Curbe Tehnice-Cuprins Cu ajutorul acestor construcii, realizate cu rigla compasul i echerul, se pot rezolva diferite probleme constructive. Printre exemplele cel mai des folosite amintim: curbele compuse din arce de cerc, curbele conice, curbele ciclice. Ovoidul Ovoidul este o curb plan, nchis, simetric fa de o singur ax. Denumire sa provine de la asemnarea ei cu forma unui ou. Construcia se realizeaz cu ajutorul a patru arce de cerc dup cum urmeaz:

Pe o dreapt se ia un segment AB ce va constitui axa mic. Mediatoarea lui AB, care trece prin O1, va fi axa mare a ovoidului. Cu vrful compasului n O1 se va trasa un cerc de raz R=AB/2. Se construiesc apoi segmentele AO2 i BO2, unde O2 este punctul de intersecie al cercului cu axa mare. Cu vrful compasului n A, respectiv B se vor trasa 2 arce de cerc de raz AB (2R) ncepnd de la B respectiv pn la intersecia lor cu prelungirile segmentelor AO2 i BO2 .Fie C i D aceste 2 puncte de intersecie. Construcia se termin prin trasarea unui arc de cerc cu centrul n O2 i raz r = O2C. Forma ovoidal poate fi ntlnit la diferite came sau la profilul canalelor colectoare de canalizare din beton. Un posibil model geometric decorativ

compus

din

forme

ovoidale

este

prezentat

mai

jos:

Ovalul Ovalul este o curb plan nchis simetric fa de dou axe rectangulare. Construcia ovalului cu patru centre este prezentat n continuare:

Pe o dreapt oarecare se ia un segment egal cu axa mare a ovalului. Pe mijlocul acestei axe se ia o perpendicular care intersecteaz axa n M. De o parte i de alta a punctului M se iau segmentele MC = MD egale cu jumtatea axei mici. Pe prelungirea axei MC, se ia un punct E la distana MA=MB=ME. Se unete apoi punctul C cu punctul A i cu o deschidere de compas egal cu distana CE se traseaz un arc de cerc care taie segmentul AC n punctul F. Prin mijlocul segmentului AF se duce o perpendicular care intersecteaz axa AB n punctul O1, iar axa CD n O2. Din O2 ca centru i cu deschidere de compas egal cu distana O2C se descrie arcul de cerc care se ntinde ntre prelungirile seg-mentelor O2O3 i O2O1. Notm capetele acestui segment cu G i H. Din centrul O1 cu o raz egal cu O1G se nchide sfertul de oval. Ovalul turtit

Dndu-se

axa

mare

a

ovalului,

construirea

lui

se

face

astfel:

Axa mare se mparte n patru pri egale. Se noteaz mijlocul axei cu M, iar celelalte diviziuni de pe ax cu O1 i O3 apoi se descriu dou cercuri unul cu centrul n Ol , iar cellalt cu centrul n O3. Razele cercurilor sunt egale O1M = O3M. n continuare din aceleai centre O1 respectiv O3, cu o raz egal cu distana O1O3 se obin punctele O2 i O4, viitoarele centre ale arcelor de nchidere a ovalului turtit. Se duc apoi dreptele O1O2, O2O3, O4O3 i O4O1 i se noteaz cu C, D, E i F punctele n care prelungirile acestor drepte taie cele dou cercuri. Acestea sunt punctele de racordare ale celor dou cercuri cu arcele trasate din centrele O2 i O4 conturnd astfel ovalul turtit. Spirala Spirala este o curb plan deschis care ia natere prin rotirea unui punct mobil n jurul unui punct fix, folosit ca centru, de care se ndeprteaz mereu. Elementele spiralei sunt: spira care este poriunea din spiral corespunztoare unei rotaii complete, pasul spiralei care este distana dintre dou spire consecutive i originea spiralei. Exist spirale cu dou sau mai multe centre alctuite din arce racordate, care sunt desfuratele perimetrelor unor poligoane regulate cu acelai numr de laturi.

Spirala

lui

Arhimede

Spirala lui Arhimede este o spiral celebr descoperit de Arhimede, spiral ce poate fi exprimat sub forma unei ecuaii polare simple. Ea este reprezentat de ecuaia

Schimbarea parametrului a va roti spirala, pe cnd b controleaz distana dintre brae, care pentru o spiral dat este mereu constant. Spirala lui Arhimede are dou brae, unul pentru > 0 i unul pentru < 0. Cele dou brae sunt conectate la origine i spirala este derivabil n acel punct. Lund imaginea n oglind a unui bra al su peste linia de la 90/270 se obine un alt bra. Aceast curb este notabil ca una din primele curbe, dup seciunile conice, care a fost descris ntr-un tratat matematic, i ca prim exemplu de curb mai bine definit sub form de ecuaie polar.

Dndu-se originea i pasul spiralei, se ia ca centru originea dat, apoi cu o deschidere de compas egal cu pasul se descrie un cerc. Acest cerc se mparte ntr-un numr de pri egale. Se duc apoi prin cele 12 diviziuni razele prelungite. Din punctul O ca origine pe raza 0,1, se ia lungimea arcului de cerc corespunztoare lui L/12 i se obine primul punct al spiralei. Pe raza 02 se ia aceast dimensiune de dou ori apoi pe razele urmtoare de 312 ori determinndu-se astfel cele 12 puncte M1M12 ale spiralei. Pentru a obine alura curbei se unesc punctele astfel determinate cu ajutorul florarului. Spiralele se aplic n industrie la construcia arcurilor, iar dintre spiralele clasice spirala lui Arhimede se aplic la trasarea camelor.

ConiceleO seciune conic cu un focar n origine i cellalt undeva pe semidreapta de 0 (astfel nct axa major este n lungul axei polare) este dat de:

unde e este excentricitatea i distana perpendicular la focar de la axa major la

curb. Dac e > 1, aceast ecuaie definete o hiperbol; dac e = 1, ea definete o parabol; iar dac e < 1, definete o elips. Cazul special e = 0 are ca rezultat un cerc de raz l. Cele trei curbe plane elipsa, parabola i hiperbola poart numele de seciuni conice sau pe scurt conice. Conturul conicelor apare la secionarea unui con circular drept cu un plan care se afl n anumite poziii bine determinate fa de con. Daca planul secant conine toate generatoarele conului putnd avea diverse nclinri fa de axa acestuia intersecia planului cu suprafaa lateral a conului este o elips. n cazul n care planul secant este perpendicular pe axa conului sau cilindrului seciunea se reduce la un cerc. De asemenea orice seciune ntr-un cilindru circular drept realizat cu un plan care nu este nici perpendicular nici paralel cu axa lui este o elips. n cazul n care planul secant este paralel cu una din generatoarele conului seciunea este o parabol, iar dac planul secant este paralel cu axa conului seciunea este o hiperbol. Elipsa Elipsa este o curb plan nchis simetric fa de dou axe rectangulare definit ca locul geometric al punctelor din plan pentru care suma distanelor la dou puncte fixe este constant.

Trasarea elipsei se face cu compasul n mod aproximativ prin arce de cerc racordate. Metode cunoscute pentru realizarea elipsei sunt: metoda focarelor, metoda benzii de hrtie, metoda construciei prin puncte, metoda cercurilor concentrice sau cu ajutorul elipsografului. n continuare se va descrie metoda cercurilor concentrice: Fiind date lungimile celor dou axe ale elipsei AB i CD din centrul O se traseaz dou cercuri concentrice unul avnd ca diametru axa mic, iar cel de-al doilea axa mare. Prin centrul O se duce un diametru oarecare ce va tia cercul mic n punctul 1, iar

cercul mare n punctul 1 respectiv 8 i 8. Prin 1 se duce o paralel la axa mare, iar prin 1 o paralel la axa mic. Punctul de intersecie 1 a celor dou paralele duse este un punct al viitoarei elipse. Repetndu-se aceste construcii cu alte diametre se obin attea puncte ale elipsei cte sunt necesare pentru a trasa conturul ei urmnd a le uni cu florarul obinndu-se astfel elipsa. Parabola Parabola este o curb plan deschis cu o singur ax de simetrie, fiind definit ca locul geometric al punctelor egal deprtate n acelai timp de un punct fix numit focar i de o dreapt fix numit directoare. n practic, arcele de parabol sunt folosite la racordarea muchiilor pieselor precum i la racordarea liniilor de cale ferat i tramvai la curbe.

n continuare se va prezenta metoda de construcie a parabolei prin puncte. Se iau ca elemente iniiale focarul i directoarea parabolei. Prin punctul F se duce axa parabolei Ox perpendicular pe directoarea , iar la jumtatea segmentului FO se fixeaz vrful A al parabolei. Se iau pe axa Ox cteva puncte arbitrare prin care se duc tot attea paralele la directoare. Cu centrul n F i cu o raz egal cu lungimea segmentului 1,0, se intersecteaz dreapta dus prin 1 n punctele 11 i 12, care aparin parabolei. Apoi din acelai centru, dar cu raza 2,0, se determin alte dou puncte 21 i 22 pe dreapta dus prin 2. n acelai mod se determin celelalte puncte care se unesc printr-o curb continu cu ajutorul florarului. Hiperbola Hiperbola este o curb plan deschis alctuit din dou ramuri distincte, avnd dou axe de simetrie rectangulare i un centru situat la intersecia axelor. Hiperbola este definit ca fiind locul geometric al punctelor pentru care diferena distanelor la dou puncte fixe numite focare situate n planul ei este constant.

Cele dou puncte, fixe focarele F,F', situate la o anumit distan ntre ele numit distan focal, se afl pe axa orizontal care ntlnete curba n dou puncte AA' numite vrfurile hiperbolei. Cea de-a doua ax nu ntlnete curba fiind perpendicular pe axa focarelor i trece prin mijlocul distanei focale. Dreptele care unesc focarele cu un punct curent M de pe curb se numesc raze vectoare. Diferena constant dintre cele dou raze vectoare ale aceluiai punct de pe hiperbol este egal cu distana AA' dintre vrfurile hiperbolei. Tangenta la curb ntr-un punct M coincide cu bisectoarea unghiului fcut de razele vectoare ale aceluiai punct. Se prezint metoda trasrii prin puncte a hiperbolei avnd date focarele i diferena razelor vectoare. Se dau cele dou focare ale hiperbolei F,F' i un segment AA' egal cu diferena razelor vectoare corespunztoare unui punct M al curbei, egal cu distana dintre vrfurile hiperbolei. Din mijlocul O al distanei focale se ia de o parte i de alta a axei focarelor cte un segment egal cu jumtatea lui AA' (distana dintre vrfurile hiperbolei) determinnd astfel vrfurile AA' al curbei. Pe axa focarelor se marcheaz poziia focarului F precum i cteva puncte arbitrare 1,2,3 etc. Cu centrul n F' lund ca raz segmentul A'1 se traseaz un arc de cerc de o parte i de alta a axei focarelor pe care l intersectm cu un al doilea arc de cerc cu raza egal cu segmentul A1 i avnd ca centru focarul F. n acest fel se obin punctele hiperbolei. Ramura din stnga se obine modificnd ordinea razelor cu care se traseaz arcele de cerc din cele dou focare. Asimptotele hiperbolei sunt dou drepte concurente n centrul O i tangente n punctele de la infinit ale curbei. Tangentele la hiperbol n vrfurile A i A' ale curbei sunt paralele cu axa vertical. Dac prin punctele de intersecie cu asimptotele ale celor dou tangente duse prin A i A' se duc paralele la axa orizontal se obine un dreptunghi (CE,DG) care are drept laturi lungimile axelor hiperbolei i diagonalele dup asimptotele acesteia. Hiperbola pentru care dreptunghiul axelor devine un ptrat se numete hiperbol echilater.

Curbele ciclice

Curbele ciclice sau cicloidale sunt curbe plane definite de traiectoria unui punct legat rigid de un cerc generator care se rostogolete fr alunecare pe o alt curb numit baz. Baza poate cerc, elips, curb plan oarecare sau chiar dreapt. Domeniul de aplicare al acestor curbe variaz de la profilul dinilor roilor dinate (respectnd Legea fundamental a angrenrii), la ci de rulare sau chiar la diferite forme artistice. Dei aproape toate manualele de desen tehnic descriu modul de generare grafic a acestor curbe, am preferat s prezentm numai definiia precum i ecuaiile lor parametrice. Cu ajutorul lor i al calculatorului aceste curbe pot fi generate rapid i precis. n continuare vor fi prezentate cel mai des ntlnite n practic curbe cicloidale Cicloida simpl sau Ortocicloida Este curba descris de un punct M, aparinnd unui cerc C, ce se rostogolete fr alunecare pe o curb fix

Dup poziia punctului fix M fa de cercul generator se mai pot genera ortocicloide buclate sau alungite atunci cnd punctul generator P legat de cercul C se afl n exteriorul acestuia i ortocicloide scurtate atunci cnd punctul generator N legat de cercul C se afl n interiorul acestuia. Dac punctul generator ajunge s coincid cu centrul cercului, NO, ortocicloida scurtat devine o dreapt paralel cu dreapta . Ecuaiile parametrice ale ortocicloidei sunt:

unde a reprezint distana de la punctul generator la centrul O al cercului C. Dac a < r2 , se obine ortocicloida scurtat, a = r2 , se obine ortocicloida normal, a > r2 , se obine ortocicloida buclat.

Hipocicloida Hipocicloida este curba descris de un punct M aparinnd unui cerc C2 care se rostogolete fr alunecare pe un cerc fix C1.

n afar de hipocicloida generat de punctul M, mai pot fi generate hipocicloide buclate atunci cnd punctul generator P legat de cercul C se afl n afara acestuia i hipocicloide scurtate atunci cnd punctul generator N legat de cercul C se afl n interiorul acestuia. Cnd NO2, hipocicloida scurtat degenereaz ntr-un cerc cu centrul n O1. Ecuaiile

parametrice ale hipocicloidei sunt: , unde a reprezint distana de la punctul generator la centrul cercului O2. Dac a < r2 , se obine hipocicloida scurtat, a = r2 , se obine hipocicloida normal, a > r2 , se obine hipocicloida buclat. Dac raportul dintre diametrele celor 2 cercuri este un numr raional curba nu se nchide dup parcurgerea unui cerc complet. Astfel pot fi create figuri de genul

celei alturate unde cercul mic parcurge 23 de rotaii pe cercul mare.

Epicicloida Epicicloida este curba descris de un punct M aparinnd unui cerc C2 care se rostogolete fr alunecare pe un alt cerc fix C1. n afar de epicicloida normal generat de punctul M se mai pot genera epicicloida buclat generat de punctul P care este legat de cercul C2 situat n afara acestuia i epicicloida scurtat atunci cnd punctul generator N, legat de C2 este n interiorul acestuia.

Cnd NO2 epicicloida scurtat devine cerc cu centrul n O1 i de raz r1+r2.Ecuaiile parametrice ale epicicloidei sunt:

unde a reprezint distana de la punctul generator pn la centrul cercului O2. Dac a < r2 , se obine epicicloida scurtat, a = r2 , se obine epicicloida normal, a > r2 , se obine epicicloida buclat. Dac raportul dintre diametrele celor 2 cercuri este un numr raional curba nu se nchide dup parcurgerea unui cerc complet. Astfel pot fi create figuri de genul celei alturate unde cercul mic parcurge 47 de rotaii pe cercul mare pn punctul generator ajunge n poziia de pornire.

Pericicloida Pericicloida se asemn ca mod de generare cu hipocicloida cu deosebirea c cercul mic rmne fix, iar cercul mare se rostogolete, tangent interior, la cel mic.

Astfel pericicloida este curba descris de un punct M aparinnd unui cerc C2 care se rostogolete fr alunecare pe partea interioar pe un cerc fix C1. n afar de pericicloida normal generat de punctul M de pe cercul C2 se mai pot genera pericicloide buclate atunci cnd punctul generator P legat de C2 se afl n interiorul acestuia i pericicloide scurtate atunci cnd punctul generator N legat de C2 se afl n exteriorul acestuia. Ecuaiile generatoare ale coordonatelor carteziene ale punctului curent sunt:

unde a reprezint distana de la punctul generator pn la centrul cercului O2. Dac a < r2 , se obine epicicloida scurtat, a = r2 , se obine epicicloida normal, a > r2 , se obine epicicloida buclat Dei ele sunt identice cu ale hipocicloidei, se observ c notaiile de pe desen difer corespunztor poziiei fixe a cercului mic i mobile a cercului mare. Dac raportul dintre diametrele celor 2 cercuri este un numr raional curba nu se nchide dup parcurgerea unui cerc complet.

Astfel pot fi create figuri de genul celei de mai sus unde cercul mare parcurge 33 de rotaii pe cercul mare pn punctul generator revine n poziia de pornire. Evolventa de cerc Evolventa de cerc este curba descris de un punct M aparinnd unei drepte care se rostogolete fr alunecare pe un cerc de raz r numit cerc de baz. Evolventa are dou ramuri cu punctul de ntoarcere M0 aflat pe cercul de baz. n afar de evolventa normal generat de punctul M ce se afl pe dreapta se mai pot genera evolvente buclate atunci cnd punctul generator P este legat de dreapta , dar n afara ei i anume spre centrul O i evolvente scurtate atunci cnd punctul generator N este legat de dreapta , dar n afara ei i anume n exterior fa de O.

Dac MP = r atunci evolventa buclat va trece chiar prin O devenind n acest caz spirala lui Arhimede. Din teoria mecanismelor unghiul se numete unghi de presiune, el modificndu-i valoarea n diferitele puncte ale evolventei.

Ecuaiile

parametrice

ale

evolventei

sunt:

unde a reprezint distana de la punctul generator pn la dreapta . Dac a > 0 , se obine evolventa scurtat, a = 0 , se obine evolventa normal, a < 0 , se obine evolventa buclat, a = - r, se obine spirala lui Arhimede.