TEMA Algebra 1 LS Matematica An1

1. Sa se discute si rezolve dupa valorile parametrilor reali m si n sistemul:

+ + + = 12+ + + = 7

(1 + ) + (1 + ) + ( + ) + ( + ) = 2(1 + 2 ) + (2 + ) + (2 + ) + (2 + ) =

2. Precizati daca multimea E := 3 + 1 1 3 + ,+2 ,

2 3 + ,

1

formeaza baza pentru spatial vectorial al matricelor patratice cu coeficienti reali, iar in caz afirmativ sa se determine coordonatele matricei

= 1 + 4 + 2 + 3 1 + 10 4 + 27 + 5 3 4 2 + 5

in baza E , = ? 3. Fie morfismul definit prin :

( , , ) = ( (+2) x + y + z , (-1)x + (2 - 1) y + ( + 2)z , (2+1)x + (3 - 1) y + (2 + 2)z ) ) Sa se scrie matricea morfismului f in baza canonica. ) Deteminati defectul lui f si sa se puna in evidenta o baza pentru Ker( f ). ) Deteminati rangul lui f si sa se puna in evidenta o baza pentru Im( f ).

4. Fie morfismul definit prin :

( , , ) = ( x + (-1) y + z , (+1)x + ( + 1) y + z , x + y + z )

Sa se precizeze daca morfismul este inversabil si in caz afimativ deteminati .

5. Fie := { | + + ( + 2) + (1 ) = 0} si

:= { | + 2 + + = 0 + + + = 0 }.

a) Sa se arate ca sunt R subspatii vectoriale ale lui . b) Sa se determine dimensiunile subspatiilor . c) Sa se puna in evident cate o baza pentru subspatiile si + .

6. Sa se determine vectorii si valoriile proprii ale morfismului care in baza canonica

are matricea = + + +

+ + + + + +

. Sa se aduca matricea A la

forma diagonala, iar apoi sa se calculeze . 7. Utilizand metoda lui GAUSS, sa se aduca la o forma canonica forma patratica

( ) = + + + 2 ( + ) + ( 2 ) (2 + ) precizandu-se indicele pozitiv de inertie, indicele negativ de inertie, signature si polara.

8. Utilizand metoda lui JACOBI, sa se aduca la o forma canonica forma patratica ( ) = + + 2 ( ) + ( + 2 ) (2 + ) .

9. Sa se arate ca aplicatia < ,> , < , > = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )

unde = ( , ), = ( , ) este un produs scalar.

10. Sa se ortogonalizeze vectorii: = ( 3 , -2 + , ), = ( , -2 , ), = (1 + , -2 - , 3 2 )

folosind produsul scalar standard pe , iar apoi sa se normeze vectorii obtinuti.