BALŞ – Clasele de excelenţăSuport de curs – prof. Corina Mîinescu

Prof. Corina MîinescuŞcoala cu clasele I-VIII Gropşani

1. Teorema împărţirii cu rest.

Încă din clasele mici am învăţat operaţia de împărţire a numerelor naturale. S-a observat că, în general, când împărţim un număr natural a la un număr natural b (care nu este zero), se obţine un cât notat cu q şi un rest notat cu r.Pentru a face proba unui exerciţiu de împărţire, se înmulţeşte câtul cu împărţitorul şi se adună restul, calculul fiind corect dacă astfel se obţine deîmpărţitul.Ca regulă, acest lucru se poate nota:

D = Î ∙ C + R, unde 0 ≤ R < Î.De fapt, relaţia de mai sus se traduce (la nivelul clasei a V-a) sub următorul enunţ:

„Oricare ar fi numerele naturale a şi b, cu b ≠ 0, există şi sunt unice numerele naturale q şi r astfel încât

a = b ∙ q + r, unde 0 ≤ r < b.”

Acest enunţ este cunoscut sub denumirea de teorema împărţirii cu rest sau teorema împărţirii întregi a numerelor naturale.

Facem următoarele observaţii:

1. b este diferit de zero pentru că împărţirea la zero nu are sens.2. Numerele q şi r se numesc cât, respectiv rest.3. Condiţia ca restul să fie cuprins între 0 şi împărţitor este esenţială. Din practică s-a observat că,

dacă împărţim un număr natural la n (n ≠ 0), se obţine ca rest un număr cuprins între 0 şi n – 1, deci cel mult egal cu n – 1. de exemplu, la împărţirea unui număr natural la 5, restul poate fi 0, 1, 2, 3 sau 4.

4. Dacă r = 0, împărţirea este exactă şi are ca rezultat un număr natural. Atunci relaţia din teoremă devine a = b ∙ q sau a : b = q, unde a este deîmpărţitul, b este împărţitorul, iar a şi b sunt factorii câtului q. Spunem că a este multiplul lui b sau că b este divizor al lui a sau că b divide pe a sau că a este divizibil cu b.

5. Oricare ar fi numărul natural nenul b, 0 : b = 0 şi oricare ar fi numărul natural a, a : 1 = a.6. Oricare ar fi numerele naturale a, b şi c (c ≠ 0), dacă a şi b se împart exact la c, atunci (a

+ b) : c = a : c + b : c, iar dacă diferenţa a – b are sens, atunci (a - b) : c = a : c - b : c.7. Oricare ar fi numerele naturale a, b şi c (c ≠ 0), dacă a şi b se împart exact la c şi a ≤ b, atunci

a : c ≤ b : c.

Aplicaţii

1. Să se afle cel mai mic număr natural care împărţit la 5 să dea câtul 7 şi restul diferit de zero.

RezolvareNotăm cu x numerele căutate. x = 5 ∙ 7 + r, cu r ≠ 0. Din teorema împărţirii cu rest, ştim că restul este mai mic decât 5. Deci, ţinând cont că r ≠ 0, urmează că restul poate fi 1, 2, 3 sau 4. Cum x este cel mai mic număr cu această proprietate, rezultă că r = 1. Aşadar, x = 5 ∙ 7 + 1, adică x este 36.

1

BALŞ – Clasele de excelenţăSuport de curs – prof. Corina Mîinescu

2. Să se afle un număr natural care împărţit la un număr natural de două cifre să dea câtul 72 şi restul 98.

Rezolvare Fie a numărul căutat şi b împărţitorul. Vom avea că:

a = b ∙ 72 + 98, cu 0 ≤ 98 ≤ b.Cum b are două cifre, din condiţia de mai sus rezultă că b = 99; de unde, înlocuind, obţinem a = 7226.

3. Un număr natural de patru cifre are primele două cifre identice, iar cifra unităţilor 5. Acest număr se împarte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98. Aflaţi deîmpărţitul, împărţitorul şi câtul.

Rezolvare = x ∙ q + 98, 0 ≤ 98 < x şi, cum x are două cifre, rezultă că x = 99.

Aşadar, = 99 ∙ q + 98. De unde rezultă că ultima cifră a lui 99 ∙ q + 98 este 5, deci ultima cifră a lui q este 3.Dar 1105 ≤ ≤ 9995 1105 ≤ 99 ∙ q + 98 ≤ 9995, de unde se obţine că 11 ≤ q ≤ 99 şi, cum ultima cifră a lui q este 3, urmează că q {13, 23, 33, …, 93}.Rezultă că deîmpărţitul este 3365, împărţitorul este 99 şi câtul este 33.

4. Aflaţi cel mai mic număr natural a care, împărţit la 169 şi apoi la 13, să dea acelaşi rest 11 şi câturile diferite de zero.

Rezolvare a = 169 ∙ x + 11a = 13 ∙ y + 11, cu x ≠ 0 şi y ≠ 0.Egalând cele două relaţii se obţine că 13x = y.Deoarece se cere cel mai mic număr a, căutăm cel mai mic număr x. Acesta este x = 1. Deci a = 180.

5. Arătaţi că dublul sumei numerelor naturale care împărţite la 1995 dau câtul şi restul egale se poate scrie ca produsul a trei numere naturale consecutive.

RezolvareFie x numerele naturale cu proprietatea din enunţ. Avem că x = 1995 ∙ q + q, 0 ≤ q ≤ 1995.Fie S suma acestor numere.S = 1995 ∙ (0 + 1 + 2 + … + 1994) + (0 + 1 + 2 + … + 1994) = (0 + 1 + 2 + … + 1994) ∙ 1996, de unde 2 ∙ S = 1994 ∙ 1995 ∙ 1996. (Am ţinut cont de faptul că 0 + 1 + 2 + … + 1994 = (1994 ∙ 1995) : 2).

6. Fie numerele a = 8 ∙ 3n+2 ∙ 25n+1 şi b = 7 ∙ 5n+2 ∙ 15n+1, n fiind număr natural. a). Comparaţi numerele a şi b.b). Arătaţi că a şi b dau acelaşi rest la împărţirea cu 165, pentru orice n

număr natural.Rezolvare a). a = 8 ∙ 9 ∙25 ∙ 75n = 1800 ∙ 75n

b = 7 ∙ 25 ∙ 15 ∙ 75n = 2625 ∙75n . Aşadar, a < b.

b). Se poate scrie:a = (10 ∙ 165 + 150) ∙ 75n = M165 + 150 ∙ 75n

b = (15 ∙ 165 + 150) ∙ 75n = M165 + 150 ∙ 75n.Aşadar, a şi b dau acelaşi rest la împărţirea la 165.

2