FUNCŢIA RADICAL

FUNCŢIAPUTERE

FUNCŢIA LOGARITMICĂ

FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ

TIPURI DE FUNCŢII

•PUTERI CU EXPONENT NUMĂR NATURAL

PUTERI. PROPRIETĂŢI

2,, ≥∈∈ nNnRa

se numeşte puterea n a lui a, unde a este baza, n-exponentul.

•PUTERI CU EXPONENT NUMĂR ÎNTREG

NnRaa

an

n ∈∈=− *,,1

şi *,, Rbaa

b

b

ann

∈

=

−

,...orin

n aaaa−

⋅⋅⋅=

•PUTERI CU EXPONENT NUMĂR RAŢIONAL

,2,,, ≥∈= nZnmaa n mn

m

a>0

PROPRIETĂŢI

,,1 10 aaa == Pentru 0≠a avem 00- nu se defineşte

RaQnm ∈∈ ,,Pentru

1. am · an= am+n

2. am : an= am-n

3. (am)n = am·n

0, ≠=

ab

a

b

an

nn

4. (a · b)n = an · bn

5.

FUNCŢIA PUTERE

*,)(,: NnxxfRRf n ∈=→

n=2k,

f(x) =x2k

Funcţia putere cu exponent par

*Nk ∈ n=2k-1,

f(x) =x2k-1

Funcţia putere cu exponent impar

*Nk ∈

3)(,: xxfRRf =→ 4)(,: xxfRRf =→REPREZENTARE GRAFICĂ

FUNCŢIA RADICAL

2,,)(,,: ≥∈=⊂→ nNnxxfRDRDf n

se numeşte funcţia radical de ordin n

Pentru [ )[ ) k xxfRf

DNkkn2)(,,0:

,0*,,2

=→+∞

+∞=∈=

Funcţia radical de ordin par.

Pentru

12)(,:

*,,12+=→

=∈+=k xxfRRf

RDNkkn

Funcţia radical de ordin impar.

REPREZENTARE GRAFICĂ

[ ) xxfRf =→+∞ )(,,0: 3)(,: xxfRRf =→

n - impar

y

xO

3)( xxf =

FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ

DEF. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcţia f : R →(0, ∞), f(x) = ax se numeşte funcţia exponenţială de bază a.

Graficul funcţiei exponenţiale se trasează în două cazuri:

a a ∈∈ (0, 1) (0, 1)baza este

subunitară

a > 1a > 1baza este

supraunitară

−1−2 1 2 3

C

8

4 2

−1−2−3 1 2

8

4 2 1

X X

O

A

B

C

O

A BD

E

F

FD E

YY

x -3 -2 -1 0 1 2

f(x) 8 4 2 1 1/2 1/4

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) 1/4 1/2 1 2 4 8

f(x)=x

2

1f(x)=2xCazulCazula a ∈∈ (0, 1) (0, 1)

CazulCazula > 1a > 1

PROPRIETĂŢILE LOGARITMILOR

1log =aa

01log =a

1,0, ≠>∈∀ aaRa

Fie A şi B două numere pozitive, iar a un număr real a>0, a≠1, atunci:

loga(A⋅B) = logaA + logaB

logaritmul produsului a două numere pozitive este egal cu suma logaritmilor celor două numere

Obs. Proprietatea se poate extinde pentru n numere pozitive A1,A2,...,An, adică:

loga(A1⋅A2⋅…An)=logaA1+logaA2+…+logaAn.

logaritmul câtului a două numere pozitive este egal cu diferenţa dintre logaritmul numărătorului şi logaritmul numitorului

BAB

Aaaa logloglog −=

Observaţie: Dacă A=1 şi ţinem cont că loga1=0, obţinem egalitatea:

BB aa log1

log −=

Dacă A este un număr pozitiv şi n un număr real arbitrar, atunci:

logaAn= n⋅logaA

logaritmul puterii unui număr pozitiv este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului.

Dacă A este un număr pozitiv şi n un număr natural , atunci: 2≥n

logaritmul radicalului de ordin n dintr-un număr pozitiv este egal cu câtul dintre logaritmul numărului şi ordinul radicalului.

An

A an

a log1

log ⋅=

FORMULA DE SCHIMBARE A BAZEILOGARITMULUI ACELUIASI NUMAR

Dacă a şi b sunt două numere pozitive, diferite de 1, iar A un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea:

a

AA

b

ba log

loglog =

Obs. Dacă în egalitatea de mai sus A= a, obţinem:

ba

ab log

1log =

logaA=logbA·logab SAU

FUNCŢIA LOGARITMICĂ

DEF. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcţia f : (0, ∞) → R, f(x) = logax

se numeşte funcţia logaritmică de bază a.Graficul funcţiei logaritmice se trasează în două cazuri:

a ∈ (0, 1)

baza este subunitară

a > 1

baza este supraunitară

REPREZENTARE GRAFICĂf : (0, ∞) → R, f(x) = log2xxxfRf

2

1log)(,),0(: =→+∞

1 2 3 x

y

1 2 3 x

y