"Natura este scrisă în limbaj matematic"

Galileo Galilei

Transformări geometrice: noțiuni teoretice și modele în natură

"O geometrie nu poate fi mai adevărată decat alta; ea poate fi doar mai comodă.

Or, geometria euclidiană este şi va rămane cea mai comodă“

H. Poincare

•Introducere

•Simetria

•Translația•Rotația•Omotetia

•Aplicații

Transformări geometrice

Transformări geometrice:

noțiuni teoretice

Istoria matematicii consemnează că transformările

geometrice au fost folosite pentru obţinerea

primelor demonstraţii ale unor teoreme de

geometrie a planului şi a spaţiului.

Intuiţia asigură înţelegerea noţiunilor de mişcare,

suprapunere, transformare a figurilor, ceea ce

favorizează înţelegerea ulterioară a unor

concepte fundamentale din geometrie.

Transformări geometrice:

noțiuni teoretice

• Gândim spaţiul fizic obişnuit ca o mulţime de elemente numite puncte, notat cu S. Noţiunea de distanţă are următoarele proprietăţi:

• 1. d(A,B) ≥ 0 şi egal cu zero dacă şi numai dacă A coincide cu B;

• 2. d(A,B)= d(B,A)

• 3. d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B), oricare ar fi punctele A, B, C din S.

Transformări geometrice:

SIMETRIA

• Definiţie: Simetria centrală de centru O în

planul este o transformare a planului

prin care punctul O se transformă în el

însuşi şi orice alt punct A se transformă în

simetricul său A’ în raport cu punctul O.

• Proprietăţi:

• - păstrează distantele;

• - păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă vârfurile poligonul sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi şi ele în ordinetrigonometrică) ;

• - păstrează unghiurile ;

• - drepte paralele vor fi transformate în drepte paralele ;

• - are ca punct fix punctul O iar dreptele care trec prin punctul O sunt drepte fixe ;

• - simetrii succesive după centre diferite O1(x1, y1) O2 (x1, y1) sunt o translaţie ;

• - simetriile după un punct nu comută.

• Spunem că o figură F admite ca centru de simetrie

un punct O, dacă simetricul faţă de O al oricărui

punct al figurii F se află în F.

Simetria axială în

plan

Definiţie: Simetria axială de axă d în planul este o transformare a

planului prin care punctele dreptei d se transformă în ele însele şi orice

alt punct A se transformă în simetricul său A’ în raport cu dreapta d.

Simetria axială

în plan

• Proprietăți:• - păstreaza distanțele;

• - nu păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă vârfurile poligonului sunt parcurse în ordine trigonometrica, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi în sens invers );

• - păstreaza unghiurile;

• - drepte paralele vor fi transfirmate în drepte paralele;

• - are ca puncte fixe punctele dreptei de simetrie;

• - simetrii succesive după drepte paralele determină o translatie ;

• - simetrii succesive după drepte concurente sunt rotații ;

• - simetriile nu comută.

TRANSLAŢIA

• Translaţia se

defineşte ca o

transformare prin

care toate

punctele se

deplasează în

una şi aceeaşi

direcţie, într-un

sens dat, la

aceeaşi distanţă.

TRANSLAŢIA

• Proprietăți:• - păstrează distanțele;

• - păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă vârfurile poligonul sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci varfurile corespondențe din poligonul transformat vor fi și ele în ordine trigonometrică);

• - păstrează unghiurile;

• - o dreaptă va fi transformată în altă dreaptă paralelă cu prima;

• - în afară de translația trivială de vector v = (0, 0), această transformare nu are puncte fixe (adica orice punct va fi transformat într-un punct diferit);

• - translații succesive vor determina tot într-o translație (adică dacă vrem să translatăm un punct după v si apoi după v1 atunci obținem același rezultat dacă translatăm direct dupa v + v1);

• -translația este comutativă.

Rotația

Rotația de centru O și unghi u,

transformă punctul P în P’ astfel

încat măsura ungiului P’OP sa fie u.

Rotația

Proprietăți• - pastrează distantele

• - pastrează orientarea poligoanelor

• - pastrează unghiurile

• - drepte paralele vor fi transfirmate în drepte paralele

• - dacă nu este o rotație trivială de unghi 0 atunci are ca punct fix centrul de rotație, nu are drepte fixe, dar are cercuri fixe centrate în centrul de rotație

• - două rotații succesive R1(O1, alfa) și R2 (O2, beta) se compun în o translatie sau o rotație

• R3 (O3, alfa + beta)

• -în general rotatiile nu comută

Omotetia• Se numeşte omotetie de centru O şi raport k aplicaţia h a planului

în el însuși,• care asociază punctului A un punct A’, A, A’ astfel încât

• OA’ = k OA.

• Punctul O se numeşte centru de omotetie, iar k raportul de omotetie

Omotetia

Proprietăţi: • - nu păstrează distanţele

• - păstrează orientarea poligoanelor

• - păstrează unghiurile

• - drepte paralele vor fi transformate în drepte

paralele și transformata unei drepte va fi

paralela cu dreapta data

• - are ca punct fix centrul de omotetie

• -în general omotetiile nu comută .

Aplicaţii

• Problema 1:

• Fie doua puncte A si B în interiorul unui unghi format de semidreptele

d1 si d2 care au capatul comun O. Se cere sa se determine doua

puncte M si N asfel ca M sa apartina lui d1 si N sa apartina lui d2 iar

• suma AM + MN + NB sa fie minimă.

Problema 2:

Dându-se un triunghi ABC

se cere să se determine

un triunghi înscris în

acesta de perimetru

minim.

Tema 1

• Identificaţi aspecte legate de transformări

geometrice în natură

Jocul Haosului

şi

transformările

geometrice

Tema 2

Daţi exemple de transformări geometrice identificate în

imaginea rezultată din jocul haosului

Tema 3

Daţi exemple de transformări geometrice identificate în

urmatoarele demonstratii ale Teoremei lui PITAGORA

a2 =b 2 +c 2

Daţi exemple de transformări geometrice

identificate în urmatoarea demonstratie a

Teoremei lui PITAGORAa2 =b 2 +c 2

Daţi exemple de transformări geometrice identificate în

urmatoarea demonstratie a Teoremei lui PITAGORA

a2 =b 2 +c 2