TEOREMA LUI PITAGORA

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plan (euclidian). Teorema lui Pitagora afirm c "n orice triunghi dreptunghic, suma ptratelor catetelor este egal cu ptratul ipotenuzei". Dac se noteaz cu i lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic, i cu lungimea ipotenuzei acestuia, atunci teorema lui Pitagora poate fi formulat algebric astfel:

Teorema lui Pitagora este n acelai timp i una dintre teoremele cele mai demonstrate (poate teorema cu cele mai multe demonstraii independente), i una dintre cele mai uor demonstrabile. The Pythagorean Proposition, o carte scris de Elisha Scott Loomis i publicat (n cteva ediii) n America conine 370 de demonstraii, inclusiv una aparinnd fostului preedinte american James Garfield. Reciproca este adevrat: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel nct a2 +

b2 = c2 , exist un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a i b va fi drept.

DemonstraiiNot: Teorema este valabil doar n geometria euclidian, de aceea orice demonstraie va folosi (uneori indirect sau mai puin vizibil) axioma lui Euclid.

Una din multele demonstraii vizuale

Aceast imagine ilustreaz una dintre multele demonstraii vizuale. Aceast demostraie este o demonstraie simpl, dar nu i una elementara.

Suprafeele ambelor ptrate mari sunt egale cu . Dac suprefeele ptratelor roz, ce reprezint ptratele numerelor i (figura din stnga) sunt substituite cu un ptrat ce reprezint numrul la ptrat, fcndu-se simultan o rearanjare a jumtilor celor dou dreptunghiuri (fiecare fiind format iniial din cte dou triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel iniial), se obine figura din dreapta. Suprafeele celor dou ptrate mari sunt identice, ntruct laturile acestora sunt congruente. Calculnd n fiecare caz suprafeele celor dou ptrate, se obine:

(pentru ptratul din stnga) (pentru ptratul din dreapta) Se ajunge aadar la teorema studiat. , ceea ce duce direct la relaia din

Exemplu de demonstraie greitUrmtoarea demonstraie este trigonometric, dar este greit pentru c relaia fundamental a trigonometriei este ea nsi dedus folosindu-se teorema lui Pitagora. Fie un triunghi dreptunghic n care A este unghiul drept. Atunci, conform definiiilor funciilor trigonometrice sinus i cosinus, se poate scrie:

i respectiv

Folosind relaia trigonometric: , rezult

De vreme ce fracia final este egal cu unitatea, numrtorul i numitorul trebuie s fie de mrimi identice:

Teorema lui Pitagora n spaiuDac ABCDA'B'C'D' este un paralelipiped dreptunghic, cu AB = l (limea), BC = L (lungimea) i AA' = h (nlimea), atunci lungimea diagonalei sale mari, AC' = d, se poate determina prin formula d2 = l2 + L2 + h2.

GeneralizareTeorema lui Pitagora generalizat, numit i Teorema (sau Legea) cosinusului, este valabil n orice triunghi (euclidian) i poate fi exprimat astfel:

unde este unghiul dintre laturile

i

.