Memorator: Matematica 2 - Algebra - Memoratoare Bacalaureat€¦ · Definiţie. Negaţia...
Transcript of Memorator: Matematica 2 - Algebra - Memoratoare Bacalaureat€¦ · Definiţie. Negaţia...
Cuprins1. Elemente de logică matematică . . . . . . . . . . . 11.1. Propoziţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Mulţimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Inducţia matematică . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Şiruri, progresii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1. Şiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Progresii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . 293.3. Progresii geometrice . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1. Noţiunea de funcţie . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Operaţii cu funcţii numerice . . . . . . . . . . 374.3. Proprietăţile funcţiilor . . . . . . . . . . . . . 454.4. Funcţii bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5. Graficul unei funcţii . . . . . . . . . . . . . . . 604.6. Graficul şi proprietăţile funcţiei . . . . . . . . . 62
5. Funcţii numerice, ecuaţii . . . . . . . . . . . . . . 695.1. Funcţia de gradul întâi . . . . . . . . . . . . . 695.2. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi . . . . . . . . 725.3. Funcţia de gradul al doilea . . . . . . . . . . . 755.4. Ecuaţii de gradul al doilea . . . . . . . . . . . 815.5. Funcţia putere cu exponent natural . . . . . . . 865.6. Funcţia putere cu exponent negativ . . . . . . . 885.7. Funcţia radical . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.8. Ecuaţii iraţionale . . . . . . . . . . . . . . . . 945.9. Funcţia exponenţială . . . . . . . . . . . . . . 975.10. Ecuaţii exponenţiale . . . . . . . . . . . . . . 1005.11. Funcţia logaritmică . . . . . . . . . . . . . . 1035.12. Ecuaţii logaritmice . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.13. Funcţia sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.14. Funcţia arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.15. Funcţia cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.16. Funcţia arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . 1215.17. Funcţia tangentă . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.18. Funcţia arctangentă . . . . . . . . . . . . . . 1265.19. Funcţia cotangentă . . . . . . . . . . . . . . 1285.20. Funcţia arccotangentă . . . . . . . . . . . . . 130
6. Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.1. Mulţimea numerelor complexe . . . . . . . . . 1326.2. Forma algebrică . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.3. Reprezentarea geometrică . . . . . . . . . . . 1386.4. Forma trigonometrică . . . . . . . . . . . . . 1416.5. Rădăcinile de ordinul n . . . . . . . . . . . . . 1456.6. Ecuaţii binome şi bicvadratice . . . . . . . . . 146
7. Elemente de combinatorică . . . . . . . . . . . . . 1487.1. Reguli generale ale combinatoricii . . . . . . . 1487.2. Permutări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.3. Grupul Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.4. Aranjamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.5. Combinări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.6. Binomul lui Newton . . . . . . . . . . . . . . 160
8. Statistică şi probabilităţi . . . . . . . . . . . . . . . 1628.1. Matematică financiară . . . . . . . . . . . . . 1628.2. Elemente de statistică matematică . . . . . . . 1658.3. Calculul probabilităţilor . . . . . . . . . . . . 168
9. Matrice şi determinanţi . . . . . . . . . . . . . . . 1729.1. Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.2. Determinanţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.3. Aplicaţii ale determinanţilor în geometrie . . . 1849.4. Matrice inversabile . . . . . . . . . . . . . . . 1869.5. Rangul unei matrice . . . . . . . . . . . . . . 188
10. Sisteme de ecuaţii liniare . . . . . . . . . . . . . . 19111. Structuri algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.1. Legi de compoziţie . . . . . . . . . . . . . . . 19811.2. Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.3. Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21411.4. Morfisme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . 21611.5. Inele şi corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12. Polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22312.1. Inel de polinoame . . . . . . . . . . . . . . . 22312.2. Forma algebrică a unui polinom . . . . . . . . 223
1. Elemente de logică matema-tică
1.1. Propoziţii
..
Definiţie. Se numeşte propoziţie un enunţ declarativ des-pre care se poate decide dacă este adevărat sau fals.Observaţie. O propoziţie nu poate fi în aceeaşi timp şi ade-vărată şi falsă.Definiţie. Unei propoziţii îi putematribui unadin cele douăvalori de adevăr “1” sau “0”: dacă propoziţia este adevărată,valoarea sa de adevăr este 1, iar valoarea de adevăr a uneipropoziţii false este 0 (“1” şi “0” sunt simboluri, nu repre-zintă numere).Notaţie. Propoziţiile se notează cu literele mici p,q,r,....
Exemplu. Sunt propoziţii: “În fiecare pătrat există un unghidrept.”- propoziţie adevărată, valoarea sa de adevăr este 1;“suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu 110◦.”-falsă, valoarea sa de adevăr este 0;“Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungimeegală.”-adevărată, valoarea sa de adevăr este 1.
Nu sunt propoziţii (în sensul logicii matematice): “x+3=10”-nu se poate decide dacă este advărată sau falsă: pentru x=7,propoziţia “7+3=10” este adevărată, iar pentru alte valori alelui x propoziţia este falsă;“Într-un triunghi laturile sunt congruente.”- în cazul triunghiuluiechilateral propoziţia este adevărată, în alte cazuri este falsă.
1
..
Definiţie. Negaţia propoziţiei p este propoziţia “non p”,notată ¬p sau p, care este adevărată dacă p este falsă şiTabelul de adevăr
al lui ¬p:p ¬p0 11 0
falsă dacă p este adevărată.Observaţie. Propoziţia ¬(¬p) are ace-eaşi valoarea de adevăr ca şi p. Pentrua nega o propoziţie, se pune în faţa eiexpresia “nu e adevărat că”.
.Negaţia unei propoziţii
Exemplu. Negaţia propoziţiei adevărate p: “2+3>4” este ¬p:“2+3 ̸>4”.Negaţia propoziţiei false “Fiecare câine este neagră.” este propo-ziţia adevărată“Există câine care nu este neagră”.
..Tabelul de advăr
al lui p∧q:p q p∧q0 0 00 1 01 0 01 1 1
Definiţie. Conjuncţia propoziţiilor p, qeste propoziţia “p şi q”, notată p∧q, careeste adevărată numai atunci când atât pcât şi q sunt adevărate, fiind falsă în ce-lelate cazuri.Observaţie. Pentru a exprima conjun-cţia propoziţiilor p, q, punem între celedouă propoziţii cuvântul “şi”.
.Conjuncţia propoziţiilor
..Tabelul de advăr
al lui p∨q:p q p∨q0 0 00 1 11 0 11 1 1
Definiţie. Disjuncţia propoziţiilor p, qeste propoziţia “p sau q”, notată p∨q,care este falsă numai atunci când atât pcât şi q sunt false, fiind adevărată în ce-lelate cazuri.Observaţie. Pentru a exprima disjuncţiapropoziţiilor p, q, punem între cele douăpropoziţii cuvântul “sau”.
.Disjuncţia propoziţiilor
2
..
Definiţie. Din propoziţiile simple p,q,r,... prin aplicareade un număr finit de ori a conectorilor logici ¬,∨,∧ se potcrea propoziţii compuse.Observaţie. Calculul propoziţiilor studiază propoziţiilecompuse din punctul de vedere al adevărului sau falsuluiîn raport cu valorile logice ale propoziţiilor simple care lecompun.
..
Definiţie. Se numeşte implicaţia propoziţiilor p şi q propo-ziţia ((¬p)∨q) şi se notează p→q (“p implică q”).Tabelul de advăr al
lui p→q:p q ¬p p→q
0 0 1 10 1 1 11 0 0 01 1 0 1
Din tabelul de adevăr constatăm căp→q este falsă numai dacă p este ade-vărată şi q este falsă, fiind adevărată încelelate cazuri. Observaţie. Implica-ţia propoziţiilor p,q se exprimă astfel:“dacă p atunci q”. În implicaţia p→qp se numeşte ipoteză, iar q se numeşteconcluzia implicaţiei.
.Implicaţia propoziţiilor
Exemplu. Considerând propoziţiile p: “Numărul 2 este par.” şiq: “Pământul este sferic.”:
.. p→q: “Dacă numărul 2 este par atunci Pământul estesferic.”- propoziţie falsă, ipoteza fiind adevărată şi con-cluzia falsă;
.. q→p: “Dacă Pământul este sferic, atunci numărul 2 estepar.”- propoziţie adevărată, ipoteza fiind falsă şi concluziaadevărată.
3
2. Numere reale
2.1. Numere reale
..
Notaţie.N={0,1,2,3,...}mulţimea numerelor naturale;Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} mulţimea numerelorîntregi;
Q=
{m
n
∣∣∣∣m,n∈Q,n ̸=0
}mulţimea numerelor raţionale;
Rmulţimea numerelor realeI=R\Qmulţimea numerelor iraţionale;N∗=N\{0}, Z∗=Z\{0}, Q∗=Q\{0}, R∗=R\{0}.
Observaţie. N⊂Z⊂Q⊂R, R=Q∪I, Q∩I=∅.
..
.. asociativitate: (x+y)+z=x+(y+z),∀x,y,z∈R (N,Z,Q);
.. comutativitate:x+y=y+x, ∀x,y∈R (N,Z,Q);
.. există element neutru:∃0∈R astfel încât x+0=0+x=x,
∀x∈R (N,Z,Q);.. orice număr întreg (raţional, real) are un opus:
∀x∈Z (Q,R),∃(−x)∈Z (Q,R)astfel încât x+(−x)=0.
.Proprietăţile adunării numerelor reale
13
..
.. asociativitate:(x·y)·z=x·(y·z), ∀x,y,z∈R (N,Z,Q);
.. comutativitate: x·y=y·x, ∀x,y∈R (N,Z,Q);
.. există element neutru:∃1∈R astfel încât x·1=1·x=x, ∀x∈R (N,Z,Q);
.. orice număr real nenul este inversabil:∀x∈Q∗ (R∗), ∃
1
x∈Q∗, (R∗) astfel încât x·
1
x=1;
.. Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare:x(y+z)=xy+xz, (x+y)z=xz+yz, ∀x,y,z∈R.
.Proprietăţile înmulţirii numerelor reale
Problemă. Să se demonstreze că numărul√2 este iraţional.
S.Presupunând că√2∈Q există numerelea,b∈N, b ̸=0 astfel în-
cât√2=
a
b, iar
a
beste ireductibilă. Ridicând la pătrat, 2=
a2
b2⇒
a2=2b2, deci a2 este par⇒a este par⇒a=2k, k∈N. Atunci4k2=2b2⇒2k2=b2, deci b2 este par⇒b par⇒b=2l, l∈N. Daratuncia=2k, b=2l, aşadar fracţia
a
beste reductibilă prin 2, con-
rar ipetezei. Deci√2 nu este reductibilă.
..
Definiţie. Numărul întreg a este divizibil cu numărul în-treg b dacă există un număr întreg c astfel încât a=b·c.
Notaţie. a...b (“a este divizibil cu b”) sau b|a (“b divide a”).
Teoremă. (Teorema împărţirii cu rest) Fiind date nume-relea∈N şi b∈N∗, există şi sunt unice numerele q,r∈N ast-fel încât a=bq+r şi 0≤r<b.
.Divizibilitate
14
..
Teoremă. Fie a,b,c∈N∗. Atunci.. dacă a|b şi b|c, atunci a|c (tranzitivitate);.. dacă a|b atuncima|mb, ∀m∈N∗;.. dacă a|b şi a|c, atunci a|ma+nb, ∀m,n∈N∗.
Definiţie. Un număr p≥2 se numeşte număr prim dacă pare exact doi divizori: 1 şi p.
.Divizibilitate - continuare
..
Definiţie. O fracţie zecimală de forma a0,a1a2a3... se nu-meşte
.. fracţie zecimală finită, dacă are un număr finit decifre zecimale;
.. fracţie zecimală periodică simplă, dacă are un grupde zecimale, numit perioadă, care se repetă la infi-nit,incepând imediat după virgulă:∃p∈N, p≥1 astfel încât an+p=an, ∀n≥1;
.. fracţie zecimală periodică mixtă, dacă perioada nuincepe imediat după virgulă: ∃k,p∈N, p≥1, k≥2astfel încât an+p=an, ∀n≥k.
.Fracţii zecimale
Exemplu. Fracţie zecimală finită: −12,003.Fracţie zecimală periodică simplă: 13,248248248...
jel.=
13,(248).
Fracţie zecimală periodică mixtă: −23,0487271271...jel.=−23,0487(271).
..Teoremă. Orice număr raţional poate fi transformat într-ofracţie zecimală finită sau într-o fracţie zecimală periodicăsimplă sau mixtă.
15
Problemă. Să se transforme în fracţii zecimale:137
40,19
21,
433
330.
S. Se împarte numărătorul la numitor:137
40=137:40=3,425
(fracţie zecimală finită),19
21=19:21=0,904761904761...=
0,(904761) (fracţie zecimală periodică simplă),433
330=433:330=1,3121212...=1,3(12) (fracţie zecimală
periodică mixtă).
..Teoremă. Orice fracţie zecimală finită sau fracţie zecimalăperiodică simplă saumixtă poate fi transformată într-o fra-cţie ordinară.
Problemă. Să se transforme următoarele fracţii zecimaleîn fracţii ordinare: 3,25; 1,335; 0,(36); −2,(693); 3,2(35);1,01(2).
S. Transformarea unei fracţii zecimale finite: 3,25=325
100=3
1
4,
1,335=1335
1000.
Transformarea unei fracţii zecimale periodice simple:
−2,(693)=−2693
999=−2
77
111, 0,(36)=
36
99=
4
11.
Transformarea unei fracţii zecimale periodice mixte:
1,01(2)=112−1900
=111
900, 3,2(35)=3
235−2990
=3233
990.
..
Definiţie. Partea întreagă a numărului real x este numărulîntreg (notat cu [x]) cel mai mare, mai mic sau egal cu x.
[x]=k∈Z⇔k≤x<k+1.Definiţie. Partea fracţională a numărului x este numărul{x}=x−[x]∈[0,1).
16
4.6. Graficul şi proprietăţile funcţiei
..
În cursul reprezentării graficului funcţiei numerice f :A→B ne interesează fragmentul din plan corespunzătoare pro-dusul cartezianA×Imf .Dacă graficul lui f este trasată, domeniul de definiţie al luif este proiecţia lui Gf pe axa Ox, iar Imf este proiecţialuiGf peOy.
.Gf↔ domeniul de definiţie, imaginea Imf
..x
.
y
.O.
Gx2
.
A
A=[−1,3]
..x
.
y
.O.
Gx2
.
Imf
Imf=[−1,2]
..
Funcţia f :A→R este mărginită cu margine inferioarăm şimargine superioarăM dacă graficul lui f este situată întredreptele orizontale de ecuaţie y=m şi y=M . Dacă grafi-cul lui f nu poate fi cuprinsă între două drepte orizontale,atunci f nu este mărginită.
.Gf↔mărginire
62
..x
.
y
.O
mărginită
..x
.
y
.O
mărginită superiornemărginită inferior
..x
.
y
.O
nemărginită superiormărginită inferior
..x
.
y
.O
nemărginită superiornemărginită inferior
..
Funcţia f este pară dacă graficul lui f este simetrică pe axaOy.Funcţia f este impară dacă graficul lui f este simetrică pepunctulO.
.Gf↔ paritate
..x
.
y
.O
f par
..x
.
y
.O
f impar
63
..x
.
y
.O
f crescătoare
..x
.
y
.O
f descrescătoare
..
Graficul unei funcţii strict crescătoare, de la stânga ladreapta, “se ridică”.Graficul unei funcţii strict descrescătoare, de la stânga ladreapta, “se coboară”.
.Gf↔monotonitate
..
Funcţia numerică f :A→R intersectează axa Ox în punc-tele (x0,0) unde f(x0)=0, deci x0 este o soluţie a ecuaţieif(x)=0. Abscisele punctelor de intersecţie ale graficuluicu axaOx determină valorile aproximative ale soluţiilor.Faptul că funcţia f este pozitivă (negativă) pe o mulţimeM⊆A, este chivalent cu faptul că imaginea geometrică alui f corespunzătoaremulţimiiM se află deasupra axeiOx(sub axaOx).Dacă imaginea geometrică a lui f este trasată, mulţimeasoluţiilor inegalităţii f(x)≥0 (f(x)≤0) este alcătuită dinproiecţiile peOx ale punctelor de pe grafic care se află dea-supra axeiOx (sub axaOx).Observaţie. Funcţiile continue îşi menţin semnul constantîntre două rădăcini consecutive: dacă f este continuă peA,f(x1)=f(x2)=0, x1<x2, (x1,x2)⊆A şi f(x) ̸=0, ∀x∈(x1,x2), atunci f(x)·f(y)≥0, ∀x,y∈(x1,x2).
.Gf↔ semnul funcţiei
64
..x
.
y
.O.
1
f(x)≥0⇔x∈[−2,−1]∪[2,∞)
..x
.
y
.O.
1
f(x)<0⇔x∈(−∞,−2)∪(−1,2)
..
Definiţie. Dreapta d se numeşte o asimptotă a graficuluifuncţiei f :A→B A,B⊆R, dacă distanţa dintre un punctde pe curbă şi dreapta d tinde spre 0, când abscisa punctu-lui tinde spre±∞.Deosebim trei tipuri de asimptote: verticală, orizontală şioblică.
.Gf↔ Asimptote
..x
.
y
.1
.1
.O
y=1asimptotă orizontală
..x
.
y
.1
.1
.O.
O
x=1asimptotă verticală
65
5.16. Funcţia arccosinus
..
Definiţie. Inversa funcţiei bijective g:[0,π]→[−1,1],g(x)=cosx este funcţia arccosinus: f :[−1,1]→[0,π],f(x)=arccosx.Din definiţie rezultă că
arccosx=α⇔cosα=x, α∈(0,π).
Reprezentareageometrică:
..x
.
y
.O .
π2
.
π
.−1
.1
.
Garccosx
Funcţiile f :[−1,1]→[0,π], f(x)=arccosx şi g:[0,π]→[−1,1], g(x)=cosxsunt funcţii inverse, deci reprezentarealor geometrică este simetrică faţă dedreapta y=x:
..x
.
y
.O .
π2
.π2
.
π
.−1
.1
.
1
.
−1
.π
.
Garccosx
.
Gcosx
..
x −1 −√3
2−√2
2−
1
20
1
2
√2
2
√3
21
arccosx π5π
6
3π
4
2π
3
π
2
π
3
π
4
π
60
.Valori remarcabile
121
..
x −1 0 1
arccosx −π +↘+π
2+↘+ 0
.Tabelul de variaţie şi de semne
Problemă. Determinaţi domeniul maxim de definiţie pentrufuncţia f :D→R, f(x)=arccos(1−2x)!S.Argumentul lui arccos trebuie să aparţină intervalului [−1,1]:D={x∈R| 1−2x∈[−1,1]}.
1−2x∈[−1,1]⇔−2x∈[−2,0]⇔x∈[0,1], deciD=[0,1].
Problemă. Să se calculeze arccos(cos6).S. Fie arccos(cos6)=α, atunci cosα=cos6 şiα∈[0,π]≈[0;3,14].Din relaţia cos(x)=cos(2π−x) rezultă că cos6=cos(2π−6) şi2π−6≈0,28∈[0,π], deci arccos(cos6)=α=2π−6.
..
Definiţie f :[−1,1]→[0,π], f(x)=arccosxImaginea lui f Imf=[0,π]
Puncte de inter- Gf∩Oy={(0,π2
)}
secţie cu axe Gf∩Ox={(1,0)}Periodicitate f nu este periodicăParitate f nu este pară, nu e impară:
arccos(−x)=π−arcsinxContinuitate curbă continuăAsimptote nu existăMărginire f este mărginită: 0≤arccosx≤π,
arccosx=0⇔x=1,arccosx=π⇔x=−1
Monotonie f este strict descrescătoare pe[−1,1]
Semnul funcţiei arccosx≥0, ∀x∈[−1,1]Convexitate f este convexă pe [−1,0], f este
concavă pe [0,1]
.Proprietăţile funcţiei arccosinus
122
..
Punct de infle-xiune
x=0
Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f−1:[0,π]→[−1,1],f−1(x)=cosx
.Proprietăţile funcţiei arccosinus - continuare
Problemă. Să se demonstreze că 2arcsin1
3=arccos
7
9.
S. Cu notaţiile arcsin 13=α şi arccos 79 , din definiţie sinα=
13 ,α∈[
−π2 ,π2
], cosβ= 7
9 , β∈[0,π]. Trebuie să demostrăm că 2α=β.
Din teorema fundamentală a trigonometriei cos2α= 89⇒cosα=
± 2√
23 . Pe intervalul
[−π
2 ,π2]cosinusul este pozitiv, deci
cosα= 2√
23 . În mod analog, sinβ= 4
√2
9 .sin(2α)=2sinαcosα=2· 13 ·
2√
23 = 4
√2
9 =sinβ.
Faptul că sin(2α)=sinβ nu înseamnă că 2α=β (funcţia sin nueste injectivă, o altă posibilitate este 2α=π−β). Dar sinα>0⇒α∈(0,π2
)⇒2α∈(0,π); sin(2α)>0⇒2α∈
(0,π2
). cosβ>0⇒
β∈(0,π2
).
Deci sin(2α)=sinβ, 2α∈(0,π2
), β∈
(0,π2
), de unde 2α=β.
5.17. Funcţia tangentă
..Definiţie. Funcţia f :R\{
π
2+kπ| k∈Z
}→R, f(x)=tgx
se numeşte funcţia tangentă.
123
Reprezentarea geometricăgraficului:
..x
.
y
.O .−π
.π
.− 3π
2
.−π
2
.π2
.3π2
.
Gtgx..
x 0π
6
π
4
π
3
tgx 0
√3
31√3
.Valori remarcabile
..
x −3π
2−
π
2
π
2
3π
2
tgx ∞|−∞ ↗ ∞|−∞ ↗ ∞|−∞ ↗ ∞|−∞
.Tabelul de monotonie
..
x −π −π
20
π
2π
3π
2
tgx −0+ + +|− − −0+ + +|− − −0+ + +|−
.Tabelul de semne
..
Definiţie f :R\{
π2 +kπ| k∈Z
}→R, f(x)=
tgxImaginea lui f Imf=RPuncte de inter- Gf∩Oy={(0,0)}secţie cu axe Gf∩Ox={(kπ,0)| k∈Z}Periodicitate periodică, perioada principală:
T=π
.Proprietăţile funcţiei tangentă
124
..
Paritate f este impară: tg(−x)=−tgx,centrul de simetrie : O
Continuitate curbă continuă pe(−π
2 +kπ,π2 +kπ), k∈Z
Asimptote x=π2 +kπ, k∈Z asimptotaă
verticalăMărginire nu este mărginităMonotonie f e strict crescătoare pe(
−π2 +kπ,π2 +kπ
), k∈Z
Semnul funcţiei tgx≥0⇔x∈[kπ,π2 +kπ
)şi
tgx<0⇔x∈(π2 +kπ,(k+1)π
]Convexitate f este convexă pe
[kπ,π2 +kπ
),
k∈Zf este concavă pe(π2 +kπ,(k+1)π
], k∈Z
Puncte de inflexiune: xk=kπ, k∈Z
Bijectivitate f nu este bijectivă (nu e injectivă,este surjectivă)
Restricţia fb:(−π
2 ,π2)→R, fb(x)=tgx
bijectivă inversa lui f : f−1b :R→
(−π
2 ,π2),
f−1b (x)=arctgx
.Proprietăţile funcţiei tangentă - continuare
125
7. Elemente de combinatorică
7.1. Reguli generale ale combinatoricii
..
Teoremă. Dacă obiectul A poate fi ales în nA moduri,obiectul B (C,...) poate fi ales în nB(nC , ...) moduri şinici o alegere a lui A nu coincide cu nici o alegere a lui B(C,...), atunci alegerea “A sauB” (sauC, ...) poate fi rea-lizată în nA+nB(+nC+...)moduri.Observaţie. Această regulă poate fi prezentată sub forma:pentru mulţimile disjuncte A şi B, |A∪B|=|A|+|B|,unde |M | înseamnă numărul de elemente ale mulţimiiM .Teoremă. Dacă obiectul A poate fi ales în nA moduri,obiectulB în nB moduri, iarm posibilităţi de alegerea luiA şi a lui B coincid (m≤nA,nB), atunci alegerea “A sauB” poate fi realizată în nA+nB−mmoduri.Observaţie. Fie mulţimile A,B. Atunci |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.
.Regula sumei
Exemplu. Într-un penar sunt 3 creioane de grafit, 12 creioanecolorate şi 4 pixuri, atunci alegerea unui creion poate fi realizatăîn 3+12=15moduri, iar pentru alegerea unui rechizite sunt 3+12+4=19 posibilităţi.
Problemă. Elevii unei clase urmează cursuri astfel încât 8merg la germană, 6 la română. Ştiind că 2 dintre elevi urmeazăambele cursuri iar 15 nu face nici un curs, să se determine efec-tivul clasei.!S. Se notează cuG (R) mulţimea elevilor care frecventează cur-sul de germană (română), iar cu S mulţimea celor care nu ur-mează cursuri. Atunci |G|=8, |R|=6, |G∩R|=2, |S|=15.
148
După regula sumei numărul elevilor care urmează cel puţin uncurs, este
|G∪R|=|G|+|R|−|G∩R|=8+6−2=12.
..
S
.
G
.
R
.
G∩R
.8
. 2.6
. 15. 6. 4
Mulţimile G∪R şi S suntdisjuncte, astfel conformregulei sumei,|(G∪R)∪S|=|G∪R|+|S|=12+15=27.
Problemă. Între 1 şi 100 câre numere naturale se divid cu 6sau 8?
S. Cu notaţiile A={x∈N| 1≤x≤100, x...6} şi
B={x∈N| 1≤x≤100, x...8}, A={1·6,2·6,3·6,...,16·6},
B={1·8,2·8,3·8,...,12·8}, deci |A|=16, |B|=12 şi
A∩B={x∈N| 1≤x≤100, x...6, x
...8}={x∈N| 1≤x≤
100, x...[6,8]=24}={24,48,72,96}, |A∩B|=4. Atunci
|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|=16+12−4=24.
..
Teoremă. Dacă obiectul A poate fi ales în nA moduri, şidacă după fiecare astfel de alegere, obiectul B se poatealege în nB moduri, atunci alegerea perechii (A,B) poatefi realizată în (nA·nB)moduri.
Observaţie. Fie mulţimile A şi B. Atunci |A×B|=|A|×|B|.
.Regula produsului
Exemplu. Între oraşele A şi B sunt două drumuri (AB1 şiAB2), din A în C putem ajunge în trei moduri (BC1, BC2,BC3) (vezi “harta” de mai jos). Atunci dinA înC putem ajungeîn 2·3=6moduri diferite.
149
Pentru reprezentarea unor astfel de situaţii se poate folosi dia-grama copac.
..A. B. C.AB1
.
AB2
.
BC1
. BC2.
BC3
..A.
B
.
B
.
C
.
C
.C
.C
.
C
.
C
.
AB1
.
AB2
.
BC1
.
BC2
.BC3
.
BC1
.
BC2
.
BC3
Exemplu. O fetiţă are 4 perechi de papuci, 3 fustiţe, 5 bluziţe şi2 vestuţe. În câte feluri se poate îmbrăca fetiţa?
Reprezentarea tuturor posibilităţilor pe o diagramă copac ar fiprea amplă (şi nici nu este necesară), de aceea reprezentăm doarnumărul posibilităţilor:Vestimentaţie papuci fustiţă bluziţă vestuţăNumăr bucăţi 4 3 5 2numărul posibilităţiloralegerii papucilor
4
numărul posibilităţilor(papuci,fustiţe)
4·3
(papuci,fustiţe, bluziţe) 4·3·5(papuci,fustiţe, bluziţe,vestuţe)
4·3·5·2
În total sunt 4·3·5·2=120 posibilităţi.
Observaţie. De obicei, se formulează un tabel simplificat:Vesti-mentaţie
papuci fustiţă bluziţă vestuţă total
↑ ↑ ↑ ↑Nr. posi-bilităţi
4 3 5 2 4·3·5·2=120
150