suprafete curbe

SUPRAFEE CURBE

153

9. SUPRAFEE CURBE

Suprafeele curbe sunt suprafee generate prin micarea unor linii drepte sau curbe, numite generatoare, dup anumite legi. Clasificarea suprafeelor curbe, dup forma generatoarei : a) suprafee riglate : au generatoarea o linie dreapt (suprafeele cilindrice, conice, etc.); b) suprafee neriglate : au generatoarea o curb (suprafaa sferei, a torului, etc.).

9.1 Reprezentarea suprafeelor curbe Reprezentarea suprafeelor curbe, n epur, se face prin reprezentarea conturului

aparent, cu respectarea regulilor generale de vizibilitate i a criteriilor stabilite la poliedre. La reprezentarea suprafeelor curbe nchise se traseaz i axele de rotaie, de

simetrie i de centre. 9.1.1 Reprezentarea cilindrului. Punct pe suprafaa cilindric Suprafaa cilindric este generat de o dreapt mobil G (generatoare) care se

sprijin pe o curb deschis sau nchis (C), numit curb directoare, fiind paralel n timpul micrii cu o direcie dat (fig.7.1, a).

Fcnd analogia cu suprafaa prismatic, suprafaa cilindric este o suprafa prismatic cu un numr infinit de fee. Un corp cilindric se obine dac suprafaa cilindric se secioneaz cu dou plane care taie toate generatoarele, obinnd bazele cilindrului.

Dac generatoarea se rotete n jurul unei axe O1O2, cu care este paralel, iar curba directoare (C) este un cerc, se obine cilindrul de revoluie (fig.7.1, b). Bazele cilindrului de revoluie, cercuri cu centrele n O1 i O2, pot fi situate n dou plane paralele.

Un cilindru care are axa O1O2 perpendicular pe cercul de baz (C) i respectiv, pe baza cilindrului, este un cilindru circular drept (fig.7.1, c). Acesta este o suprafa proiectant, orice punct situat pe suprafaa cilindrului se proiecteaz pe cercul de baz (C).

Un cilindru este determinat n epur prin proiecia curbei directoare pe planul de proiecie i direcia cu care generatoarele sunt paralele, construindu-se apoi conturul aparent orizontal i vertical. n probleme, cilindrul este dat prin coordonatele centrelor cercurilor de baz i prin raza acestora.

n figura 9.2 se consider un cilindru oblic, cu bazele cercuri situate n planul orizontal de proiecie i ntr-un plan de nivel, avnd axa O1O2. Bazele se proiecteaz pe planul orizontal de proiecie ca cercuri cu centrul n o1 i o2, iar pe planul vertical de

G

a)

C

O1

O2

b) c)

O1

O2C

C

Fig.9.1 Generarea suprafeelor cilindrice

GEOMETRIE DESCRIPTIV

154

proiecie ca segmente egale cu diametrul cercurilor, cd Ox i c1d1 Ox.

Pentru reprezentarea conturu-lui aparent, n cele dou proiecii pe planele de proiecie, se duc tangente-le exterioare la baze : aa1 i bb1, n proiecia orizontal, respectiv cc1 i dd1, n proiecia vertical.

n general, n spaiu, un punct se afl pe suprafaa cilindric dac se afl pe o generatoare a cilindrului. n epur, pentru ca un punct s aparin unui cilindru, proieciile lui trebuie s se gseasc pe proieciile de acelai nume ale unei generatoare a cilindrului.

Fie dat proiecia orizontal m1 a unui punct M1 pe suprafaa cilindrului din figura 9.2. Proiecia vertical m1 va fi situat pe proiecia

vertical a generatoarei ce trece prin punctul m1. Prin punctul m1 se pot trasa dou generatoare, suprapuse, una pe faa vizibil 111 i una pe faa invizibil 221. Gsind proieciile verticale ale acestora, 111 i 221 i ridicnd o linie de ordine din proiecia orizontal m1, se gsesc dou proiecii verticale m1 i m2, m1 111, m2 221, ale celor dou puncte M1(m1,m1) i M2(m2,m2), care n proiecie orizontal se suprapun, m1 m2.

9.1.2 Reprezentarea conului. Punct pe suprafaa conic Suprafaa conic este generat de o dreapt mobil G (generatoare) care se sprijin

pe o curb deschis sau nchis (C), numit curb directoare i trece printr-un punct fix S (vrful conului) (fig.9.3, a). Cnd generatoarea depete vrful conului, se obine suprafaa conic cu dou pnze.

Prin analogie cu piramida, suprafaa conic este o suprafa piramidal cu un numr infinit de fee.

Ox

z

y

d

a

b

c

12

a1

a1'

d1

b1

c1 o2

o1 1121

m1=m2

m1'

m2'

b1'c1' d1'11' 21'o1'

c' 1' a' b' 2'd'

Fig.9.2 Punct pe suprafaa cilindric

G

a)

C

O

b) c)

O

V V V

[P]

Fig.9.3 Generarea suprafeelor conice

SUPRAFEE CURBE

155

n practic se utilizeaz numai una dintre pnzele suprafeei conice, numit con de revoluie i obinut prin deplasarea generatoarei n jurul unei axe OS, care trece prin vrful conului S, avnd curba directoare (baza) un cerc cu centrul n O (fig.9.3, b). Dac axa conului, OS, este perpendicular pe planul bazei se obine un con drept (fig 9.3, c).

Dac un con se secioneaz cu un plan [P] paralel sau nu cu baza lui, corpul delimitat de baz i aceast seciune plan se numete trunchi de con (fig 9.3, c).

Un con este determinat, n epur, prin proieciile curbei directoare i prin proieciile vrfului conului, construindu-se apoi i generatoarele care limiteaz conturul aparent, att n plan orizontal, ct i n plan vertical. n probleme, conul este dat prin coordonatele centrului cercului de baz, raza acestuia i coordonatele vrfului conului.

Conul oblic din figura 9.4 are baza un cerc cu centrul n O, situat n planul orizontal de proiecie i vrful, punctul oarecare V(v,v). n proiecia orizontal, conturul aparent este format din arcul de cerc ab, al bazei, vizibil i din generatoarele extreme sa i sb, tangente n a i b la baz. n proiecia vertical, conturul aparent este compus din proiecia vertical a bazei (diametrul frontal cd, suprapus pe axa Ox) i generatoarele sc i sd.

n proiecia orizontal vizibilitatea este evident, iar n proiecia vertical toate generatoarele care se sprijin pe arcul bazei cbd sunt vizibile, iar celelalte invizibile. Generatoarea sa este invizibil, iar generatoarea sb, vizibil.

Un punct aparine unei suprafee conice dac este situat pe o generatoare a acestei suprafee. Fie un punct N1, dat prin proiecia vertical n1, pe suprafaa conic din proiecia vertical (fig.9.4). Pentru determinarea proieciei orizontale n1, se traseaz generatoarea sn1, pe care este situat punctul, se gsete proiecia urmei orizontale a acesteia, 1 2 i se coboar o linie de ordine pn pe proiecia orizontal a bazei, unde se determin proieciile orizontale 1 i 2, ale urmelor generatoarelor. Unind vrful s cu urmele 1 i cu 2 se gsesc dou proiecii orizontale pentru proiecia vertical a generatoarei sn1, pe care ar putea fi situat proiecia orizontal a punctului N1. Problema are dou soluii : fie punctul N1(n1,n1) cu n1 1s, fie punctul N2(n2,n2) cu n2 2s, cu proieciile verticale suprapuse, n1 n2.

9.1.3 Reprezentarea sferei. Punct pe suprafaa sferic Sfera este definit ca locul geometric al punctelor egal deprtate de un punct fix,

numit centrul sferei. O suprafa sferic este generat de un cerc care se rotete n jurul uneia dintre axe. n tripla proiecie ortogonal o sfer cu centrul n (,,) se proiecteaz prin

conturul ei aparent, care este cte un cerc egal cu cercul generator (fig.9.5). Conturul aparent din planul vertical de proiecie, numit meridian principal, este un

cerc cu centrul n , de raz egal cu raza sferei i se obine prin secionarea sferei cu un plan de front [F], care trece prin centrul sferei.

Ox

z

y

d

a

c

1

2

o

n1'=n2'

n1

n2

c'2'=1'

a'b'd'

s

b

s'

Fig.9.4 Punct pe suprafaa conic


156

Conturul aparent din planul orizontal de proiecie se obine prin secionarea sferei cu un plan de nivel [N], dus prin centrul sferei i este un cerc cu centrul n , de raz egal cu raza sferei i se numete ecuator.

Cercul de contur aparent din planul lateral este tot un meridian i reprezint proiecia seciunii fcute, n sfer, de un plan de profil [P], dus prin centrul sferei.

n spaiu, ecuatorul i cele dou meridiane, sunt perpendiculare dou cte dou. Orice alte plane de front, de nivel sau de profil vor intersecta sfera dup cercuri de diferite diametre, care se vor proiecta, n epur, concentric cu proiecia meridianului principal, a ecuatorului, respectiv a cercului meridian din planul lateral. Un punct situat pe o suprafa sferic este definit prin proieciile lui, care sunt situate pe cercul de seciune determinat prin secionarea sferei cu un plan perpendicular pe

ax i care trece prin punctul respectiv (fig.9.5). Dac se cunoate proiecia vertical 1, a unui punct 1 de pe sfer, se duce prin 1 un plan de nivel [N1], care determin n sfer o seciune circular cu centrul n i de raz r1, proiectat pe planul orizontal n adevrat mrime. Proieciei 1 i corespund dou proiecii orizontale, 1 i 2, i deci i n proiecia vertical avem 1 2, proieciile verticale ale punctelor 1 i 2, situate pe sfer de o parte i de alta a cercului meridian. n mod similar, se procedeaz dac se cunoate proiecia orizontal a unui punct dublu, 3 4, situat pe sfer de o parte i de alta a cercului ecuator, folosind planul de front [F1] i obinnd n final, proieciile verticale 3 i 4 (fig.9.5).

9.2 Plane tangente la suprafee curbe

Planul tangent la o suprafa curb poate avea o infinitate de puncte comune cu suprafaa respectiv sau numai unul, n funcie de forma acelei suprafee.

Din multitudinea de probleme ce se pot pune n ce privete determinarea planelor tangente la suprafee curbe, n continuare se vor trata planele tangente duse printr-un punct pe suprafa i dintr-un punct exterior acesteia.

9.2.1 Plan tangent la o suprafa cilindric Planul tangent la suprafaa unui cilindru conine o generatoare a acestei suprafee i

tangenta la curba directoare n punctul n care generatoarea o intersecteaz. Planele tangente sunt paralele cu generatoarele suprafeei cilindrice.

Ox

z

y

F

1

2

'N' N"

"

P' F"

P

F1

r2

r2

N1' N1"

r 1

2'=1' 1" 2"3"

4"4'

3'

4=3

r1

Fig.9.5 Tripla proiecie ortogonal a sferei. Punct pe

suprafaa sferic

SUPRAFEE CURBE

157

a) Plan tangent ntr-un punct pe suprafaa unui cilindru Fie cilindrul oblic, cu bazele cercuri situate n planul orizontal de proiecie i

ntr-un plan de nivel i un punct M(m,m) pe suprafaa lui lateral (fig.9.6). Pentru determinarea urmelor planului tangent n punctul M la suprafaa cilindric se

traseaz generatoarea (12,12), care trece prin M i care va fi coninut de planul tangent [T]. Urma orizontal T a planului tangent este tangent bazei cilindrului n punctul (1,1), urma orizontal a generatoarei 12. Intersecia urmei orizontale T cu axa Ox determin punctul Tx, un punct al urmei verticale T a planului tangent. Pentru a afla nc un punct al acestei urme, se determin urma vertical a generatoarei 12 sau urma vertical V(v,v) a orizontalei G(g,g) a planului [T], ce trece prin punctul M, T = Tx v.

b) Plan tangent la cilindru dintr-un punct exterior cilindrului n figura 9.7 se consider un cilindru oblic, cu bazele cercuri situate n planul

orizontal de proiecie i ntr-un plan de nivel i un punct M(m,m), exterior cilindrului. Dac se cere construirea unui plan tangent la cilindru prin punctul M, problema are

dou soluii. Pentru rezolvare, se duce prin M(m,m) dreapta D(d,d) paralel cu generatoarele cilindrului i se determin urma ei orizontal H(h,h). Planul tangent la cilindru va conine aceast dreapt, deci urmele orizontale T1 i T2 trec prin urma h i sunt tangente la baza cilindrului din planul orizontal de proiecie, n punctele 1 i 2. Pentru determinarea urmei verticale T1 a planului tangent [T1], se folosete urma vertical a dreptei D sau urma vertical V1(v1,v1) a orizontalei G(g,g) a planului tangent, trasat prin punctul M, T1 = T1x v1. Analog, se poate construi i urma T2.

9.2.2 Plan tangent la o suprafa conic Planul tangent la o suprafa conic trece prin vrful conului, conine o generatoare a conului i tangenta la curba directoare n punctul n care generatoarea o intersecteaz. a) Plan tangent ntr-un punct pe suprafaa unui con Se consider dat conul cu vrful n punctul S(s,s) i baza un cerc situat n planul orizontal de proiecie (fig.9.8).

Ox

z

y

1

2

o2

o1m

m'

o2'

1' o1'

2'

v

v'

g

g'

T'

T

TxO

x

z

y

1

2

o2

o1

m

m'

o2'

o1'

h

d'g'

h'

dT2

T1

T1x

g

v1'

v1

T1'

Fig.9.6 Plan tangent n punctul M(m,m) Fig.9.7 Plan tangent la cilindru dintr-un pe suprafaa cilindrului punct M(m,m), exterior cilindrului


158

Planul tangent dus printr-un punct N(n,n) de pe suprafaa conului va conine generatoarea 1S(1s,1s) pe care este situat punctul. Astfel, urma orizontal T este tangent n punctul 1 la curba directoare. Pentru trasarea urmei verticale T se determin urma vertical a generatoarei 1S sau se gsete urma vertical v a unei orizontale G(g,g) a planului tangent [T], care trece prin punctul N, T = Tx v.

b) Plan tangent la con dintr-un punct exterior conului Fie conul circular oblic cu vrful n punctul S(s,s), baza n planul orizontal de proiecie i un punct N(n,n), exterior conului (fig.9.9). Planul tangent conului dus prin punctul N trece prin vrful S(s,s) i este tangent la cercul de baz. Se traseaz dreapta D(d,d) prin punctul N i prin vrful conului i se determin urma orizontal H(h,h) a acestei drepte. Din punctul N se pot duce dou plane tangente la con, a cror urme orizontale, T1 i T2, trec prin urma orizontal h i sunt tangente la baz n punctele 1 i 2. Pentru trasarea urmei verticale T1 se determin urma vertical a dreptei D sau se utilizeaz urma vertical V(v,v) a orizontalei G(g,g) a planului [T1], trasat prin punctul N, T1 = T1x v. Analog, se procedeaz i pentru urma T2.

9.2.3 Plan tangent la o suprafa sferic Planul tangent la o suprafa sferic are un punct comun cu aceasta i este

perpendicular pe raza care trece prin punctul de tangen. a) Plan tangent ntr-un punct pe suprafaa sferei Se consider o sfer cu centrul n (,) i un punct M(m,m) situat pe suprafaa

ei (fig.9.10). Pentru a se trasa urmele planului [T] tangent la sfer, dus prin punctul M, se folosete o orizontal D(d,d) a acestui plan. Deoarece planul tangent este perpendicular pe raza M(m,m), proiecia orizontal d a orizontalei se traseaz prin punctul m, perpendicular pe raza m. Se determin urma vertical V(v,v) a orizontalei i prin proiecia vertical v se traseaz urma vertical T a planului tangent, perpendicular pe raza m. Urma orizontal T trece prin Tx i este paralel cu proiecia orizontal d a orizontalei (sau perpendicular pe raza m).

Ox

z

y

1

o

n'

n

1'

s

s'

TTx

g

v

v'g'T'

o' Ox

z

y

2

O

n'

n

s

s'

T1

g

v

g'

O'T1xT2

1

d

v'

T1'

h'

h

d'

Fig.9.8 Plan tangent n punctul N(n,n) Fig.9.9 Plan tangent la con dintr-un pe suprafaa conului punct N(n,n), exterior conului

SUPRAFEE CURBE

159

b) Plan tangent la sfer dintr-un punct exterior ei Fie sfera cu centrul n (,) i un punct M(m,m) exterior ei (fig.9.11).

Problema trasrii unui plan tangent la suprafaa sferic prin punctul M(m,m) are o infinitate de soluii.

n continuare, se vor trasa dou astfel de plane, folosind tangentele duse din punctul M(m,m) la seciunea circular determinat n sfer de planul de nivel [N], care trece prin acest punct.

n epur, seciunea circular determinat de planul de nivel se proiecteaz n adevrat mrime pe planul orizontal de proiecie. Tangentele duse din punctul m la acest cerc sunt orizontalele D1(d1,d1) M1(m1,m1) i D2(d2,d2) M2(m2,m2). Planele tangente [T1] i [T2] au urmele verticale T1 i T2 perpendiculare pe razele 1, respectiv 2 i trec prin urmele verticale v1 i v2, ale celor dou orizontale. Urmele orizontale T1 i T2 se traseaz prin T1x i T2x i sunt paralele cu proieciile orizontale ale orizontalelor tangente, d1 i respectiv d2.

9.3 Seciuni plane n suprafee curbe Seciunea plan ntr-o suprafa curb este, n general, o curb plan, definit de

punctele de intersecie ale generatoarelor cu planul secant. Determinarea seciunii plane se face utiliznd metodele de la determinarea seciunilor plane n poliedre, alegnd un numr suficient de generatoare, n special cele pe care sunt situate punctele de maxim, de inflexiune, de schimbare a vizibilitii, etc. Punctele astfel determinate se vor uni printr-o linie curb continu.

9.3.1 Seciuni plane n cilindri n funcie de poziia relativ plan-cilindru, seciunea plan ntr-un cilindru circular

poate fi : - un paralelogram dac planul secant este paralel cu axa cilindrului sau o conine

(fig.9.12, a);

Ox

z

y

1

2

'

2'

v1

1'

v2

v1'v2'm'

N'=d1'=d2'

md2

d1

T2'

T1'

T1xT2x

T1

T2

Ox

z

y

'

v

v'm' N'=d'

m

d

T'

TxT

Fig.9.10 Plan tangent ntr-un punct Fig.9.11 Plan tangent la sfer dintr-un M(m,m), pe suprafaa sferei punct M(m,m),exterior sferei


160

- un cerc - dac planul secant este paralel cu planul bazei (fig.9.12, b); - o elips sau o poriune de elips dup cum planul secant intersecteaz toate

generatoarele cilindrului (fig.9.12, c) sau doar o parte dintre ele (fig.9.12, d).

a) Seciune plan n cilindru, determinat de un plan oarecare

Fie un cilindru circular oblic cu baza inferioar n planul orizontal de proiecie i un plan oarecare [P], care l secioneaz (fig.9.13). Seciunea plan este o elips i se gsete determinnd punctele n care generatoarele intersecteaz planul secant. Se folosesc plane auxiliare de capt [Q1] [Q4], duse prin generatoarele de contur aparent vertical i orizontal (cele care trec prin punctele 1, 2, 3, i 4). Generatoarele din punctele 1 i 2 determin punctele A(a,a) i B(b,b) ale elipsei de seciune (punctele n care proiecia vertical a elipsei i schimb vizibilitatea), iar generatoarele din punctele 3 i 4 determin punctele C(c,c) i D(d,d) ale seciunii (punctele n care proiecia orizontal a elipsei i schimb vizibilitatea).

Pentru o determinare mai exact a elipsei de seciune pot fi intersectate i alte generatoare cu planul secant [P].

b) Seciune plan ntr-un cilindru frontal, determinat de un plan de capt Seciunea plan fcut de planul de capt [P], perpendicular pe generatoarele

cilindrului frontal, cu baza inferioar n planul orizontal de proiecie, se numete seciune normal i este o elips (fig.9.14).

Planul secant fiind proiectant fa de planul vertical de proiecie, dac se consider un numr oarecare de generatoare, convenabil alese, proiecia vertical a seciunii [mrnq] rezult direct prin punctele n care acestea intersecteaz urma vertical P a planului de capt. Ducnd liniile de ordine corespunztoare se obine i proiecia orizontal

d)c)a)

O1

O2

[P] O1

O2

[P]

b)

O1

O2

b)

O1

O2

[P]

Fig.9.12 Seciuni plane n cilindri

o2'

v12'=h2'O

x

z

y

1 2

o2

o1 b

1'=h1' o1'

Q1'

Q1Q3

Q4Q2

3

4

h1h3

h4

h2

3'=h3' 4'=h4'

v2'

v4v3

d

a

c

v1'v3'v4'd'

b'v2

a'

c'Px

P'Q2'Q3' Q4'

P

Fig.9.13 Seciune plan n cilindru, determinat de un plan oarecare [P]

SUPRAFEE CURBE

161

a elipsei de seciune [mrnq]. Pentru a se trasa elipsa, s-au mai luat patru generatoare intermediare celor de contur aparent, care trec prin punctele E, G, F i I, determinnd nc patru puncte ale elipsei 1, 2, 3 i 4.

Elipsa de seciune se proiecteaz deformat pe cele dou plane de proiecie. Conturul seciunii eliptice s-a trasat respectnd vizibilitatea cilindrului. Pentru a afla adevrata mrime a seciunii, se rabate planul secant [P], mpreun cu seciunea, pe planul orizontal de proiecie, obinnd elipsa [m0r0n0q0]. Seciunea normal ntr-un cilindru frontal servete la trasarea desfuratei cilindrului (subcapitolul 9.5.1)

c) Seciune plan ntr-un

cilindru drept Se consider cilindrul

circular drept din figura 9.15 i un plan de capt [P], care l secioneaz. Seciunea plan obinut este o elips i se proiecteaz pe planul orizontal de proiecie suprapus peste baza cilindrului, pe planul vertical sub forma segmentului 15, suprapus pe urma vertical P a planului de capt, iar pe planul lateral dup o elips cu axele 37 i 15. n toate cele trei proiecii, elipsa de seciune se proiecteaz deformat, iar pentru a afla mrimea ei real, se rabate planul de capt, mpreun cu seciunea, pe planul vertical de proiecie, obinnd elipsa cu axele 1050 i 3070.

9.3.2 Seciuni plane n conuri Dup poziia relativ pe care o are un plan secant fa de conul pe care l

secioneaz, seciunea plan obinut poate avea urmtoarele forme : - un triunghi dac planul secant conine vrful conului (fig.9.16, a); - un cerc sau o elips dup cum planul secant este paralel (fig.9.16, b), respectiv

nclinat fa de planul bazei (fig.9.16, c) i intersecteaz toate generatoarele conului; - o parabol dac planul secant este paralel cu o generatoare a conului

(fig.9.16, d) - o hiperbol dac planul secant este paralel cu un plan ce trece prin vrful

conului (fig.9.16, e).

x1 2

o2o1

i

m'

o2'

2'=4'

o1'

1'=3'

a

df

b

gc

e

O

m0m

n'

n

q'=r'

q

n0

q0

43r r0

1020

40 30

d'=c'a'b'e'=i'

g'=f ' Px

P'

P

Fig.9.14 Seciune plan ntr-un cilindru frontal, determinat de un plan de capt [P]

Ox

z

y

2'=8'

o1=o2a

o2"

1' o1'2"

3"

o1"

bc

d

e

fi g

3'=7'

4'=6' 5' 6"5"

4"

7"

1"8"

1020

30

40

50

6070

80

P0

Px

P

o2'

Fig.9.15 Seciune plan ntr-un cilindru drept, determinat de planul de capt [P]


162

tiind c suprafaa conic este alctuit din dou pnze (de o parte i de alta a vrfului), Dandelin a emis urmtoarea teorem n ce privete seciunile n conuri : seciunea fcut de un plan ntr-un con este o elips, o hiperbol sau o parabol, dup cum planul de seciune taie o singur pnz a conului, ambele pnze ale acestuia sau este paralel cu un plan tangent la con.

a) Seciune eliptic n con Fie conul circular oblic cu baza n planul orizontal de proiecie, secionat de un plan

oarecare [P] (fig.9.17). Seciunea eliptic este determinat de punctele n care generatoarele conului intersec-teaz planul secant [P]. Astfel, se utilizeaz planele auxiliare de capt [Q1] [Q4] duse prin generatoarele care definesc contu-rul aparent n cele dou proiecii : 1S i 2S, n proiecia orizontal i 3S, 4S, n proiecia vertical. Se obin, mai nti n proiecia orizontal, punctele a, b, c i d, de pe conturul orizontal al elipsei de seciune (h1v1 1s = a, h2v2 2s = b, h3v3 3s = c, h4v4 4s = d), iar apoi cu linii de ordine corespunztoare i proieciile verticale a, b, c, d (a 1s, b 2s, c 3s, d 4s). Acestea sunt i punctele care delimiteaz conturul vizibil al elipsei n cele dou proiecii : cad, pentru proiecia orizontal i abd, pentru proiecia vertical. Pentru trasarea mai exact a elipsei se pot intersecta i alte generatoare cu planul [P], obinnd alte puncte de pe conturul seciunii eliptice.

c)a)

O

[P]

b)b)

V V

[P]

O

V

[P]

O

d)

O

[P]

V

e)

O

[P]

V

Fig.9.16 Seciuni plane n conuri

Ox

z

y

1 2O

s

s'

b

Q1'

Q1

Q3

Q4

Q2

h1

h3h4

h2

3'=h3'

v2'

c

v1'

d' b'

Q2'

3

4

a

c'a'

d

P

1'=h1'4'=h4' 2'=h2'

v2v3

v4v1

v3'v4'

Px

P'

Fig.9.17 Seciune eliptic n con circular oblic, determinat de un plan oarecare [P]

SUPRAFEE CURBE

163

O seciune eliptic se poate obine i prin secionarea unui con circular drept, avnd baza n planul orizontal de proiecie, cu un plan de capt. Condiia este ca unghiul de nclinare a planului secant fa de planul orizontal s fie mai mic dect unghiul dintre generatoarele conului i planul curbei directoare (fig.9.18).

n acest caz, elipsa de seciune este dat n proiecia vertical de segmentul a1b1 (axa mare a elipsei), suprapus peste urma vertical P a planului secant, punctele A1(a1,a1) i B1(b1,b1) fiind punctele de intersecie dintre generatoarele SA i SB cu acest plan. n proiecia orizontal, seciunea este elipsa cu axele a1b1 i mn. Axa mic a elipsei MN(mn,mn) se obine cu ajutorul planului auxiliar de nivel [N] dus la jumtatea segmentului a1b1, adic prin centrul elipsei din proiecia vertical i reprezint punctele de intersecie dintre planul [P], suprafaa conic i planul de nivel. Se procedeaz astfel : se intersecteaz planul [N] cu suprafaa conic i se obine cercul de raz r1, cu centrul n centrul bazei (se proiecteaz pe planul orizontal n adevrat mrime), se determin dreapta de capt MN(mn, mn), de intersecie dintre planul [N] i planul [P] i apoi se intersecteaz cele dou elemente rezultate : cercul i dreapta de capt.

Proieciile orizontale c1 i d1 de pe conturul orizontal al elipsei de seciune se determin cu ajutorul proieciei laterale a conului, fiind punctele de tangen a elipsei cu conturul aparent din planul lateral, fiind situate pe generatoarele sc i sd.

Alte puncte ale seciunii eliptice se determin ducnd alte plane de nivel. Cu ajutorul planului [N1] se determin punctele E(e,e,e) i F(f,f,f) de pe conturul elipsei, conform metodologiei explicate mai sus.

Adevrata mrime a seciunii se poate determina prin rabaterea planului de capt [P], mpreun cu seciunea, pe planul orizontal de proiecie. Aceasta este elipsa cu axele a10b10 i m0n0.

b) Seciune parabolic n con Se consider conul circular drept cu baza n planul orizontal de proiecie i planul

de capt [P], paralel cu generatoarea SA a conului.

Ox

z

y

a'

b1'

s

s' s"

a1 b1

d1

c1

c1'=d1'

N1'

a1"

c1"b1"

d1"

c

b

d

r1

r1

nf

e m

n'=m'e'=f 'a1'

N'

a10b10

c10

d10 n0 f 0

e0m0

P'

P

Px

a

b' a"=b"d" c"

Fig.9.18 Seciune eliptic n conul circular drept, determinat de un plan de capt [P]


164

Seciunea determinat de acest plan n con este o parabol i se observ c planul secioneaz numai o pnz a conului, avnd unghiul de nclinare fa de planul orizontal egal cu unghiul dintre generatoarea conului i planul bazei (fig.9.19).

Proiecia vertical a parabolei este confundat cu urma vertical P a planului. Urma ori-zontal P intersec-teaz baza conului n punctele (1,1) i (2,2), care aparin

parabolei. Vrful parabolei B1(b1,b1) este dat de intersecia generatoarei SB cu planul secant [P]. Punctele C1(c1,c1) i D1(d1,d1), de intersecie a generatoarelor SC i SD cu planul [P], sunt determinate cu ajutorul proieciei laterale a conului, c1 i d1 fiind punctele de tangen a proieciei laterale a parabolei cu conturul aparent lateral al conului.

Alte puncte utile pentru trasarea parabolei, cum sunt punctele M(m,m) i N(n,n) se determin cu ajutorul planului de nivel [N], ca fiind punctele de intersecie dintre dreapta de capt MN i cercul de seciune rezultat n urma interseciei conului cu planul de nivel (intersecia este vizibil pe proiecia orizontal).

Seciunea parabolic se proiecteaz deformat pe cele trei plane de proiecie, iar pentru determinarea mrimii ei reale se rabate planul de capt, mpreun cu seciunea, pe planul orizontal, obinnd parabola 10b1020.

c) Seciune hiperbolic n con O seciune hiperbolic se obine prin secionarea unui con circular drept, cu baza n

planul orizontal de proiecie, cu un plan de capt [P] paralel cu un plan [Q], care trece prin vrful conului (fig.9.20).

Se observ c planul [P] intersecteaz ambele pnze ale conului, genernd dou hiperbole ca seciune. Acestea au vrfurile n punctele A1(a1,a1) i B1(b1,b1), n care generatoarele SA(sa,sa) i SB(sb,sb) intersecteaz planul secant [P].

Punctele (1,1), (2,2), (3,3) i (4,4) rezult ca intersecia planului [P] cu cercurile bazelor celor dou pnze ale conului i aparin hiperbolelor.

Punctele C1(c1,c1) i D1(d1,d1) de intersecie a generatoarelor SC, respectiv SD, cu planul [P] se determin fie prin construirea proieciei laterale a conului, fie ca n figur, ducnd un plan auxiliar de nivel [N1], care secioneaz conul dup un cerc.

Planul [Q] secioneaz conul dup generatoarele SM(sm,sm) i SN(sn,sn). Urma orizontal P a planului secant [P] intersecteaz n punctele m1 i n1 tangentele la curba generatoare, duse prin punctele m i n.

Ox

z

y

1=10

2=20

m

P' s"

a'

b1'

b1

d1

c1

c1'=d1'c1"

b1"

d1"

c

b

d

c10

P

a

m"n"

1"2" a"=b" c"

s'

m'=n'1'=2'

N'

n

sb10

d10n0

m0

Pxd"

Fig.9.19 Seciune parabolic n conul circular drept,

determinat de un plan de capt [P]

SUPRAFEE CURBE

165

Asimptotele hiperbolelor din proiecia orizontal trec prin punctele m1 i n1 i au direcia paralel cu generatoarele sm i sn. Intersecia lor reprezint centrul hiperbolei (,). Alte puncte ale hiperbolelor de seciune se gsesc ducnd plane de nivel ajuttoare; cu planul [N2] se determin punctele (7,7) i (8,8), iar cu planul [N3], punctele (5,5) i (6,6).

Adevrata mrime a seciunilor hiperbolice se determin prin rabatere pe planul orizontal de proiecie. Odat cu hiperbolele s-au rabtut i asimptotele, prin rabaterea centrului hiperbolelor (,) n 0, punctele m1 i n1 fiind n planul orizontal.

9.3.3 Seciuni plane n sfer Seciunea fcut de un plan ntr-o sfer este un cerc. Punctele seciunii circulare se

determin cu ajutorul unor plane auxiliare, de regul de nivel sau de front, care intersecteaz sfera dup cercuri paralele cu cercul meridian sau cu ecuatorul, iar planul secant dup drepte particulare. Elementele rezultate se intersecteaz la rndul lor dup puncte, care aparin cercului de seciune al sferei.

a) Secionarea sferei cu un plan oarecare Fie sfera cu centrul n punctul (,) i planul oarecare [P]. Seciunea plan

determinat de planul [P] n sfer este un cerc i se proiecteaz pe cele dou plane de proiecie sub forma unor elipse (fig.9.21).

Planul de nivel [N] dus prin centrul sferei, N, secioneaz sfera dup cercul ecuator (proiecia orizontal a sferei) i intersecteaz planul [P] dup orizontala G(g,g), iar acestea la rndul lor se intersecteaz n punctele (3,3) i (4,4), determinnd axa mare a

Ox

z

y

c1'=d1'

3'=4'

s

s'

a b

c

d

'

n16

5

a1a10

60

50

n

Q

m1

Pm

4

N3'

N1'N2'7'=8'

3

b18

c1

d1

7

1=10

2=20

b1'

a1'

b10

80

70

d10

c10

40

30

5'=6'

Q'P'

Fig.9.20 Seciune hiperbolic n conul circular drept, determinat de un plan de capt [P]


166

elipsei din proiecia orizontal, 34. Planul de front [F] dus prin centrul sferei, F, secioneaz sfera dup cercul meridian (proiecia vertical a sferei) i intersecteaz planul [P] dup frontala F(f,f), iar din intersecia lor rezult punctele (1,1) i (2,2), care determin axa mare a elipsei de seciune din proiecia vertical, 12.

Pentru determinarea altor puncte aparinnd elipsei s-au mai folosit alte dou plane de nivel [N1] i [N2], echidistante fa de centrul sferei, astfel nct acestea determin n sfer seciunile circulare c1 i c2, a cror proiecii orizontale sunt confundate. Orizontalele G1(g1,g1) i G2(g2,g2) determin la intersecia cu cercul c1 c2, punctele 5, 6, respectiv 7, 8 ale seciunii.

Punctele 1, 2 i respectiv 3, 4 limiteaz poriunile vizibile pentru cele dou proiecii ale seciunii n sfer.

b) Secionarea sferei cu un plan proiectant Dac sfera este secionat cu un plan de capt [Q], cercul de seciune se determin

n proiecia vertical direct prin segmentul 12, suprapus pe urma vertical Q, dat de punctele n care planul intersecteaz cercul meridian (fig.9.22). Acesta este diametrul cercului de seciune i este n adevrat mrime, fiind paralel cu planul vertical de proiecie, iar n proiecia orizontal 12 reprezint axa mic a elipsei dup care se proiecteaz cercul de seciune. Axa mare a elipsei, 56, este situat pe dreapta de capt D1(d1,d1), care trece prin centrul O(o,o) al seciunii (1o = o2), iar pentru determinarea ei n proiecia orizontal, se utilizeaz planul de nivel [N1], dus prin punctul O, o N1, care secioneaz sfera dup cercul c, d1 c = 5, d1 c = 6.

Pentru trasarea elipsei n proiecia orizontal sunt importante i punctele de pe conturul cercului ecuator, unde curba de seciune i schimb vizibilitatea. Astfel, se traseaz planul de nivel [N], dus prin centrul sferei, N, i se determin punctele 3 i 4 pe proiecia orizontal a conturului aparent al sferei, prin intersecia acestuia cu dreapta de capt d, rezultat ca intersecia planului de capt [Q] cu planul de nivel.

Ox

z

y

'v'

2'

=N'=g'

h

h'=v

1'

f 'P'

N1'=g1'

N2'=g2'

v1'

v1

v2'

v2

21

35

6

48

F=f

c1=c2

7

6'

4'

8'

5'

3'

7'

g g1

g2

P

Px

=

Ox

z

y

'

d'=4'=3'

4

N'

1'

Q'

N1'

21

35

Q

Qx

2'

d1'=6'=o'=5'

==

6d d1

c

o

Fig.9.21 Secionarea sferei cu Fig.9.22 Secionarea sferei cu un plan oarecare [P] un plan de capt [Q]

SUPRAFEE CURBE

167

9.4 Intersecia suprafeelor curbe cu drepte Problema determinrii punctelor de intersecie dintre o dreapt i o suprafa curb

se rezolv ducnd prin dreapt un plan auxiliar. Punctele de intersecie dintre dreapta dat i conturul seciunii determinate de planul auxiliar sunt punctele cutate.

Cnd corpurile sunt situate n poziii particulare fa de planele de proiecie, punctele n care o dreapt intersecteaz un astfel de corp pot s rezulte direct, fr a mai utiliza plane auxiliare.

9.4.1 Intersecia unui cilindru cu o dreapt Fie cilindrul circular oblic cu baza n planul orizontal de proiecie i dreapta D(d,d)

(fig.9.23). Pentru determinarea punctelor n care dreapta intersecteaz cilindrul, se poate aplica una din cele dou metode studiate la intersecia poliedrelor cu drepte (avnd n vedere c cilindrul este o prism cu un numr infinit de muchii i respectiv de fee).

Dac se folosete metoda seciunilor transversale, seciunea determinat n cilindru de planul auxiliar este o elips, iar exactitatea determinrii punctelor de intersecie este influenat de precizia de construire a elipsei de seciune. Astfel, se prefer metoda seciunilor longitudinale.

Planul auxiliar dus prin dreapta D(d,d), paralel cu generatoarele cilindrului, este determinat de dou drepte concurente n punctul M(m,m), M D, dreapta D i o dreapt (,), paralel cu generatoarele cilindrului. Urma orizontal P, P = h h1, a planului secant intersecteaz cercul bazei cilindrului dup segmentul 12, iar suprafaa lateral a cilindrului dup generatoarele (13,13) i (24,24).

Dreapta D intersecteaz cilindrul n punctele (,) i (,), care rezult ca puncte de intersecie dintre proieciile dreptei i paralelogramul de seciune.

Vizibilitatea dreptei n cele dou proiecii este dat de vizibilitatea generatoarelor (1,1) i (2,2).

Ox

z

y

1

2

o2

o1

m

m'

o2'

1' o1'

4'

'

3

4

d

3'

d' '

''

2'h' h1'

h

h1

P

Ox

z

y1

2o

n'

n

v

v'

1'

d

d' '''

2'h' h1'

hh1

P

o'

Fig.9.23 Intersecia unui cilindru circular oblic Fig.9.24 Intersecia unui con circular

cu o dreapt oarecare D(d,d) oblic cu o dreapt oarecare D(d,d)


168

9.4.2 Intersecia unui con cu o dreapt i n cazul interseciei dintre un con i o dreapt, metoda care d rezultatele cele

mai exacte este metoda seciunilor longitudinale. Punctele n care dreapta D(d,d) intersecteaz conul circular oblic, cu baza n planul

orizontal de proiecie, din figura 9.24, se determin ducnd un plan auxiliar prin dreapt i prin vrful V(v,v) al conului. Planul secant [P] este determinat de dou drepte concurente n punctul N(n,n), N D : dreapta dat D i o dreapt (,), definit de punctul N i de vrful conului, = n v, = n v. Se determin urmele orizontale ale celor dou drepte i se traseaz urma orizontal P a planului secant, P = h1 h. Aceasta intersecteaz cercul de baz al conului n punctele 1 i 2, iar planul [P] intersecteaz suprafaa conului dup generatoarele V1 i V2, rezultnd o seciune longitudinal triunghiular n con, [1V2].

Punctele (,) i (,) n care dreapta D(d,d) intersecteaz triunghiul de seciune (1v2,1v2) sunt punctele n care dreapta intersecteaz conul.

Att n proiecia orizontal, ct i n proiecia vertical vizibilitatea dreptei este dat de cele dou generatoare pe care le intersecteaz. Astfel cele dou proiecii sunt invizibile de la punctul (,) pn la punctul (,) i mai departe pn la generatoarea de contur aparent, deoarece punctul (,) este situat pe suprafaa invizibil a conului.

9.4.3 Intersecia unei sfere cu o dreapt n general, o dreapt intersecteaz o sfer n dou puncte. Se disting dou cazuri :

dreapta trece sau nu prin centrul sferei. Pentru determinarea punctelor de intersecie se folosesc metodele Geometriei descriptive, simplificnd rezolvarea problemei.

a) Intersecia sferei cu o dreapt care trece prin centrul sferei Se consider sfera cu centrul n punctul (,) i dreapta D(d,d), care trece prin

centrul sferei (fig.9.25). Proiecia sferei pe planul vertical de proiecie este cercul meridian obinut prin secionarea sferei cu planul de front [F], ce trece prin centrul sferei. Printr-o

Ox

z

y1

2

'

=z

1'

2' 21'

11'

z'

d1=F

d1'

a1' a'

a

a1

d

d'

Ox

z

y

102

' N'

1

20

b

b0

b1

d0

d

b'

a'

a=a0

21

d'

Fig.9.25 Intersecia sferei cu o dreapt Fig.9.26 Intersecia sferei cu o dreapt care nu trece

care trece prin centrul sferei prin centrul sferei (rabatere pe plan de nivel)

SUPRAFEE CURBE

169

rotaie de nivel, lund axa de rotaie Z(z,z) prin centrul sferei, se transform dreapta D n frontala D1(d1,d1), coninut n planul [F], cu ajutorul punctului A(a,a). Astfel, cercul meridian i dreapta D1 sunt coplanare i se intersecteaz n punctele 11 i 21. Revenind din rotaie, n proiecia vertical se obin proieciile 1 i 2 pe proiecia d, iar apoi cu linii de ordine se determin i proieciile orizontale 1 i 2 pe proiecia orizontal d. Punctele (1,1) i (2,2) sunt punctele n care dreapta D(d,d) intersecteaz sfera.

n proiecia orizontal, dreapta este invizibil de la conturul aparent pn n punctul 2, iar n proiecia vertical este invizibil ntre punctele 1 i 2, n funcie de poziia punctelor de intersecie pe sfer.

b) Intersecia sferei cu o dreapt care nu trece prin centrul sferei Determinarea punctelor n care o dreapt care nu trece prin centrul sferei o

intersecteaz, se poate face utiliznd metodele Geometriei descriptive, n mai multe moduri.

Fie sfera cu centrul n punctul (,) i dreapta D(d,d), care o intersecteaz (fig.9.26). Dreapta D i centrul sferei determin un plan care se rabate pe planul de nivel [N], ce trece prin centrul sferei. Axa de rabatere este orizontala a i pentru determinarea poziiei rabtute d0 a dreptei, se mai rabate punctul B(b,b), cu ajutorul triunghiului de poziie, d0 = a0 b0. Planul de nivel [N] taie sfera dup cercul ecuator, iar dreapta rabtut d0 l intersecteaz n punctele 10 i 20. Ridicnd din rabatere aceste puncte, se obin proieciile orizontale 1 i 2, pe proiecia d i ducnd liniile de ordine corespunztoare, punctele 1 i 2, pe proiecia vertical d, acestea fiind punctele de intersecie dintre dreapt i sfer.

Vizibilitatea dreptei D(d,d) rezult din epur, proieciile dreptei fiind invizibile ntre punctele de intersecie cu sfera.

Aceeai problem se poate rezolva ducnd prin dreapt un plan proiectant vertical [P], P d (fig.9.27). Se rabate planul mpreun cu dreapta i cu seciunea circular, pe care

Ox

z

y

1

2

'

1'2'

a'

a

F=d

d'b'

11'1'

21'

a1'

d1'b1'

O1

x1

b

Ox

z

y

1

2

'

1'2'

20

10

Px

d0 b0

a'

a

a0

d

d'

r

r

0r

b'P'

P P0

b

Fig.9.27 Intersecia sferei cu o dreapt care Fig.9.28 Intersecia sferei cu o dreapt care

nu trece prin centrul sferei nu trece prin centrul sferei (rezolvare prin rabaterea planului proiectant) (rezolvare prin schimbare de plan)


170

o determin n sfer, pe planul orizontal de proiecie. Proiecia rabtut d0 a dreptei intersecteaz cercul de seciune n punctele 10 i 20. Se revine din rabatere i se obin proieciile orizontale 1 i 2, pe proiecia d, iar apoi cu linii de ordine se determin proieciile verticale 1 i 2, pe proiecia d a dreptei, punctele (1,1) i (2,2) fiind punctele de intersecie dintre sfer i dreapta D(d,d).

n figura 9.28 determinarea punctelor n care dreapta D(d,d) intersecteaz sfera cu centrul n punctul (,), se face utiliznd metoda schimbrii planului de proiecie vertical. Astfel, dreapta D(d,d) se transform n dreapta D1(d1,d1), care este o frontal, lund noua linie de pmnt O1x1 paralel cu proiecia d. Se secioneaz sfera cu un plan de front [F], ce conine proiecia d. Cercul de seciune obinut se proiecteaz pe noul plan vertical de proiecie n adevrat mrime, concentric cu proiecia sferei n 1. Proiecia vertical d1 intersecteaz cercul de seciune n punctele 11 i 21. Revenind din schimbarea de plan, n sistemul iniial de proiecie, se obin punctele (1,1) i (2,2), puncte n care dreapta D(d,d) intersecteaz sfera.

Vizibilitatea dreptei D(d,d), n ambele proiecii, rezult analiznd poziia punctelor de intersecie pe sfer.

9.5 Desfurarea suprafeelor curbe Desfurarea suprafeelor curbe riglate se face, n principiu, dup metodologia de la

desfurarea poliedrelor, nscriind n curba lor directoare un poligon cu n laturi, suprafaa curb transformndu-se ntr-o suprafa poliedral cu un numr n de fee. Precizia obinut la desfurarea unei suprafee curbe este direct proporional cu mrimea numrului n.

Pentru trasarea desfuratei suprafeei curbe se unesc punctele de pe desfurata poliedrului nscris cu linii curbe, innd seama de Teorema lui Olivier : Transformata prin desfurare a seciunii fcute de un plan ntr-un cilindru sau un con, prezint inflexiuni (punctele n care transformata curbei de seciune i schimb sensul concavitii) n punctele n care planul tangent la suprafaa cilindric sau conic este perpendicular pe planul secant.

n cazurile cnd suprafaa curb are o generatoare perpendicular pe planul secant, transformata prin desfurare a curbei de seciune nu are puncte de inflexiune.

9.5.1 Desfurarea suprafeelor cilindrice Pentru desfurarea unui cilindru, elementele necesare sunt mrimea real a

generatoarelor i lungimea curbei de seciune normal (perpendicular) pe generatoare. Seciunea normal pe generatoare este aceeai indiferent unde este fcut pe

lungimea generatoarelor i este necesar pentru determinarea distanei dintre dou generatoare consecutive. Lungimea curbei de seciune se aproximeaz prin coardele arcelor de curb din care este format aceasta, pe care le subntind.

Lungimea generatoarelor, cnd acestea nu sunt ntr-o poziie particular, paralele sau perpendiculare pe planul de proiecie, se determin cu una din metodele Geometriei descriptive, de obicei prin schimbarea planelor de proiecie.

a) Desfurarea cilindrului drept Fie dat cilindrul circular drept, cu baza n planul orizontal de proiecie i un plan de

capt [P], care l secioneaz (fig.9.29). Pentru desfurarea suprafeei cilindrice cuprins ntre planul [P] i planul orizontal, se face desfurarea ntregului cilindru, peste care se suprapune desfurata curbei de seciune, determinat de planul secant [P], n cilindru.

SUPRAFEE CURBE

171

Desfurata cilindrului drept este un dreptunghi cu lungimea egal cu circumferina cercului bazei, iar limea, nlimea generatoarelor (n adevrat mrime n proiecia vertical, avnd n vedere c sunt drepte verticale).

Pentru trasarea grafic a desfuratei, se nscrie n cilindru o prism cu opt fee. Seciunea normal necesar pentru desfurare este chiar cercul bazei, care se desfoar pe o linie dreapt A0A0, msurnd segmentele A0B0 = ab, B0C0 = bc,.K0A0 = ka, din proiecia orizontal. Prin punctele A0, B0,.A0 se ridic segmente egale cu lungimea generatoarelor. Transformata seciunii eliptice se obine prin msurarea pe generatoarele de pe desfurat a segmentelor A010 = a1, B020 = b2, C030 = c3, K080 = k8 i unirea punctelor 10, 20, 30,80,10.

b) Desfurarea cilindrului oblic Pentru a trasa desfurata cilindrului oblic din figura 9.30, se procedeaz ca i la

desfurarea prismei oblice, parcurgndu-se urmtoarele etape : 1) Se determin adevrata mrime a generatoarelor cilindrului, printr-o schimbare

de plan vertical de proiecie, acestea devenind frontale. Noua linie de pmnt se ia paralel cu proieciile orizontale ale generatoarelor. Axa O1O2 a cilindrului devine O3O4, n noul sistem de proiecie ([H], [V1]), baza inferioar cu centrul n O3 avnd cota zero, iar baza superioar cu centrul n O4, pstrndu-i cota egal cu cota punctului O2;

2) Se nscrie n cilindrul transformat o prism cu opt fee; 3) Se determin o seciune normal n cilindru, prin intersectarea lui cu un plan de

capt [P], P a15, P a5. Seciunea obinut (18) este o elips, care se proiecteaz pe planul vertical [V1] dup segmentul 15;

4) Se determin mrimea real a elipsei de seciune, prin rabaterea planului [P], mpreun cu seciunea, pe planul orizontal de proiecie;

5) Pe o linie dreapt se traseaz desfurata seciunii normale, aproximnd lungimile arcelor de elips cu coardele corespunztoare : 12 = 1020, 23 = 2030,81 = 8010;

6) n punctele care determin desfurata seciunii normale se traseaz direciile generatoarelor, perpendiculare pe aceasta i se msoar pe ele lungimile reale ale

Ox

z

y

Px

a

o2'

7'=3'

o1=o2

bc

d

e

fg

k

P

c'=o1'=g'

6'=4'

8'=2'

5'

1'

a'e'd'=f ' b'=k'

P'

1020

30

40 5060

70

8010

A0 B0 C0 D0 E0 F0 G0 K0 A0

a) b)

Fig.9.29 Desfurarea cilindrului drept : a) epura cilindrului drept ; b) desfurata cilindrului drept i a trunchiului de cilindru


172

generatoarelor corespunztoare, din noua proiecie vertical, de o parte i de alta a urmei verticale P. Exemplu : 1A0 = a11, 5E0 = e15 ; 7) Se unesc extremitile generatoarelor cu arce de curb, innd seama c punctele de inflexiune n trasarea transformatelor cercurilor bazelor sunt n punctele C0 i G0, unde planele tangente la suprafaa cilindric este perpendicular pe planul secant, care este planul orizontal de proiecie; 8) Pentru ca desfurata cilindrului s fie complet, dup caz, se pot aduga i suprafeele celor dou cercuri de baz.

9.5.2 Desfurarea suprafeelor conice Desfurarea suprafeei laterale a unui con se face considernd conul ca o piramid

cu un numr infinit de laturi i respectnd raionamentul fcut la desfurarea piramidei. Elementele necesare desfurrii unei suprafee conice sunt lungimea real a

generatoarelor conului i lungimea curbei de baz. a) Desfurarea conului drept Se consider conul circular drept cu baza n planul orizontal de proiecie i un plan

de capt [Q], care l secioneaz (fig.9.31). Pentru desfurarea trunchiului de con obinut se face desfurarea suprafeei

laterale a ntregului con, iar apoi pe aceasta se traseaz transformata prin desfurare a curbei de seciune generat de planul [Q].

o2

Ox

z

y

8

o2'

o1'

a

7'=3'

bc d

e

f

g

6'=4'

8'=2'

5'

P'k

1'

1 5

2

3

4

67

50

40

6070

30 20

10

80

Px

o1

x1

O1

P

a1'k1'=b1' e1'

g1'=c1'

f 1'=d1'

321 4 5 6 7 8 1

A0 B0C0

D0 E0F0

G0

K0A0

b)a)

Fig.9.30 Desfurarea cilindrului oblic : a) epura cilindrului oblic ; b) desfurata cilindrului oblic

SUPRAFEE CURBE

173

Desfurata conului drept este un sector de cerc de raz egal cu generatoarea extrem, S0A0 sa (generatoare n poziie de frontal) i cu lungimea arcului egal cu lungimea cercului de baz. Pentru trasarea grafic a desfuratei conului se construiete un arc de cerc cu vrful n punctul s S0, de raz sa, pe care se transpun lungimile coardelor care aproximeaz lungimile arcelor bazei, A0B0 = ab, B0C0 = bc,K0A0 = ka. Desfurarea conului este aproximat prin desfurarea unei piramide cu 8 fee nscris n con. Punctele de pe desfurata bazei se unesc cu vrful S0 i se obin generatoarele transpuse pe desfurat.

Seciunea fcut de planul [Q] n con este o elips, punctele ce o determin obinndu-se la intersecia generatoarelor conului cu urma vertical Q a planului, as Q = 1, bs Q = 2, ks Q = 8. Punctele obinute se transpun pe generatoarele de pe desfurat, dup ce n prealabil generatoarele lor au fost rotite i transformate n frontale, pentru a fi n adevrat mrime n proiecia vertical (rotaie de nivel n jurul unei axe care este chiar axa conului, astfel nct fiecare generatoare se suprapune peste generatoarea SA). n timpul rotaiei, proieciile verticale ale punctelor de seciune 1 8 se translateaz paralel cu axa Ox pn pe generatoarea sa, de unde sunt rotite pe generatoarele corespunztoare de pe desfurat, obinnd punctele 10 80. Curba generat de aceste puncte reprezint transformata prin desfurare a seciunii eliptice i delimiteaz n partea superioar desfurata trunchiului de con.

Pentru precizia trasrii curbei de seciune, se determin punctele de inflexiune. Aceste puncte exist cnd conul admite plan tangent perpendicular pe planul secant [Q] i se verific, dac dreapta D(d,d), trasat prin vrful conului i perpendicular pe planul secant are urma orizontal h n afara cercului de baz. Urmele orizontale ale celor dou plane tangente sunt date de tangentele duse din urma h la cercul de baz, hm i hn, iar generatoarele de tangen, SM i SN, dau la intersecia cu planul [Q] punctele de inflexiune. Acestea sunt = sm Q.

Se traseaz pe desfurat generatoarele S0M0 i S0N0, msurnd coardele en = E0N0 i fm = F0M0, iar apoi se transpun pe generatoare punctele de inflexiune 0 i 0, dup procedeul descris mai sus.

Ox

z

y

a'=A0

1'=10

s

s'=S0

b'=k'

b

d

fm

n'=m'e'=f '

Q'

Q

Qx

a

d'

c ne

g

g'

kl

c'=l'

h

2'=8'3'=7'

2'=8'

5'

'='

10

80

70

20

30

40

6050

C0

B0

N0E0

G0

F0M0

L0

K0A0

21'

31'

51'

h'

Fig.9.31 Desfurarea conului drept


174

b) Desfurarea conului oblic Fie conul oblic, cu baza un cerc n planul orizontal de proiecie i vrful n punctul

S(s,s) (fig.9.32). Pentru a trasa desfurata suprafeei laterale a conului, avem adevrata mrime a bazei, n proiecia din planul orizontal, iar pentru a determina lungimea real a generatoarelor se face o rotaie de nivel, n jurul axei Z(z,z), dus prin vrful conului. Astfel, generatoarele se transform n frontale i se proiecteaz n adevrat mrime pe planul vertical de proiecie.

Avnd elementele necesare desfurrii conului, se traseaz desfurata piramidei nscrise generatoarele reprezint muchiile, iar coardele arcelor subnscrise ntre dou generatoare consecutive sunt laturile poligonului nscris n cercul de baz.

Punctele de inflexiune ale transformatei bazei prin desfurare sunt punctele D(d,d) i F(f,f), unde generatoarele de contur aparent orizontal sunt tangente la curba de baz. n orice punct al generatoarelor SD i SF, planul tangent la con este perpendicular pe planul orizontal de proiecie.

Desfurata conului s-a fcut pornind de la generatoarea SA, S0A0 = sa1, construind triunghiul S0A0B0, cu ajutorul arcelor de cerc A0B0 = ab i S0B0 = sb1.

La trasarea desfuratei cercului de baz cu arce de curb, s-a inut seama de punctele de inflexiune D0 i F0, unde aceasta i schimb concavitatea.

9.5.3 Desfurarea sferei Sfera este o suprafa nedesfurabil. Desfurarea sferei poate fi obinut prin

metode aproximative, mprind suprafaa sferei n elemente mici. Metodele cele mai cunoscute sunt : prin fusuri sferice, prin zone sferice, prin pentagoane sau triunghiuri sferice i altele. Se exemplific desfurarea sferei prin fusuri sferice.

Ox

z

y

O

e1

s'

a'

kg f

e

f '=d'cb

a

k' e'd

g' c'

z'

s=z

e1' d1'=f 1'

d1=f 1 c1=g1

c1'=g1'a1'

a1'

b1'=k1'

b1=k1S0

C0

D0

E0

F0

G0

K0

A0

A0

B0

a) b) Fig.9.32 Desfurarea conului oblic :

a) epura conului oblic ; b) desfurata conului oblic

SUPRAFEE CURBE

175

Fusul sferic este o poriune din suprafaa sferei, cuprins ntre dou semimeridiane consecutive, obinut prin secionarea sferei cu plane proiectante verticale.

Fie sfera din figura 9.33 cu centrul n punctul (,) i de raz R. Se secioneaz sfera cu patru plane proiectante verticale echidistante, care trec prin

centrul sferei i divizeaz sfera n opt fusuri sferice. Se prezint, n continuare, metoda de obinere a desfuratei fusului cuprins ntre planele [T1] i [T2], pentru celelalte procedndu-se n mod similar.

Pentru a desfura aproximativ un fus sferic, se consider patru plane auxiliare de nivel [N1], [N2], [N3] i [N4], duse astfel nct arcele determinate pe cercul meridian s fie egale ntre ele : 12 = 23 = 34 = 45. Aceste plane secioneaz sfera dup cercuri, iar fusul considerat, dup arcele de cerc lj, mn, pq i ab, care se regsesc n adevrat mrime n proiecia orizontal. nlimea unui fus sferic desfurat este jumtate din lungimea cercului meridian, adic R. Astfel, pentru desfurare se traseaz un segment de aceast lungime i jumtatea superioar se mparte n patru pri egale (lungimile determinate de planele de nivel) : 1020 = 2030 = 3040 = 4050. n aceste puncte, pe perpendiculare pe axa fusului, se msoar segmente egale cu arcele determinate de planele de nivel pe fus : J0L0 = jl, M0N0 = mn, P0Q0 = pq i A0B0 = ab. Construcia se repet i pentru jumtatea inferioar a fusului, avnd n vedere c acesta este simetric fa de cercul ecuator. Se obine astfel o desfurare aproximativ a sferei, eroarea fiind invers proporional cu numrul fusurilor n care se mparte sfera.

9.6 Intersecia suprafeelor curbe Din intersecia a dou corpuri geometrice, mrginite de suprafee curbe, rezult o

curb strmb n spaiu, numit curb de intersecie. Metoda general de construcie a curbei de intersecie a dou suprafee curbe, const n a determina attea puncte ale ei nct s poat fi trasat ct mai exact. Aceste puncte se gsesc cu ajutorul unor suprafee auxiliare, plane sau sferice, care s le intersecteze pe cele date, alese astfel nct din intersecia lor s rezulte linii drepte sau curbe simple (cercuri). Suprafeele auxiliare se aleg n funcie de tipul i de poziia relativ a suprafeelor curbe care se intersecteaz.

N4'N3'N2'

N1'

Ox

z

y

2

'

1=4

1' 2'

4'3'

5'

3

kg

f

e

cb

a

d

5l

j

m

n q

pT1

10

T2

B0

P0 Q0M0 N0

J0 L02030

A04050

R

Rd' c' 20

304050

Fig.9.33 Desfurarea sferei prin fusuri sferice


176

9.6.1 Intersecia suprafeelor cilindro - conice Prin intersecia suprafeelor cilindro conice se nelege intersecia a doi cilindri, a dou conuri sau a unui cilindru cu un con. La intersecia suprafeelor cilindro conice se folosesc aceleai reguli stabilite la intersecia poliedrelor, asemnnd cilindrul i conul cu o prism, respectiv o piramid cu un numr de muchii convenabil ales i parcurgnd aceleai faze, descrise n paragraful 8.5. Intersecia se reduce deci, la determinarea punctelor de intersecie dintre un numr suficient de generatoare ale unuia dintre corpuri cu suprafaa celuilalt i reciproc. Aceste puncte de intersecie se determin utiliznd plane auxiliare secante, dup cum urmeaz : - pentru intersecia a doi cilindri : planele auxiliare vor fi paralele cu generatoarele celor doi cilindri, determinnd n acetia seciuni longitudinale, de form patrulater; - pentru intersecia a dou conuri : planele auxiliare vor conine dreapta care unete cele dou vrfuri ale conurilor, determinnd n acetia seciuni longitudinale, de form triunghiular; - pentru intersecia dintre un cilindru i un con : planele auxiliare vor conine vrful conului i vor fi paralele cu generatoarele cilindrului. Planele auxiliare secante, descrise mai sus, vor conine generatoarele unei suprafee care se intersecteaz cu cealalt suprafa. Pentru unirea punctelor de intersecie se folosesc arce de curbe plane, care nlocuiesc laturile poligonului de intersecie din cazul poliedrelor, rezultnd curba de intersecie. Ordinea de unire a punctelor de intersecie i vizibilitatea curbei de intersecie n epur se stabilete ca i la poliedre cu metoda mobilului sau cu metoda desfuratelor convenionale. Din totalul planelor auxiliare utile folosite, planele limit vor fi tangente la una din baze i o vor intersecta pe cealalt n dou puncte, n general. Zonele din baze care nu sunt strbtute de plane utile, nu particip la intersecie i sunt numite zone interzise (zonele haurate). n funcie de poziia planelor auxiliare limit, fa de bazele celor dou corpuri care

se intersecteaz, distingem urmtoarele tipuri de intersecii :

- rupere : urmele orizontale ale planelor auxiliare limit, P1 i Pa, sunt tangente la fiecare baz, determinnd n cealalt o zon interzis (fig. 9.34). Rezult o singur curb de intersecie. - ptrundere : urme-le orizontale ale planelor auxiliare limit, P1 i Pa, sunt tangente la aceeai baz, determinnd pe cealalt dou zone interzise (fig.9.35). Rezult dou curbe de intersecie.

O1 O2

c

a

b1

23

Pa

P1

Pa

P11

23

O2O1

a

cb

h

Fig.9.34 Stabilirea naturii interseciei : rupere

O1 O2

c

a

e1

2

P1

P2

P11

2

O2O1

a

ce

hP2

bb

Fig.9.35 Stabilirea naturii interseciei : ptrundere

SUPRAFEE CURBE

177

- ptrundere cu simpl tangen : urma orizontal a unuia dintre planele auxiliare limit, P1, este tangent la ambele baze, iar cealalt urm orizontal, P2, este tangent la una dintre baze i determin pe cealalt o zon interzis (fig.9.36). Cele dou curbe de intersecie rezultate au un punct comun. - ptrundere cu dubl tangen : urmele orizontale ale planelor auxiliare limit, P1 i P2 , sunt tangente la ambele baze (fig.9.37). Intersecia este format din dou curbe, care au dou puncte comune, punctele determinate de inter-secia generatoarelor care trec prin punctele de tangen.

Intersecia a doi cilindri circulari oblici Fie dai doi cilindri oblici, cu bazele cercuri coninute n planul orizontal de

proiecie, avnd centrele n punctele O1(o1,o1) i O2(o2,o2) (fig.9.38). Pentru determinarea curbei de intersecie dintre cei doi cilindri, planele auxiliare

secante se duc prin generatoarele cilindrilor, convenabil alese, astfel nct s fie paralele cu acestea. Pentru aceasta se ia un punct oarecare T(t,t), n spaiu i se traseaz prin el dou drepte D1(d1,d1) i D2(d2,d2), paralele cu generatoarele celor doi cilindri. Planul determinat de ele d direcia cu care vor fi paralele planele auxiliare secante. Deoarece cilindrii au bazele inferioare n planul orizontal, este suficient utilizarea urmelor orizontale ale planelor auxiliare secante la determinarea seciunilor n cilindri. Acestea vor fi paralele cu urma orizontal P, P = h1 h2.

Planele auxiliare limit sunt : planul [Pa], tangent la baza cilindrului O2 n punctul a i planul [P13], tangent la baza cilindrului 1 n punctul 13. Dup poziia acestor plane fa de cele dou baze ale cilindrilor intersecia este o rupere, deci se va obine o singur curb de intersecie.

Planul auxiliar secant dus prin generatoarea unui cilindru, determin n cellalt o seciune longitudinal, care intersectat cu generatoarea d puncte ale curbei de intersecie. Exemplu : planul Pa dus prin generatoarea din a taie baza cilindrului O1 dup segmentul 12, care este o latur a seciunii longitudinale. Generatoarele trasate din punctele 1 i 2 sunt intersectate de generatoarea din a n punctele a1 i a2, puncte ale curbei de intersecie, fiind puncte comune celor doi cilindri. Proieciile lor verticale se obin cu linii de ordine pe generatoarea corespunztoare. La fel se procedeaz i pentru celelalte plane auxiliare secante.

n figura 9.38 s-au dus plane auxiliare secante prin toate generatoarele de contur aparent, cuprinse n zona util, deoarece n punctele de intersecie situate pe acestea, curba de intersecie i schimb vizibilitatea. Aceste plane sunt : Pd, Pj i Pi, pentru cilindrul O2 i P6, P12, P7 i P3, pentru cilindrul O1.

O1

O2

c

a

1

2

P1

P2

P11

2

O2O1a

ch

P2

b b

Fig.9.36 Stabilirea naturii interseciei : ptrundere cu

simpl tangen

O1O2

a

1

2

P1

P2

P11

2

O2O1

ah

P2

bb

Fig.9.37 Stabilirea naturii interseciei : ptrundere cu

dubl tangen


178

Tabelul 9.1 Cilindrul O1 1 4 6 8 12 13 9 7 5 3 2 3 7 11 13 12 10 6 1 Cilindrul O2 a d e j l n j g d b a c k i r m i f a Curba de int. (CI) a1 d4 e6 j8 l12 n13 j9 g7 d5 b3 a2 c3 k7 i11 r13 m12 i10 f6 a1

Cil O1 Cil O2 [H] CI Cil O1 Cil O2 V

izib

ilita

tea

n p

lanu

l

[V] CI

Ox

d1 2

a2

d'=n' a'a

Pa

a1

6 7

12

3

a1'

a2'

b4 5

d5

d4

d4'

d5'

c

b3'c3'

c3

P3 Pd

3'6'

ef

e6

f 6

f 6'

e6'

g kj

g7

i11

7'

g7'

k7'

j '

89

1011

j8

j9

j8'

j9'

i

k7

i10

i10'

i11'

13

13'12'

n r

ml

l12

m12

m12'

l12'

r13

n13

n13'r13'

t'

h2

h1'd1' d2'

th1

d1d2

P

P12

P13

P6P7PiPj o2

o1b3

Fig.9.38 Intersecia a doi cilindri circulari oblici

SUPRAFEE CURBE

179

Ordinea de unire a punctelor de intersecie, obinute cu ajutorul planelor de mai sus, se face ca i la poliedre, folosind regula mobilului, ntocmind tabelul 9.1. Pe baza cilindrului O1 s-a pornit din punctul a, spre d, iar pe baza cilindrului O2, din punctul corespunztor, a, conform urmei Pa, spre d. n acest tabel s-a studiat i vizibilitatea curbei de intersecie, pornind de la vizibilitatea bazelor celor doi cilindri, n cele dou proiecii. 9.6.2 Intersecia suprafeelor de rotaie utiliznd suprafee auxiliare sferice n cazurile n care corpurile cilindrice i conice care se intersecteaz sunt situate n poziii particulare n spaiu i au axele concurente i paralele cu planul de proiecie, punctele curbei de intersecie se determin utiliznd suprafee auxiliare sferice. Aceste cazuri sunt des ntlnite n practic. Se folosete proprietatea c o suprafa sferic avnd centrul pe axa unui corp geometric de rotaie, se intersecteaz cu acesta dup dou cercuri. Intersecia dintre un cilindru i o sfer Fie cilindrul circular drept cu baza inferioar n planul orizontal de proiecie (fig.9.39). Locul geometric al punctelor comune cilindrului i sferei S, de raz egal cu raza cilindrului i cu centrul n punctul O1(o1,o1), situat pe axa cilindrului, este cercul de tangen dintre sfer i cilindru. Acesta este notat n epur (1-1,1-1) i fiind paralel cu planul orizontal (plan de nivel) se proiecteaz pe acesta suprapus cu baza cilindrului, iar pe planul vertical dup diametrul 1-1. Intersecia dintre cilindru i sfera S1 cu centrul tot n O1(o1,o1), de raz mai mare dect raza cilindrului este o ptrundere, curbele de intersecie fiind cercurile (2-2, 2-2) i (3-3, 3-3). Acestea se proiecteaz pe planul orizontal suprapuse cu proiecia orizontal a cilindrului, fiind concentrice cu ecuatorul, iar pe planul vertical dup diametrele 2-2 i 3-3, fiind cuprinse n plane de nivel. Punctele (2,2) i (3,3) sunt determinate de intersecia conturului aparent al sferei (cercul meridian) i proiecia cilindrului pe planul vertical. Intersecia dintre un con i o sfer Fie conul circular drept cu baza n planul orizontal de proiecie (fig.9.40) i o sfer S cu centrul n punctul O1(o1,o1) situat pe axa conului, astfel nct s fie tangent suprafeei laterale a acestuia. Locul geometric al punctelor comune conului i sferei este un cerc (1-1,1-1) (cercul de tangen) situat ntr-un plan de nivel. Acesta se proiecteaz pe planul orizontal n adevrat mrime cu centrul n 1 i pe planul vertical dup diametrul 1-1, dat de punctele de tangen dintre conturul aparent vertical

Ox

z

y

1 2

o1'

v=o1=o

v'

2'

3'

2'S1' S'

o'

1'1'3'

12 33

S1S

Fig.9.40 Intersecia con - sfer

Ox

z

y

o1=o22=1=3

1' 1'

2'

3'

2'

3'3'

o1'

S1'

o'

S'

2=1=3S1

S

Fig.9.39 Intersecia cilindru - sfer


180

al conului i cercul meridian al sferei. Intersecia dintre con i sfera S1, cu centrul tot n punctul O1(o1,o1), dar de raz mai mare dect sfera S este o ptrundere i se realizeaz dup dou curbe, cercurile (2-2, 2-2) i (3-3, 3-3). Acestea sunt perpendiculare pe axa conului, astfel nct se proiecteaz pe planul vertical, deformate, prin diametrele 2-2 i 3-3, iar pe planul orizontal n adevrat mrime, fiind cercuri concentrice cu baza conului. n continuare, se va studia intersecia suprafeelor cilindrice i conice, folosind suprafee auxiliare sferice, metoda fiind numit metoda sfer cerc. Astfel, ducnd o sfer cu centrul n punctul de intersecie al axelor celor dou corpuri, aceasta este coaxial cu cele dou suprafee i le intersecteaz pe fiecare dup cte dou cercuri. Intersecia celor patru cercuri rezultate pe sfer determin opt puncte de intersecie, care aparin curbelor de intersecie ale corpurilor. Pentru construcia curbei de intersecie a dou corpuri prin aceast metod, este suficient proiecia corpurilor pe planele de proiecie cu care axele corpurilor sunt paralele. Cele mai ntlnite corpuri n practic sunt:

a) Intersecia a doi cilindri Fie cilindrii C1 i C2 cu axele concurente i paralele cu planul vertical de proiecie (fig.9.41). Cei doi cilindri sunt reprezentai prin proieciile lor pe planul vertical. Cilindrul C1 are diametrul 1 i bazele situate n plane de profil, cilindrul C2 are diametrul 2, 2 1 i bazele situate n plane de nivel.

Suprafeele auxiliare sferice utilizate pentru determinarea curbei de intersecie au centrul n punctul , punctul de intersecie al axelor celor doi cilindri. Sfera cea mai mic util este sfera S, tangent la cilindrul cel mai mare, C1. Sfera S intersecteaz cilindrul C1 dup cercul a- a, iar cilindrul C2 dup cercurile 1- 1 i 2- 2. Punctele comune celor trei cercuri sunt a1 i a2, puncte duble n proiecia pe planul vertical : (a- a) (1 -1) = a1 (a- a) (2- 2) = a2 Aceste puncte sunt comune celor doi cilindri, deci aparin curbei de intersecie.

Sfera cea mai mare util este sfera ce trece prin punctele de intersecie ale generatoarelor de contur aparent, m, n, i, j, puncte care aparin implicit curbei de intersecie. Pentru a se trasa ct mai exact curbele de intersecie, se mai determin i alte puncte de intersecie, ducnd alte sfere concentrice cu sfera S, de raz mai mare dect aceasta. Sfera S1 intersecteaz cilindrul C1 dup cercurile b- b i c- c, iar cilindrul C2 dup cercurile 3- 3 i 4- 4. Intersecia acestor patru cercuri determin opt puncte, dou cte dou identice, c3, c4 i b3, b4.

Unind punctele determinate anterior se obin proieciile verticale ale curbelor de intersecie dintre cei doi cilindri, care sunt pri din ramurile unei hiperbole, cu vrfurile n punctele a1 i a2 i axa transversal a hiperbolei identic cu axa cilindrului C2. Asimptotele hiperbolei, i s-au construit considernd intersecia a doi cilindri cu acelai diametru 1, diametrul maxim.

3'

4' 4'

3'

c4'

c3'

'

'

''

a2'

a1'

a'

a'

c'b'

b' c' n'm'

j 'i'

b3'

b4'

1' 1'

2'S1 S

C2C1

'

2'

Fig.9.41 Intersecia a doi cilindri, 2 1

SUPRAFEE CURBE

181

n figura 9.42 cilindri C1 i C2 au diametrele egale 2 = 1, axele concurente i coplanare. Repetnd raionamentul de mai sus, s-au determinat curbele de intersecie dintre cei doi cilindri, care se proiecteaz pe planul vertical dup segmentele mj i in, concurente n punctul , de intersecie al axelor celor doi cilindri. Sfera minim util n acest caz este sfera S, cu centrul n punctul i tangent celor doi cilindri, dup cercurile 1- 1 i a- a. Cele dou cercuri au dou puncte comune, confundate cu . Pentru verificare s-a mai trasat i sfera S1, cu diametrul mai mare dect diametrul cilindrului, aceasta determinnd punctele b2, b3, c2, i c3, situate ntr-adevr pe curba de intersecie.

n figura 9.43, cazul intersectrii celor doi cilindri este similar cilindrilor din figura 9.41, doar c de aceast dat cilindrul fronto-orizontal C1 are diametrul 1 mai mic dect diametrul 2 al cilindrului C2, 1 2.

b) Intersecia unui cilindru cu un con

n cazul interseciei dintre un cilindru fronto-orizontal C1, cu bazele situate n plane de profil i un con circular drept C2, cu baza situat ntr-un plan de nivel, curbele de intersecie se pot determina utiliznd sfere auxiliare cu centrul n punctul , de intersecie al axelor celor dou corpuri.

Exist trei cazuri distincte de intersecie dup cum sunt circumscrise corpurile : ambele aceleiai sfere sau sfera minim util este intersectat de un corp i tangent celuilalt.

n figura 9.44, sfera minim util S este tangent conului C2, dup cercul 1- 1 i intersecteaz cilindrul C1 dup cercurile a- a i b- b. Cele trei cercuri au patru puncte comune, punctele a1 i b1, puncte duble suprapuse care aparin curbei de intersecie.

Acestea sunt vrfurile hiperbolei dup care se proiecteaz curba de intersecie pe planul vertical. Asimptotele i , concurente n , s-au obinut ducnd un cilindrul coaxial cu cilindrul C1 i tangent sferei S.

2'

3' 3'

2'

c3'

c2'

'

a'

a'

c'b'

b' c' n'm'

j 'i'

b2'

b3'

1' 1'

S1 S

C2C1

Fig.9.42 Intersecia a doi cilindri, 2 = 1

'

S1

C1 C2' 'i' j '

b'm'

c2' d2'

a1' b1''

c'

a'n''

a' b'

1' 1'

2'2'

3' 3'

c'

d'

d'

c3' d3'

S

Fig.9.43 Intersecia a doi cilindri, 1 2

2'

3' 3'

2'

c3' '

a'

a'

b'

b'c'

n'm'

j 'i'

b1'd3'

1' 1'

S1 S

C1C2

v'

a1'

c'

'c2'

d2'd''

''

'

d'

Fig.9.44 Intersecia unui cilindru cu un con

sfera minim tangent conului


182

Pentru a se obine i alte puncte ale curbei de intersecie, s-a mai dus i sfera S1 care intersecteaz conul C2 dup cercurile 2-2 i 3-3, iar cilindrul C1 dup cercurile c-c i d-d. Cele patru cercuri au opt puncte comune, suprapuse dou cte dou n proiecia vertical : c2, c3, d2 i d3.

n cazul interseciei din figura 9.45 cele dou corpuri sunt circumscrise aceleiai sfere S, fiind tangente dup cercurile 1-1 (conul C2) i a-a (cilindrul C1). Curba de intersecie format din dou elipse se proiecteaz pe planul vertical deformat, dup diagonalele trapezului isoscel mnji, concurente n punctul a1, punct dublu de intersecie dintre cercurile de tangen.

n figura 9.46 sfera minim util S este tangent cilindrului C1, dup cercul a-a i intersecteaz conul C2 dup cercurile 1-1 i 2-2, determinnd vrfurile hiperbolei dup care se proiecteaz curba de intersecie pe planul vertical, a1 i a2.

Asimptotele hiperbolei, i , se obin trasnd generatoarele extreme ale unui con coaxial cu C2, cu acelai unghi al generatoarei fa de ax i tangent la aceiai sfer S.

Alte puncte ale curbei de intersecie se obin ducnd i alte sfere de diametre mai mari dect diametrul sferei S.

c) Intersecia a dou conuri Se consider dou conuri circulare drepte, cu axele concurente i paralele cu planul

vertical. Conul vertical C1 are axa V1O1 vertical i baza n planul orizontal, iar conul C2 are axa V2O2 fronto-orizontal i baza ntr-un plan de profil.

Curbele de intersecie dintre cele dou corpuri se determin folosind sfere auxiliare, cu centrul n punctul , de intersecie al axelor celor dou corpuri. Se ntlnesc dou situaii : sfera minim util - tangent ambelor conuri sau sfera minim util - tangent unui con i intersectat de cellalt.

n cazul interseciei din figura 9.47 cele dou conuri sunt circumscrise aceleiai sfere S, fiind tangente dup cercurile a- a (conul C1) i 1-1 (conul C2). Curba de intersecie se proiecteaz pe planul vertical deformat, dup diagonalele patrulaterului mnji, concurente n punctul a1, punct dublu de intersecie dintre cercurile de tangen.

n situaia din figura 9.48, sfera minim util S este tangent conului C2, dup cercul a-a i intersecteaz conul C1 dup cercurile 1-1 i 2-2. Acestea au patru puncte

2'

3' 3'

2'

c3'c2'

'

a'

a'

c'b'

b' c' n'm'

j 'i'

b2'

b3'

1' 1'S1

S

C1C2

v'

'=a1'

Fig.9.45 Intersecia unui cilindru cu un con sfera minim tangent conului i cilindrului

c2'

b3' c3'2'4' 4'

2'

'

a'

a'

c'b'

b' c' n'm'

j '

i'

b2'1' 1'

S

C1

C2v'

'

'

''

'3'3'S1

a2'

a1'

Fig.9.46 Intersecia unui cilindru cu un con sfera minim tangent cilindrului

SUPRAFEE CURBE

183

comune, determinnd vrfurile hiperbolei dup care se proiecteaz curba de intersecie pe planul vertical, a1 i a2 (puncte duble).

Pentru trasarea curbelor de intersecie se determin i alte puncte, folosind alte sfere de diametre mai mari dect diametrul sferei S i concentrice cu aceasta.

Asimptotele hiperbolei, i , se obin trasnd generatoarele extreme ale unui con coaxial cu conul C1, cu acelai unghi al generatoarei fa de ax i tangent la aceiai sfer S.

Observaie : n exemplele tratate n figurile 9.41 9.48 cercurile de intersecie dintre sfere i cilindri sau conuri sunt paralele cu bazele acestora, astfel nct s-au proiectat pe planul vertical prin diametrele lor, perpendiculare pe axele corpurilor, fiind cercuri de nivel sau de profil.

Curbele de intersecie dintre corpurile de rotaie se regsesc pe piesele metalice din construciile de maini i vor fi folosite n reprezentarea ortogonal a acestora n desenul tehnic.

9.7 Desfurarea corpurilor de rotaie intersectate Corpurile de rotaie aflate n poziii particulare, intersectate, se ntlnesc n practic

la intersecii de conducte, racorduri, coturi i mai ales n diferite confecii metalice. Pentru realizarea confeciilor metalice, din diferite materiale, este necesar determinarea desfuratelor acestor corpuri.

n continuare, se dau cteva exemple de astfel de desfurate. n figura 9.49 se prezint racordul ntre un cilindru fronto-orizontal C1 i unul

vertical C2. Diametrele celor doi cilindri sunt diferite i cu ajutorul sferelor S, S1 i S2 se determin curba de intersecie dintre ei : a-b-c-d-c1-b1-a1.

Pentru desfurarea suprafeei laterale a celor doi cilindri se aplic teoria de la paragraful 9.5.1, a), rabatnd alturi de fiecare cilindru jumtate din baz i ducnd generatoarele corespunztoare punctelor de pe curba de intersecie.

n continuarea bazelor cilindrilor se traseaz o linie dreapt, pe care se desfoar bazele cilindrilor, aproximnd arcele cu coarde. Se duc pe desfurate generatoarele corespunztoare punctelor de pe baz i se transfer pe acestea, punctele de pe curba de intersecie.

Pentru cilindrul C1, punctele curbei de intersecie se transfer pe generatoarele de pe desfurat din punctele 40, 50, 60 i 70 i rezult punctele A0, B0, C0, D0, C10, B10 i A10.

'a1'

2''

a'

n'

1'

S

C2v1'

v2'

C1a'

1'

a2'2'

j '

i'

'

'

'

'

o1'

o2''

a'n'

m'1'

S

C2

'=a1'

j '

i'v2'

v1'

a'

1'

C1

o1'

o2'

Fig.9.47 Intersecia a dou conuri sfera Fig.9.48 Intersecia a dou conuri - sfera minim tangent ambelor conuri minim tangent conului C1


184

Unind aceste puncte se obine transformata prin desfurare a curbei de intersecie i respectiv partea care trebuie exclus din desfurarea cilindrului C1.

Pentru cilindrul C2 punctele curbei de intersecie se translateaz pe generatoarele de pe desfurat din punctele 110, 210, 310, 410, 510, 610 i 710, obinndu-se punctele A0, B0, C0, D0, C10, B10 i A10. Curba obinut prin unirea acestor puncte reprezint transformata prin desfurare a curbei de intersecie i mrginete n partea inferioar desfurata cilindrului C2.

n figura 9.50 este reprezentat intersecia dintre cilindrul frontal C1 i cilindrul fronto-orizontal C2, precum i desfuratele suprafeelor laterale ale celor doi cilindri. Acetia au diametre egale i conform celor prezentate pe marginea figurii 9.42, curba de intersecie dintre ei se va proiecta pe planul vertical dup segmentele a-e-h, unde punctul e reprezint punctul de intersecie dintre axele cilindrilor.

Pentru stabilirea desfuratei suprafeei laterale a poriunii din cilindrul C1 cuprins n acest racord, se determin desfurata cilindrului, pe care se reprezint transformata prin desfurare a curbei de intersecie A0-B0-C0-D0-E0-F0-G0-I0-H0 i transformata prin desfurare a seciunii eliptice care mrginete cilindrul n partea superioar.

n mod similar se procedeaz i pentru desfurarea cilindrului C2.

c1'

A0=a'

d'

20

D0

b'

10=1'

2'

3'

4'5'

6'7'

30

405060

70

6050

C10B0

A10A0

C0B10

B0 B10C0 C10

c' b1'

a1'

110=11'

21'31' 41' 51'

61'

71'210310410510610710610510310210110 410

A10B0

C0D0C10

B10B10C10D0

C0B0

A0

desfasurata cilindrului C2


S1

S2S

C1

C2

Fig.9.49 Desfurarea a doi cilindri intersectai

SUPRAFEE CURBE

185

n unele cazuri racordarea trebuie fcut ntre un cilindru i un con. Astfel, n figura

9.51 este prezentat racordul dintre un con circular drept C1 i un cilindru fronto-orizontal. Cele dou corpuri au axele concurente i sunt tangente aceleiai suprafee sferice S.

Curba de intersecie dintre ele se proiecteaz pe planul vertical dup segmentul a-d-a1, trecnd prin punctele b i b1, determinate cu ajutorul sferei S1.

Desfurarea suprafeei laterale a trunchiului de con care intr in componena racordului, se face pornind de la desfurarea conului drept, studiat n paragraful 9.5.2, a). Aceasta este mrginit n partea inferioar de transformata prin desfurare a curbei de intersecie dat de punctele A0-B0-D0-B10-A10, iar n partea superioar de desfurata bazei mici a trunchiului de con.

210

310

410

510

610

710

21'31'

41'51'

61'

71'

C1C2

10=1'

2030

4050

6070

81'=810

110

11'

210

310410

2'

3'

4'5'

6'7' 8'

9'

80

90

b'c'

d'

e'

i'

h'a'=A0

B0G0

D0G0I0

F0

H0

E0

A0

B0

C0

C0

I0

H0

G0I0

F0

E0

D0C0

I0G0

F0

E0

D0

C0

B0g'f '

S


desfa

surata

cilin

drului

C 1

Fig.9.50 Desfurarea a doi cilindri de diametre egale, intersectai


186

S

S1

C1

C2desfasurata conului C

1

10=1'

20

30

40

50

A0=a'

B0

D0

d'

b'

A0=a'

b' c'd'

2'

3'4'

5'

2'

10=1'

3'4'

5'

6'

7'S

S1

S2

C1C2

B0C0D0

2030

40

50

60

70

C10

B10

A10

A10

desfasurata conului C1

s'=S0

s'=S0

B10

b1'a1'

40

30

B10

D0

B0

A020

10

b1'

c1'a1'

60

50

40

30

20

10A0

B0C0

D0

C10B10

Fig.9.52 Desfurarea unui con intersectat cu un cilindru

Fig.9.51 Desfurarea unui con intersectat cu un cilindru, circumscrii aceleiai sfere

SUPRAFEE CURBE

187

Racordul dintre un con circular drept C1 i un cilindru C2 poate avea i forma din figura 9.52, unde sfera S1, tangent cilindrului C2, intersecteaz conul C1. Curba de intersecie are n proiecie pe planul vertical forma unui arc de hiperbol, dat de punctele a-b-c-d-c1-b1-a1, determinate cu ajutorul sferelor S, S1 i S2.

Desfurarea trunchiului de con se obine n mod similar cu desfurarea de la figura 9.51.

9.8 Probleme rezolvate 1. Se consider cilindrul frontal definit prin curba directoare care este un cerc cu

centrul n punctul O1(80,25,0), de raz R = 18 i cealalt baz cu centrul n punctul O2(20,25,45) i dreapta D(d,d) : H(50,5,0) i N(110,50,25). a) S se desfoare cilindrul ; b) S se determine punctele de intersecie dintre dreapta D i cilindru i s se figureze aceste puncte pe desfurat. Rezolvare : Pentru trasarea desfuratei cilindrului frontal din figura 9.53, a se urmrete metodologia de la paragraful 9.5.1 b), cu observaia c nu mai este nevoie de efectuarea schimbrii de plan, deoarece generatoarele sunt n adevrat mrime n proiecia vertical, fiind drepte frontale. Astfel, se nscrie n cilindru o prism cu opt fee, se duce un plan secant [Q] (plan de capt), perpendicular pe generatoarele cilindrului i se determin seciunea normal [ABCEFGLK]. Se rabate planul [Q], mpreun cu seciunea, pe planul orizontal de proiecie i se determin adevrata mrime a acestei seciuni, [a0b0c0e0f0g0l0k0]. Transformata prin desfurare a acestei seciuni este segmentul A0B0C0E0F0G0L0K0 (perimetrul seciunii normale rabtute), care se traseaz aproximnd lungimile arcelor de elips cu coardele corespunztoare : A0B0 = a0b0, B0C0 = b0c0,..., L0K0 = l0k0, K0A0 = k0a0. Prin aceste puncte se duc perpendiculare i se msoar pe ele lungimile

Ox

z

y

1

2

o2o1

m

m'

o2'

o1'

d

d'

'

'

'

h' h1'

h

P

h1

n

4

5

7

8

j

i

a'

f '

b'=k' c'=l'

e'=g'

a

bc

e

f

gl

k

f 0

g0

e0

Qx

b0

a0

l0k0

n'

Q'

Q

i'j '1'

3 c0

11'

6

a)

Fig.9.53 Rezolvarea problemei 1


188

corespondente generatoarelor, ca n figura 9.53, b, lundu-le din proiecia vertical, de o parte i de alta a urmei verticale Q : A010 = a1, A0110 = a11,.... Extremitile acestor

generatoare se unesc cu arce de curb, obinnd transfor-matele prin desfurare a bazelor. Acestea mrginesc desfurata cilindrului.

Punctele de intersecie dintre dreapta D i cilindrul frontal se obin cu metoda seciunilor longitudinale. Prin punctul M(m,m) de pe dreapta D(d,d) se traseaz o dreapt (,) paralel cu generatoa-rele cilindrului i se determin urma orizontal P a planului definit de aceste dou drepte. Planul intersecteaz cilindrul dup o seciune longitudinal determinat de punctele i i j de pe baza din planul orizontal. Dreapta D intersecteaz aceast seciune n punctele (,) i (,). Se determin vizibilitatea dreptei, considernd vizibilitatea generatoarelor cilindrului.

Vizualizarea punctelor de intersecie pe desfurat se

face marcnd arcul 1j =10j0, respectiv 6i = 60i0 i lungimea generatoarelor (din proiecia vertical) de la baz pn la aceste puncte : j00 = j, i00 = i. 2. Se d conul oblic avnd curba directoare un cerc situat n planul orizontal de proiecie, cu centrul n punctul (50,25,0), de raz R = 20 i vrful n punctul V(10,10,40). a) S se determine seciunea fcut de planul de nivel [N], de cot 18, n con; b) S se desfoare trunchiul de con cuprins ntre planul orizontal i planul de nivel [N]. Rezolvare : se traseaz conul considernd pentru conturul aparent din proiecia orizontal generatoarele vd i vg, iar pentru conturul aparent din proiecia vertical generatoarele va i ve. Seciunea determinat de planul de nivel [N] n con are form eliptic i rezult n proiecia orizontal n adevrat mrime. Pentru trasarea ei se consider i alte generatoare ale conului : VB, VC, VF, VK. Punctele care definesc elipsa de seciune se determin mai nti n proiecia vertical, la intersecia generatoarelor cu urma vertical N i apoi se coboar cu linii de ordine pe proiecia orizontal, obinndu-se elipsa (1 8). Desfurata trunchiului de con, se determin pe desfurata conului. Astfel, se figureaz pe fiecare generatoare de pe desfurat punctele de intersecie cu planul de nivel i se unesc acestea cu o curb, obinndu-se transformata prin desfurare a seciunii eliptice. Pentru desfurarea conului se determin adevrata mrime a generatoarelor, prin rotaia lor n jurul unei axe verticale Z(z,z) ce trece prin vrful conului. Punctele seciunii se translateaz, paralel cu axa Ox, pe generatoarele rotite, n punctele 11 81 i apoi se figureaz pe desfurata conului, considernd distanele : v11 = V010, v21 = V020,...., v81 = V080.

A0 B0 E0 F0 G0 L0 K0 A0

1020

C0

30

4050 60

70

80 10

i0

j0

110

b)

Fig.9.53 Rezolvarea problemei 1

SUPRAFEE CURBE

189

3. Se consider sfera de raz R = 25, cu centrul n punctul (45,30,30). a) S se gseasc punctele de intersecie dintre dreapta D(d,d), definit de punctele A(75,10,30) i B(15,20,45) i s se studieze vizibilitatea dreptei; b) S se determine seciunea plan fcut de planul de capt [P] : OPx

suprafete curbe

Documents

Transcript of suprafete curbe