1

SGM10/2008.Să se determine restul împărţirii numărului 1 2 3 4 ... 2007 2008a = + la 2002.

Soluţie : 1 2 3 4 ... 2002 2003 ... 2007 2008 2002 2002 6 2002 6a M M= • • + = + + = +

Deci restul împărţirii lui a la 2002 este 6 . 2.Calculaţi restul împărţirii numărului ( )1 3 5 ... 2 1 2009A n= + + la 1309 unde n este un număr natural mai mare sau egal cu 8. Soluţie : 1309 7187 11117 117

1

1309 7 11 17=

Deoarece 8; 2 1 17n n≥ ⇒ + ≥ deci produsul dat va conţine cel puţin pe 17 ca factor. Atunci putem scrie :

( )1 3 5 ... 17 19 ... 2 1 200917 17 117 317 3

A nMM

= + +

= + += +

23.Fie 1 2 ... 2009a n= + unde 15n ≥ . Aflaţi restul împărţirii lui a la 125. Soluţie : doarece 15n ≥ , produsul 1 2 3 ... n conţine cel puţin factorii 1 2 3 ... 15 , dintre care factorii de 5 sunt în număr de 4 . De aici rezultă că

31 2 3 ... 5 1 2 3 ... 125n n k⇒ = . Atunci

1 2 ... 2009 125 2000 8 125 8a n k M= + = + + = + De aici concluzia că restul împărţirii lui a la 125 este 8. E13208. Să se determine restul împărţirii unui număr natural la 45 ştiind că împărţit la 9 dă restul 8 şi împărţit la 5 dă restul 1. Soluţie : fie n deîmpărţitul . Avem

( )( ) ( ) ( )

( )

1 2 111 2

2 22 1

9 8 19 9 4 3 519 9 39 3 5 4

19 5 4 4 95 1 19 5 3

19 45 45 19 45 45 45 19 45 1 26

45 26m

n c c c kn cc c

n c c kn c c

n k n k k k

n m

= + + + + =+ = + ⇒ ⇒ + = + ⇒ ⇒ ⇒ + = + + == + + + + = ⇒ = − = − + − = − +

⇒ = +

ceea ce arată că restul este 26 .

2

E13904. Să se determine restul împărţirii unui număr natural la 63 ştiind că împărţit la 7 dă restul 4 şi împărţit la 9 dă restul 5. Soluţie : fie n deîmpărţitul . Avem

( )( ) ( ) ( )

( )

1 2 111 2

2 22 1

7 4 31 7 4 5 919 7 57 5 9 4

19 9 4 4 79 5 31 9 5

31 63 63 31 63 63 63 31 63 1 32

63 32m

n c c c kn cc c

n c c kn c c

n k n k k k

n m

= + + + + =+ = + ⇒ ⇒ + = + ⇒ ⇒ ⇒ + = + + == + + + + = ⇒ = − = − + − = − +

⇒ = +

ceea ce arată că restul este 32 . V.CE PLOIEŞTI.2002. Să se determine restul împărţirii unui număr natural la 84 ştiind că , împărţit la 7 dă restul 3 şi împărţit la 12 dă restul 1. Soluţie : fie n deîmpărţitul . Avem

( )( ) ( ) ( )

( )

1 1 111 2

2 22 2

7 3 11 12 2 2 1211 7 27 2 12 1

11 12 1 1 712 1 11 7 1

84 11 84 84 84 11 84 1 73

84 73m

n c c c kn cc c

n c c kn c c

n k k k

n m

= + + + + =+ = + ⇒ ⇒ + = + ⇒ ⇒ ⇒ + = + + == + + + ⇒ = − = − + − = − +

= +

Deci 84 73n m= + ceea ce arată că restul este 73 . CLSV.E13904. Să se determine restul împărţirii unui număr natural la 63 ştiind că , împărţit la 7 dă restul 4 şi împărţit la 9 dă restul 5. Soluţie : fie n deîmpărţitul . Avem

( )( ) ( ) ( )

( )

1 1 111 2

2 22 2

7 4 32 9 4 4 932 7 47 4 9 3

32 9 3 3 79 5 32 7 3

7 9 4 4 63 32

n c c c kn cc c

n c c kn c c

n k k

= + − − − =− = − ⇒ ⇒ − = − ⇒ ⇒ ⇒ − = − − == + − − ⇒ = + + = +

Deci 63 32n k= + ceea ce arată că restul este 32 . E12569. Determinaţi numerele naturale care se împart exact la 7 , iar la împărţirea prin 11 dau restul 3. Soluţie : Fie n deîmpărţitul .

3

Avem ( )( ) ( ) ( )1 1 11

1 22 22 2

7 14 11 2 2 1114 7 27 2 11 1

14 11 1 1 711 3 14 7 1

14 7777 14

n c c c kn cc c

n c c kn c c

n kn k

= − − − =− = − ⇒ ⇒ − = − ⇒ ⇒ ⇒ − = − − == + − − ⇒ − =⇒ = + Aflaţi cel mai mare număr natural de cinci cifre care împărţit pe rand la 11, 13 şi 17 dă acelaţi rest 7. Soluţie : fie n abcde= numărul cerut. Avem :

1

1

1

;11 713 7 7 11 13 17 1001 717 7

D I C R R In cn c n M n Mn c

= • + <

= + = + ⇒ − = • • ⇒ = += +

Pentru a afla numărul n punem condiţia 99999n ≤ din care vom determina cel mai mare număr M . 1001 7 99999

1001 9999299992 991001

1001 99 7 99106

MM

M M

n

+ ≤ ⇔⇔ ≤ ⇔

⇔ ≤ ⇒ = ⇒ = • + =

S:E09266. Dacă împărţim numerele 2009 şi 4035 la acelaşi număr obţinem resturile 29, respectiv 31 . Aflaţi împărţitorul . Soluţie :

{ }

1 1

2 2

2 2 2

2009 29;29 19804035 31;31 4004

4004 2 1980 2 52002 2 198 21001 11 99 11

91 7 9 313 13 3 31 1

4004 2 7 11 13 1980 2 3 5 11

1,4,11,4444

31

D I C RN C N N CN C N N C

NN

N

= • +

= • + < = • ⇔ = • + < = • •

= • • • = • • •

∈ ⇒ =<

4

Dacă împărţim numerele 2435, 342 şi 4527 la acelaşi număr natural obţinem resturile 35, 42 respectiv 27 . Aflaţi împărţitorul . Soluţie :

( )

1 1

2 2

3 3

2 22 2

2 2 35 2

2 2

2 2

,2435 35;35 2400342 42;42 3004527 27;27 4500

2400 2 54500 2 5

24 245 5

12 29 3

6 23 3

3 31 1

14500 2 3 5

2400 2 3 5300 3 2 52400,4500,300 2 5 3 300

42

D I C R R IN C N N C

N C N N CN C N N C

= • + <

= • + < = • = • + < ⇔ = • = • + < = •

••

= • •= • •

= • •

= • • =

< { }50,60,75,100,150,300N N⇒ ∈ Dacă împărţim numerele 9551, 898 şi 1959 la acelaşi număr natural obţinem resturile 31, 82 respectiv 55 . Aflaţi cel mai mic împărţitor . Soluţie :

1 1

2 2

3 3

2

45

;9551 31; 31 9520898 82; 82 8161959 55; 55 1904

9520 816 2 1904 22 5952 408 2 952 22476 204 2 476 22238 102 2 238 22119 51 3 119 7717 17 17 17171 1 1

816 2 3 179520 2 5 7 17

D I C R R IN C N N C

N C N N CN C N N C

= • + <

= • + < = • = • + < ⇔ = • = • + < = •

•

= • •= • • •

( )

4

4

29520 816 1904

17

1904 2 7 17

9520,816,1904 2 17

82 2 17 136n n D D D n

= • •

= •

> ⇒ ∈ ∩ ∩ ⇒ = • =

5

E6160. Să se demonstreze că nu există nici un număr natural care împărţit la 10 dă câtul 3 şi împărţit la 15 dă câtul 4. Soluţie :

( )11 2 1 2

2 5 5

10 310 3 15 4 10 15 1 1 5

15 4n c

c c c c falsn c= +

⇒ + = + ⇔ − = ⇒ = +

1. Să se determine restul împărţirii numărului 2 3 20041 4 4 4 ... 4a = + + + + + la 21.

Soluţie : Va trebui să scriem numărul a sub forma : 21 ; 21a q r r= + < . Putem scrie numărul 21 ca sumă de puteri a lui 4 , adică în baza 4 astfel :

221 1 4 4= + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 3 2004 2 3 2004

2005 2004

2 3 4 5 6 2002 2003 2004

1 2 4 1 2 2002 1 2

4 7 2002

1 4 4 4 ... 4 1 4 4 4 ... 4

1 4 4 4 4 4 4 ... 4 4 4

1 4 1 4 4 4 1 4 4 ...4 1 4 4

1 21 4 4 4 ... 4

2

termeni termeni

k

a

a

a

a

a

= + + + + + = + + + + +

= + + + + + + + +

= + + + + + + + +

= + + + + + ⇒

⇒ =

1 1 1k r+ ⇒ =

2. CE.PLOIEŞTI .2002. Să se determine câtul şi restul împărţirii

numărului 2 3 20129 9 9 ... 9a = + + + + la 117. Soluţie : Va trebui să scriem numărul a sub forma : 117 ; 117a q r r= + < .

2

117 339 313 131

117 3 13= •

Observ că dacă grupăm câte 3 termenii sumei avem : ( )2 3 29 9 9 9 1 9 9 9 91 9 13 7 117 7 117M+ + = + + = • = • • = • =

( ) ( ) ( )

2012 2011 2010 2009 2008 2007 5 4 3 2

2010 3

2009 3 2 2006 3 2 2 3 2

9 9 9 9 9 9 ... 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9 9 9 ... 9 9 9 9

a

a

⇒ = + + + + + + + + + + +

= + + + + + + + + +

6

( )( )( )

3 2 2009 2006 2

2009 2006 2

2009 2006 2

9 9 9 9 9 ... 9 90

117 9 9 ... 9 90

9 9 ... 9 1

a

a

c r

= + + + + + +

= • + + + + ⇒

⇒ = + + + ⇒ =

3. Fie numărul 2 31 2 2 2 ... 2na = + + + + + .

a) Aflaţi cel mai mic număr natural n de 4 cifre pentru care 15 a b) Pentru n determinat la a) aflaţi restul împărţirii lui a la 63.

Soluţie : numărul 15 scris în baza 2 este ( )3 2

21111 2 2 2 1= + + + . Atunci voi grupa cei n termeni ai sumei câte patru şi voi da factor comun , obţinând de fiecare dată un multiplu de 4

( ) ( )( ) ( )

( )

4 4 1 4 2 4 3 4 3 2 1

4 3 3 2 1 3 2 1

5 4 3

2 2 2 2 .. 2 2 2 2 1

2 2 2 2 1 ... 2 2 2 2 1 1

15 2 2 ... 2 1

15 1

k k k k

k

k

a

a

a

a M

− − −

−

−

= + + + + + + + +

= + + + + + + + + +

= + + + +

= +

Numai pentru 4 3n k= + obţinem că a este un multiplu de 15.Rămâne de aflat cel mai mic număr natural de 4 cifre care împărţit la 4 să dea restul 3.

9974 3 4 3 1000 4 997 1 2504

1003

abcd k k k k k

abcd

= + ⇒ + > ⇒ > ⇒ = + ⇒ =

⇒ =

b) 1003 1002 1001 1000 3 2 1

1004 167 6 2

2 2 2 2 ..2 2 2 1termeni

a= • +

= + + + + + + +

Deoarece numărul 15 scris în baza 2 este ( )

5 4 3 22111111 2 2 2 2 2 1= + + + + + voi grupa cei 1004 termeni ai sumei câte 6

în ordine descrescătoare : ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1003 1002 1001 1000 999 998 7 6 5 4 3 2 1

998 5 4 3 2 1 992 5 4 3 2 1 2 5 4 3 2 1

2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 ... 2 2 2 2 2 2 1 2 1

63 33

a

a

a Mr

= + + + + + + + + + + + + + +

= + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

= +⇒ =Să se determine restul împărţirii numărului

1951 1952 1953 2005 2006 20077 7 7 ... 7 7 7+ + + + + + la 57 . E13569.Determinaţi ultimele 2 cifre ale numărului natural :

2 3 20083 3 3 ... 3a = + + + + . Soluţie :

7

( )( ) ( )

( )

2 3 2008

20082 3 4 2005 2006 2007 2008

2 3 4 2004 2 3 4

4 8 12 2004

4 8 12 2004

2004:4 1 502

3 3 3 ... 3

3 3 3 3 ... 3 3 3 3

3 3 3 3 ... 3 3 3 3 3

120 1 3 3 3 ... 3 0

2 1 3 3 3 ... 3termeni

a

a

a

a u a

z a u+ =

= + + + +

= + + + + + + + +

= + + + + + + + +

= + + + + + ⇒ =

⇒ = • + + + + + =

( )

( )502

2 1 1 1... 1 2 502 4

40

u u

zu a

• + + + = • =

⇒ =

Arătaţi că numărul 2 3 20091 3 3 3 ... 3a = + + + + + este divizibil cu 4 şi nu este divizibil cu 8. Soluţie : dacă grupăm câte doi cei 2010 termeni ai sumei obţinem

( ) ( ) ( )

( )

2 3 2008 2009

2 2008

2 2008

1 3 3 3 ... 3 3

4 3 4 ... 3 4

4 1 3 ... 3 4

a = + + + + + +

= + • + + • =

= + + +

Observ că dacă grupez câte patru termenii sumei obţin 40 care este un număr divizibil cu 8 .

( ) ( ) ( )

( )

2 3 4 5 2006 2007 2008 2009

2 6 2006

2 6 2006

1 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3

4 3 40 3 40 ... 3 40

4 40 3 3 ... 3

4 408 4

a

a

a

a ma k

= + + + + + + + + + +

= + • + • + + •

= + • + + +

= += +

Deci a dă restul 4 la împărţirea prin 8 ceea ce înseamnă că nu e divizibil cu 8 . V.6. Să se afle toate numerele naturale de 2 cifre care împărţite simultan

la 3,4 şi 5 dau acelaşi rest .

{ } [ ] qqqqqqrabqrabqrab

r

rrqab

rrqab

rrqab

605,4,3543543

;2,1,0

5,5

4,4

3,3

321

3

2

1

3

2

1

====⇒=−=−=−

⇒∈⇒

<+=

<+=

<+=

{ }2,1,0;60 ∈+=⇒ rrqab

Deoarece numerele căutate sunt de 2 cifre avem q=1 şi soluţiile 60,61,62.

8

Aflaţi ultimele 2 cifre ale numărului : 2 3 20107 7 7 ... 7a = + + + + . Soluţie : dacă grupăm câte patru cei 2010 termeni ai sumei rămân doi termeni afară :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2 3 4 5 6 2007 2008 2009 2010

3 1 2 3 2007 1 2 3

3 7 2007

7 7 7 7 7 7 .... 7 7 7 7

56 7 1 7 7 7 .... 7 1 7 7 7

56 7 2800 7 2800 ... 7 280056 2800

56

a

a

aa muu a

= + + + + + + + + + +

= + + + + + + + + +

= + • + • + + •= +

=

RMT2\2010 .VI.291.Aflați restul împărțirii numărului

2010 2011

20102010...2010de ori

la 9.

Soluție :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 8 4 2010

2010 2011

n n4

4 8 4 2010

2010

20102010...2010 2010 2010 10 2010 10 ... 2010 10

Însa deoarece 10 =9999+1=M9+1 avem folosind teorema a b =a+ b

2010 1 10 10 ... 10 2010 1 9 1 9 1 ... 9 1

de ori

p

a

a M M M

•

•

= = + • + • + + •

± ±

= + + + + = + + + + + + +

( ) 22010 1 2010 9 2010 2010 9 9 3 9 9 9 3erechi

M M M M M M

=

= + + = + + = + + + = +

Deci restul împărțirii este 3 .

PROBLEME CARE SE REZOLVĂ FOLOSIND TEOREMA ÎMPĂRŢIRII CU REST

1.Să se afle num ărul natural de trei cifre abc care împărţit la 5 să dea catul bc şi restul a. Soluţie :

1.Să se determine numerele abcd care verifică relaţia : 5abcd abc= .

Soluţie :

54

99 499

499

abc bc aa

a bcbc

abc

= + ⇔

== ⇔ =

⇒ =

9

5

10 5000

9 5000

9 5000

9 5000

abcd abc

abc d abc

abc d

abc d

abc d

= ⇔

⇔ + = + ⇔

⇔ + = ⇔

⇔ + = ⇔

⇔ + =

Observăm că d=9 nu verifică ecuaţia , pentru că 5000 nu e multiplu de 9 .

Deci 9d < şi din unicitatea scrierii unui număr în baza teoremei împărţirii

cu rest , avem 9 9 555 5 5555abc d abcd+ = • + ⇒ = .

Reconstituiţi adunarea : 9846abcd bcdd+ = .

Soluţie :

( ) { }

( )( )

( )

10

98462 6 3,8

1) 3 10 3 100 33 9846

10 100 9810 :10

10 981

10 10 981

10 9710 10 1 989810 10 98 111 1

10 10 9 71

abcd bcddu d d

d abc bc

abc bc

abc bc

ab bc c

a b ba b bab bcab bc ccc c

a b bc

<

+ = ⇔

⇒ = ⇒ ∈

= ⇒ + + + =

⇔ + =

⇔ + =

+ + = ⇔

+ + = + + + =+ = + + = • + ⇒ ⇒ ⇒ == =

+ + = • +⇒

=

97 27131

a bb abcdc

+ = ⇒ = ⇒ = =

( ) ( )

( )

10

10

2) 8 10 8 100 88 9846

10 100 9750 :10

10 975

10 10 975

10 9210 10 5 979710 10 97 555 5

910 10 9 2

25 5

d abc bc

abc bc

abc bc

ab bc c

a b ba b bab bcab bc ccc c

a ba b b

b abcc c

<

<

= ⇒ + + + =

⇔ + =

⇔ + =

+ + = ⇔

+ + = + + + =+ = + + = • + ⇒ ⇒ ⇒ == =+ =

+ + = • + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

7258d =

10

Determinaţi cifrele cifrele a, b, c, d din sistemul de numeraţie zecimal

astfel încât : 2 2002abbc a b c cbba+ + + = + .

Soluţie :

( ) ( ) ( )37

2 20021000 110 2 1000 110 2002

22 2

1000 2 2002 12 2 1

0

abbc a b c cbbaa b c a b c c b a

aa c a ca c b c b

b c b cc<

+ + + = + ⇔+ + + + + = + + + ⇔

=− = − = − + + = ⇒ ⇒ ⇒ = + = + = =

Câte soluţii are problema : 57 76 4805a b b a− = .

Soluţie :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

57 76 48051000 570 1000 760 4805

999 999 4995 : 999 5 , 5,0 , 6,1 , 7,2 , 8,3 , 9,4

a b b aa b b a

a b a b a b

− = ⇔+ + − − − = ⇔

− = ⇒ − = ⇒ ∈

2.Să se afle cifrele a, b, c, d din sistemul de numeraţie zecimal astfel încât 1938=− ababcd .

Soluţie :

99

1938

100 1938

99 1938

1999 99 19 57

57

abcd ab

ab cd ab

ab cd

abab cd

cd

≤

− = ⇔

⇔ + − = ⇔

⇔ + = ⇔

=⇔ + = • + ⇔ =

Obţin soluţia : 1957abcd = . 3.Să se afle numărul abcd ştiind că 218 21abc ab aşi a b c d+ + = + + + = . Soluţie :

11

108 109

11

218111 11 218

11 1111 11 111 1 107 911 107 11 11 9 8

8

abc ab aa b c

aa aa b c bb c b c

c

≤ <

<

+ + = ⇔⇔ + + = ⇔

== = ⇔ + + = • + ⇔ ⇔ ⇔ = + = + = • + =

Apoi se obţine şi d=3 şi soluţia : 1983. 4. E7172.Să se determine elementele mulţimii { }, , ,A a b c d= ştiind că

acestea sunt cifre şi are loc egalitatea :

1981a ab abc abcd+ − + = .

Francisc Csaki

Soluţie : urmăresc aplicarea teoremei împărţirii cu rest şi de aceea verific

dacă restul este strict mai mic ca împărţitorul .

99 100

91

9

1981

100 10 1981

91 10 1981

91 9 1981 9

91 9 9 1972 91 21 61

2221 19 689 9 61 9 9 7 5

a ab abc abcd

ab cd ab c ab a

ab c d c a

ab c a d

ab c a d

aaab bc dc a d c d

≤ <

<

<

+ − + = ⇔

⇔ + − − + + = ⇔

⇔ + + − + = ⇔

⇔ + + + = − ⇔

⇔ + + + − = = • + ⇒

== = ⇔ ⇔ ⇔ = + =+ + − = + = +

2175

abcd

= =⇔ =

=

E8151.Să se determine elementele mulţimii { }, , ,A x y z t= ştiind că acestea

sunt cifre şi are loc egalitatea :

1983xyzt xyz xy x− − − = .

Radu Ghenghiu

Soluţie :

12

9 9 9 1 89

100 10 1983

89 10 1983

89 9 1983

89 9 89 22 25 9 89

2289 9 89 22 259 25

xy zt xy z xy x

xy z t z x

xy z t x

xy z t x pt că z t x

xyxy z t xz t x

≤ • + − =

+ − − − − = ⇔

⇔ + + − − = ⇔

⇔ + + − = ⇔

⇔ + + − = + + − ≤

=⇔ + + − = + ⇒ + − =

Urmăresc aplicarea teoremei împărţirii cu rest şi de aceea verific dacă

restul este strict mai mic ca împărţitorul .

9 9

222222 22 222999 279 25 9 2 252

xyxyxy xy xyzttz tz t x z tz

== = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ == + =+ − = + − = =

.

Unica soluţie este 2229.

E8151.Să se determine elementele mulţimii { }, , ,A x y z t= ştiind că acestea

sunt cifre şi are loc egalitatea :

1856xyzt xyz xy x− + − = .

Cristian Moanţă

Soluţie : 100 10 1856

91 10 1856

91 9 1856

91 9 91 20 36; 36 91

xy zt xy z xy x

xy z t z x

xy z t x

xy z t x

+ − − + − = ⇔

⇔ + + − − = ⇔

⇔ + + − = ⇔

⇔ + + − = + <

Urmăresc aplicarea teoremei împărţirii cu rest şi de aceea verific dacă

restul este strict mai mic ca împărţitorul :

Avem 9 9 9 9 0 90 91z t x+ − ≤ + − ≤ < , deci restul este strict mai mic decât

împărţitorul.

Atunci din unicitatea scrierii cu ajutorul teoremei împărţirii cu rest avem :

2020 20 20 20424

9 36 9 2 36 9 38 9 4 22

xyxy xy xy xyztz

z t x z t z tt

= = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ==

+ − = + − = + = = + =

.

13

E8404.Să se rezolve în numere naturale ecuaţia:

153xyz xy z− − =

numerele fiind scrise în baza 10.

Silvia Rădulescu

E13265.Determinaţi numărul abcd ştiind că :

2006.abcd abc ab a+ + + =

Andrei Solovăstru

Soluţie :

99 9 108 111

999 99 9 1107 1111

1111 111 11 2006

1111 111 11 1111 1 89511 18111 11 895 111 11 111 8 7

11 7

1807

a b c d

a b caa abb c d b c d

c d

abcd

≤ + ≤ <

≤ + + ≤ <

+ + + = ⇔

⇔ + + = + ⇔

== = ⇔ ⇔ ⇔ = + + = + + = + + ==

=⇔ = =

Să se determine numărul abcd ştiind că : 1770abcd abc ab a− − − = . Soluţie :

89 9 81 9 891 892

889

17701000 100 10 100 10 10 1770889 89 9 1770 3

889 89 9 3 1767

abcd abc ab aa b c d a b c a b a

a b c d

a b c d≤ • + + = <

<

− − − = ⇔+ + + − − − − − − = ⇔

+ + + = −

+ + + − =

14

{ }

87 87

1 189 89 9 3 889 1 878 89 9 3 878 89 9 3 89 9 77

19 9 80 9 8 8 8

9 3 77

1988

a aa b c d b c d b c d

ab c d c d

c d

S

≤ ≤

= = + + + − = • + ⇒ ⇔ + + − = + + − = • +

=⇔ = ⇒ + = = • + ⇒ = = + − ==

E7741.Să se afle numerele abcdşi abed , dacă 15640abcd abed+ = , unde

0a b c d eşi c e≠ ≠ ≠ ≠ ≠ > . Este vreunul din aceste numere divizibil cu 521? Dar cu 313?

Louis Funar Soluţie :

( ) { }0;52 0 5

0d

u d dd∈

= ⇒ ⇒ =≠

.

5 5 15640

10 10 15630 :10

1563

20 1563

20 20 78 3; 3 20; 20

783

abc abe

abc abe

abc abe

ab c e

ab c e cu observaţia că c e

abc e

+ = ⇔

⇔ + = ⇔

⇔ + = ⇔

⇔ + + = ⇔

⇔ + + = + < + <

=⇔ + =

Deoarece c şi e sunt diferite de 0 şi c>e obţin soluţia c=2 ; e=1 . Deci 27825 5 313abcd = = şi 7815 5 3 521abed = = . E8579. Să se determine numerele abcdef de 6 cifre scrise în baza zece

ştiind că are loc relaţia : 3bcdefa abcdef= .

Nicolae Tălău

Soluţie :

( ) ( ){ }

5 510 3 10 7 3 10 1

7 299999 42857 1,2

bcdef a a bcdef bcdef a

bcdef a bcdef a a

+ = + ⇔ = − ⇔

⇔ = ⇔ = ⇒ ∈

Pentru a=1 obţinem soluţia 142857 iar pentru a=2 soluţia 285714 .

15

1. Să se afle numărul 32abcd , scris în baza 10, cunoscând că 8378132 =+ abcdabcd .

Soluţie :

6 3 7 7 8 1111

2 3 83781

20000 10 3 83781

11 63778 5798

abcd abcd

abcd abcd

abcd abcd− + − + =

+ = ⇔

⇔ + + + = ⇔

⇔ • = ⇔ =

E13226.Aflaţi cifrele a,b,c,d ştiind că are loc egalitatea : 6 6192 6abcd abcd= +

Claudia Theodora Soluţie :

6 6192 6

10 6 6192 60000

9 6192 60000 6

9 66186 : 9

7354

abcd abcd

abcd abcd

abcd

abcd

abcd

= + ⇔

⇔ + = + + ⇔

⇔ = + − ⇔

⇔ = ⇔

⇔ =

TINERE SPERANŢE 2008 .Fie x şi y două numere reale subunitare de forma abcdx ,0= şi bacdy ,0= . Determinaţi x şi y ştiind că 5018,123 =− yx . Soluţie : ecuaţia mai poate fi scrisă echivalent :

( )

( )

3 2 15018

30 3 20 2 15018

30 20 15018

10 3 2 10 1501 8; 10

3 2 1501 30 3 20 2 15018 8

10 3 2 10 150 1; 10

abcd bacd

abc d bac d

abc bac d

abc bac d d teorema împărţirii cu rest

abc bac ab c ba cd d

ab ba c c teo

= + ⇔

⇔ + = + + ⇔

⇔ − + = ⇔

⇔ − + = + < ⇔

− = + − − = ⇔ ⇔ ⇔ = =

⇔ − + = + < ⇔

{ }

( ) ( )

2 23 2 150

3 2 0,2,4,6,81

3 10 2 10 150 28 17 150

rema împărţirii cu rest

ab baab b

c

a b b a a b

− =⇔ ⇒ ⇒ ∈=

⇒ + − + = ⇔ − =

Verificând pentru b posibilităţile obţinem soluţia a=9 şi b=6 şi deci

0,9618x = şi 0,6918y = .

6. Aflaţi restul împărţirii numărului 19992001 19.la

16

Soluţie : Din teorema lui Fermat avem dacă ( ), 1a p = că

( ) ( )19mod 2001 2001 mod19pa a p≡ ⇒ ≡ ⇒

6. Aflaţi restul împărţirii numărului 70! 73.la