Lect ii deTEORIA RELATIVITAT IIGheorghe Munteanu, Vladimir Balan20002Cuprins0.1 PREFAT A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I Elementedeteoriarelativitat iirestranse 71 Universulspat io-temporal. 91.1 Introducere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Delamecanicanewtonianalarelativitatearestrnsa. . 91.1.2 Ctevanot iunifundamentale. . . . . . . . . . . . . . 131.2 Spat iulMinkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1 MetricaMinkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 TransformariLorentzspeciale . . . . . . . . . . . . . . 221.2.3 Consecint ecinematicealetransformarilorLorentz.. . . 251.2.4 ImagineaeuclidianaatransformarilorLorentz. . . . . . 261.2.5 Hiperconluminos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.6 Liniideunivers. Timppropriu. . . . . . . . . . . . . . 301.2.7 Marimitensoriale nspat iulMinkowski. . . . . . . . . . 312 Elementededinamicarelativista 332.1 Cvadiviteza sicvadriaccelerat ie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.1 Principiulminimeiact iuni. . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2 Principiulminimeiact iunipentruparticulalibera. . . . 342.2 Dinamicaparticuleirelativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.1 Cvadrivectorulenergie-impuls. . . . . . . . . . . . . . . 362.2.2 Cvadrifort a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Relativitateacampuluielectromagnetic . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 Tensorulcampuluielectromagnetic. . . . . . . . . . . . 382.3.2 Lagrangianulcampuluielectromagnetic . . . . . . . . . 4034 CUPRINSII RelativitateGenerala 433 Elementedegeometriavarietat ilordiferent iabile 473.1 Varietatediferent iabila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Derivatacovarianta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Vatietat iriemanniene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 Teoriagravitat iei. 694.1 Universuluispat io-temporalEinsteinian. . . . . . . . . . . . . 694.2 Particulalibera ncampgravitat ional. . . . . . . . . . . . . . 724.2.1 Ecuat iiledemiscarealeparticuleilibere . . . . . . . . 724.2.2 Aproximareanewtonianaacampuluigravitat ional. . . 744.2.3 Principiuldecovariant a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Ecuat iiEinstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4 Solut iialeecuat iilorEinsteinpentrucampulgravitat ionalslab. 824.5 MetricaSchwarzschildcusimetriesferica.. . . . . . . . . . . . 854.5.1 GeodezicelemetriciiSchwarzschild. . . . . . . . . . . . 894.5.2 Metricicusimetriesfericageneralizata. . . . . . . . . . 984.6 Spat iiEinstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.7 Elementedecosmologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 Teoriigravitat ionaledependentededirect ie 1095.1 GeometriabratuluitangentTM. . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2 Ecuat iiEinsteinpeTM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.3 Spat iiFinsler. Spat iiLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4 Teoriagravitat ionala sicampulelecromagneticpeTM. . . . . 1215.5 Modelerelativiste nspat iiLagrange siFinsler. . . . . . . . . 1235.5.1 MetricaBeil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5.2 MetricaMiron-Tavakol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.5.3 Modele nopticarelativista. . . . . . . . . . . . . . . . 1275.6 Deviat ii ale geodezicelorn spat iul Finsler al universului spat io-temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.7 Solut ii ale ecuat iilor Einstein pe TMpentru campul gravitat ionalslab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.8 Ecuat iiEinsteinpebratulolomorfT

M.. . . . . . . . . . . . 1295.8.1 GeometriabratuluiT

M. . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.8.2 Spat iiLagrange siFinslercomplex. . . . . . . . . . . . 1320.1. PREFAT A 50.1 PREFAT ACandne-ampropussascriemocartedeteoriarelativitat ii amfostdeseoriintampinat icuobservat iacaaceastaestetreabazicienilor.Intr-adevar, teoriarelativitat ii este oteorie aspat iului, atipului si agravitat iei -deci utilizeaza concepte fundamentale ale zicii. nt elegerea aces-tor idei, nspecial celealegravitat iei -relativitateagenerala, presupuneopregatirematematicaconsistenta ndomeniicumarmecanica, geometriaana,darmaialesgeometriavarietat ilordiferent iale.Dinpunctulnostrudevedereamputeaspunecateoriarelativitat iiesteuncapitolaplicativdegeometriediferent iala. Parcurgereaunuicursdege-ometriavarietat ilordiferent iale(carelanivelulul actual estedestul deax-iomatizatsi formalizat)dasenzat iaunei teorii matematicepure, aplicat iileindadeseatot cutentateoretica. Abiaparcurgandunastfel decurs deteoriarelativitat iigeneralepot isa-t ilamurestiimportant aunuispat iucurbsisaint elegicemodeleimportanteoferageometriapentruzicieni.Prezentulcursseadreseazastudent ilormatematicienidinaniiterminalisinoiconsideramcaesteindispensabilpregatiriilor, nspecialpentruceiceau optat pentru o pregatire geometrica mai consistenta. Ei pot gasi aici bazacunostint eloratatmatematicecatsi zicenecesare nt elegerii lui. Credem,dinacestmotiv,caelpoatefolosit negalamasura sidestudent iizicienicareprinpregatirealornuau ntodeaunacunostint elematematicenecesareparcurgerii capitolelorderelativitategenerala. Desigur, cursul poateuti-lizat si de alte persoane dornice sa nt eleaga aceasta teorie teribila a secoluluiXX,negandim nprimulrandlaceiceabordeazaaspectelozocealerel-ativitat iifarasaaibapregatireamatematicanecesara.Carteaesteconceputa ndouapart i:-elementedeteoriarelativitat ii restranse(speciale),ncarecititorul sefamiliarizeaza cu universul spat io-temporal al lui Minkowski si transformarileLorentzce lguverneaza.Suntabordateprincipaleleinterpretari cinematicesi dinamicedinrela-tivitatearestansa. Sefacesioscurtaincursiune nteoriarelativistaaelec-tromagnetismului.-n partea a doua, intitulata Relativitate generala, dupa o scurta pregatirematematica,sestudiazateoriagravitat iei.Sunt studiate solut ii pentu ecuat iile Einstein, n cazul solut iilor Schwarzschildfacandu-sereferint e silateoriagaurilornegre.6 CUPRINSUltimulcapitoldinaceastaparte,intitulatTeoriigravitat ionaledepen-dente de direct ie, face trimiteri la o teorie modernan care scoala romaneascadegeometrie are contribut iiremarcabile. Elarputeaoferideschideripentrucercetariulterioare.Credemcaprezentul cursvaprimitcorespunzatordorint elornoastreatat de matematicieni cat si de zicieni, el venindn completarea unorcart i excelentecumsunt celealelui Gh.Vranceanu, N.Mihaileanu[52] (ceseadreseaza nspecialmatematicienilor)sauC.Vrejoiu[51](ceseadreseazainspecialzicienilor)GheorgheMunteanu VladimirBalanUniversitateaTransilvaniaBrasov UniversitateaPolitehnicaBucurestiParteaIElementedeteoriarelativitat iirestranse7Capitolul1Universulspat io-temporal.1.1 Introducere.1.1.1 De la mecanica newtoniana la relativitatea re-strnsa.Pentrua nt elegesensul formularii teoriei relativitat ii estenecesarsadamuneleprecizariprivindnot iunileimplicate sisafacemoscurtaincursiune nproblematicaziciiceaconduslaelaborareateorieirelativitat ii.Inzicaclasicaseopereazacunot iuni, concepteaateinmiscaresaurepausraportatlaunanumitloc(spat iu) sitimp. Acestenot iuniauuncar-acter relativ deoarece se raporteaza la repere constand din obiecte materialesirespectiv,unceas.De regula, spat iul este descris prinmarcareapozit iilor unui obiect inraportcureperspat ialtridimensionalreal,iartimpulprintr-osinguracoor-donata reala. Descrierea unui fenomenn timp -eveniment , trebuie sa se facadeci ntr-un anumit loc si moment ntr-un reper 4-dimensional, numit sistemdereferint a(SR)spat io-temporal. Oriceproceszicdevineosuccesiunedeevenimentespat io-temporale.Avandn vedere ca pozit ionarea spat iala trebuie sa se faca si din punct devedere metric, n mecanica clasica este unanim acceptata structura euclidianaa spat iului tridimensional iar pozit ionarea matematican reperul spat ial indceavectoriala.Fizica, caoricestiint a, trebuiesacuprindalegi general acceptatecenudepinddeSRspat io-temporal.910 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.Aspectul relatival teoriilorindlegatderaportarealadiverseSR, depozit ionarea SR, de direct iile axelor de coordonate, precum si de xarea unuitimp0.Intr-unsistemR= O, eixatunpunctvadecicaracterizatdecoordonatelespat iale(x1, x2, x3), sauvectorial der=xiei. Pestetotvompresupuneconvent ialuiEinsteindesumareaindicilor. Desriereaevenimen-tuluiestefacutadeelementul(t, x1, x2, x3),tindvariabilatemporala.Miscarea, raportatalaunSR,esteperceputaprinschimbarea ntimpacoordonatelor spat iale, marimeaspecicacedescriemiscareaindviteza,adica variat ia coordonatelor spat iale inraport cutimpul, v =drdt. Dacav=constant, miscareaesteuniforma. Variat iavitezei nraportcutimpulesteacclerat ia, a =dvdt.Labazamecaniciinewtonienestauurmatoarelelegi(principii):P1.(Principiul inert iei, Galilei).Inabsent ainteract iilorcualtecorpuri,uncorpse aanstare de repaus saumiscare rectiliniesi uniforma. Saobservamdela nceputcamiscarea(repausul)esteraportatalaunSRdat,ceeace nseamnacamiscareintr-unSRpoate nsemnarepaus naltulSR.Este binecunoscut exemplul cu obiectele dintr-un vagon de tren n deplasare,careseaa nrepaus nraportcuunreperxatdininteriorul vagonuluisinmiscare nraportcuogara.Totalitatea SR pentru care se aplica principiul inert iei se numesc sistemeinert iale,SRI., siaicivomlua nconsiderarenumaipeacestea.P2.(Principiul fundamental al dinamicii). Fort a ce act ioneaza asupra unuicorpesteproport ionalacuaccelerat iaimpusalui,

F=m a; m=masacor-pului.P3. (Principiul interact iunii). Act iunile reciproce adouacorpuri suntegale nmarimesidesemneopuse,

F1=

F2.P4.(PrincipiulluiGalilei). Actiunilereciproceamaimultorcorpuriesterezultantavectorialaainteract iilorlor.Act iunea unei fort e asupra unui corp nu spune nimic daca nu este privitantimp,

Ft = mat =mv= mv mv0,vectorul p = mvnumindu-seinpuls.Efectul total al unei fort e este direct proport ional cuspat iul pe careact ioneaza, obt inemlucrul mecanicL=Fs =mv22mv202, cantitateaE=mv22indenergiacineticaimprimatacorpului.Considerand doua SRI diferite suntem nevoit i sa consideram cteva ipotezevalabile nmecanicanewtoniana:-intervaleledetimpsuntaceleasi nceledouaSRI.1.1. INTRODUCERE. 11-distant elespat iales2=(x1)2+ (x2)2+ (x3)2sepastreazadacareperele sunt ambele ortonormate, fapt justicat geometric prin s2= s2=(x1)2+ (x2)2+ (x3)2latransformarileortogonale.-masaesteonot iuneinvarianta-fort eledeinteract tiunedintredouacorpurinudepinddecatdepozit iilecorpurilor,devitezelelor sidetimp.Pentruaexprimareguli obiectivealezicii estenecesarsaavemrelat iimatematice ce exprima transformarile de coordonate n cele doua SRI, adica(t, x1, x2, x3)T(t

, x1, x2, x3) cu Tinversabila. n plus, o lege, ecuat ie , estedeluat nseamadacaea si pastreazacaracterul deadevaratsaufalsprintrecerea cu transformarea Tde la un reper la altul. Acesta este un principiuesent ial nzicanumitproprietateadeinvariant a.Transformarile ce satisfac ipotezele de mai sus se exprimasimplusubformatransformarilorluiGalilei:Fig1.1Presupunemcat

0=t0si casistemul SRI sedeplaseazaprintranslat iefat adeSRI cuvitezaconstantav. Avem OM= OO

+O

M, adicapecomponente:xi= xivit ; i = 1, 2, 3 (1.1.1.1)Legilecesatisfacpricipiul decovariant alatransformarilelui Galilei sespunc avericaprincipiul relativistalui Galilei. DacaunpunctMsede-plaseaza nSRIdupaoanumitaregulaxi=xi(t)atunciderivand ntrans-12 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.formarileluiGalilei nraportcut,obt inemcavitezadedeplasareu =drdtaluiMinSRIseleagadeviteza nSRIprinui= uivi; i = 1, 2, 3 (1.1.1.2)Derivand ncaodata,obt inemcatransfornarileluiGalileipastreazaex-presiafort ei.Lumea ar simpla (si monotona) daca ea ar numai de natura materiala.Evolut ia zicii de la Newton pana astazi a scos la iveala o seama de fenomeneceaupusla ndoialavalabilitateainvariant eiluiGalilei.Primul semnde ntrebareafostlegatdevitezaluminii si naturaundeiluminoase.Incercarideadeterminavitezaluminiisuntmaivechi, ncepandcuobservat iiledanezului O.Romer(1644-1710)si aleenglezului J.Brandley(1693-1762) ce austabilit o valuare de 302000 Km/s pentruviteza lu-minii. Experient eleteresteauconstatatnsecoleleurmatoare(A.Fizeau,J.Foucault, A.Michelson, etc.) o valoare apropiata de c=300000Km/s accep-tataastazi. DacaampresupunecadouaSRI sedeplaseazacuovitezavmare,conformcu(1.1.1.2)ar nsemnaodiferent aconsiderabila ntrec sic

,vitezelelumini inceledouasisteme. Chiarmai mult, amdeducecaputemconsideraSRI ncarevitezaluminiisaeoricatdemare. Acestaafostunprimsemnde ntrebare.Inceeaceprivestenaturaluminii lucrurulestausi mai complicat. Nudorim aici sa evident iem elemente ce stau la baza zicii de astazi. Ele se potgasi pe nt eles n lucrari de popularizare a stiint ei, una excelenta si accesibilatuturorind[38].AmintimdoarcaNewtonconsidera n1675caluminaareonaturama-teriala, corpusculara ce se reecta diferit pe obiecte. Odata cuaparit iateorieiondulatorii, lanumaitreianidiferent a, n1678, zicianulC.Huygensemite ipoteza naturii ondulatorii a luminii. Experient ele ulterioare facute deTh.Young(1817), J.A.Fresnel (1819)auaratatcateoriaopticaondulatoriealui Huygenscomplicamultlucrurile, ducandlaintroducereaunei not iunicucaractersemiabstract: eterul.Fizica intra ntr-un nou impas odata cu studiul cmpului electromagnetic.Ecuat iile lui Maxwell (1865) realizeazaodescriere unitaraafenomenelorelectricesi magnetice. Apare nlumeazicii secolului trecutideiacatoatefenomeneleziceartrebui sa-si gaseascaexplicat ii prinaplicarealegilorluiGalilei la un mediu suport , eterul, dar de natura electomagnetica. Eterul esteconsiderat pretutindeni iar campul electromagnetic o stare a sa. Dicultatea1.1. INTRODUCERE. 13ceapareestecalegileluiMaxwellnuramaninvariantelatransformariledetipGalilei. Caurmarelasfarsitul secolului trecut sedezvoltadouateoriiprerelativiste:-ipotezalui Hertz(1888), ceconsideracalarandul saueterul estetotalantrenat intr-o miscare ce face ca viteza luminii sa ramana o constanta. Ideiaestecurandinrmatadeexperient e.-ipotezaolandezului H.A.Lorentz (1853.1928), ce separainvariant adetipGalilei pentrulumeamaterialaiarpentrucelelaltefenomeneseacceptaexistent aunuiSRpreferent ialsupuslegilorelectromagnetismului.Experient ele facute au condus la concluzia ca nu se poate punen evident amiscareaPamantului fat adeetersi nici dovedi dependent avitezei luminiifat adesistemuldereferint a.Iataimpasul ncaresegaseazicalasfarsitulsecoluluitrecut.Renunt and la ipoteza eterului, Albert Einstein (1879-1956) formuleaza nlucrareaAsupraelectrodinamicii corpurilor nmiscare(1905)urmatoarelepostulate:Postulatul I.Principiul relativitat ii se aplica tuturor proceselor naturale;legilezicii si rezultateletuturorexperient elor, formulate ntr-unsistemdereferint a dat, sunt independente de miscarea rectilinie si uniforma a sistemu-lui. (FormulareanusereferaneaparatlaSRI)PostulatulII.Valoareavitezeidepropagarealuminii nvidesteaceeasintoatesistemeledereferint ainert iale.Desigur, formulareacelor douaPostulate, dincolode interpretarealorlosoc a, presupune iesirea din cadrul strict al mecanicii newtoniene. Consecint aafost evident iereacaracterului relatival timpului si spat iului. Timpul silungimilepentruEinsteinnumaiauosemnicat ieabsoluta noriceSRI.Teoriarelativitat ii expusa n1905deA.Einsteinare, asacumsevede,uncaracteraxiomatic siestecunoscutasubdenumireadeteoriarelativitat iirestranse,sauspeciale.In cei 95 de ce au urmat teoria a fost perfect ionata (n buna parte chiar deEinstein) si n acelasi timp supusa si unor critici. Cu toate acestea rezultatelesale,conrmate sidepractica,nupotcontestate.1.1.2 Ctevanot iunifundamentale.Presupunemcacititorul aparcurs pananprezent uncurs de geometrieanasi euclidiana, indfamiliarizatcunotat ii tensoriale. Pentruunitatea14 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.expunerii vomtrece aici nrevistactevanot iuni de bazapentrucele ceurmeaza. Pestetotvomfolosiconvent ialuiEinsteindesumare.Sa consideramV= (Rn, +, R) spat iul vectorial numeric real ndimensional.Intr-o baza B= eii=1,nun punct x se scrie x = xiei, iar (x1, .., xn) RnsenumesccomponenteleluixinbazaB.Daca B

= e

ii=1,n este alta bazan Vsi S=_sij_(idicele de sus indice delinie, cel de jos de coloana) este matricea de trecere de la baza Bla B

, adicae

j=sijei, j=1, n, atunci componentelelui x nbazaB

sunt(x1, .., xn)datede:xi=sijxj(1.1.2.1)unde_sij_=S1estematriceainversaalui S. Matricial scriem: X

=S1X.NotamcuVspat iul dual al lui V, adicaspat iul 1-formelorliniaref :V R.RelativlabazaBdinV obt inembazadualaB= fii=1,n nV,undefisunt1-formeledeniteunicdefi(ej) = ij(simboliiluiKronecker)si deci fi(x)=xi. Orice1- formaf sevaexprimadupabazaBcaindf= aifi.Legatura ntrebazeledualeBsiBestedatadefi=sijfj,decisefacecumatriceainversa,iarexprimarea1-formei nbazaBestea

i= sjiaj(1.1.2.2)sievidentcaaj=sija

i.Pentrudoua1-formefsi gputemdeni produsul lortensorial f g:VVR, (f g)(x, y)=f(x)g(y). Sacosideramacumspat iul formelorpliniare Lp(V, R). Obazacorespunzatoarelui Bn Lp(V, R) esteBp=fi1...ip= fi1.... fip, iar exprimarea unei pforme h este h = ai1...ipfi1.... fip. Laschimbareabazeicantitat ileai1...ipseschimbaduparegula:a

i1...ip= sj1i1sjpipaj1...jp(1.1.2.3)Spat iul dual al lui Lp(V, R) este izomorf cu Vp, iar baza duala lui BpestenotatacuBp=_ei1... eip_.Suntem acumn masura sa denim not iunea de tensor (an) de tip (p, q)caindo(p + q)formaliniarat: Vp VqR. ReferitorlabazaBsidualasaB,un(p, q)tensorsevascriet = tj1....jpi1....iqej1... ejpfi1.... fiq(1.1.2.4)1.1. INTRODUCERE. 15iarlaschimbariledebazeB B

cumatriceaS, componenteletensoruluisevorschimbaduparegula:th1....hpk1....kq= si1k1 siqkq

sh1j1 shpjptj1....jpi1....iq(1.1.2.5)Evident, vectorii sunttensori detip(1, 0), 1-formeleinddetip(0, 1),iarpformeledetip(0, p).Dinpunctdevederealgebricsepoatepune nevident aostructuradealgebra T(V )pestemult imeatuturortensorilor,produsuladoitensoria sibdetip(p, q)sirespectiv(r, s)inddatdeaplicat ia(p + q + r + s)liniaradeterminatadetj1....jpv1...vri1....iqu1...us= aj1....jpi1....iqbv1....vru1....us.Opforma se numeste simetrican indicii h si k daca f(x1, .., xk, .., xh, .., xp)=f(x1, .., xh, .., xk, .., xp)sicompletsimetricadacaestesimetricaintot iin-dicii. Daca pentru h ,= k avemf(x1, .., xk, .., xh, .., xp) = f(x1, .., xh, .., xk, .., xp)formasenumestealternata.Pespat iul formeloralternatedeoriceordin /(V ), sepoatedeni pro-dusul exterioraunei pformefcuoqformag,obt inandu-seforma(p +q)alternatanotatacu:(f g)(x1..xp, xp+1, ...xp+q) =1p!q!

f(x(1), .., x(p)) g(x(p+1), .., x(p+q))(1.1.2.6)/(V )capatastructuradealgebranumitaexterioara.Inparticular, =f1 ... fpsenumesteformadevolumin Lp(V, R)relativ la bazaB. Daca X= (X1, ...., Xn), = 1, n ,atunci (X1, ..., Xn) =det(Xi).PrinprodusscalarpeVnt elegemo2formaliniarag: VVR,simetricasi pozitivdenitapeV , adicag(x, y) 0, x, y V si g(x, x)=0 x = 0.Perechea(V, g)senumestespat iueuclidian.Renunt andlacondit iadepozitivadenireseobt inspat iilepseudoeucli-diene,unuldinelestalabazateorieiceovomstudia.Intr-o baza B din Vprodusul scalar se scrie g(x, y) = gijxiyj, cu det(gij) ,=0 si evident forma patratica h = gijxixjpozitiv denita (adica se reduce,eventualntr-oaltabaza,laosumadepatrate).BazaBsenumesteortonormatadacag(ei, ej) = gij= ij.La schimbari de baze (0, 2)tensorul gij, numit tensorul metric, se schimbaduparegula(1.1.2.3), saumatricial scris G

=St GS. Produsul scalarg(x, y) =

xiyisenumesteuzual ,G=I, si senoteaza, deobicei, prin16 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.x, y) . La schimbari de baze la fel orientate forma de volum se transformaduparegula

=g,undeg= det(gij).Tensorulmetricpermiterdicareasaucoborareaindicilorunuitensor,deexempluxi= gijxj,e.t.c.Saintroducemacumsi put inageometriediferent iala nRn. Fie nRnocurba(C) : xi(),variind ntr-unintervaldinR, sif(xi())ofunct ierealadepinzanddecurba(C). Presupunandcondit ii dediferent iabilitatendeplinite, avemdfd=fxidxidsi aceastaindiferent de funt iaf. Astfel casuntemcondusisaconsideramoperatoruldd=dxidxi.Facemnotat ia:ei=xi; i = 1, n (1.1.2.7)FieM(x1, .., xn)unpunctal curbei (C)si notamcuvi=dxid . Vectorulv=(v1, ..., vn)senumestecampdevectori tangent i lacurbainM,si deciv =viei. Spat iul generat devsenumestespat iul tangent lacurbanM.ConsiderndaltecurbeprinM, vectorii lortangent i sevorexprimafunct ietot deei=xisi deci B=_ei=xi_i=1,nconstituieobazaavectorilortangent i lacurbele prinM, numit spat iul tangentnMlaRn. Reunindacestespat iiseobt inebratultangentlaRn.Sa consideram acum o schimbare de coordonate xixin M( eventualdictatadeoschimbaredebaze nRn)si e

i=xinouabazaavectorilortangent i. Deoarecexi=xjxixj,rezultaca:e

i=xjx

iej(1.1.2.8)si deci matricea schimbarii de baze este S=_xjx

i_,cu inversa S1=_xixj_.Schimbarea componentelor vectorilor tangent i se face dupa regula vi=xjxj vj,datade(1.1.2.1).Acumpentrucurba(C) saconsideramdiferent ialadf =fxidxi. Con-siderandtoatecurbelecetrecprinM, diferent ialalui fpeacestecurbesedescompune dupa dxii=1,n.In particular, daca f(x1(), ..., xn()) = xi()obt inem ca dxi(xj) = ij, adica fi= dxii=1,neste deci baza duala bazei Binspat iuldiferent ialelorfunct iilordepinzanddecurbelecetrecprinM.Unelementa=aidxisevanumi 1-forma. Exemplusugestivde1-formaestegradientuluneifunct iiscalarea = (gradf)idxi.Sa remarcam ca la schimbari de coordonate , funct iile fi= dxise schimba1.1. INTRODUCERE. 17duparegulafi=xixj fj(1.1.2.9)Spat iul1-formelorsenumestespat iulcotangent nMlaRn.FolosindmatriceaS=_xjx

i_si inversasaS1=_xixj_putemextindenot iuneade(p, q) tensor. nparticular, tensorul metricgijvatrebui sasatisfacareguladetransformareg

ij=xkxixhxjgkh. Astfelcaformapatraticasevascrieg=gijdxidxj, dincaresededucecag(xi,xj)=gij. Tensorulmetricareurmatoreasemnicat ie. Fiedr =dxi xiunvector tangent lacurba(C)si r=xj xjvectorul tangentlacurba(C

)ceseintersecteazacu(C) nM.Atuncig(dr, r) = dxixjg(xi,xj) = gijdxixj. Inparticularnorma | dr |2,notatads2,vatocmaids2= gijdxidxj(1.1.2.10)si se numeste forma fundamentala pe Rna metricii g n raport cu baza B, iards=_gijdxidxjestelungimeaelementului dearcdecurba(C). Unghiulcelordouacurbeestecos = drr/ | dr || r |RelativlabazaBformadevolumested=gdx1....dxn.Incontinuarevom ncercasaparticularizamlaspat iul Rnconceptul dederivataLie.FieM(x)unpunctsi Wunobiectgeometricdenitintr-ovecinatatealui M. Saconsideramocurba(C)si v=_dxid_vectortangentlacurba. Ovariat ieinnitesimalapecurba ndirect ia vsescrie:xi= xi+ dxi(1.1.2.11)cudxi= vid = i.18 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.Fig.2Corespunzatorvomaveavariat iadeprimulordinaluiW,W(x

) = W(x) +Wxj jPe de alta parte, xideneste o schimbare de coordonate si deci e W

(x

)expresialuiWnreperul_xi_dinx

.Diferent aLW= W(x

) W

(x

) (1.1.2.12)senumestevariat iaLieaobiectuluigeometricW.Safacemurmatoareleparticularizari:1. DacaW(x

) = W(x)esteofunct iescalaracenuseschimbalatrans-formarileinnitesimale,atunci LW= W(x

) +WxiiW(x

) =Wxii2. DacaW(x) =Wi xieste uncampvectorial , atunci: Wi(x

) =xixj Wj(x) =(xi+i)xjW(x) = Wj(x) +i|jWj(x) ,unde am folosit notat ia i|j=ixj.Rezultaca LWi=Wixjji|jWj3. DacaW=Widxieste o1- forma, atunci W

(x

) =xjxiWj(x) =Wi(x) j|iWj(x) sideci LWi=Wixj j+ j|iWj.AnalogsegasesteLWik=Wikxjj+ j|iWjk + j|kWijsau LWik=Wikxjji|jWjk+ j|kWjjsialtele.Inncheiereaacestei sect iuni vomrepetaunprincipiufundamental almecaniciianalitice,celalminimeiactiuni.Sapresupunemcaevolut iaunuisistemzicestecaracterizatalaunmo-ment dat n funct ie de coordonatele generalizate xi() si de derivatele sale xi().Deplasareasistemuluimecanicintredouastaricorespunzatoarevalo-rilor1si 2seface nlipsaunorfort edeinteract ie(adicasistemul esteizolat)astfelcaintegralaact iunii/ =_21L(xi(), xi(), )d (1.1.2.13)saseminimizeze, undeL(xi(), xi()) estefunct ialui Lagrange. Sacon-sideram o variat ie innitesimala x+dx si L(x+dx, x+d x) starea Larangian-ului npunctulcorespunzator. Vomobt ineovariat ieaact iuni /+ / =a1.2. SPAT IULMINKOWSKI. 19Extremulact iuniseobt ineanulandprimavariat ie/,adica/ =_21L(x + dx, x + d x, )d _21L(x, x, )d=_21_L(x, x, ) +Lxidxid+L xid xid L(x, x, )_d=_21_Lxidxid+dd(Lxidxi) dxiddd(L xi)_d=Lxidxi[21+_A1A2_Lxi dd(L xi)dxi=0, unde A1, A2sunt punctelecorespunzatoarestarilor1, 2.Presupunandcanpunctele A1si A2variat iile sunt nule, dxi(1) =dxi(2) =0si nrest arbitrare, rezultaca/=0dacasi numai dacafunct ialuiLagrangesatisface:Lxi dd(L xi) = 0 ; i = 1, n (1.1.2.14)numiteecuat iileluiEuler-Lagrange.Principiul acestavariat ional al minimei act iuni nedeterminadrumurilecelemaiscurte(optime)dedeplasareasistemuluidinpunctulA1npunctulA2.Problema se poate generaliza la cazul cand sistemul depinde de maimult i parametri (1, ..., p). nacestcaztrebuiecaintegralaact iunii /=_A1A2Ldsaseminimizezesi sanudepindadeparametri. Pentruaceastaseconsiderad= gd0, unded0=d1....dpesteformaelementaradevolum. Scalarul L=Lg senumestedensitatedeLagrangian. Calculeaseman atoarecamai susprivindanulareaprimei variat ii neconduc[42] laurmatoareleecuat iiEuler-LagrangeLxi _L_xi__ = 0 ; i = 1, n ; = 1, p (1.1.2.15)1.2 Spat iulMinkowski.1.2.1 MetricaMinkowski.Amvazutca ntr-unsistemdereferit ainert ial,SRI,unevenimentestecar-acterizatdecoordonatelespat iale(x1, x2, x3) simomentultlacaresereferamasuratorile.Vitezadepropagarerectilinieaunuisemnalluminos nvidartrebuisasatisfacaconformmecaniciiclasicelegeaxk= ckt.Admit andPostulatul20 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.2alluiEinstein,ck= cesteoconstanta. TrecandlanormaeuclidianadinR3,vomavea:(x1)2+ (x2)2+ (x3)2= c2(t)2(1.2.1.1)condit ie ce ar trebui sa aiba un caracter relativist invariant n raport cu douaevenimentedinSRI.Apareastfelnatural(acum!) saconsideramelementeledinR4deforma(x0= ct, x1, x2, x3)iardouaevenimentesaeseparateprintr-ocondit iedeforma:s2= (x0)2(x1)2(x2)2(x3)2numitinterval spat io-temporal. Subformadiferent ialaavem:ds2= (dx0)2(dx1)2(dx2)2(dx3)2(1.2.1.2)Intervalul spat io-temporal se poate scrie tensorial sub forma metriciispat io-temporale,saumaiexactmetricaMinkowski:ds2= ijdxidxj; i, j= 0, 1, 2, 3 (1.2.1.3)unde00= 1, 11= 1, 22= 1, 33= 1 si nrest0.Obt inemastfel matricea=diag (1, 1, 1, 1)=(ij)44cudet=1.Inceleceurmeaza, pestetotindiciii, j, k..vorluavalorile0, 1, 2, 3, iarindicii, , ..(spat iali)vorluavalorile1, 2, 3.Putemintroducecoordonatelecovariantexi=ijxj, undex0=x0six= x, sidecids2= ijdxidxj= dxidxi.Asacumamarmat,laschimbariderepereinert ialeSRIfSRIecuat ias2=0 trebuie sa ramana un invariant relativist, adica si s2=0.Fie xifxiaceasta schimbare ce trebuie sa e inversabila, si decidet_xixj_,= 0.Dezvoltand nserieTaylor,obt inem:xi=xixj xj+122xixjxkxjxk+ ......Variat iile spat iale si temporale trebuiesc sa e invariate la translat ii spat ialesi temporalealereperelor, faptceseexprimaprinxixj=aij=const. , iarderivatele de ordinsuperior sunt nule. Obt inemcadxi=aijdxjsi prinintegrarerezulta:xi= aijxj+ ai0(1.2.1.4)cuai0constante sidet_aij_,= 0.1.2. SPAT IULMINKOWSKI. 21Sub forma matriciala aceasta condit ie se scrie X

= A X+A0, detA ,= 0,ceneamintestedetransformarileane nR4InSRI metricaMinkowski sescrieds2=ijdxidxj=ijaikajldxkdxl.Condit iadeinvariant aneconducela:kl= ijaikajl(1.2.1.5)saumatricial: = At A.Transformarile (1.2.1.4) cu condit ile (1.2.1.5) se numesc transformari Lorentzgenerale.Catevaproprietat iimediatealelorsepotdesprinde:1. Trecandladeterminant i n = At A,obt inemcadet A = 1.2. Calculamdin(1.2.1.5)pe00= 1 = ijai0aj0= (a00)2(a10)2(a20)2(a30)2(1.2.1.6)Astfelca:(a00)2= 1 +3

=1(a0)2 13. MatriceaA1=_aij_arecaelementeaij=jlikalk. Deaici rezultacaa00= a00,siai0= a0i;a0i= ai04. Suntemacum nmasurasadesprindemcatevaproprietat igrupale.In primul rand , mult imea T a transformarilor Lorentz generale formeazagrup nraportcucompunerealor,numitgrupul Poincaire.In T consideramurmatoarelesubmult imi:-transformarileproprii T+,pentrucaredet A = 1,cusubclasele:-transformaripropriioctocrone T+,pentrucarea00 1,-transformaripropriianticrone T+,pentrucarea00 1,-transformarileimproprii T,pentrucaredet A = 1,cusubclasele:-transformariimpropriioctocrone T,pentrucarea00 1,-transformariimpropriianticrone T,pentrucarea00 1.Daca A0= (ai0) = 0, transformarea Lorentz (1.2.1.4) se numeste omogena.Catevadinsubclaseledemaisussuntsubgrupuri n(T ,):SubgrupultransformarilorLoretzomogene, L Subgrupurile T+si L+ ale transformarilor proprii octocrone neomogene,respecrivomogene.22 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.Subgrupultranslat iilorspat iale-temporaleX

= X + A0.Subgrupul rotat iilor spat iale, pentrucare=_0 00 O33_, undeO33 grupuluispat ialortogonal.Cazul transformarilor propii octoctoneomogene L+nevapreocupanmoddeosebit.5.In spat iul R4putem considera g(x, y) = ijxiyjce ne deneste un pseu-doprodusscalar, (R4, g)=M4,1, indnumitspat iul Minkowski. Condit iag(x, x) = 0nuimplica ntodeaunax = 0.1.2.2 TransformariLorentzspecialeTransformarileLorentzspecialesereferalacazul transformarilorpropii oc-toctoneomogene L+.SaconsideramSsi S

douaSRI cesedeplaseazaunul fat adecelalatcuvitezav respectivv

= v. Notamcu(x0= ct, x1, x2, x3) si respectiv(x0= ct

, x1, x2, x3)coordonatelespat io-temporalealeunuipunctmaterialMnceledouasisteme.Daca Meste xat spat ial n S

atuncidxdt= 0, = 1, 2, 3. Rezulta ca nraportcusistemulSpunctulMsevadeplasacuviteza:v=_dxdt_x=const.= c_dxdx0_x=const.(1.2.2.1)Sianalog,xandMnreperulSvomavea nS

:v=_dxdx0_x=const.Fiexi=aijxjotransformareLorentzspeciala(det_aij_=1, a00 1)sixi=aijxjinversa sa , aijajk= ik. Presupunem coordonatele xsunt xate nS

, rezulta ca dx=a0dx0+0 si dx0=a00dx0+0, astfel ca formula (1.2.2.1)sescrie:v= c_dxdx0_dx=0= ca0a00= ca0a00Analogrezultavitezacandxampunctul nS:v= c_dxdx0_dx=0= ca0a001.2. SPAT IULMINKOWSKI. 23Dinacesterelat iiobt inemca:a0= 1ca00v; a0=1ca00v(1.2.2.2)Pedealtapartedin(1.2.1.6)rezultaca:(a00)2_1 1c2 ((v1)2+ (v2)2+ (v3)2)=1si deci : (a00)2=11v2c2, undev2= |v

|2= |v|2=v2(diferent ainddoar desensul vectorului). Cuma00 1,obt inemutilizand si(1.2.2.2)ca:a00=1_1 v2c2; a0= a0=v_1 v2c2; = 1, 2, 3 (1.2.2.3)Deregulavomfolosiurmatorelenotat iiconsacratea00= sivc= .Pentrucomponentelespat iale(a)saremarcamdin(1.2.1.5)caeletre-buiescsaecomponenteleunei matriceortogonaledeordin3. Deci formageneral aatransformarilorLorentzspecialeestedatadematricele:A =_ -cv-cv a_(1.2.2.4)ncarea, , = 1, 2, 3,vericaurmatoarelecondit iideortogonalitate:va= v(1.2.2.5)aa= 2c2vvaa= 2c2vvundeconvenimcav= v.In[51]sejusticaurmatoareaproprietate:OricetransformareLorentz specialascrisasubforma(1.2.2.4) poatereprezentatacaunprodusntreotansformareLorentzcelasaneschimbatecomponentelevectorilordepozit ie nplanulperpendicularpevsiotransfor-mareortogonala nacestplan.Fara sa intramn aceste calcule , se arata ca n urma acestor transformariavem:a= + 1v2vv(1.2.2.6)24 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.ncazul particularcandS

sedeplaseazaprintr-otranslat ieparalelacuOx2siOx3,Fig3atuncitransformareaLorentzestedematriceA =____ - 0 0- 0 00 0 1 00 0 0 1____Adica: x0= x0 x1, x1= x0+ x1,x2= x2,x3= x3,sauasacumsuntcunoscutedinmanualeledeliceu:t

=1_1 v2c2(t vc2x1) (1.2.2.7)x1=1_1 v2c2(vt + x1)x2= x2x3= x3numitetransformariLorentzspeciale(saurestranse).1.2. SPAT IULMINKOWSKI. 25In acest caz,pe care o sa-l tratamn continuare, daca notam cu = chatunci din relat ia (a00)2(a10)2= 1 rezulta ca sh = . Deci transformarileLorentzrestransesepotscriesubformaechivalenta:x0= x0ch + x1sh (1.2.2.8)x1= x0sh + x1chx2= x2x3= x3cutransformareainversa:x0= x0ch x1sh (1.2.2.9)x1= x0sh + x1chx2= x2x3= x31.2.3 Consecint e cinematice ale transformarilor Lorentz.Din analiza transformarilor Loorentz restranse vom desprinde cateva implicat iiprivindnot iunledesimultaneitate,distant a,durata siviteza.a)Relativitateanot iuniidesimultaneitate.Saconsideramncele douaSRI, Ssi S

, douaevenimente care pre-supunemcaserealizeazasimultan nS, t1=t2. Dinprimarelat ie(1.2.2.7)obt inemcat

=t

2 t

1= c2vx1, adicadacax1,=0evenimentelenusuntperceputesimultan nS

.Decinot iuneadesimultaneitatearecaracterrelativ,neputandu-sevorbica ncazulnewtoniandeuntimpabsolut.b)Dilatareatimpului.Sa consideram un ceas ce se aan repausn punctul xat spat ial A(x1, 0, 0)din reperul S. Facem doua masuratori la momentele t1 si t2. Fie t = t2t1duratadintreceledouaevenimentedinsistemulS,caracterizatedecoordo-natele(t1, x1, 0, 0)si(t2, x1, 0, 0) .Corespunzator nsistemulS

obt inemdin(1.2.2.7) (saudirect din(1.2.2.8)) ca: t

=t

2 t

1=t ch, adicat

= t.Cum> 1,rezultaca nS

vomaveaodilatareaintervaluluidetimpcomparativcuceldinS ncarepunctulAestexat.Lamodul general, xandunsistemncaredouaevenimentesepetrecnacelasi locdarseparateprintr-uninteval detimp, notatdiferent ial d sinumit timppropriu,noricealtsistemdiferent adetimpvadt =d,26 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.adicad=_1 v2c2dt (1.2.3.1)c)Contract ialungimilor.Insistemul dereferint aSsacosideramobararigidadelungimel cucapetelexate npuncteleA1(x11, 0, 0)siA2(x12, 0, 0),vazute nacelassimo-mentt1=t2. Datindfaptul calungimeabarei estenita, nsistemul S

sepotfacemasuratoriasupracapetelorbareilaacelasimomentt

1= t

2.Dinadouatransformare(1.2.2.9)obt inemca: l = [x12x11[= [x12 x11[ ch=l

ch,adical

= l_1 v2c2sidecil

< l.ConsiderandsistemulSxat, atunci noricealtsistemS

vaavealococontract iealungimilorsegmentelor.d)Legeacompuneriivitezelor.Saconsideramunpunctmaterial cesedeplaseazaraportatlasistemulScuvitezau, acarei primacomponentaesteux1 =dx1dt. T inandcontde(1.2.2.9), prindiferent iereobt inemcadt=dt

.ch 1cdx1.shsidx1=dx1.ch cdt

.sh. Scot andfactorpesh, sicumshch= vc= ,rezulta:ux1=u

x1 + v1 +vc2u

x1(1.2.3.2)formula ce exprima legaturantre componenta pe Ox1a vitezei de deplasare apunctului material n sistemul S si componenta pe O

x1a vitezei de deplasareapunctuluimaterial nsistemulS

.Inparticular,dacav c,adicaceledouasistemesedeplaseazaunul nraportcucelalaltcuvitezarelativmica(cazulnewtonian),regasimformulaluiGalileipeaxaOx1.ComponentapeaxaOx2avitezeiaceluiasipunctva:ux2=dx2dt=dx2dt

dt

dt= u

x2_1 v2c2(1.2.3.3)Analogse ntamplapeOx3.1.2.4 ImagineaeuclidianaatransformarilorLorentz.Saconsideramnspat iul euclidian c =(R4, , )), unde x, y) =

3i=0xiyiesteprodusulscalaruzual,unreperortonormat 1 = O, Eii=0,3.1.2. SPAT IULMINKOWSKI. 27Spat iul R4poateprivitsi cupseudoprodusul scalarg(x, y)=ijxixjobt inandu-se,asacumamspus,spat iulM4,1alluiMinkowski.Pentru un SRI dat S, xat n O, sa asociem geometric versorilor eii=0,3ai lui Svectorii ortonormat i nraportcuprodusul scalaruzual Eii=0,3,ei Ei. Obt inem o imagine geometrica 4-dimensionala euclidiana a sistemu-luiS,ceasociazaunuievenimentunpunctdinreperul 1euclidian.Fie S

alt SRI cu versorii e

ii=0,3. Sa consideram o transformare Lorentzce leagacele douasisteme. Atunci e

i=ajiejsi corespunzator vomaveaimagineaeuclidianaE

i=ajiEj.Inspat iulMinkowskitransformarileLorentzpastreazametricag, adica = At A,nsa n spat iul euclidian caceasta nu se mai ntampla, deoareceAnuesteneaparatomatriceortogonala.Exemplicam geometric acest lucrun continuare n cazul transformarilorLorentzrestranse,pentrucarevomreprezentadoaraxeleOx0siOx1:Fig4Avem:E

0=a00E0+a10E1= E0 + E128 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.E

1=a01E0+a11E1= E0 + E1Extremitat ile vectorilor E

0 si E

1 sunt punctele A

0(, ) si respectiv A

1(, ).Elevericahiperboleleechilatere(x0)2 (x1)2=1pentruA

0, respectiv(x0)2(x1)2= 1pentruA

1.Unghiul dintre E1si E

1este =arctg , iar candvc atunci 1 si deci prima, respectiv a doua bisectoare a sistemului sunt asimptotelehiperbolelor.Peaceastaimagineputemdaointerpretaregeometricaasimultaneitat iievenimentelor:Fig.5FieA(t, a)si B(t, b) douaevenimentesimultane, deci t =0. Atuncit

=t

B t

A= vc2(b a) ,=0.Interpretariasemanatoaresepotdaaltorconsecint e.1.2.5 Hiperconluminos.Amvazutcas2esteuninvariantlatransformarileLorentz. Saexprimamaceastacantitatepentrudouaevenimentedinsistemul S. Pentruapune nevident a cele doua evenimente vom nota cu s212= c2(t1t2)2(x11x12)2(x21x22)2(x31x32)2= c2t212d212distant aspat io-temporala.InaltsistemS

vomaveas212=s212. Putemanalizaaici catevasituat iiparticulare:1.2. SPAT IULMINKOWSKI. 29a) Evenimentele seproduclatimpi diferit i darnacelasi loc. Atuncis212=s212=c2t212>0. Unastfel deinterval s12senumestedetiptemporalsi esteunnumarreal. Fiet=t12=t1 t2>0. Avemt

12=t

1 t

2=(t12vxc2)=t12>0. Aceastanespunecaordineaevenimentelornuseschimb a n S

, not iunea de ordine a evenimentelor avand un caracter absolut. Oalt aconsecint aimediataesteca noricealtsistemS

evenimentelenumaisuntsimultane.b)Evenimenteleseproducsimultan nlocuri diferite. Atunci t12=0sis212= d2120,estereprezentatdepuncteinterioarehiperconului. Daca, nplus, x0>0senumestetimpabsolutinviitor T+,iardacax0< 0senumestetimpabsolutintrecut T.Cazul b) al intervalelor spat iale ,s212< 0, este reprezentat de evenimentedinafarahiperconului.Cazul c) al intervalelor izotrope este descris de evenimente aate pe hiper-conulluminos.1.2.6 Liniideunivers. Timppropriu.Miscareaunei particulefat adesistemul Spoatedescrisadeoleget x(t), cu=1, 2, 3. Aplicat ia: t (t, x1(t), x2(t), x3(t)) determinaocurban spat iul Minkowski , numita linie de universa particulei. Parametrizareacu t nu estentodeauna avantajoasa , coordonatele neavandntodeaunaaceeasi tratare. Arutil unparametrucaresaeinvariantlaschimbariledeSRI.Saobservamcapeoliniedeuniversintervalulds2= c2dt2(dx1)2(dx2)2 (dx3)2=(c2 v2)dt2>0estetemporal, deci liniadeuniversesteinterioarahiperconuluiluminos.Denimmarimea:d=1c_ds2=_1 v2c2dt =1dt < dt (1.2.6.1)T inandseamade (1.2.3.1), d are semnicat iaunui interval temporalmasuratntr-unSRI propriuparticulei, deci caresedeplaseazafat adeScuvitezaparticuleilamomentultrespectiv. Prinintegrarealui(1.2.6.1)cu(0) = 0, obt inem urmatorul parametru (t) care este un invariant relativist,numittimppropriu:(t) =_t0_1 +v2c2dt (1.2.6.2)Timpul indicatdeparametrul (t)esteindicatdeunceasorniclegatdeparticularespectiva,numitceasornicstandard.1.2. SPAT IULMINKOWSKI. 311.2.7 Marimitensoriale nspat iulMinkowski.Conformprincipiului invariant ei legile zici si ecuat iile ei trebuiesc sa-sipastrezevalabilitatealaschimbariledeSRI, deci latransformarileLorentz.Fizica clasica a scos n evident a ca marimile ce raman invariante la schimbaridecoordonatesepotexprimasubformatensoriala.Seimpuneastfel ideiadeastudiaacelemarimi nspat iul Minkowski ceaulegi deschimbarelatransformarileLorentzcasi marimiletensorialedinspat iuleuclidian,numitecvadritensori.SaconsideramotransformareLorentzxi= aijxj,cuinversaxi=aijxj.Fie(O, ei)i=0,3versoriixat i nOaiSRI-S.Primamarimepecareoputemintroduceesteinvariantul scalar cetrebuiesasatisfaca(x) =

(x

).Consideramunalt SRI-S

. Atunci transformareaLorentz poate in-terpretatacaoschimbareabazelor reperului, adica: ei=ajie

j, si inverse

j=aijei. UncvadrivectorsevascrieX=XieinSsi X=Xie

inS

,din care rezulta clar ca Xi= aijXj. Cel mai simplu exemplu de cvadrivectorestecel tangentlaoliniedeuniversXi=dxid . Considerandtot i cvadivec-toriitangent ilaliniiledeuniverscetrecprintr-unpunctMobt inemspat iultangent laspat iul MinkowskinM,reuniuneaacestor spat ii nedabratultangent. Observamcaxi=xjxi=ajixj,si deci_xi_i=0,3esteobaza nspat iultangent nMlaliniiledeunivers.Saconsiderammetricads2=ijdxidxj. Cuajutorul ei construimi=ijXj,undeXjsuntcomponenteleunuicvadrivector. Avem:

i= ijXj=ijajkXk= ijajkkhh=ahih si deci i sunt componentele unei1-cvadriforme=ifi. Cel mai simpluexemplude1-cvadriformaestegradientul uneifunct ii scalared=xifi. Obaza nspat iul cotangentlaliniiledeuniversal1-cvadriformeloreste dxii=0,3.Acumnot iuneade(p, q)cvadritensorsedenestecaindaceamarimetj1...jpi1..iqce satisface regula de tipul cunoscut (1.2.2.5) cusji=aji=xjxisisji= aji=xjxi.Cuajutorulluiijputemsaridicamsausacoboramindicii.Produsulscalar nspat iulMinkowskiestedenitde(0,2)-cvadritensorulijsig(X, Y ) = ijXiYj.Dacag(X, X) < 0,Xsenumestedetiptemporal,dacag(X, X)>0, Xsenumestedetipspat ialiardacag(X, X)=0, Xsenumestedetipizotrop.32 CAPITOLUL1. UNIVERSULSPAT IO-TEMPORAL.Un(0,4)- cvadivectorimportantestecel al lui Levi-Civita:ijkl=+1,daca(ijkl)esteopermutareparaaindicilor0,1,2,3.; 1dacaesteimpara;0 nrest.Alte exemple de cvadrivectori vor trataten set iunile urmatoare: cvadriv-iteza,cvadriaccelerat ie,tensorielectromagnetici.Derivataunui(p,q)-cvadritensoresteun(p,q+1)-cvadrivector,ex.tijxk=Tijk.Ingeneralatuncicandnuexistaposibilitateadeconfuzievomspunepescurttensori nlocdecvadritensori.Capitolul2Elementededinamicarelativista2.1 Cvadivitezasicvadriaccelerat ie.2.1.1 Principiulminimeiact iuni.Am vazut n Cap.1 ca n mecanica newtoniana miscarea unui particule ntredoua puncte se face pe acele curbe : xi() pe care se realizeaza minimulintegralei act iunii: / =_21Ld, unde L(x, x) este funct ia lui Lagrange. Spreexemplu, ncazul particulei aate ncmpul potent ial

F=gradU, funct ialuiLagrangeesteLM=mv22+ Uadicaenergiacineticapluspotent iala.Sa consideramacumcazul relativist.Inesent a principiul trebuie saramananeschimbatdarreferitorlaoliniedeunivers: xi(), i =0, 1, 2, 3. RefacandcalculeledinCap.1pentruvariat ii innitesimalepeliniedeuniversobt inemecuat iileEuler-Lagrange:Lxi dd(L xi) = 0 ; i = 0, 1, 2, 3. (2.1.1.1)acesteaindscriserelativlaunSRI-Spentrufunct ialui LagrangeL()=L(x(), x()).Problemaprincipalaaici esteinvariant arelativistaaecuat iilorE-L. FieS

unalt SRIncare

este parametrusi L(

) =L(x

(

), x

(

)) estescriereaLagrangianului. Cumeraunparametruarbitrarputemalege nparticular

=. SaconsideramtransformareaLorentzxi=aijxjdela3334 CAPITOLUL2. ELEMENTEDEDINAMICARELATIVISTASlaS

. Peliniadeuniversavem: xi()=aij xj()iarxi=ajixjsi xi=aji xj. Din(2.1.1.1)deducemcaproblemainvariant ei relativistesereducedoarlainvariant afunct ieiL.DacaLesteofunct iescalararelativistinvariantaatunci obt inemcaecuat iaE-Leste invarianta. Oanalizamaiatenta,ncaret inemseamacanecuat iaE-Lfunct iaLestedeterminatapana la o diferent iala totala (neind unica deci), ne arata ca aceasta condit ieca L sa e funct ie scalar invarianta este condit ie necesara si sucienta pentruinvariant arelativistaaecuat iilorE-L.2.1.2 Principiul minimei act iuni pentru particula libera.Dacaparticulaestelibera(nespusainteract iunilor)traiectoriavatrebui saerectilinie,deciodreaptainunivesulspat io-temporal.Luanda= kunscalarsi parametrul caindtimpul propriu(t)unui SRI, principiul minimei act iuni neconducelaurmatoareaintegralaaact iunii:/A1A2= k_A1A2d= k_t2t1_1 v2c2dt = kc_A1A2ds2(2.1.2.1)Pedealtaparteds2=ijdxidxjpeoliniedeuniverscuparametrul oarecare(nuneaparat),obt inemcads2= ijdxiddxjd d2= ij xi() xj()d2= xi() xi()d2Rezulta ca integrala act iunii este /A1A2= kc_21_ij xi() xj()d ,din careobt inemLagrangianulparticuleiliberepentruparametrulL0= kc_ij xi() xj() (2.1.2.2)Saobservamcaactiunea /A1A2nudepindedealegereaparametrului sicaL0esteunscalarinvariantrelativistdeoareceseobt inedinds2.OaltaparticularitateestecaL0(x, x)=L0(x, x), deci L0esteofunct iepozitivomogena de grad 1 n x, > 0, fapt ce ne aminteste de spat iile Finsler([28])Considerandcazulnerelativistv c si = t,dezvoltand nserieTaylorL0(t) =k_1 v2c2=k(1 12v2c2+....), putemcomparape acestacu2.1. CVADIVITEZASICVADRIACCELERAT IE. 35LM=m0v22+ U. Obt inem: k=m0c2si deci L0(t)= m0c2_1 v2c2, undem0masaparticuleiprivitacaunscalarinvariantrelativist.DeoareceL0depindenumaide xi,ecuat iaE-Ldevine:dd(ij xj_ij xi xj) = 0, saudd( xi xi xi) = 0, i = 0, 1, 2, 3 (2.1.2.3)Daca=(t) estetimpul propriu, atunci_ij xi xj=_ijdxiddxjd=ds2d= cdd= c. Astfel ca (2.1.2.3) ne conduce lad xid= 0 adica xi() = 0, dincarededucemca xi() = 0.Saconsideramurmatoarelemarimicesedovedescacvadrivectori:u = uieiunde ui=dxid= xi() (2.1.2.4)w = wieiunde wi=d2xid2= xi() (2.1.2.5)numit icvadriviteza,respectivcvadriaccelerat ie.Ecuat iile E-L ne conrma faptul ca pentru particula libera cvadriaccelerat iaestenula.Calculam pentru o particula oarecare componentele acestor cvadrivectori.Pentrucvadrivitezau :u0=dx0d=dx0dtdtd= c (2.1.2.6)u=dxd=dxdtdtd= v ; = 1, 2, 3.Deremarcatcauesteunvectortangentlacurbeledeunivers,jucandrolulparametruluinaturaldingeometriaeuclidiana.Pentrucvadriaccelerat iaw, maintai princalcul direct gasimcaddt=1c23va(produsulscalardinR3),undev=dxdtsia=d2xdt2,astfelca:w0= cdd= cddt=4cva (2.1.2.7)w= cdud=dudtdtd= d(v)dt= 2dvdt+ ddtvCalculul normelornearataca |u|>0, deci uestedetiptemporal, si|w| < 0, deci w este de tip spat ial. O alta remarca este ca g(u, w) = 0, adicaceidoicvadivectorisuntortogonali.36 CAPITOLUL2. ELEMENTEDEDINAMICARELATIVISTA2.2 Dinamicaparticuleirelativiste.2.2.1 Cvadrivectorulenergie-impuls.Principiulvariat ionalpentruparticulaliberanedageneralizarinaturalealevitezei siaccelerat iei,obt inandceidoicvadrivectoriviteza siaccelerat ie.Modicarimaiput innaturaleapar nintroducereaimpulsului sienergieicinetice.Saalegemparametrul = t siL0(t) = m0c21 v2/c2= m0c_ij xi(t) xj(t).Impulsul cinetic p al particulei este prin denit ie de componente spat ialep=L0 x= m0c22vc22_1 v2c2=m0v_1 v2c2; = 1, 2, 3.saualtfelscris:p= m0v= m0u; = 1, 2, 3 (2.2.1.1)Energiacineticaaparticuleirelativisteesteprindenit ie:W= p xL0=pv L0Inlocuindobt inem:W=m0c2_1 v2c2= m0c2= m0cu0(2.2.1.2)Combinand cele doua not iuni obt inem cvadivectorulenergie-impulsT=1cWe0 + pedecomponente:T0= m0u0; T1= m0u1; T2= m0u2; T3= m0u3(2.2.1.3)In calcule, m0are semnicat ie nerelativista , numita masaderepaus, saumasaproprie.Facemobservat iacapentruparticulaliberaderivatele nraportcualeluiTseanuleaza,accelerat iaindzero.Urmarindacumexpresiileimpulsuluisienergieisuntemcondusinaturalsaintroducemnot iuneademasarelativistaaparticuleim(v) = m0=m0_1 v2c2(2.2.1.4)2.2. DINAMICAPARTICULEIRELATIVISTE. 37masa ce caracterizeaza proprietat ile inert iale ale particulei nmiscare cuvitezav.EnergiacineticacapatabinecunoscutaexpresiealuiEinstein:W= mc2(2.2.1.5)W0=m0c2indcunoscutasubdenumireadeenergiederepaus, prinenergiedemiscareint elegemdiferent aWcin= W W0= m0c2( 1).Cvadrivectorulenergie-impulssescrie nfunct iedemasarelativistaT=(mc, mv1, mv2, mv3).Formulamasei relativistepoatelegatadelegeaconservarii impulsuluidinmecanicanewtoniana,m

u

=mu.ScriindpeOx2acestlucru,folosind(1.2.3.3)u

x2=ux2 si luandm

=m0, obt inemtocmai formulamasei rela-tiviste.Numimdensitateamaseimaparticuleidevolumcantitatea =dmd(2.2.1.6)Daca m0este masa de repaus si 0este volumul n acelasi sistem propriu,atunci = 02.2.2.2 Cvadrifort a.Dacaparticulaliberaintra ninteract iunecualtsistemzic(asupraei seexercit aofort aK)traiectorianuvamai rectiliniepeoliniedeunivers,deciarelococurbarealiniei.Admitemcaaceastafort aKesteproport ionalacucvadriaccelerat ia,K= m0w (2.2.2.1)-numitalegeafundamentalaamecaniciirelativiste.De observat caracterul invariant al acestei cvadrifort esi faptul caarecomponentele spat iale aceleasi ca pentru o fort a

Fdin mecanica newtoniana.Inplus,(2.2.2.1)setranscriecuajutorultensoruluienergie-impuls:dTd= K (2.2.2.2)Fort a Keste ortogonala n spat iul Minkowski pe u,astfel ca cK02v

F= 0, si de aici putem scoate componenta K0=1cv

F. Pentru componen-tele spat iale se obt inedWdt= v

F, relat ie ce justica n mecanica newtonianaformulalucruluimecanic.38 CAPITOLUL2. ELEMENTEDEDINAMICARELATIVISTANuneputempermiteaici saabordamproblemasistemelordeparticulesauceaaparticulelor ncampdefort e[51]Folosind variat ia Lie a integralei act iunii, n [42] se obt in ecuat ii demiscarepentruuidecesedeplaseazancampdefort eal carorpotent ialestedeterminatdeun(0,2)-tensorsimetric,nedegeneratGij.Aiciintervineuntensor specicTij=uiujnumit tensorul energie-impuls al uidului.Dupacalculecevamaicomplicatesegasecurmatoareleecuat iidemiscare:d2xmd2+12Glm(Gljxi+GilxjGijxl)uiuj= 0ecuat ii ce pot puse sub forma d2xmd2+mijTij= 0,unde mijsunt simboli luiChristoelailuiGij.Evident,pentruGij= constseregasescecuat iileparticuleilibere.2.3 Relativitateacampuluielectromagnetic2.3.1 Tensorulcampuluielectromagnetic.Secolul al 19-lea a adus pentru zica teoretica descoperirea legilor electromag-netismului: Legea lui Lorentz si ecuat iile lui Maxwell. Odata cu descoperipealorzicaintra ntr-unnouimpasdeoarecelegileclasicealeluiGalileinure-spectacondit iideinvariant apentruacesteecuat ii.Solut iaestedatadeelectrodinamicarelativistacare nesent aesteteo-riacampuluielectromagneticbazatpeecuat iileMaxwellinvariantelatrans-formarileLorentz, mpreunacucinematica sidinamicarelativista.Vom ncercasaintroducemprincipaleleconceptepentrulegilecampuluielectromagnetic nvid.Fieqsarcinaelectricaauneiparticuledevolum. Numimdensitatedesarcinaelectricamarimea=dqd.T inandcontdemodicariledevolumlatransformarileLorentz,scriem = 0,unde0estedensitateaderepaus.Senumestecurent cvadivectorul J=(J0=, J1=v1c ; J2=v2c ;J1= v3c ) .Presupunem ca miscarea particuleide masa m se face ntr-uncamp elec-tromagnetic cucomponenta electrica

E=(E1, E2, E3) si cea magnetica

B= (B1, B2, B3),descompusedupaaxele(Ox1, Ox2, Ox3).2.3. RELATIVITATEACAMPULUIELECTROMAGNETIC 39Legea lui Lorentz spune ca miscarea particulei se face sub actiunea fort ei:

F=d(mv)dt= q_

E +1cv

B_(2.3.1.1)vindvitezadedeplasareaparticulei.Aceastalegepoatereformulatarelativistinvariantastfel:Pe componente prima ecuat ie din (2.3.1.1) ested(mv1)dt= q[E1+1c(v2B3v3B2)],dincarerezulta:d(mcv1) = q[E1dx0+ B3dx2B2dx3]Analogobt inemcelelaltedouacomponentedin(2.3.1.1):d(mcv2) = q[E2dx0B3dx1+ B1dx3]d(mcv3) = q[E3dx0+ B2dx1B1dx2]Pedealtapartevariat iaenergiei estedW=

Fdx,si cum n(2.3.1.1)dxestecoliniarcu v,rezultaca:dW= q[E1dx1+ E2dx2+ E3dx3]Acestepatruecuat iipotreunitesubformaecuat iilor4-dimensionaledTi=qcFijdxj; i = 0, 1, 2, 3 (2.3.1.2)undeTisuntcomponentelecvadrivectoruluienergie-impuls siFij=____0 E1E2E3E10 B3B2E2B30 B1E3B2B10____(2.3.1.3)estenumittensorul electromagnetic.Sa remarcam din (2.3.1.2) caracterul tensorial relativist al lui Fij. Pentrua ridica sau cobor indicii folosim tensorul metric ij, astfel obt inem urmatoriitensoriFij= ikFkjsiFij= ikFjkFij=____0 E1E2E3E10 B3B2E2B30 B1E3B2B10____; Fij=____0 E1E2E3E10 B3B2E2B30 B1E3B2B10____(2.3.1.4)40 CAPITOLUL2. ELEMENTEDEDINAMICARELATIVISTAFolosind acesti tensori si formulele (1.2.2.8) ale lui Lorentz se pot gasi cuusurint a regulile de transformare a componentelor lui

E si

B la transformarileLorentz.Introducerea acestor cvadritensori da o formulare noua legilor lui Maxweldeduse n1860:

B = 0 ;

E= 4 (2.3.1.5)

B 1c

Et= 4

J ;

E +1c

Bt= 0unde

J= (J1, J2, J3)estecurentultridimensional.Primaecuat ieB1x1+B2x2+B3x3= 0sescriecuajutorultensoruluielecro-magneticsubformaechivalenta:F23x1+F31x2+F12x3=0si cutotul analogsetraduceecuat ia

E +1c

Bt= 0cuajutorulderivatelortensoruluielec-tromagnetic. Obt inemurmatoareascriereechivalentacuceledouaecuat iivectoriale:ijk [iFjk] Fjkxi+Fkixj+Fijxk= 0 (2.3.1.6)i, j, k = 0, 1, 2, 3.Ecuat iile

E=4si

B 1c

Et=4

Jseexpliciteazacutotulasemanatorsubforma:fiFijxj= 4Ji; i = 0, 1, 2, 3 (2.3.1.7)Astfel ca ecuat iile Maxwel se traduc prin doua tipuri de ecuat ii care suntinvariantrelativistedatoritacaracteruluitensorialalluiFij, FijsiJi,xk.2.3.2 LagrangianulcampuluielectromagneticMiscareasarcinei punctiforme nt-uncampexternestedescrisadelegealuiLorentz(2.3.1.1). Pedealtaparteaceeasi miscaretrebuiesaseobt inadinproblemavariat ionala.Uncalculdirectpentruact iuneaLagrangianului:Lq(t) = m0c2_1 v2c2 q_ 1c

Av_(2.3.2.1)ne conduce la concluzia ca ecuat iile E-L corespunzatoare lui Lq(t) sunt echiva-lente cu legea lui Lorentz, unde (x) este un potent ial scalar si

A(x) este uncamp3-dimensional.2.3. RELATIVITATEACAMPULUIELECTROMAGNETIC 41Problema principala aici este invariant a relativista a ecuatiilor E-L. Scrisntr-unparametruoarecareLagrangianulareforma:Lq() = m0c_ij xi() xj() qc[ x0()

A.x ()] (2.3.2.2)sideciestesumaLagrangianuluiL0() = m0c_ij xi() xj()alparticuleielementare, care este invariant relativist, cu un camp scalar U() ce se impunesapastrezecaracterulinvariantrelativist.Introducemurmatorulansamblu,numitcvadripotent ial:A = (Ai) = (, A1, A2, A3) (2.3.2.3)Atunci U()sescrie: U()=qcAi() xi(). Cum xisuntcomponenteleunui cvadrivectorsi estearbitrar, estenecesarcaAsaeocvadriforma.Obt inemastfelocondit ienecesara sisucientapentruinvariant arelativistaa ntreguluiLagrangian:Lq() = m0c_ij xi() xj() qcAi() xi() (2.3.2.4)Luand parametrul ca ind timpul propriu (t) , ecuat iile E-L ne conduclaurm atoareascrieretensoriala[51],pag.247:dTid=qc_Ajxi Aixj_uj() (2.3.2.5)undeTi= ijTjsuntcomponentelecovariantealetensoruluienergie-impulsAmplicand acum cu dsi ridicand indicii cu ijobt inem exact (2.3.1.2).Prinurmare n(2.3.2.5)avemcomponentelecovariantealetensorului elec-tromagnetic:Fij=Ajxi Aixj(2.3.2.6)cuexprimarea(2.3.1.4)Faraaintra ndetalii,trbuiespuscacvadrivectorulenergie-impulsTnueste nmasurasacaracterizezecompletenergiasi miscareaunei particule.Este necesar sa se ia n calcul si alte elemente cum ar : densitatea mediului,naturamediului, fort eleceact ioneazaetc.nacest scopafost introdusuntensorsimetricdetip(2,0), denitderelat iavectoriala T= 1cFJ,undeF= (Fij)estetensorulelectromagnetic.42 CAPITOLUL2. ELEMENTEDEDINAMICARELATIVISTAFolosindecuat iilelui Maxwell tensorialesegaseste[51],pag.256, caten-sorulenergie-impulsT=(Tij)alcampuluielectromagneticareexprimarea:Tij=140FkhFkhij10FikFjhkh(2.3.2.7)Proprietateaimportantaaacestuitensoresteca:Tijxi= 0, i, j= 0, 1, 2, 3adicadivergent asaestenula,proprietatecunoscutasubdenumireadelegeaconservariienergiei.Scopul acestei sect iuni a fost sa punemn evident a cateva marimi tensori-alerelativistespeciceelectromagnetismului. Problemeprecum: sistemedeparticule ncampgravitat ional,comportarea ndiversemedii, etc.suntmaiput innecesarenoua.ParteaIIRelativitateGenerala4345Teoriarelativitat iirestranseformulata n1905decatreA.Einseinesteoteoriesimplicataaspat iuluisitimpului. Eaarecelput indouaneajunsurifundamentale.Inprimulrand, naceastateorieseiau nconsiderarenumaisistemedereferint ainert iale, apoi nuseincludedescriereaproceselorzicen prezent a campului gravitat ional ce inuent eaza fundamental comportarealor.TeoriadezvoltataulteriordeA.Einsteineliminaacesteneajunsuri, indcunoscutasubdenumireadeteoriarelativitat iigenerale, formulatacompletn1917. Germeniiacesteiteoriisegasescinprincipiulechivalent eiformulatdecatreEinstein n1908.Seobisnuestesasedeadouaformulariacestuiprincipiu: slaba sitare.Principiul echivalent ei slabe este cunoscut din mecanica newtoniana princare se face o egalitatentre masa inert iala mia unui corpsi masa sagravitat ionala mg. Masa inert iala a corpului este constanta ce exprima proport ionalitateantre fort a si accelerat ia imprimata corpului

F= ma si se refera la rezistent aceoopuneuncorpatuncicand ncercisa-l mpingi.Masagravitat ionalaesteceadinlegeagravitat iei alui Newton, Fg=Gm1m2r2, sau exprimata vectorial

Fg= mg

unde este potent ialul gravitat ional.Celedouamaseauuncaracterdiferit, eglitatealoratragandcondit iaa=

.Pe baza acestei egalitat i se justica urmatoarea proprietate fundamentalaacampuluigravitat ional:nprezent aunuicampgravitat ionalexterntoatecorpurile de proba se miscan acelasi mod. Proprietatea este simt ita la modulpopularnurmaunei experient esimple. Saneimaginamunlift (ocutienchisa) ncadereliberasubinuent afort eigravitat ionale. Corpurileaatenliftsemisca nacelasimodpentrucondit iiinit ialeidentice, nepercepandde fapt gravitat ia decat daca ar avea posibilitatea de a privi n afara liftului,adicadeaseraportalasistemedereferint aexterioareliftului. Aceastaseexplicaprinanulareafort eigravitat ionaledecatrefort adeinert ie.Corpurile aaten interiorul liftului se pot raporta la un sistem de referint ainert ial local (SRIL) pentruduraterelativmici alemasuratorilor, campulgravitat ionalneindomogen ntimp sispat iu.Aceeasi particuladinlift, raportatalaunsistemde referint axat pePamant, are o miscare accelerata determinata de caderea liftului. Deci acestsistemdereferint axatpePamantesteneinert ial,SRN.Suntem condusi la a doua formulare, cea tare, a principiului echivalent ei:legile de miscare ale corpurilor sunt aceleasi cu cele dintr-un SRILn absent a46campului gravitat ional.Incazul campului gravitat ional staticsi omogenputem alege SRILn care fort a de inert ie compenseaza pe cea gravitat ionala.Din punct de vedere matematic lucrurile se pot gandi astfel. Consider amunSRNxat ( dePamant, spreexemplu)nraport cucareunpunct Pare coordonatele spat io-temporale P(x0=ct, x1, x2, x3) si unSRILxatintr-ovecinatateapunctului Pncarecampul gravitat ional estestaticsiomogen(interiorul cutiei liftului) si raportat lael punctul P are coordo-nateleP(0=c, 1, 2, 3). Pentrupuncteledinaceastavecinatateputemaplica teoria relativitat ii restranse cu transformarile Lorentz relativ la SRIL.Problemaestecumtraducemrezultateleobt inute nraportcuSRN.Artre-bui saavemrelat ii bijectivecaresaexprimelegatura(xi)f(i)si caresapoataexprimateglobal, la ntregspat iu.Inplus, acestecondit ii artre-bui sasatisfacacondit ii dediferent iabilitate.InSRILavemometrica, ceaMinkowski ds2. Existaometrica nSRNcorespunzatoarecare, evident, vadepindedecampulgravitat ional?.Acesteasuntproblemelematematicecetrebuiescanalizate nteoriarel-ativitat ii generale. Asacumvomvedea, si estedeintuit dinceamspusmai sus, avemnevoiedemai multageometrie nspecial legatdevarietat ilediferent iabile,lucrupecare lfacem ncapitolulde nceput.Capitolul3Elementedegeometriavarietat ilordiferent iabile3.1 Varietatediferent iabila.Presupunemcacititorul aparcurs dejauncurs de geometriavarietat ilordiferent iabile([21],[22],[39]..). Catevaelementepecarelerepetamaici auroluldeaxacadruldelucru.Not iuneadevarietatediferent iabilaestefundamentalaatatnmatem-aticacatsi nzica. Vomdiscutacazul varietat ilorndimensionale, reale,cecuprind nmareideeadespat iucustructuratopologica, diferent iala, ceseaman alocalcuRn.Evident,cazulcareneintereseazaesten = 4.O harta locala pe varietatea Ckdiferent iabila Meste formata din perechea(U, ),unde : U RnesteunomeomorsmaldeschisuluiU MpeundeschisdinRn. Considerami:RnRproiect iapecomponentai,atuncii (x) = xi(x) ne deneste un sistem de coordonate n harta locala (U, )npunctulx U.Doua hart i locale (U, ), (V, ) se numesc Ck compatibile daca aplicat ia 1:(U V ) (U V )estediferent iabiladeclasaCk, cuinversadiferent iabiladeaceeasiclasa(Ckdifeomorsm).4748CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE GEOMETRIAVARIETAT ILOR DIFERENT IABILEfigAplicat ia 1se numeste schimbare de hart i locale si determinaschimbariledecoordonatexi= xi(x) ; rang_xixj_ = ncaresuntCkdifeomorsme.Se numeste atlas de clasa Cko colect ie indexata de hart i locale (U, )Iastfelca U= MsipentruU U ,= , ,= ,atuncihart ile(U, ) si(U, )suntCkcompatibile.Douaatlasesenumescechivalentedacareuniunealor esteunatlasdeaceeasiclasa.Se numeste varietate diferent iabila de clasa Ck, ndimensionala, o clasadeatlaseechivalente.Deregulavomdiscutadevarietat iCdiferent iabile,faraamaiprecizaacestlicru.Exemplelecelemaicunoscutedevarietat idiferent iabilesunt: Rn, sfera,torul,etc.Fiinddatedouavarietat i diferent iabile, dimM1=m1, dimM2=m2,oaplicat ie : M1 M2senumesteCk- diferent iabilanx M1dacaexista (U, ) harta locala n x si (V, ) harta locala n (x) astfel ca aplicat ia 1: (U) (V )saeCkdiferent iabila. Denit iaaceastanudepindedehart ilelocalerespective,deciarecaractergeometric. Localeaseexprimasubformayi= i(x), i = 1, n.Aplicat ia se numeste imersie dacan toate punctele x M1, rang()x=m1, sisenumestesubmersiedacarang()x= m2.Not iuneadevectortangentlaovarietatesepoateda nmodnaturalcuajutorul curbelor de pe varietate, sau axiomatic ca ind o clasa de echivalent aatripletelorXx= (U, , (Xi)),cu(Xi) Rn,astfelcalaschimbaridehart ilocalesaavemXi=xixj Xj.Mult imeatuturorvectorilortangent i nx Mareostructuranaturaladespat iuvectorial TxMnumitspat iul tangentlavarietate n x, izomorf cu Rn. Baza corespunzatoare bazei canonice din RnnTxMsenoteazacu_xi_i=1,nsidecioricevectortangent nx MsescrieXx= Xi xi.3.1. VARIETATEDIFERENT IABILA. 49Oaplicat iediferent iabila : M1 M2inducepespat iiletangenteoaplicat ie liniara ,x: TxM1T(x)M2, numitaaplicat iatangenta, carelocalact ioneazaasuprabazeivectorilortangent iastfel: ,x_xi_ =kxiyk.Dualul spat iului tangentTxMsenoteazacuTxMsi senumestespat iulcotangent . Elementelesalesunt 1-formeleliniarex: TxMR. Dacaf : MResteofunct iediferent iabila, denimdxfTxMcaind1-formadatadedxf(Xx) =Xifxi.Inparticular funct iilor decoordonateleputemasocia1-formele dxxii=1,n,(dxxi)(xj) =ijce formeazao bazanspat iul cotangentTxM, numitabazadualabazei_xi_i=1,n. Deregulavomomitepentruvectorisi 1-formesaspecicampunctul delucru, acestasubant elegandu-se.Oaltanot iunefundamentalaesteceadebratvectorial,not iunecegen-eralizeaza ideea de produs direct dintre o varietate ndimensionala Msi Rm.Vomprezentapentru nceputonot iunemaigenerala,ceadespat iubrat.Un grup (G, ) nzestrat cu structura topologica de varietate diferent iabilaastfel ncataplicat ia(x, y) xy1saediferent iabilasenumestegrupLie. Exemple imediate de grupuri Lie sunt: (Rn, +), Gl(n, R), SU(1), SU(2),etc.([21]). PeungrupLietranslat ialadreaptaRa: G G, x xasitranslat ialastangaLa: G G, x axsuntdifeomorsme. Uncampvectorial XpeGsenumestestanginvariantdacaaplicat iatangentaLa,:TxG TaxGsatisfacecondit iaLa,(Xx) = Xax.Mult imeacampurilorstanginvariantepeGformeazaoalgebraLie. Considerandobaza naceastaal-gebra X=1,n, atunci [X, X] = CX,unde Cse numesc coecient iidestructuraMaurer-CartanailuiG.Unalt exempludegrupLieG, dimG=n, estecel al transformarilorinnitesimale pe o varietate ndimensionala M, adica transformari de forma: xi= fi(x, a) unde x = (x1, ...xn) (3.1.0.1)xi= fi(x, 0) a = (a1, ...am)careformeazaungrup nraportcucompunerea.PentruotransformareinnitesimalaaluiGsafacemurmatoareaaprox-imare ndezvoltarea nserieTaylor: xi= xi+ iunde i(x) =xia [a=0; = a(3.1.0.2)Seobt inatunciurmatoarelevariat ii:xi= xixi= i(3.1.0.3)50CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE GEOMETRIAVARIETAT ILOR DIFERENT IABILEAceste variat ii xidetermina variat ii ale unei funct ii scalare (x) (funct iadeunda,spreexemplu): = =xixi= ixi= X()(3.1.0.4)undeX= ixisenumescgeneratoriigrupuluiLiedetransformarisisuntobaza nalgebracampurilorstanginvariante,[X, X] = CX.Acest grupLiejoacaunrolnsemnatnteoriilegaugeclasicecesuntlegatededezvoltariulterioarealeteorieirelativitat ii.SaconsideramMsiFdouavarietat i,dimM= n,dimF= msiGungrupLieceactioneazadiferent iabilpeF.FieEomult imeoarecaresi : E Mosurject ie, numitaproiectiacanonica. NumimhartavectorialapeEtripletul (U, U, F), undeU Mesteundeschis,iarU: 1(U) U Festeobiject ieastfel ncat:1(U)u U F p1UDouahart i locale(U, U, F), (U

,

U , F) nx U U

senumesccom-patibiledaca

U

,x 1U,x= gUU (x) G (3.1.0.5)undeU,xesterestrict iaaplicat ieiUlax,adicaU,x: 1(x) x F.Ocolect ie (Ui, Ui, F)iIdehart i bratecompatibiledouacatedouapeintersect ialornevida, xUi=M, senumesteatlasbrat. Douaatlasebratesuntechivalentedacareuniunealorestetotunatlasbrat.Numim spat iu brat, notat = (E, , M, F, G) o colect ie de atlase echiva-lente. VarietateaMsenumestebaza, Festebratip, Ggrupul structuralsi gUU :U U

Gsenumescfunct ii structurale, Ex=1(x)estebralocala.Uncazparticulardespat iubratestebratul vectorial ncareFestespat iu vectorial, pe care l putem lua chiar Rmn acest caz nit dimensional.Notamcu= (E, , M)unbratvectorial.Orice spat iubrat are structura de varietate (n+m)dimensionala,hart ilelocaledepe obt inandu-secuajutorul hart ilor localedepeMsidepeF([21],[28]). Dacax=(x1, ..., xn)suntcoordonatelelocale n(U, )depeMsi y =(y1, ..., ym) sunt coordonatelocalen(V, ) depeF, un3.1. VARIETATEDIFERENT IABILA. 51punctdepevarietateaesteu=(x, y)iarschimbariledecoordonatesuntdeforma.xk= xk(x1, .., xn) (3.1.0.6)ya= a(gUU (x1, .., xn), y1, ...ym)ncazulparticularalbratelorvectoriale(3.1.0.6)devine:xk= xk(x1, .., xn) (3.1.0.7)ya= Mab (x)ybunde(Mab (x)) GL(m, R).Exemplul natural de brat vectorial este bratul tangent la o varietate M,TM=(xMTxM, , M), unde:TxM x. PeTMschimbariledehart ivectorialesuntdatedegUiUj(x)=_xixj_si deci schimbariledecoordonatepevarietaetaTMsuntdeforma:xk= xk(x1, .., xn) (3.1.0.8)yk=xkxj yjunderang_xkxj_ = n.Unaltcazparticulardespat iubratceconstituiesuportulmultorteoriizicemoderneestebratulprincipal.Unbratprincipal esteunspat iubrat ncareFGsi act iunealuiGpeGestedatadetranslat ialastangaLgUU

a=gUUa. Pentrubrateprincipaleseutilizeazanotat ia(P, , M, G).Exempleremarcabiledebrateprincipalesunt:1). (M G, 1, M, G),bratulprincipalprodusdirect.2). Fibratul principal al reperelor.Inspat iul TxMamvazutca_xi_esteobazanaturalaavectorilortangent i. Considerand nTxMaltabazaZx= X1,x, .....Xn,x , cuXi,x=Xjixj, atunci Zxsenumestereper nx M. NotamcuPxMmult imeatuturorreperelor nx M, si reuniunealorP(M)= xMPxM,iar:Zx x.AtunciP(M)areostructuradebratprincipal,numitbratulprincipalalreperelor.Ne oprim aici cu teoria generala a spat iilor barate, pentru detalii se potconsultamonograile:[21],[28].52CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE GEOMETRIAVARIETAT ILOR DIFERENT IABILEUtilizandnot iuneadegrupuniparametrical unui campvectorial XsedenestederivataLiecegeneralizeazapeceadevariat ieLie. Aici amintimdoarreguliledecalculalederivateiLie nraportcuuncampX (M).-derivatauneifunct iif: M Reste LXf= X(f)-derivatacampului Y (M) este LXY =[X, Y ] , crosetul lor, unde[X, Y ]x=_Xi Yjxi Yi Xjxi_xj-dervataunei1-forme,(LX)(Y ) = X(Y ) ([X, Y ])-derivatauneip-formeliniare L(TM, R)este(LX)(Y1, ...Yp) = X(Y1, ...., Yp)

(Y1, .., [X, Yi] , ....Yp)Un exemplu remarcabil de brat vectorial este cel al aplicat iilor p-liniarealternante , /p(TM, R) , pentru care se poate se poate deni produsul exte-rior: daca /p(TM, R) si /q(TM, R) atunci /p+q(TM, R)estedatade()(Y1, ..., Yp, Yp+1, ..., Yp+q) =1p!q!

(Y(1), .., Y(p))(Y(p+1), ..., Y(p+q))In particular, produsul exterior a p forme liniare este pforma diferent iala:(1 .... p)(Y1, ..., Yp) = det(i(Yj)) (3.1.0.9)Altaoperat ie n /p(TM, R)esteprodusulinteriorallui /p(TM, R)cuX (M) siseobt ineiX /p1(TM, R)denitade(iX)(X1, .....Xp1) = (X, X1, ..., Xp1) (3.1.0.10)Diferent ialaexterioaraaunei pforme /p(TM, R) este aplicat iad : /p(TM, R) /p+1(TM, R) data de relat ia implicita LX= diX+iXd.Expresiadiferent ialeiexterioareeste:(d)(X0, X1, ...., Xp) =p

i=0(1)iXi(X0, ...,Xi, .., Xp) (3.1.0.11)

i), negativa nseamnacavarietatea este local izometrica cu un spat iu hiperbolic(suma unghiurilor unuitriunghieste< )TensorulluiRiccimasoaraabatereadelaunspat iulocaleuclidian ntredouadirect iitangentelavarietate.Curbura scalara Ricci e o medie pe varietate a tensorilor lui Ricci si aparen expresia volumelor unor sfere mici centrate n ecare punct de pe varietate.Altesemnicat iialeacestorobiectegeometricesuntdiscutate n[10].Tensorul lui Ricci verica o proprietate geometrica interesanta. Sa plecamde la identitatea(3.2.0.20) lui Bianchi pentru conexiunea Levi-Civita cu T=0 :0iRhljk+0jRhlki+0kRhlij= 064CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE GEOMETRIAVARIETAT ILOR DIFERENT IABILEncarefacemcontract iaindicilorjsik(egalarealor sisumare):0iSlk+0jRjlki0kSli= 0Dinfaptul ca0g =0rezultaca0(gS) =g0S, si deci ridicandindicii necuat iaprecedentacutensorul glmobt inemderivatacovariantaatensoruluiluiRiccidetip(1,1),Smk= glmSlk:0iSmk+0jglmRjlki0kSmi= 0n care contractand din nou indicii msi k, obt inem ca: glmRjlki= glkgjhRhlki=glkgjhRhlik= gjhShi= Sji, sideci:0i0jSji0kSki= 0, adic a0i = 20jSji(3.3.0.13)Introducemacumtensorul luiEinstein:Eij= Sij12gij(3.3.0.14)saucontractatcugmj:Emi= Smi12mi(3.3.0.15)Derivam (3.3.0.15) n rapor cu0m si, t inand cont de (3.3.0.13), obt inem:0mEmi=0mSmi12mi0m = 0 (3.3.0.16)Deci divergent atensorului Emialui Einsteineste nula, operatorul dederivarepart ialaind nlocuitcuderivareacovarianta.Tensorul lui Ricci si scalarul Ricci sunt legat i de urmatensorului luiRiemann, nconsecint a sitensorulluiEinsteinestelegatdeel.UnalttensorceseleagadetensorulluiRiemannestetensorulluiWeyl:Cijkl= Rijkl2n 2_gi[kSl]jgj[kSl]i_+2(n 1)(n 2)gi[kgl]j(3.3.0.17)unde[, ] nseamnacomutareaindicilorrespectivi.O proprietate importanta a tensorului lui Weyl este ca el ramane invariantlatransformarileconformealemetriceig,adicametricideforma(x)g.3.3. VATIETAT IRIEMANNIENE. 65Asa cum spuneam gij se numeste tensorul metric al varietat ii riemanniene.El aduce precizari asupra lungimii arcelor de curba pe varietate. Fie : t xi(t)ocurbapeM. Atuncifunct ias(t) =_tt0_gijdxidtdxjdtdt (3.3.0.18)nu depinde de hart ile locale si se numeste parametrul natural al curbei. Can-titateads =_gijdxidtdxjdtdtesteelementuldearcdecurbape.Not iuneacapatasemnicat iegeometricaimportantanstudiul geodez-icelorconexiuniiriemanniene0.Amdedus n(3.2.0.12)ecuat iileuneigeodezicepentruoconexiuneoare-care. S aluamaceastaconexiunesaeceariemannianacukijsimbolii luiChristoel. Atuncigeodezicaestedatadesistemuldeecuat iidiferant ialedeordindoi:d2xkdt2+ kijdxidtdxjdt= 0.Saconsideramfunct ialui LagrangeL=ds=_gijdxidtdxjdtdtpecurba.Scriindproblemavariat ionalapentruLagrangianulL,segaseste([26],[?])caecuat iileEuler-Lagrangesuntechivalentecuecuat iileurmatoarei geodezice:d2xkds2+ kijdxidsdxjds=0, scrisa nparametrul natural ds. Rezultacaocurbapeovarietateriemannianaestegeodezicadacasi numai dacaextremizeaza(minimizeaza) lungimeaarcului decurba. Deci geodezicelesunt curbedelungimeminimaceunescdouapunctedepevarietateariemanianna.Asa cum am mai armat, rat ionamentele ce vizeaza proprietat i tensoriale(conexiune, curbura, torsiune..) sunt identicecaexprimarentr-unspat iupseudoriemannian ncaremetricasatisfacedoarcondit iadenedegenerare,det g ,= 0,faraapozitivdenita.Inschimbproblemecevizeazaformadevolum,lungimeaarculuidecurbatrebuiescanalizateseparat.Consideranduniversul spatio-temporal cumetricads2=ijdxidxj, amvazut cacel mai convenabil parametrupe olinie de univers este timpulpropriu. Mergandpeideeademai sus pentrucalculul lungimii arculuidecurbads,aicilucrurilesecomplicadeoarecedspoateocantitaterealapozitiv a(interval detiptemporal), imaginara(interval spat ial)sauchiar0(intervalizotrop).In situat ia intervalelor de tip temporal, cu parametru, lucrurile se petrecca ncazul riemanniansi deci caracterul extremal al geodezicei sereferalalungimea sa n raport cu timpul propriu. Sa remarcam ca ecuat iile geodezicei66CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE GEOMETRIAVARIETAT ILOR DIFERENT IABILEraman neschimbate la transformari ane ale timpului propriu, = a +b, cua sibconstantereale.Incazulintervalelordetipspat ialnumaiputemluacaparametru.Inschimb este un parametru convenabil, ecuat iile geodezicei raman neschim-batecaforma, darinterpretareaestealta. Pentrucazulizotropparametrultrebuieschimbat ntotalitate,putandexistageodezicedelungimenulaceunescdouapuntediferite.Deremarcatcalaacesteschimbari deparametrucaracterul geodeziceideadetiptemporal, spat ial sauizotropnuseschimbadeoareceunghiulvectorilor se pastreaza prin transport paralel si aceasta se reecta la produsulscalargcesatisface0g= 0.Lungime extrema a curbei nu nseamna neaparat minima. Spre exemplu,lungimeaunei geodezicetemporalaestemaximadeoareceputemaproximacurba temporala cu o curba care pe bucat i are lungimea nula (de tip izotrop)si curbarezultataestedelungimemaxima. Situat iapoatecomparatacuurmatoarea: PesferaS2douapunctepotuniteprintr-ogeodezicacareeste cercul mare de pe sfera ce le uneste n doua moduri, pe arcul de cerc maiscurt, sau pe cel mai lung.In cazul geodezicelor temporale o luam pe drumulmai lung. Aceasta situat ie seamana cu cea a unui astronaut ce nainteaza nvarstadatoritadilatarii timpului.Incazul geodezicelorspat ialeestevorbademinimullungimidistant ei.3.3. VATIETAT IRIEMANNIENE. 67fig.68CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE GEOMETRIAVARIETAT ILOR DIFERENT IABILECapitolul4Teoriagravitat iei.4.1 Universului spat io-temporal Einsteinian.Sa revenim la experimentul descris la nceputul celei de-a doua part i a acesteilucrari.Unui observator aat ntr-un lift n cadere libera i-am asociat un sistem dereferint a inert ial local, SRIL, n raport cu care fort a gravitat ionala este com-pensata de cea de inert ie. Am formulat pe aceasta cale pricipiul echivalent eimaseiinertecuceagravitat ionala.CaracterullocalalSRILsereferalaozona ncarecampulgravitat ionalesteomogencadensitate sistat ionar ntimp.Pedealtaparte, aceluiasi observatorputemsa-i asociemunsistemdereferint aneinert ial SRN, xatntr-unpunct de pe Pamant, nraport cucareseobservacaderealiftului. Caracterul neinert ial rezultadincadereaaccelerataaliftului.Presupunem can SRIL un punct Pare coordonatele P(0= c, 1, 2, 3), indtimpul propriu.InSRNacelasi punct are coordonatele P(x0=ct, x1, x2, x3). Construct iaspat io-temporalafacutanprima parte privindteoriarelativitat iirestransesepoateaplicalaSRILsituate ntr-ovecinatatealuiPrelativlametricads2= ijdidj(4.1.0.1)metricaceramaneinvariantarelativlaSRILdintr-ovecinatatealui P(x),adicapuncteQ(x + dx). Dacaar existaotransformarebijectiva(x) () ntreceledouasistemedecoordonatelacareseraporteazapunctul P,6970 CAPITOLUL4. TEORIAGRAVITAT IEI.problemastudiului nSRNarrezolvata. Avem:ds2= ijixkjxhdxkdxhsiintroducandurmatoriicoecient i:gkh= ijixkjxh(4.1.0.2)obt inemcads2nSRNsescrie:ds2= gkhdxkdxh(4.1.0.3)Saanalizamproprietat ileluigkh.In primul rand, gkh(x) sunt componentele unui (0, 2) tensor 4 dimensional,simetric,deoarecelaschimbariledeSRNavem:g

kh= ijixkjxh= ijixmjxnxmxkxnxh=xmxkxnxhgmn.Acesttensorestenedegenerat: det (gkh) = det_ixm_2< 0.Notamcug= det (gkh) .OaltaproprietatesereferalaschimbariledeSRIL. Saconsiderami=aikk+ ai0otransformareLorentzgeneraladesistemelocale. Atunci di=aikdksideci: gkh= ijixkjxh= ijaimajnmxknxh= mnmxknxh= gkh.A rezultat o proprietate remarcabila a lui gkh(x),aceea ca nu depinde deschimbariledeSRIL.Spat iul(R4, g) senumestespat iul pseudoriemaniansauuniversul spat io-temporal Einsteinian, local ind reductibil la universul spat io-temporal al luiMinkowskiM4,1.Notamcugkh(x) =xkixhj ijinversulluigkh,adicagkigih= kh.Faptul ca gij(x) nu depinde de SRIL ne permite sa particularizam sistemullocal ntr-ovecinatateapunctului P. Spreexemplupeoliniedeuniversdepinzanddeparametrul t=x0/t, : t (x0, x1(x0), x2(x0), x3(x0)), saconsideramSRILnraport cucare=const, =1, 2, 3, adicapunctulPestespat ial xat. PentruacesteSRILavem(ds2)=c2d2, unde estetimpul propriumasuratcuunceaslegatdeSRIL, insensibil laaccelerat iagravitat ionala, numit timp standard. Astfel de sisteme locale sunt preferabilepentru a exprima legatura cu pseudometrica gij(x). Pentru a le distinge vomnotacoordonatelecuindice0,0= const.4.1. UNIVERSULUISPAT IO-TEMPORALEINSTEINIAN. 71Sapresupunemacumca nSRNavemunpunctAxatspat ial, dx=0, =1, 2, 3. Unastfel depunctsenumestepunct dereferint a. Dintr-unpunctdereferint a, douaevenimentevecineP(x)si Q(x + dx)vordepindepeoliniedeuniversdoardet,masuratcuunceasornicnumitdereferint a.IntervalulPQva:ds2= g00(x)_dx0_2= c2d2(4.1.0.4)Deducemcag00> 0 sica,dintr-unpunctdereferint a,intervaleledetipstandard siceledereferint aseleagaprin:d=g00dt , cu dx= 0, = 1, 2, 3 (4.1.0.5)este timpul propriu specic SRIL(spre exemplu un ceas al unui astronaut)sitestetimpulreal,carepermiteocomparareobiectivaalucrurilor.Pentru doua puncte de referint a vecine A(x) si B(x+dx) n SRN denimdistant aspat ialastandard:dl2= dd= 0xi0xjdxidxj(4.1.0.6)Din(??)rezultaca00x0=g00,iar0x0= 0,0indconstant.Sacalculam sii0x.Plecamdela:g0= iji0x0j0x= 0000x000x=g0000x,adica:00x=1g00g0.Inlocuind sigrupandtermenii n(4.1.0.6),obt inem:dl2= iji0xj0xdxdx+0000x00xdxdx=gdxdx+1g00g0g0dxdx=(g +1g00g0g0)dxdx.Folosimnotat iile:=1g00g0; = g(4.1.0.7)Atuncidl2devine:dl2= dxdx(4.1.0.8)deciesteometricaspat iala,carenuesteneaparatpozitivdenita.Legatura ntreds2sidl2este:ds2=g00(dx0)2+ 2g0dx0dx+ gdxdx=g00(dx0)2+ 2g0dx0dx+()dxdx,adica:ds2= (cg00dt + dx)2dl2(4.1.0.9)72 CAPITOLUL4. TEORIAGRAVITAT IEI.O prima remarca ce rezulta de aici este ca daca Psi Q sunt doua punctepentru care dx0=g00dx, atunci ds2= dl2, deci o simultaneitate a eveni-mentelor nSRIL siSRN.O alta remarca se refera la asanumita problema a celor doua ceasornice.Saconsideram timpul standardal unei particulemateriale nSRILsiv= dx/dt componentele vitezei de deplasare a particulei raportata la SRN,v=_vvmarimeaacesteiviteze. Din(4.1.0.9)seobt ine:c2d2= (cg00 + dxdt)2(dt)2dl2,adica:d=_(cg00 + v)2v2c2_12dt (4.1.0.10)Pe bazaacestei formule putemcomparaindicat iile ale ceasorniculuistandardsituat subact iuneacampului gravitat ionalnraport cucele aleunuialtceasornic, nparticularacestaarputeadereferint a.Cumg00estestranslegatdecampulgravitat ional,rezultacaceasorniculstandardmergemai ncetacoloundecampulgravitat ionalesteslab.Oaltaexperient alegatadeaceeasiformula(4.1.0.9)sereferalamodi-careafrecvent ei unui semnal luminos ncampgravitat ional. Peatomul dehidrogenseconstataoscadereafrecvent ei atunci candundavinedintr-unloc ncarepotent ialulgravitat ionalestemaimicfat adeloculrecept iei. Sespunecaarelocodeplasaresprerosuaspectruluiluminos.4.2 Particulalibera ncampgravitat ional.4.2.1 Ecuat iiledemiscarealeparticuleiliberePresupunem ca asupra unei particule act ioneaza doar fort a gravitat ionala peo linie de univers .In raport cu un SRIL de pe curba particula se comportapotrivitrelativitat iirestranse,adicacvadriaccelerat iasaestenula:d2id2= 0 ; i = 0, 1, 2, 3 (4.2.1.11)Satrecemacesteecuat ii nraportcuunSRNarbitrar:d2id2=dd(ixjdxjd) =2ixjxkdxjddxkd+ixjd2xjd2= 0.Dincarededucemca:d2xhd2+ hjkdxjddxkd= 0 (4.2.1.12)4.2. PARTICULALIBERA INCAMPGRAVITAT IONAL. 73undehjk=xhi2ixjxk.Se observa imediat ca hjksunt independente de SRIL si prin calcul directsevericafaptul calaschimbari deSRNhjksetransformacasi coecient iunei conexiuni liniare(3.2.0.13). Deci (4.2.1.12) reprezinta ecuat iile uneigeodezice nraportcuoconexiuneliniarapecareamdori saoprecizam.Pentruaceastavomdaoaltaformacoecient ilorhjk.SaconsideramLagrangianulparticuleilibereL0= m0c_ijdiddjd= m0c_gij(x)dxiddxjdNotam cu xi=dxidsi scriem ecuat iile E-L pentru L0, adicaL0xkdd(L0 xk) =0.T inandcontca nL0doargijdepinddex,obt inem:dd[gkj xj_gij xi xj] 12 xi xj_gij xi xjgijxk= 0Dacaluam = atunci_gij xi xj=_ijdiddjd= c sideciecuat iileE-Ldevin:dd(gkj xj) 12gijxk xi xj= 0Urmeazasacalculamtermenuldd(gkj xj) =gkj xj+gkjxi xi xj, astfel canlocuindmaisusobt inem:gkj xj+gkjxi xi xj12gijxk xi xj= 0T inandseamadesimetrialuigkj,rezulta:gkjd2xjd2+12(gkjxi+gkixj gijxk)dxiddxjd= 0 (4.2.1.13)Obt inem de aici aceeasi ecuat ie (4.2.1.12) a geodezicei n care se vede clarcahjksuntchiarsimboliiluiChristoelaiconexiuniiriemanniene nraportcumetricagij.Metricagij(x)aspat iului pseudoriemanniandepinde nmodnecesardegravitat ie, motiv pentru care funct iile gij(x) se mai numesc potent iale gravitat ionale.Deci ntregspat iul(R4, g)esteoexprimareaact iuniigravitat iei. Problemaprincipalaramanedeagasiacelelegibijectivedetransformare(x) ()sideaicipotent ialelegravitat ionalegij(x).74 CAPITOLUL4. TEORIAGRAVITAT IEI.4.2.2 Aproximarea newtoniana a campului gravitat ional.Miscareape ogeodezicaaparticulei liberencampgravitat ional este unargument pentruideeacageometriasadescriegravitat ia. Esteacestaunargument si sucient?Pentru a putea raspunde la aceasta ntrebare ar trebuicel put incarezultateledinmecanicanewtonianasasencadrezenacesttablou. Limitelemecaniciinewtonienesereferalavitezemicisilacampurigravitat ionaleslabe,stabile ntimp.Deci sa consideram o particula liberantr-un camp gravitat ional n urmatoarelecondit ii:a) Viteza particulei este mica comparativ cu viteza luminii, [ dx/dx0[1Caoconsecint aaacesteia,dindxd=dxdx0dx0drezultaca [dxd[[dx0d[ .b)Campulgravitat ionalestestatic,adicagijnudepinddex0= ct.c)Campulgravitat ionalesteslab: gij= ij + hijunde [ hij [1.In aceste condit ii ecuat iile (4.2.1.12) sau (4.2.1.13) ale geodezicei de miscareaparticuleiliberepotaproximatedoarla:d2xkd2+ k00(dx0d)2= 0 (4.2.2.14)Sicumgijx0= 0,rezultacasimboliiluiChristoelsunt:k00= 12gk g00x= 12(khk)h00x0 12k h00x0=12h00xk, undehij= ikjlhkl.Astfelca(4.2.2.14)sescrie:d2xkd2= 12h00xk(dx0d)2(4.2.2.15)Pentru k = 0, deoarece gijnu depind de x0, rezulta ca nici h00nu depinddex0sideci:d2x0d2= 0,adicadx0d= const.Pentruk,=0, calculamintaid2xd2=dd(dxd) =d2xdx02 (dx0d)2si atunci(4.2.2.15)sescried2xdx02= 12h00x ,adica:d2xdt2= c22h00x; = 1, 2, 3 (4.2.2.16)Semnicat ianewtonianaaluid2xdt2esteceaacomponenteloraccelerat ieideterminatadefort adeinert ie. Potrivitprincipiuluiechivalent ei a =

,4.2. PARTICULALIBERA INCAMPGRAVITAT IONAL. 75unde= GMrestepotent ialul gravitat ional. Din(4.2.2.16) obt inemca(x) =c22 h00sidecig00= 00 + h00este:g00= 1 +2c2 (4.2.2.17)Deducemcamiscareaparticuleilibere ncondit iilemecaniciinewtonienese face dupa formulele (4.2.2.16) ce includ potent ialul gravitat ional . Pentruadescriegeometriaspat iului ncare(4.2.2.16)estegeodezicaestesucientsacunoastemg00datde(4.2.2.17). Acestg00variazacamarime,spreexemplu1c2este109lasuprafat aPamantului si106lasuprafat aSoarelui,ceeacene arat a masuran care geometria acestui spat iu se abate de la cea euclidiana.4.2.3 Principiuldecovariant a.Formulareaoricarei legi azici trebuiesaeindependentadesistemul decoordonate. Maimult naceastateorieagravitat iei amacceptatprincipiuldeechivalent aTeoriarelativitat iirestransevalabilaaici nSRILcont ineregulicesere-feraladerivatepart ialeclasice. TrecandnSRNgeometriaspat iului estepseudoriemaniana, aici derivarea part iala nu mai pastreaza caracterul tenso-rialalmarimilor,loculdeivateipart ialevaluatdederivatacovarianta.Principiul covariant ei, careesteoconsecint aaacestor idei, armaca: atunci cand trecemde la marimi tensoriale cunoscuten relativitatearestransalacorespondentele lor dinrelativitateageneralaeste necesar sapastramcaracterultensorialallor.Cateva cazuri prezinta interes deosebit si vom arata aici cum se transcriu.Spreexempluparticulalibera,nbazaacestui principiual covariant ei,aretraiectoriaogeodezicascrisacuajutorul derivatei covariantesi exprimaecuat iitensorialeinvariante. Savedemaltesituat ii.Amspus nprimapartecaspecicmediuluirespectiv(electromagnetic,uid, etc.) este untensor numit tensorul energie-impuls0Tij(), carenspat iulplatMinkowskivericalegeaconservariienergiei0Tij()i=0(aiciisunt coordonatele n SRIL si am notat cu indice 0 componentele n raport cuacestsistemlocal).In spat iul curbat pseudoriemannian aceasta lege a conservarii energiei va76 CAPITOLUL4. TEORIAGRAVITAT IEI.trebuisasetraducaprin:iTij= 0 unde Tij=xikxjh0Tkh(4.2.3.1)ecuat ieceexprimaconservareaenergiei nprezent acampului gravitat ional,indconexiuneaLevi-Civitaametricii gij(x)(amomisindicele0pentruconexiuneariemannianapentruanucreiaconfuzie).Fie0Fij() tensorul elecromagneticntr-unSRILsi0Ji() curentul 4-dimensional. Acestemarimineconduclatensoriicorespunzatoridinspat iulcurbat(R4, g),Fij(x) =xikxjh0FkhsirespectivJi(x) =xik0Jk.0Fijsi0Jivericauecuat iileecuat iiletensorialealeluiMaxwell:0ijk0[i0Fjk]= 0 ;0fi0j0Fij= 40JiPentru a pastra caracterul tensorial va trebui sanlocuim derivatele part iale0i=icuderivatele covariante i. Astfel ca legile lui Maxwell capataurmatorulaspecttensorial:[iFjk]= 0 ; jFij= 4Ji(4.2.3.2)Innotat iacubarapentruderivareacovariataaunuitensoracesteecuat iisescriu:

cicl(i,j.k)Fjk|i= 0 ;

jFij|j= 4JiDin nesimetria tensorului energie-impuls se poate trage concluzia existent eipotent ialuluielectromagneticAiastfelca:Fij= iAjjAi(4.2.3.3)sau nformadiferent ialaechivalentaF= dA.Ecuat ia(4.2.3.3) se poate obt ine traducandcuprincipil de covariant aecuat iacorespunzatoaredinSRILpentruuncamppotent ial0Aj.Analogsepoateaplicaprincipiuldecovariant apentrualtemedii: uidincampgravitat ional,etc.4.3. ECUAT IIEINSTEIN. 774.3 Ecuat iiEinstein.Cupregatireageometricade panaacumntr-unspat iucurbat, dar si curezultatelecetrebuiescsaaproximezeteorianewtoniana,suntem nmasurasaintroducemecuat iileEinstein, ecuat ii cedescriulegaturadintremetricapseudoriemanniana sitensorulenergie-impuls.Existacelput indouacaidealeintroduce:-ceaintuitiva, bazatapeargumenteledepanaacum, metodaceascosnevident agenialitatealuiEinstein-cea care porneste de la principiul variat ional al miscarii, metoda ganditadeD.Hilbert.ArgumenteleluiEinsteinsunturmatoarele:Ecuat iiledetipPoisonapotent ialuluigravitat ional nmecanicanew-tonianaeste=4G, undeG/c2=7, 425.1029. Amvazut cag00 1 +2c2, iartensorul energie-impuls ncazul unui uidsimpluarecompo-nentaT00=c2. Deaici deducemcag00 T00, unde=8G. Deciecuat iile ce trebuiesc gasite vor satisface ( n particular) neaparat o astfel decondit iedeproport ionalitateaderivatelordeordindoialetensoruluimetricnraportcutensorulenergie-impuls.Apoi, tensorul energie-impuls satisface legea de conservare (4.2.3.1), adicadivergent asaestenula iTij= 0 ,sauechivalent iTij= 0 , indconex-iuneaLevi-Civitaametricei gij(x). Untensorproport ional cuel artrebuisasatisfacaocondit ieasemanatoare. Unasemeneatensorl-am ntalnit nparteapregatitoareaacesteiteorii,elindtensorulluiEinstein(3.3.0.14):Eij= Sij12gij(4.3.0.1)cesatisface3.3.0.16,adica iEij= 0.Apare natural pentru Einstein sa lege geometria de mecanica prin urmatoareleecuat ii:Sij12gij= Tij(4.3.0.2)numiteecuat iileluiEinstein,senumasteconstantauniversala.Acesteecuat iiraspundcerint elorformulatemai nainte.Ulterior elaborarii acestei teorii, Huble a demonstrat ca n problema cos-mologieiarelocodilatareaUniversului. Einsteinconstatacaecuat iilesalenu raspund acestor idei cosmologice, fapt ce l determina sa adauge un factor.78 CAPITOLUL4. TEORIAGRAVITAT IEI.Care ar putea acest facor?. Un alt tensor simetric si cu derivata covariantanulanuestealtuldecattensorulmetricgij.Astfelca:Sij12gij + gij= Tij(4.3.0.3)suntcunoscutecaindecuat iileEnsteincosmologice, esteconstantacos-mologica.Inacestcapitolnevomreferinumailaecuat iileEinstein(4.3.0.2).Incazul campului gravitat ional slabgij=ij+hijcu [ hij[1 ,avem: kij 12mkihmj + jhimmhijiarSij=Rhihj mmij jmim12(imhmj+ jmhmiijhmmhij).Dinaproximareanewtonianaavem [T [[T00 [ , iardincalculul luiSijrezulta ca [ Eij [[ E00 [ si prin urmare S 12g.Calculul scalaruluidecurburaeste: =ijSij S00 +32si deci S00 12. Inconsecint a,pentruaproximareanewtonianaacampului gravitat ional ecuat iileEinsteinseverica.Safacemoscurtaanalizaaecuat iilorEinstein.-Membrul stangcont ineaspectelegeometricealespat iului , ntimpcemembruldreptestelegatdeaspectelemecanicealespat iului.- Este un sistem de zece ecuat ii (datorita simetriei tensorilor) cu derivatepart iale de ordinul al doilea, necunoscute ind componentele tensorului met-ricgij nnunarde10. Dacat inemseamacaacesteecuat iiverica necaremembrulegeaconservariienergiei, iTij= 0,apar4dependent efunt ionale,deci dincele10ecuat ii doar6suntindependente, numarul necunoscutelorramanandacelasi. Drept urmare celor 10ecuat ii li se pot impune patrucondit iisuplementare,convenabile,pentruaeliminaarbitrarietatea. Deex-emplu,sepoateceresaavem: k= gijkij= 0,numitecondit iidearmonic-itate.Sistemul deecuat ii ramaneoricumfoartecomplicat, solut ii pentruel secunoscpana nprezentdoarpentrucazuri particulare.Inaltesituat ii sauncercat metode numerice. Chiarncazul vidului candTij=0, si deciecuat iileEinsteinsereduclaEij=0, problemaestetotcomplicata. Vomanaliza nsect iunileurmatoarecatevametodedelucru naceastasituat ie.- Capentruoricesistemdeecuat ii diferent ialeunicitateasolut iilorde-pinde de condit iile init iale impuse (problema lui Cauchy). Pentru simplitateputem lua de la nceput ca variabile potent ialele gravitat ionale gij. Condit iileinit iale pentru un sistem de ecuat ii de ordinul al doilea vor trebui sa se refere4.3. ECUAT IIEINSTEIN. 79atatlavalorileluigijpeohipersuprafat a : t xi(t)cat sipentruvalorileluitgij [.Ingeneral, sistemul are ungradde arbitrarietate datorat celor patrudependent e funct ionale. Fizicienii aupropus pentrua rezolva problemacondit iilor init ialeunmodel numit orizontul Cauchy, ncareseconsideraundomeniuconexS . CuD+(S)senoteazadomeniul dedependent anviitorcaindmult imeatuturorpunctelorPpentrucareoricemiscare ntrecutpeocurbatemporala, delungimenulasauinnita,intersecteazaS.Frontiera lui D+(S) se noteaza cu H+(S) si se numeste orizont Cauchy n vi-itor. Cu totul analog pentru miscarile n viitor se deneste D(S) si H(S).Privitapeimagineaeuclidianaaspat iului Minkowski, esteninteriorulhiperconuluiluminos,deoarecesereferalacurbetemporale.fig- Ecuat iile Einstein pot scrisentr-o forma echivalenta facand urmatoarelecalcule. Ridicam indicii cu gjmsi obt inem: Smi12mi= Tmi. Apoi facandm=irezulta: 124=T,undeT = Tii.Obt inemca= T,care80 CAPITOLUL4. TEORIAGRAVITAT IEI.nlocuit n(4.3.0.2)neconduce laurmatoareaformaechivalentaaecuat iiloeEinstein:Sij= (Tij12T gij) (4.3.0.4)Observamca ncazul vidului ecat iileEinsteinsereduclaanulareaten-soruluiluiRicci.Pentrua ntari ncrederea nipotezafacutaprivindformaecuat iilorEin-stein vom arata pe scurt cum pot ele obt inute pe o cale mai matematizatadinprincipiulvariat ionalalact iunii,metodadescisadeHilbert.Hilbert observa ca o funct ie scalara care sa cont ina derivatele part iale deordinul al doilea este scalarul lui Ricci si n consecint a considera urmatoareadensitate de Lagrangian (pentru a avea independent a de sistemul de coordo-nate):LH=g (4.3.0.5)g=det (gij) rg,egalitateaindsituat ielimita.MetricaSchwartzschilddevine:ds2= (1 rgr)_(dx)2dr2_r2d296 CAPITOLUL4. TEORIAGRAVITAT IEI.undepestetotdeacum ncolovomfolosinotat iaevidenta:d2= d2+ sin2 d2IncontinuareintroducemcoodonateleEddington-Finkelstein: u = x0+ r; v= x0r(4.5.1.13)sidecimetricasevascrie:ds2= (1 rgr)d ud v r2d2(4.5.1.14)Acumputemintroduceasa-numitacoordonatabroasca,x0= r r +const, ce se modicancet n lungul unei geodezice nule.Inlocuind mai sus d vn funct ie de dr si d u obt inem metrica Schwatzschildn coodonate Eddington-Finkelstein:ds2= (1 rgr)d u2(d udr + drd u) r2d2(4.5.1.15)Privita ncoordonatele( u, r, , )metrica(4.5.1.15)estenedegenerata,det (gij) = r4sin2, chiar sincazul singular r =rgal gaurilor negre.Astfel caputemdiscutade(gij) , inversametricii. Condit iadegeodezicanula,ds2= 0,neda:d udr= 0 ninteriorulgauriinegre2(1 rgr )1nafaragauriinegreAnaliza acestei situat ii ne arata ca n sistemul acesta de coordonate conulluminosestebinedenit sipentrur = rg,maiexactavemurmatoruldesen:4.5. METRICASCHWARZSCHILDCUSIMETRIESFERICA. 97figSuprafat ar=rgsenumesteorizontul evenimentelor, un