Teorema Fermat - analiza matematica
-
Upload
marinpetre2815 -
Category
Documents
-
view
27 -
download
11
description
Transcript of Teorema Fermat - analiza matematica
Definiţie. Fie E⊂R ş i f : E → R ,x0∈E. Atunci x0 este punct de minim(maxim) local
pentru f dacă există o vecinătate V a lui x0astfel încât să avem:
f ( x0 ) ≤ f ( x ) ,(f ( x0 ) ≥ f ( x ))(∀) x∈V ∩ E
Observaţii. Dacă a este un punct de minim local al funcţiei f, atunci numărul f (a)se
numeste minim(maxim) al lui f, iar punctul (a , f (a)) de pe grafic se numeşte punct de
minim(maxim) local al graficului.
Definiţie. Fie E⊂R şi f : E → R , x0∈E. Atunci x0 este punct de minim(maxim)
absolut pentru f dacă:
f (x0)≤ f (x ) ,(f ( x0 ) ≥ f ( x )) ,(∀)x∈E
Teorema lui FermatFie E⊂R ş i f : E → R ,x0∈E interior lui E. Dacă f este derivabilă înx0şi x0 este
punct de extrem local, atunci f ' (x0)=0.
Demonstraţie
Fie x0−¿ punct de minim local (analog se demonstrează cazul în care x0 este punct
de maxim local). Cum x0−¿ interior lui E ⟹ (∀)V o vecinătate a lui x0, V ∈ E, astfel
încât f ( x0 ) ≤ f ( x ) ,(∀)x∈V .
Pentru x∈V , x<x0⟹f ( x )−f ( x0)
x−x0
≤ 0
Cum f este derivabilă în x0 , există
limx↗ x0
f ( x )−f ( x0 )x−x0
=f s' (x0)≤ 0
Pentru x∈V , x>x0⟹f ( x )−f ( x0)
x−x0
≥ 0
Cum f este derivabilă în x0 , există
limx↘ x0
f ( x )−f ( x0 )x−x0
=f d' (x0)≥ 0
Cum f este derivabilă în x0⟹ f s' ( x0 )=f s
' ( x0 )=f ' ( x0 )⟹ f ' ( x0 )=0
Observaţii:
1) Dacă E nu ar fi deschis teorema nu ar fi adevărată.De exemplu: Fie f : [0,1 ] → R , f ( x )=x . Punctele x=0 , x=1 sunt extreme pentru f
dar f ' (0 )=1 , f ' (0 )=1.2) Reciproca teoremei lui Fermat este în general falsă:
De exemplu, f ( x )=x3 , f : (−1,1 ) →R ,este derivabilă în ¿0 , f ' (0 )=0, dar x=0 nu este punct
de extrem local. Funcţia este strict crescătoare pe (−¿1,1).
3) Un punct x0∈ E poate fi punct de extreme fără să existe f '( x0)De exemplu: Fie f : R → R , f ( x )=|x|, are x=0 punct de minim, însă f nu e derivabilă în x=0
4) f : E → R , este o funcţie derivabilă pe un interval deschis E, atunci zerourile derivatei sunt numite puncte critice ale lui f pe E. Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcţii derivabile se află printre punctele critice ale funcţiei.5) Interpretare geometrică
Exemplul 1 . Să se arate că există cel puţin un număr real a>0 cu proprietatea
ax ≥ x+1 ,(∀)x∈R
Soluţie:
Se consideră funcţiaf : R → R , f ( x )=ax−x−1 , a>0 ,a≠ 1.
Evident, f este derivabilă pe R, f ( x ) ≥ 0 = f (0) , decix=0 este un punct de minim
pentru f şi conform teoremei lui Fermat f ' (0 )=0dar f ' ( x )=ax ln a−1⟹ ln a−1=0⟹a=e
Exemplul 2. Să se arate că există cel puţin un număr real a>0 cu proprietatea
ax ≥ xa,(∀ ) x>0
Soluţie:
Considerăm funcţia f : ( 0 , ∞) → R , f (x )=ax−¿
−xa
Funcţia f este derivabilă pe (0 , ∞ ) şi f ( x ) ≥ 0=f (a ) ,¿deci x = a este un punct de minim
şi conform teoremei lui Fermat f ' (a )=0. Cumf ’ ( x )=ax ln a−a xa−1⟹aa¿
Exemplul 3. Dacă avem a ,b>0 şi ax+bx ≥ 2,(∀ ) x∈R ,atunci ab=1
Soluţie:
Considerăm funcţia f : R → R , f ( x )=ax+bx−2.
Funcţia f este derivabilă pe R şi f ( x ) ≥ 0=f (0 ) ,(∀)x ∊ R , deci x = 0 este un punct de
minim şi conform teoremei lui Fermat
f ' (0 )=0. Cumf ’ ( x )=ax ln a+bx ln b⟹ ln a+ ln b=0⟹ab=1.