezulta ca matricile A si B trebuie sa fie

unitare.

*T* VBAU =↔= ∑∑−

=

−

=

1

0

1

0

** ),(),(),(),( N

k

N

l

nl bl k vmk anmu

∑∑−

=

−

=

=↔=1

0

1

0

),(),(),(),( N

m

N

n

nl bnmumk al k v TAUBV



8

Marta ZAMFIR


15

Pentru o transformare separabila:

TAUBV =

**TVBAU =

Pentru o imagine dreptunghiulara MxN:

TUBAV N M =

*

N M VBAU *T

=

Daca se alege B = A:

TUAAV N M =

*

N M VAAU *T

=

TAUAV =

**TVAAU =

Marta ZAMFIR


16

( )TTTTTA(AU))A(AUAUAV ===

Se poate face o transformare unidimensionala pe fiacare linie (sau coloana) a lui

U si apoi aceeasi transformare pe fiecare coloana (sau linie) a rezultatului.

.Se obtine o reducere a numarului de operatii de la ordinul 4N la

3N

E suficient sa se studieze proprietatile transformarilor unitare unidimensionale.

TTT)A(AUAUAV ==

Se poate face o transformare unidimensionala pe fiecare linie (coloana a lui

U transpus) si apoi aceeasi transformare pe fiecare coloana a rezultatului.

Se poate face o transformare unidimensionala pe fiecare coloana a lui U si apoi

aceeasi transformare pe fiecare coloana a rezultatului.

TTTT)(A(AU)(AU)AAUAV ===



9

Marta ZAMFIR


17

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

* ),(),(, N

m

N

n

nm g nm f G F

devine:

cu

T *A

*a k coloanela matricii

Se definesc matricile T l k kl *** aa=A

Si produsul scalar a doua matrice F,G de dimensiune NxN

atunci

∑ ∑−

=

−

=

=1

0

1

0

* ),(),(),( N

k

N

l

kl l k vnmnmu A 1,0 −≤≤ N nm

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

*),(

N

k

N

l

kl l k v AU

*,),( kl l k v AU=∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0

),(),(),( N

m

N

n

kl nmnmul k v A 1,0 −≤≤ N l k

Marta ZAMFIR


18

Proprietatile transformarilor unitare

unidimensionale


=

=1

0

* ),(),()( N

k


Auv = Adica: ∑−

=

=1

0

),(),()( N

n


1) Transformarea unitara conserva energia semnalului

u

2*T*T*T*TT2

v EuuuAuAuAu(Au)vvvE ======= *

Energia este lungimea euclidiana a semnalului in spatiul de reprezentare.

Conservarea energiei e echivalenta cu conservarea lungimii vectorului, decitransformarea unitara e o rotatie a lui u in spatiul N dimensional sau echivalent o

rotatie a bazei de coordonate iar v este proiectia lui u pe noua baza.

∑ ∑∑ ∑ −

=

−

=

−

=

−

=

=1

0

1

0

21

0

1

0

2),(),(

N

k

N

l

N

m

N

n

l k vnmu Teorema lui Parceval



10

Marta ZAMFIR


19

2) Energia medie a semnalului se conserva printr-o

transformare unitara

( ) ( )

( ) ( ) ( ) u

T T T T

T T

v

E uuu A Auu Au A

Au Auvv E

====

==***

**

Marta ZAMFIR


20

3) Compactarea energiei semnalului

u A Auv == )(

( )( ) ( ) ( )( )T

u

T T T T

T T

v

A AR Auuuu A Auuuu A

uu Auu Avvvv R

*****

**

))(())(( =−−=−−

=−−=−−=

Transformarea unitara aglomereaza o mare parte din energie in putini

coeficienti. Cum energia totala se conserva, cei mai multi coeficienti ai

transformarii vor contine putina energie. Daca vectorul u are

componente puternic corelate, coeficientii transformarii tind sa fie

decorelati.

Termenii din afara diagonalei matricei de covarianta tind sa fie mici

fata de cei de pe diagonala.



11

Marta ZAMFIR


21

3) Entropia se conservaTransformarile unitare pastreaza informatia continuta in

semnal.

Marta ZAMFIR


22

1. Transformari unitare discrete

Fixe -> aceeasi coeficienti pentru transformarea

oricarui semnal

transformata Fourier

transformata cosinus

transformata sinus

Adaptive -> coeficientii depind de valorile

semnalului



12

Marta ZAMFIR


23

Transformata Fourier discreta

• Transformata integrala unitara

• Face trecerea in spatiul de frecvente

• Transf bidimensionala este separabila A=B=F

∑−

=

=1

0

)(1

)( N

n

kn

N W nu N

k v 10 −≤≤ N k

unde

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

= N

jW N

π 2exp

Transformarea inversa:

∑−

=

−=1

0

)(1

)( N

k

kn

N W k v N

nu 10 −≤≤ N n

kn

N W N

kn N

j

N nk F

12exp

1),( =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= π

Marta ZAMFIR


24

∑−

=

=1

0

)()( N

n

kn

N W nuk v 10 −≤≤ N k

∑−

=

−=1

0

)(1

)( N

k

kn

N W k v

N

nu 10 −≤≤ N n

Transformarea directa:

Transformarea inversa:

Extinderea la cazul bidimensional:

∑∑−

=

−

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−=1

0

1

0

)(2exp),(),( M

m

N

n N

nl

M

km jnmul k v π

1,0 −≤≤ N l k

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= ∑∑−

=

−

= N

nl

M

km jl k v

N nmu

M

k

N

l

(2exp),(1

),(1

0

1

02

π

1,0 −≤≤ N nm

unde

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

= N

jW N

π 2exp



13

Marta ZAMFIR


25

Transf Fourier

Fiecare imagine =suma ponderata de exponentiale

complexe

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += ∑∑

−

=

−

= N

nl

M

km jl k v

N nmu

N

k

N

l

π 2exp),(1

),(1

0

1

02

Marta ZAMFIR


26

Primele matrice din baza de matrice corespunzatoare tr F (cos si sin)

sin

cos



14

Marta ZAMFIR


27

Proprietatile transformatei Fourier

1)Transformata Fourier a unei (matrice) reale este

complex conjugata fata de mijlocul sau

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − k

N vk

N v

22

*2

0 N k ≤≤

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− l

N k

N vl

N k

N v

2,

22,

2

*2

,0 N l k ≤≤

Simetrie centrala

Marta ZAMFIR


28

2) Frecventele ridicate corespund detaliilor, obiectelor

mici, contururilor

∑−

=

=1

0

)(1

)( N

n

kn

N W nu N

k v 10 −≤≤ N k

)()(1

)(1

)(1

0

1

0

)(** k vW nu N

W nu N

k N v N

n

kn

N

N

n

nk N

N ===− ∑∑ −

=

−

=

−−

1)2

exp( =−=− nN N

jW Nn N

π

uu =* Pentru u real.

)2

()]2

([)2

( ** k N

vk N

N vk N

v −=−−=+



15

Marta ZAMFIR


29

3) Convolutia circulara intre imaginea de prelucrat si

nucleul de filtrare este echivalenta unui produs intrespectrul Fourier al imaginii si spectrul Fourier al

nucleului de filtrare (Teorema convolutiei)

∑−

=

−=1

0

)()()( N

k

c k hk num g 10 −≤≤ N m

{ } { } { } N N N

nu DFT nh DFT n g DFT )()()( =

[ ])(mod)()( N ulol nul nu c −=−Unde u(n) shiftat cu l este:

Marta ZAMFIR


30

Convolutia liniara folosind convolutie circulara:

{ }1..0),( −= P nnh

{ }1..0),( −= N nnu

Se extind prin completare cu zero pana la dimensiunea N+P-1

1..0),(~

−+= P N nnh

{ }1..0),(~ −+= P N nnu

))}(~{))}(~

{()(~)( M M nu DFT nh DFT IDFT n xn x ==

P N M +=



16

Marta ZAMFIR


31

Transformata fourier rapidaCu decimare in timp

Decimare =divizare in secvente mai scurte a secv

a.I secv sa rezulte din combinarea transformarilor.

{ }nu{ }k v

Marta ZAMFIR


32

( ))()(

*)(

2

2

2

}

2

2exp{}2

2exp{

)1(}exp{}

2

2exp{

1

n N k

N

n N k

N

kn

N

kn

N

kn

N

kN

N

n N k

N

k

N

k

N

k

kN

N

kN

N

www

wwww

w N

k jk

N jw

k jkN

N

jw

w

++

−−

==

==

===

−===

=

π π

π π

Proprietati utilizare:

}2

exp{ k N

jwk

N

π =



17

Marta ZAMFIR


33

∑∑

∑∑ ∑ ∑−

=

−−

−

=

−

−

=

+−+

−−

=

−

=

−

=

−

+=

+==−=

12

0 2

12

0 2

12

0

)12(

12

21

0

1

0

12

0

2}2exp{

N

n

kn

N n

k

N

N

n

kn

N nk

N

n

k n

N n

kn

N

N

n

N

n

N

n

n

kn

N nnk

whww g v

wuwuwu N

kn juv π

{ }

{ }12

2

}{

)12

...(0,}{

+=

−==

nn

nn

uh

N nu g

)12

...(0 −= N

k

Marta ZAMFIR


34

k

k

N k

N

n

kn

N n

k

N

N

n

kn

N nk H wGwhww g v −

−

=

−−

−

=

− +=+= ∑∑1

2

0 2

12

0 2

)12

...(0 −= N

k

Secventele au perioada N/2 rezultak k H G ,

k N k k N k H H GG == ++ 2/2/ ,

2/

)2/(

2/2/ N k

N k

N N k N k H wGv ++−

++ +=

k

k

N k k

N k

N k N k H wG H wGv −+−+ −=+= )2/(

2/



18

Marta ZAMFIR


35

k

k

N k k H wGv −+=

k

k

N k N k H wGv −+ −=2/

)12

...(0 −= N

k

k G

k H

k

k

N k k H wGv −+=

k k N k N k H wGv −+ −=2/

k

N w−

k

N w− Factor de rotatie

Marta ZAMFIR


36

Filtrarea in frecventa

Filtrare in frecventa=operatie liniara in domeniul frecventelor.

Filtrarea liniara se bazeaza pe convolutia [circulara] intre imaginea de

prelucrat si un nucleu de filtrare.

1..0),( −= N nnu

∑−

=

−=1

0

}2exp{)(1

)( N

n N

kn jnu

N

k F π

1..0 −= N k ))(exp()()( k jk F k F φ =

[ ] 21

22))((Im))(()( k F k F Rk F += ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

))(Re(

))(Im(tan)( 1

k F

k F nφ

{ } { } { } N N N

nu DFT nh DFT n g DFT )()()( =

∑−

=

−=1

0

)()()( N

k

c k hk nun g 10 −≤≤ N n



19

Marta ZAMFIR


37

Pasii de baza pt filtrarea in frecventa

• Calcularea transformatei Fourier a imaginii

• Generarea functiei de filtrare H (in frecv)

• Realizarea multiplicarii in frecventa

• Transformarea inversa

F H G .*=

Marta ZAMFIR


38

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

Orientarea si

frecventa



20

Marta ZAMFIR


39

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

C=(A+B)/2; A B

Superpozitia

Marta ZAMFIR


40

Imaginea si transf ei Fourier



21

Marta ZAMFIR


41


Marta ZAMFIR


42


spectrul imaginii cu comp cont in centru

spectrul imaginii



22

Marta ZAMFIR


43

50 100 150 200 250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

25050 100 150 200 250

50

100

150

200

250

Modul si faza

Marta ZAMFIR


44

9/19/19/1

9/19/19/1

9/19/19/1

Nucleu de netezire

Spectrul cu componenta continua in centru



23

Marta ZAMFIR


45

0125.00

125.05.0125.0

0125.00

Nucleu de netezire


Marta ZAMFIR


46

111

181

111

−−−

−−

−−−

Laplacian




24

Marta ZAMFIR


47

Mediere aritm pe nucleu 7x7

Marta ZAMFIR


48

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250



25

Marta ZAMFIR


49

Filtrare cu Laplacian

Marta ZAMFIR


50

Alte transformari

• Transformata cosinus

• Transformata sinus



26

Marta ZAMFIR


51

Transformata cosinus

• Matricea transformatei cosinus NxN C={c(k,n)}, numita si

“tranformata cosinus discreta” (DCT) e definita astfel

• C(k,n)=

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

N

k n

N

N

2

)12(cos

2

,1

π

0=k

1..1 −= N k

1..0 −= N n

Marta ZAMFIR


52

• Transformata DCT unidimensionala a unei

secvente se obtine ca:

∑−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

1

0 2

)12(cos)()()(

N

n N

k nnuk k v

π α

⎩⎨⎧

−=

==

1..12

011)(

N k

k

N k α

1..0 −= N k

∑−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

1

0 2

)12(cos)()()(

N

k N

k nnvk nu

π α 1..0 −= N n



27

Marta ZAMFIR


53

Proprietatile transf cosEste reala si ortogonala

Nu este partea reala a DFT-ului unitar

T C C C C =⇒= −1*

Marta ZAMFIR


54

Se poate obtine prin transt Fourier dintr-o secventa

rearanjata sau

dintr-o secventa dublata si simetrizata

⎩⎨⎧

≤≤−

=−−

nn N N nu

N nn N uu

2)(

..0)1(~2

)12

..(0),12()1(~

)2(~

1

1

−=+=−−

=

N nnun N u

nuu

)]~()2

exp()([Re)( 1uu Fourier

N

k jk al COS π α −=

1...0),2

exp()~()( 2 −=−= N k N

k Fourier COS π uu

)1(),....,3(),1()2(),...,4(),2(),0(:~1 u N u N u N uuuuu −−−

)1()2(),...,1(),0()1(),....,2(),1(:~2 −−−− N u N uuuu N u N uu



28

Marta ZAMFIR


55

Este o transformare rapida-folosind transformata

Fourier.Compacteaza foarte bine energia pt date foarte

corelate(decoreleaza); vectorii bazei cosinus

sunt vectori proprii pentru orice matrice

simetrica tridiagonala.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−−

=

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

100

01

001

Q k k k cQc λ =

k c

este coloana k a matricii transformarii cosinus.

Marta ZAMFIR


56

Transformata sinus

• Matricea transformatei sinus NxN S={S(k,n)}, numita si

“tranformata sinus discreta” (DST) e definita astfel

• S(k,n)=

1

)1)(1(sin

1

2

+

++

+ N

nk

N

π 1..0, −= N nk



29

Marta ZAMFIR


57

• Perechea de transformate sinus pt o secventa unidimensionala este

definita ca:

• V(k)=

• U(n)=

1

)1)(1(sin)(

1

2 1

0 +

++

+ ∑

−

= N

nk nu

N

N

n

π

1

)1)(1(sin)(1

2 1

0 +

++

+ ∑

−

= N

nk nv N

N

k

π

10 −≤≤ N k

10 −≤≤ N n

Marta ZAMFIR


58

Proprietatile transf sinNu este partea imaginara a DFT-ului unitar

Se poate obtine prin transt Fourier dintr-o extensie

antisimetrica a secventei initiale



Marta ZAMFIR


59

)()2(~..1),()(~

0)1(~)0(~

nun N u

N nn N unu

N uu

=++

=−−=

=+=

0,-u(N-1),-u (N-2)….-u (1),-u (0),0, u(0), u(1),…. u(N-1)

)]~()1(Im[)( uu Fourier jSIN k −−=

Marta ZAMFIR


60

Este o transformare rapida-folosind transformata

Fourier.

Vectorii bazei sinus sunt vect proprii pentru orice

matrice simetrica tridiagonala.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=

100

01

001

ρ

ρ ρ

ρ

Qk k k sQs

=

k s

este col k a matricii transformarii cosinus.

Transformari unitare

Documents

Transcript of Transformari unitare