MATEMATICA

Semestrul II

Note de curs

1.ECUAII DIFERENIALE ORDINARE

Ecuaiile difereniale fac parte din clasa ecuaiilor funcionale. Prin ecuaii funcionale

nelegem o ecuaie care are drept necunoscut funcii:

Exemple:

funcia necunoscut

unde u = u(t,x) funcia necunoscut

(3) ds unde x = x(t) funcia necunoscut, f i K funcii

cunoscute

.

Observaii:

Ecuaia (1) are ca necunoscut funcia u(t) i derivata acestia u(t). Vom spune c

acest ecuaie este o ecuaie diferenial ordinar.

n ecuaia (2) nu cunoatem funcia u(t,x) i derivatele pariale ale acesteia. Spunem

c (2) este o ecuaie cu derivate pariale.

n ecuaia (3) funcia necunoscut intervine sub semnul integralei. Astfel de ecuaii le

numim ecuaii integrale.

Ecuaia (4) este un exemplu de ecuaie integro diferenial deoarece funcia

necunoscut intervine att sub semnul integralei ct i sub semnul derivatei.

Deci, o ecuaie diferenial este o ecuaie a crei necunoscut este o funcie de una sau

mai multe variabile n care intervin att funcia necunoscut ct i derivatele sale pn la un

anumit ordin. Ordinul maxim ale acestor derivate se numete ordinul ecuaiei.

Dac funcia necunoscut este o funcie de mai multe variabile, atunci ecuaia se

numete cu derivate pariale. Dac funcia necunoscut depinde de un singur argument atunci

ecuaia diferenial respectiv se numete ordinar.

Ecuaii difereniale ordinare

Forma general a unei ecuaii difereniale ordinare de ordinul I este:

unde F: R funcia dat, x=x (t) funcia necunoscut sau

unde funcia dat, x = x(t) funcia necunoscut.

Observaie: Forma (5) se numete forma normal. n cele ce urmeaz vom studia probleme

date sub forma (5).

Definiie:

Se numete soluie pentru ecuaia (5) pe intervalul I o funcie x:I care

satisface condiiile:

(i) x derivabil pe intervalul I

(ii) (t,x(t))

(iii) = f(t,x(t))

Exemple.

(1) Fie ecuaia 4t .

Funciile x:R x(t) = reprezint o constant arbitrar sunt soluii

pentru ecuaie.

(2) Ecuaia 2 x(t),

Funciile de forma

Observaie: Din punct de vedere geometric, soluiile unei ecuaie difereniale sunt curbe n

spaiul (tOx), numite curbe integrale.

Exemplu: Soluia ecuaiei (E) se reprezint astfel.

C>0

C=0

C

n general mulimea soluiilor ecuaiei (5) este infinit i o numim soluie general.

O soluie a ecuaiei se poate individualiza impunnd anumite condiii. Cea mai uzual dintre

acestea este condiia iniial

(C.I), x(t0) = x0 unde (t0,x0)

Prin problema Cauchy nelegem determinarea unei soluii a ecuaie (5) care verific

(C.I)

Observaie: Din punct de vedere geometric, Problema Cauchy revine la determinarea unei

curbe integrale a ecuaiei (5) care trece priuntr-un punct dat (t0,x0) .

Exemplu:

Soluia general a ecuaiei (E) este : x(t)=2t2 + C, C constant.

Impunnd condiia (C.I) x(0)=6 rezult 6=2 02 + C de unde obinem

C = 6. Atunci soluia Problemei Cauchy este x(t) = 2t2 +6.

Din punct de vedere geometric, soluia problemei Cauchy (E+C.I) este curba integral a

ecuaiei (E) care conine punctul (0,6).

Sisteme difereniale ordinare

Forma general a unui sistem de ecuaii difereniale de ordinul I, sub form normal

este

unde

Definiie

Se numete soluie a sistemului diferenial (6) o n-upl de funcii (x1,xn),

xi:I , i=1..n care satisfac condiiile:

(i) xi derivabile pe I

(ii)

(iii) (t)=

Condiiile de tip Cauchy (C.I) n acest caz se scriu:

(7) unde (

Prin Problema Cauchy nelegem determinarea unei soluie a sistemului (6) care s verifice

(C.I) (7)

2. Ecuaii difereniale de ordin superior

Forma general a unei ecuaii difereniale de ordin superior este:

(8)

Numit unde

Sau sub forma normal:

(8)

Definiie :

Se numete soluie pentru ecuaia (8) o funcie

a) x este de n-ori derivabil pe I

b)

c)

Condiiile Cauchy (C.I)

(9)

Problema Cauchy nseamn rezolvarea ecuaiei (8) astfel nct s fie satisfcut condiia (9).

Observaie:

O ecuaie diferenial de ordin superior poate fi redus la un sistem de ecuaii

difereniale de ordinul I, fcnd urmtoarea substituie:

(10)

Astfel obinem: (11)

Dac x(t) este o soluie pentru ecuaia (8) atunci (x(t), este o

soluie pentru (11) i reciproc, dac (x1(t),.,xn(t)) este o soluie pentru (11) atunci

x(t)=x1(t) este soluie pentru (8)

3.Ecuaii diferniale integrabile prin cuadraturi

Exist tipuri de ecuaii pentru care soluiile pot fi date cu ajutorul unor formule n care

intervin integralele unor funcii cunoscute numite cuadraturi.

A. Ecuaii cu variabile separabile

Forma generala unei ecuaii cu variabile separate este:

(1) x(t) = f(t) g(x)

unde

Dac x(t) este soluie pentru (1) atunci

Fie Integrnd relaia anterioar de la t0 la t obinem:

Notm y = x(s) , dy = x(s)ds de unde rezult

Fie funcia G: J0

Deoarece g continu i cu semn constant pe J rezult G este monoton i continu, deci G

este bijectiv, ceea ce ne asigur existena inversei G-1.

(3) G(x(t))=

Deoarece funcia G este inversabil putem scrie:

(4) x(t) =

Am obinut astfel expresia soluiei x a ecuaiei (1).

Reciproc: Dac funcia x(t) definit de relaia (4) este continu difereniabil pe I, atunci x

este:

Observaie: Avem nevoie de dou cuadraturi i o inversare.

B. Ecuaia omogen

Forma general a unei ecuaii omegene este:

(5) x(t) =

unde h: continu i n plus h(r) Facem substituia

atunci ecuaia (5) se rescrie sub

forma : u + tu =h(u)

Care este o ecuaie cu variabile separabile.

Observaie: Trebuie menionat faptul c diferite ecuaii difereniabile de ordinul 1, chair dac

nu au forma indicat mai sus, prin diferite schimbri de variabil pot fi aduse la ecuaii

difereniale cu variabile separate sau la ecuaii omogene:

Exemple: (E) unde a,b,c, a1,b1,c1 sunt constante. Facem substituia s= t t0 i

y = x x0 unde (t0,x0) este soluia sistemului liniar algebric i obinem

ecuaie omogen.

C. Ecuaii difereniale liniare de ordinul I

Considerm ecuaia

(7) x(t)=a(t)x(t)+b(t)

unde . n relaia (7) nmulim ambii termeni cu

i obinem:

(8) =

sau

(8) =b(t)

(deoarece (x(t) ) =x(t) -x(t)a(t) )

Integrnd de la t0 la t relaia anterioar obinem:

x(t) -x(t0)e0 =

dac notm x(t0) = x0, atunci soluia general se scrie:

(9) x(t) =

Observaii:

Soluiile ecuaiei (9) sunt definite pe intreg intervalul I

Pentru integrarea unei ecuaii liniare se efectueaz 2 cuadraturi

Problema Cauchy (7) + (C.I.) x(t0) = x0 admite o soluie unic, care este de forma (9)

D. Ecuaii Bernoulli

Forma general a ecuaiei Bernoulli este:

(1) x(t) = a(t) x(t) + b(t) (t)

unde a,b:I

Ecuaia (1) se poate scrie sub forma )

Facem schimbarea de funcii y= obinem ecuaia liniar:

.

E. Ecuaii Riccati

Forma general a unei ecuaii Riccati este:

(3)x(t) = a(t)x(t) +b(t)x2(t) +c(t) ,

unde a,b,c:I funcii continue.

n general, ecuaiile Riccati nu sunt integrabile prin cuadraturi. ns, dac cunoatem o soluie

particular a acestei ecuaiei, facem substituia

y = x x=y +

Dar

Rezult y = - Ecuaie Bernoulli.

Observaie: Pentru rezolvarea ecaiei Bernoulli trebuie s facem schimbarea de variabil

Prin urmare folosind schimbarea de variabil , obinem direct o ecuaie

liniar n necunoscuta z.

F. Ecuaii cu diferenial total exact

Forma general a unei ecuaii cu diferenial total exact(E.D.T.E)

(3) g(t,x) +h(t,x)x = 0

unde g,h: .

Teorem: S presupunem c este un domeniu simplu conex i ,

. Atunci, condiia necesar i suficient ca expresia gdt +

hdx s fie o diferenial total pe este ca:

(*)

Observaie: Conform relaiei (*)

(**)

Dac x=x(t),

Atunci dF(t,x)=0 este o soluie pentru (E.D.T.E)

Consecin: n condiiile teoremai, funcia F este dat prin:

F(t,x) =

unde (t0,x0) punct din .

Factor integrant

Uneori o ecuaie de forma:

(E) g(t,x) +h(t,x)x =0,

care nu este exact, poate fi transformat ntr-o (E.D.T.E) prin nmulirea cu aa numit factor

integrant , (t,x), cu

, Atunci condiia (*) se rescrie:

(*) sau

(**)

Prin urmare, dac putem obine o soluie a ultimei ecuai astfel nct ,

atunci ecuaia (E) este adus la o (E.D.T.E.) pe .

Observaie: Amintim acum dou situaii notabile de determinare a factorului integrant.

(i) Presupunem c expresia: este independent de x.

Atunci factorul integrant este o soluie a ecaiei:

(ii) Presupunem c expresia: este independnt de t

Atunci factorul integrant este o soluie a ecuaiei: .

G. Reducerea ordinului unor ecuaii de ordin superior

a) Considerm ecuaia:

(E) F(t, x(k)

(t),x)k+1)(t),..x(n))=0.

i facem substituia (*) y(t)=x(k)(t), obinem astfel:

(E): F(t,y(t),y(t),..y(n-k)(t))=0

Care este o ecuaie de ordin n-k. Prin rezolvarea ecuaie (E) aflm y(t), apoi, prin integrari

succesive n relaia (*) aflm soluia x(t).

b) Ecuaii difereniale autonome

sunt acele ecuaii care nu depind de t n mod explicit,adic de forma:

(E):F(x,x,x,..,x(n))=0.

Pentru a reduce ordinul cu o unitate, notm:

x =p Considerm x variabil independent i funcie necunoscut de variabil x.

x=

x = )= +p

procedeu continu i obinem astfel ecuaia:

F(x,p, ,.)=0 - ecuaie de ordinul n-1

H. Ecuaii de tip Clairaut

Forma general a unei astfel de ecuaii este:

,

unde este o funcie continu i derivabil. Derivnd relaia (4) obinem:

Observm astfel existena a dou categorii de soluii:

Cazul I: . Introducnd relaia (6) n (4)

soluia generalizat .

Cazul II: Obinem astfel soluia

singular: .

Observaie: Soluia (8) nu se poate obine din soluia general (7) particulariznd constanta

De fapt, geometric, soluia (8) este nfurtoarea familiei de drepte definit de soluia (7).

4.Inegaliti integrale

Lema 1 (Gronwald)

Fie x continuie pe

Dac:

(1) x(t) atunci

(2) x(t) ds

Lema 2 (Bellman)

Fie x,: continuie pe Dac

(6) x(t) C constant real fixat.

Atunci

(7) x(t)

5.Problema Cauchy

Prezentare general

S considerm I un interval nevid i deschis din R, o mulime nevid i deschis din Rn,

o fucie dat,

Problem Cauchy pentru ecuaii difereniale de ordinul I, const n gsirea unei funcii de clasa

C1, x:J unde este un interval nevid satisfcnd relaiile:

x(t)=f(t,x(t)),

Notm (P.C.)

O fuucie cu proprietile menionate mai sus se numete soluie pentru (P.C.).

Exist mai multe tipuri de soluie:

Dac J= I se numete soluie global

Dac x se numete soluie local

Dac x se numete soluie la dreapta

Dac x se numete soluie la stnga

Definiie:

(i) O soluie a (P.C.) definit pe un interval se numete

prelungibil, dac exist o soluie definit pe un interval

pe I.

(ii) Soluia se numete prelungibil la dreapta dac i o soluie

x(t)= (t) a sistemului definit cel puin pe astfel nct pe

(iii) O soluie se numete prelungibil la stnga i o soluie

x(t)= (t) a sistemului definit cel puin pe astfel nct pe .

(iv) O soluie se numete saturat dac nu este prelungibil nici la stnga i nici la

dreapta. Cu alte cuvinte I interval maxim de definiie.

Teoreme de existen i unicitate a soluiei (P.C.)

Considerm (P.C) (1) unde

Propoziie:

Fie o funcie continu. Atunci x: este o soluie a (P.C.) dac i numai dac x

este continu pe I i satisface ecuia integral:

(*) x(t) =x0 +

Definiie:

O funcie se numete local lipschitzian pe dac pentru orice submulime K

din , exist o constant L=L(K) astfel nct pent orice (t,u), s avem

Teorema de existen i unicitate Cauchy-Lipschitz-Picard

Presupunem c sunt satisfcute urmtoarele condiii:

(i) Funcia f este continu ;

(ii) Funcia f este lipschitzian ca funcie de x pe .

Atunci exist o soluie unic x = x(t) a (P.C) (1) definit pe intervalul

Demonstraie: Aa cum am vzut din propoziia precedent (P.C.) (1) este echivalent cu

ecuaia integral:

(2) x(t) =x0+

Artm existena soluie. Vom folosi metoda aproximrilor succesive Picard. Considerm

intervalul I= i un ir definit pe I astfel:

(3)

Etapa I. Artm c irul definit I dac i numai dac

. Pentrz aceasta vom folosi metoda induciei:

x0(t)=x0 verific condiia.

Presupunem c xn-1 verific proprietatea i vrem ca aceasta s fie verificat i de xn. Rezult

Etapa II Artm c irul este ir uniform convergent pe I dac i numai dac

este convergent uniform pe I.

Observm c:

.

Rezult

Deci:

Deoarece este convergent, conform criteriului lui Weierstrass rezult

este convergent uniform pe I, rezult

Etapa III. Artm c x este soluie (P.C) (1) dac i numai dac x verfic ecuaia (2). tim

c rezult prin trecere la limit punctual, datorit mrginirii c:

,

rezult f(*,xn(*)) deci avem voie s trecem la limit sub semnul

integralei n relaia (3). Rezult

Dar uniform, deci:

Unicitatea Metoda reducerii la absurd. Presupunem c mai exist o soluie y(t) a (P.C.) astfel

nct

y(t)=x0

Atunci

Notm i conform lemei lui Gronwald putem scrie

u(t) soluie unic.

Alte teoreme de unicitate

Teorema lui Peano Fie o funcie continu pe domeniul

Atunci (P.C.) admite cel puin o soluie pe

intervalul

Teorema 2 (de unicitate a soluie)

Presupunem c funcia f este continu , lipschitzian ca funcie de x. Atunci oricare ar fi

punctul (to,x0) , exist nt-o vecintate a punctului t0 o soluie unic x=x(t,t0 ,x0) a (P.C.)

Teorema 3 (unicitate global)

Fie x,y, du soluii a (P.C) definite pe intervalul I i respectiv I. Fie

7. Sisteme difereniale liniare

Prezentare general

Fie funcii continuie pentru i,j=1,2,3,..n i definim sistemul de

ecuaii difereniale de ordinul I liniare astfel:

(1)

Sau echivalent

Dac notm:

x(t)=

atunci sistemul (1) se rescrie sub forma matricial astfel:

(2) X(t) =A(t) x(t)+b(t)

i se numete sistem diferenial neomogen.

Dac b(t)=0 obinem:

(2) x(t)=A(t)x(t)

i se numete sistem diferenial liniar omogen.

, )

Teorema 1 Pentru orice t0 problema Cauchy

(3) admite o soluie global unic.

Teorema 2

Soluia saturat a (P.C) (3) este definit pe ntreg intervalul I.

8.Sisteme difereniale liniare omogene

S considerm l sistem diferenial omogen.

(1) x(t) = A(t)x(t).

Unde sunt funcii continuie i,j=1,2,3.n

Teorema 1:

Mulimea soluiilor sistemului (1) formeaz un spaiu liniar de dimensiune n.

Demonstraie: Fie S mulimea soluiilor sistemului (1). Artm c S este un subspaiu

vectorial al lui C1(I,R

n) echivalent cu a arta c:

(sau artm c x+y i ).

Observm c:

=A(t) de unde rezult - soluie

Pentru a arta c mulimea soluiilor este un spaiu vectorial de ordin n, construim un

izomorfism de la S la Rn. Pentru aceasta definim aplicaia

: unde:

(2) (x)=x(t0), punct fixat.

Evident este o aplicaie liniar. Conform teoremei de existen i unicitate a (P.C) obinem:

din unicitate rezult : x=0 rezult x=0 deci este o aplicai injectiv.

Din existena (deoarece codomeniul su este tot Rn).

Deci este un izomorfism de spaii vectoriale i cum orice dou spaii vectoriale izomorfe au

aceeai dimensiune obinem dim(S) = n.

Observaie: Teorema 1 are o importan fundamental n studiul ecuaiilor difereniale de

ordin I, deoarece ea ne arat c, n acest cadru, determinarea soluie generale revine la

determinarea a n soluii saturate particulare liniar independente..

ntr- adevr,teorema 1 afirm c, n S orice baz are cardinalul n. Pe de alt

parte este o baz, iar orice element se scrie n mod unic ca

o combinaie liniar de elemente a bazei, adic exist unic determinate,

astfel nct:

(3) x(t) =

Altfel spus, cunoaterea unei familii de n soluii ale ecuaiei (1) liniar independente, este

echivalent cu cunoaterea oricrei soluii, i deci i a soluie generale.

n continuare, vom prezenta o metod de verificare dac n soluii ale sistemului (1) sunt, sau

nu, liniar independente.

Fie x,1,x

2,..xn soluii ale sistemului (1) i definim matricea: X:I

prin relaia:

(4) X(t) = - matrice coloan.

Mai precis:

(4) X(t)=

Definiie

i. Matricea X definit de relaia (4) se numete matricea asociat sistemului de soluii

.

ii. Sistemul se numete sistem fundamental de soluii

pentru sistemul (1).

iii. Matricia asociat unui sistem fundamental de soluii ale ecuaie (1) se numete matrice

fundamental a sistemului (1).

Observaie: Datorit faptului c fiecare coloan a matrici X asociat sistemului (1) este o

soluie a acestui sistem rezult c X este o soluie a sistemului matricial:

X(t)= A(t)X(t).

Propoziie. Fie X(t) o matrice fundamental a sistemului (1). Atunci, orice soluie a sistemului

(1) se scrie sub forma:

(5) x(t)=X(t)*C, , unde C vector constant din Rn.

Demonstraie: Relaia (5) rezult din faptul c, coloanele matricei X(t) formeaz o baz n

spaiul soluiilor sistemului (1).Deci relaia (5) nu este altceva dect binecunoscuta formul de

reprezentare a elementelor unui spaiu liniar, n-dimensional, ca o combinaie liniar de

elemente a bazei. Adic:

=

=

Definiie: Dac X(t) este matricea asociat unui sistem de soluii

, determinantul su, notat cu W:I unde W(t)=det(X(t)) se numete wronskianul asociat

sistemului de soluii

Teorema 2 Fie un sistem de soluii de ecuaii (1), X matricea

fundamental i W wronskianul asociat sistemului de soluii. Urmtoarele condiii sunt

echivalente:

i. X(t) matrice fundamental;

ii. Petru orice t ;

iii. exist

Lem: Fie funcii derivabile pe I, i,j=1,2,.n. Atunci funcia definit

prin este derivabil pe I i d(t)=

unde dk este determinantul obinut din d prin nlocuirea elementelor liniei k cu derivatele

acesteia, k=1,2,.n.

Teorem 3 (Liouville). Fie W(t) wronskianul unui sistem de n-soluii ale sistemului (1).

Atunci are loc egalitatea:

W(t) =W(t0) unde Tr(A(s))=

9.Sisteme difereniale neomogene

S considerm sistemul diferenial de ordinul I liniar neomogen:

(1) x(t)=A(t)x(t) +b(t)

unde sunt funcii continuie. Considerm sistemul omogen ataat :

(2) x(t)=A(t)x(t)

Vom ncerca s determinm o soluie general a sistemului (1) cu ajutorul soluie generale a

sistemului ataat.

Teorema1 Fie X(t) o matrice fundamental a sistemului omogen (2) i o soluie

particular a sistemului (1). Soluia general a sistemului (1) se reprezint sub forma:

(3) x(t)=X(t)*C+y(t), unde C vector constant din Rn

.

Teorema 2 (Formula variaie constantelor)

Fie X(t) o matrice fundamental a sistemului omogen (2). Atunci soluia general a sistemului

neomogen (1) se reprezint sub forma:

(4) x(t)=X(t)*C+

10.Ecuaii difereniale liniare de ordinul n

Considerm ecuaia liniar de ordin n neomogen:

(1) x(n)

(t) +a1(t)x(n-1)(t)+..an(t)x(t)=f(t)

precum i ecuaia omogen

(2) x(n)

(t) +a1(t)x(n-1)(t)+..an(t)x(t)=0

unde ai, i=1,2,..n i f sunt funcii continuie pe un interval I. Folosind procedeul

general de reducere a unei ecuaii difereniale de ordin superior la un sistem diferenial de

ordin 1 introducem funciile.

rezult (3)

Teorem 1 Mulimea soluiilor ecuaiei (2) formeaz un spaiu liniar de dimensiune n

Observaie:

(1) Notm o baz n acest spaiu, adic n- soluii liniar independente.

Atunci soluia general a ecuaiei (2) are forma:

(4) x(t)=c1x1(t) + c2x2(t)+..+cnxn(t).

2) Ca i n cazul sistemelor difereniale liniare, un sistem format din n-soluii liniar

independente de ecuaii (2) se numete sistem fundamental de soluii. n conformitate cu

definiia dat pentru sisteme difereniale vom numi Wronskianul sistemului

funcia

(5) W(t)=

Teorema 2 Sistemul de soluii este fundamental dac i numai dac

Wronskianul su este diferit de zero ntr-un punct (sau echivalent pe tot intervalul I)

Teorema 3 (Liouville) Pentru orice t0 are loc egalitatea:

(6) W(t)=W(t0)

Observaie: Conform celor prezentate anterior, o soluie pentru ecuaia neomogen (1) se va

scrie sub forma:

(7) x(t) = c1x1(t) + c2x2(t)+..+cnxn(t)+

unde sistem fundamental de soluii pentru ecuaia omogen, iar (t)

este o soluiue particular.

Vom cuta soluia particular prin metoda variaiei constantelor, adic cutm o soluie de

forma

(t)= c1x1(t) + c2x2(t)+..+cnxn(t)

unde c1(t),c2(t),cn(t) funcii necunoscute, ce vor fi determinate prin rezolvarea

sistemului:

(9)

Observaie: Sistemul (9) determin n mod unic funciile deoarece

determinatul acestui sistem este nenul, fiind tocmai Wronskianul sistemului

.

11.Ecuaii difereniale liniare de ordin n cu coeficieni constani

I. Cazul omogen.

Ne vom acupa de gsirea unui sistem fundamental de soluii pentru ecuaia diferenial.

(1) x(n)

+a1x(n-1)+.anx=0

unde a1,a2,..,an sunt constante reale.

Vom nota cu P(D) operatorul diferenial: definit prin:

(2) P(D)x=x(n)

+a1x(n-1)+.+anx

acestui polinom i asociem polinomul caracteristic:

(3) P()=n+a1n-1+an.

Observaie: ntr-adevr dac 0 este o rdcin pentru P atunci P(0)=0 rezult este o

soluie pentru ecuaia (1) de unde obinem: P(x(t))= deci

(4) n+a1n-1+an=0

este ecuaia caracteristic asociat ecuaiei (1)

Teorema 1: Fie 1,2,.k rdcinile polinomului caracteristic P, cu mutiplicitile

m1,m2,mk (m1+m2++mk=n). Urmtoarele funcii:

Formeaz un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia (1).

Observaie: Teorema rmne adevrat i dac 1,2,.k . ntr-adevr, s

presupunem c 1 = , sunt rdcini

caracteristice ale polinomului (3).

Atunci i

) de unde rezult

i ,

deci sunt de asemenea soluii pentru ecuaia (1). Folosind teorema

nlocuiri ntr-o baz, nlocuim n baza (5) soluia corespunztoare rdcinii obinem

(5)

Care este tot o baz n spaiul liniar E a soluiilor ecuaii (1). Analog procedm i cu celelalte

perechi ( ,

II Cazul neomogen

Considerm ecuaia:

(1) x(n)+a1x(n-1)++anx=f(t)

unde a1,a2,.an i asociem

(E.O) x(n)

+a1x(n-1)++anx=0

Care admite soluia:

xSEO=c1x1(t)+c2x2(t)+..+cnxn(t).

Atunci, pentru ecuaia neomogen (1) cutm soluia de forma:

xSGN= c1x1(t)+c2x2(t)+..+cnxn(t)+

unde (t) este o soluie particular ce se poate poate determina prin metoda variaiei

constantelor.

Observaie: Exist ns i un alt mod de a determina soluii particulare, (t), dac f(t) este un

polinom particular.

Teorema 2 Dac f este un cvasipolinom, adic f(t)=H(t) sau

f(t)= H(t) unde H(t) este un polinom algebric, atunci ecuaia (1) admite o soluie

particular de forma:

(2) (t)=tm +

(3) unde

Observaie:

Dac (t)=tm , grQ=grH

Dac f(t) = ) implic (t) are forms (3) unde

grQ1=grQ2=max(grH1,grH2)

12.Ecuaia oscilatorului armonic

Considerm ecuaia diferenial a ascilatorului armonic n prezena frecrii.

(1) mx +bx+ unde m, b, sunt constante pozitive.

Asociem ecuaia caracteristic: P()= m2 + b + rezult m2 + b +

2 4m Atunci avem rdcinile 1,2= .

Distingem astfel urmtoarele cazuri.

Cazul I 2 4m 1, 2 Fizic corespunde situaiei n care coeficientul de

frecare este mare.

Atunci soluia general a ecuaiei (1) se scrie:

x(t) = (t) unde c1,c2 sunt constante arbitrare, (t) soluia particular a

ecuaiei neomogene i se numete soluie forat a ecuaiei.

Cazul II 2 4m =0 1 = 2 = ia baza B = . Soluia general a

ecuaiei (1) este: x(t) = (t)

Cazul III 2 4m Este cazul ce mai interesant din punctul de vedere fizic. n

acest caz: unde Atunci o baz a

soluiei este B = i obinem soluia:

(*) xSGN=(c1cos + (t)

S presupunemc fora exterioar f are caracter armonic, adic

f(t) = acos sau f(t) = asin (vt) unde este o frecven dat i a . n acest caz

cutm soluia particular de forma:

(t) = a1 cos + a2 sin t

Cu necunoscutele a1 i a2 nlocuim n ecuaie i obinem:

(t) = - a1 sin t +a2 cos t,

(t) = - a12cos t + a2

2 sin t 2( a1 cos t+ a2 sin t) + b( - a1 sin t +a2 cos t)

+ (a1 cos + a2 sin t)= acos t

de unde rezult

Rezolvnd sistemul obinem

i astfel soluia particular se scrie:

Observm c rezult

Rezult c pentru t suficient de mare ecuaia devin practic egal cu soluia particular (

forat) (t).

Observaiei. S considerm cazul b=0, n care frecarea este nul (sau aproape nul), iar

frcvena a forei de ntreinere este egal cu frecvena proprie a sistemului oscilator, adic:

=

n acest caz, aplitudinea micri devine egal

Acest fenomen este cunoscut sub numele de rezonan. Teoretic, el apare atunci cnd

frecvenele de oascilaie a forei externe, este egal cu frecvena proprie a sistemului, iar

frecarea este ne

13. Sisteme difereniale cu coeficieni constani

Vom studia sistemul:

(1) x =Ax

unde este o matrice constant.

Noiuni preliminare:

Dat fiind un ir de matrici de dimensiune putem considera seria formal:

Ne punem ntrebarea dac aceast serie are o semnificaie (n sensul convergeniei)

Definiie

Spunem c converge la A dac irul sumelor pariale converge la

matricea A, adic:

Propoziia 1

Dac seria de matrici este majorat de o serie numeric convergent, adic:

, unde atunci seria este convergent.

. Folosind noiunea de serie convergent de matrici se pot defini diverse funcii

de matrici. Astfel dac f este o funcie numeric analitic, avnd reprezentarea

f()= atunci prin definiie:

f(A)=

n particular putem defini:

Fie SA(t) o matrice fundamental pentru sistemul (1), verificnd (C.I) SA(0) = I.

Propoziia 2 Familia are urmtoarele propriti:

(i)

(ii)

(iii)

Teorema 1

Observaie:

(i) Dac considerm problema atunci putem scrie soluia :

X(t) =

(Formula variaiei constantelor).

(ii) Conform propoziie 2 rezult

Teorema 3 Fiecare component o matricii este un cvasipolinom de forma:

Unde valori proprii ale matricii A,

polinoame de grad , ml ordinul de mutiplicitate al rdcinni l

Observaie: Dac l este o soluie complex de forma atunci

trebui neles astfel: +

14. Modele matematice in biomedicina

Posibilitatea abstractului este avantajul esenial al modelrii matematice. De exemplu,

pentru a intelege comportamentul soluiilor ecuaiei :(1) nu conteaz dac

descrie o cretere a populaiei , o tumoare n dezvoltare sau o cretere a indivizilor

infectai. Matematic este doar ecuaia pentru creterea exponenial care poate fi tratat i

rezolvat fr a face referin la interpretare . Odat stabilite, rezultatele trebuie nelese n

termeni biologici. In general o ecuaie diferenial ordinar pentru o funcie necunoscuta

x(t) : (2) , si are urmatoarea interpretare : partea din stnga ecuaiei, x(t)

descrie rata de schimbare a cantitii x(t) de-a lungul timpului. Partea din dreapta, ,

descrie toate sursele schimbrii n x(t). Soluilei ecuaiei creterii exponeniale, ,

este de forma , unde

este condiia iniial. pentru. Ecuaia descrie creterea exponenial

pentru , care poate fi aplicat creterii populaiei. Ecuaia descrie descompunerea

exponenial, n cazul in care si poate fi aplicat descompunerii radioactive sau

eliberrii unui medicament n circulaia sangvin. In multe cazuri, creterea exponenial nu

este un model potrivit. La o anumit dimensiune, o populaie n cretere va atinge o limit

unde toate resursele disponibile sunt folosite pentru a menine nivelul crescut al populaiei,

dar aria de rspndire nu va suporta ali indivizi.

Teoria ecuatii diferentiale a fost aplicata testului de toleranta la glucoza si metodei dilutiei-

indicator.Modelele acestor studii folosesc notiunea de compatiment,care este definita

astfel:daca o substanta este prezenta intr-un sistem biologic in cateva forme distincte si daca

trece dintr-o forma in alta la o rata masurabila,atunci fiecare forma constituie un

compartiment separat pentru substanta.Testul tolerantei la glucoza este cateodata realizat prin

administrarea glucozei intravenos la o rata continuua,atunci cand pacientul nu poate tolera

glucoza oral.Se obtine o medie a concentratiei glucozei din sange ca o functie a timpului la o

populatie prestabilita,persoane care nu sufera de diabet sau alte boli care sa afecteze

metabolismul carbohidratilor.In aceste experimente,rata infuziei continue a glucozei in sange

s-a considerat a fi un numar real(A).Acest rezultat poate fi modelat folosind notiunea de

compartiment.Sa presupunem ca X este volumul distributiei glucozei ,x(t) este concentratia

glucozei din sange in timpul t,masurat in minute.Amestecul de glucoza din compartiment la

timpul t,este:Xx(t).Rata fractionara(in mg/min)la care glucoza dispare din sange va fi notata

cu Z.Glucoza dispare din compartiment sau numai daca concentratia sa depaseste concentratia

normala a sangelui.Vom inpune conditia carata schimbarii masei glucozei sa fie egala cu rata

revarsarii glucozei plus rata influxului glucozei.Aceasta conditie este modelata de ecuatia:

,unde nivelul initial al concentratiei glucozei in sange este de

84,9mg/dl.Solutia este de forma: .S-a observat ca nivelul

glucozei din sange,scade la o valoare care ste mai mica decat nivelul normal dar in final

atinge nivelul normal.

Metoda dilutiei-indicator este folosita pentru determinarea volumului de sange sau rata

sangelui prin sistemul cardiovascular sau o portiune din acesta.La momentul t=0,o cantitate

cunoscuta de colorant X este injectata intr-o vena principala langa inima.Dupa scurt

timp,sangele din vena va intra in ventriculul stang si va fi pompat in aorta.Concentratia

colorantului din aorta este monitorizata la intervale fixe de timp,si este considerata ca o

functie de timp.Este stiu din medicina ca,aproximativ 20 de secunde sunt necesare pentru o

cantitate de snge sa treaca prin aorta pentru a face un circuit ichis,si sa se reintoarca in

aorta.Debitul cardiac normal este de 5 l/min la o persoana in repaus,dar poate creste la mai

mult de 30 l/min in timpul exercitiilor fizice. Se determina volumul din ventricul stang si rata

la care inima pompeaza sange.Se construieste un model,reprezentat printr-o ecuatie

diferentiala,presupunand ca rata schimbarii masei colorantului este egala cu (-) rata

reversarii colorantului,sau matematic: (8) unde x(t) este concentratia

colorantului la momentul t in aorta,Veste volumul din ventricul stang,iarR este capacitatea

cardiaca.Vom impune conditia intiala:

,cu solutia: ,t .S-a timut cont de faptul ca ventriculul

se presupune a fi un rezervor de un volum constant,cu o rata de influx-reversare

constanta,timpul necesar colorantului pentru a atinge punctul de observatie este foarte mic,toti

colorantii intra in ventricul instantaneu la momentul dupa injectia sa in vena la momentul

t=0,si faptul ca o cantitate de colorant este perduta prin peretii capilarelor in perioada de

observatie.

O alta aplicatie a ecuatiilor diferentiale in medicina este data de modelul matematic pentru

detectarea diabeticilor.Majoritatea tesuturilor pot utiliza grasimile si proteinele pentru

obtinerea energiei in absenta glucozei.Un nivel prea ridicat a concentratiei sangvine poate

duce la modificari patologice ca deshidratarea celulara.Concentratia sangvina a glucozei

trebuie mentinuta la o anumita valoare pentru a se mentine in parametri normali prevazuti de

sanatate.Sistemul de reglare a concentratiei glucozei in sange este complicat.O mare varietate

de hormoni si alti metaboliti ajuta la reglarea sistemului glucozei sangvine.In conditii normale

insulina secretata de celulele ale pancreasului predomina in controlul intern al concentratiei

glucozei.In plus,cresterea concentratiei glucozei in sange stimuleaza celelele de a secreta

insulina.Insulina se ataseaza de peretele unor celule si le face mai permeabile la

glucoza.Astfel,glucoza poate intra in celula unde poate fi utilizata pentru energie sau poate fi

stocata,ca glicogen in muschi sau ficat.Testul de toleranta la glucoza este utilizat pentru

diagnosticarea diabetului zaharat,o boala caracterizata de un nivel foarte mare a concentratiei

glucozei in sange.In acest test ,pacientului ,care a mancat peste noapte,ii este administrata o

doza mare de glucoza.In urmatoarele 3-5 ore sunt facute mai multe masuratori ale

concentratiei glucozei in sange .Scopul acestui test a fost de a obtine un criteriu de

diferentiere a persoanelor sanatoase de prediabetici si diabetici incipienti din cateva probe de

sange din timpul testului de toleranta la glucoza.Modelul reprezentat printr-un sistem de doua

ecuatii diferentiale este un model grosier si ia in considerare doar concentratiile glucozei(x)

in sange si a concentratiei hormonale nete( .Analitic,modelul este descris de urmatorul

sistem:

(11) unde A,B,C,D sunt niste constante pozitive,

S-a considerat ca necunoscutele X si Y au valorile initiale calculate in

momentul in care pacientul infometat ajunge la spital.Functia H(t) reprezinta valoarea la care

concentratia glucozei in sange este crescuta extern.Se observa ca daca: atunci

concentratia glucozei va scadea prin preluarea ei de catre tesuturi si depozitara excesului in

ficat ca glicogen.Daca

,glandele endocrine secreta hormoni ce tind sa creascavaloarea lui y.Acest model poate

fi folosit doar pentru diagnosticarea diabetului incipient si uneori rezulta o minima potrivire a

datelor la 3-5 ore dupa ingestia glucozei.

Modelele matematice reprezentate prin ecuatii diferentiale au aplicatii si in epidemiologie.O

analiza a acestor modele duc la descoperirea unei valori critice a densitatii populatiei d

astfel ca daca: ,introducerea unuia sau a mai multor infectati in populatie nu duce la

declansarea unei epidemii,in timp ce daca: ,introducerea de infectati ve va duce la

aparitia unei mici epidemii.Se presupune ca exista patru tipuri de indivizi in populatia

studiata:susceptibiliexpusi si infectati dar nu inca contagiosi,infectati,indivizi inlaturati.In

aceasta ultima categorie sunt inclusi nu doar acei indivizi care au fost inlaturati din populatie

datorita simptomelor observabile ci si acei care s-au insanatosit si au imunitate.Perioada de la

momentul in care un individ este expus si devine infectat pana la momentul in care devine

contagios va fi numita perioada de latenta.Perioada de infectare va fi acel timp in care un

individ este in categoria contagiosilor,in timp ce perioada de incubatie va indica timpul de la

expunere pana la momentul inlaturarii.Intr-o populatie de marime A,x(t),y(t),z(t) reprezinta

numarul de indivizi susceptibili,contagiosi si inlaturati la momentul t.Modelul matematic care

descrie acest fenomen este: ,aici parametru n reprezinta o rata de

contact efectiv,in timp ce Q(t) este rata de aparitie a infectiilor,P(t) este rata de inlaturare a

infectiilor.Daca 1-U(t) reprezinta partea de populatie care devine imuna datorita expunerilor

repetate,atunci k(t) este rata de la care apar infectatii,dar care nu sunt inca contagiosi.In

studierea acestui sistem,se presupune ca nu toate expunerile duc la infectare si deci mai tarziu

la infectie.

O alta aplicatie diferentiale este in masurarea curgerii sangelui in metabolismul corpului

biologic. Persoana este injectata cu o substanta (trasor) care este slab radioactiva. Aceasta

injectare duce la concentratia sigura (trasor) in sange peste timp, aceasta poate fi notata prin

Y(t). Sangele livreaza radioactivitatea spre tesuturi. In particular radioactivitatea este

transferata intre sange si tesut biologic prin raspandire. Aceasta radioactivitate este masurata

cu PET. Semnalul PET trebuie sa fie prelucrat pentru a duce sangele care se scurge in tesut.

Se considera ca semnalul radio-activ din tesut asa zis voxel,s sei presupune doua tipuri diferite

de tesut care sunt localizate in acest voxel, cu volume de de tesut biologic relative si

respectiv 1- . Valoarea nu este cunoscuta (stiuta). Daca notam radioactivitatea din doua

tesuturi cu X(t) si Z(t),obtinem: unde a,c reprezinta tranzitia

trasorului din sange catre tesuturi,ia b,d reprezinta tranzitia trasorului din tesut in sange.

Semnalul nou masurat este o combinatie intre X(t) si Z(t),de forma :

(15) . In practica, se stie semnalul dat S(t), sarcina noastra este sa

determinam care sunt cinci parametri.Inlocuind pe S(t) in ecuatiile

sistemului,vom obtine o ecuatie diferentiala de ordinul doi de forma: (16)

,unde:

.

Chiar daca noi avem cunostinte pentru amandoua S(t) si Y(t), ecuatia diferentiala pentru S(t)

putem sa determinam numai pentru parametrii a,b,c,d determinati din informatii. Cu toate

acestea , dintre acesti patru parametrii noi nu putem sa deducem cinci parametrii cu

exceptia informatiei aditionale care este stiuta (pentru constrangerile fiziologice care pot sa fie

caracteristice pentru parametrii identificati de la semnalele PET masurate din creier. De

asemenea multe informatii primite se pot pierde prin combinarea datelor.

O alta aplicatie a sistemelor de ecuatii diferentiale este in interactiunea a doua specii(prada-

pradator) modelat de sistemul(17) : unde x(t) si y(t) denota concentratia

celor doua populatii unde: a, b, c ,d sunt parametri constanti. In continuare vom considera

termenii acestui model si vom explica situatiile descrise. Termenii lineari ax si cy descriu

progresul corespunzator populatiei x sau y in separare. Daca d=0 atunci indicele d decide daca

cresterea populatei y(t) este exponentiala. Interactiunile intre doua populatii este modelata de

termenii nonlineari bxy si dxy. Acesti termeni sunt vazuti respectand Legea actiunii masei.

Acesta reflecta ca sunt indivivizi din x si y care ar trebui sa se intalneasca inainte sa

interactioneze. Daca ei se intalnesc, b sau d descriu probabilitatea acestor interactiuni, intr-

adevar daca acestea au loc , termenii by care pot fi interpretati ca rata de schimbare x datorat

interactiunii cu y. Considerand in general modelul prezentat fiecare din cei patru parametri

au cate doua semen. Astfel, exista 24=16 cazuri considerate.

Daca avem succcesiunile de semne(+,+,+,-),(+,+,-,-),

(-,+,+,-),(-,+,-,-) putem vorbi de modelul prada-pradator.

Daca avem(+,+,+,+),(+,+,-,+),(-,+,-,+) putem vorbi de modele simbiotice.Pentru(+,-

,+,-),(+,-,-,-),(-,-,-,-) putem vorbi despre modele competitive.O alta aplicatie a sistemelor de

ecuatii diferentiale in biomedicina este reprezentata de modelarea stochastica a dinamicii

populatiei. Stochasticitatea experimental se refer la variaia i nesigurana n condiii

experimentale n care se regsete o populaie. Aceste condiii includ efectele temperaturii,

ploilor, competiiilor ntre specii i aa mai departe. Stochasticitatea demografic se refer la

variaiile i nesigurana naterii din comportamentul imprevizibil al indivizilor care formeaz

o populaie. Este relevant faptul ca dimensiunile unei populaii sunt mici (mai puin de 25).

Aici, populaiile cu o rat de cretere net pozitiv poate totui muri ducnd la ghinion,

unde insuficieni indivizi se reproduc nante de a muri. S-a urmarit modelarea matematica a

cresterii demografice utiliznd un model de natere i de moarte reprezentat primtr-o ecuatie

diferentiala. Aici se presupune c indivizii acioneaz independent unul de cellalt, astfel nct

s nu fie termeni de interaciune neliniare n ecuaii. Definim procesul stochastic astfel: Vom

nota prin X(t) numrul de indivizi la momentul t (care reprezinta o variabila

intamplatoare) (t)=Pr{X(t)=u}, u=0,1,2,..,unde u(t) este numarul de indivizi la momentul

t,iar este numarul de indivizi la momentul t=0, a este rata de crestere a

populatiei..Presupunem c evenimentul naterii este modelat de un proces Poisson, i anume,

probabilitatea evenimentului producndu-se ntr-o perioad scurt de timp , iar

probabilitatea ca dou evenimente s se produc ntr-o perioad scurt de timp este foate

mica .Pentru ,obtinem un sistem infinit de ecuatii diferentiale de forma:

(18) cu conditia initiala:

,unde :

.. n modelul precedent, am neglijat moartea indivizilor, dar am putut obtine

o ecuatie diferentiala simpla care poate fi rezolvat explicit i al crei neles i variie poate fi

calculat ntr-un mod corect. Moartea nu poate fi ignorat n modelele biologice realiste. Cnd

este inclus, modelul devine doar puin mai complicat, dar analiza modelului devine

considerabil mai provocatoare. Daca ne referim la o populaie de indivizi cu o rat de crestere

a i cu o mortalitate b, tranziia pentru cei u indivizi ntr-o perioad de via de lungime

poate fi modelata astfel:

(20) cu aceeasi conditie

initiala.S- a lucrat in ipoteza in care probabilitatea de a avea mai mult de o natere sau o

moarte n perioada de timp este foarte mica. Procesul liniar natere-moarte poate fi descris

simplu astfel:intr -un interval scurt de timp , o populaie de mrime u poate lua natere

datorit unei singuri nateri ntr-o populaie de mrime u-1, datorit unei singure mori ntr-o

populaie de mrime u+1, sau datorit neschimbrii mrimii populaiei.

De exemplu , pentru a studia tratamentul pentru cancer prin chimioterapie este nevoie de un

model al tumorii . Un model nebanal al creterii tumorii , conine de obicei parametri care nu

pot fi interpretai din punct de vedere fiziologic . Dificultatea major const n formularea (

determinarea ) unei funcii a costului .Obiectivul chimioterapiei n cazul cancerului este

administrarea de medicamente n aa fel nct s disting celulele canceroase , dar s

minimizeze toxicitatea din corpul pacientului . Este greu de controlat toxicitatea n termeni

matematici .Se presupune c numrul celulelor canceroase x , este determinat de legea de

cretere exponenial : unde este o constant pozitiv Efectul unui

medicament de concentraie u , este descris de ecuatia diferentiala:

(21) Se presupune c efectele duntoare ale medicamentului

asupra organismului n perioada poate fi descris prin : Determinai

funcia de control u , care minimizeaz numrul total de celule canceroase i efectul duntor

asupra organismului : . Se presupune c un animal are N tumori n

diferite locuri i poate tolera doar o cantitate fix de radiaii . Dac poriunea K este iradiat

cu o cantitate u(K) , atunci numrul de celule canceroase din aceast poriune este u( .

Cum ar trebui realizat iradierea pentru a distruge numrul maxim de celule canceroase

?Aceast problem de optimizare poate fi formulat matematic sub forma maximizrii

: , cu condiia: . S-ar putea crede c teoria controlului optimal ar

putea explicat n chimioterapia cancerului pentru a descoperi efecte mai bune ale unor

medicamente . Totui o problem foarte mare este determinarea unei funcionale care s

minimizeze aceste efecte Chiar dac reuim s depim aceast dificultate ar putea aprea

cteva funcionale care s se maximizeze simultan .De exemplu , numrul maxim

de celule canceroase trebuie distrus , n timp ce globulele albe trebuie evitate , iar alte efecte

toxice ale medicamentului trebuie minimizat . Greu vom putea gsi o funcie de control care

s minimizeze toate aceste funcionale . Vom aborda o soluie de compromis n general .Vom

considera :

care ar putea fi minimizat .Alegerea parametrilor necesit o valoare aleas de un

om de tiin , ceea ce este de multe ori dificil de realizat .Vom avea de minimizat efectul

duntor al medicamentelor asupra organismului , adic s fie distruse un numr ct mai mic

de astfel de celule . n general vom avea o populaie de celule sntoase i tumorale , ambele

se presupune c se mresc dup o lege de cretere .

Va interveni i un parametru care depinde de doza de medicament . Putem presupune c

respectiva clas de medicament nu poate s depeasc un maxim fixat .

Dac u este parametru care depinde de clas , vom avea:

,unde corespunde clasei maxime .

Scopul terapiei este maximizarea numrului de celule normale i minimizarea numrului de

celule tumorale la sfritul perioadei de tratament sau , echivalent , minimizarea urmtoarelor

funcionale simultan : ,

,unde sunt populaiile normale i cele canceroase . Presupunem c

mutaiile pe care le sufer celulele evolueaz n mai multe stadii :Stadiul iniial n care avem

celule sntoase si ultimul stadiu este stadiul malign .

15. Teoria stabilitii

Considerm sistemul diferenial:

(1) x = f(t,x)

unde este o funcie ce satisface condiiile:

i) f continun n (t,x)

ii) f lipschitzian n x pe mulimea =

Din teoremele de existen,unicitate i prelungibilitate rezult sistemul (1) cu

(C.I) x(t0)=x0, admite o unic soluie x=x(t,t0,x0) definit pe un interval maximal Fie

x= soluie a problemei (1) definit pe .

Definiie

1) Soluia se numete stabil dac:

i are loc inegalitatea:

.

2) Soluia se numete uniform stabil dac n definiia de la punctul 1 lum

independent de t0.

3) Soluia se numete uniform asimptotic stabil dac este uniform stabil i

independent de t0 , astfel nct:

uniform n raport cu t0

Observaie: n situaii concrete, interesul se ndreapt spre soluii staionare (sau de echilibru)

ale sistemului diferenial, adic o soluie x= C.

Deoarece, n aplicaii, starea de echilibru nu se poate determina dect cu anumit aproximaie,

pentru a avea semnificaia fizic, starea de echilibru trebuie s fi stabil.

Fcnd substituia y=x- atunci studiul stabilitii unei soluii x= a sistemului (1) se

poate reduce la studiul stabilitii soluiei nule x=0.

n urma substituiei suntem condui la sistemul:

Pentru acest sistem soluia este soluia banal. n aceste condiii, impunem n plus

condiia:

(iii) f(t,0)=0,

Definiie

i) Soluia banal a sistemului (1) se numete stabil dac,

soluia

x(t,t0,x0) este definit pe semiaxa i verific condiia

ii) Soluia banal se numete asimptotic stabil dac este stabil i

Definiie: Dac orice soluie a sistemului (1) este definit pe i converge

la zero pentru , atunci sistemul (1) se numete global asimptotic stabil.

Stabilitatea sistemelor liniar perturbate

S considerm n cele ce urmeaz urmatoarele sisteme difereniale:

(1) x= Ax + F(t,x)

unde matrice constantelor i

Satisfcnd ipotezele:

i) F continu pe

ii) F local lipschitzian n raport cu x pe

iii) F(t,0)=0

Observaie:

Un astfel de sistem se numete sistem liniar perturbat iar F se numete perturbaie.

Teorema1 (Liapunov-Poincare)

Presupunem n plus fa de ipotezele de mai sus c:

vi) A matrice hurwitzian

v)

atunci soluia banal a sistemului (1) este asimptotic stabil

Teorema 2 (Perron)

Presupunem ndeplinite ipotezele (i iii) i n plus:

(iv)A- Hurwitz

(v)

Unde

Atunci soluia banal a sistemului (1) este asimptotic stabil

Observaie: O aplicaie a teoremei 2 n studiul stabiliti soluie sistemelor difereniale, este

aa numit metod a primei aproximaii

Metoda primei aproximaii

Considerem sistemul diferenial autonom:

(*)

Unde f este o funcie de clas C1 n domeniul:

=

Presupunem n plus c matricea A= este hurwitzian.

Teorema 3 n ipotezele de mai sus, soluia nul a sistemului (*) este asimptotic stabil.

.

Ecuaia pendulului

(E) x+sinx =0,

Ecuaia (E) admite 2 soluii staionare pe intervalul

Din punct de vedere fizic ele corespund celor 2 poziie de echilibru (stabil i instabil) ale

pendului:

Studiem stabilitatea soluiei

nmulim (E) cu x (1) xx + x sinx = 0 de unde integrnd

ultima relaie ntre 0 i t obinem

(2) - 2cos x(t) =

Fie x(t) o soluie a ecuaiei (2) i presupunem c:

(3)

Din (2)

Dat

soluie banal este stabil (uniform).

Observaie: Din (2) rezult soluie nu poate fi asimptotic stabil (

Studiem stabilitatea soluie

Facem schimbarea de variabile y = x reducnd astfel problema la studiul soluiei nule

pentru ecuaia:

(4) y + sin (y + =0 , deoarece sin (y+ ) =-siny

rezult (4) y sin y =0

Fie y=y(t) o soluie a ecuaie (4). nmulind (4) cu y i obinem:

yy - y sin y = 0 = 0 integrnd de la 0 la t

(5)

S ne oprim asupra soluie y, pentru care:

adic soluia (P.C) cu (C.I)

din (5) y soluie (P.C)

Dem ultima relaie: din (5) rezult

= 2

Pentru c

Deci

y(t)=4 arctg(C

Prin urmare, pentru nu exit nici un astfel nct

soluia banal instabil.

Concluzie: Ecuaia pendului admite 2 soluii 1- stabil i 1- instabil ceea ce este n deplin

concordan cu fenomenul fizic.

16. Transformata Laplace

Definiie: Fie f: RR/C. Dac are sens integrala improprie cu parametrul p C, 0)Re( p

dtetfpF pt

0

)()(

atunci F se numete transformata Laplace a funciei f i se noteaz cu )()]([ ptfL .

Definiie: Funcia f : RC se numete funcie original dac satisface condiiile:

a) f(t) = 0 pentru t0, t> 0t , unde a, M, 0t R (adic f are o cretere

exponenial, a numindu-se indicele de cretere al funciei original).

Observaie. Condiia de cretere exponenial ( ip ) se scrie sub forma :

a

MdteMdteeMdtetfdtetf tatatptpt

0

)(

000|||)(||)(|

ultima integral fiind convergent pentru ap)Re( .

n baza criteriului comparaiei pentru integrale improprii, va rezulta convergena

absolut i uniform a integralei care definete pe )()]([ ptfL .

Propoziie. Cu funciile original se pot face urmtoarele operaii:

suma a dou funcii original este tot o funcie original;

produsul dintre o funcie original i o constant complex este de

asemenea o funcie original;

produsul a dou funcii original este tot o funcie original.

Definiie.Transformata Laplace a unei funcii original (care exist) se numete funcie

imagine.

n acest mod s-a definit o coresponden ntre dou mulimi: una numit clasa

originalelor i o a doua format cu imaginile lor obinute printr-o anumit transformare.

Teorem.Transformata Laplace a unei funcii original f exist i este o funcie

olomorf n semiplanul Re p > a, unde a este indicele de cretere al funciei original f;

derivata sa se obine din definiie derivnd sub semnul de integrare.

Proprietile transformatei Laplace

Propoziia 1 (liniaritatea). Dac f1 (t), f2 (t) , t R sunt dou funcii original, atunci

)( c1, c2 C are loc relaia :

))](([))](([))](()([ 22112211 ptfLcptfLcptfctfcL

Propoziie 2 (teorema asemnrii). Dac f(t), t R este o funcie original, atunci

oricare ar fi a R , a>0 are loc relaia :

a

ptfL

apatfL )]([

1))]({[

Propoziia 3 (teorema ntrzierii). Dac f(t), t R este o funcie original, atunci

oricare ar fi a R , a>0 are loc relaia :

))](([))](([ ptfLepatfL pa

Propoziia 4 (teorema deplasrii) Dac f(t), t R este o funcie original, atunci oricare

a C ar fi are loc relaia :

))](([))](([ aptfLptfeL at

Propoziia 5 (teorema derivrii originalului) Dac f(t), t R este o funcie original i f

' (t) exist i este funcie original, atunci are loc relaia :

)0()]([))](('[ ftfLpptfL

n general, dac f (t) admite derivate de ordin n i toate sunt funcii original, atunci:

)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL

Demonstraia se face folosind metoda induciei.

Propoziia 6 (teorema derivrii imaginii). Dac f(t), t R este o funcie original,

atunci

')))](([())](([ ptfLptftL ,

n general,

)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL , pentru orice n1

Pentru derivata de ordinul n se obine:

)()))](([( nptfL ))](([)1()()1(0

ptfLdtetft nnptnn

Propoziia 7 (teorema integrarii originalului) Dac f(t), t R este o funcie original,

atunci

))](([1

)()(0

ptfLp

pduufLt

i

))](([1

])(.......[ 10

1

0

2

0

1

0

23

ptfLp

duufdududuLn

uuu

n

t

n

n

Propoziia 8 (teorema integrrii imaginii). Dac f(t), t R este o funcie original,

atunci

p

dqqtfLpt

tfL ))](([)(

)(

Definiie. Se numete produs de convoluie a dou funcii original f(t) i g(t), t R ,

crora li se aplic transformarea Laplace, esxpresia :

t

duugutftgf0

)()())((

Observae. Produsul de convoluie este comutativ : ))(())(( tfgtgf .

Propoziia 9(teorema produsului de convoluie). Dac f(t) i g(t), t R sunt dou

funcii original, atunci

))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL

Proprietati

1) (liniaritate)

L[c1 f1(t) + c2 f2(t)](p) = c1 L[f1(t)](p) + c2 L[f2(t)](p)

2) (teorema asemnrii)

L[f(at)](p) =a

ptfL

a)]([

1

3) (teorema ntrzierii)

))](([))](([ ptfLepatfL pa

4) (teorema deplasrii)

))](([))](([ aptfLptfeL at

5) (teorema derivrii originalului)

)0()]([))](('[ ftfLpptfL

)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL

6) (teorema derivrii imaginii)

')))](([())](([ ptfLptftL

)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL

7) (teorema integrarii originalului)

)]([1

)()(0

pfLp

pduufL

8) (teorema integrrii imaginii)

pdqqtfLp

t

tfL ))](([)(

)(

9) (teorema produsului de convoluie)

))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL

Transformatele Laplace ale unor funcii elementare:

p

apaL )]([

1

!)]([

n

n

p

nptL

appeL at

1)]([

22)]([sin

ap

aptaL ;

22)]([cos

ap

pptaL

22)](sh[

ap

apatL ;

22)](ch[

ap

pptaL

2

1)]([

appetL at ;

1

!)]([

n

atn

ap

npetL

222 )(

2]sin[

ap

aptatL ;

222

22

)()](cos[

ap

appattL

22)()](sin[

appteL at ;

22)()](cos[

ap

appteL at

Calculul inversei transformatei Laplace

n unele situaii este util determinarea din formula

dttfepF pt )()(0

a funciei f(t). Pentru aceasta vor fi prezentate trei metode.

1. Utilizarea proprietii de liniaritate

Fie

)()()( 211 pFcpFcpF

unde )(1 pF i )(2 pF sunt imaginile (transformatele) unor funcii )(1 tf respectiv

)(2 tf , cunoscute.

Funcia original f(t) se obine astfel:

)()()( 2211 tfctfctf

Deoarece

)()()()]([)]([)]()([)]([ 2211)(22)(11)(2211)( pFpFcpFctfLctfLctfctfcLtfL pppp

Observaie. Determinarea funciei original f (t) cnd se cunoate imaginea sa F(p) se

poate face prin dezvoltare expresiei funciei n fracii simple i recunoaterea transformatelor

uzuale.

2. Formula lui Mellin-Fourier

n condiii destul de generale, relaia :

F(p)= dttfe pt )(

0

ca ecuaie integral n funcia necunoscut f(t) admite o soluie unic.

Definiie. Se spune c funcia f(t) definit pe un interval [a,b] este derivabil pe

poriuni dac exist o diviziune

bttttta nii ........................ 110

astfel nct f(t) este derivabil n fiecare interval ),( 1 ii tt i exist limitele laterale

).0(),0( ii tftf

Teorem. Dac funcia f: RC ndeplinete urmtorele condiii :

a) f(t)=0, t 0

b) f(t) este derivabil pe poriuni

c) exist s 0 real, 00s astfel nct ts

etf 0|)(| este mrginit pentru

t0

atunci, n punctele n care f(t) este continu, valorile ei sunt date de formula lui

Mellin-Fourier :

f(t) = pepFi

ptia

iad)(

2

1, pentru p = a + i i a >s0 (1)

unde F(p) este transformarea Laplace a funciei f(t).

Observaie. Integrala din formula (1) se poate calcula cu ajutorul reziduurilor :

f(t)= ]),([Re kk

pt ppFez

unde kp sunt singulariti ale lui F(p) din semiplanul Re p

17.Aplicaii ale transformrii Laplace

1. Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaii/sisteme de ecuaii difereniale cu

coeficieni constani

Fie ecuaia:

)(.......)1(1)( tfyayay n

nn

cu condiiile iniiale:

1)1(

1

'

,0 )0(,,.........)0()0( nn yyyyyy

Se cere determinarea funciei necunoscute y=y(x), x>0, de clas C n [0,], care s fie

soluie a ecuaiei difereniale i s satisfac condiiile iniiale. Problema astfel formulat

reprezint o problem Cauchy pentru ecuaia diferenial de mai sus.

n ipoteza c c f(t) este definit pe [0,] i are imagine, aplicnd transformarea

Laplace se obine :

))](([)](.......[ )1(1)( ptfLpyayayL n

nn

sau

))](([)]([.......)]([)]([ )1(1)( ptfLpyLapyLapyL n

nn

Aplicnd propoziia 5 se obine:

)0(.......)0()0()]([)]([ 121)( nnnnn yypyppyLppyL

..

)0(.........)0()0()]([][ )1(21)( kkkkk yypyppyLpyL

..

)0()]([][ ypypLyL

Notnd

ypyL )]([ i )()]([ pFtfL

se obine:

)()(......).........().......( 11212

1

1

0

1

1 pFyapyapapyapapy nnnnn

n

nn

Cu notaiile:

11

2

1

1

0

2

1

.........)........()(

..........)(

nn

nn

n

nn

yapapypQ

apappP

relaia de mai sus devine:

)()()( pFpQpPy

de unde

)]()([)(

1pQpF

pPy

Soluia ecuaiei este

)]([)( 1 pyLty

)(1

)()(

pK

pFpY , ceea ce nseamn c ))(()( 1 pYLty

18. Serii Fourier

Funciile periodice constituie una din clasele de funcii care datorit proprietilor lor

intervin n diverse probleme teoretice i practice.Un exemplu de reprezentri i studiu al

acestor funcii l constituie dezvoltarea n serie Fourier.n mai multe cazuri dezvoltarea unei

funcii n serie Fourier este mai convenabil dect dezvoltarea n serie Taylor.Aceasta evident

i din considerente c pentru dezvoltarea n serie Taylor a unei funcii se cere ca funcia s fie

indefinit derivabil lucru care nu se cere n cazul seriilor Fourier.Pe de alt parte termenii unei

serii Fourier sunt funcii periodice cu care putem descrie fenomenele oscilatorii. O alt calitte

a seriilor Fourier este i aceea c termenii si au proprietatea de ortogonalitate . ntre

dificultile ce se ntlnesc n studiul seriilor Fourier este aceea c seria Fourier asociat unei

funcii periodice nu converge ntotdeauna ctre funcia periodic respectiv.

Definiie. O funcie f:RR se numete periodic dac *)( RT astfel nct

Rx)( , ).()( xfTxf

Exemple. Funcia constant are ca perioad orice numr. Funciile sinx i cos x au

perioadele 2, 4, 6,

Observaie. Avnd n vedere c orice multiplu ntreg de T (kT, k Z ) este de

asemenea perioad pentru f, cea mai mic perioad pozitiv T>0 se numete perioada

principal a funciei f.

Propoziie. Dac )(xf este periodic de perioad T, atunci )( xf este periodic de

perioad T/.

Exemplu. Funciile sin x i cos x sunt periodice, de perioad 2, funciile sin nx i cos

nx au perioada 2/n, iar perioada comun a funciilor {sin nx, cos nx} Nn este 2/.

Propoziie. Fie f:RR periodic de perioad T, integrabil pe R, atunci R)(

avem:

TTdxxfdxxf

0)()(

Definiie. Se numete serie trigonometric, o serie de forma:

)sincos(2 1

0 kxbkxaa

k

kk

unde kk baa ,,0 sunt numere reale.

Propoziie. Dac f:RR este o funcie integrabil pe R, periodic de perioad 2, care

poate fi reprezentat printr-o serie trigonometric

)sincos(2

)(1

0 kxbkxaa

xfk

kk

atunci coeficienii kk baa ,,0 se calculeaz cu formulele :

2

0

0 ,)(1

dxxfa

2

0

,cos)(1

nxdxxfan

2

0

sin)(1

nxdxxfbn

Definiie. Seria trigonometric a funciei )(xf ai crei coeficieni se calculeaz cu

ajutorul formulelor de mai sus se numete serie Fourier.

Observaie. innd seama de faptul c integrala unei funcii periodice de perioad 2

este aceeai pe orice interval de lungime 2, coeficienii kk baa ,,0 pot fi calculai i astfel :

,)(1

0 dxxfa ,cos)(1

nxdxxfan nxdxxfbn sin)(1

Seriile Fourier a unei funcii pare i a unei impare

1. Fie f(x) o funcie de variabil real, par, periodic de perioad 2. Avem :

f(-x)=f(x)

0-

2( )a f x dx ,

0

2( )cosna f x nxdx

Deci o o funcie par are seria Fourier: 1

1cos

2 ka ak kx

2 Fie acum f(x) o funcie real, impar,periodic de perioad 2.

Avem : f(-x)=-f(x) ,

a0=0 , an=0 , bn=0

2( )sinf x nxdx

seria Fourier a unei funcii impare este

1

sinkk

b kx

Seria Fourier unei funcii periodice de perioad T

Am studiat pn acum funciile cu perioad 2.n aplicaii intervin adesea fenomene periodice

reprezentate prin funcii periodice cu perioada oarecare T.

f(x+T)=f(x)

Prin schimbare de variabil

12

2

Tx

T ;

2; x

T

obinem 2

Tf F unde F() este o funcie periodic 2. ntr-adevr avem

2 22 2 2

T T TF F f f T f

Deci toate rezultatele obinute pentru funciile periodice cu perioada 2 rmn adevrate

pentru funciile periodice cu perioad oarecare.

ak=2

0

1cosF k d bk=

2

0

1sinF k d

sau revenind la variabila x

0

1

2( ) cos sin

2k k

k

aF x f x a k x b k x

T

unde am notat 2

T

Pentru a calcula coeficienii seriei n integralele care intervin, efectum schimbarea de

variabil:

2x

T

2d

T

a0=0 0

1 2 2 2( )

T T

F x dx f x dxT T T

ak=2

0

4( )cos

T

f x k xdxT

,bk=0

2( )sin

T

f x k xdxT

Dac f(x) este o funcie par, obinem n acelai mod : 01

1( ) cos

2k

k

f x a a x

cu bk=2

0

4( )sin

T

f x k xdxT

Transformata Fourier

Fie f : R R o funcie care nu este periodic. Funcia f nu poate fi reprezentat

printr-o serie Fourier pe axa real.

Teorem. Dac funcia f : R R ndeplinete urmtoarele condiii :

a) f ese monoton pe poiuni ;

b) f este mrginit ;

c) f este continu, avnd cel mult un numr finit de puncte de

discontinuitate de prima spe ;

d) n oricare punct de discontinuitate, valoarea funciei se calculeaz

astfel :

2

)0()0()(

fff

e) f este absolut integrabil pe R,

atunci funcia )(xf poate fi reprezentat astfel :

dtdetfxf xti )()(2

1)(

care se numete foma complex a integralei Fourier a funciei )(xf .

Dac notm:

dtetfF ti)(2

1)(

atunci

deFxf xi)(2

1)(

Definiie. Funcia )(F se numete transformata Fourier (direct) a funciei )(xf , iar

)(xf se numete inversa transformatei Fourier.

Dac funcia )(xf este par, se obine :

0

cos)(2

)( tdttfFc

xdFxf c cos)(2

)(0

Definiie. Funcia )(cF se numete transformata Fourier prin cosinus a funciei

)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin cosinus.

Dac funcia )(xf este impar, se obine :

0

sin)(2

)( tdttfFs , xdFxf s sin)(2

)(0

Definiie. Funcia )(sF se numete transformata Fourier prin sinus a funciei )(xf ,

iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin sinus.

Proprieti ale transformatei Fourier

Propoziia 1. Transformarea Fourier direct este liniar

RccxfFcxfFcxfcxfcF 2122112211 ,)],([)]([)]()([

Propoziia 2. Transformarea Fourier direct are proprietatea de translaie.

)]([)]([ xfFehxfF hi h R

Propoziia 3. Pentru orice Ra , are loc relaia :

)(||

1)]([

aF

aaxfF

Propoziia 4. Pentru orice numr real oarecare h, are loc relaia :

Propoziia 5. Pentru k ntreg i pozitiv are loc relaia:

dtetfti

d

Fd tikk

k

k

)(2

)(

Definiie. Se numete produs de convoluie al funciilor )(xf i )(xg , integrala :

dyygyxfxh )()()(

Propoziia 6. Tranfomarea Fourier a produsului de convouie a funciilor )(xf i

)(xg este dat de

)()(2])()([ GFdyygyxfF

unde )]([)( xfFF i )]([)( xgFG

REFERINE BIBLIOGRAFICE

1. Adams J . A., General aspects of modeling tumor growth and immune response in A

Survey of Models for Tumor-Immune System Dynamics, Birkhauser, 1997

2.Anderson RM , May RM. Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control,

Oxford University Press, Oxford, 1991.

3.Barbu V.,Ecuaii difereniale,Editura Junimea,Iai,1985.

4.Beltrami E.,Mathematical models for society and biology,Academic Press,New

York,2002..

5.Britton N.F.,Essential mathematical biology,Springer-Verlag,London,2003.

6.Boyce W.E.,R.C.Prima, Elementary differential equations,Wiley,New York,7 th

edition,2001.

7.Chicone C., Ordinary Differential Equations with Applications, Springer-Verlag,

Berlin, 1999.

8.Edelstein L.,Mathematical models in biology,SIAM,2005.

9.Eisen M. , Mathematical Methods and Models in the Biological Sciences, Prentice Hall ,

New Jersey, 1988.

10.Edwars C. ,Penney D., Differential Equations Computing and Modeling, Hardback,

2007.

11.Jones D.S. , B. D. Sleeman. Differential equations and mathematical biology,

Chapman & Hall/CRC Mathematical Biology and Medicine Series, Boca Raton, 2003.

12.Jones D.S.,B.D.Sleeman,Differential equations and mathematical biology,Chapman

and Hall,London,2003.

13.Keener J.,Snezd J.,Mathematical physiology ,Springer-Verlag,1998.

14.Taubes C.H.,Modeling differential equations in biology,Prentice Hall,2001 .

15. Perko L., Differential equations and dynamical systems, 3rd Ed., New York,

Springer-Verlag, Chapters 1 and 2.,2001 .16. Polyanin D., Zaitsev V. F., Handbook of Exact

Solutions for Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton,

2003 (2nd edition).

17. Preziosi L. , Cancer Modelling and Simulation, Chapman & Hall, 2005.

18.Murray J.,Mathematical biology II:Spatial models and biomedical

applications,Springer-Verlag,Berlin,2002.

19.Morosanu G.,Ecuaii difereniale,aplicatii,Editura Academiei,Bucureti,1989.

20.Zwillinger, D. , Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic

Press, 1997.

21. Wheldon T. E., Mathematical Models in Cancer Research, Adam Hilger, 1988.