SORIN PATER

TTOOLLEERRAANNEE

II

CCOONNTTRROOLL DDIIMMEENNSSIIOONNAALL

Editura Universitii din Oradea

CAPITOLUL I

Precizia dimensional

Fiecrei piese i sunt proprii anumite suprafee care urmeaz s ajung n contact prin

asamblare. Aceste piese sunt caracterizate de o anumit rugozitate sau netezime.

Pentru a cunoate precizia dimensional a unei piese avem nevoie de o serie de noiuni:

1. dimensiune un numr care exprim n unitatea de msur aleas valoarea numeric a

unei lungimi; dimensiunea nscris pe desen se numete cot;

dimensiune efectiv este dimensiunea unui element sau a unei piese obinut prin

msurare cu un mijloc de msurare care are precizia corespunztoare;

dimensiune limit sunt acele dimensiuni extreme admise pentru care dimensiunea efectiv

trebuie s se ncadreze ntre dimensiunile limit suprafeei (max.) i dimensiunii limit

inferioar (min.);

dimensiune maxim este cea mai mare dimensiune limit

dimensiune minim este cea mai mic dimensiune limit;

dimensiune nominal este dimensiunea fa de care se definesc dimensiunile limit:

Ae= abatere efectiv

As= abatere superioar

Ai= abatere inferioar

DM= N+As Dm= N+Ai

De= N+Ae

n cadrul preciziei dimensionale vom discuta totalitatea pieselor existente pe o main n

dou categorii.

a. piese de tip alezaj - sunt acele piese caracteristice prin dimensiunile sale externe, sunt ntotdeauna piese

cuprinztoare

- alezajele se simbolizeaz ntotdeauna cu litere mari

b. piese de tip arbore - prin arbore se nelege o pies caracteristic prin dimensiunile sale exterioare i care este

ntotdeauna piesa cuprins

- arborii se simbolizeaz ntotdeauna cu litere mici

dM=N+as

dm=N+ai

de=N+ae

t= dMdm= as- ai>0

Abaterea reprezint diferena algebric dintre DM, Dm, De i N.

Se definete ca toleran diferena algebric dintre DM i Dm a alezajelor i arborilor.

T= DM Dm =As-Ai>0

t= dM dm=as ai>0

Cmp de toleran reprezint zona cuprins ntre dimensiunea maxim i dimensiunea

minim n reprezentare grafic:

1

Se numete ajustaj asamblarea ntre dou piese (arbore i alezaj) care au aceiai

dimensiune nominal.

Relaia existent ntre cele dou piese se exprim prin diferena dintre dimensiunile

acestora nainte de montare.

Ajustajele se clasific n:

a. ajustaj de tip alezaj unitar pentru care dimensiunile alezajului sunt constante de referin

i Ai=0;

b. ajustaj de tip arbore unitar care presupune dimensiunile arborelui ca referin pentru

care aS=0.

Ex.

Se d ajustajul arbore alezaj sub forma :arborealezaj +

+011.0018.0

41.00

2424

N=24 mm DM=24,041 mm

As=0,041 mm Dm=24 mm

Ai=0 mm T=24,011 mm

as=0,011 mm dM=24,011 mm

ai=-0,019 mm dm=23,981 mm

t=0,03 mm

Linia care corespunde lui N s.n. linie de 0 (zero). Toate abaterile situate deasupra sunt pozitive iar cele situate sub sunt negative.

Jocul

elaia existent ntr-o pies de tip alezaj si una de tip arbore pentru care

dimens

DmdM n repr n raport cu linia de 0 cmpul de tolerane al alezajului va fi situat

deasup

n mod similar poate fi definit jocul ntr-un sistem cu ajustaj cu arbore unitar n care

cmpul

Este r

iunea minim a alezajului este mai mare ntotdeauna fa de dimensiunea maxim a

arborelui.

ezentare

ra cmpului de toleran al arborelui

de toleran pentru ajustaje va fi deasupra cmpului de toleran al arborelui.

Jocul are la rndul lui dou valori limit care sunt jocul maxim(JM) i jocul minim (Jm).

staj cu joc, jocul maxim trebuie s fie mai mare dect zero.

Jocul minim este diferen

justaj cu joc, jocul minim trebuie s fie mai mare sau egal cu zero.

Jocul maxim este diferena algebric dintre DM i dm:

JM=DM-dm.

Pentru un aju

JM=DM-dm=N+As-N-ai=As-ai>0

a algebric ntre Dm i dM.

Jm=Dm-dm

Pentru un a

JM=DM-dm=N+Ai-N-as=As-ai>0

Prin definiie tolerana aj ezajului arborelui:

Tolerana jocului se exprim prin di bric dintre JM i Jm.

Strngerea

Se definete ca valoarea existent n urma asamblrii ntre un alezaj i un arbore pentru care

dmDM

Pentru un ajustaj cu strngere poziia cmpului de toleran a arborelui este ntotdeauna deasupra

Ajustajele

cu str

strngerea

ustajului este suma toleranelor al

Taj=t+T>0

ferena alge

Tj=JM-Jm>0

dimensiunea minim a arborelui este ntotdeauna mai mare fa de dimensiunea maxim a

alezajului.

cmpului de toleran a alezajului att n sistem alezaj unitar ct i n sistem arbore unitar.

ngere au

ntotdeauna dou

valori limit:

strngerea

maxim i

minim.

Se definete strngerea maxim ca fiind diferena algebric dintre dimensiunea maxim a

arborelui i dimensiunea minim a alezajului.

SM=dM-Dm=as-Ai>0

Pentru un ajustaj cu strngere SM>0

Strngerea minim este diferena algebric dintre dimensiunea minim a arborelui i

dimensiunea maxim a alezajului

Sm=dm-DM=ai-As0

Pentru un ajustaj cu strngere Sm0

Tolerana strngerii este diferena algebric dintre maxim i minim

Ts=SM-Sm>0

Jm=- SM

JM=- Sm

Ajustajul intermediar

Este acel ajustaj care nu este nici cu joc nici cu strngere sau este i cu joc i cu strngere.

Jm>0 Jm>0

JM0

SM>0 SM>0

Sm0

Pentru ajustajul intermediar poziia cmpul de toleran se suprapune pe o anumit poriune att

pentru sistemul alezaj unitar ct si pentru sistemul arbore unitar.

r

Simboliz

area alezajelo

Alezajele

se simbolizeaz

cu un simbol

lateral, cu majuscul urmat de un simbol numeric . simbolul lateral reprezint poziia cmpului

de toleran n raport cu dimensiunea nominal sau litera 0.

Simbolizarea cmpului de toleran corespunztoare alezajului unitar:

Simbolul numeric reprezint clasa de precizie n care s-a executat piesa.

Clasele de precizie sunt de la 0 la 15 ns uzual se utilizeaz clasele de precizie de la 3 la

12. precizia cea mai mare se obine pentru clasa 0.

Simbolizarea arborilor

Arborii se simbolizeaz cu un simbol literar cu litere mici de la a la z i corespund cu cmpul de

toleran pentru un ajustaj n sistem arbore unitar.

Domenii de aplicare a ajustajelor

1. Ajustaje cu jocuri foarte mari Se utilizeaz foarte rar deoarece datorit valorii mari a toleranelor poate s apar o

diferen mai mare de 1 mm cea ce conduce la dimensiuni nominale diferite ntre arbore i

alezaj.

H8/a9; H11/a11; H8/b9; H11/b11; h12/b12

2. Ajustaje cu jocuri mari Se utilizeaz pentru asigurarea unei elasticiti necesare pieselor la solicitri mari i medii de

lucru nefavorabile; de exemplu mainile agricole.

Aceste ajustaje asigur o montare i demontare uoar iar jocurile acestora se pot reduce n cazul

n care coeficientul de dilatare al arborelui este mai mare dect al alezajului.

H7/c8; H8/c9; H11/c11.

3. Ajustaje cu jocuri mijlocii Se utilizeaz pentru asmblrimobile la mainile grele; de exemplu la laminoare, maini de

ndreptat sau lagrele de alunecare ale turbinelor, n cazul roilor libere montate pe arbore

H7/d8; H8/d9; H9/d10; H10/d10; H11/D11

4. Ajustaje cu jocuri medii Se utilizeaz n cadrul lagrelor de alunecare cu lubrificare abundent sau n cazul unor arbori

montai n mai mult de dou lagre.

H6/e7; H7/e8; H8/e9

5. Ajustaje cu jocuri mici Se utilizeaz pentru arbori fixai n lagrede alunecare cu lubrificare normal cu ulei sau unsoare

care funcioneaz la temperaturi foarte ridicat; exemplu: lagrele reductoarelor de turaie sau

lagrele motoarelor respectiv mecanisme cu culis oscilant.

H6/f6; H7/f6; H6/f7; H7/f7; H8/f8; H9/f9

6. Ajustaje cu jocuri foarte mici Se utilizeaz la asamblrile mobile ale mecanismelor de precizie solicitate la fore mici sau n

cazul unor asamblri fixe.

H6/h5; H7/g6

7. Ajustaje cu joc minim (egal cu zero) i joc probabil foarte mic Aceste ajustaje se utilizeaz la asamblrile fixe pentru fiecare element. Se folosete pentru

asamblrile mobile cu o aplice foarte precis sau pentru lanurile de dimensiuni care sunt

niruite:

H6/h5; H7/h6; H8/h8; H8/h7; H9/h9; H10/h10; H11/h11; H12/h12

8. Ajustaje intermediare cu joc probabil foarte mic sau inexistent

Se utilizeaz la asamblrile fixe, n cadrul asamblrilor cu joc foarte mic care necesit demontare

i montare.

H6/f5; H7/j6; H8/j7

9. Ajustaje intermediare cu strngere probabil mic

Se utilizeaz la asamblrile precise cu montaj uor sau n cazul asamblrilor care necesit lipsa

apariiilor vibraiilor.

H6/k5; H7/k6; H8/k7

10. Ajustaje intermediare cu strngere probabil mai mare

Se utilizeaz la asamblrile care necesit o for de montare redus sau n cazul asamblrilor

foarte precise care s aib jocul limitat la 0.

H6/m5; H7/m6; H8/h7

11. Ajustaje cu strngeri foarte mici i ajustaje intermediare

Se utilizeaz la asamblrile foarte precise fr joc dar cu strngere nu foarte mare sau la

asamblrile cu dimensiuni relativ mari unde strngerea crete datorit abaterilor de form ale

celor 2 forme.

H6/n5; H7/n6; H8/n8

12. Ajustaje cu strngeri mici

Se utilizeaz la fixarea pieselor cu solicitri reduse sau n cazul ajustajelor care necesit

demontare i montare fr distrugerea elementelor asamblate.

H6/p5; H7/p6

13. Ajustaje cu strngeri mijlocii sau intermediare n cazul dimensiunilor

nominale mai mici de 10 mm

Se utilizeaz pentru fixarea cu strngere medie a pieselor din materiale feroase i cu strngere

relativ mic pentru piesele din matereale neferoase.

H6/r5; H7/r6; H8/r7

14. Ajustaje cu strngeri mari

Aceste ajustaje se utilizeaz n cazul asamblrilor care necesit nclzirea alezajului i rcirea

arborelui.

H6/s5; H7/s6; H8/s7

15. Ajustaje cu strngeri foarte mari

Se utilizeaz n cazul asamblrilor pieselor din oel i font supuse la solicitri mari care asigur

transmiterea unor fore i momente relativ mari fr a necesita rigidizarea suplimentar a celor

dou piese

H6/t5; H7/t6

16. Ajustaje cu strngeri extrem de mari

Se utilizeaz pentru ajustajele la care montarea se face cu ajutorul preselor i care necesit

nclzirea alezajului i rcirea arborelui.

n urma acestei asamblri apare un ajustaj care poate s transmit momente foarte mari iar

asamblarea este nedemontabil

H6/u5; H7/u6; H8/u8

17. Ajustaje cu strngere cu caracter special

Se utilizeaz foarte rar n situaii speciale n cazul n care strngerea minim trebuie s asigure

transmiterea unor fore i momente foarte mari.

H6/v5; H7/y6; H8/z7

CAPITOLUL II

PRECIZIA PRELUCRRII MECANICE

2.1. Precizia prelucrrii pe maini-unelte

Piesele utilizate n construcia de maini pot fi executate prin

matriare, prin turnare, prin achiere, etc.

Calitatea unei piese finite depinde de valorile efective ale

parametrilor ei geometrici, fizico-mecanici i este determinat, n principal,

de precizia de prelucrare.

n procesul de prelucrare a semifabricatelor pe maini-unelte, n

vederea transformrii lor n piese finite, intervin o serie de factori

perturbatori, care mpiedic obinerea acestora, aa cum au fost prevzute de

proiectant. Prin urmare, organele de maini (piesele finite) nu pot fi obinute

riguros, aa cum au fost concepute, ci cu o serie de abateri mai mici sau mai

mari, dar inerente.

Principalii factori perturbatori, care intervin n procesul de prelucrare

prin achiere, sunt:

dimensiunile variabile ale semifabricatelor; neomogenitatea materialului prelucrat; rigiditatea insuficient a sistemului MUSDP; temperatura variabil care apare n procesul de

prelucrare;

uzura sculelor achietoare; instabilitatea reglajului poziional scul-pies;

7

imprecizii i nestabiliti n reglajul cinematic al mainii i alii.

Prin precizia de prelucrare se nelege gradul de coresponden

ntre elementele geometrice ale piesei finite, obinute n urma prelucrrii i

aceleai elemente, prevzute de proiectant pe desen.

Cunoaterea abaterilor de prelucrare i a cauzelor care le determin,

d posibilitatea aprecierii preciziei organelor de maini i creterii acestei

precizii, prin diminuarea efectelor factorilor perturbatori.

Abaterile de prelucrare se mpart n:

1. abaterile de la dimensiune

2. abaterile de la forma geometric, care pot fi

macrogeometrice; ondulaii; microgeometrice;

3. abateri de la poziia reciproc.

2.2. Precizia formei geometrice i a poziiei reciproce

Piesele executate n construcia de maini prezint abateri de form

(abateri de ordinul unu), astfel c formele lor reale sau efective difer de

cele geometrice, teoretice. La rndul lor, diversele elemente ale unei piese

sau ale pieselor n cadrul unui ansamblu pot avea abateri de la poziiile lor

teoretice (nominale) date prin desenele de execuie.

Pentru a asigura buna funcionare, n condiii de interschimbabilitate,

trebuie ca aceste abateri s se nscrie n anumite limite (abateri limit

respectiv tolerane de form sau poziie).

8

Abaterea de form AF este abaterea formei elementului (suprafa

sau profil) real, respectiv efectiv, fa de ceea a elementului adiacent

corespunztor. Mrimea ei reprezint distan maxim dintre elementul

efectiv i cel adiacent corespunztor.

Profilul adiacent este profilul de aceeai form cu cel dat, tangent la

profilul real (efectiv) dinspre partea exterioar a materialului piesei i aezat

astfel nct distana maxim dintre acestea s aib o valoare minim.

Suprafa adiacent este suprafaa de aceeai form cu ceea dat,

tangent la suprafaa real (efectiv) dinspre partea exterioara a materialului

piesei aezat astfel nct distana maxim dintre acestea s aib o valoare

minim.

Lungimea de referin este lungimea profilului n limitele cruia se

desfoar abaterea de form sau poziie i reprezint o parte sau toat

lungimea profilului real (efectiv).

Suprafaa de referin este suprafaa n limitele creia se determin

abaterea de form sau poziie i reprezint toat suprafa piesei sau o

poriune determinat din aceasta.

Abaterea limit de form AFlim este valoarea maxim admis a

abaterii de form.

Tolerana de form TF este egal cu abaterea limit de form n

valoare absolut (abaterea inferioar fiind zero).

Abarerea de poziie AP este abaterea de la poziia nominal a unui

element (suprafa, ax, profil, plan de simetrie etc.) fa de baza de

referin sau abaterea de la poziia nominal reciproc a elementelor

respective. La aprecierea abaterilor de poziie (cu excepia btilor radiale i

frontale) nu se iau n consideraie abaterile de form ale profilului sau

9

suprafeei. Din aceast cauz, la stabilirea lor, elementele reale se nlocuiesc

prin elemente adiacente corespunztoare. De asemenea, ca centre i axe ale

elememtelor reale se iau cele ale elementelor adiacente corespunztoare.

Poziia nominal a unui element geometric este poziia acestuia

determinat prin cote nominale lineare sau unghiulare fa de baza de

referin sau fa de un alt element.

Baza de referin este acel element (al piesei sau al altei piese din

ansamblu) fa de care se determin poziia nominal a elementului

considerat.

Abaterea limit de poziie APlim este valoarea maxim admis

(pozitiv sau negativ) a abaterii de poziie.

Tolerana de poziie TP este zona determinat de abaterile limit de

poziie i poate fi:

- dependent, cnd mrimea acesteia depinde, n afar de valorile

prescrise pentru aceast toleran , i de abaterile dimensionale efective ale

altor elemente ale piesei;

- independent, cnd mrimea acesteia este determinat numai prin

abaterile de poziie prescrise.

n continuare sunt prezentate cteva dintre cele mai reprezentative abateri

de form, respectiv de poziie:

2.2.1. Abateri de la forma geometric

Abaterea de la rectilinitate (nerectilinitate) n plan - AFr: este

distana maxim ntre dreapta adiacent i linia (dreapta) efectiv, n limitele

lungimii de referin.

10

Forme simple de nerectilinitate (fig.1.1):

- concavitatea, la care abaterile liniei efective cresc de la capete - spre mijloc; - convexitatea, la care abaterile liniei efective scad de la capete spre

mijloc;

- nclinarea, la care abaterile liniei efective cresc (sau scad) de la un capt la cellalt.

Fig.2.1

Abaterea de la rectilinitate (nerectilinitate) n spaiu AFr: este

diametrul cilindrului adiacent, de raz minim circumscris liniei (drepte)

efective n spaiu, n limitele lungimii de referin. Aceasta se msoar, n

mod obinuit, ca i nerectilinitatea n plan, prin proiectarea liniei (dreptei)

efective pe un anumit plan, dau pe diferite planuri geometrice (fig.1.2).

11

Fig.2.2

Abaterea de la planeitate (neplaneitate) AFp: este distana maxim

msurat ntre suprafaa plan efectiv i planul adiacent, n limitele

suprafeei de referin.

Forme simple de neplaneitate (fig.2.3):

- concavitatea, la care distana dintre planul adiacent i suprafaa

plan efectiv crete de la marginile suprafeei spre mijloc;

- convexitatea, la care distana dintre planul adiacent i suprafaa

plan efectiv se micoreaz de la marginile suprafeei spre mijloc;

- nclinarea, la care distana dintre planul adiacent i suprafaa plan efectiv crete (sau scade) de la un capt la cellalt.

Fig.2.3

12

Abaterea de la circularitate (necircularitate) (abaterea de la forma

teoretic ntr-o seciune perpendicular pe axa unei piese cilindrice) - AFc:

este distana maxim msurat ntre profilul (cercul) efectiv i cercul

adiacent.

Forme simple de necircularitate (fig.2.4):

- ovalitatea, la care profilul efectiv este asemntor cu un oval,

diametrul maxim i cel minim fiind aproximativ perpendiculare. Valoarea

ovalitii se msoar ca diferena ntre diametrele maxim i minim ale

profilului efectiv, msurate n aceeai seciune.

- poligonalitatea, la care profilul efectiv are forma unei figuri cu

mai multe laturi.

Fig.2.4

Abateri de la cilindricitate (necilindricitate) (abaterile de la

rectilinitatea generatoarelor) AFl: este distana maxim msurat ntre

cilindrul adiacent i suprafaa (cilindric) efectiv, n limitele lungimii de

referin.

Forme simple de necilindricitate(fig.2.5):

13

- abaterea profilului longitudinal, care cuprinde toate abaterile de

form n aceast seciune. Profilul adiacent este format din drepte paralele,

tangente la profilul efectiv;

- curbarea, la care linia centrelor seciunilor transversale este curb;

- conicitatea, la care generatoarele n seciune longitudinal nu sunt

drepte paralele;

- forma de butoi, la care generatoarele sunt linii convexe;

- forma de a, la care generatoarele sunt linii concave. Conicitatea la

forma de butoi se msoar ca diferena ntre diametrul maxim i cel minim

din aceeai seciune longitudinal.

Fig.2.5

Abaterea de la forma dat a profilului AFf : este distana maxim

ntre profilul efectiv i profilul adiacent, de form dat, msurat

perpendicular pe aceasta, n limitele lungimii de referin.

14

Fig.2.6

Abaterea de la forma dat a suprafeei AFs : este distana maxim

ntre suprafaa efectiv i cea adiacent de form dat, msurat

perpendicular pe aceasta, n limitele suprafeei de referin (fig.2.6)

2.2.2. Abateri de poziie

Abaterea de la poziia nominal dat APp : este distana maxim

ntre poziia elementului adiacent respectiv (punct, dreapt, plan, etc.) i

poziia sa nominal msurat n limitele lungimii de referin.

Cazurile particulare mai importante (fig.2.7):

- un punct pe o dreapt;

- un punct n plan. Aceast abatere se msoar ca distana n plan,

ntre poziia real i ceea teoretic; uneori se poate verifica prin coordonate

rectangulare sau polare;

- un punct n spaiu: abaterea se msoar ca distana n spaiu ntre

poziia real i ceea teoretic. Aici abaterile se pot verifica pe trei direcii

date sau n coordonate cilindrice.

- o dreapt n plan. Abaterea se msoar ca distana maxim

msurat ntre dreapta nominal i ceea adiacent n limitele lungimii de

referin.

15

- o dreapt n spaiu. Aceast abatere se verific prin coordonate.

De obicei se verific abaterile pe dou direcii date, lundu-se ca abatere

distana maxim msurat n cadrul lungimii de referin.

- un plan n spaiu.

Fig.2.7

Abaterea de la paralelism (neparalelism) a dou drepte sau plane

APl : este diferena dintre distanele maxim i minim dintre dreptele

adiacente msurat n limitele lungimii de referin.

Cazuri particulare importante (fig.2.8):

- neparalelism ntre dou drepte reale n plan, este diferena

dintre dreptele adiacente respective n limitele lungimii de referin.

- neparalelism a dou drepte reale n spaiu. Acesta se msoar de

obicei prin neparalelismul dreptelor adiacente la proieciile acestor drepte pe

dou plane perpendiculare.

16

- neparalelismul a dou plane reale, este diferena dintre distanele

maxime i minime dintre plane adiacente la suprafeele plane reale, n

limitele suprafeei de referin.

- neparalelismul a dou suprafee cilindrice reale, se msoar prin

neparalelismul axelor suprafeelor adiacente respective n limitele lungimii

de referin.

- neparalelismul ntre o suprafa cilindric real i un plan real,

este diferena ntre distanele maxim i minim dintre axa cilindrului

adiacent la cel real i planul adiacent la cel n limitele lungimii de referin.

Fig.2.8

Abaterea de la coaxialitate (necoaxialitate) APc : este distana

maxim dintre axa suprafeei adiacente considerate i axa dat (ca baz de

referin) msurat n limitele lungimii de referin. Axa de baz poate fi o

ax teoretic (pentru suprafaa teoretic), axa unei suprafee adiacente sau o

ax comun pentru mai multe suprafee coaxiale.

17

Cazuri particulare importante (fig.2.9):

- necoaxialitatea paralel, atunci cnd axele corpurilor sunt deplasate

paralel.

- necoaxialitatea unghiular, cnd axele corpurilor sunt concurente.

- necoaxialitatea cu axe ncruciate, cnd axele corpurilor sunt coplanare.

Fig.2.9

Abaterea de la concentricitate, a dou cercuri, poligoane, sfere, etc.

Obs.: aceasta este un caz particular al necoaxialitii cnd lungimea de

referin este zero APc: este distana dintre centrul cercului adiacent al

suprafeei considerate i baz de referin.

Baza de referin poate fi (fig.2.10):

- centrul unui cerc adiacent dat;

- axa unei suprafee adiacente date;

- axa comun a dou sau mai multe suprafee de rotaie.

18

Fig.2.10

Abaterea de la simetria de poziie (asimetrie) APs : aceast abatere

apare la dou axe sau plane de simetrie care teoretic trebuie s coincid. Ea

se msoar pe lungimea de referin i este egal cu valoarea maxim dintre

punctele uneia dintre axele de simetrie i cealalt ax de simetrie luat ca

baz.

n cazul mai multor axe de simetrie se poate folosi axa comun de

simetrie, la fel ca la coaxialitate.

Cazuri particulare mai importante fig.2.11):

- pentru axe cazurile de la coaxialitate (asimetrie paralel,

unghiular sau ncruciat).

- pentru plane (plane asimetrice, paralele sau asimetrice

unghiulare).

Fig.2.11

Abaterea de la intersectarea (neintersectarea) a dou drepte (axe)

APx : este distana minim dintre dou drepte adiacente sau dintre dou axe

care n poziia lor nominal trebuie s fie concurente.

19

Abaterea de la perpendicularitate (neperpendicularitate) APd

(fig.2.12), este diferena dintre unghiul format de dreptele adiacente la

profilele efective i unghiul teoretic de 90o, msurat liniar, n limitele

lungimii de referin.

n cazul suprafeelor cilindrice se folosesc axele cilindrilor adiaceni.

n cazul a dou drepte perpendiculare care nu se ntlnesc n spaiu abaterea

se examineaz proiectnd dreapta ce se verific pe un plan ce cuprinde

dreapta de baz i este paralel cu dreapta verificat.

Fig.2.12

Btaia radial (a unei suprafee de rotaie) ABr : este diferena

dintre valorile distanelor maxim i minim ale punctelor suprafeei reale i

axa de baz n jurul creia se rotete suprafaa considerat. Axa de baz

poate fi comun pentru mai multe suprafee (fig.2.13).

Btaia radial se msoar pe direcia razei i perpendicular pe axa de baz.

Ea se refer la toat lungimea piesei (suprafeei) dac nu este indicat un

20

anumit plan de msurare. Este o abatere complex cuprinznd

necoaxialitatea (excentricitatea) i necilindricitatea (ovalitatea,

poligonicitatea etc.) n seciunile respective.

Btaia axial (frontal) ABf : este diferena dintre valorile maxim

i minim ale distanei (msurat pe generatoarea unui cilindru concentric

cu axa de rotaie a piesei) ntre punctele unei suprafee frontale i o

suprafa de baz teoretic, perpendicular pe axa de rotaie a piesei.

Btaia axial se msoar paralel cu axa de rotaie, iar pe desen se va indica

totdeauna diametrul cilindrului de msurare. Este o abatere complex

cuprinznd neperpendicularitatea i abaterile de form ale suprafeei frontale

(fig.2.13).

Fig.2.13

Btaia pe o direcie oarecare dat ABx : se utilizeaz n cazuri

speciale, pentru suprafee de rotaie oarecare (conice, sferice etc.), la care

msurarea btii radiale ar fi ngreunat, se admite s se prescrie ca direcie

de msurare o direcie perpendicular pe suprafaa ce se controleaz.

Aceast btaie este diferena ntre valorile maxim i minim pe direcia

dat (fig.2.14).

21

Fig.2.14

Abaterea de la nclinare APi (fig.2.15): are trei cazuri:

- abaterea de la nclinarea dintre dou drepte de rotaie. Aceasta

este diferena dintre unghiul format de dreptele adiacente la profilele

efective, respectiv de axele suprafeelor adiacente de rotaie (sau proieciile

lor pe un plan perpendicular la normala comun) i unghiul nominal,

msurat liniar n limitele lungimii de referin.

- abaterea de la nclinarea unei drepte sau a unei suprafee de

rotaie fa de un plan. Aceasta este diferena dintre unghiul format de

dreapta adiacent sau de axa suprafeei adiacente de rotaie cu planul

adiacent la suprafaa efectiv i unghiul nominal, msurat liniar n limitele

lungimii de referin.

- abaterea de la nclinare a unui plan fa de o dreapt, o

suprafa de rotaie sau plan. Aceasta este diferena dintre unghiul format

de planul adiacent la suprafaa efectiv cu dreapta adiacent, cu axa

suprafeei adiacente de rotaie sau cu planul adiacent i unghiul nominal,

msurat liniar n limitele lungimii de referin.

Fig.2.15

22

2.3.Notarea i controlul abaterilor de form i poziie

Notarea pe desen a abaterilor de form i poziie (STAS 7385-66) se

face numai atunci cnd limitarea acestora este necesar pentru asigurarea

calitii piesei n utilizare (interschimbabilitate, montaj, funcionare etc.). n

cazul n care nu se indic pe desene, aceste abateri trebuie s aib astfel de

valori maxime nct orice punct al piesei s rmn n limitele cmpurilor de

toleran prescrise pentru dimensiuni.

Toleranele de form sau poziie pot fi prescrise i n cazul cnd nu

se prescriu tolerane la dimensiunile elementelor efective.

De regul, forma sau orientarea elementelor poate fi oricare n

interiorul zonei toleranei de form sau poziie (se pot face i limitri

suplimentare prin texte scrise pe desen sau n documentaie).

Valorile toleranelor de form i poziie sunt standardizate i date n

STAS 7391/1, 2, 3, 4, 5 i 6-74. Conform acestor standarde sunt 12 clase de

precizie, ceea mai precis fiind clasa I. n standarde se indic numai

abaterile uzuale, cazurile speciale rezolvndu-se dup specificul lor urmnd,

pe ct posibil, principiile standardizate, iar notaiile pe desen fcndu-se prin

note scrise.

Valorile i prescripiile pentru abaterile de form i poziie nu se

aplic pentru cazurile speciale tratate prin standarde separate (ex. roi

dinate, rulmeni .a.).

Pentru controlul abaterilor se folosesc o serie de metode care se aleg,

de la caz la caz, n funcie de tipul i mrimea abaterii, forma concentric i

mrimea piesei, comoditatea, productivitatea i costul controlului.

23

n continuare sunt prezentate cteva dintre cele mai utilizate mijloace i

metode de control al abaterilor de form i poziie.

2.3.1. Pentru msurarea abaterilor de form

1. Cu aparate de msurare relativ deplasabile

Controlul abaterilor de la rectilinitate i planeitate:

- Abaterea de la rectilinitate se poate stabili folosind un instrument

de msurare relativ (comparator, minimetru, ortotest .a.), care este

deplasat, n lungul piesei ce se controleaz, paralel cu direcia pe care se

msoar abaterea, folosind un sistem de ghidare (fig1.16.a.); piesa se aeaz

pe o plac de verificat sau pe prisme, iar dac este rotund ntre vrfuri.

- Pentru verificarea planeitii se procedeaz n mod similar repetnd

msurarea n mai multe seciuni longitudinale i transversale (fig1.16.b).

- Urmrind indicaia acului indicator se poate stabili att valoarea ct

i tipul abaterii.

Fig.2.16

24

2. Cu rigle de precizie, nguste sau late

- Rectilinitatea suprafeelor nguste i lungi se controleaz cu

ajutorul riglelor de precizie (clasele 0 i 1) dup metoda fantei de lumin.

Aceste rigle se execut ntr-o gam larg de dimensiuni i cu numr diferit

de muchii. Pentru o mai precis apreciere a fantei de lumin, se poate folosi

o fant etalon obinut prin aezarea riglelor prin intermediul calelor plan-

paralele (egale) pe un platoul plan i neted. ntre calele se introduc alte cale

mai mici cu 13 m, iar n timpul controlului sursa de lumin, rigla i piesa

controlat trebuie s fie n linie, la nivelul ochiului observatorului.

- Riglele de verificare cu suprafaa de lucru lat se utilizeaz la

controlul rectilinitii sau planeitii prin metoda fantei de lumin sau a

petelor de vopsea.

- Riglele unghiulare se folosesc pentru verificarea planeitii i a

unghiului dintre suprafeele care se ntretaie (de ex. la canalele n coad de

rndunic).

3. Cu platouri de verificare

- Pentru controlul rectilinitii i planeitii suprafeelor, nguste sau

late, se folosesc foarte mult platourile de verificare cu dimensiuni cuprinse

ntre 100 x 200 i 1000 x 1500 mm. Controlul cu ajutorul acestor platouri

se face la fanta de lumin (rectilinitatea suprafeelor nguste) sau la pata de

vopsea (planeitatea).

4. Cu rigl punte sau platou i cale plan paralele

- Rectilinitatea i planeitatea pieselor mari se poate controla cu ajutorul platourilor de verificare sau a riglelor i cu cale plan

paralele (fig.2.17).

25

Fig.2.17

Rigla punte 3 este aezat pe suprafaa piesei 1 prin

intermediul calelor plan paralele 2.

ntre rigl i pies se introduce, din loc n loc, blocuri de cale

sau o sond 4, cu ajutorul creia se determin abaterile de la rectilinitate.

5. Cu mijloace universale (ublere, micrometre, microscoape, optimetre etc.)

Controlul abaterilor de la circularitate i cilindricitate:

- Ovalitatea, de determin, cel mai adesea, msurnd diametrul

piesei, n aceeai seciune, pe mai multe perechi de direcii perpendiculare

ntre ele. Diferena maxim gsit ntre rezultatele msurtorilor pe dou

direcii perpendiculare reprezint ovalitatea (abaterea de la circularitate) n

seciunea dat. Dac piesa este lung se poate repeta msurtoarea n mai

multe seciuni transversale n lungul piesei, mrimea efectiv a ovalitii

considerndu-se valoarea ceea mai mare gsit n una din seciunile

considerate.

- Abaterea de la cilindricitate (formele de butoi, mosor .a.) se

determin msurnd diametrul piesei, n mai multe seciuni. La suprafeele

exterioare abaterile generatoarelor pot fi verificate i cu grile de precizie

prin metoda fantei de lumin (fig.2.18).

26

Fig.2.18

6. Cu aparate cu palpator

- Ovalitatea se poate determina i prin rotirea piesei cu ceva mai

mult de 180o sub palpatorul unui aparat de msur. Valoarea ovalitii este

diferena dintre indicaiile limit ale aparatului.

- Poligonalitatea se determin cu ajutorul unui aparat de msurare

relativ cu palpator, fie introducnd piesa ntr-un inel (a), fie aeznd-o pe o

prism (b) i rotind-o cu 360o (fig.1.19).

Fig.2.19

7. Cu traductor cu contacte

- Piesa se aeaz pe o prism sau pe un platou. Tija palpatoare se

deplaseaz n sus i n jos datorit variaiei de dimensiune a piesei, care se

rotete i acioneaz asupra prghiei cu brae. Dac piesa are ovalitatea sub

limita prescris contactul mobil, apsat n canalul prghiei de arc, va atinge

numai unul din uruburile de contact. Dac ovalitatea depete valoarea

limit prescris prin oscilaia prghiei, contactul mobil va atinge ambele

27

uruburi de contact (reglate la valoarea maxim a ovalitii). Acest aparat

are o mare productivitate.

8. Msurarea curbrii pieselor cilindrice exterioare

Curbarea pieselor cilindrice exterioare se poate msura n dou

feluri:

- se sprijin piesa pe o suprafa (plan i neted) suficient de ntins

i se rotete sub palpatorul unui comparator (fig.2.20.a);

- cu ajutorul calelor plan paralele (fig.2.20.b).

Fig.2.20

9. Msurarea abaterilor la suprafee cilindrice interioare

- Abaterile de circularitate i cilindricitate ale suprafeelor cilindrice

interioare se determin n mod similar cu cele exterioare, folosind

instrumente de msur adecvate (micrometre de interior, comparatoare de

interior cu dou palpatoare .a.)

- Curbarea suprafeelor cilindrice interioare se poate determina

calitativ cu ajutorul unui cilindru tampon de lungime egal cu ceea a

alezajului.

- Valoarea efectiv a curbrii se poate determina cu mare precizie cu

ajutorul instalaiilor cu calibre pneumatice speciale (fig.2.21). Calibrul are la

28

capete doi cilindri elastici 1, pentru ghidarea i centrarea n alezaj precum i

un ajustaj de ieire a aerului 2 plasat la mijloc. Valoarea curbrii este egal

cu semidiferena indicaiilor limit ale aparatului de msur la o rotaie a

calibrului sau piesei.

Fig.2.21

2.3.2. Pentru msurarea abaterilor de poziie

1. Abaterea de la poziia nominal

- Aceste abateri se determin prin diverse metode directe sau

indirecte n funcie de situaia respectiv.

- Dac exist baze de msurare iar punctul sau dreapta sunt

materializate (prin trasare), poziia corect a acestora se controleaz uor

prin msurri directe cu mijloace universale adecvate sau cu dispozitive de

msurat n coordonate.

- n cazul n care punctul sau dreapta nu sunt materializate se

folosesc dornuri de mare precizie prin care se materializeaz elementul

respectiv. Abaterea de la poziia nominal a centrului alezajului (fig.2.22.a)

se determin, folosind un bloc de cale, cu relaia:

A = [B (C + d/2)]

unde: B este valoarea teoretic prescris. Abaterea de la poziia

nominal a alezajului (fig.2.22.b) se stabilete deplasnd comparatorul pe o

lungime determinat a dornului i calculnd tangenta unghiului de nclinare.

29

Fig.2.22

2. Abaterea de la coaxialitate

- Msurarea acestei abateri se poate face prin diverse metode. Pentru

alezajele coaxiale se pot folosi i schemele pentru abaterea de la poziia nominal

fcnd msurrile pentru ambele alezaje.

- Schemele de msurare utilizeaz, sau cu dispozitive adecvate cum sunt

cele din schiele alturate (fig.2.23).

a. Prin rotirea dornului se obine n fiecare plan de msurare o

diferen a citirilor la aparatul de msur. Jumtatea diferenei celei mai mari

obinut este abaterea efectiv de la coaxialitate.

b. Dornul materializeaz axa comun a celor dou alezaje. Prin

deplasarea i rotirea lui se obine pe fiecare generatoare o diferen a valorilor citite.

Jumtate din diferena maxim citit reprezint necoaxialitatea gurii faa de axa

comun.

c. Arborele n trepte se aeaz pe dou lineale i se rotete. Jumtatea

diferenei maxime ntre citirile la comparator, pentru diferite planuri de msurare,

este abatere de la coaxialitate.

30

d. n cazul abaterilor dependente se prefer verificarea

necoaxialitii cu ajutorul calibrelor.

Fig.2.23

3. Abaterea de la simetrie

- Se msoar prin diverse metode funcie de forma real a piesei. n

exemplul alturat (fig.2.24) se asigur mai nti paralelismul prii cilindrice

cu masa de trasaj, dup care rotind piesa cu 180o, se msoar distanele a1 i

a2. Semidiferena (a1 a2) este abaterea de simetrie de poziie.

Fig.2.24

31

4. Abaterea de la intersecie (neintersecia)

- Neintersectarea a dou drepte (axe) este important, n special,

pentru cazul axelor unor alezaje. Pentru aceasta se pot utiliza dornuri de

precizie care materializeaz axele alezajelor reale. Diferena citirilor fa de

placa de verificare reprezint abaterea de la intersectare.

5. Abaterea de la paralelism

- Aceasta se msoar dup diverse scheme adecvate respective.

a. Abaterea de la paralelism a dou trepte n plan se stabilete

msurnd distanele BD i AC ntre dreapta adiacent CD i dreapta

adiacent de baz AB pe lungimea de msurare dat (AB). Abaterile de la

paralelism pe unitatea de lungime este [BD AC] / AB (fig.2.25.a).

b. Pentru msurarea abaterii de la paralelism a dou plane reale,

piesa se aeaz pe o suprafa de baz. Msurarea se face fa de planul de

baz, pe distana de msurare prescris sau pe toat mrimea piesei, i pe

direcii diferite (fig.2.25.b)..

c. Abaterea de la paralelism ntre o suprafa cilindric i una

plan se msoar prin diferena fa de o generatoare a cilindrului pe

lungimea de referin (fig.2.25.c).

d. Abaterea de la paralelism a dou suprafee cilindrice reale se

msoar prin neparalelismul axelor suprafeelor adiacente respective.

Abaterea de la paralelism se msoar pe lungimea dat, ca diferen ntre

indicaiile comparatorului (fig.2.25.d).

32

Fig.2.25

6. Abaterea de la perpendicularitate

- Aceasta se msoar n funcie de elementele la care se refer. n

cazul alezajelor acestea se materializeaz prin dornuri calibrate.

33

- Pentru dou suprafee reale se folosete . Diferena indicaiilor

aparatului de msoar, n poziiile A1 i A2 , raportat la distana de

msurare, este abaterea de la perpendicularitate (fig.2.26).

- Perpendicularitatea axei unei guri fa de planul frontal se

msoar cu un dispozitiv ca n figur. Semidiferena indicaiilor maxim

raportat la D reprezint abaterea de la perpendicularitate.

Fig.2.26

7. Btaia radial, axial i pe o suprafa conic

- Btaia radial se msoar ca diferena citirilor la un aparat de

msurare (comparator), ntr-o seciune de msurare, la rotirea complet a

piesei. Piesa se poate prinde ntr-un alezaj (fig.2.27.a) sau ntre vrfuri

(fig.2.27.b), n funcie de forma ei.

- Btaia axial (sau frontal) este diferena dintre citirile maxime i

minime ale aparatului de msurare la rotirea complet a piesei. Piesa se

poate prinde n alezaj (fig.2.27.c) sau ntre vrfuri.

- Btaia unei suprafee conice se msoar aeznd comparatorul

perpendicular pe generatoarea conului la o anumit distan A de vrful

teoretic al conului.(fig.2.27.d).

- Btile suprafeelor interioare se msoar n mod similar utiliznd

scheme corespunztoare.

34

Fig.2.27

nscrierea pe desene a abaterilor de form i poziie se nscriu pe

desene de ctre proiectant, numai n cazul n care limitarea abaterilor

efective este impus de criteriile de asigurare a unei caliti anume privitor

la precizia de prelucrare a piesei.

n cazul n care datorit unor condiii funcionale specifice sau a

unor cerine de interschimbabilitate se vor trece toleranele sau abaterile

admisibile referitoare la forma i poziia pieselor.

35

CAPITOLUL III

3. STUDIUL ERORILOR DE PRELUCRARE CU

AJUTORUL

CALCULULUI PROBABILITILOR

Calculul probabilitilor i statistica matematic se ocup cu studiul

fenomenelor aproape egale repetate de multe ori n activitatea practic, aa

cum este i cazul erorilor de prelucrare i a celor de msurare.

3.1. Definiia erorilor de prelucrare, cauzelor apariiei i

clasificarea erorilor.

Prin eroare de prelucrare se nelege diferena dintre valoarea

efectiv i cea teoretic (prescris) a parametrului considerat (dimensiune,

form sau poziie a suprafeei sau a suprafeelor prelucrate).

Cauzele apariiei erorilor de prelucrare pot fi:

a) imprecizia i deformaiile elastice i termice ale sistemului

tehnologic elastic, main unealt (MU), scul (S), dispozitiv (D), pies (P);

b) uzura sistemului MU-S-D;

c) tensiunile interne i imprecizia semifabricatului;

d) gradul de calificare, atenia, contiinciozitatea i condiiile de lucru

ale lucrtorului.

Experimental s-a constat c aproximativ 80% din eroarea total de

49

prelucrare se datoreaz deformaiilor elastice ale sistemului tehnologic

elastic MU-S-D-P, din cauza rigiditii necorespunztoare a acestui sistem.

Prelucrarea (achierea), conform schemei prezentate n (fig.3.1) are

loc n prezena micrii principale n i micrii secundare S, rezultnd n

timpul achierii forelor Fx, Fy i F (componente principale ale apsrii de

achiere).

Fig.3.1

Prelucrrii cu adncime variabil de la tmin la tmax, din cauza

impreciziei semifabricatului (fig.3.1,a) sau din cauza excentricitii e

(fig.3.1,b), i corespund fore de achiere variabile i ca urmare a acestora,

deformaiile sistemului tehnologic elastic vor fi variabile. Deformaiile fiind

variabile, diametrele piesei prelucrate vor fi i ele variabile i ca atare vor

aprea erori de prelucrare (erori dimensionale, de form i de poziie a

suprafeelor).

Clasificarea erorilor de prelucrare

n funcie de caracterul apariiei lor, erorile de prelucrare se clasific

astfel : sistematice, grosolane (greeli) i ntmpltoare.

50

Erorile sistematice sunt acele erori la care mrimea i semnul sunt

date de legi bine determinate. Aceste erori pot fi:

- fixe (ex.: erori de reglare la zero a micrometrelor);

- variabile progresiv (ex.: erori provocate de uzura sculei);

- variabile periodic (ex.: erori de msurare la un aparat la care

centrul de rotaie al acului indicator este excentric fa de centrul

cadranului). Cauzele erorilor sistematice se pot cunoate cu uurin i se

pot nltura. Cnd cauzele sunt greu de nlturat se poate dirija procesul de

prelucrare i control astfel nct s se evite rebuturile.

Erorile grosolane (greelile) provin din cauza neateniei sau a

calificrii necorespunztoare. Au caracteristic faptul c modific esenial

rezultatul prelucrrii sau msurrii. Exemple:

- msurarea diametrelor unor alezaje cu un ubler de interior, cnd la

valoarea citit pe ubler nu se adaug dimensiunea flcilor (10 mm);

- citirea incorect a desenului, a indicaiei aparatului, etc.

Erorile grosolane se datoreaz executantului sau alegerii greite a metodei

de prelucrare sau de control. Se pot evita prin calificare, atenie i

contiinciozitate corespunztoare.

Erorile ntmpltoare sunt acele erori a cror mrime i sens sunt

variabile ntmpltor de la o pies la alta. Cauzele principale ale acestor

erori pot fi cele notate mai sus cu a i c, cauze care pot aciona diferit de la o

pies la alta:

- sunt mult mai periculoase dect cele sistematice i grosolane

deoarece nu pot fi cunoscute anticipat pentru fiecare pies n parte;

- influena comun a erorilor ntmpltoare asupra preciziei de

prelucrare se poate determina pe baza calculului probabilitilor i a

51

statisticii matematice.

nainte de trece la studiul propriu-zis al erorilor de prelucrare

ntmpltoare vom prezenta n continuare unele noiuni de calculul

probabilitilor.

3.2. Noiuni din calculul probabilitilor

Noiunile din calculul probabilitilor mai uzual folosite n tehnica

industrial sunt urmtoarele:

- Noiunea de mrime ntmpltoare (aleatoare), continu sau

discontinu (discret);

- Noiunea de eveniment (fenomen);

- Noiunea de probabilitate, etc.

3.2.1. Mrimi

Mrimile ntmpltoare pot lua valori numerice diferite i de semne

diferite ntr-un interval dat.

Exemple:

- mrimea abaterilor efective la un lot de piese identice;

- mrimea jocurilor sau a strngerilor la asamblarea unei mulimi de

arbori cu o mulime de alezaje pentru care s-a prescris aceeai dimensiune

nominal.

Mrimile ntmpltoare pot fi continui cnd pot lua o infinitate de

valori ntr-un anumit interval dat sau discontinui (discrete) cnd pot lua

numai anumite valori izolate ntr-un anumit interval dat.

52

Exemplu de mrimi ntmpltoare discontinui: dimensiunile efective

pieselor unui lot, msurate cu un ubler cu valoare diviziunii de 0,1 mm.

3.2.2. Evenimente sau fenomene

a) Eveniment ntmpltor (aleator) - este un fenomen care poate fie

s apar fie s nu apar, de exemplu, apariia jocului sau a strngerii la un

ajustaj intermediar;

b) Eveniment cert - care apare totdeauna n cursul unei experiene,

de exemplu, abaterile efective la un lot de piese;

c) Eveniment imposibil - este atunci cnd apariia acestuia este

exclus, cnd def < Def, apariia strngerii este imposibil;

d) Evenimente complexe (formate din dou sau mai multe

evenimente simple) pot fi:

- dependente cnd apariia unui eveniment influeneaz apariia

altui eveniment. De exemplu, abaterea +d, duce la apariia

surplusului, +G, de greutate sau ntr-un alt caz, apariia uzurii

cuitului duce la apariia lui +d1, la prelucrarea arborilor i la

D1, la prelucrarea alezajelor;

- independente de exemplu, abaterile efective la dou loturi de

piese prelucrate la dou maini unelte diferite cu scula reglat la

cot, vor avea valori n mod necondiionat;

- incompatibile cnd fenomenele se exclud reciproc. De

exemplu n acelai lot de piese, una i aceeai pies nu poate fi i

bun i rebut;

- compatibile cnd fenomenele considerate nu se exclud, de

53

exemplu, existena ntr-un lot att a pieselor bune ct i a

pieselor rebut.

3.2.3. Probabilitatea

Probabilitatea de apariie a unei anumite valori a unei mrimi

ntmpltoare discontinui (discrete) este egal cu raportul dintre numrul

cazurilor favorabile apariiei valorii respective i numrul total de cazuri

posibile:

NnP = (3.1)

n care: n reprezint numrul de cazuri care favorizeaz apariia valorii

respective (sau a evenimentului ntmpltor);

N numrul total de cazuri.

Se pot distinge urmtoarele cazuri:

n = N, cnd P = 1 (eveniment cert);

n < N, cnd P < 1 (eveniment probabil);

n = 0, cnd P = 0 (eveniment imposibil).

Deci: (3.2) 10 P Aplicaie: Dac ntr-un lot de piese, de 60 de arbori exist 3 arbori

rebut (+) i 2 arbori rebut (-) s se determine probabilitatea extragerii

arborilor rebut r(+) i r(-), precum i probabilitatea total a rebutului.

Rezolvare: Conform relaiei (3.1) se obine:

( ) ( ) %505,0603 === ++ N

nP rr

54

( ) ( ) %3,3033,0602 === N

nP rr

Probabilitatea total a rebutului va fi:

( ) ( ) ( ) %3,8=+= + rrtotalr PPP (3.3)

Teoreme cu privire la calculul probabilitii

n cazul fenomenelor complexe

a) Teorema adunrii probabilitii se aplic n cazul

evenimentelor complexe formate din evenimente simple independente.

Aplicaie: La un lot de 20 alezaje cu , avnd: n1=2 alezaje

cu abateri ntre 0 i 6

mmD 012,00+

m (Grupa 1); n2 =18 alezaje cu abateri ntre 6 i 12 m (Grupa 2), care este probabilitatea montrii pieselor din cele dou grupe

i care este probabilitatea total.

Rezolvare: Este vorba de dou evenimente incompatibile, deoarece

cele dou alezaje din grupa 1 nu pot avea n acelai timp i abaterile

alezajelor din grupa 2 i invers. n baza datelor cunoscute n enunul

problemei se calculeaz:

%909,0

2018

%101,0202

21

11

===

===

Nn

P

Nn

P

Probabilitatea total va fi:

%100901021 =+=+= ppPtot 55

b) Teorema nmulirii probabilitilor

Probabilitatea unui eveniment complex format din evenimente

independente compatibile este egal cu produsul probabilitilor

evenimentelor componente:

(3.4) npppP ...21 = Aplicaie: La asamblarea unui lot de 50 arbori ( )0 032,060=d cu un lot de 50 alezaje ( )032,0060+=D la care prin msurare s-a gsit: n1 = 20 arbori cu abateri ntre 0 i -16 m (Grupa 1) n2 = 30 arbori cu abateri ntre 16 i 32 m (Grupa 2) i respectiv,

n1 = 10 alezaje cu abatere ntre 0 i +16 m (Grupa1) n2 = 40 alezaje cu abatere ntre +16 si 32 m (Grupa2) care este probabilitatea obinerii asamblrilor cu jocul;

mj 320 Rezolvare: Se reprezint grafic toleranele arborilor i alezajelor

mprite n grupe menionate n enunul problemei.

Din fig. 2.2 se observ c 320 j se obine numai la asamblarea grupelor 1 cu 1:

4,050201

1 === Nnp

%808,02,04,0

2,05010

'11

'1'

1

======

ppPNnp

56

Fig. 3.2

Calculul probabilitii n cazul mrimii continui

n cazul mrimilor continui, probabilitatea apariiei unei valori

cuprinse ntr-un interval dat se determin prin integrare (suprafaa de sub

curb).

Fig. 3.3

(3.5) ( )

Probabilitatea total va fi:

(3.6) ( ) + ==+

Pentru studiul distribuiei dimensiunilor sau a abaterilor efective se

procedeaz astfel:

- se prelucreaz un lot de circa 100 de piese, folosind aceeai MU

(acelai procedeu);

- cu un aparat de precizie corespunztor se msoar dimensiunea

fiecrei piese din lot i se noteaz ntr-un tabel n ordinea

msurrii;

- pentru a fi posibil interpretarea modului cum s-a fcut

prelucrarea este necesar sistematizarea dimensiunilor sau

abaterilor efective n ordine cresctoare pe intervale i frecvene.

n vederea sistematizrii dimensiunilor efective mai nti se elimin

aproximativ 0,5% din dimensiunile sau abaterile rzlee (accidentale,

necaracteristice) i apoi n tabel se observ def min i def max i se calculeaz

amplitudinea dimensiunilor:

sau minmax efef ddW = minmax efef aaW = (3.7) Dup aceea, amplitudinea W se mparte n mai multe intervale de

dimensiuni. Numrul intervalelor se ia:

(3.8) 175 i Numr mare de intervale pentru loturi mari i invers. Se recomand

s se ia numr impar de intervale.

Exemplu: Considerm c un lot de 100 arbori ( )mmd 049,0 049,050++= prelucrai cu scula reglat la cot s-a obinut:

i mmdef 50min = mmdef 025,50max = se obine:

mmmW 25025,050025,50 ===

59

lund, i = 5 intervale, amplitudinea intervalului va fi:

mi

Wa 5525 === (3.9)

Cu aceste date, pentru cazul considerate, rezult intervalele de

dimensiuni notate n tabelul 3.1.

Tabel 3.1

Nr Peste La

Media

intervalulu

i

Frecvena

ni a

MXi 0

inaMXi 0

na

MXi 20

0 1 2 3 4 5 6 7

1 50,000 50,005 50,0025 6 -2 -12 24

2 50,005 50,010 50,0075 21 -1 -21 21

3 50,010 50,015 50,0125 50 0 0 0

4 50,015 50,020 50,0175 19 +1 +19 19

5 50,020 50,025 50,0225 4 +2 +8 16

TOTAL = 100 = 0 = 6 = 80

Coloanele 5,6 i 7 ale tabelului 3.1 s-au luat pentru a uura calculul

parametrilor statistici ai distribuiei.

Considernd c pentru fiecare interval de dimensiuni au rezultat

frecvenele notate n tabel, se poate trasa cu uurin diagrama distribuiei

empirice.

Frecvena absolut ni a intervalului nseamn numrul de dimensiuni

(piese) gsite n acelai interval.

Frecvena relativ este dat de raportul:

60

i

ir n

nn = (3.10)

Pentru trasarea diagramei distribuiei, n abscis se iau intervalele de

dimensiuni i n ordonat frecvenele absolute ni, dup care se traseaz

diagrama distribuiei empirice a dimensiunilor, diagram numit histogram

(fig. 3.5).

Fig. 3.5

n cazul cnd n abscis se ia media intervale lor i n ordonat

frecvena pi, se traseaz diagrama denumit poligonul frecvenelor.

Din tabelul 3.1, din diagramele empirice de distribuie i n general

din activitatea practic se observ urmtoarele:

a). intervalele centrale, au frecvene mai mari dect intervalele

laterale, la care frecvena scade n mod treptat;

b). repartiia (distribuia) dimensiunilor are loc de o parte i de alta a

valorii centrale. Acesta ca urmare a aciunii erorilor ntmpltoare a cror

mrime i semn sunt variabile ntmpltor.

Experimental s-a demonstrat c distribuia dimensiunilor are n cele

61

mai multe cazuri forma celei din tabelul 3.1 i figura 3.5 i are caracter

legic.

n cazul n care n domeniul amplitudinii W, numrul de intervale se

mrete la infinit i simultan cu aceasta se restrng limitele intervalelor, linia

frnt a poligonului de frecvene se va transforma de cele mai multe ori,

ntr-o curb continu n form de clopot care poart denumirea de curb

teoretic a distribuiei normale [curba Gauss - Laplace].

Fig. 3.6

Distribuia dimensiunilor efective, la prelucrarea arborilor cu scul

reglat la cot are semnificaia artat n figura 3.6. Cele mai multe piese

vor avea def = dr. Frecvena va scdea de o parte i de alta a cotei de reglare

dr.

62

Expresia analitic a curbei Gauss, respectiv a legii distribuiei

normale (fig. 3.7) este:

( ) 22

2

21

==x

exfy (3.11)

n care: e baza logaritmilor naturali (e = 2,718);

x mrimea ntmpltoare;

ni frecvena absolut.

Fig. 3.7

Ramurile curbei sunt asimptotice la axa absciselor, teoretic merg de

la la + Curba de distribuie normal are caracteristic doi parametrii

principali:

- X media ponderat a dimensiunilor, denumit impropriu i media

aritmetic;

- abaterea medie ptratic a dimensiunilor n raport cu X .

63

n cazul mrimilor discontinui (discrete) cazul dimensiunilor sau a

abaterilor efective, msurate cu aparate care au o anumit valoare a

diviziunii, X i se calculeaz cu formulele: = NnXX ii (3.12) n care:

- xi este valoarea de ordin i a mrimii x (media intervalului de

dimensiuni);

- ni este frecvena valorii xi (numrul de repetri ale valorii xi, pentru

fiecare interval n parte);

- N este numrul total de cazuri posibile ( )= inN ; -

Nni este probabilitatea (sau ponderea) valorii xi, conform relaiei

(3.11). De aici deriv i denumirea de medie ponderat a parametrului X

(relaia 3.12).

n afar de media ponderat se mai ntlnete i noiunea de valoare

central:

2

maxmin xxxc+= (3.13)

Valoarea lui xc poate s fie egal cu sau diferit. Pentru stabilirea relaiei de calcul a lui , introducem noiunea de

eroare accidental A (fig.3.7). Aceast eroare reprezint abaterea unei mrimi ntmpltoare, oarecare xi fa de X denumit eroare accidental

care se calculeaz cu relaia:

xxiA = (3.14)

64

Pentru ca n relaia (3.14) s se evite semnul (-) se ridic la ptrat

obinndu-se:

( 22 xxiA = ) (3.15) Media ponderat a mrimii se numete dispersie a mrimii

ntmpltoare xi n raport cu

2A

X , care se calculeaz cu relaia:

( ) ( ) = NnxxxD ii 2 (3.16) Rdcina ptrat din dispersie poart denumirea de abatere medie

ptratic , a mrimii ntmpltoare x, n raport cu X :

( ) ( ) == NnxxxD ii 2 (3.17) n cazul sistematizrii dimensiunilor sau a abaterilor efective pe

intervale i frecvene, parametrii X i se mai pot calcula i cu ajutorul relaiilor:

N

naMx

aMXi

i

o

+=0

(3.18)

2

02

0

=

aMxn

aMxa ii (3.19)

n care:

M0 este valoarea arbitrar, egal cu xi pentru care frecvena ni

este maxim; se mai numete i median; n cazul considerat n tabelul 3.1,

M0 = 50,0125 mm;

a amplitudinea intervalului de dimensiuni (diferena dintre valorile

medii la dou intervale cunoscute, consecutive, sau diferena dintre valorile

65

limit ale intervalului de dimensiuni considerat); a = 0,005 mm;

X - media ponderat a erorilor, care corespunde de regul,

maximului curbei de distribuie i se mai numete i coeficient de justee a

prelucrrii;

- abaterea medie practicat ce se mai numete i indice de dispersie (mprtiere) care indic gradul de precizie al prelucrrii. Cu ct este mai mic, cu att precizia de prelucrare este mai ridicat i invers.

Pentru mrimile continui formulele de mai sus prezint unele

deosebiri pe care nu le prezentm n acest curs, deoarece intereseaz mai

puin, ntruct dimensiunile i abaterile efective sunt mrimi discontinui

(msurate cu mijloace de control care au caracteristic o anumit valoare a

diviziunii).

Punctele de inflexiune i1 i i2 (fig.3.7) sunt distanate la valoarea

( ) i respectiv la ( + ). Ele separa regiunea cu frecvene mari de regiunile laterale cu frecvene mici.

Probabilitatea total, de gsire a oricrei valori a mrimii

ntmpltoare x se determin cu ajutorul relaiei:

( ) ( %100121 2

2

2 ===+

Relaiile de calcul ale probabilitilor totale (3.20) i (3.22) ne sunt

de mare utilitate la calculul probabilitilor pariale (pentru anumite poriuni

din curba de distribuie a erorilor).

De exemplu, probabilitatea obinerii mrimii ntmpltoare x cu

valori cuprinse ntre x1 i x2 (fig. 3.7) se determin cu relaia:

( ) 1212

1

12

1

21

2

2121

n cazul cnd 0x , cazul cel mai frecvent n practica industrial, curba de distribuie se prezint ca n figura 3.8.

Expresie analitic a curbei de distribuie este asemntoare celei

pentru cazul precedent i anume:

( ) ( )22

2

21

==xxi

exfy (3.26)

Schimbarea de variabil, procednd n acelai mod artat n cazul

anterior, va fi:

xxZ i = (3.27)

n rest, ca i n cazul precedent ( )0=x , se obine o funcie a crei valoare se ia direct din tabelul 2.2, n funcie de valoarea calculat

pentru z cu relaia (3.27).

( )z

n ambele cazuri, ramurile curbei de distribuie fiind asimptotice la

axa absciselor (merg de la la + ), cu suficient precizie, se va lua n consideraie numai o poriune din curb, egal cu 6 . Acestei poriuni i corespunde probabilitatea total 9973,0'

TP , adic aproximativ 99,73%

din totalul valorilor mrimii pentru care s-a trasat curba de distribuie, ceea

ce practic se poate considera 100%.

Intervalul de ncredere va fi dat de relaia:

( ) ( )[ ] =+ 133 xxxP (3.27) n care, 3x i 3+x fiind limitele inferioar i superioar ale intervalului de ncredere denumit limite de ncredere.

68

69

Fig. 3.8

Probabilitatea de depire a intervalului de ncredere, Probabilitatea de depire a intervalului de ncredere,

( )%27,00027,09973,01' ===TT

PP (3.28) Ca urmare,

( )%73,999973,00027,011 == (3.29) n concluzie,

( ) ( )[ ] %73,99133 ==+ xxxP (3.30) Poriunea 6 din curba de distribuie se numete precizie caracteristic a procedeului de prelucrare.

Fiecrui procedeu de prelucrare sau de control, fiecrei maini

unelte, i respectiv fiecrui mijloc de control i este caracteristic un anumit

6 (o anumit precizie caracteristic sau cu alte cuvinte, un anumit cmp de mprtiere al erorilor de prelucrare sau al erorilor de msurare).

CAPITOLUL IV.

LANURI DE DIMENSIUNI

4.1. Calculul cu mrimi tolerate.

4.1.1. Metoda de maxim i minim.

Fie de adunat expresia:

x = x1 + x2 + x3 (4.1)

n care xi=1,2,3 este o mrime tolerat (prevzut cu abateri) component;

x - mrimea rezultanta.

Rezultatul de valoare maxim se obine, n mod evident, dac se

adun valorile maxime ale tuturor termenilor sumei, iar rezultatul de valoare

minim - pentru valorile minime ale termenilor componeni:

x max = x1 max + x2 max + x3 max (4.2)

x min = x1 min + x2 min + x3 min (3.3)

Conform relaiei (4.1), tolerana mrimii rezultante va fi:

T = x max - x min (4.4)

Dac unii termeni sunt negativi, de exemplu:

x = x1 - x2 + x3 (4.5)

atunci rezultatul de valoare maxim se obine dac se consider valorile

maxime ale termenilor pozitivi i valorile minime ale termenilor negativi,

iar rezultatul de valoare minim - pentru valorile minime ale termenilor

pozitivi i valorile maxime ale termenilor negativi :

x max = x1 max - x2 max + x3 max; (4.6)

90

x min = x1 min - x2 min + x3 min. (4.7)

De exemplu :

a. x = ; 1,0 2,02,01,0

1,02,0 201510

++

+ ++

x max = 10,1 + 15,2 + 19,9 = 45,2;

x min = 9,8 + 15,1 + 19,8 = 44,7;

T = 45,2 - 44,7 = 0,5.

Toleranele celor trei termeni componeni ai sumei, conform relaiei

(4.9) sau (4.10), sunt :

T10 = +0,1 - (-0,2) = 0,3 ;

T15 = +0,2 - (+0,1) = 0,1 ;

T20 = -0,1 - (-0,2) = 0,1 ;

adunate cele trei, dau pe

T = T10 + T15 + T20 = 0,3 + 0,1 + 0,1 = 0,5.

Aceasta observaie este important. Se poate scrie deci:

(4.8) =

=n

iiTT

1

unde Ti este tolerana mrimii componente de ordin i.

b. x = ; 1,0 2,02,01,0

1,02,0 20)15(10

++

+ +

x max = 10,1 - 15,1 + 19,9 = 14,9;

x min = 9,8 - 15,2 + 19,8 = 14,4;

T = 14,9 - 14,4 = 0,5;

Ca i la exemplul precedent:

T10 = 0,3; T15 = 0,1; T20 = 0,1;

rezult:

91

T = 0,3 + 0,1 + 0,1 = 0,5

adic se confirm relaia (3.8).

c. . 3,0 2,01,02,0 2510

+

+ =+ x

Se pune problema s se determine x, aa fel ca adunat cu , s

dea . O prim observaie: T10 = 0,3 i T25 = 0,5; rezult ca Tx = 0,2.

1,02,010

+

3,02,025

+

ntr-adevr :

10,1 + x max = 25,3 ; x max = 15,2 ;

9,8 + x min = 24,8 ; x min = 15,0 ;

Tx = x max - x min = 15,2 - 15,0 = 0,2.

Observaie. Datorit existenei relaiei (4.8), nu este permis s se

schimbe ntre ei un termen component cu o mrime rezultant, deoarece

mrimea rezultant are o toleran mai mare dect mrimea component.

De exemplu, dac mai sus se face greeal ca x s se treac la

rezultat, atunci se obinea:

( )1,0 2,03,0 2,0 1025 ++ =x ; sau

x max = 25,3 - 9,8 = 15,5 ;

x min = 24,8 - 10,1 = 14,7 ;

Tx = x max - x min = 15,5 - 14,7 = 0,8

adic o valoare a lui x cu totul eronat.

4.1.2. Algebra dimensiunilor (metoda prof. I.Lazarescu).

92

Dup cum s-a artat la formula (4.11), scrierea simbolic a

mrimilor tolerate reprezint condensarea ntr-o expresie a dou sume

neefectuate. Ca urmare, pentru rezolvarea unei sume de mrimi tolerate, este

necesar s se efectueze cele dou rnduri de sume neefectuate. Bineneles,

se va ine seama c semnul minus n faa unei paranteze schimb semnele

tuturor termenilor din parantez (valori nominale sau abateri), iar odat

abaterea schimbndu-i semnul, trebuie s-i schimbe i locul (din abatere

superioar devine abatere inferioar i invers), deoarece trebuie respectat

observaia c abaterea superioar corespunde valorii maxime, iar abaterea

inferioar - valorii minime (convenia care trebuie neaprat respectat ).

De exemplu, fie de rezolvat :

( ) 1,0 2,02,0 1,01,0 2,0 201510 +++ +=x , Desfcnd paranteza, se obine :

, 1,0 2,01,02,0

15,02,0 201510

+ +=x

adic:

, ( ) 1,0 6,01,01,01,0 2,02,02,0 15201510 + =+=x Se observ c x max = 14,9 i x min = 14,4, adic tocmai valorile

gsite la exemplul b de la metoda de maxim i minim.

n mod similar se rezolv exemplul c:

; 3,0 2,01,02,0 2510

+

+ =+ x

; ( ) 3,0 2,01,0 2,0 2510 +++ + =+ sxixAAxNsau:

93

10+Nx = 25; Nx = 15;

+0,1 + A sx = +0,3; A sx = +0,2 ;

-0,2 + A ix = -0,2; A ix = 0 .

respectiv:

2,0015+=x

adic aceeai valoare gsit i prin metoda de maxim i minim.

O atenie deosebit trebuie acordat cnd x este negativ:

, 1,0 3,02,01,0 5

++ = xx

adic:

15 . 1,0 3,02,01,0 5

++ =

sx

ix

AAxN

Desfcnd paranteza:

15 1,0 3,02,01,0 5

++ = ixsx

AAxN

sau:

15 - Nx = 5; - Nx = 10; Nx = 10;

+0,2 - A ix = -0,1; - A ix = -0,3; A ix = +0,3;

+0,1 - A sx = -0,3; - A sx = -0,4; A sx = +0,4,

adic:

. 4,0 3,010++=x

Calculul se poate desfura dintr-o dat (mai ales dup o oarecare

obinuin):

94

Totul este de-a nu se uita, n cazul de fa, ca ceea ce s-a gsit este -

x, adic:

. 3,0 4,010= x

Este necesar s se schimbe semnele, pentru obinerea lui x :

, 4,0 3,010++=x

Se poate face proba:

( ) 1,0 3,04,0 3,02,0 1,0 51015 ++++ = .

Observaie: n calculele fcute, abaterile s-au adunat i sczut;

toleranele ntotdeauna se adun (fiind mrimi negative), conform (3.8).

4.1.3. Metoda probabilistica.

n practic, n anumite cazuri (se va vedea), se poate pune problema

c nu toate elementele considerate ntr-un calcul vor fi la maxim sau la

minim, ci vor avea o valoare aleatorie, adic este necesar s se aplice cele

cunoscute de la calculul probabilitilor i statistica matematic. Ca urmare,

valoarea nominal a dimensiunii rezultante se stabilete ca i la calculul

algebric (deoarece valorile nominale nu au o repartiie proprie) :

95

N = Nxi , (4.9) dar, in ceea ce privete calculul abaterilor, acestea avnd o repartiie

proprie, se aplica cele cunoscute de la statistica matematica.

Conform formulei (2.117), se poate scrie :

, =

=n

ii

1

22

sau =

=n

ii

1

2 , (4.10)

n care:

este abaterea medie ptratic a dimensiunii rezultante; i - abaterea media ptratic a dimensiunii componente de ordinul I; n - numrul de termeni componeni.

Se va introduce un parametru nou: abaterea relativ medie

ptratic, definit de relaia:

zR1

2

== , (4.11)

n care R este amplitudinea, care conform relaiei are valoarea:

R = x max - x min .

z - raportul dintre jumtatea amplitudinii i abaterea medie ptratic

(z= 0,5 R/). Pentru legea de repartiie normal, luat ca etalon, conform relaiei,

se poate scrie:

0,5 R = 3, adic:

96

3R 5,0 == z , (4.12) respectiv:

31=e , (4.13)

(indicele e s-a pus fiind vorba de o repartiie etalon).

Deoarece amplitudinea se poate lua egal cu tolerana - lund n

considerare relaiile, adic R=T, expresia (4.11) devine:

T5,0

= , (4.14)

Un alt parametru, care se va introduce, va fi coeficientul de

mprtiere relativ k:

e

k = , (4.15)

n care: - este abaterea relativ medie ptratic pentru legea de repartiie considerat;

e - abaterea relativ medie ptratic pentru legea de repartiie normal (etalon).

Lund n considerare expresiile (4.13) i (4.11), relaia (4.15)

devine:

RR

k 6

2

33 === . (4.16)

Pe baza relaiei (4.14), se poate scrie:

=0,5 T i i =0,5iTi

97

n care: ,Ii ,i, T,i ,sunt mrimi ce se refer la dimensiunea rezultant x, respectiv dimensiunea component xi .

Ca urmare, relaia (4.10) devine:

=

=n

iii TT

1

221 , (4.17)

Observaie: n faa radicalului se ia semnul plus, avnd n vedere c

tolerana este o mrime real negativ.

innd seama c, conform relaiei (4.15), se poate scrie:

=ke i i=kie; formula (3.17) devine:

=

=n

iii Tkk

T1

221 . (3.18)

Coeficientul de mprtiere ki se determin practic sau se cunoate

din alte cazuri similare. Atunci cnd nu se cunoate repartiia elementelor

componente, se poate considera repartiia uniform.

Pentru k se poate lua :

- repartiie dup triunghi isoscel (Simpson), n cazul unei sume de

dou mrimi aleatorii, fiecare dup legea de repartiie uniform;

- apropiat de repartiia normal, n cazul unei sume de trei sau mai

multe mrimi aleatorii, fiecare dup legea de repartiie uniform;

- apropiat de repartiie normal, n cazul unei sume de dou sau

mai multe mrimi aleatorii, fiecare dup legea de repartiie

triunghi isoscel;

98

- repartiie normal, in cazul unei sume de mrimi aleatorii, fiecare

dup legea de repartiie normal.

Atunci cnd mrimea rezultant este dup legea repartiiei normale,

conform relaiei (4.15), se obine

1== ek . (4.19)

La fel coeficientul de asimetrie, dat de relaia, va fi:

= 0 (4.20) deoarece m = xc Dac intervin i erori sistematice, atunci are loc o deplasare a valorii

medii mi conform relaiei (2.41, a):

2i

iciiT

xm += (4.21) Deoarece valoarea medie a unei sume este egal cu suma algebric a

valorilor medii ale mrimilor componente, se poate scrie:

(4.22) =

=n

iimm

1

Lund n considerare relaia (4.21), expresia (4.22) devine :

=

+=+n

i

iicic

Tx

Tx

1 22

sau

+=22

TTxx icic (4.23)

Coeficientul se poate lua nul, deoarece, la nsumarea abaterilor distribuite simetric sau chiar la nsumarea unor abateri omogene cu

99

repartiie asimetric, se poate admite c repartiia tinde ctre o repartiie

simetric

. n acest caz, relaia (4.23) devine:

+= 2i

icicT

xx (4.24)

n care suma este algebric.

Cunoscndu-se xc, abaterile mrimii rezultante vor fi (fig. 4.1) :

Fig.4.1.

2 += TxA ci

2 = TxA ci (4.25)

Formulele (4.9), (4.18), (4.24) i (4.25) servesc la rezolvarea unui

calcul pe cale probabilistic.

Exemple :

a. ( ) 1,0 2,02,0 1,01,0 2,0 201510 +++ +=X Se va considera, pentru simplificare: ki = k=1, i = =0. Se obine succesiv:

X = N10 + N15 + N20 = 10 15 + 20 = 15 mm;

100

mm; 332,01,01,03,0111111 2222

2022

1522

102

3

1

22 ++=++== =

TTTTkkT iii

mm; 35,015,015,005,0

20

2150

20

2

3

1

202015

1010

===

++

+

+=

+=

=

iccc

iicic

TxTx

Tx

Txx

(semnul minus din faa celei de-a doua paranteze se datorete semnului

negativ al celui de-al doilea termen al sumei);

mm; 184,02332,035,0

2=+=+= TxA ci

mm; 516,02332,035,0

2=== TxA ci

( ) mm. 15 184,0 516,0++ == siAANX Se observ c tolerana elementului rezultant obinut este mai mic

dect cea gsit pe cale algebric i este simetric fa de aceasta.

b. ;2510 3,0 3,01,02,0

+

+ =+ x

N10 + Nx = N25, 10 + Nx = 2, Nx = 15 mm;

22222102

2

1

22 3,0111115,0 xx

iii TTTTkk

T +=+=== =

sau

mm; 4,03,05,0 22 ==xT

=

+=

++

+=

+=+=2

1,

1010 05,02

02

02

05,0i

cxx

cxci

icic xT

xT

xT

xx

101

de unde

xc = +0,05 + 0,05 = 0,1 mm;

mm; 3,024,01,0

2+=++=+= xcxsx TxA

mm; 1,024,01,0

2=+== xcxix TxA

( ) mm. 15 3,0 1,0+++ == sxixAAxNx Comparndu-se cu rezultatele gsite algebric, se observ c tolerana

elementului component Tx stabilit probabilistic este mai mare dect cea

stabilit algebric i simetric cu aceasta.

Observaie. n exemplul a era vorba de tolerana elementului

rezultant T, iar n exemplul b este vorba de tolerana elementului

component Tx (comentarii se vor da ulterior).

4.2. Rezolvarea lanurilor de dimensiuni.

4.2.1. Lanuri de dimensiuni liniare paralele.

Prin lan de dimensiuni se nelege un ansamblu de dimensiuni

liniare sau unghiulare, care formeaz un contur nchis (de exemplu, lanul

de dimensiuni liniare paralele din figura 3.2, care stabilete jocul J al unei

asamblri).

102

Fig.4.2.

Observaie: I

n desenul produsului finit, jocul nu se trece; acesta este un element

care rezult. Ca urmare, n desene nu se va cota astfel nct s se nchid

lanul de dimensiuni, deoarece nu se va ti care element trebuie s rezulte.

Parametrul care asigur funcionarea ansamblului i care trebuie s

rezulte la o anumit valoare, impus de buna funcionare, este n exemplul

considerat (fig.4.2), jocul J . Ca urmare, dimensiunea J se va pune la

rezultat:

( )00 DD TT dDJ + = (4.26) Elementele D0+TD i d0-Td sunt elemente componente ale lanului de

dimensiuni; elementul J este elementul rezultant (elementul de nchidere)

al lanului de dimensiuni.

Se observ c exist mai multe elemente componente, dar nu

singurul element rezultant. Iat, de ce, pentru scrierea corect a ecuaiei

lanului de dimensiuni, este bine a se urmri mai nti care este elementul ce

trebuie s rezulte (i care se pune la rezultat), iar toate celelalte elemente vor

fi elemente componente.

Aa dup cum s-a mai spus, se pot schimba ntre ei termenii

componeni (comutativitate), dar nu se poate schimba un termen component

cu termenul rezultant.

Gsirea ecuaiei (4.26), n exemplul considerat a fost simpl. Sunt

ns cazuri cnd lanul de dimensiuni este mai complicat (fig.4.3). n aceast

103

situaie, se va lua un punct de plecare oarecare 0 i un sens oarecare de

parcurgere a lanului de dimensiuni (notat prin sgeata curbilinie); de

asemenea, se va alege de exemplu sensul pozitiv la parcurgerea n sus a unui

element i sensul negativ - n jos (sau invers).

Fig.4.3. Observaie: La elaborarea lanului de dimensiuni, se poate porni

cu oricare din elementele lanului (de exemplu variantele a, b etc. din fig.

4.3.

Considernd varianta b (fig. 4.3, b) ecuaia lanului de dimensiuni va

fi:

( ) ( ) .030510530 0 05,01,000 1,01,0005,00 =++ +++ J Lundu-se n analiz rolul funcional al elementelor lanului, se

izoleaz elementul rezultant (punndu-se la rezultat):

( ) ( ).30510530 0 05,01,000 1,01,0005,00 +++ ++=J Aplicnd, de exemplu, algebra dimensiunilor, se gsete:

( ) m. 030510530 4,0005,01,01,005,00 +++++ =++=J

104

Aa cum s-a cotat asamblarea cu pan, aceasta s-a fcut conform

STAS 1004 -71. Se observ c lanul de dimensiuni are 5 elemente

componente - ceea ce este prea mult pentru o asamblare cu 3 piese [31, p.

95]. Dac se coteaz dup varianta din figura 4.4 [31], lanul de dimensiuni

va avea numai 3 elemente componente:

( ) .0351025 1,000 1,00 1,0 =++ + J respectiv

( ) ( ) mm. 0102535 3,000 1,00 1,01,00 ++ ==J Ca urmare, cotarea din figura 3.4 permite construirea de lanuri de

dimensiuni formate din numrul minim posibil de elemente componente -

ceea ce trebuie ntotdeauna urmrit n cotare

Fig4.4.

ntr-adevr, dac jocul permis este de exemplu mm (aa

cum a rezultat n cotarea din fig. 4.3), atunci, n cazul cotrii mai raionale

din figura 4.4, se poate nc mri toleranele elementelor componente, de

exemplu:

4,000+=J

( ) ( ) mm. 0102535 4,000 1,00 1,02,00 ++ ==J

105

Orice mrire a unor tolerane componente, n cadrul limitelor admise

de lanul de dimensiuni, aduce ieftinirea fabricaiei. Aadar, ultima cotare

(fig. 4.4) este superioar cotrii date n STAS 1004 -71 (care corespunde,

de fapt, cu recomandarea ISO/R 773 din ianuarie 1989*).

Dac se aplic metoda probabilistic n rezolvarea ultimei ecuaii, se

gsete succesiv (lund k = k i = 1; = i= 0 ): ( ) ( );102535 0 1,00 1,02,00 + =J Nj = N35 - N25 - N10 = 35 25 10 = 0 mm;

mm; 2,01,011,012,011111 122222

3

1

22 =++== =

i

ii TkkT

adic o toleran mai mic, putndu-se mri toleranele elementelor

componente - pentru a obine J = 0,4:

( ) ( );102535 0 2,00 2,02,00 + =J .346,02,02,02,0 222 mmT =++= Se trage concluzia c aplicarea calculului probabilistic, peste tot

unde aceasta este permis, constituie o metod mai economic.

n cadrul lanurilor de dimensiuni, se va mai analiza un caz:

schimbarea bazei de cotare.

Fie, de exemplu, desenul produsului finit din figura 3.5. Se observ

c exist 3 baze funcionale: BF1, BF2 si , BF3 de la care pleac cotele

piesei, pe cele trei direcii.

106

Fig.4.5. La execuie, la operaia de frezare (fig. 4.6), baza tehnologic BT2

nu corespunde cu baza funcional BF2 (deoarece pe maina-unealt; se

execut cota x, cuprins ntre baza de aezare a piesei pe maina-unealt

BT2 i scula - care, la rndul su, este fixat pe maina-unealt; lucrurile se

petrec ca i cum dimensiunea x sa-r gsi ntre dou valuri de laminor

aezate la distana x - adic ceea ce se execut este dimensiunea x).

Fig.4.6.

Este necesar s se determine dimensiunea x aa fel ca piesa s rezulte

la dimensiunea prescris (fig. 4.6). Ca urmare, dimensiunea se

va pune la rezultat:

2,0010+ 2,0

010+

.3010 0 1,02,0

0 x= +

La rezolvarea algebric, se gsete:

,20 2,0 1,0++= x

adic:

107

mm. 20 1,0 2,0=x

Prin metoda probabilistic (pentru k = kI = 1; = i = 0): 10 = 30 Nx, Nx = 20 mm;

mm; 173,01,02,0,1,02,0 2222 ==+== xx TTT

;2

02

01,0 3030

+

+== xcxcc TxTxx

mm; 15,005,01,0 ; == cxcx xx

;0635,02173,015,0

2=+=+= xsx TxcxA

;2365,02173,015,0

2=== xcxix TxA

mm, 20 0635,0 2365,0=x

Comparnd cele dou tolerane, obinute algebric i probabilistic, se

vede c tolerana Tx = 0,173 mm gsit probabilistic este mai mare dect

tolerana Tx = 0,1 determinat algebric. Aceasta nseamn c elementul

component x al lanului de dimensiuni se execut mai ieftin, adic, i n

acest caz, metoda probabilistic este mai economic.

Cele dou cmpuri de toleran stabilite algebric sau probabilistic se

suprapun simetric - ceea ce poate constitui o verificare a calculelor fcute.

Observaie: n exemplul din figura 4.4, s-a gsit pentru elementul

rezultant o toleran mai mic, adic elementele componente pot avea

tolerane mai mari. n exemplul din figura 4.6, s-a gsit pentru elementul

component o toleran mai mare. Ca urmare, n ambele cazuri este vorba de

108

tolerana elementelor componente care poate fi mai mare - la rezolvarea

probabilistic.

Alegerea metodei de rezolvare a lanurilor de dimensiuni este o

problem ce aparine proiectantului (de maini sau procese tehnologice). Ca

urmare nu se va insista asupra acesteia..

4.2.2. Lanuri de dimensiuni liniare neparalele.

Fie lanul de dimensiuni din figura 4.7. Pentru rezolvare, se

proiecteaz toate elementele componente pe direcia elementului rezultant:

x = x1cos (90 - ) + x2 + cos. Dac se noteaz cos (90 - ) = A1 i cos = A2, atunci se obine :

(4.27) ,1

2211 =

=+=n

iii xAxAxAx

n care Ai joac rolul unui raport de transfer. (Este important s se

urmreasc semnele elementelor componente).

Fig.4.7.

109

Exemplu : Fie x1 = 173,2 0,07 mm; x2 = 100 0,07 mm i = 60. Rezult:

A1 = cos(90 - ) = cos30 0,866 i A2 = cos = cos 60 0,5 . Pe cale algebric:

x = A1x1 + A2x2 = 0,866 (173,2 0,07) + 0,5 (100 0,07) = = (150 0,06) + (50 0,035) = 200 0,095 mm Pe cale probabilistic:

(pentru k = ki=; = I= 0): =+== 222222222 140160cos14016sin

1 ooiii TkAk

T

( ) mm; 0,14m 14014060cos60sin140 2222 ===+= oo =

++

+= 221

2222

111

TxA

TxAx ccc

= 0,866 (0 + 0 0,07) + 0,5(0 + 0 0,07) = 0 mm;

mm; 07,0214,00

2+=+=+= TxA ci

mm; 07,0214,00

2=== TxA ci

( ) mm. 07,0200 ==

++ ii

AANx

4.2.3. Lanuri de dimensiuni unghiulare.

Se ntlnesc doua cazuri :

1 - elementele unghiulare au un vrf comun (fig. 4.8);

2 - elementele unghiulare nu au acelai vrf comun (fig. 4.9).

110

n ambele cazuri se aplic, pentru rezolvarea, pe cale probabilistic,

formulele (4.9), (4.18), (4.24) i (4.25), n care se introduce, atunci cnd este

cazul, raportul de transfer Ai.

Fig.4.8. Fig.4.9. Pentru elementele unghiulare date sub forma de rapoarte - vezi

relaia - raportul de transfer are valoarea:

,

=bb

A ii

n care: - bi este lungimea convenional la care se raporteaz elementul

unghiurilor componente, de ordinul I;

b - lungimea convenional pentru elementul rezultant.

4.3. Rezolvarea lanurilor de dimensiuni prin metoda sortrii.

n cazul cnd toleranele elementelor rezultante ale lanurilor de

dimensiuni sunt foarte mici, fiind necesar ca toleranele elementelor

componente ale lanului s fie i mai mici - ceea ce poate ridica greuti n

111

execuie, se utilizeaz metoda sortrii. Aceasta const, n esen, n (fig.

4.10) :

- mrirea toleranei elementelor componente Ti de n ori, astfel nct

toleranele obinute: Ti = nTi s fie economice;

- execuia elementelor la toleranele Ti (dar cu rugozitatea

corespunztoare pentru Ti);

- sortarea fiecrui element component n n grupe (cu ajutorul

calibrelor sau alte instrumente de msur), astfel nct n cadrul fiecrei

grupe s nu se depeasc tolerana iniial Ti;

montarea elementelor componente din grupe de acelai ordin (fig. 4.10, b),

astfel nct, pentru toate asamblrile s se obin ajustajele urmrite iniial

(fig. 4.10, a).

112

Fig.4.10.

Se obin rezultate bune atunci cnd TD = Td.

Metoda se aplic n cazul lanurilor de dimensiuni cu elemente

componente puine (de exemplu: rulmeni, arbori principali de la maini-

unelte etc.).

4.4. Rezolvarea lanurilor de dimensiuni prin metoda ajustrii.

n cazul cnd lanurile de dimensiuni sunt formate din multe

elemente componente, fiecare avnd o toleran foarte mic (neeconomic),

se aplic metoda ajustrii. Aceasta const din prescrierea de tolerane mari

(economice) la n-1 elemente componente, iar, pentru a obine o toleran

mic la elementul rezultant, se prevede cel de-al n-lea element component la

dimensiuni mai mari, asfel nct, prin ajustare (achiere sau alte procedee de

prelucrare), s rezulte elementul rezultant n limitele prescrise de buna

funcionare a asamblrii.

Se va lua un exemplu. Fie lanul de dimensiuni (fig 4.11):

x = x1 + x2 + x3 - x4.

113

Fig.4.11.

Dac: i

elementul rezultant atunci, aplicnd de exemplu algebra

dimensiunilor, se gsete:

03,04

2,003

2,002

05,001 213xmm, 118,65,3

+++ ==== xxx

mm 0 02,00+ =x

( ) mm, 02131186530 75,000 3,02,002,0005,00 ++++ =++=ex adic o valoare care depete limitele permise. Se va ajusta elementul x2 n

limitele 0...0,75 mm, dup cum elementul rezultant are valoare efectiv xe

= 0 sau valori pn la xe = 0,75 mm. Ajustarea reclam o munc de

calificare nalt, pentru a asigura o rigiditate de contact bun la suprafaa

ajustat.

Observaie: Proiectantul va prescrie de la nceput care din

elementele componente se va ajusta (aa numitul element de compensare).

4.5. Rezolvarea lanurilor de dimensiuni prin metoda reglrii.

Metoda reglrii difer de metoda ajustrii prin aceea c elementul de

compensare, n loc s fie ajustat, poate fi modificat ca dimensiune, i

anume:

- cu element compensator mobil (compensarea se face de obicei prin

deplasarea unei piese - v. fig. 4.12);

114

Fig.4.12

- cu element compensator fix (compensarea se face prin introducerea

n lanul de dimensiuni a unei piese executate la diferite dimensiuni v. fig.

4.13).

Fig.4.13. Desigur, aplicarea metodei reclam uneori soluii de proiectare

adecvate. Aa, de exemplu, dac suportul urubului conductor de la strung

nu ar fi fost montat lateral (fig. 4.14,b),

115

116

Fig.4.14 ci n fa (fig. 4.14, a), atunci nu ar fi fost posibil dect o deplasare n sus i

jos i nu i una mai n fa sau mai n spate (n