Cap0011FR - Teoria relativitatii

26
Teoria relativitatii Unitatea de învăţare nr. 11 TEORIA RELATIVITATII Cuprins Pagin a Obiectivele unităţii de învăţare nr. 11 202 11.1 Axiomele mecanicii clasice si postulatele lui Einstein 202 11.2 Intervalul relativist 204 11.3 Transformari Lorentz 206 11.4 Consecinte ale transformarilor lui Lorentz 209 11.5 Energia si impulsul 210 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 11 215 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 216 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 11 220 201 Fizica – Curs şi aplicaţii

description

Teoria relativitatii

Transcript of Cap0011FR - Teoria relativitatii

Page 1: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

Unitatea de învăţare nr. 11

TEORIA RELATIVITATII

Cuprins Pagina

Obiectivele unităţii de învăţare nr. 11 202

11.1 Axiomele mecanicii clasice si postulatele lui Einstein 202

11.2 Intervalul relativist 204

11.3 Transformari Lorentz 206

11.4 Consecinte ale transformarilor lui Lorentz 209

11.5 Energia si impulsul 210

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 11 215

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 216

Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 11 220

201Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 2: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 11

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 11 sunt: Familiarizarea cu postulatele lui Einstein; Familiarizarea cu notiunea de interval relativist si cu

consecintele invariantei acestuia; Sublinierea aspectelor practice de utilizare a efectului

Doppler; Aplicarea cu succes a unor elemente simple de calcul in

care sa foloseasca invarianta cuadriimpulsului.

11.1 Axiomele mecanicii clasice si postulatele lui Einstein

La baza mecanicii clasice stau principiul relativitatii galileene si principiul timpului absolut. Acestea afirmã ca, desi observatori inertiali diferiti vor caracteriza evenimentele (ceea ce se petrece într–un loc la un anumit moment) prin valori diferite ale coordonatelor spatio–temporale, legile mecanicii clasice vor avea aceeasi formã pentru toti, iar intervalele de timp dintre douã evenimente vor fi egale. Ca o consecinta a faptului ca timpul curge la fel in orice sistem de referinta, transmiterea fortei se face instantaneu. Electromagnetismul, dezvoltat de Maxwell la sfarsitul secolului al XIX-lea, arata ca interactiunea se propaga cu viteza finita, prin contiguitate. De asemenea, ecuatiile lui Maxwell, legile electromagnetismului, nu erau invariante la transformarile lui Galilei, adica aveau expresii diferite in raport cu observatori inertiali diferiti. Pentru a explica propagarea undelor electromagnetice cu viteza finita in vid, s-a imaginat un mediu elastic, care umple tot spatiul, numit eter . In felul acesta, undele electromagnetice se propaga prin eter asemenea undelor mecanice prin medii elastice. Eterul era asemenea cascavalului: la viteze mici cutitul inainteaza prin cascaval fara a simti o rezistenta mare, in timp ce la viteze mari cascavalul devine rigid. Asupra eterului s-au emis doua teorii: cea a lui Hertz, care considera eterul antrenat de catre corpurile in miscare si cea a lui Lorentz, care considera eterul absolut imobil, neantrenat. Ambele ipoteze au fost infirmate intr-un final, cea a lui Lorentz de catre celebrul experiment Michelson-Morlay, care dorea sa puna in evidenta „vantul de eter” pe care observatorii de pe Pamant ar trebui sa-l simta datorita miscarii cu o viteza de aproximativ 30 km/s a Pamantului fata de Soare.

202Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 3: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

Figura 11.1.1 – Interferometrul Michelson utilizat pentru determinarea „vantului” de eter

Razele de lumina care se separa in M0 si parcurg dus-intors bratele 1 si 2 se suprapun on ochiul observatorului sub forma unor franfe de interferenta. Daca rotim aparatul in plan orizontal astfel incat bratul 1 sa ia locul bratului 2 din figura, in cazul existentei „vantului” de eter ar trebui sa sesizam o defilare a franjelor. Rezultatul negativ al acestui experiment l-a condus pe Albert Einstein la negarea eterului si la formularea celebrelor postulate in 1905:

- Principiul relativitatii restranse: Legile fizicii sunt la fel fata de toti observatorii inertiali.

- Principiul limitarii vitezei de propagare a interactiunilor: Exista o viteza limita in Univers: viteza de propagare a luminii in vid, c ≈ 3 x 118 m/s. Valoarea vitezei de propagare a luminii in vid este aceeasi in toate sistemele de referinta inertiale (indiferent fata de miscarea sursei sau a observatorului).

203Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 4: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

11.2 Intervalul relativist

Figura 11.2.1 – Curbe de univers pentru o particula in repaus in originea axei Ox (v=0), si pentru o particula care se deplaseaza uniform pe axa Ox

(v>c)

Prin eveniment intelegem ceva care se intampla intr-un loc la un moment dat. El va fi specificat de trei coordonate spatiale si de una temporala: (ct, x, y, z). Coordonata temporala a fost inmultita cu o constanta universala, viteza luminii in vid, pentru a avea dimensiuni spatiale. Hermann Minkowski, profesorul de matematica al lui Einstein, si-a imaginat un spatiu cu patru dimensiuni, trei spatiale si una temporala, pe care l-a numit spatiu-timp, in care un eveniment se reprezinta printr-un punct, punctul de univers. Evenimentele asociate unei particule vor descrie o curba in spatiu-timp, curba de univers. Daca particula este in repaus, curba de univers este o dreapta paralela cu axa timpului. Daca se deplaseaza cu viteza constanta, curba de univers este o dreapta a carei panta tinde spre valoarea 1 cand vc. In spatiul tridimensional al mecanicii clasice, distanta dintre doua puncte este exprimata de teorema lui Pitagora:

(11.1.1)

In spatiul Minkowski distanta dintre doua puncte de univers poarta numele de interval relativist si are expresia:

(11.1.2)

204Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 5: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

Pentru evenimente infinit apropiate, definitia devine: (11.1.3)

Observam ca daca punctele de univers (x1, y1, z1, ct1) si (x2, y2, z2, ct2) se refera la evenimente legate de lumina (emisia si receptia ei, de exemplu), intervalul este nul. De asemenea, intervalul poate avea si valori negative. Se poate arata ca, asemenea distantei dintre doua puncte in spatiul tridimensional, intervalul relativist nu se modifica in urma rotatiilor suferite de sistemul de referinta inertial:

(11.1.4)Intervalul relativist dintre doua evenimente este invariant, adica are aceeasi valoare fata de orice observator inertial. Aceasta este o consecinta a postulatelor lui Einstein. Intervalele relativiste se clasifica astfel:

- Intervale de gen temporal: ds2 > 0. Ele separa evenimente care se pot corela cauzal. Exista un sistem de referinta fata de care evenimentele se intampla in acelasi loc.

- Intervale de gen spatial: ds2 < 0. Ele separa evenimente care nu se pot corela cauzal. Exista un sistem de referinta fata de care evenimentele se intampla in acelasi timp.

- Intervale de gen nul, luminos sau izotrop: ds2 = 0. Ele separa evenimente legate de lumina. Ecuatia reprezinta ecuatia unei hipersuprafete in spatiul Minkovski: hiperconul luminos. Daca vom considera miscarea unidimensionala pe axa Ox (dy = dz = 0), proiectia hiperconului luminos se reduce la cele doua bisectoare:

ds2 = cdt2 – dx2 = 0 => cdt = ±dx => ct = ± x. (11.1.5)

Ele separa planul ctOx in trei regiuni (Figura 11.2.2): viitorul absolut, unde orice eveniment (B, de exemplu) poate avea drept cauza evenimentul O din origine, trecutul absolut, in care orice eveniment (A, de exemplu) poate fi cauza evenimentului O din origine, si alt univers, in care orice eveniment (E, de exemplu) este separat printr-un interval de gen spatial de evenimentul din origine O si nu pot fi corelate cauzal. Daca in acest moment Soarele ar suferi o explozie, orice eveniment de pe Pamant, care se petrece in cele 8 minute necesare luminii sa ajunga aici, nu este influentat de evenimentul explozie.

205Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 6: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

Figura 11.2.2 – Hiperconul luminos

11.3 Transformari Lorentz

Figura 11.3.1 – Sistemul de referinta mobil S’ se deplaseaza cu viteza fata de sistemul de referinta fix, S

206Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 7: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

In Figura 11.3.1 sunt desenate doua sisteme de referinta inertiale, S si S’, aflate in miscare relativa unul fata de celalalt. Cei doi observatori inregistreaza coordonatele spatio-temporale (ct, x, y, z) si respectiv (ct’, x’, y’, z’) ale unui eveniment din punctul A. Sa ne imaginam ca evenimentul consta in trecerea prin punctul A a unei particule care are viteza fata de S si face unghiul θ cu axa Ox (vectorul este in planul xOy) si, respectiv fata de S’, cu unghiul θ’ fata de O’x’. Formulele care leaga (ct, x, y, z) de (ct’, x’, y’, z’) se numesc transformarile lui Lorentz. Pentru a le deduce ne vom folosi de invarianta intervalului relativist la rotatiile axelor sistemului de referinta. Trecerea de la sistemul de referinta S la S’ modifica doar coordonatele x si t, axele Oy si Oz fiind paralele cu O’y’ si O’z’. Aceasta insemna ca trecerea de la S la S’ este echivalenta cu cu o rotatie a axelor de coordonate in planul xOt. Ca exercitiu vom vedea cum se schimba coordonatele la o rotatie obisnuita in planul ctOx al unui spatiu euclidian (Figura 11.3.2):

Figura 11.3.2 – Rotatie a axelor in planul ctOx al spetiului euclidian

Coordonatele evenimentului A pot fi exprimate cu ajutorul unghiului de rotatie Ψ si a unghiului α:

(11.3.1)

Identitatile trigonometrice:

207Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 8: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

(11.3.2)

ne conduc la transformarile cautate:

(11.3.3)

In spatiul Minkowski, tinand cont de caracterul pseudoeuclidian al acestuia functiile trigonometrice vor fi inlocuite de cele hiperbolice:

(11.3.4)

Sa ne aducem aminte de relatiile de definitie ale functiilor hiperbolice si de unele relatii utile in cele ce urmeaza:

(11.3.5)

Pentru a vedea ce inseamna „unghiul de rotatie” a axelor, Ψ, sa urmarim miscarea originii O’a sistemului mobil S’din sistemul fix, S:

(11.3.6)

Relatiile 11.3.4 au devenut 11.3.6 deoarece originea O’ are coordonata x’ = 0. Daca facem raportul celor doua relatii 11.3.6 observam ca x / t = V, viteza lui S’fata de S:

(11.3.7)

Inlocuind in relatiile 11.3.4 sinusul hiperbolic si cosinusul hiperbolic cu tangenta hiperbolica (vezi relatiile de la final in 11.3.5) si pe aceasta cu raportul V / c (11.3.7), obtinem transformarile Lorentz:

(11.3.8)

Transformarile inverse se obtin rezolvand sistemul de ecuatii 11.3.8:

(11.3.9)

Observam ca daca tindem la limita vitezelor nerelativiste, V / c 0, regasim transformarile lui Galilei:

(11.3.11)

208Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 9: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

11.4 Consecinte ale transformarilor Lorentz

Dilatarea duratelor: vom defini la inceput notiunea de timp propriu. Sa consideram o particula si un observator care se misca impreuna cu ea (particula este in repaus fata de acest observator). Timpul masurat de ceasul acestui observator solidar cu particula se numeste timp propriu. Pentru intervale scurte de timp viteza particulei nu poate suferi modificari mari, deci este aproximativ constanta si o vom considera sistem de referinta inertial. Vom gasi relatia dintre timpul propriu si timpul masurat de un observator in raport cu care particula are viteza v, plecand de la conditia de invarianta a intervalului relativist dintre doua evenimente infinit apropiate suferite de particula:

(11.4.1)

In aceasta expresie dτ este timpul propriu, iar dt este timpul masurat de observatorul in raport cu care particula are viteza v. Observam ca cei doi obtin rezultate diferite. Pentru intervale finite de timp relatia se integreaza:

(11.4.2)

Radicalul fiind subunitar, timpul propriu este mereu mai scurt decat timpul observatorilor care vad particula in miscare. Se spune ca pentru acestia timpul de dilata. Cunoscutul „paradox al gemenilor” nu poate fi rezolvat in teoria relativitatii restranse. El se explica in teoria relativitatii generalizate pe baza constatarii ca atunci cand sistemul are o miscare accelerata aceasta echivaleaza cu aparitia unui camp gravitational si timpul curge mai incet in camp gravitational decat in afara lui. Astfel cei doi frati nu mai sunt echivalenti din punctul de vedere al relativitatii miscarii si, la reintalnire, cel care a calatorit va fi mai tanar. Contractia lungimilor, relativitatea simultaneitatii, pastrarea cauzalitatii sunt efecte care se demonstreaza in mod asemanator. Vom prezenta acum regula de compunere a vitezelor relativiste:Daca diferentiem transformarile Lorentz 11.3.8, din definitia vitezei: vx = dx / dt, vy = dy / dt si vz = dz /dt obtinem regula de compunere a vitezelor in teoria relativitatii:

(11.4.3)

La limita nerelativista V / c 0 regasim regula de compunere a vitezelor a lui Galilei: (11.4.4)

209Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 10: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

In Figura 11.3.1 vedem ca cei doi doi observatori masoara viteze diferite in marime: v si v’, care sunt orientate diferit (in planul xOy, respectiv x’O’y’), sub unghiurile θ si θ’. Relatia dintre cele doua unghiuri poate fi dedusa astfel:

(11.4.5)

In cazul in care mobilul studiat este o raza de lumina, v’ = c si relatia anterioare devine:

, (11.4.6)

formula care descrie fenomenul aberatiei stelare: razele de lumina care sosesc pe Pamant, de la stele, sunt inclinate datorita miscarii Pamantului (30 km/s fata de Soare), asa cum un om care alearga prin ploaie inclina in fata umbrela, pentru a se uda mai putin.

11.5 Energia si impulsul in teoria relativitatii

Putem defini in spatiul-timp Minkowski marimi vectoriale care vor avea patru componente, una temporala si trei spatiale, pe care le vom numi cuadrivectori (4-vectori). Cuadrivectorul de baza in relativitate este cuadriraza vectoare. Pentru comoditatea scrierii vom defini doua tipuri de componente ale cuadrirazei vectoare: unele pe care le numim contravariante xi (cu indicele sus) si unele pe care le numim covariante xi (cu indicele jos). Indicele i are valorile i = 0, 1, 2, 3 si componentele sunt:

(11.5.1)

Avantajul introducerii a doua tipuri de componente se vede atunci cand vrem sa exprimam modulul patrat al cuadrirazei vectoare; el este produsul scalar al celor doua tipuri de componente: xi xi , unde este valabila regula de insumare a indicilor muti a lui Einstein: daca un indice se repeta, o data sus si o data jos, avem suma dupa el:

(11.5.2)Observam ca modulul patrat al cuadrirazei vectoare este intervalul relativist dintre evenimentul aflat in originea axelor si evenimentul de coordonate (ct, x, y, z), analog razei vectoare din spatiul tridimensional. Modulul patrat al cuadrirazei vectoare este un scalar si deci un invariant relativist. In mod asemanator putem construi si alti cuadrivectori: cuadriviteza, cuadriacceleratia, cuadriimpulsul, etc.Conditia ca un ansamblu de patru marimi sa fie un cuadrivector este ca la o schimbare de reper ( o rotatie a axelor) sa se transforme asemenea componentelor cuadrirazei vectoare (vezi transformarile Lorentz, 11.3.8):

(11.5.3)

Astfel, definim cuadriviteza:210Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 11: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

(11.5.4)

In definitie am derivat la intervalul relativist, adica la timpul propriu τ, care este un invariant relativist. Modulul patrat al cuadrivitezei este egal cu unitatea:

(11.5.5)

Deci, cuadriviteza este uncuadriversor tangent la linia de univers a particulei.Cuadriacceleratia este derivata cuadrivitezei la intervalul relativist:

(11.5.6)

Daca diferentiem relatia 11.5.5 obtinem ca produsul scalar dintre cuadriviteza si cuadriacceleratie este nul, ceea ce inseamna ca cei doi cuadrivectori sunt ortogonali. Pentru o particula relativista libera actiunea trebuie sa fie un invariant relativist - acesta este intervalul relativist:

(11.5.7)

unde α este o constanta iar minusul permite actiunii sa fie minima pe traiectoria reala. Exprimand intervalul relativist in functie de timpul propriu si tinand cont de relatia 11.4.1 gasim expresia functiei Lagrange pentru particula libera relativista:

(11.5.8)Pentru a afla constanta α ne folosim de faptul ca la limita nerelativista v / c 0 functia Lagrange a particulei libere este egala cu mv2 / 2: (11.5.7)unde am neglijat termenul v4 / 4c4 si am extras constanta – αc din expresia functiei Lagrange. Din 11.5.7 aflam constanta α = mc. Pentru particula libera relativista functia Lagrange si actiunea capata expresiile finale:

(11.5.8)

Putem calcula acum impulsul relativist plecand de la definitia din mecanica clasica:

(11.5.9)

In aceasta expresie, m reprezinta masa de repaus a particulei, iar m / √(1-v2 / c2) reprezinta masa de miscare a acesteia, care tinde la infinit pe masura ce viteza ei se apropie de viteza luminii. Particulele cu masa de repaus nenula nu pot atinge viteza luminii in vid, c. In medii substantiale acest lucru (particule cu viteza mai mare ca viteza luminii, c / n, in acel mediu)

211Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 12: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

este posibil si, daca particula are sarcina electrica, ea emite fotoni intr-un con spatial - efectul Cherenkov. Calculand energia relativista, plecam tot de la expresia clasica:

(11.5.11)

Am obtinut celebra formula a energiei a lui Einstein. O particula are energia de repaus definita: E0 = mc2. Relatia ne spune ca energia si masa sunt proportionale. Afirmatia ca energia se transforma in masa si reciproc este incorecta. Putem spune ca substanta (particule cu masa de repaus nenula) se transforma in camp, ca atunci cand materia se intalneste cu antimateria: e- + e+ γ+ γ – electronul si pozitronul se anihileaza transformandu-se in doi fotoni gamma. Atunci cand doi protoni se apropie la distanta la care actioneaza forta de atractie nucleara tare (11-15 m) masa lor este mai mica decat suma maselor lor atunci cand sunt separati. Aceasta inseamna posibilitatea eliberarii de energie in procesele de fuziune nucleara, procese care aprind Soarele, de exemplu, si permit viata pe Pamant. Elementele cu masa mai mare decat fierul, uraniul, de exemplu, sunt instabile, deoarece fortele coulombiene repulsive dintre protoni incep sa concureze cu fortele nucleare de atractie atunci cand numarul de protoni creste prea mult. La ruperea unui nucleu greu in doua fragmente de masa medie, suma maselor acestora este mai mica decat masa nucleului initial: diferenta de masa corespunde unei eliberari de energie nucleara pe care o utilizam in reactoare nucleare de fisiune sau in bombele atomice.Prin analogie cu vectorul impuls din spatiul cu trei dimensiuni, definim cuadriimpulsul:

(11.5.11)

Modulul sau patrat este produsul scalar intre componentele covariante si contravariante:

(11.5.12)

Expresia 11.5.12 se numeste invariant relativist deoarece energia si impulsul unei particule respecta aceasta relatie indiferent de sistemul de referinta din care sunt masurate. Conform definitiei cuadrivectorilor 11.5.3 sa consideram transformarea componentei cuadriimpulsului la o schimbare de reper (Figura 11.3.1):

(11.5.13)

Considerand ca sistemul studiat este un foton, pentru care sunt valabile relatiile Einstein: E = hν si p = hν / c, unde ν este frecventa radiatiei electromagnetice careia ii apartine, relatia 11.5.13 devine:

212Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 13: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

(11.5.14)

Aceasta este fomula care descrie efectul Doppler: daca sursa de radiatie electromagnetica si observatorul sunt in miscare relativa frecventa radiatiei creste cand se apropie si scade cand se indeparteaza. Exista chiar si efect Doppler transversal. Acest efect este utilizat in navigatie pentru a detecta obstacolele si viteza lor relativa cu ajutorul radarului: se emite un puls electromagnetic si se detecteaza reflexia lui; intervalul de timp dupa care s-a intors ne spune la ce distanta se afla corpul reflectator, iar modificarea frecventei undei reflectate ne spune ce viteza are acest obstacol. Cel mai spectaculos rezultat oferit de efectul Doppler a constat in observarea faptului ca lumina stelelor indepartate sufera o deplasare spre frecvente mai mici (‚deplasarea spre rosu”) indicand faptul ca Universul este in expansiune (viteza de indepartare a stelelor este proportionala cu distanta fata de noi- legea lui Hubble). Ne putem imagina expansiunea Universului asemenea bulinelor de pe suprafata unui balon, in timp ce il umflam cu pompa. Continuarea observatiei ca Universul este in expansiune a fost ca, probabil, a existat un moment in trecut (estimat astazi la aproximativ 15 miliarde de ani) cand acesta a explodat dintr-o zona de dimensiuni punctuale: asa s-a nascut teoria Big Bang asupra genezei Universului.

De reţinut!

Postulatele teoriei relativitatii restranse sunt:- Principiul relativitatii restranse: Legile fizicii sunt la fel fata de toti

observatorii inertiali.- Principiul limitarii vitezei de propagare a interactiunilor: Exista o

viteza limita in Univers: viteza de propagare a luminii in vid, c ≈ 3 x 118 m/s. Valoarea vitezei de propagare a luminii in vid este aceeasi in toate sistemele de referinta inertiale (indiferent fata de miscarea sursei sau a observatorului).

Consecintele acestor postulate sunt:- Intervalul relativist, , este un invariant;- Timpul se dilata;- Spatiul se contracta;- Simultaneitatea este relativa;- Cauzalitatea se pastreaza;- Masa, masura a inertiei, creste cu viteza, tinzand spre ∞ cand

vc;- Energia de repaus E = mc2 a unei particule substantiale (cu masa

de repaus) se poate transforma in energie a campului electromagnetic (prin procesul de anihilare particula-antiparticula);

- In reactiile de fuziune (in stele) sau de fisiune nucleara (in reactoare nucleare) se elibereaza energie, masa sistemului final fiind mai mica decat cea a sistemului initial;

213Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 14: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

- Frecventa unei unde electromagnetice depinde de miscarea relativa sursa-observator (efectul Doppler).

Test de autoevaluare 1.1

1. Perioada de oscilatie a unui pendul este de 3 s in sistemul de referinta propriu (punctul de care este suspendat se afla in repaus). Ce perioada de oscilatie masoara un observator care se misca cu v = 0.960 c relativ la pendul?

2. Sa presupunem ca va deplasati cu un automobil cu viteza de 30 m/s. Sotia, care va asteapta la destinatie, estimeaza ca veti ajunge dupa 5 ore de mers. Ajuns acasa cu intarziere, gasiti scuza ca ceasul din masina a inregistrat cele 5 h de mers, dar ceasul sotiei a inregistret un timp mai mare datorita dilatarii duratelor. Cat ar tebui sa fie intarzierea datorata acestui efect?

3. Paradoxul hambarului: Sa presupunem ca un alergator cu viteza de 0.75 c transporta o bara lunga de 15 m paralela cu viteza cu care alearga. El va trece printr-un hambar lung de 11 m, avand usa din fata si pe cea din spate deschise. Un observator in repaus fata de hambar are o telecomanda cu care poate inchide/deschide usile. Cand alergatorul si bara sunt in hambar, observatorul exterior inchide si deschide usile astfel incat alergatorul si bara sunt momentan capturati in incinta. Aceasta operatiune decurge in siguranta din ambele puncte de vedere?

4. Nucleul de poloniu 216Po este instabil si se dezintegreaza emitand o particula alfa, 4He. Aflati modificarea masei in acest proces daca se dau: m (Po216) = 216.001 915 u , m (Pb212) = 211.991 898 u si m(He4)=4.002 603 u.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 1

1. O stea luminoasa se indeparteaza de noi cu cu viteza vs, mica in comparatie cu viteza luminii. Aratati ca variatia relativa a lungimii

de unda este data aproximativ de expresia: . Masuratorile

spectroscopice asupra luminii cu nm au aratat o deplasare spre rosu cu 20.0 nm, in cazul unei stele situate in galaxia Ursa Mare. Cu ce viteza se indeparteaza aceasta galaxie?

2. Un fizician trece printr-o intersectie cand semaforul are culoarea rosie. Oprit de un politist, el declara ca, datorita efectului Doppler, lungimea de unda de 650 nm (rosu) i-a aparut ca verde (520 nm).

214Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 15: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

Ce viteza ar fi trebuit sa aiba pentru a se intampla aceasta deplasare?

3. Cand 1.00 g de hidrogen se combina cu 8.00 g de oxigen si se formeaza 9 g de apa. Reactia chimica exoterma elibereaza 2.86 x 115 J. Care este diferenta de masa si in ce conditii ar putea fi detectata?

4. In centralele nucleare barele cu uraniu se consuma dupa 3 ani. Centrala poate produce o putere maxima de 1.00 GW. Presupunand ca opereaza la 80.0% din capacitate in cei trei ani, care este pierderea de masa a combustibilului?

5. O stea se afla la 5.00 ani-lumina de Pamant. Cu ce viteza trebuie sa se deplaseze o nava cosmica pentru ca in sistemul propriu de referinta aceasta distanta sa fie de 2.00 ani-lumina?

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

1. Solutie: Timpul propriu este . Timpul masurat in sistemul de referinta care se misca cu v = 0.960 c este dat de relatia:

, fenumen numit dilatarea duratelor.

2. Solutie: .

Intarzierea fiind de doar 0.090 ns, poate ca ar trebui sa gasiti o alta scuza.3. Solutie: Lungimea proprie a barei este de 15 m. Pentru observatorul extern bara are lungimea: , Pentru observatorul cu telecomanda, bara este mai scurta decat hambarul si nu este nici o problema sa fie capturata inauntru. Paradoxul apare cand trecem la observatorul care alearga cu bara: pentru el, lungimea hambarului este de

iar lungimea barei este de 15 m. Cum va incapea bara in hambar? Intrebarea corecta este alta: va trece el prin hambar in siguranta?Rezolvarea paradoxului se bazeaza pe relativitatea simultaneitatii:

215Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 16: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

inchiderea si deschiderea usilor este simultana pentru observatorul in repaus fata de hambar. Pentru alergator, usile fiind in pozitii diferite, se vor inchide si deschide pe rand, permitand alergatorului cu bara sa treaca. Rezolvarea paradoxului se usureaza daca apelam la diagramele spatiu-timp (Minkowski): in prima diagrama sunt trasate liniile de univers ale capetelor barelor si ale celor doua usi din punctul de vedere al observatorului de pe sol, iar in cea de-a doua diagrama, din punctul de vedere al alergarorului. Se observa in prima diagrama ca la un moment dat bara este in intregime cuprinsa in hambar. In a doua diagrama, varful barei paraseste usa din spate a hambarului inainte ca parte din spate a barei sa patrunda in hambar.Astfel deschiderea usii din spate se petrece inaintea inchiderii usii din fata. Timpul dupa care, incepand cu t=0, coada barei intra in hambar este:

(1) (masurat de observatorul care sta). Din

punctul de vedere al alergatorului, varful barei iese din hambar la

momentul: (2), iar coada barei intra pe usa din

fata a hambarului este: (3). Din ecuatia (1) bara e

continuta in intregime in hambar la momentul ct = 13.2 m. Din ecuatia (2) varful barei iese din hambar la ct = 8.8 m. Aceste momente sunt punctate in diagramele de mai jos:

4.Solutie: Reactia de dezintegrare alfa se reprezinta simbolic astfel: . Modificarea masei va fi:

Energia corespunzatoare acestei scaderi a masei de repaus, pe care o regasim sub forma de energie cinetica a produsilor de reactie este:

216Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 17: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

Recapitulare

Cele doua postulate de baza in teoria relativitatii restranse sunt;- Legile fizicii trebuie sa fie aceleasi in toate sistemele de referinta

inertiale.- Viteza luminii in vid are aceeasi valoare, c = 3 x 118 m/s, in toate

sistemele de referinta inertiale, indiferent de miscarea observatorului sau a sursei care emite lumina.

Consecintele acestor postulate sunt:- Relativitatea simultaneitatii: doua evenimente care sunt simultane

fata de un sistem de referinta inertial nu sunt simultane fata de alt sistem de referinta inertial in miscare fata de primul.

- Dilaterea timpului: Intervalul de timp Δt dintre doua evenimente suferite de o particula, masurat de un observator care se misca fata de un particula este mai mare decat intervalul de timp masurat de un observator fata de care particula este in repaus (timpul propriu):

, unde v este viteza primului observator fata de

particula.

- Contractia lungimilor: daca un obiect are o lungime L0 in sistemul de referinta in care este in repaus (lungimea proprie), cand se va misca cu viteza v, paralela cu lungimea lui, fata de un alt observator, acesta va masura o lungime L mai mica decat lungimea proprie:

.

- Transformarile lui Lorentz stabilesc legatura dintre coordonatele (x, y, z, t) ale unui eveniment fata de sistemul de referinta S si coordonatele (x’, y’, z’, t’) ale aceluiasi eveniment fata de sistemul de referinta S’:

217Fizica – Curs şi aplicaţii

Page 18: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

unde .

- La trecerea de la observatorul S la S’ componentele vitezei u a unui mobil se transforma in acord cu urmatoarele relatii:

- Efectul Doppler relativist consta intr-o modificare a frecventei undelor detectate de un observator cand sursa undelor se misca in raport cu el:

, unde v e viteza sursei fata de observator, θo

este unghiul sub care se misca sursa fata de directia observator-sursa, la momentul cand este emisa lumina.

- Impulsul relativist al unei particule libere are expresia:

,unde m este masa particuei iar u este viteza ei. Forta relativista asupra unei particule va fi:

.Energia unei particule in miscare relativista are celebra expresie data de Einstein:

, unde W0 = mc2 reprezinta energia de repaus a particulei. Relatia

218Fizică – Curs şi aplicaţii

Page 19: Cap0011FR - Teoria relativitatii

Teoria relativitatii

dintre energie si impuls devine:

Pentru particulele fara masa de repaus, cum ar fi fotonii, relatia energie-impuls este:

Concluzii

Experienta noastra cotidiana implica obiecte care se misca cu viteze mult mai mici decat viteza luminii. Mecanica lui Newton a fost construita observand si descriind miscarea acestor obiecte. Ea nu mai da rezultate in acord cu experimentul atunci cand descrie obiecte care se misca cu viteze apropiate de viteza luminii. In 1905 Einstein a publicat teoria relativitatii restranse, care contine, la limita vitezelor nerelativiste, teoria lui Newton. Pentru a rezolva contradictiile teoriilor clasice, el a trebuit sa admita ca spatiul si timpul sunt relative. In plus, viteza luminii in vid, c, are aceeasi valoare pentru toti observatorii, indiferent de miscarea relativa dintre acestia si sursa de lumina. Teoria lui Einstein are implicatii profunde in dezvoltarea fizicii moderne, dar are si aplicatii practice care includ centralele nucleare si sistemul de pozitionare pe glob (GPS).

Bibliografie- Serway/Jewett, Physics for scientists and engineers, Seventh

Edition, Ed.Brooks/Cole;- Rusescu/Tudose, Modele si modelare in fizica, Ed. Stiintifica si

Enciclopedica;- Arnold, Metodele matematice ale mecanicii clasice, Ed. Stiintifica

si Enciclopedica;- Smith, Idei matematice in biologie, Cambridge, 1968.

219Fizica – Curs şi aplicaţii