Topografie Generala-Onose

1

Topografie

Cuprins

31. Utilizarea hrilor i planurilor topografice

1.1. Elementele topografice ale terenului31.2. Hri i planuri91.3. Clasificarea hrilor i planurilor121.4. Citirea hrilor i planurilor131.5. Probleme ce pot fi rezolvate pe hri i pe planuri141.5.1. Determinarea unor elemente de planimetrie141.5.2. Determinarea unor elemente de altimetrie171.5.3. Exemple212. Reele de sprijin252.1. Reele de triangulaie local252.1.1. Operaii preliminare252.1.2. Operaii de teren312.1.3. Operaii de calcul (Compensarea msurtorilor)323. ndesirea reelelor de triangulaie343.1. Principiile interseciilor343.2. Intersecia nainte363.2.1. Procedeul analitic373.2.2. Procedeul trigonometric383.3. Intersecia napoi533.3.1. Procedeul Delambre533.3.2. Procedeul Kstner623.3.3. Procedeul Collins643.3.4. Procedeul Hansen653.3.5. Procedeul Cassini - Martinian723.3.6. Rezolvarea Marek783.3.7. Procedeul interseciei generalizate napoi793.4. Intersecia lateral813.5. Intersecia liniar833.6. Cteva aspecte privind precizia interioar i exterioar n reelele de sprijin844. Transmiterea la sol a punctelor de triangulaie i ndesire894.1. Cazul cnd punctual transmis la sol este staionabil894.1.1. Exemplu914.2. Cazul cnd punctul transmis la sol este nestaionabil944.2.1. Exemplu965. Transcalcularea coordonatelor995.1. Transcalcularea geometric995.1.1. Exemplu1005.2. Transcalcularea topografic1025.2.1. Exemplu1055.3. Transcalcularea din sistem topografic n sistem geodezic prin utilizarea teoriei celor mai mici ptrate1075.3.1. Exemplu1106. Reele de ridicare1146.1. Reele de ridicare planimetric1146.1.1. Generaliti1146.1.2. Drumuiri planimetrice1206.1.3. Ridicarea planimetric a detaliilor topografice1546.1.4. Gsirea greelilor la o drumuire planimetric1576.2. 6.2 Reele de ridicare altimetric1596.2.1. Drumuirea de nivelment geometric sprijinit la capete1596.2.2. Drumuirea cu punct nodal1636.2.3. Drumuirea de nivelment trigonometric sprijinit la capete pe puncte de cote cunoscute1717. BIBLIOGRAFIE173

1. Utilizarea hrilor i planurilor topografice1.1. Elementele topografice ale terenului

a)PUNCTETOPOGRAFICE: Sunt puncte din teren, materializate sau nu, care caracterizeaz poziia i forma detaliilor topografice (obiecte naturale sau artificiale din teren), sau concur la determinarea poziiei altor puncte topografice.

b)GEOMETRIZAREALINIILORISUPRAFEELORDINTEREN: Este operaia de selectare judicioas a unui numr minim de puncte topografice care s aproximeze cu suficient fidelitate liniile n cea mai mare parte sinuoase din teren, att n plan orizontal ct si n plan vertical, cu o linie poligonal, respectiv suprafeele ondulate ale terenului cu o suprafa poliedric (figura 1.1).

Figura 1.1 Geometrizarea liniilor n plan orizontal.Geometrizare corect pentru punctele 1-15; necorespunztoare pentru punctele 16-22Densitatea punctelor de detaliu este cu att mai mare cu ct scara planului, accidentaia i sinuozitatea terenului sunt mai mari. Condiia care se impune este ca abaterea maxim f a liniei poligonale de la linia din teren s fie mai mic de 0,2 mm la scara planului.

n plan vertical, pentru redarea reliefului, n funcie i de accidentaia terenului, se aleg puncte la cel mult 3 - 4 cm la scara planului.

c)ALINIAMENT: Este urma interseciei suprafeei terenului cu un plan vertical ce trece prin dou puncte topografice A i B. Dac punctele A i B sunt apropiate (prin geometrizare n plan vertical), aliniamentul se poate aproxima cu dreapta ce unete aceste dou puncte.

d)DISTANANCLINAT: Este lungimea dreptei din spaiu care unete dou puncte topografice A i B;

e)PROFILTOPOGRAFIC: Este reprezentarea grafic n plan a liniei de intersecie ntre suprafaa terenului i o suprafa vertical ce trece prin dou sau mai multe puncte date. Se poate obine din msurtori n teren sau de pe plan.

f)SUPRAFAADENIVEL: Este o suprafa normal n orice punct al ei la direcia gravitii. Suprafaa de nivel zero este aproximativ suprafaa de echilibru a mrilor i oceanelor; se folosete ca suprafa de referin a altitudinilor (cotelor) n nivelment (figura 1.2).

Figura 1.2 Elemente topografice n plan verticaln topografie, pe ntinderi limitate, suprafeele de nivel pot fi considerate plane paralele orizontale; pe suprafee mai mari se vor aproxima cu suprafete sferice concentrice.

g)ALTITUDINE(COTA): Este distana vertical ntre suprafaa de referin i suprafaa de nivel a punctului considerat (figura 1.2).

h)DIFERENADENIVEL: Este distana vertical ntre suprafeele de nivel a dou puncte A i B (figura 1.2):

Poate fi pozitiv sau negativ, n funcie de altitudinea punctelor si sensul considerat. Dac

Cu (H se noteaz de regul diferena de nivel determinat din valorile cotelor; diferenele de nivel msurate se noteaz (H.

i)UNGHIVERTICAL: Este unghiul care msoar nclinarea dreptei ce trece prin punctele A i B fa de orizontal ((AB unghiul de pant) sau fa de vertical (zAB unghiul zenital) (figura 1.2).

Difer ca mrime sau semn n funcie de sensul considerat:

Relaia ntre cele dou tipuri de unghiuri este:

j)DISTANAORIZONTAL: Este lungimea proieciei ortogonale a dreptei AB din spaiu pe un plan orizontal (figura 1.2):

Se poate msura direct sau determina prin calcul dac se cunosc (prin msurare) lungimea nclinat i unghiul vertical sau lungimea nclinat i diferena de nivel:

k)PANTATERENULUI: Este nclinarea dreptei ce unete dou puncte A i B fa de orizontal, exprimat prin raportul ntre diferena de nivel i distana orizontal a celor dou puncte.

De regul, panta se mai exprim n procente i la mie:

De fapt, panta este tangenta trigonometric a unghiului vertical (:

l)UNGHIORIZONTAL: Este unghiul format de proieciile ortogonale a dou drepte din teren SA i SB ntr-un plan orizontal; aadar unghiul diedru al planelor verticale ce trec prin SA i SB (figura 1.3).

Directiile sunt tot unghiuri orizontale care au toate o aceeai origine. Unghiurile orizontale se pot exprima ca diferene a cte dou direcii:

Figura 1.3 Unghi orizontal. Direcie.m)ORIENTARE: Pentru dou puncte A i B orientarea laturii este unghiul orizontal format ntre acea ax a sistemului de coordonate care are direcia spre nord i latura AB, msurat n sens topografic (orar) (figura 1.4).

Pe suprafee limitate ca ntindere, direciile nord ale diverselor puncte sunt practic paralele ntre ele, unghiul de convergen al meridianelor putnd fi neglijat.

Unghiul orizontal (BA se numete orientarea invers a direciei AB i:

Punctele A i B din figur sunt de fapt proieciile ntr-un plan orizontal ale punctelor respective din spaiu.

n)COORDONATERECTANGULARE: Individualizeaz poziia n plan orizontal a punctelor topografice prin abscisa Y i ordonata X a proieciei punctelor n planul de referin. Orientarea axei OX din suprafaa de referin este de regul direcia nord.

Figura 1.4 Orientare direct. Orientare invers.

Figura 1.5 Coordonate rectangulare. Coordonate relative.Coordonatele rectangulare XA i YA se mai numesc i coordonate absolute plane.

o)COORDONATERELATIVE: Sunt lungimile proieciilor pe axele Ox i Oy a distanei orizontale ntre dou puncte.

Se pot calcula din elemente msurate, cnd se noteaz (X, (Y, sau din coordonate absolute i se noteaz (X, (Y:

Cu ajutorul coordonatelor relative se pot calcula coordonatele rectangulare ale unui punct dac se cunosc coordonatele altui punct:

p)COORDONATEPOLARE: Sunt o distan orizontal DSP numit raza polar i un unghi orizontal (P numit unghiul polar care definesc poziia unui punct P fa de un alt punct S i o direcie de referin (SA) date (figura 1.6).

Figura 1.6 Coordonate polareCunoscnd orientarea de referin (SA i coordonatele rectangulare ale punctului S, se pot calcula coordonatele absolute ale lui P:

q)COORDONATEECHERICE: Sunt coordonate rectangulare ntr-un sistem local n care axa absciselor este materializat n teren (de regul este o latur de drumuire). Elementele care individualizeaz poziia punctelor se msoar direct n valoare orizontal, ordonata fiind lungimea perpendicularei, iar abscisa distana de la un capt al axei pn la piciorul perpendicularei.

Dac este necesar, coordonatele rectangulare ale punctelor echerice se vor calcula cu relaiile:

Figura 1.7 Coordonate echerice1.2. Hri i planuri

a)PLANULTOPOGRAFIC: Este o reprezentare grafic convenional a unor poriuni restrnse ale suprafeei topografice, proiectate pe un plan orizontal, micorat la o anumit scar i care prin detaliile pe care le conine red n mod fidel suprafaa topografic respectiv. La ntocmirea planurilor nu se ine cont de curbura pmntului.

b)HARTA: Este o reprezentare grafic convenional, micorat la o anumit scar, n care este reprezentat ntreaga suprafa a Pmntului sau numai poriuni din ea i n construcia creia se ine seama de curbura pmntului.

SCARAHRILORIPLANURILORc)SCARANUMERIC: Scara numeric a unui plan sau a unei hri este raportul constant dintre distana d de pe plan sau hart i omoloaga ei din teren, D, ambele fiind exprimate n aceleai uniti de msur.

Forma de exprimare a scrii numerice este 1/n sau 1:n.

Formula scrii numerice este:

Cu aceast formul se pot rezolva urmtoarele probleme:

1. se d distana d de pe plan i scara 1:n a planului, i se cere D, distana corespunztoare din teren Se folosete n lucrrile pe hri i planuri, la extragerea unor elemente din coninutul acestora.

2. se d distana D din teren i scara 1:n a planului i se cere distana d de pe plan

3. se d distana d de pe plan i D, omoloaga sa din teren i se cere scara numeric 1:n

Se folosete n cazul n care se vrea s determinm scara la care s-a executat o reprezentare grafic.

Pe hri i planuri, distana d se msoar de regul n milimetri, iar distana corespunztoare din teren, D, se exprim n metri.

Regula n/1000

La scara 1:n, ,

de exemplu, la scara 1:25000, .

Figura 1.8 Scara grafic liniar (simpl)d)SCARAGRAFIC: Fiecrei scri numerice i corespunde o scar grafic, ce constituie o reprezentare grafic a scrii numerice. Dup felul de construire a scrii grafice, se deosebesc:

1. scara grafic simpl sau liniar

2. scara grafic transversal sau compus

Scara grafic simpl (figura 1.8) asigur o precizie de 1/10 din baz.Mod de utilizare: se ia n compas distana de pe hart, ntre dou puncte A i B i se aeaz pe scara grafic, astfel nct un vrf al compasului s corespund cu un numr ntreg de baze, iar cellalt vrf s cad n interiorul talonului. Distana este egal cu numrul ntreg de baze la care se adaug partea fracionar citit pe talon.

Scara grafic transversal (figura 1.9) asigur o precizie de 1/100 din baz, deoarece talonul este mprit n 10 uniti pe orizontal i n zece pri egale pe vertical, astfel c o unitate de pe orizontal reprezint 1/10 din baz, iar o unitate pe vertical reprezint 1/10 dintr-o unitate pe orizontal.

Figura 1.9 Scara grafic transversal (compus)Mod de utilizare: se ia n compas distana de pe hart, ntre dou puncte A i B i se aaz pe scara grafic, astfel nct un vrf al compasului s corespund cu o diviziune ntreag din baz , iar cellalt vrf s cad n interiorul talonului scrii transversale. Se deplaseaz compasul astfel ca un vrf s rmn tot timpul pe o valoare ntreag din baz, iar cellalt s fie n talon, pn cnd vrful din talon atinge o intersecie a dou linii ce marcheaz diviziunile lui. Micarea compasului se face astfel nct vrfurile lui s fie tot timpul pe aceeai linie orizontal.Distana este egal cu numrul ntreg de baze la care se adaug partea fracionar citit pe talon.

Scrile grafice se folosesc att pentru determinarea distanei de pe hri i planuri, ct i n transpunerea unor distane msurate pe plan sau hart.

e)PRECIZIAGRAFICASCRII: Cnd se msoar o distan pe plan sau hart, sau cnd se raporteaz un punct sau o distan pe plan sau hart se comit erori din cauza ochiului omenesc, care fr mijloace optice nu poate asigura o precizie mai mare de 0,1 - 0,2 mm. Se consider c eroarea medie de citire sau raportare a unei distane pe plan sau hart este de 0,2 0,3 mm. Aceast eroare, la transpunerea sau extragerea anumitor elemente liniare de pe plan sau hart, duce la denaturarea lungimilor reale din teren, care este cu att mai mare cu ct scara planului sau hrii este mai mic.

Precizia grafic reprezint deci valoarea corespondent din teren a valorii erorii de raportare sau citire de pe plan. Se exprim prin relaia:

unde: e= eroarea grafic; Pg = precizia grafic; N = numitorul scrii

Precizia grafic este un parametru care permite stabilirea scrii la care trebuie ntocmit un plan, n funcie de mrimea detaliilor care trebuie reprezentate.

1.3. Clasificarea hrilor i planurilorn funcie de scar i coninut, planurile i hrile se pot clasifica astfel:

PLANURI TOPOGRAFICE

Planul topografic de baz al rii, reprezentat prin planurile topografice la scrile 1:2000, 1:5000 i 1:10000, tiprit n trei culori i realizat ntr-un singur sistem de proiecie;

Planul topografic special, care este ntocmit pentru anumite scopuri economice. Scara sa poate varia de la 1:100 pn la 1:1000, coninutul lui fiind foarte variat, n funcie de scopul pentru care se ntocmete.

HRI toate reprezentrile grafice ntocmite la scara 1:25000 i mai mici Hri topografice la scri mari 1:25000 pn la 1:100000 servesc pentru studii de detaliu i o serie de msurtori i calcule. Scara lor este considerat constant pentru fiecare foaie de hart.

Hri topografice de ansamblu sunt hri la scri medii 1:200000 pn la 1:1000000. Datorit gradului mare de generalizare i a variaiei scrii ele servesc pentru studii generale i nu sunt folosite pentru msurtori i calcule.

Hri geografice sunt hri la scri mici peste 1:1000000 i servesc pentru studierea general a unei ri sau zone geografice.

1.4. Citirea hrilor i planurilor

a)CAROIAJULGEOGRAFIC: Fiecare foaie de hart sau plan este mrginit de meridiane i paralele, care formeaz caroiajul geografic al seciunii respective. n colurile caroiajului geografic ce mrginete o seciune de hart sau plan sunt trecute valorile coordonatelor geografice ( i (, care reprezint valoarea paralelelor ncepnd de la Ecuator, respectiv valoarea meridianelor ncepnd de la meridianul de origine Greenwich care delimiteaz foaia de hart.Intervalele dintre meridianele i paralelele care delimiteaz foaia de hart sunt mprite pe vertical n minute de latitudine i pe orizontal n minute de longitudine. Baza pentru cadrulgeografic este o linie de 0,1 mm grosime, care se ngroa spre exterior pn la 0,5 mm pentru minutele impare.

b)CAROIAJULRECTANGULAR: Caroiajul rectangular este format din drepte trasate paralel la axele de coordonate rectangulare plane ale sistemului de coordonate adoptat. Aceste paralele formeaz o reea de ptrate cu latura de 1 km sau un numr rotund de kilometri, denumit i reeaua kilometric. Pe planurile cu scara mai mare de 1:10000 aceast reea de ptrate se traseaz cu laturile de 10 cm la scara planului.

Pe un plan sau hart, liniile caroiajului rectangular nu sunt paralele cu liniile caroiajului geografic.

c)SEMNE CONVENIONALE: Semnele convenionale sunt semne grafice, simple, generalizate, alese astfel nct s sugereze imaginea detaliului din teren. Se pot clasifica astfel:

semne convenionale pentru planimetrie, care pot fi: Semne convenionale de scar se folosesc pentru reprezentarea pe hri sau planuri a unor detalii importante din teren, dar care datorit dimensiunii lor reduse nu pot fi reprezentate la scara respectiv. Aceste semne indic precis poziia detaliului pe care l reprezint prin centrul lor sau al axei lor de simetrie. (De exemplu, reprezentarea punctelor geodezice, a cilor ferate, a stlpilor, fntnilor, etc.) Semne convenionale de contur se folosesc pentru reprezentarea pe hri sau planuri a detaliilor ce pot fi desenate la scara hrii (pduri, mlatini, lacuri, grdini, etc.). Ele nu redau poziia real a unui anumit detaliu din interiorul conturului.

Semne convenionale explicative sunt notrile convenionale care se folosesc pentru a da o caracteristic ct mai deplin detaliilor topografice. Se folosesc totdeauna combinat cu celelalte dou categorii de semne pentru planimetrie (inscripiile de pe un pod, n interiorul conturului unei pduri, la cminele reelelor edilitare, etc.).

semne convenionale pentru relief (altimetrie). Relieful, ca un element principal din coninutul hrilor i al planurilor se reprezint de asemenea convenional. Se reprezint n general prin: Curbe de nivel reprezint poziia n plan a liniilor care unesc puncte de aceeai cot de pe suprafaa topografic. Se mpart n urmtoarele categorii:

Curbe de nivel normale se traseaz la echidistana normal E, aleas n funcie de scara hrii sau a planului i n funcie de accidentaia terenului. Se reprezint printr-o linie subire i continu;

Curbe de nivel principale sunt curbe de nivel normale ngroate care se traseaz la cote rotunde. Pe ele se fac inscripiile care indic valoarea curbei de nivel;

Curbe de nivel ajuttoare se traseaz prin linii ntrerupte la echidistana E/2, ntre curbele normale;

Curbe de nivel accidentale se traseaz cu linie punctat la echidistana E/4, ntre curbele normale.

Ultimele dou categorii de curbe de nivel se folosesc la reprezentarea reliefului, n teren plan, cu variaii altimetrice reduse ale suprafeei topografice.

Hauri se folosesc la reprezentarea terenurilor accidentate, cu panta peste 35(, care nu pot fi reprezentate prin curbe de nivel. Aceste zone au indicat conturul, cotele lor la creast i la baz, iar n interiorul conturului apar hauri care sunt linii trasate pe direcia de cea mai mare pant, care prin lungime, densitate i grosime indic gradul de accidentaie al terenului. (Exemple: rpa, viroaga, ravena, movila, groapa, mal abrupt).

Semnele convenionale pentru planimetrie i relief sunt cuprinse n atlasele de semne convenionale pentru diverse scri, ele fiind n general identice ca form pentru diferite scri, deosebindu-se numai prin dimensiuni.

1.5. Probleme ce pot fi rezolvate pe hri i pe planuri

1.5.1. Determinarea unor elemente de planimetrie1.5.1.a. Determinarea coordonatelor geograficeCoordonatele geografice ale punctelor se determin pe hart folosind caroiajul geografic al foii de hart. Se duc din punctul respectiv paralele la cadrul geografic pn ce acestea intersecteaz linia cadrului.

Se stabilete valoarea minutului de latitudine i longitudine unde paralelele au intersectat cadrul geografic, n funcie de valorile arcelor de paralel i de meridian care delimiteaz foaia de hart, nscrise n coltul de S V al hrii.

Prin interpolare liniar se calculeaz secundele care trebuie adugate la valorile mai sus stabilite.

1.5.1.b. Determinarea coordonatelor rectangulareCoordonatele rectangulare ale punctelor se determin pe hart folosind caroiajul rectangular al foii de hart. Se determin coordonatele rectangulare X,Y ale unui col de ptrat unde se afl punctul respectiv, folosind valorile nscrise n km pe cadrul hrii. Se coboar perpendiculare pe laturile alturate colului cruia i-au fost determinate coordonatele. Se citesc n milimetri distanele de la colul determinat pn la piciorul perpendicularelor i se transform folosind scara numeric a hrii. Se obin astfel creterile de coordonate ale punctului fa de colul cunoscut. Se calculeaz coordonatele punctului prin adunarea sau scderea, n funcie de sensul de cretere al coordonatelor, a creterilor de coordonate calculate.Datorit unor condiii atmosferice (umiditate i temperatur), hrtia pe care sunt ntocmite hrile i planurile sufer deformaii (contracii sau dilatri). Pentru determinarea ct mai exact a unei mrimi de pe hart (n special lungimi), se recomand folosirea unui coeficient care s anuleze diferena.

Acest coeficient se poate determina folosind caroiajul rectangular al hrii. Cunoscndu-se dimensiunea teoretic la care a fost trasat caroiajul rectangular, se poate verifica prin msurarea pe hart dac acest caroiaj corespunde sau nu i se poate calcula un coeficient k dup relaia:

ntruct deformaia hrtiei este neuniform pe anumite direcii se vor calcula coeficieni de deformaie att pe direcia axei X, ct i pe direcia axei Y. De asemenea, deformaia hrtiei are valori diferite n anumite poriuni ale foii de hart. Din acest motiv se va stabili deformaia hrtiei n zona hrii n care se lucreaz.

1.5.1.c. Determinarea distaneiDistana se poate determina:

folosind scara numeric a hrii ;

folosind scara grafic a hrii (simpl i transversal);

din coordonate: .

Precizia grafic pentru o eroare e=+/-2 mm este:

1.5.1.d. Determinarea orientrii i a unghiurilor orizontaleOrientarea unei direcii reprezint unghiul format de direcia nordului geografic cu direcia respectiv, msurat n sens orar. Unghiul de orientare al unei direcii se poate determina pe hart prin dou procedee:

folosind coordonatele rectangulare care definesc direcia respectiv:

folosind raportorul circular gradat n grade centesimale.

Pentru rspunde necesitilor topografiei, cercul trigonometric s-a adaptat astfel:

axa Ox este vertical, Oy este orizontal (vezi figura)

originea unghiurilor este axa Ox, iar sensul pozitiv, numit sens direct topografic, este cel orar.

Definiiile i proprietile funciilor trigonometrice se pstreaz neschimbate dac se construiete cercul topografic conform figurii 1.10.

Figura 1.10 Cerc topografic. Reprezentarea funciilor trigonometrice.n vederea aflrii valorii i a semnului funciilor trigonometrice cnd se dau unghiuri n diferite cadrane sau calculului unghiurilor din ntreg cercul cnd cunoatem semnul i valoarea funciilor, este necesar s aplicm reducerea unghiurilor la primul cadran.(vezi tabelul 1.1).

Funcii

trigonometriceCADRANICADRANIICADRANIIICADRANIV

0g

Valoarea minim pentru se obine atunci cnd numitorul este maxim, adic cos(A-B) 1 i aceasta numai cnd A = B.

Se admit ca unghiuri normale n triunghiuri, unghiurile cuprinse ntre 40g 80g; Minim 30g.

e) Proiectarea punctelor de ndesire a reelei de triangulaie local;

Se vor stabili punctele care vor fi determinate prin intersecie nainte (antene, couri de fum, cruci de biserici, etc.), intersecie napoi sau intersecie combinat.

f)Recunoaterea terenului i definitivarea proiectului:

definitivarea proiectului de marcare i semnalizare a punctelor;

s fie asigurat accesul la puncte cu materiale i instrumente;

terenul din jurul punctelor s fie stabil;

terenul s nu fie cu vegetaie nalt care s mpiedice vizibilitatea ntre puncte, eventual defriarea i curirea terenului din jurul punctelor i de pe traseul bazei.

n funcie de forma terenului i de obstacolele pe care trebuie s le evitm i n funcie de relieful terenului se aleg tipuri de reele de triangulaie local. n principiu, punctele de triangulaie se aleg pe locuri dominante ca s se asigure o ct mai bun vizibilitate n tur de orizont, la ct mai multe puncte de triangulaie vecine.

Tipurile principale de reele de triangulaie local sunt:

poligon cu punct central cu baza normal i baza scurt (figura 2.3)Reeaua de triunghiuri care formeaz un poligon cu punct central se aplic n cazul terenurilor ntinse n toate direciile i cu suficient vizibilitate. Se va msura o latur a unui triunghi care va fi considerat triunghiul I i apoi n sensul acelor de ceasornic se numeroteaz celelalte triunghiuri cu II, III, IV i V.

Poligonul va trebui s aib un numr de 5, cel mult 7 triunghiuri.

Din fiecare punct de triangulaie se vor msura toate unghiurile triunghiurilor i se vor nota cu i, i, i ca n figura 2.3.a).

Cnd nu se poate msura o latur a triunghiului se va msura o aa-numit baz scurt, care se va dezvolta printr-un patrulater pe latura triunghiului, ca n figura 2.3.b).

a)

b)

b = baza normal

b = baza scurt

Figura 2.3 Poligon cu punct centrallan de poligoane cu punct central (figura 2.4).

Figura 2.4 Lan de poligoane cu punct centralSe aplic n cazul suprafeelor alungite, dar destul de late. Poligoanele vor cuprinde cte 5-7 triunghiuri, cu laturile aproximativ egale, dup cum impune terenul, astfel ca triunghiurile s fie ct mai aproape de forma echilateral.

patrulater cu diagonalele observate cu baz normal i baz scurt (figura 2.5).Se aplic n cazul terenurilor cu suprafa mic. Se msoar o latur i toate unghiurile formate de direciile diagonalelor i laturilor. n cazuri speciale se poate recurge la baze scurte.

Notarea triunghiurilor i a unghiurilor se poate face considernd tringhiurile suprapuse n parte: 1-2-3, 2-3-4, 3-4-1 i 4-1-2.

bS = baz scurt

b = baz normal

Figura 2.5 Patrulatere cu ambele diagonale observatelan de patrulatere (figura 2.6).

Figura 2.6 Lan de patrulatereSe aplic tot pentru msurarea suprafeelor alungite. Elementele care se msoar sunt: toate unghiurile, dou laturi la extremitile lanului sau dou baze scurte i orientrile acestor baze.lan de triunghiuri (figura 2.7).

Figura 2.7 Lan de triunghiuriSe aplic n cazul suprafeelor alungite, n special al vilor nguste. Se msoar toate unghiurile din fiecare punct, dou laturi (una n primul triunghi i a doua n ultimul triunghi) sau dou baze scurte, sau o latur i o baz scurt, precum i orientrile acestor baze.

n cazul cnd numrul triunghiurilor lanului este mai mare de zece, se vor msura baze de control dup fiecare zece triunghiuri.

2.1.2. Operaii de teren

2.1.2.a. Marcarea i semnalizarea punctelor din reeaua de triangulaie local a punctelor de ndesire;

Marcarea n sol cu borne i n suprasol prin semnale se va face n puncte noi prin borne din piatr natural sau din beton armat i respectiv prin semnale simple cu fluture sau prin semnale cu picioare.

2.1.2.b. Efectuarea msurtorilor unghiulare:

unghiurile orizontale vor fi msurate ntre orele 600 1100; 1630 1930;

unghiurile verticale vor fi msurate ntre orele 1100 1500;

se vor msura dimineaa punctele din partea de rsrit i dup-amiaza cele de apus pentru a avea tot timpul soarele n spate;

se va ntocmi la nceput un tur de orizont informativ n puncte, pentru a evita micri suplimentare n cutarea punctelor;

se vor msura unghiurile prin metoda seriilor, respectnd toate recomandrile i restriciile prevzute.

se va stabili numrul de serii complete de msurare n fiecare punct i pe baza acestora se va stabili intervalul dintre originile seriilor:

q numrul microscoapelor de citire (= 2)

t numrul seriilor

Pentru a se diminua erorile de perioada scurt ale gradaiilor limbului, se modific intervalele calculate cu 10c.

Exemplu: pentru un WILD T2 cu q = 2 i pentru t = 4 rezult originile pentru cele 4 serii:

1. 0g 00c 2. 0g 00c + I + 10c = 50g 10c

3. 0g 00c + 2(I + 10c) = 100g 20c4. 0g 00c + 3(I + 10c) = 150g 30cDireciile n punctele reelei vor fi msurate cu teodolite de precizie (Wild T2, Theo 010A sau B, Wild T3).

La fiecare direcie se va msura cu dou coincidene la micrometrul optic. Diferena ntre dou coincidene nu trebuie s depeasc 4cc.

nchiderea unui tur de orizont s nu depeasc , unde s = numrul de puncte vizate;

Variaia ntre diferitele direcii reduse la origine s nu depeasc 15 20 ccSeriile fiind cicluri de observaii independente, este permis refacerea calrii instrumentului ntre serii dac este nevoie.

ntr-o serie se admit maximum 8 vize.

Dac trebuie msurate mai mult de 8 direcii dintr-o staie se vor forma dou grupe care s conin 2 3 direcii comune, de preferin direcia de origine s fie comun pentru cele 2 3 grupe.

Compensarea seriilor i stabilirea direciilor ce vor intra n compensare.

2.1.2.c. Efectuarea msurtorilor liniare asupra bazei reelei de triangulaie.

Determinarea mrimii liniare a bazei reelei de triangulaie se poate face prin:

msurarea direct;

msurarea cu aparatur electrooptic;

nivelmentul bazei;

determinarea lungimii bazei.

2.1.3. Operaii de calcul (Compensarea msurtorilor)n esen se urmrete o geometrizare a reelei de triangulaie, astfel nct figurile geometrice create s satisfac urmtoarele condiii:

suma unghiurilor n triunghiuri s fie 200g;

suma unghiurilor n jurul unui punct s fie 400g;

ntre laturi i sinusurile unghiurilor opuse s existe raporturi de perfect egalitate.

Primele dou asigur condiii geometrice de baz, iar ultima asigur condiia de scar n reeaua creat. tiut fiind c msurtorile noastre unghiulare i liniare sunt afectate de erori, condiiile amintite mai sus, vor fi satisfcute numai aproximativ, ceea ce impune efectuarea unor calcule de compensare.

Uzual sunt folosite dou metode de compensare a msurtorilor: metoda msurtorilor condiionate

metoda msurtorilor indirecte

3. ndesirea reelelor de triangulaie3.1. Principiile interseciilor

Metoda de determinare a punctelor geodezice de ordin inferior este aceea a interseciilor.Acestea sunt de trei feluri:

intersecii nainte (directe)

intersecii napoi (retrointersecii)

intersecii laterale (combinate)

Toate aceste trei feluri de intersecii utilizate pentru determinarea punctelor de ordinul IV i V sunt intersecii analitice obinuite, adaptate la trei situaii diferite care se pot prezenta n teren.

Se tie din geometria analitic c avnd ecuaiile a dou drepte de orientare cunoscut 1 i 2, trecnd fiecare din ele prin cte un punct dat A i B (deci cu coordonate cunoscute) se gsesc coordonatele punctului nou P la intersecia celor dou drepte date, rezolvnd sistemul de ecuaii dat.

n practica topografic nu ne mulumim cu coordonatele gsite pentru P numai dintr-o singur combinaie de dou drepte i dou puncte date, ci se va aplica pentru control i asigurarea preciziei, aceeai problem la 2 3 combinaii de cte dou drepte i dou puncte date.

Figura 3.1 Triunghiul de eroare al interseciei topograficeDin cauza erorilor inerente fcute n determinrile coordonatelor punctelor A, B, C i n aceea a orientrilor 1, 2, i 3 nu va rezulta un punct unic de intersecie P al direciilor AP, BP i CP ci trei puncte P1, P2 i P3 care mpreun formeaz aa-zisul triunghi de eroare al interseciei. Aria acestui triunghi este cu att mai mic cu ct determinrile sunt mai ngrijite i mai precise, dar niciodat nul.

Dac valorile coordonatelor punctelor P1, P2 i P3 sunt sensibil apropiate se va lua o valoare medie ntre ele i acestea vor constitui drept coordonate finale ale punctului cutat P.

Aceasta aste prima caracteristic general a interseciilor topografice.

Ele se mai caracterizeaz i prin aceea c se mpart n:

a) intersecii nainte, dac au fost staionate numai punctele vechi A, B, C i s-au dat vize din ele spre punctul nou P necunoscndu-se unghiurile , , (figura 3.2);

b) intersecii napoi, dac nu a fost staionat dect punctul nou P din care s-au dat vize spre punctele vechi A, B, C msurndu-se unghiurile 1, 1, 1. (figura 3.3).c) intersecii laterale dac a fost staionat punctul nou P i nc cel puin unul intre punctele vechi, de pild B, msurndu-se unghiurile 2, 2, 2 i unghiul (figura 3.4).Oricare din cele trei variante se trateaz teoretic la fel ca principiu de rezolvare, cci din punct de vedere matematic problema este aceeai indiferent de felul cum s-au obinut orientrile 1, 2 i 3.

Figura 3.2 Intersecia nainte

Figura 3.3 Intersecia napoi

Figura 3.4 Intersecia lateral3.2. Intersecia nainte

Figura 3.5 Intersecia nainte. Elemente. Procedeul analiticFiind date punctele vechi de ordin superior sau inferior A(X1,Y1); B(X2,Y2) i C(X3,Y3), ele se vor staiona cu teodolitul de precizie i se vor msura respectiv unghiurile , , .

3.2.1. Procedeul analitic

Putem scrie:

Se vede c:

AP = 1' + = 1BP = 2' + = 2CP = 3' + = 3Ecuaiile analitice a dreptelor (n cazul nostru a vizelor orientate) AP, BP i CP sunt:

(AP)Y Y1 = tg1 (X X1)

(BP) Y Y2 = tg2 (X X2)

(CP) Y Y3 = tg3 (X X3)

Lund primele dou ecuaii din sistemul de mai sus avem un sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute X i Y care reprezint coordonatele punctului P.

Y Y1 = tg1 (X X1)

Y Y2 = tg2 (X X2)

Se scad cele dou ecuaii i rezult:

Y2 Y1 = X(tg1 tg2) + (X2 tg2 X1 tg1)

(99)

Introducnd valoarea obinut n relaia de mai sus obinem:

Y = Y1 + tg1 (X X1)

Y = Y2 + tg2 (X X2)

Ecuaiile (99) i (100) dau tocmai coordonatele punctului P (de fapt P1).

Lund, n continuare, ecuaiile 2 i 3 din relaia (97), apoi ecuaiile 3 i 1 i procednd ca mai sus se vor gsi nc alte dou perechi de coordonate pentru P (de fapt pentru P2 i P3).

Dac cele trei rnduri de coordonate alctuiesc un ecart maxim de 15 cm atunci media aritmetic a valorilor obinute se consider ca i coordonate definitive pentru punctul P:

3.2.2. Procedeul trigonometric

Problema se reduce la metoda radierii.

Figura 3.6 Intersecia nainte3.2.2.a. Etape de rezolvare:

a) Calculul orientrii 1-2 din coordonatele punctelor vechi

b) Calculul orientrilor 1-P i 2-P1-P = 1-2 ; 2-P = 1-2 200g + ;c) Calculul distanei d1-2 din coordonate:

d) Calculul distanelor d1-P i d2-P din teorema sinusurilor:

= 200g ( + )

;

;

i se numete modul

e) Calculul coordonatelor punctului P prin radiere:

XP=d1-P cos1 + X1 = X1 + X1-PXP=d2-P cos2 + X2 = X2 + X2-P

YP=d1-P sin1 + Y1 = Y1 + Y1-P

YP=d2-P sin2 + Y2 = Y2 + Y2-P

dac , atunci

3.2.2.b. Condiii de aplicare n producie

Din punct de vedere practic sunt de adugat cteva reguli de lucru pentru ca rezultatele s fie ct mai bune.

se vor folosi n calcul, pentru determinarea punctelor, vize ct mai scurte i n orice caz ct se poate mai egale ca lungime;

se vor folosi cel puin trei vize venite din puncte vechi, lundu-se dou cte dou n toate combinaiile posibile;

unghiurile optime sub care trebuie s se intersecteze vizele n punctul nou sunt ntre 30g 100g. Se exclud cu desvrire unghiurile obtuze sau prea ascuite.

Distribuie corect a

Distribuie la limit a

vizelor la intersecia nainte

vizelor la intersecia nainte

Figura 3.7. cele 3 - 4 vize din care se calculeaz un punct nou trebuie s fie rspndite ct mai uniform pe ntregul tur de orizont. Sunt slabe determinrile fcute din vize care se grupeaz n dou cadrane i sunt excluse cele ce se grupeaz ntr-un singur cadran.

Figura 3.8 - Distribuie defectuoas a vizelor

3.2.2.c. Organizarea calculelor pentru intersecia nainte:

Pct.XtgYOrientarea

A18953,380,34943420210,61221g40c13cc

P5130,2118874,66

B23544,17-0,91001820317,99352g99c69cc

3.2.2.d. Exemple

DETERMINAREA COORDONATELOR PUNCTELOR DE NDESIRE 913 I 926 PRIN METODA INTERSECIEI NAINTEStaia 55

a. Coordonatele punctelor vechi 55, 59, 63, 85, 56

PctXY

5510133.1116959.121

599507.9008704.780

637794.8717807.489

857536.6296177.881

569648.9955916.022

b. Direciile orizontale compensate n staia 55

PSPVDirecii msurate

5559382.7289

91316.9764

6338.6768

8579.4409

56133.1700

c. Schia vizelor

Figura 3.9 Schia vizelor n staia 551. Calculul orientrilor ctre punctele vechi:

2. Calculul distanelor de la punctul 55 la punctele vechi

Di j=

=

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

3. Calculul unghiului

4. Calculul mediei ponderate

pi = Dij(km) p1 = D55-59 = 1.854 km

p2 =D55-63 = 2.487 km

p3 = D55-85 = 2.711 km

p4 = D55-56 = 1.149 km

5. Calculul orientrii

STAIA 59

a)Cordonatele punctelor vechi 59,77,63,55

PctXY

599507.9008704.780

777006.2678873.495

637794.8717807.489

5510133.1116959.121

b)Schia vizelor

Figura 3.10 Schia vizelor n staia 59

c)Direciile orizontale compensate n staia 59

PSPVDir. msurate

59926274.3233

77309.9136

913333.8175

63344.9188

5536.0940

1. Calculul orientrilor ctre punctele vechi

2. Calculul distanelor de la pct. 59 la punctele vechi

3. Calculul unghiului (valori provizorii)



STAIA 63a) Coordonatele punctelor vechi 63, 55, 59, 77

PctXY

637794.8717807.489

5510133.1116359.121

599507.9008704.780

777006.2678873.495

b) Direciile orizontale compensate n staia 63

PSPVDirecii msurate

6355284.0989

59336.9735

913351.9322

926389.7671

7746.8040

c) Schia vizelor

Figura 3.11 Schia vizelor n staia 631. Calculul orientrilor ctre punctele vechi:

2. Calculul distanelor de la pct. 63 la punctele vechi



5. Calculul orientrilor

STAIA 77

a) Coordonatele punctelor vechi 77, 92, 63, 59

PctXY

777006.2678873.495

926058.0817560.912

637794.8717807.489

599507.9008704.780

b) Direciile orizontale compensate n staia 77

PSPVDirecii msurate

7792334.5030

6314.8771

91352.3590

5970.0422

926107.5675

c) Schia vizelor

Figura 3.12 Schia vizelor n staia 77

1. Calculul orientrilor ctre punctele vechi

2. Calculul distanelor de la punctul 63 la punctele vechi




EMBED Equation.3 A. Procedeul analitic . Intersecie nainte cu orientri

Elemente necesare rezolvrii problemei

a. Coordonatele punctelor vechi 59, 63, 77, 55

PctX Y

5510133.1116959.121

599507.9008704.780

637794.8717807.489

777006.2678873.495

b. Orientrile din punctele staionate ctre punctul nou 913

c. Schia vizelor

Figura 3.13 Intersecia nainte cu orientri

1.Calculul coordonatelor punctului nou 913, folosind relaiile

PctX

Y

599507.9000.31828138704.780219.617

9138429.966-

-

5510133.111-0.82351916959.121156.1421

637794.8710.8726110437807.48945.6759

9138429.97-

-

777006.267-0.3594934728873.495378.0298

Triunghiul 1

Triunghiul 2

EMBED Equation.3

= 8429.96

= 8429.97

Calculul valorilor medii ale coordonatelor pct. 913

= 8429.968

8361.69

X913 = 8429.968

Y913 = 8361.69

B. Procedeul analitic. Intersecie nainte cu unghiuri


a) Schia vizelor

Figura 3.14 Intersecia nainte cu unghiuri

b) Coordonatele punctelor vechi

PctXY

599507.9008704.780

777006.2678873.495

5510133.1116959.121

637794.8717807.489

c) Unghiurile orizontale msurate n punctele cunoscute

Calculul coordonatelor punctului nou 913

PctX

Y

599507.9002.536898704.78023.9039

9138429.949-8361.690-

777006.2673.507078873.49517.6832

5510133.1112.819166959.12121.7004

9138429.983-8361.689-

637794.8710.5531697807.48967.8333

Triunghiul 2.

Triunghiul 4.

Calculul valorilor medii

X913 = 8429.966

Y913 = 8361.690

Calculul coordonatelor punctului 913

X913 = 8429.967 m

Y913 = 8361.690 m

C. Procedeul trigonometric prin metoda radierii

Calculul coordonatelor punctului de ndesire 926

Elementele necesare rezolvrii problemei

Coordonatele punctelor vechi 59, 63, 77

PctXY

599507.9008704.780

637794.8717807.489

777006.2678873.495

Schia vizelor

Figura 3.15 Intersecia nainte. Procedeul trigonometric

Unghiurile orizontale calculate din direciile compensate n staiile 59,63,77

PSPVDir. ms.PSPVDir. ms.PSPVDir. ms.

926274.323359336.97356314.8771

5977309.9136063926389.7671775970.0422

63344.91887746.8040926107.5675

= dir63 dir926 = 344.9188 309.9136 = 70.5955

= dir926 dir59 = 389.7671 336.9735 = 52.7936

= dir77 dir926 = 46.8040 389.7671 = -342.3631 + 400 = 57.0369

= dir926 dir63 = 107.5675 14.8771 =92.6904

= dir77 dir926 = 309.9136 274.3233 = 35.5903

= dir926 dir59 = 107.5675 70.0422 = 37.5253

Triunghiul 1

Etape de calcul


2. Calculul distanei


4. Calculul

5. Calculul distanelor

,

6. Calculul coordonatelor pct. 926 prin dubl radiere din pct. 59 i 63

Triunghiul 2

Etape de calcul




EMBED Equation.3 4. Calculul unghiului


6. Calculul coordonatelor punctului 926 prin dubl radiere din punctele 63 i 77

Triunghiul 3

Etape de calcul




4. Calculul unghiului


6. Calculul coordonatelor punctului 926 prin dubl radiere din punctele 59, 77

Calculul coordonatelor finale punctului 926

3.3. Intersecia napoi

3.3.1. Procedeul Delambre

Figura 3.16 Procedeul DelambrePrincipial, problema este de a gsi coordonatele unui punct nou P (x,y) prin vize date exclusiv din acest punct nou P spre trei puncte vechi A (x1,y1), B (x2,y2) i C (x3,y3) - date prin coordonatele lor. Din msurtorile de teren se determin unghiurile folosind metode precise de msurare.

Soluia acestei probleme a fost dat de Snellius n 1624 i perfectat de Pothenot n 1692. Se mai numete Problema Pothenot sau Problema hrii.

Sunt cunoscute mai multe soluii:

Soluia analitic

Pentru a rezolva problema sunt de parcurs dou etape:

n prima etap, specific retrointerseciilor, se vor gsi orientrile 1, 2, 3 ale vizelor AP, BP, CP.

n a doua etap avnd trei drepte de orientare cunoscut i trecnd fiecare prin cte un punct dat, se vor rezolva nite intersecii obinuite (nainte).

Deci, doar prima parte a problemei este nou pentru a crei rezolvare se vor scrie cele trei ecuaii analitice, teoretice ale celor trei drepte care trec prin punctul P i respectiv A(x1,y1), B (x2,y2) i C (x3,y3)

y y1 = (x x1) tg1 y y2 = (x x2) tg2 (1)

y y3 = (x x3) tg3Se observ c dac AP = 1 atunci

BP = 1 + = 2 (2)

CP = 1 + =3Se introduc relaiile (1) i (2) i obinem:

y y1 = (x x1) tg1y y2 = (x x2) tg(1 + ) (3)

y y3 = (x x3) tg(1 + )

Sistemul (3) este un sistem de trei ecuaii cu trei necunoscute tg, x i y

(4)

Se iau primele 2 ecuaii din (3) i avem:

y y1 = (x x1) tg1(y y2)(1-tg1tg) = (x x2) (tg1 + tg) (5)

un sistem de 2 ecuaii cu 2 necunoscute; din prima ecuaie rezult

y = y1 + (x x1) tg1 (6)

pe care o nlocuim n ecuaia a doua din sistemul (5)

(y1 + x tg1 x1 tg1 y2)(1 tg1 tg) = (x x2)(tg1 + tg)

y1 + x tg1 x1 tg1 y2 y1 tg1 tg - x tg12tg + x1 tg12tg + y2 tg1 tg == x tg1 x2 tg1 + xtg x2 tgx(1+tg21)tg = y1 y2 (y1 y2)tg1 tg + (x2 x1)tg1 (x2 + x1tg21)tg (7)

Se face i n ecuaia a treia aceeai substituie:

(8)

i apoi se iau ecuaia I i a III-a i se face substituia de mai sus va rezulta o ecuaie de acelai tip cu ecuaia (7)

x(1+tg21)tg = y1 y3 (y1 y3)tg1tg + (x3 x1)tg1 + (x3 + x1tg21)tg (9)

Se mparte ecuaia (7) la (9) rezult:

(10)

(11)

grupnd termenii dup tg1 vom avea

=

=

=

= (12)

(13)

din relaia (13) se determin 1 i apoi 2 i 3.

Urmeaz determinarea orientrilor inverse AP, BP i CP cu care se va intra n calculele unor intersecii nainte normale gsind astfel coordonatele punctului nou P.

Caz particular de intersecie napoi

Dac unghiul este aproximativ 100g i unghiul este aproximativ 200g nu se poate aplica cu succes formula analitic de determinare a orientrii 1-P deoarece una dintre funciuni tg sau ctg (tg sau ctg) .

Pentru a rezolva aceast problem se va nota cu unghiul fcut de direciile P-2, P-3.

=1P2, =2P3

n acest caz se noteaz cu orientarea 2P1P = ; 3P = +

Cu aceste notaii, dezvoltnd, simplificnd i grupnd gsim:

(14)

Figura 3.17 Caz particular al interseciei napoi

3.3.1.a. Cazuri de nedeterminare la intersecia napoi

a) Cazul cnd patrulaterul ABCP este inscriptibil

Figura 3.18 Caz de nedeterminare la intersecia napoiDin figura de mai sus rezult c:

+ + + + = 400g (15)

Din ABP i BPC rezult:

; (16)

mprim cele dou relaii :

(17)

=> (18)

(19)

unde (20)

ntr-un patrulater inscriptibil avem: + + = 200g => + = 200g (21)

sin = sin(200 ) = sin (22)

din relaia (17) => (23)

(24) =>caz de nedeterminare

Din cele artate rezult c dac pe teren se msoar n P dou unghiuri i care nsumate la unghiul dintre direciile vechi AB i BC totalizeaz 200g, patrulaterul ABCP este inscriptibil i problema este nedeterminat.

Unghiurile i sunt msurate n punctul P.

Unghiul se afl din coordonatele punctelor vechi ABC din diferena orientrilor. Deci nu se pot determina coordonate pentru punctul P pn cnd nu se schimb poziia punctului astfel ca + + = 200g.

b) Cazul cnd unghiurile i sunt prea mari

Dac unul dintre cele dou unghiuri msurate n punctul nou P are o valoare apropiat de 200g (ntre 180g i 210g) ctg i ctg variaz prin salturi mari i brute pentru variaii mici ale unghiurilor i . Aceasta nseamn c o foarte mic eroare (inevitabil) la msurarea unghiurilor se traduce printr-o mare diferen n valoarea ctg.

Se observ c imprecizia a lui se traduce printr-o imprecizie n determinarea lui P care se mrete artificial numai din cauza variaiei ctg unui unghi de cca. 200g.

(25)

Formulele de mai sus arat c ecartul liniar (eroarea n coordonate) a punctului nou P este funcie de mrimea lui care este eroarea de orientare a direciei D.

Figura 3.19 - Eroarea de orientare i ecartul liniar

Figura 3.20 Schimbarea referinei orientrilor la intersecia napoin cazul acesta se va schimba direcia de referin a orienttilor retrointerseciei i se vor msura n P unghiurile i la care din cauz c unghiul este 200g nu se va mai lua ca referin a orientrilor prima direcie AP, ci direcia din BP (de exemplu).

n relaia (13) n locul lui 1 se va trece 2, iar n locul valorilor i se vor lua ' i ' care vor trebui msurate.

Se va ine seama de acest lucru la calculul orientrilor pentru a se transforma intersecia napoi n intersecie nainte.3.3.1.b. Exemplu

PROCEDEUL DELAMBRE

Calculul coordonatelor punctului 101Cazul IElemente necesare rezolvrii problemei

a) coordonatele punctelor vechi

PctXY

5510133.1116959.121

599507.98704.780

777006.2678873.495

637794.8717807.489

857536.6296177.881

b) Unghiurile orizontale

calculate din direciile msurate i compensate n staia 101

PSPVDir. ms

1015548.3523

59139.0429

77254.8690

63293.4287

85347.6241

c) Schia vizelor

Figura 3.21 Schia vizelor n punctul 101. Cazul I.

Etape de calcul:



3. Calculul coordonatelor punctului 101 prin intersecie nainnte cu orientri

PctXtg

Y

599507.91.069968704.78052.1509

1018762.511_

_

637794.8710.1030887807.489206.5397

857536.6291.4104816177.881260.738

1018762.755_

_

5510133.111- 0.6919276959.121361.4662

Cazul IIElemente necesare rezolvrii problemei

a) Coordonatele punctelor vechi 55, 59, 77

PctXY

5510133.1116959.121

599507.98704.78

777006.2678873.495

b) Unghiurile i calculate din direcii compensate

PSPVDir. ms

1015548.3523

59139.0429

77254.8690

c) Schia vizelor

Figura 3.22 Schia vizelor n punctul 101. Cazul II.

Etape de calcul



3. Calculul coordonatelor punctului 101 prin intersecie nainte cu orientri

4. Calculul coordonatelor pct. 101

5. Calculul coordonatelor finale ale pct.101

3.3.2. Procedeul Kstner

Avnd date punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) se pot calcula orientrile i distanele: BA i BC; a = DAB i b = DBC, apoi unghiul = BA - BC.

Punctul nou este punctul P. n triunghiurile ABP i BCP se vor calcula unghiurile i astfel:

( + + ) + ( + ) = 400g

Figura 3.23 Procedeul Kstner

Egalnd cele dou relaii ale lui d2 obinem

sau

p1 = b sin; p2 = a sin

(cunoscut)

Dac, A + B =

, A B =

Cunoscndu-se unghiurile i se calculeaz unghiurile 1 i 21 = 200 ( + ); 2 = 200 ( + )

n final se calculeaz orientrile1 = BA 200 + ; 2 = BA 1 = BC + 2; 3 = BC 200

Calculul distanelor d1, d2 i d3 se face astfel:

Avnd orientrile 1, 2 i 3 i valorile lungimilor d1, d2 i d3 se vor calcula coordonatele relative ale punctului P fa de punctele A, B, C, deci vom avea trei rnduri de astfel de coordonate:

Xi = di cosi; Yi = di sinii apoi vom obine 3 rnduri de coordonate absolute pentru punctul P.

Valoarea final va fi media aritmetic a valorilor obinute dac acestea sunt sensibil egale.3.3.3. Procedeul Collins

Printre metodele de rezolvare a retrointerseciilor este i aceea datorat lui Collins (1671) cunoscut sub numele de metoda punctului ajuttor.

Aceast metod se adapteaz procedeului analitic.

Figura 3.23 Procedeul CollinsPe teren (figura 3.23) se msoar i din punctul P. Q este punctul ajuttor al lui Collins.

Din coordonatele punctelor A i C se calculeaz AC

Apoi,AQ = AC

CQ = AC 200g +

Din coordonatele punctelor vechi A i C i cu orientrile AQ i CQ se vor calcula prin intersecie nainte coordonatele punctului ajuttor Q(XQ,YQ).Apoi din coordonatele punctelor B i Q se determin QB

AP = QB 200gCP = QB + 200gCu coordonatele date pentru punctele vechi A(X1,Y1) i C(X3,Y3) i cu orientrile calculate mai sus se poate calcula prin intersecie nainte punctul nou P.

3.3.4. Procedeul Hansen

n cazul cnd din punctul nou P nu se vd trei puncte vechi A, B, C ci numai dou puncte A i B, dar n schimb se vede un punct auxiliar Q ((figura 3.24) care nu are coordonate, dar din care se vd aceleai puncte vechi A i B se vor msura n staiile P i Q respectiv unghiurile , i 1, 1.Din figur se vede c n PAB

+ + ( ) = 200g

.

Figura 3.24 Procedeul Hansen

n PAQ:

n PBQ:

Membrul al doilea al ecuaiei de mai sus este format numai din valori cunoscute i va fi considerat ca tg a unei cantiti auxiliare cunoscute:

Egalnd relaiile (137) i (134) vom avea:

n ecuaia (139) se introduce valoarea (134) pentru i se va obine valoarea care este numai n funcie de valori cunoscute.

(140)

Se va putea scrie c:

Valorile din (141) introduse n (139) i (140) dau pe i . Cu ajutorul lor se vor calcula AP, BP i QP cu care se poate calcula o intersecie nainte pentru a determina pe P.3.3.4.a. Exemplu

PROCEDEUL HANSEN

(intersectie cu puncte duble)


Rezolvarea analitic prin reducerea problemei la intersecie inainte

Elemente necesare rezolvrii problemei:a) Coordonatele punctelor vechi 56,85:

PCTX [m]Y [m]

569648.9955916.022

857536.6296177.881

b) Schia vizelor

Figura 3.25 Procedeul Hansen. Rezolvarea analiticc) Unghiurile (, (, ( i ( msurate pe teren din punctele 666 i 1226:

P.S.P.V.DIRECII

5225673.1808

85204.9303

1226251.4979

1226666325.2366

56338.9243

8553.3259

St 666:(= dir85 dir56 =131.7495

(= dir1226 dir85=46.5676

St 1226: ( = dir56 dir666=13.6877

(= dir85 dir56=114.4016

Etape de calcul:

1) Calculul distanei D56-85 i a orientrii (56-85:

2) Calculul unghiurilor ( i (:

3) Calculul unghiurilor ( i (

4) Calculul orientrilor (56-666, (56-1226, (85-666, (85-1226

5) Calculul coordonatelor punctelor 666 i 1226 prin intersecie nainte cu orientri:PCTX [m]tg (Y [m](

569648.9950.5528925745916.022232.1532

6668738.462-5412.595-

857536.629-0.636765316177.881363.9027

569648.9950.398801755916.022224.1580

12268135.870-5312.585-

857536.6291.4439873926177.881338.5596

6) Verificarea calculelor:

Rezolvarea trigonometric prin metoda radierii

Elemente necesare rezolvrii problemei:a) Coordonatele punctelor vechi 56, 85:

PCTX [m]Y [m]

569648.9955916.022

857536.6296177.881

b) Unghiurile (, (, ( i ( msurate pe teren din punctele 666 i 1226:

P.S.P.V.DIRECII

5225673.1808

85204.9303

1226251.4979

1226666325.2366

56338.9243

8553.3259

St 666: (= dir85 - dir56 =131.7495; (= dir1226 - dir85=46.5676St 1226: ( = dir56 - dir666=13.6877; (= dir85 - dir56=114.4016

c) Schia vizelor

Figura 3.27 Procedeul Hansen. Rezolvarea trigonimetricEtape de calcul:1) Calculul distanei D56-85 i a orientrii (56-85:

EMBED Equation.3

2) Calculul unghiurilor ( i (:

3) Calculul unghiurilor ( i (

4) Calculul orientrilor (56-666, (56-1226, (85-666, (85-1226

5) Calculul distanelor r1, r2, r3, r4

6) Calculul coordonatelor punctelor 666 i 1226 prin radiere din punctele 56 i 85:

7) Verificarea calculelor:

3.3.5. Procedeul Cassini - Martinian

Figura 3.28 Procedeul Cassini - MartinianSe dau: Punctele 1, 2 i 3 prin coordonatele lor Xi i YiSe msoar unghiurile i din punctul P

Se cer coordonatele punctului P.Demonstraie:

Construim prin punctele 1, 2, P cercul C1; prin punctele 2, 3, N cercul C2

MP2 = 900 (subntinde din cerc i este cu vrful pe cerc)

2PN = 900 (subntinde din cerc i este cu vrful pe cerc)

MPN = 1800 M, P, N sunt coliniare

Dreapta

Coordonatele punctului P pot fi determinate ca intersecie a dreptei 2P cu dreapta MN.

Din M i N se duc paralele la axele de coordonate => Q

Idem din 2 i P => R

Notaii:

P 2 = d; MN = D; NQ = YN YM = Y; QM = XN XM = X

PR = Y2 - YP; R2 = X2 - XP; X2 XM = x; Y2 YM = y

De dou ori aria M2N = 2S = d D

Calcule MQN ~ PR2

;

r (XM XN) = Y2 - YP; YP =Y2 - r (XM XN) = Y2 + r (XN XM)

r X = Y2 YP => YP = Y2 + r X

r Y = X2 XP => XP = X2 + r Y

(YN YM) r = X2 XP => XP = X2 r (YN YM)

XP = X2 - r YMN cunoscut X2, Y2YP = Y2 + r XMN necunoscut r, YMN, XMNCalculul diferenelor XMN, YMNn M12: M12 = 900

n N23: N32 = 900

AB este paralel cu axa OX; 2B i MA sunt paralele cu axa OY

1AM ~ 1B2 =>

X1 XM = (Y2 Y1) ctg; YM Y1 = (X2 X1) ctg

XM = X1 (Y2 Y1) ctg; YM = Y1 + (X2 X1) ctg

Construim dreaptele ce trec prin punctele:

C3D - paralel cu axa OX; B1A - paralel cu axa OX

MQ - paralel cu axa OX; QND- paralel cu axa OY

B2C - paralel cu axa OY AMR- paralel cu axa OY

2C3 ~ 3DN =>

Y3 YN = ctg (X2 X3); X3 XN = ctg (Y3 Y2)

XN = X3 (Y3 Y2) ctg; YN = Y3 + (X3 X2) ctg

Calculul X i YXMN = XN XM = X3 (Y3 Y2) ctg X1 + (Y2 Y1) ctg

YMN = YN YM = Y3 + (X3 X2) ctg Y1 - (X2 X1) ctg

Calculul raportului r

Dar 2S = d D

S = suprafaa M2N

Notm:

Nu se cunosc valorile X i Y

Revenim:

Calculul coordonatelor punctului P

Ordinea calculelor este urmtoarea:

- se calculeaz X i X i Y i Y

- se calculeaz r

- se calculeaz XP i YP3.3.5.a. Controlul operaiilor de calcul

Exist dou posibiliti de control:a) Folosind o a patra viz

b) Controlul calculului executat

Controlul const n: razele unui cerc sunt egale

C1P = C12 = C11

C2P = C22 = C33

i sunt coordonatele punctului C1

Figura 3.29 Procedeul Cassini Martinian. Control de calcul

Notm:K = 2X2 X; L = 2Y2 Y

n cercul 2 vom avea:

K = 2X2 X + X = K + X

L = 2Y2 Y + Y = L + Y

Obs.1. Dac X i Y 0 punctul P se afl pe cercul vicios

2. Dac numai X 0 sau numai Y 0 atunci dreapta P2 este paralel cu una din axele de coordonate.

3.3.5.b. Exemplu

PROCEDEUL CASSINI MARTINIAN



a) Coordonatele punctelor vechi 63, 77, 92, 73

PctXY

637794.8717807.489

777006.2678873.495

926058.0817560.912

735902.6075663.156

b) Unghiurile orizontale msurate pe teren

PSPVDir. msurate

20263227.8989

77314.9047

9253.0452

73105.5005

c) Schia vizelor

Figura 3.30 Procedeul Cassini Martinian. Schia vizelor n punctul 202

Etape de calcul:

Combinaia 1 - folosind unghiurile i i coordonatele pct. 63, 77, 92

1) Calculul valorilor

2. Calculul raportului r

3. Calculul coordonatelor punctului 202

Combinaia 2folosind unghiurile i i coordonatele punctelor 63, 77,73

1. Calculul valorilor

EMBED Equation.3

2. Calculul raportului r

3. Calculul coordonatelor punctului 202

Calculul coordonatelor finale ale punctului 202

Comb. 1 + Comb. 2

3.3.6. Rezolvarea Marek

n zon sunt dou puncte inaccesibile 1 i 2 de coordonate cunoscute spre care exist vizibilitate din punctul R pe care vrem s-l determinm.n apropiere se poate gsi un punct S (necunoscut) care s aib vizibilitate reciproc cu R i spre punctele cunoscute 3 i 4.

Se msoar: ; ; i .

Figura 3.31 Procedeul MarekCalculm: = 200g ; = 200g ; = 200g ; = 200g

Se observ c

A21 = ; A12 = ; 34B = ; 43B =

Calculul orientrilor:

1-2 = din coordonate; 1-A = 1-2 + ; 2-A = 2-1 ;

3-4 = din coordonate; 3-B = 3-1 ; 4-B = 4-3 +

Se calculeaz coordonatele punctelor A i B prin intersecie nainte din 1 i 2, respectiv din 3 i 4.

Se obin XA, YA; XB, YB.

Se determin AB din coordonate: AB = RSR1 = RS ; S-3 = R-S 200g +

R2 = RS ; S-4 = R-S 200g Punctele R i S se determin prin intersecie nainte respectiv din 1 i 2; 3 i 4

Se obin XR, YR; XS , YSVerificare:

Se calculeaz suprafaa nchis ARSB care trebuie s fie zero.

Se calculeaz coordonatele punctului R prin intersecie nainte din 1 i S obinndu-se aceleai coordonate.

3.3.7. Procedeul interseciei generalizate napoi

Figura 3.32 Procedeul interseciei generalizate napoiA, B, C puncte vechi de coordonate cunoscute (Xi,Yi)

P, Q, R puncte noi de coordonate necunoscute (Xi,Yi)

i, i se msoar

Calcule:

= BA BC; = ?; = ?

+ = (n-2) 200 (i + i +i)

;

;

nmulim termen cu termen:

;

;

; = A + B; ; = A B

4) Calculul orientrilor

AP = AB +

PQ = AP 200g + P + P; QR = PQ 200g + Q + Q;

RC = QR 200g + R + R; CB = RC 200g + (control)BP = BA 1

BQ = BA (1 + 2); BR = BA (1 + 2 + 3);5) Determinarea coordonatelor folosind procedeul analitic

Figura 3.33 Determinarea punctelor P, Q, RControl: ecart max 15 20 cm

6) Determinarea coordonatelor prin procedeul trigonometric

Se determin p, q, r, d1, d2, d3 cu teorema sinusului aplicat n fiecare triunghi.

P dublu radiat din B i A

Q dublu radiat din P i B

Ecart 15 20 cm

R triplu radiat din B, Q i C

3.4. Intersecia lateral

Intersecia lateral este o metod de ndesire a punctelor combinat din intersecii nainte i napoi. Metoda folosete att vize orientate de la puncte vechi de coordonate cunoscute, ca la intersecia nainte, ct i vize duse de la punctul nou de determinat spre puncte vechi de coordonate cunoscute, ca la intersecia napoi.

Figura 3.34 Intersecia lateralDin 1 i 2 se vizeaz punctul P.

Din P se vizeaz 1, 3, 4 (punctul 2 nu se vede).

Coordonatele punctului P s-ar putea determina prin:

intersecie nainte a vizelor orientate 1 P i 2 P, dar determinarea dintr-o singur intersecie nu este suficient (nu este nici convenabil).

intersecie napoi folosind vizele P 1, P 4, P 3; ca verificare avem P-2 egal cu 2-P 200g. Acesta nu se utilizeaz deoarece nu ia n considerare i viza 2 P.

Pentru a nltura aceste inconveniente se procedeaz astfel:

se determin P-1 = 1-P 200g se calculeaz P-3 = P-1 + ; P-4 = P-1 se calculeaz 3-P = P-3 200g; 4-P = P-4 200g Se obin toate cele patru direcii orientate 1-P; 4-P; 3-P; 2-P

se grupeaz direciile astfel orientate dou cte dou nct s formeze unghiuri optime pentru interseciile nainte.

se efectueaz apoi din aceste vize calculul a dou, trei intersecii nainte.

Observaie: dac se dorete o precizie mai mare se folosete intersecia lateral. n acest caz avem nevoie de mai multe vize orientate din exterior spre punctul nou.3.4.1 Orientarea vizelor n staie.

Figura 3.35 Orientarea vizelor n staii de coordonate cunoscute se msoar direciile V1, V2, ,V6;

se calculeaz 5-1 i 5-6 (din coordonate);

se determin: Z5 = 5-1 V1; Z5 = 5-6 V6

; Pi = distana;

- se calculeaz orientrile vizelor: 5-2 = Zm + V25-3 = Zm + V3; 5-4 = Zm + V43.5. Intersecia liniar

Figura 3.36 Intersecia liniarPuncte de coordonate cunoscute: A(XA,YA); B(XB,YB)

Msurat n teren: DAP; DBP

Distanele pot fi msurate din punctele vechi spre punctul nou sau din punctul nou spre punctele vechi.

Se consider un cerc circumscris triunghiului ABP cu diametrul AB. De preferin unghiul = 100g. Procedeul devine tot mai inexact cu ct punctul P se afl mai aproape de baza AB. Din figur se remarc c punctul P poate fi n stnga sau n dreapta bazei AB, rezolvarea matematic fiind acceai.

Calcule:

Determinarea unghiului aplicnd teorema lui Pitagora generalizat:

n funcie de sensul de rotaie unghiul trebuie s primeasc semnul + sau AP = AB +

rezult:XP = XA + DAP cosAP; YP = YA + DAP sinAPPentru control trebuie s fie ndeplinite relaiile

Se poate verifica acum, funcie de semnul unghiului , dac punctul este n stnga sau n dreapta bazei.

= BP - BAn cazul n care s-a msurat suplimentar i distana DAB ntre punctele vechi, se poate calcula factorul de scar:

Urmnd acelai algoritm prezentat nainte se calculeaz coordonatele punctului nou cu relaiile:

XP = XA + (q DAP) cosAP; YP = YA + (q DAP) sinAPUn control suplimentar fa de cel prezentat mai nainte este:

3.6. Cteva aspecte privind precizia interioar i exterioar n reelele de sprijin

Dup cum este cunoscut eroarea medie a punctului

este o msur a preciziei care este cel mai adesea preferat pentru reelele de sprijin. Ea descrie, printr-o cifr precizia determinrii unui punct i este univoc determinat, ea nemodificndu-i valoarea n cazul transformrilor spre deosebire de erorile medii mx i my ale coordonatelor.

n compensrile reelelor prin metoda observaiilor indirecte aceste erori se calculeaz relativ uor pentru fiecare punct, coeficienii de pondere Qxx i Qyy pentru punctele noi se gsesc pe diagonala principal a matricei de cofactori.

pentru punctele reelei nivelitice

pentru punctele reelei planimetrice

pentru punctele reelei planimetrice

De regul, n multe domenii, reelele de sprijin locale sunt prelucrate ca reele libere. Aici nu sunt date puncte de sprijin vechi, neeronate, care s determine originea, orientarea i factorul de scar.

Fiecare punct din reea este considerat ca punct nou. nlturarea singularitii matricei de ecuaii normale care apare la compensarea prin metoda msurtorilor indirecte se face fie prin adugarea unor ecuaii de condiii suplimentare fie utiliznd pseudo-inversa Moore-Penrose.n reelele libere se pot calcula erorile medii pentru toate punctele reelei (nu sunt puncte vechi fr erori).

Se remarc faptul c erorile medii de determinare ale punctelor n aceste reele sunt semnificativ mai mici dect ntr-o reea constrns cu aceeai configuraie.

Este interesant de urmrit faptul c erorile medii ale punctelor cresc atunci cnd se reduce numrul punctelor de constrngere, iar cnd aceste constrngeri dispar n reea, erorile punctelor devin brusc semnificativ mai mici.

Explicaia acestui fenomen conduce la ntrebarea: care este semnificaia geometric a erorilor medii ale punctelor n reelele constrnse i n reelele libere?

a) Semnificaia geometric a erorii medii a unui punct nou ntr-o reea constrnsn reelele constrnse, pentru eroarea unui punct nou mP se pot da dou explicaii:

1. Prima rezult din diferena coordonatelor dintre un punct vechi (oarecare) i punctul nou.

Notm:XA, YA i HA coordonatele fr erori ale punctului vechi

Xi, Yi i Hi coordonatele cu erori ale punctului nou

Rezult:XAi = Xi XA; YAi = Yi YA; HAi = Hi HAConform legii de propagare a erorilor:

; ; cu:

;

Observaie: Eroarea medie mPi a unui punct nou este egal cu radicalul sumei erorilor medii ptratice a diferenelor de coordonate dintre punctul nou Pi i un punct vechi oarecare.

Figura 3.37 Coordonate polare2. Cea de-a doua semnificaie rezult din legtura dintre un punct vechi i punctul nou considerat exprimat prin coordonate polare DAi i Ai unde:

Aplicnd legea de propagare a erorilor obinem:

Este tiut c influena erorii orientrii acioneaz ca o eroare transversal corespunztoare distanei DAi.

Deci, eroarea medie total va fi:

Observaie: Eroarea medie total este obinut ca fiind radical din suma erorilor distanei i orientrii dintre punctul nou i un punct vechi oarecare.

b) Semnificaia geometric a erorii medii a unui punct ntr-o reea liberSemnificaia geometric de la punctul a) nu se mai poate folosi aici neavnd puncte vechi.

Dac se calculeaz ns diferena de nivel dintre un punct nou i centrul de greutate al altitudinilor unei reele cu np puncte noi obinem:

Grupnd convenabil termenii:

n cazul reelelor libere parantezele sunt egale cu zero:

;

Observaie: Eroarea medie a altitudinii unui punct nou ntr-o reea liber este egal cu eroarea medie a diferenei de nivel ntre punctul respectiv i centrul de greutate (cota medie) a tuturor punctelor din reea.

Reele planimetrice

Urmrind raionamentul de mai sus se obine asemntor:

;

i deci

;

Folosindu-ne de coordonate polare:

Observaie: ntr-o reea planimetric liber, eroarea medie a unui punct este egal cu radical din suma ptratelor erorilor medii a creterilor de coordonate dintre punctul considerat i centrul de greutate al reelei sau cu radical din suma ptratelor erorilor distanei i a orientrii dintre punctul considerat Pi i centrul de greutate.

Concluzii:

eroarea medie total a unui punct

are semnificaii total diferite n reele constrnse i n reele libere dei forma de exprimare este aceeai;

n reele cu aceeai configuraie prelucrate ca reea constrns i liber, comparaii ntre erorile medii totale nu au sens, ele au semnificaii geometrice diferite;

pentru a scoate n eviden aceast deosebire mp este denumit n reelele constrnse eroare medie exterioar a punctelor, iar n reelele libere eroare medie interioar a punctelor;

pe lng preciziile punctelor, n reelele locale adesea se mai prezint i precizia ntregii reele, pentru aceasta se folosete media ptratic a tuturor erorilor punctelor np din reea:

n reelele constrnse aceasta se numete eroare medie exterioar a reelei, iar n reelele libere eroare medie interioar a reelei.

Comparaii ntre aceste dou mrimi nu au sens, ele au semnificaii geometrice total diferite.

4. Transmiterea la sol a punctelor de triangulaie i ndesiren cazul n care nu exist vizibilitate (n orae, pe antiere, n terenuri cu acoperire mare i obstacole multe i nalte) i suntem silii s ne urcm pe edificii nalte (terasele cldirilor, turnuri, etc.) ca s putem da vizele necesare triangulaiei sau ndesirii punctelor, legarea drumuirilor de aceste puncte situate la nlime nu se mai poate face pe calea normal cunoscut.Este necesar n acest caz, ca prin msurtori i calcule suplimentare s se determine pe sol n apropierea punctului nalt, de pe cldire, cteva puncte (ex. 1, 2, 3,) prin coordonatele lor de care se vor lega apoi drumuirile.

Se ntlnesc frecvent n practic dou cazuri, dup cum punctele sunt staionabile sau nestaionabile.

4.1. Cazul cnd punctual transmis la sol este staionabil

Figura 4.1 Transmiterea la sol. Cazul cnd punctul este staionabilS presupunem c avem un punct de triangulaie P de coordonate cunoscute situat pe terasa unei cldiri. Avem astfel posibilitatea s facem staie cu teodolitul n acest punct. Din acest punct P se observ nc cel puin 1-2 puncte de triangulaie mai ndeprtate.

Pentru ca acest punct s serveasc la nchiderea drumuirilor, el trebuie transmis la sol. n acest scop efectum urmtoarele operaii de teren:

se aleg la nivelul terenului punctele 1, 2, 3 astfel nct ele s formeze cu punctul P dou triunghiuri aproximativ echilaterale i se borneaz aceste puncte;

se staioneaz cu teodolitul n punctul P, n punctele 1, 2, 3, i se msoar cu precizia corespunztoare ndesirii triangulaiei, unghiurile 1, 1, 1, 1 i 2, 2, 2, 2;

se msoar cu precizia corespunztoare laturile d1 i d2 ale celor dou triunghiuri;

La birou efectum urmtoarele operaii:

se determin n valorile lor orizontale, distanele d1 i d2 prin aplicarea tuturor coreciilor (tensiune, etalonare, temperatur i reducere la orizont). Dac se lucreaz n sistemul de coordonate geodezice se vor mai aplica la distanele d1 i d2 i coreciile de reducere la nivelul mrii, precum i coreciile prin care s se in seama de deformaiile cauzate de sistemul de proiecie adoptat.

se compenseaz unghiurile i, i, i n cele dou triunghiuri astfel:

n triunghiul I: 1' + 1' + 1' 200g = w1, unde 1', 1', 1' sunt ungiurile msurate

; ;

n triunghiul II: 2' + 2' + 2' 200g = w2

; ;

pentru controli + i + i = 200g se calculeaz orientrile i din coordonatele punctelor vechi (P, T1 i T2)

se calculeaz orientrile de la punctul P spre cele trei puncte de la sol astfel:

=>

=>

=>

cu teorema sinusului se calculeaz lungimile laturilor, adic r1, r2 i r3

;

r1 = M1 sin1; r2 = M1 sin1

;

r2 = M2 sin2; r3 = M2 sin2Dac ( r2- r2(( tolerana, se face media celor dou valori.

se calculeaz coordonatele punctelor 1,2 i 3 prin radiere din P(x, y) ca verificare trebuie s gsim din coordonatele calculate aceleai distane d1 i d2.

Coordonatele punctelor 1, 2 i 3 transmise la sol se mai pot calcula i prin drumuire plecnd din punctul P, pe traseul P 1 2 3 P la care n prealabil s-au transmis orientrile P1, 12; 23 i 3P fcndu-se compensarea respectiv pe orientri i pe coordonate.

Punctelor 1, 2 i 3 li se pot determina i cote prin nivelment geometric, de la un reper de nivelment sau prin nivelment trigonometric din punctul P n funcie de altitudinea punctului P, de unghiurile verticale i de distanele respective.

4.1.1. Exemplu

TRANSMITEREA LA SOL A COORDONATELORPUNCTULUI DE TRIANGULAIE SITUAT LA NLIME

A) Cazul cnd punctul este accesibil


a) Coordonatele punctului ce urmeaz s fie transmis la sol (59) i ale punctelor de orientare (77 i 55)

PctXY

599507,9008704,780

777006,2678873,495

5510133,1216959,121

b) Schia vizelor

Figura 4.2 Transmiterea la sol a coordonatelor punctului staionabil 59c) Unghiurile orizontale msurate n punctul 59 i n punctele de la sol 1, 2, 3.

PSPV Dir. msurate

5977309,9136

5536,0940

180,3550

2127,9193

3191,2111

159123,0580

236,6585

2334,9935

5997,8630

1163,8996

3590,0000

273,8383

1:

2:

59:

2:

3:

59:

59:

d)Distanele orizontale pe teren ntre punctele de la sol

Etape de calcul

1. Compensarea unghiurilor n triunghiurule 1 i 2

2. Calculul lungimilor laturilor

Triunghiul 1

Triunghiul 2

3.Calculul orientrilor de sprijin

4. Calculul orientrilor laturilor triunghiurilor

5. Calculul coordonatelor punctelor

DelalaD(m)

Coord.relativeCoord.absolutePct.

XY

59-----9507.98704.7859

591117.528366.155101.307-59.5809609.2078645.21

1292.75579.755729.00188.1059638.2088733.3052

23121.981150.8496-87.39785.0959550.8118818.43

359121.453277.0105-42.911-113.6199507.98704.78159

6. Controlul calculelor :

;

Coordonatele punctelor 1, 2, 3.

X1 = 9609.207 m; Y1 = 8645.200 m

X2 = 9638.208 m; Y2 = 8733.305 m

X3 = 9550.811 m; Y3 = 8818.400 m

4.2. Cazul cnd punctul transmis la sol este nestaionabil

Elemente cunoscute: coordonatele punctelor P, T1, T2.

Elemente msurate:a) i, i; 1 i 2b) a, b.

Rezolvare:

1) Calculul unghiurilor i :

1 = 200g (1 + 1);

2 = 200g (2 + 2)

2) Calculul lungimii laturilor triunghiurilor:

EMBED Equation.3 => =>

=> =>

Figura 4.3 Transmiterea la sol. Cazul cnd punctul este nestaionabil

3) Calculul distanelor PT1 i PT2 din coordonate:

4) Calculul unghiurilor 1 i 2

;

5) Calculul orientrilor spre punctele noi:

;

;

;

6) Calculul coordonatelor punctelor 1, 2, 3.

X1 = XP + P1 cosP-1; X2 = XP + P2 cosP-2; X3 = XP + P3 cosP-3Y1 = YP + P1 sinP-1; Y2 = YP + P2 sinP-2; Y3 = YP + P3 sinP-37) Control

;

(n limita a civa cm)

4.2.1. Exemplu

B) Cazul cnd punctul este inaccesibil


a) Coordonatele punctului ce urmeaz s fie transmis la sol (85)

PctXY

857536.6296177.881

637794.8717807.489

775902.6075663.156

b) Unghiurile orizontale msurate n punctele de la sol 4, 5, 6.

PSPV Dir. msurate

45119.3733

85194.5792

56371.4386

8535.3581

496.2594

63183.1732

73327.2589

685190.3527

5269.0543

5:

4:

6:

5:

5:

5:

c)Distanele orizontale pe teren ntre punctele staionate

d) Schia vizelor

Figura 4.4 Transmiterea la sol a coordonatelor punctului nestaionabil 851. Calculul unghiurilor

2. Calculul lungimilor laturilor

3. Calculul distanelor D1 i D2

4. Calculul unghiurilor

5. Calculul unghiurilor

6. Calculul orientrilor de sprijin

7. Calculul orientrilor laturilor triunghiurilor

8. Calculul coordonatelor punctelor 4, 5, 6 de la sol prin metoda radierii

DelalaD(m)

Coord. relativeCoord. absolutePct

XY

85-----7536.6296177.88185

4198.49771.939484.6878179.5257621.3166357.4064

5224.690135.8322-119.894190.0297416.7356367.9105

6200.682193.2111-199.54221.3607337.0876199.2416

9. Controlul calculelor:

5. Transcalcularea coordonatelorDeseori n regiunea unde se efectueaz msurtori lipsete reeaua geodezic. n acest caz lucrrile topografice se sprijin pe puncte ce au fost determinate:

printr-o triangulaie topografic local

prin intersecie

prin drumuire

toate determinate ntr-un sistem local.

Pentru ca aceste msurtori s fie reprezentate n acelai sistem unic al rii este necesar s se fac transcalcularea coordonatelor din sistem local n sistemul general.

Transcalcularea are dou aspecte:

Aspectul geodezic atunci cnd este vorba de puncte situate la distane mari la determinarea crora s-a inut seama de forma curb a Pmntului cazul triangulaiilor geodezice de ordin superior.

Transcalcularea punctelor geodezice de ordin superior dintr-un sistem de proiecie ntr-altul se face trecndu-se punctele de pe primul plan pe elipsoid i apoi pe cel de-al doilea plan.

Aceste transcalculri se vor studia la Cartografie.

Aspectul topografic atunci cnd este vorba de puncte care s-au calculat topografic adic n a cror determinare nu s-a inut seama de forma curb a Pmntului este cazul punctelor de triangulaie geodezic de ordin inferior precum i a punctelor determinate ntr-un sistem topografic local.

La acest aspect deosebim:

5.1. Transcalcularea geometric

Cnd avem puncte de drumuire pentru care se cunosc coordonatele ntr-un sistem oarecare, iar pe laturile de drumuire s-au fcut ridicri echerice.

Se dorete ca punctele de detaliu ridicate echeric s obin coordonate rectangulare n acelai sistem cu drumuirea.

Avem dou sisteme de axe de coordonate XOY i xoy.

Pentru punctul 101 i 102 se cunosc coordonate din calculul i compensarea drumuirii AB.

Pentru punctul P1 se cunosc coordonatele echerice x i y.

Se cer coordonatele X1 i Y1 n sistemul n care a fost calculat drumuirea.

= 100g 101-102

Figura 5.1 Transcalcularea geometricDin figura de mai sus rezult:

X1 = X0 + y1 sin + x1 cos; Y1 = Y0 + y1 cos - x1 sin;X0, Y0 coordonatele originii

unghiul de rotaie a axelor de coordonate

x1, y1 coordonatele echerice ale punctului P1X1, Y1 coordonatele topografice ale punctului P1 n sistemul drumuirii

5.1.1. Exemplu

TRANSCALCULAREA GEOMETRIC A COORDONATELOR

Elemente necesare rezolvrii problemei:

a) coordonatele punctelor 2 i 3determinate la transmiterea la sol a coordonatelor unui punct accesibil:

Nr.

pct.Coordonate topografice

XY

29368.2088733.305

39550.8118814.400

b) coordonatele echerice (abscise i ordonate)ale punctelor 10, 20 i 30 care urmeaz s fie transcalculate:

Nr.

pct.Coordonate echerice

xy

1021.8732.75

2021.8740.43

309.0452.17

c) schia reelei topografice locale:

Figura 5.2 Transcalcularea geometric a coordonatelor. Exemplu

Etape de calcul:

1) Calculul unghiului de rotaie a sistemului local ():

- orientarea axului de operaie

2) Transcalcularea propriu-zis - punct cu punct:

Pentru punctul 10:

Pentru punctul 20:

Pentru punctul 30:

Nr.

pct.Coordonate echericesincosCoordonate topografice

xyXY

2000.71648020.69760709638.2088733.305

1021.8732.759629.9998771.721

2021.8740.439624.4978777.179

309.0452.179594.5238763.222

2b) Transcalcularea propriu-zis - n serie:Se va parcurge traseul: 2-10-20-30-3

Pentru 2-10-20:

Pentru 20-30:

Pentru 30-3:

Nr.Pct.Coordonate echericesincosCoordonate topografice

xyXY

200-0.716480.6976079638.2088733.305

1021.8732.759629.9998771.821

21.8732.75------

1021.8732.759629.9998771.821

2021.8740.439624.4968777.179

07.68------

2021.8740.439624.6968777.179

309.0452.179594.5218763.223

-11.74------

30.91-------

309.0452.179594.5218763.223

20

(121.981)9550.809(control)8818.401(control)

-69.811------

9.04-------

5.2. Transcalcularea topografic

n aceast situaie punctul P1 este determinat n sistemul xoy i dorim coordonatele n sistemul XOY.

Sistemul de axe de coordonate pentru o lucrare topografic local difer de sistemul de axe rectangulare al unui sistem geodezic att n ce privete originea axelor de coordonate ct i n ceea ce privete orientarea lor.

ntre coordonatele X, Y i x, y ale punctului P1 exist relaia de mai sus care scris n general pentru punctul i are forma:

Xi = X0 + xi cos + yi sin; Yi = Y0 + yi cos xi sin

Transcalcularea din sistem local n sistem geodezic presupune urmtoarele faze de teren i de birou:

a) Se determin prin operaiuni de teren i birou un numr de puncte de triangulaie local n sistem geodezic. Deci un numr de puncte vor avea coordonate duble n sistem local i n sistem geodezic.

b) Se calculeaz unghiul mediu de rotaie al axelor

Figura 5.3 Transcalcularea topograficPentru dou puncte: ;

Unghiul de rotaie a axelor va fi: .n cazul mai multor puncte vom avea 1i i se va lua media acestor valori egal cu unghiul mediu de rotaie a axelor.

c) Se calculeaz coeficientul mediu de deformaie. Calculnd distana din coordonatele topografice i geodezice ntre aceleai puncte vom avea: i .

Perechile de distane nu sunt egale dei pe teren avem aceeai distan, pentru c:

punctele au fost determinate cu precizii diferite n cele dou sisteme de axe de coordonate

datorit deformaiilor specifice sistemelor de proiecie

Va trebui s corectm coordonatele locale n aa fel nct s obinem distane egale cu cele obinute din coordonate geodezice.

Aceast corectare se face prin calcularea unui coeficient mediu de deformaie cu care se nmulesc distanele din coordonatele sistemului local (punerea n scar).

Calculul coeficientului K: DG = K . DT, DG = distana din coordonate geodezice, DT = distana din coordonate topografice.Se calculeaz mai muli coeficieni Ki obinndu-se un coeficient Kmediu.

Astfel coordonatele relative xi i yi ale punctelor determinate n sistem local se nmulesc cu Kmediu pentru a obine coordonatele Xi i Yi din sistem geodezic.

d) Calculul coordonatelor geodezice ale originii o a sistemului local

Coordonatele locale se nmulesc cu K (Kmediu)

Xi = X0 + (xi.K) cos + (yi.K) sin; Yi = Y0 + (yi.K) cos (xi.K) sin

X0 = Xi - (xi.K) cos - (yi.K) sin; Y0 = Yi - (yi.K) cos + (xi.K) sin

Pentru fiecare punct cu coordonate duble va corespunde o pereche de coordonate X0, Y0 (geodezice) ale originii sistemului local.

Se va lua media pentru aceste coordonate i

e) Calculul coordonatelor geodezice ale punctelor din sistemul local

Presupunem c avem 2 puncte:

X1 = X0 + x1 (K cos) + y1 (K sin)

Y1 = Y0 + y1 (K cos) x1 (K sin)

X2 = X0 + x2 (K cos) + y2 (K sin)

Y2 = Y0 + y2 (K cos) x2 (K sin)

Scdem relaiile de mai sus:

X2 X1 = X0 X0 + (x2 x1) (K cos) + (y2 y1) (K sin)

Y2 Y1 = Y0 Y0 + (y2 y1) (K cos) (x2 x1) (K sin)

sau:

X2 = X1 + (x2 x1) (K cos) + (y2 y1) (K sin)

Y2 = Y1 + (y2 y1) (K cos) (x2 x1) (K sin)

Se poate face calculul n serie din punct n punct

f) Calculul simplificat al coeficienilor K sin i K cos

Din prima relaie de sus obinem:

(X2 X1) - (x2 x1) K cos = (y2 y1) K sin =>

a)

Din a doua relaie obinem:

(Y2 Y1) - (y2 y1) K cos = - (x2 x1) K sin =>

b)

egalm a) = b) =>

=

(X2 X1)(x2 x1) - (x2 x1)2 K cos = - (Y2 Y1)(y2 y1) + (y2 y1)2 K cos

K cos [(y2 y1)2 + (x2 x1)2] = (X2 X1)(x2 x1) + (Y2 Y1)(y2 y1)

Notm:X2 X1 = X; Y2 Y1 = Y; y2 y1 = y; x2 x1 = x

=

=

Pentru fiecare pereche de puncte cu coordonate duble se obin valori apropiate pentru coeficienii K sin i K cos, iar pentru transcalculare se ia media acestora.

5.2.1. Exemplu

TRANSCALCULAREA TOPOGRAFIC A COORDONATELOR

1. Tratare clasic


a) coordonatele punctelor comune ambelor sisteme (56, 59, 73, 77):

Nr.

pct.Coordonate topograficeCoordonate geodezice

xyXY

565916.0229648.995335687.920588531.500

598704.7809507.900335653.629591323.587

735663.1565902.607339442.755588514.371

778873.4957006.267338139.707591649.045

b) coordonatele punctelor din reeaua topografic localcare urmeaz s fie transcalculate (55, 63, 85, 92):

Nr.


xy

556959.12110133.111

637807.4897794.871

856177.8817536.629

927560.9126058.081


Figura 5.4 Transcalcularea topografic. Tratare clasic. ExempluEtape de calcul:

1) Calculul coeficienilor ksin i kcos:

Nr.pct.Coordonate geodeziceCoordonate topograficeksinkcos

XYxy

59335653.629591323.5878704.7809507.900-0.99801678-0.0627898

73339442.755588514.3715663.1565902.607

3789.126-2809.216-3041.624-3605.293

56335687.920588531.5005916.0229648.995-0.99801683-0.06279010

77338139.707591649.0458873.4957006.267

2451.7873117.5452957.473-2642.728

Medii-0.99801680-0.06278997

2) Transcalcularea coordonatelor punctelor din sistemul local n sistemul geodezic

- n serie

unde:

Se parcurge traseul: 59-55-63-92-85-73 (control)

Pct.Coordonate topograficeK sin K cos Coordonate geodezicePct.

xyXY

12345678

598704.7809507.900-0.998016805-0.062789972335653.629591323.58759

556959.12110133.111335139.268589542.13355

-1745.659625.211------

556959.12110133.111335139.268589542.13355

637807.4897794.871337419.602590535.63763

848.368-2338.24------

637807.4897794.871337419.602590535.63763

927560.9126058.081339168.438590398.60292

-246.577-1736.79------

927560.9126058.081339168.438590398.60292

856177.8817536.629337779.655588925.47585

-1383.0311478.548------

856177.8817536.629337779.655588925.47585

735663.1565902.607339442.755588514.37173

-514.725-1634.022------

5.3. Transcalcularea din sistem topografic n sistem geodezic prin utilizarea teoriei celor mai mici ptrate

Considerm n puncte de coordonate cunoscute n ambele sisteme XOY i xoy.

Presupunem c mai avem j puncte care au coordonate numai n sistemul xoy i dorim s determinm coordonatele acestor puncte n sistemul XOY.

Pornim de la coordonatele de transcalcul cunoscute:

X = X0 + x K cos + y K sin; Y = Y0 + y K cos x K sin(2)

Formulele (2) pun n eviden rototranslaia i coeficientul de scar.

Notm:K cos = a; K sin = b; X0 = c; Y0 = d

i obinem:

X = ax + by + c; Y = - bx + ay + d (3)

n sistemul (3) avem 4 necunoscute deci la limit este nevoie de dou puncte comune care genereaz 4 ecuaii. Dac avem mai mult de 2 puncte comune atunci valorile a, b, c, d se deduc prin metoda celor mai mici ptrate.

Sistemul (3) devine:

axi + byi + c Xi = vxi; -bxi + ayi + d Yi = vyi i = 1,2,n;unde n numrul de puncte comune; vom avea 2n ecuaii pe care le vom scrie.Tratare matriceal

Determinantul are valoarea 1 => transformare afin

minim

minim

Condiia de minim:

; ; ;

Sistemul este simetric, iar scris sub forma matriceal este(

.=

Prin rezolvare se determin necunoscutele a, b, c, d. n unele cazuri se pot face simplificri pentru determinarea coeficienilor a, b, c, d dac se calculeaz centrul de greutate al punctelor comune i apoi valorile xi i yi ca diferene dintre coordonatele punctelor rspective i coordonatele centrului de greutate:

Coordonatele centrului de greutate(

;

Coordonate baricentrice(

n acest caz xi = 0; yi = 0 i deci matricea coeficienilor sistemului normal va avea forma:

N = .

Rezultnd valorile estimate ale parametrilor a, b, c, d:

;

;

Pentru parametrii a, b, c, d se pot determina i erorile cu care acetia sunt determinai.

Matricea de covarian este de forma:

N-1 = .

, 2n = numrul total de ecuaii

redundana 4 = numrul necesar de ecuaii

5.3.1. Exemplu

TRANSCALCULAREA TOPOGRAFIC A COORDONATELOR

2. Tratare matriceal


a) coordonatele punctelor comune ambelor sisteme (56, 59, 73, 77):

Nr.

pct.Coordonate topograficeCoordonate geodezice

xyXY

565916.0229648.995335687.920588531.500

598704.7809507.900335653.629591323.587

735663.1565902.607339442.755588514.371

778873.4957006.267338139.707591649.045

b) coordonatele punctelor din reeaua topografic localcare urmeaz s fie transcalculate (55, 63, 85, 92):

Nr.


xy

556959.12110133.111

637807.4897794.871

856177.8817536.629

927560.9126058.081


Figura 5.5 Transcalcularea topografic. Tratare matriceal. ExempluEtape de calcul:

1) Calculul coordonatelor centrului de greutate al punctelor comune:

;xi, yi - coordonatele topografice ale punctelor comune ambelor sisteme;

;

- coordonatele centrului de greutate;n- numrul punctelor comune (n = 4).

2) Calculul coordonatelor reduse la centrul de greutate:

;

;

- coordonatele punctelor comune reduse la centrul de greutate;Control:

3) Calculul coeficienilor a, b i al constantelor c, d (necunoscute):

Sistemul normal scris sub form matriceal este:

unde: a = kcos; b = ksin;

c = X0; d = Y0

;

;

;

Nr.Pct.Coordonate geodeziceCoordonate topograficeCoord.centrului de greutateCoordonate reduse la centrul de greutateS,Sa, Sba, b,c, d

XiYixiyi

56335687.920588531.5005916.0229648.9957289.3638016.442-1373.3421632.55319421922.39,-19383404.73, -1219501.445-0.062789945, -0.998016795,337231.0, 590004.6258

59335653.629591323.5878704.7809507.9001415.4171491.458

73339442.755588514.3715663.1565902.607-1626.207-2113.835

77338139.707591649.0458873.4957006.2671584.132-1010.176

Topografie Generala-Onose

Documents

Transcript of Topografie Generala-Onose