Capitol 3 Curbe

CAPITOLUL 3

SUPRAFEE Rezumat. Se definete noiunea de suprafa i se dau reprezentrile analitice:

( ),r r u v=! ! , 0u ur r "! "! ! , ( ) 2,u v D # (parametric), ( ) ( ) 2, , ,z f x y x y A= # (explicit), ( ) 2 2 2, , 0, 0x y zF x y z F F F= + + > , ( ) 3, ,x y z V # (implicit). Se definete planul tangent ntr-un punct P al unei suprafee S ca planul prin P care conine vectorii necoliniari ur

"! i vr"!

. Forma I-a fundamental se definete ca restricia produsului scalar la spaiul tangent n P la S. Se descriu proprietile ei i aplicaiile ei la calcularea lungimii curbelor pe S, a unghiului a dou curbe pe S i a ariei unei poriuni date din S.

Vectorii 1 2,u vr h r h "! "! "! ""!

i 1 2

1 2

h hNh h

=

"! ""!""!"! ""! formeaz un reper (Gauss) mobil pe S. Variaia

acestui reper este dat de formulele lui Gauss: 2

1

kiij k ijj

k

h h b Nu

=

= +

"! ""! ""!

i formulele lui

Weingarten: 2

1

ji ji

j

N A hu

=

=

""! ""!

, cu i,j = 1,2. Aceste formule introduc coeficienii

( )ij jib b= ai celei de a II-a forme fundamentale i operatorul Weingarten de matrice ( )ijA n baza ( )1 2,h h"! ""! . Se introduc curburile principale ca soluii ale ecuaiei ( ) ( )2 2 211 22 12 11 22 12 12 21 11 11 22 122 0g g g k g b g b g b k b b b + + = i se definete curbura total a unei suprafee:

211 22 12

1 2 211 22 11

b b bK k kg g g

= =

i curbura medie

( )1 212H k k= + . Se deduc ecuaiile lui Gauss i apoi ecuaiile Peterson Mainardi Codazzi. Se anun teorema fundamental a suprafeelor prin care se arat c formele I-a i a II-a fundamentale determin suprafaa S.

1. Definiia suprafeei n spaiul euclidian 3E . Fie spaiul euclidian 3E dotat un reper ortonormat, pozitiv orientat

( ){ }, , ,O i j k = ! ! ! . Definiia 1.1. O submulime S din 3E se numete suprafa elementar

dac ( )S h U= , 2U # mulime deschis i aplicaia 3:h U E este o scufundare difereniabil de clas ( )1sC s a lui U n 3E . Perechea ( ),U h se numete parametrizare a suprafeei elementare S.

Capitolul 3. Suprafee

61

Vom nota prin 3:r U !

# sau prin 3:h U !

# funcia vectorial definit de aplicaia h, adic dac pentru ( ),u v U punem ( ) ( ), ,h u v P u v S= , atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,r u v OP u v x u v i y u v j z u v k= = + +! """! ! ! ! , cu funciile coordonate x, y, z difereniabile de clas ( )1sC s . Amintim c h este scufundare pe U dac este imersie pe U i homeomorfism pe imagine. Condiia de imersie pe U este ca

(1.1) 2 pe u v

u v

u v

x xrang y y U

z z

=

.

Amintim c prin , , , , ...u v uu uv vvx x x x x notm derivatele pariale ale funciilor n raport cu variabilele indicate de indicii de jos.

Condiia (1.1) este echivalent cu (1.2) 0 pe .u vr r U

"! "! !

Fie $ 2U # mulime deschis i aplicaia bijectiv $:U U dat de ecuaiile

(1.3) %( )%( ) %( ) $

, ,

, , , ,

u u u v

v v u v u v U

=

=

%

% %

un difeomorfism de clas ( )1sC s . Condiia ca s fie difeomorfism implic

(1.4) %

%

$0 pe

u uu v Uv vu v

%

%

.

Reciproc, dac aplicaia bijectiv $:U U este de clas ( )1sC s i verific (1.4) atunci ea este difeomorfism de clas ( )1sC s .

Propoziia 1.1. Fie S suprafa elementar cu parametrizarea ( ),U h i un difeomorfism $:U U de clas ( )1sC s . Atunci perechea $ %( ),U h h = & este o nou parametrizare a suprafeei elementare S.

Demonstraie. Observm mai nti c pentru % $ 3:h U E avem % $( ) $( )( ) ( )h U h U h U S= = = . Aplicaia %h este difereniabil de clas sC pentru c este compusa a dou aplicaii difereniabile de clas sC . Ea este i homeomorfism pe imagine pentru c este compusa a dou homeomorfisme pe imagine. Rmne s


62

artm c %h este imersie pe $U . Notm prin h!

aplicaia vectorial asociat ei. Avem

(1.5) %( ) %( ) %( )( ), , , ,h u v r u u v v u v=! !% % % . Regula de derivare compus se extinde, pe componente, la funcii

vectoriale nct derivnd n (1.5) obinem

(1.6) % % % ,

.

u vu

u vv

u vh r ru uu vh r rv v

= + = + %

""! "! "!

""! "! "!% %

Avnd n vedere proprietile produsului vectorial rezult

(1.7) % ( ) %%

u vu v

u uu vh h r rv vu v

=

%

""! ""! "! "! %

%

.

Aadar % $0 pe u vh h U %""! ""! !

. Aplicaia se numete schimbare de parametrizare sau de parametri pe S. Definiia 1.2. O submulime ! n 3E se numete suprafa dac orice

punct al ei aparine cel puin unei suprafee elementare coninut n ! .

2. Reprezentri analitice ale suprafeelor

Fie 2D # o mulime deschis i ( ) ( ): , , ,f D x y z f x y =# , o funcie real de dou variabile reale. Mulimea ( )( ) ( ){ }, , , ,fG x y f x y x y D= se numete graficul (graful) lui f.

Teorema 2.1. Fie :f D # funcie difereniabil de clas ( )1sC s . Graficul ei fG este suprafa elementar n

3E .

Demonstraie. Fie aplicaia 3:h D E care asociaz unui punct ( ),x y D , punctul 3P E de coordonate ( )( ), , ,x y f x y . Este evident c ( ) fh D G= . Aplicaia vectorial 3:h D

!# asociaz lui ( ),x y vectorul de

componente ( )( ), , ,x y f x y . Aceast aplicaie este difereniabil de clas ( )1sC s . Ea este imersie pe D pentru c matricea Jacobian


63

1 00 1h

x y

Jf f

=

are evident rangul 2 pe D. Mai mult, aplicaia h este homeomorfism pe imagine, inversa ei fiind aplicaia care asociaz punctului ( )( ), , ,P x y f x y , perechea ( ),x y D , aplicaie care este evident continu. Am artat astfel c ( ),D h este o parametrizare pentru fG , deci fG este suprafa elementar.

Observaia 2.1. Similar se arat c mulimile de puncte ( )( ){ }, , ,P x x z z i ( )( ){ }, , ,P y z y z , unde i sunt funcii asemntoare cu

f, sunt suprafee elementare n 3E . Teorema 2.1 ne permite s spunem c ecuaia (2.1) ( ) ( ) 2, , ,z f x y x y D= # , D mulime deschis,

reprezint analitic o suprafa (elementar). Similar, ecuaiile (2.1) ( ) ( ) 2, , , 'y x z x z D= # , (2.1) ( ) ( ) 2, , , ''x y z y z D= # , D i D mulimi deschise,

reprezint analitic suprafae (elementare) n 3E . n aceste reprezentri funciile , ,f sunt desigur difereniabile de clas

( )1sC s . Pentru c n continuare vom lucra numai cu funcii difereniabile de o clas suficient de nalt pentru a ne asigura de existena derivatelor necesare n calcul, vom omite a preciza de fiecare dat acest lucru.

Reprezentrile analitice (2.1), (2.1) i (2.1) se numesc reprezentri explicite ale unei suprafee (elementare).

Teorema 2.2. Mulimea ( ) ( ){ , , P r r r u v= =! ! !! ( ) 2, ,u v U U # mulime deschis, cu funcia vectorial r

! difereniabil de clas ( )1sC s pe U i

}0 pe u vr r U "! "! ! este suprafa n 3E . Demonstraie. Vom arta c orice punct din ! aparine cel puin unei

suprafee elementare inclus n ! . Fie ( )( )0 0 0 0,P r u v "! ! . Deci ( )0 0, 0u v u vr r "! "! ! , ceea ce nseamn c cel puin una dintre cele trei componente ale vectorului u vr r

"! "!

este diferit de zero n punctul ( )0 0,u v . S presupunem c ( )0 0,

0u vu v u v

x xy y

.


64

Continuitatea funciilor n discuie ne asigur c exist un deschis 0U care conine

punctul ( )0 0,u v i este inclus n U pe care 0u vu v

x xy y

.

Teorema de inversare local ne arat c sistemul de ecuaii ( )( ) ( ) 0

,

, , ,

x x u v

y y u v u v U

==

se poate rezolva n raport cu u i v i se obin soluii difereniabile de clas sC de forma

( )( ) ( )

,

, , , ,

u u x y

v v x y x y D

==

unde D este o mulime deschis n 2# , ce conine punctul de coordonate ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, , ,x x u v y y u v= = . nlocuim aceste soluii n ecuaia ( ),z z u v= i

obinem ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , , ,z z u x y v x y f x y x y D= = .

Funcia :f D # este difereniabil de clas sC fiind o compunere de funcii difereniabile de clas sC .

Considerm graficul fG al funciei f. Dup Teorema 2.1, fG este suprafa elementar. Punctul 0 fP G pentru c are coordonatele

( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, , , , ,x u v y u v z u v care, cu notaiile de mai sus, avnd n vedere i c ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , ,u x y u v x y v= = , devin ( )( )0 0 0 0, , ,x y f x y . n plus, fG este coninut n ! pentru c pentru orice ( ) 0,u v U , coordonatele ( ) ( ) ( )( ), , , , ,x u v y u v z u v se pot exprima n forma ( )( ), , ,x y f x y .

n cazul n care 0 pe u vu v

x xU

y y= , cel puin unul dintre determinanii

u v

u v

y yz z

, u vu v

z zx x

este diferit de zero n ( )0 0,u v . Un raionament similar ne va arta c punctul 0P aparine sau unei suprafee elementare ( )( ){ }, , ,P x x z z sau unei suprafee elementare de forma ( )( ){ }, , ,P y z y z cu i funcii difereniabile pe deschii din 2# , suprafee elementare coninute n ! .

Teorema 2.2 ne arat c (2.2) ( ) ( ) 2, , 0 ,u vr r u v r r u v U=

! ! "! "! !# ,


65

U mulime deschis, ne d o reprezentare analitic a unei suprafee n 3E . Aceast reprezentare se numete reprezentare vectorial parametric a unei suprafee n

3E . Numerele u, v se numesc parametri pe suprafa. O pereche ( ),u v determin unic un punct P de pe suprafa. Vom scrie ( ),P u v .

Reprezentarea (2.2) are forma scalar

(2.2) ( )( )( )

2 2 2, ,

, , 0

, ,

u v u v u v

u v u v u v

x x u vx x y y z z

y y u vy y z z x x

z z u v

== + + >=

pe mulimea deschis 2U # . Reprezentarea dat de ecuaiile (2.2) se numete reprezentare

parametric a suprafeei. Teorema 2.3. Mulimea ( ) ( ){ , , , , 0,P x y z F x y z= =! cu :F V #

funcie difereniabil de clas sC pe un deschis 3V # i 2 2 2 0x y zF F F+ + > pe

}V , dac este nevid, este o suprafa n 3E . Demonstraie. Fie ( )0 0 0 0, ,P x y z ! , deci ( )0 0 0, , 0F x y z = . S

presupunem c 0

0z PF . Rezult c 0zF pe o mulime deschis 0V ce conine 0P

i este inclus n V. Dup o eventual micorare, mulimea 0V se poate scrie n forma 0V U I= , unde U este o mulime deschis n

2# centrat n ( )0 0,x y i I un interval deschis centrat n 0z . Teorema funciilor implicite ne asigur c n aceste condiii ecuaia ( ), , 0F x y z = se poate rezolva n raport cu z, adic exist o funcie difereniabil de clas sC , :f U I , nct

( )0 0 01 ,f x y z=& ( )( )2 , , , 0 pe F x y f x y U=& . Considerm graficul fG al funciei f. Dup Teorema 1.2, fG este

suprafa elementar. Condiia 1& ne asigur c 0 fP G iar condiia 2& ne arat c

fG ! . Dac 0zF = pe V atunci fie 0 0x PF , fie 0 0y PF . Un raionament analog ne arat c 0P aparine fie unei suprafee elementare ( )( ){ }, , ,P x x z z fie unei suprafee elementare ( )( ){ }, , ,P y z y z , cu funciile i difereniabile pe deschii din 2# , ambele incluse n ! .

Dup Teorema 2.3, condiiile


66

(2.3) ( ) 2 2 2, , 0, 0x y zF x y z F F F= + + > pe V mulime deschis n 2# , reprezint analitic o suprafa. Aceast reprezentare se numete reprezentare

implicit. Putem spune, n concluzie, c o suprafa n 3E se poate reprezenta

analitic n trei moduri: explicit, parametric i implicit. Aceste trei reprezentri analitice sunt local echivalente n sensul c orice

punct P al unei suprafee aparine unei suprafee elementare care se poate reprezenta n toate cele trei moduri posibile.

ntr-adevr, dac P este pe o suprafa elementar dat explicit n forma ( ),z f x y= , cu notaia ( ) ( ), , ,F x y z z f x y= aceast suprafa o putem gndi

dat implicit n forma ( ), , 0F x y z = , pentru c 2 2 2 2 21 0x y z x yF F F f f+ + = + + . Pe de alt parte aceeai suprafa elementar se poate gndi ca dat parametric n

forma

( )

,,

, ,

x uy vz f u v

===

pentru c suma de determinai la ptrat din (2.2) este aici

2 21 0x yf f+ + > . Dac P este pe o suprafa dat implicit, Teorema 2.3 ne arat cum s

ajungem la forma explicit. n cazul n care P este pe o suprafa dat parametric, Teorema 2.2 ne indic modul de explicitare.

n practic se folosesc toate cele trei reprezentri analitice. n probleme teoretice reprezentarea parametric se dovedete mai util. Aceasta va fi folosit cu precdere n cele ce urmeaz pentru a prezenta geometria diferenial euclidian a suprafeelor.

Prin geometria diferenial euclidian a suprafeelor nelegem proprietile suprafeelor i mrimile, construciile asociate suprafeelor, care sunt invariante la izometriile spaiului euclidian 3E i la schimbrile de parametrii pe suprafa. Vom spune despre o proprietate a suprafeei sau o mrime asociat ei c are caracter geometric sau, simplu, c este geometric dac nu depinde, nu este modificat, de izometriile lui 3E i de nici o reparametrizare a suprafeei. n continuare vom prezenta, studia, folosi i aplica numai proprieti geometrice ale suprafeelor chiar dac acest lucru nu va fi menionat ntotdeauna n mod explicit. Cititorul este invitat s verifice caracterul geometric al proprietilor i mrimilor ntlnite.

Fie 3E dotat cu un reper ortonormat ( ){ }, , ,O i j k = ! ! ! pozitiv orientat i un punct ( ), ,P x y z , , ,x y z fiind coordonate n reperul R .


67

O izometrie a lui 3E cu pstrarea orientrii transform ( ), ,P x y z ntr-un punct ( )' ', ', 'P x y z i reperul R ntr-un reper ortonormat la fel orientat

( ){ }' ', ', ', 'O i j k= ! ! !R . Cum ( )', ', 'x y z sunt coordonatele lui 'P n reperul 'R , formulele care dau analitic izometria sunt identice cu formulele de trecere de la reperul R la reperul 'R . nct putem substitui izometria care mut punctul P n punctul 'P cu o schimbare de repere ortonormate care las P nemicat dar schimb coordonatele sale ( ), ,x y z n ( )', ', 'x y z . Rezult c pentru a ne asigura c o proprietate a suprafeei exprimat cu ajutorul unui reper ortonormat este invariant la izometrii, este suficient s verificm c este invariant la schimbarea reperului ortonormat folosit n exprimarea ei.

Fie, de exemplu, o suprafa reprezentat analitic n reperul R prin ( ) ( ), , ,r r u v u v U= ! ! , 0 pe u vr r U

"! "! !unde funcia vectorial r

! este difereniabil

de clas ( )1sC s . Aceast proprietate de difereniabilitate este invariant la izometriile spaiului, pentru c este invariant la schimbarea reperului R n reperul

'R . ntr-adevr, n 'R punctul ( )( ),P r u v! are vectorul de poziie ( ),u v"! dat de formula ( ) ( ), ' ,u v O O r u v = +"! """"! ! , cu 'OO""""! independent de ( ),u v . Este evident c funcia vectorial

"! se poate deriva pn la ordinul s i n plus derivatele ei coincid

cu cele ale funciei vectoriale r!

. Ca o consecin avem c 0u v u vr r = ""! ""! "! "! !

i

deci i proprietatea 0u vr r "! "! !

este invariant la (pstrat de) izometriile spaiului 3E . Proprietile menionate sunt invariante i la schimbri de parametrii pe

suprafa. Pentru a se convinge, cititorul este invitat s revad demonstraia Propoziiei 1.1.

3. Curbe pe o suprafa

n continuare vom studia numai proprieti punctuale i locale ale

suprafeelor i ca atare ne vom limita la a considera numai suprafee elementare numite simplu suprafee i notate de obicei cu S . Amintim c cele trei reprezentri analitice pentru S sunt echivalente i vor fi folosite alternativ, dup nevoile de raionament sau de calcul.

Fie suprafaa ( )S h U= cu U mulime deschis n 2# i 3:h U E scufundare difereniabil de clas ( )1sC s .

Definiia 3.1. Se numete curb pe S imaginea prin h a unui arc elementar c din U .


68

Fie ( )c I= unde I este un interval deschis n # i o scufundare a lui I n 2# identificat cu E2 prin alegerea unui reper ortonormat. Rezult c

( )( )C h I= este o curb pe S . (Fig. 21)

Fig. 21 Arcul elementar c se poate reprezenta analitic n formele echivalente:

(3.1) ( )( ) 2 2, ' ' 0 pe ,

u u t

v v t u v I

== + >

(3.2) ( ) ( ) sau , , v f u u g v f g= = funcii reale de o variabil real,

(3.3) ( ) ( )2 2 2, 0, 0, , , u vF u v F F u v D D= + > # mulime deschis. Cunoaterea unei asemenea reprezentri este suficient pentru a descrie

curba pe suprafa pentru c nu avem dect de efectuat o compunere cu aplicaia h . Din acest motiv vom spune c (3.1) (3.3) sunt reprezentri analitice ale curbei C pe suprafaa S .

Reprezentarea analitic (3.1) duce la reprezentarea curbei C n forma

(3.1)

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

, ,

, ,

, , , sau

x x u t v t

y y u t v t

z z u t v t t I

===

2#

( )0 0,u v

( )0 0 0,P u v S


69

(3.1) ( ) ( )( ), , r r u t v t t I= ! ! . Formula de derivare a funciilor compuse ne d

(3.4) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ' , ' , u vd r t r u t v t u t r u t v t v t t Idt = + ! "! "!

.

Aceast formul ne arat c ( ) 0d r tdt

! pe I pentru c n caz contrar,

avnd n vedere c derivatele 'u i 'v nu sunt simultan nule, ar rezulta c ur"!

i vr"!

sunt vectori coliniari, adic 0u vr r ="! "! !

cel puin ntr-un punct din U , fals. n cazul n care arcul c are reprezentarea (3.2), curba C are ecuaiile (3.2) ( )( ), , r r u f u u J= ! ! interval deschis n # . Formula

(3.5) 'u vd r r r fdu

= +

! "! "!,

ne arat c 0 pe dr Jdu

! !.

Pentru a obine o reprezentare a curbei C plecnd de la reprezentarea (3.3), trebuie mai nti s facem o explicitare n forma (3.2).

Fie ( )0 0 0,P u v S . Din injectivitatea aplicaiei h rezult c perechea ( )0 0,u v este unic determinat nct ( )0 0 0,P h u v= .

Fie n U deschis n 2# segmentul de dreapt de ecuaie (3.6) 0v v=

care se poate reprezenta parametric prin

(3.6) 0 , interval deschis in .

u uv v u J== #

Imaginea prin h a acestui segment de dreapt este o curb pe S care trece prin 0P i care este de fapt mulimea punctelor ( )0,P u v cu u J . Ea se poate reprezenta i n forma

(3.6) ( )0, , r r u v u J= ! !

. Aceast curb se numete linia parametric 0v v= . Similar definim curba

numit linia parametric 0u u= ca imaginea segmentului de dreapt (deschis) din U de ecuaii

(3.7) 0u u= ,

(3.7) 0,

, interval deschis in u uv v v I== #


70

(3.7) ( )0 , , r r u v v I= ! !

. Punctul 0P este la intersecia liniilor (curbelor) parametrice 0u u= i

0v v= , motiv pentru care se spune c 0u i 0v sunt coordonate curbilinii ale punctului 0P .

A se compara cu situaia unui punct M dintr-un plan raportat la un reper cartezian Oxy . Punctul ( )0 0,M x y se gsete la intersecia dreptelor 0x x= i

0y y= i se spune c ( )0 0,x y sunt coordonate rectangulare. Vectorul tangent la curba 0v v= n punctul ( )0 0 0,P u v= este

( )0 0' ,u ud r r u r u vdu = =! "! "!

iar vectorul tangent la curba 0u u= n acelai punct este

( )0 0,vr u v"!

. Amintim c aceti vectori sunt necoliniari pentru c 0 pe u vr r U "! "! !

. Dac vom considera imaginile prin h ale tuturor segmentelor din U de

ecuaie 0v v= , obinem pe S o familie de curbe numit familia curbelor sau liniilor parametrice v = constant. Similar imaginile prin h ale segmentelor din U de ecuaie

0u u= constituie o familie de curbe pe S, numit familia curbelor sau liniilor parametrice u = constant. Prin fiecare punct 0P al suprafeei trece cte o linie din fiecare familie de linii parametrice, care nu au alte puncte comune n afara lui 0P pentru c h este aplicaie injectiv i vectorii lor tangeni n 0P sunt necoliniari. Se spune c cele dou familii de linii parametrice formeaz o reea pe suprafa, numit reeaua liniilor parametrice (Fig. 22)

Fig. 22. Reeaua liniilor parametrice pe S

v = v0

u = u0

P(u0,v0)


71

Observaie. Reeaua liniilor parametrice se construiete plecnd de la o parametrizare, deci depinde de parametrizare. Reciproc, dat o reea de curbe pe suprafa, adic dou familii de curbe pe suprafa, cu proprietatea c prin fiecare punct al suprafeei trece cte o curb din fiecare familie, curbe care nu au alte puncte comune i au vectorii tangeni n punctul de intersecie necoliniari, se obine o parametrizare a ei.

4. Spaiul tangent ntr-un punct al unei suprafee n Capitolul 0 am numit spaiul vectorial 3V spaiu tangent la 3E n O

pentru motivul c aplicaia 3 3:O E V care asociaz lui 3A E vectorul 3OA V"""!

este bijecie. Am stabilit i c pentru orice punct 3P E aplicaia similar

( )3 3 3: , , P PE V A PA A E = """!

, este bijecie, adic 3V este spaiu tangent n toate punctele lui 3E .

Noiunea de spaiu tangent este o noiune punctual. Pentru a sublinia acest lucru vom considera mulimea ( ){ }3 3, ,PT E P v v V= ! ! i o vom organiza ca spaiu liniar cu operaiile

(4.1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3, , , , , , , , ,P v P w P v w a P v P av a v w V+ = + = ! "! ! "! ! ! ! "!# . Aplicaia dat de ( ),P v v! ! este evident un izomorfism liniar a lui 3PT E

cu 3V . Definiia 4.1. Numim 3PT E spaiu liniar tangent la

3E n 3P E . Vom da o interpretare geometric lui 3PT E care va justifica denumirea de

spaiu tangent. Fie n 3E un reper ortonormat ( )({ }, , ,O i j k= ! ! !R pozitiv orientat n raport cu care 3P E are vectorul de poziie 0r

"!. Fie dreapta prin P de direcia

vectorului 3v V!

. Ecuaia ei este 0 , r r tv t= + ! "! !

# i observm c aceast dreapt (curb particular) are proprietile

i) La valoarea 0t = trece prin P,

ii) Vectorul tangent ei n P este ( )0d r vdt

=

! !.

De fapt exist o mulime de curbe n 3E cu proprietile i) i ii). Ele au comun P i v

!. Le vom pune ntr-un acelai co pe care-l vom eticheta cu ( ),P v! .

Avem astfel o semnificaie geometric a elementului ( ),P v! din 3PT E : el reprezint


72

o mulime de curbe care trec prin P i au n P ca vector tangent pe v!

. Prin reparametrizare se poate aranja ca fiecare curb din mulime s treac prin P la valoarea zero a parametrului de pe curb. Cititorul este invitat s regndeasc aceast interpretare a lui 3PT E n termeni de relaie de echivalen. Coul de care vorbeam este o clas de echivalen. Evident c pentru a da clasa de echivalen este suficient s dm un reprezentat al ei. n cazul acesta cel mai simplu este s dm dreapta prin P de vector director v

!.

Consideraiile de mai sus ne sugereaz o metod de a defini o noiune de spaiu tangent ntr-un punct al unei mulimi diferit de 3E . Ar trebui ca acea mulime s conin curbe care s admit tangente. Vom folosi aceast metod la suprafee.

Fie o suprafa ( )S h U= cu U mulime deschis n 2# i 3:h U E scufundare. Fie P S definit de ( )0 0,h u v , adic ( )0 0,u v sunt coordonatele sale curbilinii. Vom nota, ca de obicei, prin r

! funcia vectorial asociat lui h.

Fie o curb ( ) 2: , , 0 ># , cu ( ) ( )0 00 ,u v = . Atunci ( ): ,h S & este o curb pe S care trece prin P la valoarea zero a

parametrului. Definiia 4.2. Se numete vector tangent la S n punctul P S , un vector

din 3PT E care este tangent la o curb prin P, situat pe S. Vom nota prin PT S mulimea vectorilor tangeni la S n punctul P S . Observaie. Fiind dat un vector X din V3 tangent la suprafaa S n punctul

ei P, exist o infinitate de curbe prin P, situate pe S, care s aib ca vector tangent n P, vectorul X. Ele vor fi gndite ntr-o clas de echivalen definit de urmtoarea relaie de echivalen: dou curbe pe S care trec prin P sunt echivalente dac au acelai vector tangent n P (Fig. 23).

Fig. 23


73

Continum cu folosirea notaiilor deja introduse. Ecuaia curbei imagine pe S a curbei este

(4.2) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2, , ' ' 0, ,r r u t v t u t v t t = + > ! ! . Aceast curb trece prin P la valoarea 0t = . Vectorul tangent ei n P este

(4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 , ' 0 , ' 0u vd r r u v u r u v vdt = +! "! "!

.

Vectorul ( )0d rdt

! este tangent suprafeei S n P.

Linia parametric 0v v= trece prin P iar vectorul tangent ei n P este

( )0 0,ur u v"!

. Deci ( )0 0,ur u v"!

este tangent suprafeei S n P. Similar constatm c

( )0 0,vr u v"!

este tangent suprafeei S n P. Aadar vectorii necoliniari (deci liniar

independeni) ( )0 0,ur u v"!

i ( )0 0,vr u v"!

din 3V sunt n PT S . Mai mult, formula (4.3) ne arat c orice vector din PT S este o combinaie liniar de vectorii liniar

independeni ( )0 0,ur u v"!

i ( )0 0,vr u v"!

. Rezult c are loc Propoziia 4.1. Mulimea PT S este un subspaiu liniar de dimensiune 2 a

spaiului liniar 3PT E . Pe baza acestei propoziiei vom numi PT S spaiu liniar tangent la S n

punctul P S . Noiunea de spaiu tangent, noiune punctual, este o noiune geometric,

intrinsec asociat suprafeei S. Vom demonstra Propoziia 4.2. Spaiul liniar tangent PT S nu depinde de reperul ales n

3E i nici de parametrizarea suprafeei S. Demonstraie. Am vzut mai sus c vectorii ur

"! i vr"!

nu depind de reperul R din 3E , deci nici PT S nu depinde de R . La o schimbare de parametrii (1.3),

(1.4), au loc formulele (1.6) care ne arat c vectorii %uh""!

, vh%""!

genereaz subspaiul liniar PT S .


74

5. Planul tangent ntr-un punct al suprafeei. Normala la suprafa

Continum s considerm o suprafa S cu reprezentarea parametric (5.1) ( ), , 0u vr r u v r r=

! ! "! "! ! pe mulimea deschis 2U # ,

i un punct ( )0 0,P u v pe S. Definiia 5.1. Subspaiul afin din 3E determinat de P i spaiul liniar PT S

se numete plan tangent la S n P. Am vzut c PT S este generat de vectorii ( )0 0,ur u v

"! i ( )0 0,vr u v"!

. Deci planul tangent la S n p este planul care trece prin P i conine aceti

vectori. Ecuaia sa este evident (5.2) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, , , , , 0u vr r u v r u v r u v =! ! "! "!

sau cu ajutorul coordonatelor de vectori:

(5.2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

, , ,, , , 0, , ,

u u u

v v v

x x u v y y u v z z u vx u v y u v z u vx u v y u v z u v

= .

Putem da planul tangent la S n P i prin ecuaia (5.2) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , , ,u vr r u v r u v r u v = + +

! ! "! "!# .

Fie suprafaa S reprezentat explicit n forma (5.3) ( ) ( ), , ,z f x y x y D= mulime deschis n 2# . Pentru a gsi ecuaia planului tangent la S n ( )( )0 0 0 0, , ,P x y f x y , trecem

la reprezentarea parametric ( ) ( ), , , , ,x u y v z f u v u v D= = =

i aplicm (5.2). Obinem

(5.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 00, , , ,f fp x x q y y z z p x y q x yx y

+ = = =

.

n cazul n care suprafaa S este reprezentat implicit prin (5.5) ( ) ( )2 2 2, , 0, 0, , ,x y zF x y z F F F x y z V= + + >

mulime deschis n 3# , pentru a obine ecuaia planului tangent la S n ( )0 0 0, ,P x y z S se face o explicitare, de exemplu n forma ( ),z f x y= dac ( )0 0 0, , 0zF x y z cu ( )0 0 0,z f x y= i ( )( ), , , 0F x y f x y pe o submulime

deschis ce conine punctul ( )0 0 0, ,x y z . Prin derivarea acestei identiti n raport cu x i y se obin identitile

0, 0x z y zf fF F F Fx y

+ +


75

din care deducem ( )( )

( )( )

0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 0

, ,, ,,

, , , ,yx

z z

F x y zF x y zp q

F x y z F x y z= = .

Prin nlocuire n (5.4) obinem ecuaia planului tangent la S, dat prin (5.5), n ( )0 0 0, ,P x y z S n forma

(5.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , 0x y zx x F x y z y y F x y z z z F x y z + + = . Ecuaia (5.6) se scrie compact n forma (5.6) ( )0 0 0, , grad 0r r u v F =! ! ,

unde indicele 0 arat c vectorul grad F se calculeaz n punctul ( )0 0 0, ,x y z . Definiia 5.1. Dreapta perpendicular pe planul tangent la S n punctul

P S care trece prin P se numete normala la suprafa n punctul P . Vectorul care d direcia normalei n ( )0 0,P u v este vectorul u vr r

"! "!

calculat n ( )0 0,u v . Ecuaia normalei la S n punctul P este (5.7) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , , u vr r u v r u v r u v = +

! ! "! "!# .

Versorul ( )0 0, u vu v

P

r rN u vr r

=

"! "!""!"! "! se numete versorul normalei la S n

punctul P . Vectorii ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, , , , ,u vr u v r u v N u v"! "! ""! sunt liniari independeni, adic formeaz o baz n 3PT E . Ansamblul ( ) ( ) ( )( ){ }0 0 0 0 0 0, , , , , ,u vP r u v r u v N u v"! "! ""! este un reper n 3E cu originea n P S , numit reperul lui Gauss. Reperul lui Gauss se modific atunci cnd punctul P variaz pe S . Cu alte cuvinte, el este un reper mobil pe S .

6. Forma I-a fundamental a unei suprafee

Fie din nou suprafaa S reprezentat parametric prin (5.1). ncepnd cu acest paragraf, vom renota parametrii pe S astfel: 1 2, u u v u= = i vom pune

1 11 2, u vu vr r h r r h= = = ="! ""! "! "! ""! ""!

. Cu P S , vom nota prin , ...P PX Y vectori din PT S . Rezult c vectorul

P PX T S este de forma

(6.1) 2

1 2 1 21 2

1, ,iP i

iX X h X h X h X X

=

= + = "! ""! "! # ,


76

pentru c vectorii 1h"!

i 2h""!

formeaz o baz n PT S . Vectorii tangeni la S n P S au caracter geometric pentru c au fost

definii ca vectori tangeni la curbe pe S care trec prin P . Amintim c factorii 1X i 2X din (6.1) sunt n fond

(6.2) ( ) ( )1 2

1 20 , 0 ,du duX Xdt dt

= =

unde

(6.3) ( )( ) ( )

2 21 1 1 2

2 20, , ,

,

u u t du du tdt dtu u t

=

+ > =

reprezint o curb pe S care trece prin P la 0t = . Schimbarea reperului ortonormat din 3E nu modific nici 1 2,X X i nici

vectorii 1 2,h h"! ""!

. Schimbarea parametrilor pe suprafa modific att numerele 1 2,X X ct

i vectorii 1 2,h h"! ""!

dar, dup cum vom verifica imediat, PX rmne acelai. Fie schimbarea de parametrii

(6.4) % %( )% %( ) % %( ) $1 21 1

1 2 1 22 2 2

,

, , , multime deschisa in

u u u u

u u u u u u U

= = #

cu condiia

(6.4) % %

% %

$

1 1

1 12

2 2

1 2

0 pe .

u uu u Uu uu u

Sistemul (6.4) n necunoscutele % %1 2,u u se poate rezolva n forma

(6.5) % % ( )% % ( ) ( )1 1 1 2

2 2 1 2 1 2

,

, , ,

u u u u

u u u u u u U

= =

n parametrizaia dat de % %1 2 si u u , curba (6.3) are ecuaiile

(6.6) % % ( ) ( )( )% % ( ) ( )( ) ( )1 1 1 2

2 2 1 2

,

, , , .

u u u t u t

u u u t u t t

= =

Prin derivare n raport cu t a funciilor din (6.6), obinem


77

$ % ( ) % ( ) % ( )$ % ( ) % ( ) % ( )

1 1 11 21

1 2

2 2 21 22

1 2

: 0 0 0

: 0 0 0 ,

du u du u duXdt u dt u dt

du u du u duXdt u dt u dt

= = +

= = +

unde derivatele pariale %1

2

uu

, sunt calculate n ( ) ( )( )1 20 , 0u u , coordonatele curbilinii ale lui P S .

Aceste formule se pot scrie mai compact astfel:

(6.7) $%2

1, 1, 2.

ii j

jj

uX X iu

=

= =

Pe de alt parte, n noile notaii, formula (1.6) se scrie n forma

(6.8) $%

2

1,

j

i jij

uh hu=

=

"! ""!

unde % % %( ) % %( )( )1 2 1 21 2, , ,h h u u u u u u=! ! . Ne propunem s artm c (6.9) $ $

2 2

1 1

i ji j

i jX h X h

= =

= "! ""!

.

Avem: $ $%%

2 2 2

1 , , 1 , , 1,

i ji k j k ji j k j jik

i i j k i j k

u uX h X h X h X hu u

= = =

= = =

"! ""! ""! ""! unde am

folosit relaiile

(6.10) %%

2

1

1, 0, .

i jj

kiki

j ku uj ku u

=

= = =

Rmne s ne convingem c are loc (6.10). tim c ecuaiile (6.5) au fost obinute rezolvnd sistemul (6.4). Aadar au

loc identitile % ( ) % ( )( )1 21 2 1 2, , , 1, 2.j ju u u u u u u u j =

Prin derivare compus n raport cu , 1, 2ku k = , obinem:

%%2

1, , 1, 2

ij j

ik ki

u u u j ku uu=

= =

.

Dar j

jkk

uu

=

.

Formula (6.9) ne arat c P PX T S nu depinde de parametrizarea de pe suprafaa S.


78

Definiia 6.1. Aplicaia :P P Pg T S T S # care asociaz perechii ( ),P PX Y numrul real ( ), ,P P P P Pg X Y X Y= , unde , nseamn produsul scalar n 3V , se numete forma I-a fundamental a suprafeei S n P. Aplicaia

PP g se numete forma I-a fundamental a suprafeei S. Observaie. Forma I-a fundamental are caracter geometric pentru c

,P PX Y sunt vectori tangeni i produsul scalar a doi vectori nu depinde de reperul din spaiu.

Aplicaia Pg este evident biliniar, simetric i pozitiv definit ( )( ), 0 0P P P P Pg X Y X T S> .

Fie PX dat de (6.1) i 1 2

1 2PY Y h Y h= +"! ""!

. Biliniaritatea i simetria aplicaiei

Pg conduc la formula

(6.11) ( ) 2, 1

, ,i jP P P iji j

g X Y g X Y=

= unde (6.11) ( ) , ,ij i jg P h h=

"! ""! produs scalar calculat n ( )1 20 0,P u u .

Funciile ijg care depind de P, iar prin intermediul coordonatelor curbilinii apar definite pe U, se numesc coeficienii formei I-a fundamentale.

S efectum o schimbare de parametrii de forma (6.4) cu (6.4) pe S. Fie ' ( ) $ $,ij i jg P h h=

"! ""! noii coeficieni ai formei I-a fundamentale. Cu ajutorul formulei

(6.8), acetia devin ' ( ) % %2 2

1 1,

r s

ij r si jr s

u ug P h hu u= =

=

""! ""! . Prin folosirea proprietilor

produsului scalar obinem

(6.12) ' ( ) % % ( )2

, 1

r s

ij rsi jr s

u ug P g Pu u=

=

.

n aceste egaliti P are n stnga coordonatele curbilinii % %( )1 20 0,u u iar n dreapta are coordonatele curbilinii % %( ) % %( )( )1 2 1 21 20 0 0 0, , ,u u u u u u i derivatele pariale sunt calculate n % %( )1 20 0,u u .

Avnd n vedere (6.10), ecuaiile (6.12) se pot rezolva n raport cu rsg i se obin formulele

(6.12) ( ) % % ' ( )2, 1

i j

rs ijr si j

u ug P g Pu u

=

=

.


79

Formulele (6.12) i (6.12) constituie legea de transformare a coeficienilor formei I-a fundamentale la o schimbare de parametrii pe suprafa.

Coeficienii formei I-a fundamentale sunt n numr de trei: (6.13) 11 1 1 12 21 1 2 22 2 2, , , , ,g h h g g h h g h h= = = =

"! "! "! ""! ""! ""!

sau n notaii clasice (6.14)

2 2

11 12 22: , : , , : .u u v vg E r g F r r g G r= = = = = ="! "! "! "!

Forma ptratic asociat formei I-a fundamentale se numete, de obicei, tot forma I-a fundamental i se noteaz tot prin Pg . Avem

(6.15) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 211 12 22, 1

2 ,i jP P iji j

g X g X X g X g X X g X=

= = + + pentru vectorul tangent PX dat de (6.1).

Notm prin 11 1212 22

g gG

g g

= matricea formei ptratice Pg . Definiia lui Pg ne spune c

211 22 12detG g g g = = este o funcie pozitiv pe U. Acest fapt

rezult i astfel:

(6.16) 2 22 2

1 2 1 2 1 2, 0 pe .h h h h h h U = = >"! ""! "! ""! "! ""!

S ne amintim c vectorul PX are coordonatele de forma (6.2). Direcia sa

este de forma ( ) ( ) { }1 2

0 , 0 , \ 0du dudt dt

# . Cu particular de forma dt = , constatm c direcia lui PX este complet determinat de diferenialele

( )1 2,du du . Vom spune c ( )1 2,du du du= reprezint o direcie tangent suprafeei. Pentru o asemenea direcie definim forma ptratic pozitiv definit

(6.17) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 211 12 22, 2 ,P du g du g du du g du = + + unde coeficienii sunt calculai n ( )1 2,P u u , numit, de asemenea, forma I-a fundamental a suprafeei S. n notaii clasice

(6.17) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , 2 , ,P du dv E u v du F u v dudv G u v dv = + + . n cazul n care suprafaa este dat n forma explicit

( ) ( ), , ,z f x y x y D= , mulime deschis n 2# , punem ,x u y v= = i trecem la reprezentarea parametric ( ) ( )( ), , , ,r u v u v f u v=! i rezult ( )1,0, ,ur p="!

( )1,0,vr q="!

, unde ,x yp f q f= = , n notaiile lui Ch. Monge. Aadar avem (6.18) 2 2 2 21 , , 1 , 1E p F pq G q p q= + = = + = + + .


80

Fie suprafaa S dat implicit de ecuaia ( ) 2 2 2, , 0, 0x y zF x y z F F F= + + > pe V, mulime deschis n 3# . Cu 0zF pe o submulime deschis 0V V , putem explicita ( ),z f x y= i are loc identitatea ( )( ), , , 0F x y f x y pe o submulime deschis D din 2# . Prin derivare n raport cu x i y, obinem identitile

0, 0x z y zF F p F F q+ + , din care rezult ,yx

z z

FFp qF F

= = . Aplicm (6.18) i

obinem

(6.19) 2 2 22

2 2 2 21 , , 1 , 1x y y x yx

z z z z

F F F F FFE F GF F F F

+= + = = + = + .

7. Aplicaii ale formei I-a fundamentale Fie o suprafa ( )S h U= cu U mulime deschis n 2# , un punct P S

i PT S spaiul tangent n P la S. Dup definiia 6.1 perechea ( ),P PT S g este un spaiu vectorial euclidian

(de dimensiune 2). Aadar putem vorbi de lungimea unui vector P PX T S :

(7.1) ( ) ( )2, 1

, ,i jP P P P iji j

X g X X g P X X=

= = precum i de unghiul a doi vectori ,P P PX Y T S :

(7.2) ( ) ( )( )

( ) ( )

2

, 1

2 2

, 1 , 1

,cos ,

i jij

i jP P PP P

P P i j i jij ij

i j i j

g P X Yg X Y

X YX Y

g P X X g P Y Y

=

= =

= =

(

Fie o curb pe suprafaa S de ecuaie (7.3) ( ) ( )( ) [ ]1 2, , ,r h u t u t t a b= ! ! . Vectorul tangent ei dr

dt

! are n baza ( )1 2, din Ph h T S"! ""! coordonatele

1 2

,du dudt dt

i deci ( ) ( )( )2

1 2

, 1,

i j

iji j

d r du dug u t u tdt dt dt

=

= !

. Rezult c lungimea

acestei curbe este


81

(7.4) 2 21 1 2 2

11 12 222 ,b

adu du du duL g g g dtdt dt dt dt

= + +

unde coeficienii ( )ijg sunt calculai n punctul ( ) ( )( )1 2,u t u t . Funcia lungime de arc este n acest caz

( )2 21 1 2 2

11 12 222 ,t

adu du du dus t g g g ddt dt dt dt

= + + iar difereniala ei la ptrat este

(7.5) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 211 12 22, 2ds P du g du g du du g du= = + + . Aadar, forma I-a fundamental apare i ca ptratul diferenialei funciei

lungime de arc. Aceasta este o interpretare geometric a formei I-a fundamentale. Fie dou curbe pe S care trec prin punctul ( )1 20 0,P u v la valoarea 0t a

parametrului, de ecuaii

(7.6) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

1 2

1 20 0

, ,

' ' , ' , , , 0.

r h u t u t

r h u t u t t t t

=

= + >

! !

! "!

Prin definiie, unghiul curbelor (7.6) n punctul lor de intersecie P, este unghiul vectorilor tangeni celor dou curbe n punctul P. Aceti vectori au

componentele ( ) ( )1 2

0 0,du dut tdt dt

i respectiv ( ) ( )1 2

0 0' ',du dut t

dt dt .

Dup (7.2), unghiul lor este dat de formula

(7.7)

2

, 1

2 2

, 1 , 1

'

cos' '

i j

iji j

i j i j

ij iji j i j

du dugdt dt

du du du dug gdt dt dt dt

=

= =

=

.

Dup o simplificare prin ( )2dt , obinem formula care d unghiul a dou direcii pe S n ( )1 20 0,P u u .

Ca aplicaie, s calculm unghiul al curbelor 1u const= i 2u const= . Avem 1 0du = i 2du oarecare, respectiv 1'du oarecare i 2' 0du = . Formula (7.7) ne d

(7.8) ( ) ( )

2 112 12

2 22 1 11 2222 11

'cos .'

g du du g Fg g EGg du g du

= = =


82

Doi vectori tangeni n P S sun ortogonali dac unghiul lor are msura

2 . Dou dire ii tan nte n P S sunt ortogonale dac unghiul lor are msura

2 .

Dou curbe prin P S , situate pe S sunt ortog nale dac unghiul vectorilor

tangeni lor n P are msura 2 .

Formula (7.8) ne arat c liniile parametricdac ( )12 0, 0 pe g F U= = .

Fie D o submulime compact n U i hNotm prin A aria mulimii D .

n unele manuale de Analiz matemaurmtoarea formul de calcul a ariei A:

(7.9) 2 1 211 22 12 ,D

A g g g du du= sau, n notaii clasice,

(7.9) 2D D

A EG F dudv= = Formula (7.9) poate fi intuit prin urm

reeaua liniilor parametrice. Aceasta mparte mulimn Fig. 24.

Fig. 24

ogecte sunt ortogonale dac i numai

( )D S= D imaginea sa n S. tic se demonstreaz riguros

.dudv

toarele consideraii. Fie pe S ea D n patrulatere curbilinii ca


83

Aproximm aria unui asemenea patrulater cu aria paralelogramului determinat de vectorii ur du

"! i vr dv"!

, adic cu numrul

.u vdA r r dudv dudv= = "! "!

Aria A va fi suma ariilor acestor paralelograme infinitesimale, sum care este dat de

D

dudv .

8. Formulele lui Gauss. Formulele lui Weingarten.

Fie suprafaa S reprezentat parametric prin (8.1) ( ) ( )1 2 1 21 2, , 0 ,r h u u h h u u D= ! ! "! ""! ! mulime deschis n 2# . Fie P S . Reperul ( ){ }1 2, , ,P h h N"! ""! ""! , unde 1 2

1 2

h hNh h

=

"! ""!""!"! ""! , cu P variabil, este

un reper mobil pe S, numit reperul lui Gauss. Pentru a studia variaia acestui reper

vom exprima vectorii 1 1 2 21 2 1 2, , ,h h h hu u u u

"! "! ""! ""! n reperul lui Gauss i vom obine

formulele lui Gauss. Exprimarea vectorilor 1Nu

""! i 2

Nu

""! n reperul lui Gauss va

conduce la formulele lui Weingarten. Ne ocupm, pe rnd, de stabilirea acestor

formule. Notm ( )2

: , 1, 2iij jij j ih rh h i ju u u

= = = =

"! !""! ""! i descompunem aceti

vectori n baza ( )1 2, ,h h N"! ""! ""! n forma urmtoare (FG)

2

1, , 1, 2kij ij k ij

kh h b N i j

=

= + =""! ""! ""! , unde funciile kij i ijb de ( )1 2,u u urmeaz a fi determinate.

Prin nmulire scalar cu N""!

n (FG), avnd n vedere c , 0, 1, 2kN h k= =""! ""!

i 2

1N =""!

, obinem

(8.2) ( ) ( )1 2 1 21 2

1 1, , , , ,ij ij ij ijb h N h h h h h hh h= = =

""! ""! "! ""! ""! "! ""! ""!"! ""! ,

unde 22 2

1 1 1 2,h h h h = "! "! "! ""!

.

n notaiile lui Gauss: 11 12 21 22: , : , :b L b b M b N= = = = , dac revenim la parametrizarea ( ),u v , vom scrie


84

(8.2) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , , ,u v uu u v uv u v vvL r r r M r r r N r r r= = = "! "! ""! "! "! ""! "! "! ""!

.

Vom determina acum funciile kij .

nmulim scalar n (FG) cu , 1, 2mh m =""!

. Obinem

, ,k kij m ij k m ij kmk k

h h h h g= = ""! ""! ""! ""! . Cu i,j fixai, sistemul

(8.3) ,kkm ij m ijk

g h h = ""! ""! , n necunoscutele 1ij i

2ij are soluie unic pentru c

( ) 11 1221 22

det det 0mkg g

gg g

= = . Aadar putem obine pe rnd ( ) ( )1 2 1 211 11 12 12, , , i ( )1 222 22, rezolvnd trei sisteme de tipul (8.3), funcie de ( )mkg i ,m ijh h

""! ""!.

Exist un procedeu, pe care-l descriem acum, de a determina simultan toate cele 6 funcii kij .

Prin derivarea relaiei ,ik i kg h h="! ""!

n raport cu ju obinem

(i) , , , , , 1, 2ik ij k i kjjg h h h h i j ku

= + =

""! ""! "! ""!.

Permutm ciclic i,j,k n (i) i obinem

(ii) , , ,ji jk i j ikkg

h h h hu

= +

""! "! ""! ""!

(iii) , ,kj ki j k jiig

h h h hu

= +

""! ""! ""! ""!

.

nmulim una din ecuaiile (i), (ii), (iii) cu -1, fie de exemplu (iii), i le adunm membru cu membru. Obinem

(8.4) [ ]1, : ;2

ij jkiki jk j k i

g ggh h jk iu u u

= + =

"! ""!.

Funciile notate prin [ ];jk i se numesc simbolii Christoffel de specia I-a. Observm simetria lor n indicii j,k. Sistemul (8.3) devine

(8.3) [ ];kmk ijk

g ij m = . Fie ( )mng matricea invers matricii ( )nig , adic avem


85

2

1

1 pentru 0 pentru .

mn mni i

n

i mg g

i m

=

== =

nmulim n (8.3) cu nmg i summ dup m. Rezult

[ ]2 2, 1 1

;nm k nmmk ijk m m

g g g ij m= =

= sau [ ]21

;n nmijm

g ij m=

= . Aadar am obinut

(8.5) 2

1

1 , , , , 1, 22

mj ijn nm miij j i m

m

g ggg i j n mu u u

=

= + = . Funciile nij date de (8.5) se numesc simbolii lui Christoffel de specia a

II-a. Formulele (8.5) justific Propoziia 8.1. Funciile kij se exprim numai cu funciile ( )ijg i

derivatele lor de ordinul I. Formulele (FG) cu funciile ( )kij date de (8.5) i funciile ( )ijb date de

(8.2) se numesc formulele lui Gauss.

Stabilim acum formulele lui Weingarten. Notm :i iNNu

=

""!""! i = 1,2 i

descompunem aceti vectori n baza ( )1 2, ,h h N"! ""! ""! astfel: (8.6)

2

1, 1, 2ji i j

jN A h N i

=

= + =""! ""! ""! , unde funciile jiA i de variabilele ( )1 2,u u urmeaz a fi determinate.

nmulim scalar (8.6) cu N""!

i avem n vedere c 2

1N =""!

, , 0iN N =""! ""!

i

, 0jN h =""! ""!

. Obinem 0 = .

nmulim scalar (8.6) cu ( ) 1, 2kh k =""!

i rezult 2

1,ji jk i k

jA g N h

=

= ""! ""! . Prin derivarea egalitii , 0kh N =

""! ""! n raport cu ( )iu , obinem

, ,i k ik ikN h h N b= = ""! ""! ""! ""!

i deci

(8.7) 2

1, , 1, 2jkj i ki

jg A b i k

=

= = . n (8.7) avem 4 ecuaii care, grupate convenabil cte dou, formeaz dou

sisteme liniare, fiecare cu matricea ( )kjg care este nesingular i deci cele patru


86

funcii ( )jiA sunt unic determinate. Pentru a gsi unitar expresia acestor funcii, nmulim n (8.7) cu hkg i summ dup k. Rezult:

2

, 1

hk j hkkj i ki

k j kg g A g b

=

= sau, avnd n vedere c hk hkj j

kg g = ,

(8.8) 2

1

h hki ki

kA g b

=

= . Formulele

(FW) 2

1

ji i j

jN A h

=

= ""! ""! , cu funciile ( )jiA date de (8.8) se numesc formulele lui Weingarten.

Definim operatorul liniar Weingarten : P PA T S T S prin 2

1

ji i j

jAh A h

=

= "! ""! , cu alte cuvinte ( )jiA este matricea operatorului A n baza ( )1 2,h h"! ""! .

Propoziia 8.2. Operatorul Weingarten A este autoadjunct n raport cu g, adic are loc egalitatea

(8.9) ( ) ( ), , , , Pg AX Y g X AY X Y T S= . Demonstraie. Este suficient s verificm (8.9) pentru iX h=

"! i jY h=

""!.

Avem, n baza egalitilor (8.8), ( ) 2 21 1

, ,k ki j i k j i kj ijk k

g Ah h g A h h A g b= =

= = =

"! ""! ""!. Pe de

alt parte, ( ) 2 21 1

, , k ki j i j k j ki jik k

g h Ah g h A h A g b= =

= = =

"! ""! "! ""! n baza acelorai egaliti

(8.8). Cum ij jib b= , (8.9) are loc.

9. Forma a II-a fundamental a unei suprafee Continum s studiem suprafaa S reprezentat parametric, utiliznd

rezultatele stabilite mai sus. Definiia 9.1. Aplicaia :P P Pb T S T S # dat prin formula (9.1) ( ) ( ), , , ,P P Pb X Y g AX Y X Y T S= ,

se numete forma a II-a fundamental a suprafeei S n punctul P. Aplicaia PP b se numete forma a II-a fundamental a suprafeei S..


87

Aplicaia Pb este o form biliniar pentru c A este operator liniar i Pg este form biliniar. Pe baza egalitii (8.9), forma biliniar Pb este simetric.

Matricea ei n baza ( )1 2,h h"! ""! este ( ) ( ), ,P i j P i j ijb h h g Ah h b= ="! ""! "! ""! , dup cum rezult n demonstraia Propoziiei 8.2. Aadar putem scrie Pb i n forma urmtoare

(9.2) ( ) 2, 1

, i jP iji j

b X Y b X Y=

= , pentru 2 21 1

, i ji ji i

X X h Y Y h= =

= = "! ""! . Observaie. Aplicaia Pb are caracter geometric. Matricea formei biliniare

Pb are determinantul 11 12 2

11 22 1212 22

b bb b b

b b= .

Definiia 9.2. Punctele suprafeei S n care avem ( )211 22 12 0 respectiv 0, 0b b b < = > se numesc puncte hiperbolice (respectiv parabolice, eliptice).

Forma ptratic asociat lui Pb , adic

(9.3) ( ) 2 2, 1 1

, i j iP ij ii j i

b X b X X X X h= =

= = "! , se numete, de asemenea, forma a II-a fundamental a suprafeei S.

Fie ( )1 2,du du du= o direcie tangent suprafeei S. Forma ptratic (9.4) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 211 12 22

, 1, 2i jij

i jP du b du du b du b du du b du

=

= = + + se numete, de asemenea, forma a II-a fundamental a suprafeei.

n notaiile lui Gauss, forma a II-a fundamental se scrie (9.5) ( ) 2 2, , 2P du dv Ldu Mdudv Ndv = + + ,

n care L,M,N sunt funcii de u i v. Cutm expresiile formei a II-a fundamentale n celelalte dou

reprezentri posibile ale suprafeei S. n acest scop continum consideraiile i calculele care ne-au condus la expresiile coeficienilor formei I-a fundamentale n reprezentarea explicit i respectiv n reprezentarea implicit a suprafeei S. Reprezentarea parametric ( ) ( )( ), , , ,r u v u v f u v=! care provine din reprezentarea explicit ( ) ( ) 2, , ,z f x y x y D= # , ne-a condus la ( ) ( )1,0, , 0,1,u vr p r q= =

"! "!.

Derivnd n continuare obinem ( ) ( ) ( )0,0, , 0,0, , 0,0,uu uv vvr r r s r t= = =""! ""! ""!

, unde , ,xx xy yyr f s f t f= = = n notaii Monge.

Formulele de calcul ale coeficienilor L, M, N conduc n aceast reprezentare la formulele


88

(9.6) 2 2 2 2 2 2

, ,1 1 1

r s tL M Np q p q p q

= = =

+ + + + + +.

Determinantul matricei formei a II-a fundamentale este 2

2 21rs t

p q

+ +.

n situaia n care suprafaa S este reprezentat implicit prin ecuaia ( ), , 0F x y z = , cu condiia 0zF , pe o submulime deschis n 3# , se poate obine reprezentarea explicit ( ),z f x y= i am vazut mai sus c

, yxz z

FFp qF F

= = .

Derivm p i q n raport cu x i y pentru a obine derivatele r, s, t. Dup calcule, rezult urmtoarele expresii ale coeficienilor formei a II-a fundamentale

(9.7) 2 2 2

x xz xx z

z x y z

F F F FLF F F F

=

+ +,

2 2 2

x yz xy z

z x y z

F F F FM

F F F F

=

+ +,

2 2 2

y yz yy z

z x y z

F F F FN

F F F F

=

+ +

Coeficienii formei a II-a fundamentale decid forma suprafeei n vecintatea unui punct al suprafeei. Aceasta rezult din urmtoarele consideraii.

Fie un punct P al suprafeei elementare S reprezentat explicit prin ecuaia ( ) ( ) 2, , ,z f x y x y D= # . Alegem reperul din 3E nct originea sa O s fie

P iar axa Oz s coincid cu normala n P la suprafaa S. Condiia ca vectorul normal

unitar ( )2 2

1 , ,11

N p qp q

=

+ +

""! s coincid cu k

! ne d c 0p q= = n punctul

( )0,0,0P . Coeficienii formei a II-a fundamentale sunt dai de (9.6). Dezvoltm

funcia ( ),z f x y= n serie Taylor n vecintatea punctului ( )0,0 . Obinem ( )2 21 2 ...2z rx sxy ty= + + +

Rezult c n vecintatea lui P suprafaa S difer foarte puin de cuadrica de ecuaie

(9.8) ( )2 21 22z rx sxy ty= + + . Aceast cuadric este un paraboloid eliptic dac 2 0rt s > , un paraboloid

hiperbolic dac 2 0rt s < i cilindru parabolic dac 2 0rt s = , cu 0r sau 0t . Aadar, n vecintatea unui punct eliptic suprafaa difer foarte puin de un paraboloid eliptic, n vecintatea unui punct hiperbolic suprafaa difer foarte puin de un paraboloid hiperbolic iar n vecintatea unui punct parabolic n care 0L sau

0N , suprafaa difer foarte puin de un cilindru parabolic.


89

Aceast situaie explic termenii punct eliptic, punct hiperbolic i, respectiv, punct parabolic. Nu putem spune nimic despre forma suprafeei n vecintatea punctelor parabolice n care 0L N= = i deci 0M = . Ea poate fi foarte complicat, dat de termenii de gradul 3 n dezvoltarea n serie Taylor a funciei z.

10. Curburi principale. Curbur total. Curbur medie.

Definiia 10.1. Aplicaia :n Pk T S # , definit prin

(10.1) ( ) ( )( ),

, , 0,n P

b X Xk X X T S X

g X X= ,

se numete curbura normal a suprafeei n punctul P S . Cu i iX X h= "! , valoarea funciei curbur normal n X, numit simplu

curbura normal se scrie

(10.2) ( ) , , 1, 2i j

ijn i j

ij

b X Xk X i j

g X X= = .

Vectorul ( )1 2,X X X= se numete vector principal dac el este punct critic pentru curbura normal nk . Valoarea curburii normale pentru un vector principal notat prin se numete curbur principal.

Condiia ca vectorul tangent ( )1 2,X X X= s fie punct critic pentru nk se scrie 1 20, 0

n nk kX X

= =

.

Prin derivare n expresia (10.2) aceast condiie se scrie n forma

(10.3) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 211 12 11 12

, ,

1 2 1 212 22 12 22

, ,

i j i jij ij

i j i j

i j i jij ij

i j i j

b X b X g X X g X g X b X X

b X b X g X X g X g X b X X

+ = +

+ = +

Acest sistem este echivalent cu

(10.4) 1 2 1 2

11 12 12 221 2 1 2

11 12 12 22

b X b X b X b Xg X g X g X g X

+ +

= =

+ +,

unde este valoarea curburii normale pentru vectorul X, adic avem

( ) ( )( ),

,,

b X XP X

g X X = .

Ecuaiile (10.4) se mai pot scrie n forma urmtoare


90

(10.5) ( ) 0, 1, 2jij ijj

b g X i = = . Vom folosi aceast form pentru a demonstra Propoziia 10.1. Un vector X este principal dac i numai dac este

vector propriu pentru operatorul Weingarten, corespunztor valorii proprii (curbur principal).

Demonstraie. Ecuaia matricial AX X= care d vectorii proprii ai operatorului Weingarten, se scrie n baza ( )1 2,h h"! ""! astfel:

,

,

i i i j ji i i j j

i i j

j i j jk i ji ki

i j

A X h X h X A h X h

A X X g b X X

= =

= =

"! "! ""! ""!

nmulim ultima expresie cu sjg i summ dup j. Rezult i j

si sji j

b X g X= sau, dup schimbri permise de indici ( ) 0jij ijj

b g X = , ecuaie care pentru = este exact (10.5).

Pe baza Propoziiei 10.1 demonstrm Propoziia 10.2. Vectorii principali corespunztori la curburi principale

distincte sunt ortogonali. Demonstraie. Fie 1 1 1AX X= i 2 2 2AX X= cu 1 2 i 1 0 .

Avem ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2 1 21 1 1

1 1, , , ,g X X g AX X g X AX g X X

= = = .

Pentru 2 0 = , obinem ( )1 2, 0g X X = . Pentru 2 0k , rezult ( )2 1 21

1 , 0k g X Xk

= ,

deci, din nou, ( )1 2, 0g X X = . n cazul n care 1 0 = i 2 0 , putem scrie

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 2

1 1, , , 0g X X g X AX g AX X

= = = .

Amintim c se numete curbur principal valoarea curburii normale

pentru un vector principal. Am vzut c ecuaiile care dau vectorii principali sunt (10.5). Aceste

ecuaii constituie un sistem liniar i omogen n ( )1 2,X X i, pentru a exista vectori principali, n mod necesar determinantul acestui sistem trebuie s fie egal cu zero. Aadar curburile prinicpale sunt date de ecuaia


91

(10.6) 11 11 12 1221 21 22 22

0,b g b gb g b g

=

sau

(10.6) ( ) ( )2 2 211 22 12 11 22 12 12 22 11 11 22 122 0g g g g b g b g b k b b b + + = . Propoziia 10.3. Ecuaia (10.6) are soluii reale. Demonstraie. Alegem o parametrizare a suprafeei S n care 12 0g = .

Discriminantul ecuaiei (10.6), ecuaie de gradul II n , este ( )2 211 2 11 22 124 0g b b g b + cu egalitate dac i numai dac 12 11 22 11 220, 0b g b b g= = . Aadar soluiile ecuaiei (10.6) sunt reale. Soluiile 1 2,k k

sunt confundate dac 11 12 2211 12 22

b b bg g g

= = . Vom numi planare punctele n care

11 12 22 0b b b= = = i ombilicale punctele n care 11 12 2211 12 22

1 , 0b b b Rg g g R

= = = . Deci n

puncte planare avem 1 2 0k k= = iar n puncte ombilicale avem 1 21k kR

= = .

Definiia 10.2. Fie P S i 1 2, curburile principale n punctul P.

Numrul real 2

11 22 121 2 2

11 22 12

b b bKg g g

= =

se numete curbura total a suprafeei n P.

Numrul real 1 2 11 22 12 12 22 11211 22 12

212 2

g b g b g bHg g g

+ += =

se numete curbura

medie a suprafeei n P. Fiecrui punct P al suprafeei S putem s-i asociem curbura total a

suprafeei n P i curbura medie a suprafeei n P. Obinem astfel dou funcii reale pe S, numite funcii curbur total i respectiv funcia curbur medie.

Semnul funciei K este dat de natura punctelor suprafeei. Avem 0K < n puncte hiperbolice, 0K = n puncte parabolice i 0K > n puncte eliptice. Punctele planare sunt parabolice iar cele ombilicale sunt puncte eliptice. Situaia acestor dou categorii de puncte este clarificat n urmtoarele dou propoziii.

Propoziia 10.4. Planul are toate punctele planare. Dac o suprafa

conex are toate punctele planare, atunci ea este o regiune conex a unui plan. Demonstraie. Prima afirmaie se verific uor prin calcul, considernd

ecuaiile planului de forma: ( ) 2, , 0, ,x u y v z u v R= = = . Fie S o suprafa conex cu 0, , 1, 2ijb i j= = . Rezult 0

ijA = i, din formulele lui Weingarten, urmeaz

0jN =""! !

, adic 0N N=""! ""!

(constant).


92

Considerm funcia ( )1 20 , ,N h u u""! ! pe care o derivm n raport cu 1u i 2u . Rezult:

00

,, 0jj

N hN h

u

= =

""! !""! ""!

. Aadar 0 ,N h D= ""! !

(constanta real). Cu

( )0 , ,N A B C=""!

obinem ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , 0Ax u u By u u Cz u u D+ + + = . Deci punctul ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2, , , , ,P x u u y u u z u u de pe suprafaa S se afl n planul de ecuaie

0Ax By Cz D+ + + = . Fie suprafaa S sfer de centru O i raz R. Prin calcul direct, folosind

parametrizri de forma cos sin ,sin sin ,cos , 0 2 , 0

x Ry Rz R

=== < < <


93

Revenind la formulele lui Weingarten, constatm c putem s le scriem n

forma ( ) 0j N hu + =""! !

de unde rezult c N h a+ =""! ! !

(constant).

Echivalent, 1 1h a N =

! ! ""!. De aici urmeaz

2

21 1h a

= ! !

. Deci

punctul lui S de vector de poziie h!

este pe sfera de centru aC

!

i raz 1

.

11. Ecuaiile lui Gauss. Ecuaiile Peterson Mainardi Codazzi. Curbur Riemannian

Formulele lui Gauss (FG) i formulele lui Weingarten (FW), introduse n

8, pot fi privite, luate la un loc, ca un sistem de ecuaii cu derivate pariale n necunoscutele, funcii vectoriale, 1 2, ,h h N

"! ""! ""!. Condiiile de integrabilitate ale acestui

sistem sunt

(11.1) 3

ij ikk j i j k

h h hu u u u u

= = ""! ""! !

(11.1) jij iNN

u u

=

""!""!.

Detaliem aceste condiii de integrabilitate. Avem:

( ), ,s sijk ij k s ij sk ij k ij ks

h h h b N b N= + + +""! ""! ""! ""! ""! , unde prin ,k am notat derivata n raport cu ( )ku .

Folosim din nou formulele (FG) i (FW). Obinem

, ,s r s s s

ijk ij k ij rk ij k s ij k ij rks r s

h b A h b b N = + + + ""! ""! ""!

.

Schimbm indicii j i k ntre ei. Obinem i ikjh""!

. nlocuim acestea n

(11.1). Avem n vedere c 1 2,h h"! ""!

i N""!

sunt vectori liniar independeni. Rezult c (11.1) este echivalent cu urmtoarele dou ecuaii:

(11.2) , , 0s s r s r s s sij k ik j ij rk ik rj ik j ij k

r rb A b A + + =

(11.3) , , 0r r

ij k ik j ij rk ik rjr r

b b b b + = . Notm


94

(11.4) ( ), ,s s s r s r si jk ij k ik j ij rk ik rjr

R = + . Se spune c sistemul de funcii de ( )1 2, , si jku u R , n numr de 16, nu toate

distincte, constituie tensorul de curbur al suprafeei. Cu aceast notaie, ecuaia (11.2) devine

(11.2) s s si jk ij k ik jR b A b A= . nmulim n (11.2) cu shg i summ dup s. Notm (11.4) : sih jk hs i jk

sR g R= .

Avem n vedere c sk sh khs

A g b= . Rezult (11.5) , , , , 1, 2ih j k ij hk ik hjR b b b b i j k h= = . Ecuaia (11.5) sau forma echivalent (11.2) se numete ecuaia lui Gauss. Setul de funcii ( )ih j kR constituie tensorul de curbur Riemannian a

suprafeei S. n acest set sunt 16 funcii dar nu sunt toate distincte pentru c din (11.5) rezult imediat proprietile

(i) ih j k ihk jR R= , (ii) hi j k ih jkR R= , (iii) 0ih j k i j k h ik h jR R R+ + = (sumare ciclic dup j, k, h), (iv) ih j k j k ihR R= .

Pe baza acestor proprieti rezult c n setul de funcii ( )ih j kR , , , , 1, 2i j k h = , avem 12 funcii nule iar din cele 4, n general nenule, una singur

este esenial 1212R , celelalte fiind una egal cu ea i celelalte dou de semn contrar. Aadar ecuaia (11.5) a lui Gauss se reduce la

(11.5) 21212 11 22 12R b b b= . Funcia 1212R se calculeaz din (11.4), avnd n vedere notaia (11.4). Ne

amintim c funciile ( )kij se calculeaz cu ajutorul funciilor ( )ijg i derivatelor pariale ijk

gu

, i, j, k = 1, 2. Aadar 1212R depinde numai de funciile ( )ijg i derivatele pariale de ordin I i II ale lor.

Formula curburii totale se poate rescrie, n baza ecuaiei (11.5) n forma

(11.6) 1212 211 22 12

RKg g g

=

.

Formula (11.6) conduce la un rezultat important.


95

Teorema 11.1. Curbura total a unei suprafee depinde numai de forma I-a fundamental a suprafeei.

ntr-adevr, dei curbura total a fost definit n legtur cu ambele forme fundamentale i forma ei iniial conine i coeficieni ( )ijb , formula (11.6) ne arat c ea depinde numai de funciile ( )ijg i derivatele lor pariale pn la ordinul II.

Teorema 11.1 este cunoscut sub denumirea de Teorema Egregium sau Teorema minunat a lui Gauss.

Revenim la ecuaiile (11.3). Observm c 4 din cele 8 ecuaii (11.3) i anume cele cu , 1 sau 2j k i= = sunt identiti. Din cele 4 rmase dou sunt eseniale, celelalte dou difer de ele prin semn, i anume

(11.7) ( )( )

11,2 12,1 12 1 11 2

12,2 22,1 22 1 12 2

,

.

s ss s

s

s ss s

s

b b b b

b b b b

= + = +

Ecuaiile (11.7) se numesc ecuaiile Peterson Mainardi Codazzi (PMC).

Fiind dat o suprafa S putem determina cele dou forme fundamentale ale ei, prima fiind i pozitiv definit. Coeficienii acestor forme sunt legai prin ecuaiile lui Gauss i ecuaiile PMC. Se poate arta c cele dou forme fundamentale determin suprafaa pn la o deplasare n spaiu, n sensul urmtoarei teoreme, numit i teorema fundamental a geometriei suprafeelor n 3E .

Teorema lui Bonnet. Fie ( ){ }1 2,U u u= un domeniu conex i simplu conex n 2# . Presupunem c ijg i , , 1, 2ijb i j = sunt funcii difereniabile date pe U care satisfac

(i) , 0i jij ji ijg g g = cu egalitate dac i numai dac ( ) 20 i= # , (ii) ij jib b= , (iii) ecuaia Gauss, (11.5) i ecuaiile PMC, (11.7). Atunci exist o imersie 3:f U E nct ( )f U S= este suprafa n 3E

pentru care ( )ijg sunt coeficienii primei forme fundamentale i ( )ijb sunt coeficienii celei de-a doua forme fundamentale (relativ la parametrizarea definit de f). Aceast suprafa este unic pn la o deplasare n 3E .

Pentru demonstraie se poate consulta [1, p.140].

Capitol 3 Curbe

Documents

Transcript of Capitol 3 Curbe