Prof:Ciocotian RaduPROPRIET PROPRIET ILE ILE FUNC FUNC IILOR DERIVABILE IILOR DERIVABILE PEPE UN INTERVAL UN INTERVAL1. Puncte de extrem 1. Puncte de extremale unei funciiDeterminarea punctelor de extrem ale unei funcii are o mare importan practic, fiind legat de rezolvarea problemelor de optimizri (realizarea profitului maxim n condiii date, minimizarea consumurilor i a pierderilor, etc).Defini Defini ie ieFie f : D R i Spunem c x0 este punct de maxim relativ punct de maxim relativ sau maxim local maxim local pentru funcia f dac exist o vecintate V a lui x0astfel nct f(x f(x00 )) f(x) f(x) pentru orice .(n x0,funcia f are cea mai mare valoare cea mai mare valoare) Spunem c x0este punct de minim relativ punct de minim relativ sau minim local minim local pentru funciaf dac exist o vecintate V a lui x0astfel nct f(x f(x0 0)) f(x) f(x) pentru orice.(n x0,funcia f are cea mai mic valoare cea mai mic valoare) Spunem c x0este punct de extrem relativ punct de extrem relativ sau extrem local extrem local dac este punct de maxim maximsau minim minimrelativ.D x 0D V x D V x Exemplu. Exemplu.n figur, punctele a i c sunt puncte de maxim local iar punctele d i b sunt puncte de minim local.Extremele definite mai sus se numesc Extremele definite mai sus se numesc extreme relativeextreme relative sausau locale locale spre a le deosebi de extremele absoluteextremele absolute sausau globale globale. Spunem c x0este punct de maxim absolut punct de maxim absolut sau maxim global maxim global pentru funcia f:DR dac f(x f(x0 0)) f(x) f(x) pentru orice .n acest caz, f(x0)reprezint valoarea maxim a funciei si se noteaz Spunem c x0este punct de minim absolut punct de minim absolut sau minim global minim global pentru funcia f : DR dac f(x0) f(x) pentru orice. n acest caz, f(x0) reprezint valoarea minim a funciei si se noteaz.D xD x) ( max ) (0x f x fD x=) ( min ) (0x f x fD x=Defini Defini ie ien continuare, pentru simplitate, cnd ne vom referi la punctele de maxim sau minim relativ, vom omite cuvntul relativ.Dac x0este un punct de minim (de maxim) al funciei, punctul de abscis x0este numit punct de minim (de maxim) al graficuluiProf:Ciocotian RaduExemple pregtitoareFie funcia f:RR, f(x) = ax2+bx+c cu a0. tim c graficul este o parabol avnd vrful de abscis. Vrful corespunde unui punct de extrem (maxim sau minim dup cum a < 0 sau a > 0).2. Teorema luiTeorema lui Fermat Fermatabx20 =a < 0a > 0Lectura graficului sugereaz faptul c tangenta la grafictangenta la grafic n vrf este orizontal n vrf este orizontal. Verificm acest lucru prin calcul. ntr-adevr, f '(x) = 2ax + b, deci panta tangentei la grafic n vrf este.02' =||

\|abfFie f: IR o funcie derivabil pe intervalul I. Dac a este un punct de extrem a este un punct de extremdin interiorul intervalului I ,atunciTeorema luiTeorema lui Fermat Fermatf '(a) f '(a) == 0 0.Demonstra Demonstra ie. ie.Fie a, un punct de maxim maximrelativ i V o vecintate a lui a astfel nct f(x) f(a), pentru orice x. Atunci:0) ( ) (lim ) ( , 0) ( ) (lim ) (' '= =>R, f(x) = 3x - 1, minimul se atinge n 2 iar maximul n 5, dar derivata nu se anuleaz n nici un punct. n figur, punctele A(a, f(a)) i B(b, f(b)) sunt puncte de extrem ale graficului dar tangentele la grafic n aceste puncte nu sunt orizontale.5. Pot exista puncte de extrem n care funcia nu este derivabil. Exemplu. Exemplu. Pentru funcia f:RR, f(x) = |x|, originea este punct de minim, dar fnu este derivabil n origine.Prof:Ciocotian Radu3.3. Teorema luiTeorema lui Rolle RolleTeorem Teorem: :Fie f: [a, b] R. Daca) f este continu continu pe [a, b],b) f este derivabil derivabil pe (a, b) atunci existc c (a, b) astfel nctc) f(a)f(a) = = f(b), f(b),Matematicianul francez Michel Rolle (1652-1719),preocupat de problematica rezolvrii de ecuaii a aceast teorem probabil pe baza interpretrii geometrice, enunnd-o n 1691, fr demonstraie.f '(c)f '(c) == 0. 0.( derivata are cel puin o rdcin n interval )Observa Observa ie.ie. O funcie f : [a, b] R, continu pe [a, b] i derivabil pe (a, b) se numete funcie Rolle pe [a, b], unde a, bR, a < b.Interpretarea geometric Interpretarea geometric a teoremei luia teoremei lui Rolle RolleConsecin Consecin e e ale teoremei luiale teoremei lui Rolle RolleFie f: I R, o funcie derivabil pe un interval I. Dou rdcini ale funciei (adic ale ecuaiei f(x) = 0) sunt numite rdcini consecutive rdcini consecutive, dac ntre ele nu se afl nici o alt rdcin.Consecin Consecin a 1 a 1. ntre dou rdcini ale func ntre dou rdcini ale func iei exist cel pu iei exist cel pu in o rdcin a derivatei in o rdcin a derivatei.Consecin Consecin a 2. a 2. ntre dou rdcini consecutive ale derivatei exist cel mult o rdcin a funciei.Prof:Ciocotian RaduProbleme rezolvate.Probleme rezolvate. 1. 1. Demonstrai c n intervalul (0, 1) se gsete o singur rdcin a ecuaiei: 4x 4x3 3- - 6x 6x2 2+ 1= 0 + 1= 0.Solu Solu ie. ie.Notm f(x) = 4x3- 6x2+ 1. Cum f(0) = 1 >0 i f(l) = -1 R, f(x) = x3-3x. Aflai punctele de extrem. Solu Solu ie. ie.Deoarece f este derivabil pe R, cutm punctele de extrem printre punctele critice. f '(x) = 3(x2-1) deci punctele critice sunt 1 i -1. Cercetm, cu ajutorul definiiei, dac acestea sunt puncte de extrem.Avem f(x) f(1) = x3- 3x + 2 = (x + 2)(x - 1)2 , de unde rezult c pentru orice x din vecintatea (-2, ) a lui 1 are loc relaia f(x) >f(l), adic 1 este punct de minim relativ. Analog, din f(x)f(-1)= x33x 2 = (x 2)(x + 1)2 , rezult c pentru orice x din vecintatea (-, 2) a lui -l avem f(x) R, f(x) = arcsin x este derivabil pe (-1,1) iStudiul derivabilittii n 1 si -l folosind definiia este laborios. O metoda accesibil este dat de:2'11) (xx f=Consecin Consecin a a ( (corolarul corolarul)) teoremei luiteoremei lui Lagrange Lagrange1. Dac o funcie f: (a, x0]R este continu pe (a, x0], derivabil pe (a, x0) i exist, atunci2.Dac o funcie f: [x0, b)R este continu pe [x0, b), derivabil pe (x0, b) i existatunci 3.Dac o funcie este derivabil pe (a, b)- {x0} (unde x0e (a, b)) este continu n x0 i exist atunci) ( lim'00x fx xx x